Dao động kĩ thuật - Thái Văn Nông

ục bánh xe L = 8,6 (m). 21 Hình BT1.1 Toa xe trên đường lồi lõm 22 Chương 2- DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO I. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA HỆ DAO ĐỘNG MỘT BẬC TỰ DO 1. MÔ HÌNH Hệ một bậc tự do là hệ cơ học mà vị trí của vật trong không gian có thể xác định bằng một tọa độ suy rộng duy nhất. Trong nhiều trường hợp chúng ta gặp trong thực tế, dao động của vật có thể mô hình hóa thành hệ dao động một bậc tự do. Hai dạng thường gặp của chúng là dao động có chuyển vị đường ví dụ dao động của vật trong ke trượt (a), dao động của ô tô, tàu hỏa (b), và dao động có chuyển vị góc, ví dụ như dao động của kim đồng hồ đo điện khi bắt đầu hoặc kết thúc phép đo (c), hình 2.1. Hình 2.1 Ví dụ về dao động 1 bậc tự đo Mô hình chung của dao động có chuyển vị đường thể hiện trên hình 2.2a. Đó là một vật có khối lượng m, trọng tâm G đặt trên một lò xo có độ cứng C và một giám chấn có hệ số cản K, lực kích thích làm cho vật dao động là F. Tương tự, mô hình dao động có chuyển vị góc là một vật có mômenquán tính đối với trục quay J, gắn với trục thông qua một lò xo có độ cứng xoắn C và một giảm chấn có hệ số cản K , mômen kích thích dao động là M (hình 2.2b). 23 Hình 2.2- Mô hình dao động một bậc tự do 2. CÁC YẾU TỐ CẤU THÀNH MÔ HÌNH a. Vật thể: được đặc trưng bằng khối lượng m đặt tại trọng tâm G (hoặc mômenquán tính khối lượng đối với trục quay J). Vị trí cân bằng Z=0 được chọn là vị trí trọng tâm G khi lò xo chịu độ nhún tĩnh (dưới tác dụng của trọng lượng P=mg). Chuyển vị của vật thể được xem là chuyển vị của trọng tâm G kể từ vị trí cân bằng. Khi có lực kích thích vật sẽ chuyển động xung quanh vị trí cân bằng. b. Lò xo: đại diện cho các mối liên kết đàn hồi như lò xo tròn, nhíp, đệm cao su, lò xo không khí (lốp hơi) cũng như các mối liên kết sinh ra lực hồi vị khác. Khi lò xo bị nén lại hoặc kéo dãn ra sẽ phát sinh lực hồi vị (muốn đưa vật về vị trí cũ). Trị số của lực này là hàm số của độ nhún (chuyển vị): )(' ZfFlx  [N] (2-1) 24 Hình 2.3- Đặc tính và độ cứng của lò xo Đường biểu diễn quan hệ giữa lực hồi vị và độ nhún gọi là đặc tính của lò xo (hình 2.3). Đạo hàm của đường đặc tính tại một điểm gọi là độ cứng của lò xo tại điểm đó: dz dF C lx [N/m] (2-2) Lò xo tròn có đặc tính là đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Ta nói lò xo này có đặc tính tuyến tính: Flx = CZ [N] (2-3) Trong đó độ cứng: consttgC  [N/m] (2-4) Các dạng lò xo khác như lò xo nón, lò xo cao su, lò xo không khíthường có đặc tính không phải là đường thẳng, do đó độ cứng của chúng cũng không là hằng số. Nói chung là : C = f(z) [N/m] (2-5) Ta gọi các lò xo đó là các lò xo có đặc tính phi tuyến. Trong một số bài toàn thực tế, độ cứng của lò xo trong mô hình có thể là độ cứng chống kéo nén, độ cứng chống xoắn, độ cứng chống uốn của một thanh tiết 25 diện đều đồng chất hay tổ hợp của các lò xo mắc nối tiếp hoặc song song với nhau. Khi đó chúng ta phải tính độ cứng theo sức bền vật liệu hoặc thay thế chúng bằng một lò xo rồi tính độ cứng tương đương. Sau đây là một số trường hợp thường gặp trong kĩ thuật: * Độ cứng của thanh đồng chất tiết diện đều: ° Khi thanh chịu kéo nén bởi lực F (hình2.4) thì độ dãn của thanh là: ES Fl l  Trong đó: E: mô đun đàn hồi của vật liệu; S: tiết diện ngang của vật liệu. Từ đó: lCl l ES F z ' Nếu coi thanh như là một lò xo thì độ cứng chống kéo nén của thanh là: l ES Cz  (2-6) Hình 2.4 - Thanh đàn hổi chịu kéo nén Hình 2.5- Thanh tiết diện đều chịu xoắn °Khi thanh chịu xoắn bởi momen xM (hình 2-5) ta tính được góc xoắn tại tiết diện cách gốc một khoảng l: p x Gl lM  Trong đó: G: mô đun trượt của vật; 26 pl : momen quán tính cực của tiết diện ngang. Từ đó:  .C l Gl M p  Độ cứng chống xoắn của thành là  .0 Cl Gl C p  (2-7) °Khi thanh là dầm công son chịu uốn bởi lực F (hình 2-6), ta tính độ võng ở đầu dầm: EI Fl f 3 . 3 1  Trong đó: El là độ cứng chống uốn Từ đó: fCf l EI F .. 3 3  Độ cứng chống uốn ở đầu công son: 3 3 l EI C  (2-8) Hình 2.6 - Công son chịu uốn Hình 2.7- Dầm chịu uốn ° Khi thanh là dầm 2 gối chịu uốn bởi lực F có khoảng cách đến các gối là a va b (hình 2.7). Ta tính được độ võng tại điểm đặt lực: )(3 22 baEI bFa f   27 Từ đó: fCf ba baEI F D   22 )(3 Độ cứng của dầm tại điểm đặt lực: 22 )(3 ba baEI CD   (2-9) Trường hợp lực đặt giữa dầm, thay l = (a+b) = 2a = 2b Ta được: 3 48 l EI CD  * Độ cứng tổ hợp của các lò xo: - Trường hợp tổ hợp các lò xo mắc song song, tat hay các lò xo có độ cứng C1, C2, Cn bằng một lò xo có độ cứng Css. Hình 2.8- Lò xo mắc song song Do các lò xo có độ nhún bằng nhau: f1 = f2 =.= fn = fss Hay ss ss n n C F C F C F C F  ... 2 2 1 1 Lấy tổng các tử số và các mẫu số của n phân số đầu ta được: ss ss i i C F C F    Nhưng vì    n i iFF 1 nên suy ra    n i iss CC 1 (2-10) 28 - Trong trường hợp các lo xo mắc nối tiếp, ta thay tổ hợp các lò xo có độ cứng C1, C2, Cn bằng một lò xo có độ cứng Cnt. Bởi vì độ dãn của lò xo tương đương bằng tổng độ dãn của các lò xo thành phần: f1 + f2 +.+ fn = fnt và lực tác động lên các lò xo là như nhau nên: ntn C F C F C F C F  ...... 