Đề tài Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann

uman trong kh«ng gian Hilbert phøc H. A′ lµ ho¸n tËp cña A. φ lµ mét tr¹ng th¸i trªn A. A+ lµ líp c¸c phÇn tö d­¬ng trong A. Ký hiÖu Proj A lµ tËp tÊt c¶ c¸c phÐp chiÕu trùc giao trong A. Víi p ∈ Proj A ta lu«n cã p⊥ = 1−p. Ta sÏ viÕt 1 lµ to¸n tö ®ång nhÊt trong A. Víi mçi tËp con Borel Z trªn ®­êng th¼ng thùc vµ to¸n tö tù liªn hîp trong A ta kÝ hiÖu eZ(x) lµ phÐp chiÕu phæ cña x t­¬ng øng Z. Cho x ∈ A ta ®Æt | x |2= x∗x. Ta b¾t ®Çu víi mét vµi so s¸nh sau. 21 Trong kh«ng gian x¸c suÊt (Ω,F ,P), ®Æt L∞(Ω,F ,P) lµ ®¹i sè (hoÆc líp t­¬ng ®­¬ng) c¸c hµm bÞ chÆn cèt yÕu nhËn gi¸ trÞ phøc F− ®o ®­îc trªn Ω. Nã cã thÓ xem nh­ mét ®¹i sè von Neumann trªn L2(Ω,F ,P) nÕu ta ®ång nhÊt c¸c hµm g ∈ L∞ víi to¸n tö nh©n ag : f → fg víi f ∈ L2. §¹i sè A = L∞(Ω,F ,P) cã mét tr¹ng th¸i vÕt chuÈn chÝnh x¸c τP cho bëi c«ng thøc τP(f) = ∫ Ω fdP. Theo ®Þnh lý Egoroff th× sù héi tô P− hÇu ch¾c ch¾n cña mét d·y (fn) tõ A lµ t­¬ng ®­¬ng víi sù héi tô hÇu ®Òu cña nã. Râ rµng r»ng cã thÓ biÓu diÔn sù hé tô hÇu ch¾c ch¾n nh­ c¸c phÇn tö cña ®¹i sè A mµ kh«ng xem xÐt trªn kh«ng gian c¬ së Ω. Chóng ta cã thÓ kh¼ng ®Þnh l¹i sù héi tô hÇu ch¾c ch¾n theo nghÜa L∞− chuÈn, tr¹ng th¸i τP vµ c¸c hµm ®Æc tr­ng (cña c¸c tËp "lín"). Tõ quan ®iÓm trªn ta xem xÐt ®Þnh nghÜa sau: 2.2.1. §Þnh nghÜa. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. Ta nãi r»ng mét d·y (xn) c¸c phÇn tö cña A héi tô hÇu ®Òu tíi mét phÇn tö x ∈ A nÕu víi mçi ε > 0 tån t¹i mét phÐp chiÕu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε vµ tho¶ m·n ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. 2.2.2. NhËn xÐt. Ta chó ý r»ng ë ®Þnh nghÜa trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän φ. Vµ tõ ®ã héi tô hÇu ®Òu ®­îc ®Þnh nghÜa t­¬ng ®­¬ng víi hai ®iÒu kiÖn sau: (∗) Víi bÊt k× l©n cËn m¹nh cña to¸n tö ®ång nhÊt trong A tån t¹i mét phÐp chiÕu p sao cho ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. (∗∗) Víi mäi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ trªn A vµ ε > 0 tån t¹i mét phÐp chiÕu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε vµ tho¶ m·n ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. C¸c ®iÒu kiÖn trªn ®­îc suy ngay tõ gi¶ thiÕt nÕu φ lµ mét tr¹ng th¸i 22 chuÈn chÝnh x¸c th× t«p« m¹nh trong h×nh cÇu ®¬n vÞ S trong A cã thÓ ®­îc metric ho¸ bëi c«ng thøc: dist(x, y) = φ[(x− y)∗(x− y)] 12 . 2.2.3. §Þnh lý. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. Víi c¸c d·y bÞ chÆn c¸c to¸n tö (xn) tõ A th× sù héi tô hÇu ®Òu cã thÓ hiÓu nh­ héi tô m¹nh cña d·y (xn). Chøng minh. Cho xn → 0 hÇu ®Òu. BiÓu diÔn GNS cña A liªn kÕt víi φ lµ mét tr¹ng th¸i chuÈn vµ chÝnh x¸c. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö r»ng A t¸c ®éng lªn kh«ng gian Hφ c¸c biÓu diÔn GNS theo c¸ch chuÈn. Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt ta cã φ(x) = (xξ, ξ) víi x ∈ A vµ ξ lµ mét mét vect¬ cyclic t¸ch trong Hφ. Cho ε > 0 vµ ‖x‖ 6 1. Khi ®ã, tån t¹i mét phÐp chiÕu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε vµ ‖xnp‖ → 0. §Æt y ∈ A′ (A′ lµ ho¸n tËp cña A víi chuÈn ‖.