21 Từ đó:    n i nnt CC 1 11 (2-11) Hình 2.9: Lò xo mắc nối tiếp Hình 2.10 Ví dụ: Một hệ dao động tạo bởi một vật có khối lượng m mắc vào một dầm 2 gối chịu uốn ở điểm giữa và một lò xo có độ cứng C (hình 2.10). +Nếu theo sơ đồ 1 thì dầm và lo xo ghép song song. Ta tính được: Ctd = Clx + CD = 3 48 l EI Clx  + Nếu theo sơ đồ 2 thì dầm và lò xo ghép nối tiếp. 29 Ta có: Dlxtd CCC 111  Ta được: EIlC EIC cC CC C lx lx Dlx Dlx td 48 48 3     c. Giảm chấn: đại diện cho các mối liên kết tiêu hao năng lượng làm giảm dao động như các loại giảm chấn ma sát, giảm chấn thủy lực, các loại ma sát và sức cản sinh ra khi vật chuyển động. Đồ thị biểu diễn quan hệ của lực cản với tốc độ gọi là đặc tính của giảm chấn: )()( Vf dt dz fFc  [N] (2-12) Đạo hàm của đường đặc tính này tại một điểm gọi là hệ số cản của giảm chấn: dV dF k c [Ns/m] (2-13) - Các giảm chấn thủy lực: thường có lực cản tỉ lệ bậc nhất với tốc độ nên đặc tính của chúng là tuyến tính như hình 2.11a. Fc = k1 dt dz [N] (2-14) Hệ số cản của loại giảm chấn này là hằng số: k1 = tgα = const [Ns/m] (2-15) 30 Hình 2.11 a- Đặc tính và hệ số cản của giảm chấn TL; b-Đồ thị công cản của giảm chấn TL; c-Sơ đồ máy thử giảm chấn TL. Trên máy thử giảm chấn thủy lực (hình 2-11c) người ta dẫn động giảm chấn này bằng một dao động điều hòa Z= Z0 cost tạo ra từ cơ cấu tay quay thanh truyền. Do )sin(0 tZdt dz V  nên )sin(0 tZkkVFc  Thay giá trị của )sin( t ta được: Fc = k 2 0 0 )(1 Z Z Z  Hay là: 1 2 0 2 0             Zk F Z Z c  (2-16) Ở đây k,  , 0Z là những hằng số. Như vậy quan hệ giữa lực cản và chuyển vị gọi là đồ thị công cản của giảm chấn thủy lực trong một chu kỳ là hình ellipse (hình 2.11b). Diện tích của ellipse này là công của lực cản tiêu hao trong một chu kỳ. 2 0rZkA  (2-17) Khi thử nghiệm giảm chấn thủy lực, máy thử sẽ vẽ cho ta đặc tính hình ellipse này. Dựa vào những thông số đã biết của máy thử và tỉ lệ các trục của đặc 31 tính thu được, ta có thể tính ra được hệ số cản k và công cản A của giảm chấn đang thử sau một chu kỳ và kết luận được về chất lượng của giảm chấn. - Các giảm chấn ma sát: có lực cản là các lực ma sát, các lực ma sát này thường là hằng số và chỉ phụ thuộc hướng của vận tốc: Fms =    N N   Khi Khi 0 0   V V (2-18) Do đó đặc tính của giảm chấn ma sát là 2 nửa đường thẳng song song với trục V và nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư (hình 2.12a). Đồ thị công cản của giảm chấn ma sát hình chữ nhật như hình 2.12b. Hình 2.12 a- Đặc tính của giảm chấn ma sát b- Đồ thị công cản của giảm chấn ma sát. d. Lực kích thích: là những lực gây nên dao động của vật, nó có thể tác dụng theo những qui luật khác nhau: - Kích thích một lần: Lực kích thích F có thể chỉ xuất hiện một lần duy nhất làm cho vật dao động rồi thôi. Sau đó vật tự dao động và trong quá trình dao động đó không có sự tham gia của lực kích thích. Dao động của vật lúc này gọi là dao động tự do. - Kích thích đều đặn, liên tục: theo một qui luật nhất định trong suốt quá trình vật dao động, tạo cho vật những dao động cưỡng bức. 32 * Nếu qui luật của lực kích thích thay đổi theo hình sin: )cos(0  tFF (2-19) Ta gọi là kích thích điều hòa. * Nếu qui luật của lực kích thích thay đổi một cách tuần hoàn ta có thể phân tích thành tổng của những hàm kích thích điều hòa bằng công thức Fourier. * Nếu lực F tác dụng cách quãng, cứ sau một thời gian T (sau một chu kỳ) lại tác dụng một lần trong thời gian rất ngắn, ta gọi là kích thích xung. - Kích thích ngẫu nhiên: Nếu qui luật kích thích là kết quả ngẫu nhiên thu được bằng phép đo, ta có quá trình kích thích ngẫu nhiên: F= )(t (2-20) Hình 2.13 Các qui luật biến đổi của lực kích thích a- Kích thích điều hòa b- Kích thích xung c- Kích thích ngẫu nhiên Trong khuôn khổ của giáo trình này, chúng ta chỉ quan tâm đến những hệ dao động có kích thích là hàm điều hòa dạng (2-19) vì những kích thích tuần hoàn cũng có thể phân tích ra tổng của những hàm số có dạng này. 3. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG Chúng ta có thể thành lập PTDĐ dựa trên sự cân bằng lực hay dựa trên phương trình Lagrange loại II. Cho dù sử dụng phương pháp nào thì kết quả PTDĐ thu được cũng giống nhau. Giả sử ta thành lập PTDĐ của vật có khối lượng m trong mô hình một bậc tự do đơn giản nhất như hình vẽ 2.2 với các đặc tính của lò xo và giảm chấn đều là 33 tuyến tính: - Lò xo có độ cứng : C [N/m] = const, - Hệ số cản của giảm chấn: K [Ns/m] = const a. Sử dụng phương trình cân bằng lực: Chọn vị trí cân bằng Z=0 là vị trí trọng tâm của vật khi lò xo chịu độ nhún tĩnh. Khi vật có chuyển vị Z ra khỏi vị trí cân bằng sẽ có các lực tác dụng: Hình 2.14- Các lực tác dụng vào vật dao động * Lực quán tính: Fqt = -m 2 2 dt Zd (2-21) * Lực cản của giảm chấn: Fc = - K dt dz (2-22) * Lực hồi vị của lò xo: Flx = - CZ (2-23) * Lực kích thích điều hòa: )cos(0 tFF  (2-24) 34 Xét cân bằng của vật, theo định luật Newton ta viết phương trình cân bằng lực hay còn gọi là PTDĐ: FCZ dt dZ K dt zd m 2 2 (2-25) b. Sử dụng phương trình Lagrange loại II Cũng chọn vị trí cân bằng như trên, tại thời điểm t khi vật có chuyển vị Z. Biểu thức động năng của hệ là: T = 2 2 1 Zm  Biểu thức thế năng của hệ là: 2 2 1 CZ Biểu thức hàm hao tán có dạng: 2. 2 1 ZK  Ta tính được các đạo hàm riêng: Zm Z T     0   Z T CZ Z    ZK dZ  Thay vào phương trình Lagrange loại II Q qqq T q T dt d               )(   FZKCZZ dt d m   0 Ta được PTDĐ có dạng giống như phương trình (2-2): FCZZKZm   PTDĐ là một phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có hệ số hằng số. Ta cần giải phương trình này để tìm qui luật dao động Z= Z(t) và các thông số của nó. 35 Như ta đã biết trong toán học, nghiệm của phương trình này là nghiệm của hai thành phần nghiệm, mỗi thành phần biểu diễn như một loại dao động: + Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất có vế phải bằng không (F=0) biểu diễn dao động không có lực kích thích, đó là dao động tự do. + Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất có vế phải khác không, biểu diễn dao động có lực kích thích gọi là dao động cưỡng bức. Sau đây, chúng ta xét kỹ từng loại dao động thông qua các nghiệm đó. II. DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CÓ LỰC CẢN Trước tiên ta xét một mô hình dao động tự do đơn giản nhất, đó là trường hợp dao động tự do không có lực cản. 1. MÔ HÌNH Mô hình dao động tự do không có lực cản của hệ một bậc tự do là một vật có khối lượng m đặt trên một lò xo có độ cứng C (hình 2.15). Hình 2.15 Mô hình dao động tự do không có lực cản 2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG Ta cũng chọn vị trí Z= 0 là vị trí cân bằng tĩnh như trên. Khi vật có chuyển 36 vị Z chỉ có lực quán tính và lực hồi vị của lò xo tác dụng lên vật nên ta viết được phương trình cân bằng lực cũng là PTDĐ như sau: m 2 2 dt Zd + CZ = 0 (a) (2-26) hay 0CZZm  (b) Phương trình này cũng có thể suy ra từ phương trình cân bằng lực (2-25) khi K và F bằng không. 3. DẠNG DAO ĐỘNG VÀ CÁC THÔNG SỐ DAO ĐỘNG Ta tìm nghiệm của phương trình (2-26) dưới dạng: (2-27) Khi đó các đạo hàm của nó là: (a) (2-28) Vaø (b) Thay vào phương trình (2-26) ta được: (m Bởi vì không đồng nhất bằng không nên ta rút ra: m = 0 (2-29) (2-29) gọi là phương trình đặc trưng của hệ. Nghiệm của nó là: (2-30) Với: (2-31) gọi là tần số vòng của dao động tự do không có lực cản. Như vậy, theo (2-27), nghiệm của PTDĐ (2-26) là: 37 (2-32) Biến đổi các số phức ở vế phải sang dạng đại số theo công thức Euler: Ta được: (a) ej(0 t+) (b) (2-33) (c) Trong đó: vaø Các hằng số ,A, B cũng như có thể tính được từ những điều kiện ban đầu. Ví dụ với điều kiện ban dầu: Tại thời điểm t=0 thì Z= Zt0 và (2-34) - Từ (2-33a) ta tính được A = Zt0 (a) (2-35) - Từ biểu thức đạo hàm của ( 2-33a) Ta tính được (b) Theo (2-34) (c) (2-36) Và (d) Hay: (e) Ta có thể viết lại nghiệm dạng (2-33b) khi biết điều kiện ban đầu (2- 38 35): (2-37) Như vậy dao động tự do không có lực cản của hệ một bậc tự do là một dao động điều hòa với tần số vóng tính theo (2-31) còn biên độ và góc lệch pha phụ thuộc vào điều kiện ban đầu tính theo (2- 36). a. Ví dụ: Xét dao động của vật thể (hình 2.16) có khối lượng m gắn trên đầu thanh OA dài L [m], có thể quay quanh chốt 0 cố định và treo trên lò xo có độ cứng C [N/m] tại điểm B, biết OB= a [m]. Hình 2.16 – Mô hình dao động của vật thể m Ta có thể giải bài toán theo nhiều cách. Cách 1: Xác định tọa độ của vật là góc quay  của thanh OA xung quanh O. Khi đó: - Mômen quán tính khối lượng của vật đối với tâm quay O là J= ml2 - Độ cứng chống xoay của lò xo C là: 39 Chúng ta viết PTDĐ của hệ tương tự như (2-26): 0 2 2    Cdt d J Thay các giá trị J và ta được: 02 2 2 2    aC dt d ml Ta viết ngay được dạng nghiệm giống (2-37): ) Trong đó: Tần số vòng tính theo (2-31) Biên độ và góc lệch pha xác định dựa vào các điều kiện ban đầu: Giả sử tại t=0 và Theo (2-36c) ta có: Và Như vậy qui luật dao động của vật là:         t m c l a c m a l Vto cos Cách 2: Ta có thể qui đổi khối lượng m về đặt tại điểm B và xét chuyển vị của hệ là chuyển vị đường dọc theo trục của lo xo có độ cứng C. Khi vật di chuyển một góc quay  thì đầu B của lò xo có chuyển vị là 40 Khối lượng qui đổi của vật đặt tại điểm B là: Ta viết được PTDĐ đối với khối lượng qui đổi theo (2-26): mB + CZB = 0 Phương trình này có nghiệm theo (2-37) là: ZB= Z0B ) Trong đó: - Biên độ - Tần số - Giá trị của biên độ và góc lệch pha có thể xác định từ điều kiện ban đầu: Tại thời điểm t=0; Suy ra ZB = a =0 suy ra Do đó Qui luật dao động của vật là: ZB= Z0B ) = - Trở lại biến cũ ta có: 41 - Cách 3: Đưa lò xo đến treo vào điểm A thì độ cứng của lò xo thay thế sẽ là: . Bạn đọc có thể tự viết phương trình và giải ra kết quả. III. DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ LỰC CẢN CỦA HỆ 1 BẬC TỰ DO Lực cản dao động được tạo thành khi trong hệ có các chi tiết như giảm chấn ma sát, giảm chấn thủy lực, hoặc các loại như sức cản không khí, sức cản do ma sát và các loại sức cản khác...Các sức cản này tiêu hao năng lượng và làm cho biên độ giảm dần, người ta gọi là dao động tắt dần. 1. TRƯỜNG HỢP TRONG HỆ CÓ SỨC CẢN MA SÁT KHÔ Sức cản khô thường do các giảm chấn ma sát sinh ra. Lực cản trong trường hợp này là những lực ma sát có trị số là hằng số và chỉ phụ thuộc vào hướng của vận tốc: Fms = (2-38) Trong đó: - N: tổng lực ép trong các giảm chấn ma sát. - : hệ số ma sát giữa các vật liệu làm giảm chấn. a. Mô hình và phương trình dao động: Mô hình nghiên cứu dao động tự do trong trường hợp này như hình 2.17. 42 Hình 2.17- Mô hình dao động tự do khi có lực ma sát khô Tương tự như phần trên, ta viết được phương trình cần bằng lực cũng chính là phương trình dao động: (2-39) Với ký hiệu M C  là tần số dao động tự do không có lực cản và chuyển vị dưới tác dụng của lực ma sát. (2-40) Ta có thể viết lại phương trình dao động (2-39) dưới dạng: 0)( )( 2 02 2   SZ dt SZd  khi 0 dt dZ 0)( )( 2 02 2   SZ dt SZd  khi 0 dt dZ b. Dạng dao động và các thông số của dao động Nghiệm của các phương trình trên là: 0 0 )cos( )cos( 202 101        ZKhi ZKhi StAZ StAZ     (2-44) 43 Để xác định các hằng số trong biểu thức nghiệm ta cần biết điều kiện ban đầu. Giả sử điều kiện ban đầu là: tại t=0 thì Z= Z0 và (2-45) Ta khảo sát dao động theo từng nửa chu kỳ một, từ nửa chu kỳ thứ nhất đến nửa chu kỳ thứ k. Trong nủa chu kỳ thứ nhất: Theo (2-44) quy luật của dao động là: (2-46) Từ đó: Thay điều kiện đầu vào 2 phương trình trên: Từ đó ta tính được: (2-47) Như vậy, quy luật dao động trong nửa chu kỳ thứ nhất là: (2-48) Từ biểu thức này ta xác định được các thông số của dao động tại thời điểm cuối cùng của nửa chu kỳ đầu đồng thời cũng là thời điểm đầu của nửa chu kỳ sau: Đó là thời điểm Tại đó: 000 2)cos()( ZSStSZZ   (a) (2-49) Trong nửa chu kỳ thứ hai: Theo (2-44) quy luật dao động là: (2-50) Từ đó: Thay các thông số tại thời điểm đầu (2-49) vào (2-50) ta được: 44 SAZS  )cos(2 20  )sin(0 20   A Suy ra: (2-51) Vậy quy luật dao động trong nửa chu kỳ thứ hai là: (2-52) Tiếp tục tính như thế với nửa chu kỳ thứ 3, thứ 4ta đi đến công thức tổng quát: Hình 2.18- Dao động tự do giảm chấn ma sát Trong nửa chu kỳ thứ k: Quy luật dao động là: (2-53) Với k= 1kmax Và dựa vào đó vẽ được đồ thị biến đổi của biên độ theo thời gian như hình 2.18. Ta nhận thấy, lực cản ma sát khô làm cho biên độ dao động tự do giảm theo đường thẳng, sau mỗi chu kỳ giảm một lượng bằng 4S, vì thế số nửa chu kỳ nhiều nhất thực hiện được là: (2-54) 45 2. TRƯỜNG HỢP TRONG HỆ CÓ SỨC CẢN NHỚT Lực cản nhớt thường do các giảm chấn thủy lực sinh ra. Những lực cản này theo (2-14) thường tỷ lệ tuyến tính với tốc độ: Hình 2.19- Mô hình dao động tự do có lực cản nhớt Với hệ số cản của giảm chấn K là hằng số. a. Mô hình và phương trình dao động Mô hình hệ dao động tự do có lực cản như hình 2.19, phương trình dao động là: (a) (2-55) Hay (b) b. Dạng và các thông số của dao động Để biết dạng dao động ta tìm nghiệm phương trình (2-55) dưới dạng (2-27): Khi đó các đạo hàm của nó sẽ là: 46 Vaø Thay vào phương trình (2-55) ta được: 0).( 2  ZCKM  Bởi vì không đồng nhất bằng không nên ta rút ra: 02  CKM  (2-56) gọi là phương trình đặc trưng. Nghiệm của nó là: (2-57) Ở đây: là chỉ số mũ của biến dạng dao động (2-58) Và: theo (2-31): gọi là tần số vòng dao động tự do không có cản. là hệ số cản tương đối Lehr của dao động (2-59). Từ (2-57) chúng ta thấy các nghiệm của phương trình đặc trưng phụ thuộc vào trị số của D. Theo (2-59) D là một đại lượng không thứ nguyên phụ thuộc hệ số cản K của các giảm chấn nên gọi là Hệ số cản tương đối Lehr của dao động. - Nếu biểu thức dưới căn trong nghiệm (2-57) sẽ dương, sẽ là 2 nghiệm riêng biệt. Đây là những trường hợp sức cản lớn, dao động sẽ bị dập tắt nhanh chóng ngay từ khi chưa thực hiện được một chu kỳ như các đường 1,2,3 47 trong hình 2-20a. Những trường hợp này không có ý nghĩa trong việc nghiên cứu dao động. - Nếu biểu thức dưới căn trong (2-57) sẽ là một số âm, sẽ là 2 nghiệm phức liên hợp. Trong đó: :là tần số vòng dao động tự do có lực cản. (2-60) Đây là các trường hợp sức cản nhỏ dao động thực hiện được một số chu kỳ rồi tắt dần như các đường 4,5,6 trong hình 2-20b. Nghiệm của phương trình (2-55) biểu diễn dao động tự do có lực cản là: Trong đó: A1,A2 là các hằng số phụ thuộc điều kiện đầu. Biến đổi phần trong ngoặc tương tự như đối với (2-32), ta được công thức tính nghiệm trong trường hợp dao động tự do có lực cản là: = )( 22     tj t eBAe 0Ze t (2-61) Ở đây, cũng như phần trên là những hằng số có thể xác định được từ những điều kiện đầu theo công thức (2-36). 48 Hình 2.20- Ảnh hưởng của hệ số D đến biên độ dao động Từ đó có thể viết lại công thức nghiệm (2-61) khi biết điều kiện đầu: Như vậy, dao động tự do trong trường hợp có sức cản nhớt là một dao động họ hình sin với:  Biên độ biến đổi theo thời gian tính theo điều kiện đầu là: = (2-62) * Tần số vòng phụ thuộc vào hệ số cản tương đối D tính theo (2-59) * Góc lệch pha tính theo (2-36d) 49 IV. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN BIÊN ĐỘ VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO 1. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG Như chúng ta đã biết từ công thức (2-62): biên độ của dao động có lực cản thay đổi theo hàm số mà chỉ số lại phụ thuộc vào hệ số cản K. Tùy theo trị số của , có 3 trường hợp xảy ra: * - Dao động điều hòa Đây là trường hợp K=0 cũng có nghĩa hệ dao động sẽ không có lực cản, từ đó ta có thể gặp lại các kết quả đã thu được ở phần trên: - Hệ số cản tương đối D= 0 2   CM K (2-63) - Thay vào (2-59) ta tìm được tần số dao động tự do không cản giống như ta thấy ở (2-31):  = 0 = 1// f g CP g gP C M C  (2-64) Với: P: trọng lượng bộ phân trên lò xo. g= 9.8 (m/s2) là gia tốc trọng trường. f1: Là độ nhún tĩnh của hệ thống trên lò xo. - Chu kì dao động tự do không lực cản tính theo (1-4): C M T    2 2 0  (2-65) - Tần số: M C f   2 1 2 0 0  (2-66) Cũng từ =0 suy ra et = 1thay vào (2-62) sẽ được: - Biên độ dao động trong trường hợp này giống như (2-36c): 50 const V ZBAZ to  2 0 222 )(  (2-67) Như vậy dao động tự do trong trường hợp không có lực cản là một dao dao động điều hoà có biên độ tính theo (2-67) và tần số tính theo (2-66).   < 0 Dao động tắt dần: Là trường hợp trong hệ có các giả chấn thuỷ lực với hệ số cản nhỏ. Trong trường hợp này tham số et giảm theo thời gian và do đó biên độ dao động cũng giảm theo thời gian. Ta nói: Dao động tắt dần. Khi đó: - Dạng dao động tính theo: )(0   tjt eZeZ Z - Tần số vòng tính theo (2-59):  = 0 21 D - Tần số: 200 122 Dff      (2-68) - Chu kỳ: 22 11 22 D T D T         (2-69) - Biên độ giảm theo thời gian tính theo (2-62) -  22 BAe t 22 )(  to to V Z  Ảnh hưởng của lực cản tới biên độ của dao động tắt dần: Xét 2 biên độ kề nhau của một dao động tắt dần (hình 2-21) Tại thời điểm t1: 22 01 BAeZ t   Sau đó 1 chu kỳ, tại thời điểm t2=t1+T=t1+  2 22)( 02 BAeZ Tt   Tỷ số biên độ kề nhau:      2 2 2 2 02 01 k m k eee Z Z t   là một tần số không phụ thuộc vào 51 thời gian, có nghĩa là cứ sau một chu kỳ biên độ sẽ giảm đi một số phần trăm nhất định. Người ta gọi:    m K Z Z T  2 1ln (2-70) Là độ giảm loga hay tắt loga của biên độ. Trong thực tế người ta thương đo độ giảm biên độ sau n chu kỳ và tính được: nT nTt t n e e e Z Z         )( 1 Từ đó suy ra: nTt t Z Z n T   ln 1  Hình 2.21- Ảnh hưởng của lực cản đến biên độ dao động. Ví dụ: Một vật có khối lượng 0.2(Kg). Cứ 9 giây thì thực hiện được 10 dao động và cứ sau 10 dao động thì biên độ giảm đi một nửa. Hãy xác định hệ số cản trong dao động đó. Giải: Từ điều kiện cứ 9 giây thì thực hiện được 10 dao động nên ta có 10T = 9 (s). 52 Tỉ số các biên độ: m K m K m K eee Z Z 2 9 2 1010 1 11 5.0     Lấy loga 2 vế m K 2 9 5.0ln  Từ đó: K= -2mln(0,5)/9 = 2.0,2.ln0,5/9 = 31.4.103 (Ns/m).  >0 Dao động không ổn định. Hình 2.22 - Dao động không ổn định Trường hợp này hàm số et tăng theo thời gian, vì thế biên độ dao động cũng ngày càng tăng theo thời gian. Ta nói dao động tự do không ổn định. Như vậy dao động tự do sẽ không ổn định khi phần thực  của nghiệm phương trình đặc trưng có giá trị dương. 2. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG Biến đổi công thức tính tần số vòng của dao động có lực cản (2-59) ta được: 1)( 22 0  D   (2-71) Có nghĩa là có thể biểu diễn quan hệ giữa 0  và D theo gốc ¼ thứ nhất của vòng 53 tròn đơn vị (2-23) Hình 2.23 -Ảnh hưởng của lực cản đến tần số Trong thực tế ta thường gặp những trường hợp sức cản nhỏ: 0.1<D<0.25 Tương ứng với: 0  = 0.995  0.969 Hay là:  = (0.995  0.969)0 Có nghĩa là lực cản nhỏ làm cho tần số dao động giảm đi chút ít: Trong tính toán khi D < 0.4 ta coi như:   0, f  f0, T T0 (2-72) Có thể bỏ qua các lực cản để tính toán được đơn giản hơn. V. DAO DỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG Dao động cưỡng bức là dao động dưới tác dụng của lực kích thích bên ngoài. Mô hình dao động như hình (2-2), phương trình dao động của nó như đã nói ở trên là phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất dạng (2-25): 54 )cos(. 0  tFZCZKZm  Ý nghĩa của các đại lượng có thể xem giải thích trong các công thức từ (2- 21) đến (2-24). Để giải bài toán này ta vec tơ hoá bằng cách thêm vào vế phải một lượng ảo j. )cos(0 tF . Khi đó Z trở thành vec tơ Z và phương trình dao động trở thành: )( 0.  tjeFZCZKZm  (2-73) 2. DẠNG VÀ CÁC THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG Ta tìm nghiệm riêng biểu diễn dao động cưỡng bức dưới dạng một dao động điều hoà có tần số vòng bằng tần số vòng của lực kích thích với biên độ Z0 và góc lệch pha  (chưa biết, cần xác định). )( 0.  tjeZZ (2-74) Khi đó các đạo hàm của nó: ZZvàZjZ 2  Thay vào phương trình dao động (2-73) ta được: )( 0 )( 0 2 )(    tjtj eFeZCKjm Gọi tZC F 0 là biên độ tĩnh (2-75) Nếu coi Zt.e j(t+) là dao động kích thích ta được tỷ số của dao động cưỡng bức ( đầu ra) và dao động kích thích (đầu vào) là một số phức H gọi là hàm truyền:                      0 2 0 2 )(0 )( )( 0 21 1 . . .     Dj KjmC C e Z Z eZ eZ H j t tj t tj (a) (2-76) Hay    j t j t e Dj e Z Z H . 21 1 2 )(0     (b) Trong đó  là tỷ số các tầng số vòng     0 (2-77) 55 Từ biểu thức hàm truyền (2-76b) chúng ta tính được góc lệch pha của dao động: 21 2      D acrtg (2-78) Và tỷ số độ lớn các biên độ dao động cưỡng bức và biên độ tĩnh gọi là hệ số khuyếch đại biên độ tĩnh: 2222 0 .4)1( 1   DZ Z t t   (2-79) Từ đó tính được biên độ dao động cững bức: 22220 .4)1( 1 ..   D ZZZ ttt   (2-80) Chúng ta nhận thấy hệ số khuyếch đại biên độ tĩnh t phụ thuộc tỷ số các tần số 0    và hệ số cản tương đối D (hình 2-24). Hình 2.24- Hệ số khuyếch đại biên độ tĩnh. Trị số lớn nhất của t : 56 Đạt được khi: 212 1 DD Max t   (a) (2-81) 221 D (b) Khi đó biên độ sẽ tăng lên nhiều nhất, đó là lúc xẩy ra hiện tượng cộng hưởng. Tại chỗ cộng hưởng, sự tăng biên độ lại phụ thuộc rất lớn vào hệ số cản D. Sức cản trong hệ càng lớn thì độ căng biên độ càng ít. Khi không có lực cản: D = 0, cộng hưởng sẽ xảy ra tại 1 có nghĩa là tần số dao động tự do 0 bằng tần số dao động cưỡng bức  khi này biên độ có thể tăng đến vô cùng. Như vậy biên độ cưỡng bức theo nghiệm (2-74) là một dao động điều hoà: )( 0.  tjeZZ Có cùng tần số  với lực kích thích nhưng lệch pha một góc  tính theo công thức (2-78), còn biên độ tính theo công thức (2-80): 2222 0 0 4)1( 1 .   DC F ZZ t   VI. HỆ SÔ KHUYẾCH ĐẠI BIÊN ĐỘ VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH THƯỜNG GẶP VỀ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Trong một số bài toán người ta thường đưa các yếu tố kích thích dao động cưỡng bức về dạng dao động điều hoà có tần số  như vậy dao động cưỡng bức là dao động điều hoà có cùng tần số với dao động kích thích nhưng biên độ của nó được thay đổi  lần: In b Out b ZZ .  gọi là hệ số khuyếch đại biên độ của dao động. Sau đây ta tính hệ số  qua một số mô hình thường gặp trong các bài toán kỹ thuật. 57 1. MÔ HÌNH 1 Là mô hình chúng ta vừa xét ở tiết trước, đặc điểm của nó là lực kích thích điều hoà tác dụng trực tiếp vào trọng tâm của vật, hình 2.25. Hình 2.25- Mô hình 1 Phương trình dao động có dạng (2-73): tjeFZCZKZm  .. 0 Để có thể thay thế tác dụng của lực kích thích bằng một dao động điều hoà ta chia 2 vế phương trình dao động (2-73) cho m đồng thời nhân tử số và mẫu số của vế phải với C: tje C F m C Z m C Z m K Z   Với những ký hiệu quan thuộc ta có thể viết phương trình này một cách gọn hơn trong một dạng phương trình chứa các thông số chủ yếu của dao động: tj t eZZZZ  .2 21 2 11   (2-82a) Trong dạng phương trình này nế coi tjt eZ . dao động kích thích thì vế phải sẽ chứa tích của dao động này với bình phương tần số vòng của dao động tự do. Nghiệm riêng của phương trình này là (2-74) cho biết dao động cưỡng bức là một dao động điều hoà có tần số bằng tần số của lực kích thích và biên độ là Z01: )( 01.  tjeZZ 58 Nếu coi đầu vào của hệ là dao động kích thích điều hoà có biên độ: tj t eZZ  . (2-83a) Thì đầu ra của hệ là dao động cưỡng bức cũng là dao động điều hoà có biên độ: C F ZZZ t In t Out 0 101 .   (2-84a) Hệ số khuyếch đại biên độ t của hệ chính là hệ số khuyếch đại biên độ tĩnh t tính theo (2-78): 2 1 2 1 22 1 01 4)1( 1   DZ Z t t   (2-85a) Và đồ thị của nó xem như hình 2-24. Ở đây: Theo (2-75): 01   t (2-86a) Theo (2-31): M C 01 (2-87a) Theo (2-59): MC K D .201 1 1     (2-88a) Theo (2-58): M K 21   (2-89a) 2. MÔ HÌNH 2 Kích thích bằng lực ly tâm. Trong mô hình này (hình 2.26) vật bị kích thích bởi lực ly tâm do khối lượng mất cân bằng m0 quay quanh trục vơi vận tốc  gây nên: F0 = m0.r  2 (2-90) Hình chiếu của lực ly tâm trên trục đứng là lực kích thích dao động theo phương đứng: F = F0.sint = m0.  2.r sint (2-91) 59 Hình 2.26- Mô hình 2 Sau khi vec tơ hoá ta viết được phương trình dao động: tjermZCZKZmm  .....).( 200  (2-92) Chia cả 2 vế cho m+m0 ta được: tjer mm m Z mm C Z mm K Z        ... 0 02 00  Ta nhân cả tử và mẫu số của 2 vế với 202 để được dạng (2-82a): tjer mm m ZZZ     ....2 0 0 2 02 2 2 02 2 022    (2-82b) Thì tính được biên độ dao động cưỡng bước là: r mm m Z .. 0 0 2 02 2 102      (2-83b) Nếu coi: 2 0 0 2 . kt In Zr mm m Z    (2-84b) Là biên độ của dao động kích thích, hệ số khuyếch đại biên độ dao đông 2 sẽ được tính theo công thức: 2 212 02 2 2 2 2 2 22 22 02 2 .. .4)1( 1        DZ Z kt (2-85b) 60 Đồ thị của 2 phụ thuộc vào 2 ứng với các trị số D khác nhau, xem trên hình 2- 27. Hình 2.27- Hệ số khuyếch đại 2 Ở đây 02 2     (2-86b) 0 02 mm C   (2-87b) )(2 002 2 2 mmC K D     (2-88b) )(2 0 2 mm K   (2-89b) Bài toán ví dụ 1: Rôto của một động cơ điện có khối lượng mA= 30 (Kg) đặt tại trọng tâm A cách tâm trục quay O một đoạn OA = rA= 2 (mm) (hình 2.28). 61 Stato có khối lượng mB= 90 (kg) đặt ở trụ quay O. Động cơ đặt trên đế đàn hồi có độ cứng C = 30 kN/m và hệ số giảm chấn K =0.5 kN.s/m. Đế bị hạn chế bởi khe trượt làm cho nó chỉ chuyển động được theo phương thẳng đứng Z. Hãy viết phương trình dao động khi động cơ làm việc ở n = 200 v/p. Hình 2.28 - Dao động của động cơ điện Giải: Lập một trục toạ độ thẳng đứng Z và xác định điểm gốc Z = 0. Trong đó toạ độ trọng tâm của Roto là ZA và cuả Stato là ZB. Toạ độ trọng tâm của cả động cơ là ZS sẽ được xác định từ điều kiện: (mA + mB). Zs = mA.ZA + mB.ZB (*) Từ hình 2-28 ta có : ZA= ZB+ r sin. Nếu động cơ quay đều thì  = t. Thay vào (*) ta được : (mA + mB).Zs = mA(ZB + r sin) + mB ZB =(mA +mB) ZB + mA r sin t 62 Đạo hàm hai lần phương này và thay vào phương trình cân bằng lực của động cơ: (mA + mB) 0 CZZKZ  Ta được phương trình dao động : (mA +mB) trmCZZKZ A  sin... 2 Ta thấy phương trình dao động của nó có dạng giống như phương trình (2- 92) của mô hình 2 nên với cách giải tương tự ta được nghiệm: )( 0  tjeZZ Thay số vào ta được : 193,20 30 200. 30 .  s n  1 0 81,159030 30000      s mm C BA  324,1 81,15 93,20 0      108,2 120.2 500 )(2    s mm K BA  131,0 81,15 08,2 0      D 2,1 324,1.131,0.4)324,11( 1 .4)1( 1 22222 2 2 2 22 2 1        D Hệ số khuyếch đại biên độ dao động: 1,2324,1.2,1. 22212   Biên độ dao động kích thích: m mm m rZ BA A kt 0005,09030 30 .002,0.2     Biên độ dao động cưởng bức : Z0 = 2.Zkt2 = 2,1.0,0005 = 0,00105 m 63 Góc lệch pha của dao động cưỡng bức : radarctg D arctg 4317,0 324,11 324,1.131,0.2 1 2 22         Vậy quy luật dao động của động cơ là ; Z = 0,0001cos(20,93t – 0,4317) m Bài toán ví dụ 2: Một máy đầm đất (hình 3-29), có khối lượng bộ phận công tác M = 0,5 tấn đặt trên đế máy có khối lượng m1 =120 kg thông qua 9 lò xo mỗi cái có độ cứng c = 20 kN/m. Máy được gây rung bằng hai khối lượng lệch tâm nằm trong bộ phận công tác quay ngược chiều nhau mỗi cái có khối lượng m0 = 80 kg, bán kính tay quay r = 5cm và vòng quay n = 120 vòng/phút. Tính lực nén lớn nhất của đầm khi làm việc và tính vòng quay để xảy ra cộng hưởng dao động . Hình 2.29- Mô hình máy đầm dất Giải : Bài toán thuộc mô hình dao động kích thích bởi lực ly tâm. Ta tính được : - Khối lượng dao động M = 0,5 tấn = 500kg - Độ cứng tổng của các lò xo C = 9.20.103 = 180000N/m 64 - Tần số vòng dao động kích thích 14 30 120. 30 .  s n   - Lực ly tâm kích thích dao động là: F0 = 2m0. 2.r = 2.80.(4.)2. 0,05 = 1262 N Phương trình dao động là: trmtFCZZM  cos...2cos. 200 Chia cả hai vế cho M ta được : tr M m Z M C Z  cos... 2 20 Hay viết dưới dạng (2-82a). tr M m ZZ    cos... 2 .. 2 02 2 02 02 2 02   Trong đó biên độ của dao động kích thích và: m M m rZkt 016,0500 80.2 .05,0 2 .2  Tần số dao động tự do: 1 0 97,18500 180000  s M C  Tỉ số các tần số vòng: 662,0 97,18 4 0       Vì trong hệ không có giảm chấn ( D=0) nên hệ số khuyếch đại biên độ dao động 2: 78,0662,0. 662,01 1 . 1 1 . 2 2 2 2 2 212        Biên độ dao động cưỡng bức như mô hình 2: Z02= 2.Zkt2= 0,78.0,016 = 0,0125 m Lực nén lớn nhất của đầm lên mặt đất: 65 Pmax = (M + m1). G + Z02.C = ( 500+120).9,8 + 0,0125.180000 = 8326 N Từ điều kiện cộng hưởng dao động  = 0  97,18 30 .  n Ta tính được vòng quay tới hạn: pvn /24,181 30.97,18   3. MÔ HÌNH 3 Kích thích động lực: Mô hình dao động tương tự như mô hình 1, nhưng trong trường hợp này vật bị kích thích bởi dao động điều hoà: u = u.ejt (2-93) của giá đở lò xo và giảm chấn như hình 2.30. Hình 2.30-Mô hình 3 Ta viết được phương trình dao động: 0)()(  uZCuZKZm  Hay uKCuCZZKZm   (2-94) Với u = u.ejt 66 Ta tính được : tjeujuju  ..... 0 Và vế phải của (2.94): )( 0 2 3 2 3 033 0 0 ..41 .).21( ..1 .).(                 tj tj tj tj euDC euDjC eu C K jC euKjCuKCu  (2-95) Trong đó: ).2( 33 DarctgC K arctg    (2-96) Thay giá trị của vế phải vào (2-94) rồi chia cho m ta được: )( 0 2 3 2 3 ..41..   tjeuD m C Z m C Z m K Z  Hay viết dưới dạng (2-82a): )( 0 2 3 2 3 2 03 2 033 ..41.2   tjeuDZZZ  (2-82c) Thì biên độ dao động cưỡng bức : 0 2 3 2 303 .41. uDZ t   (2-83c) Nếu coi : 301 kt in ZuZ  (2-84c) Là biên độ của dao động kích thích, thì hệ số khuyếch đại biên độ dao động 3 : 2 3 2 3 2 3 2 3 22 3 2 3 2 303 3 41. 4)1( .41     D D D u Z     (2-85c) ở đây: 67 )892( 2 )882( 2 )872( )862( 13 1 03 3 3 03 03 3 c M K cD CM K D c M C c A                Hình 2.31- Hệ số khuyếch đại biên độ 3 Đồ thị 3 phụ thuộc 3 ứng với các trị số của D3 được vẽ trên hình (2.31) Bài toán ví dụ 3: viết phương trình dao động thẳng đứng của toa xe hình (2-32) chạy với tốc độ V= 50 km/h trên đường sắt bằng những thanh ray có độ dài L= 12,5(m) biến dạng thành hình sóng có độ lồi lõm h = 20 (mm). Biết kối lượng trên lò xo là m= 15(tấn), hai trục bánh cách nhau một khoảng l =8,6 (m) , mỗi trục có hai lò xo độ cứng c= 300( kN/m) và 2 giảm chấn có hệ số cản k= 20 (kN/m). 68 Hình 2.32 a-Toa xe một hệ lò xo; b-Mô hình đường sắt c- Mô hình toa xe không giảm chấn; d- Mô hình toa xe có giảm chấn Giải: Khi tính toán động lực học của các toa xe đường sắt, người ta thường mô hình hoá mặt đường sắt lát bằng những thanh ray bị biến dạng thành hình sóng biểu diễn bởi phương trình: L Xh Zbx .2 cos 2   Trong đó: L là chiều dài một thanh ray, X là tọa độ dọc theo trục của đường. Nếu tốc độ đều, thay X=V.t, ta được: t h t L Vh Z  cos 2 2 cos 2  Với: )(98,6 6,3 50 5,12 22 s L V   Nếu toa xe có giảm chấn thuỷ lực thì mô hình của nó như hình (2-32d). Trong đó: - Độ cứng lò xo trong mô hình bằng tổng độ cứng các lò xo của toa xe; C =  1c =4. 300 = 1200 (kN/m) - Hệ số cản của giảm chấn trong mô hình bằng tổng hệ số cản của các giảm chấn: 69 K =  1k =4. 20 =80 (kN.s/m) - Quỹ đạo chuyển động của bánh xe giống như hình dạng của mặt đường và chính chuyển động này – tương tự như dao động u đế lò xo trong mô hình 3 – sẽ kích thích bộ phận trên lò xo dao động. Tuy vậy bởi vì toa xe có 2 trục nên 2 21 bb bx ZZ Z   nếu chuyển động của trục bánh thứ nhất là: tjbx e h Z  2 thì chuyển động của trục bánh thứ hai sẽ chậm sau một thời gian V l t  : )( 22          tjV l tj bx e h e h Z Với )(15,2 5,12 56,8.. rad L l    Ta tính được: )()( 005473,015,2cos01,0 cos 22 )(21         tjtj ee e hZZ Z tjbbbx Khi đó phuơng trình dao động có dạng: 0)()(  bxbx ZZCZZKZm  Hay bxbx ZKCZCZZKZm   Chia cả hai vế phương trình cho m ta được: )(222 0 2 0 .cos2 412   tje h DZZZ Giống như phương trình dao động (2-82c) của mô hình 3. Trong đó: 70 radarctgDarctg D CM K D s M C 435,0465,0)2( 465,078,0.298,0.22 298,0 15.12002 80 2 78,0 944,8 98,6 )(944,8 15 1200 0 1 0              Phương trình này có nghiệm là: )( 2222 22 )(22 .cos 4)1( 41 cos 2 .cos 2 41              tj tj e D Dh e h DZ Thay số ta tính được : mmt radarctg D arctg )715,198,6cos(928,9 87,0 78,01 465,0 1 2 22        Nếu toa xe không có giảm chấn thuỷ kực thì mô hình của nó như hình 2-32c. Phương trình dao động của thân toa xe là: 0)(  bxZZCZm  Hay )(cos 2   tjbx e h CCZCZZm  Chia cả hai vế cho m ta được phương trình dạng (2-82a) của mô hình 1 với K=0. )(2 01 2 01 cos2   tje h ZZ Trong đó: cos 21 h Zkt  Phương trình này có nghiệm là: )( 01.   tjeZZ Vì D=0: 71 )(97,13 )78,01( 1 15,2cos 2 20 )1( 1 cos 2 2201 mm h Z        Và 00 1 2 2    arctg D arctg    Như vậy dao động cưỡng bức của toa xe có dạng dao động điều hoà Z = 13,97.cos(4,18t – 2,15) (mm). 4. MÔ HÌNH 4 Kích thích thông qua lò xo được thể hiện trên hình 2-33. Hình 2.33- Mô hình 4 Trong mô hình này vật thể có khối lượng m bị kích thích bởi dao động điều hoà: u= tjeu 0 của giá đở phía trên của lò xo độ cứng C. Ta viết được phương trình dao động : 0)(1  uZCCZZKZm  hay tjeuCZCCZKZm  .)( 011 (2-97) chia cả hai vế cho m đồng thời nhân và chia vế phải với (C + C1) ta được: tjeu CC C m CC Z m CC Z m K Z       ... 0 1 11 Hay viết dưới dạng (2-82a): 72 tjeu CC C ZZZ    ...2 0 1 12 4 2 44   (2-82d) Biên độ dao động cưỡng bức là: 0 1 1 104 .uCC C Z    (2-83d) Nếu coi biên độ kích thích là: 40 1 1 4 . kt in Zu CC C Z    (2-84d) thì hệ số khuyếch đại biên độ dao động 4 giống như 1: 12 4 2 4 22 44 04 4 4)1( 1       DZ Z kt (2-85d) Ở đây : )982( 2 )882( ).(2 )872( )862( 14 104 4 4 1 04 04 4 d M K d MCC K D d M CC d                  Bài toán ví dụ 4: Xét mô hình dao động một bậc tự do của vật có khối lượng m = 10kg vẽ ở hình 2.34b biết C = 250 N/m, K = 20 Ns/m. Hãy xác định quy luật dao động của điểm A, nếu biết lực kích thích tác dụng vào nó thay đổi theo quy luật F = F0.sint = 10.sin(2t) N và C1 = 350 N/m. Hình 2.34 73 Giải: Mô hình này chính là mô hình 4 được đặt theo phương ngang.  Nếu cho lực tác dụng trực tiếp vào điểm B của vật (hình 2-34a), ta viết được phương trình giống như mô hình 1. tFCXXKXm  sin0 Nghiệm của phương trình này có dạng: X = X0sin( )t . Thay vào ta được: 193.20 30 .  S n 1 0 510 250  S M C  11 10.2 20 2  S m K  12,0 5 1    SD   256,1 5 2       31,1 256.1.)2.0.(4)256.11( 1 4)1( 1 222222221        D )(05226,0 250 10 31.1010 mC F X   )(716,0 256.11 256.1.2.0.2 1 2 22 radarctg D arctg          Trường hợp lực kích thích đặt vào điểm A thong qua một lò xo BA có độ cứng C1 như hình 2.34b:  Giả sử qui luật chuyển động của điểm là : U = X0sin( )t . Trong đó: u0 và  là những thông số chưa cần xác định. Do lực tác dụng tại A bằng lực đàn hồi của lò xo C1 ta có : 74 C1(X-u) = tF sin0 C1{X0sin( )t -X0sin( )t } = tF sin0   tFtuXtuXC  coscos)sinsin(sin)coscos( 000001  So sánh các hệ số của tsin và tcos ở 2 vế ta được: 0001 )coscos( FuXC   0)sinsin( 00   uX Từ 2 phương trình trên ta có: 1 0 00 coscos C F Xu   (a)  sinsin 00 Xu  (b) Chia (b) cho (a) ta được: 1 0 0 0 cos sin C F X X tg      Hay: 2643,1 350 10 716,0cos.052,0 716,0sin052,0 cos sin 1 0 0 0      arctg C F X X arctg    Bình phương cả 2 phương trình (a) và (b) rồi cộng từng vế với nhau: 2 1 0 0 2 0 2 0 )cos()sin( C F XXu   Từ đó : 2 1 0 0 2 0 )cos()sin( C F XXu   Thay số vào ta tính được: 036,0) 350 10 716,0cos052,0()716,0sin052,0( 22 u Vậy qui luật dao động tại điểm A là: 75 U =0.,036 sin (2 t – 1,256) m. Ta cũng có thể giải bài toán bằng phương pháp vec tơ hóa: Sau khi đã giải bài toán dao động ở bước 1 ta xác định được qui luậy chuyển động của vật khi không có lò xo C1 là : X = X0sin( )(0)   tjeXt . Biết lực tác dụng tại A bằng lực đàn hồi của lò xo C1 ta viết được : tjeFuXC  01 )( tjtjtj e C F eueX   0)(0 )( 0  Tại thời điểm t=0: C F eueX jj 000    Hay: C F eXeX jj 000    (*) Hình 2.35 Hình 2.35 biểu diễn phương trình (*) từ đó ta xác định được u0 và  Áp dụng công thức đối với véctơ tổng: C F vàeX j 00    Ta có: 76 2 0 20 00 )sin()cos(  XC F Xu  C F X X tg 0 0 0 cos sin      - Tóm lại chúng ta đã xét 4 mô hình , trong mô hình thứ i biên độ dao động cưỡng bức được tính là: tkti ZZ  11  Trong đó: tkt vàZ  lấy theo bảng sau: Mô Hình Biên độ kích thích ZKT Hệ sô khuyếch đại dao động t 1 0 D  (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) I C F0 2 1 2 1 22 1 4)1( 1  D m K 2  M C Cm K 2  01  II 01 0 mm m r  2 2 2 2 2 22 2 4)1( 1   D )(2 0mm K   0mm C  )(2 0mmC K   02  III u0 2 3 2 3 22 3 2 3 2 3 4)1( 41   D D   1 01 D1 1 IV CC C u 1 1 0 2 4 2 4 22 4 4)1( 1  D 1 m CC 1 )(2 1 CCm K   04  VII. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC KHI CÓ SỨC CẢN MA SÁT KHÔ 1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG Mô hình dao động cưỡng bức khi có sức cản ma sát khô như hình (2-36) tương tự như mô hình dao động tự do của nó ở hình (2-17) nhưng có thêm sự 77 tác dụng của lực kích thích diều hoà )cos(0 tF vào trọng tâm G. Hình 2.36- Mô hình dao động cưỡng bức khi có lực cản ma sát khô Phương trình dao động của nó tương tự như phương trình dao động tự do (2-42) nhưng vế phải có thêm lực kích thích: )cos()sin( 0 2 0     tFZ m N ZZ  (2-98) 2. DẠNG VÀ THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG Nếu chúng ta giả thiết dao động cưỡng bức là một dao động điều hoà có tần số vòng bằng tần số vòng  của lực kích thích, lệch pha một góc  với lực kích thích còn biên độ: 2 0 0 1 1     C F ZZ tt (2-99) Thì nghiệm tổng quát của phương trình trên trong nửa chu kỳ thứ nhất là: )cos( 1 sincos 221       t Z StCtCZ t (2-100) Từ đó: )sin( 1 cossin 2020010       t Z tCtCZ (2-101) 78 Giả sử biết chuyển vị và vận tốc dao động tại thời điểm đầu và cuối của nửa chu kỳ thứ nhất: Tại t = 0 thì 0ZZ  và 0Z (a) (2-102) Tại t =   thì 0ZZ  và 0Z (b) Khi đó:        00t và     t (c) Thay điều kiện (a) vào phương trình (2-100) và (2-101) ta được :   cos 1 210   t Z SCZ (e) 0=    sin 1 220   t Z C (f) Thay điều kiện (b) vào phương trình (2-100) và (2-101) có lưu ý đến (c) ta được :    cos 1 sincos 2210   t Z SCCZ (g) 0=    sin 1 cossin 22010   t Z CC (h) Cộng các phương trình (e) với (g) và (f) với (h) , ta được hệ sau: 02sin)cos1( 20  SCC  (i)   0sin)cos1( 120   CC (k) Giải hệ phương trình này được: SC 1 22  StgC  Thay các giá trị 1C và 2C vào hệ phương trình (e); (f) ta được:   cos 1 20   t Z Z 79    sin 12 2  tZStg Từ đó tính được biên độ: 2 2 2 20 ) 2 1 ( 1 1     tgSZZ t     (2-103) Như vậy biên độ dao động cũng phụ thuộc tỉ số các tần số vòng. Khi tỷ số này tiến tới 1 có nghĩa là 0 do : lim       4 2 1 lim 2 1 22     tgtg Nên: 22 20 ) 4 ( 1 1  S ZZ t    (2-104) VIII. CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG II 1- Đối với mỗi loại: - Dao động tự do không lực cản. - Dao động tự do có lực cản. - Dao động cưỡng bức. + Cần nắm vững:  Mô Hình  Cách thành lập phương trình dao động.  Dạng nghiệm.  Công thức tính tần số, tần số vòng, chu kỳ biên độ, góc lệch pha. 80 Hình BT2.1 2- Ảnh hưởng của lực cản đến biên độ và tần số của: - Dao động tự do. - Dao động cưỡng bức. Hình BT2.2 3- Đối với các trường hợp dao động có thể gây nguy hiểm trong kỹ thuật là:  Cộng hưởng các dao động.  Dao động tự do không ổn định cần nắm vững hiện tượng, điều kiện xẩy ra để tìm cách khắc phục. Nắm vững các bài toán và mô hình thường gặp trong kỹ thuật và cách giải quyết các bài toán trên máy tính. 4- Xác định mômen quán tính J của đĩa (hình BT2-1) đối với trục quay, 81 biết trục có chiều dài l=2 m. đường kính d = 0.5 cm, chu kỳ dao động tự do T = 3,14 s, môđun trượt của thép G = 80.102 N/m2. 5- Hai đĩa có momen quán tính J1, J2 được gắn chặt vào 2 đầu móc trục nằm ngang có độ cứng chống xoắn C (Hình BT2-2). Viết phương trình dao động và xác định qui luật dao động tương đối của hai đĩa. 6- Mô hình cơ học của một máy bay hạ cánh bao gồm một khối lượng m đặt trên một lò xo có độ cứng C và một giảm chấn có hệ số cản K (hình BT2-3). Lực nâng khi hạ cánh cân bằng với trọng lượng, vận tốc hạ xuống V2 = 2 m/s. Sau khi hạ cánh máy bay bị hãm và lăn nhẹ trên đường băng. Hình BT2.3- Mô hình dao động của máy bay lúc hạ cánh. Viết phương trình dao động theo phương thẳng đứng của than máy bay u khi máy bay lăn trên đường bằng phẳng. Xác định tần số và gia tốc của dao động đó. Biết: m = 103 kg. C=3 kN/m, K = 2,74 kNs/m. 7- Máy đo dao động (hình BT2.4), gồm một vật có khối lượng m = 0,1 (kg) đặt trên một lò xo có độ cứng C = 0,05 N/m và một giảm chấn có hệ số cản k = 0,08 Ns/m. Tìm chuyển động mà máy ghi được khi gắn trên ổ trục của bánh xe tầu hỏa (bầu dầu) khi tàu chạy với vận tốc V = 50 km/h. Trên đường lồi lõm có qui luật 5,12 2 cos01,00 X Z   82 Hình BT2.4 -Máy đo dao động Hình BT2.5 8- Một bệ đúc có cấu kiện bê tong kiểu va dung (hình BT2.5), có trọng lượng trên lò xo ( cả vật đúc) P = 5 tấn đặt trên 4 lò xo mỗi cái có độ cứng C = 20 kN/m được gây rung bằng cơ cấu lệch tâm có bán kính r = 5 mm và vòng quay n = 300 v/p. - Viết phương trình dao động và tính biên độ dao động cưỡng bức khi làm việc. - Tính vòng quay để vật đúc rung mạnh nhất.