‖φ trong Hφ), ta cã: ‖xnyξ‖φ 6 ‖xnpyξ‖φ + ‖xn(1 − p)yξ‖φ. Nh­ng: ‖xnpyξ‖φ 6 ‖xnp‖.‖yξ‖φ < 0 víi n ®ñ lín, vµ: ‖xn(1 − p)yξ‖φ = ‖yxn(1− p)ξ‖φ 6 ‖xny‖.‖(1− p)ξ‖φ = ‖xny‖[φ(1− p)] 12 6 ‖xny‖ε 12 . §iÒu nµy chØ ra r»ng xnyξ → 0 víi mäi y ∈ A′. V× tËp c¸c vect¬ {yξ, y ∈ A′} trï mËt trong Hφ vµ (xn) bÞ chÆn ®Òu nªn sù héi tô m¹nh (σ− m¹nh) cña xn dÇn vÒ 0. 2.2.4. NhËn xÐt. Trong §Þnh nghÜa 2.2.1, chóng ta ®· giíi thiÖu tæng qu¸t kh¸i niÖm héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann trong ph¹m vi kh¸i niÖm cña 23 sù héi tô hÇu ch¾c ch¾n. Chóng ta còng cã thÓ xem xÐt tr­êng hîp kh«ng giao ho¸n ®èi víi kh¸i niÖm nµy. Cho A tr­íc hÕt lµ ®¹i sè von Neumann cïng víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. Ta xem xÐt bèn ®iÒu kiÖn sau cña xn vµ x trong A: i) Víi mäi ε > 0, cã mét phÐp chiÕu p trong A, víi φ(1 − p) < ε vµ sè N nguyªn d­¬ng sao cho: ‖(xn − x)p‖ N. ii) Víi mäi ε > 0, cã mét phÐp chiÕu p trong A, víi φ(1 − p) < ε, sao cho: ‖(xn − x)p‖ → 0, n→∞. iii) Víi mäi ε > 0, cã mét d·y c¸c phÐp chiÕu (pn) trong A t¨ng dÇn ®Õn 1 (trong t«p« m¹nh), sao cho: ‖(xn − x)pn‖ < ε, víi n = 1, 2, ... iv) Víi mäi phÐp chiÕu p kh¸c kh«ng trong A cã mét phÐp chiÕu q kh¸c kh«ng trong A sao cho q 6 p vµ: ‖(xn − x)q‖ → 0, n→∞. HiÓn nhiªn, ®iÒu kiÖn (ii) cã nghÜa lµ d·y (xn) héi tô hÇu ®Òu ®Õn x. NÕu c¸c ®iÒu kiÖn (i) hoÆc (iii) hoÆc (iv) tháa m·n th× xn ®­îc gäi lµ héi tô ®Õn x ®ãng trªn c¸c tËp lín h¬n hoÆc héi tô hÇu kh¾p n¬i hoÆc tùa ®Òu. Râ rµng, trong tr­êng hîp mét ®¹i sè von Neumann giao ho¸n L∞(Ω,F ,P) th× c¶ bèn ®iÒu kiÖn trªn ®Òu t­¬ng ®­¬ng víi héi tô P - hÇu ch¾c ch¾n. 2.2.5. §Þnh lý. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann cïng víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh 24 x¸c φ. Víi mäi d·y bÞ chÆn (xn) trong A, c¸c ®iÒu kiÖn tõ (i) ®Õn (iv) trong (2.2.4) lµ t­¬ng ®­¬ng. Chøng minh. Chóng ta gi¶ sö r»ng x = 0 vµ ‖xn‖ 6 1, víi n = 1, 2, .... Cho p ∈ Proj A, y ∈ A vµ φ(p|y|2p) < ε4 < 1. TiÕp theo, ®Æt: q = pe[p,ε2 ]{p|y|2y}. Ta cã: q 6 p, φ(p− q) 6 ε vµ ‖yq‖ < ε. ThËt vËy, râ rµng: q 6 p. Tuy nhiªn: φ(p− q) 6 ε2φ(p|y|2p) < ε, vµ: ‖yq‖2 = ‖q|y|2q‖ = ‖qp|y|p‖ < ε2. Ta chó ý r»ng: Víi y ∈ A, ‖y‖ 6 1 vµ q, r ∈ Proj A, nÕu ‖q⊥r‖ < α vµ ‖yq‖ < β, th× ‖yr‖ < α+ β. §iÒu nµy ®ñ ®Ó ®¸nh gi¸: ‖yrξ‖ 6 ‖yq⊥rξ‖ + ‖yqrξ‖. Tõ thùc tÕ võa chøng minh ta dÔ dµng suy ra ®iÒu kiÖn (i) (∗) Víi mçi ε > 0 vµ q ∈ Proj A, cã mét phÐp chiÕu r ∈ A sao cho: r 6 q, φ(q − r) < ε vµ ‖xnr‖ < ε víi n ®ñ lín. ThËt vËy, cho 0 < εn → 0. Tõ (i), ta cã thÓ t×m mét d·y (rn) ⊂ Proj A, víi φ(r⊥n ) < εn vµ mét d·y nguyªn d­¬ng m(n) sao cho: ‖xmrn‖ < εn, víi m > mn. Cho tr­íc q ∈ Proj A. Khi ®ã, tõ tÝnh chuÈn cña φ th× φ(qr⊥n q) → 0 vµ ta cã thÓ cè ®Þnh n0 sao cho ε > εn0 vµ φ(qr⊥n q) < ε4. §Æt: r = qeqr⊥n q[0, ε 2). Ta cã: φ(q − r) < ε vµ ‖r⊥n r‖ < ε H¬n n÷a: ‖xmr‖ m(n0). §Ó chøng minh (i) → (ii), ta cè ®Þnh ε > 0 vµ gi¶ sö r»ng ®· cã (i). Tõ (∗), chóng ta t×m mét d·y (pn) ⊂ Proj 25 A sao cho: 1 = p1 > p2 > ..., φ(pn − pn+1) m(n). §Æt p = inf k pk. Khi ®ã: φ(p⊥) = ∑ n φ(pn − pn+1), vµ: ‖xmp‖ 6 ‖xmpn0‖ m(n0). §iÒu nµy cã nghÜa lµ xm → 0 hÇu ®Òu. ChØ víi mét ®iÒu chØnh dÔ dµng cña chøng minh trªn ta cã thÓ chØ ra ®­îc (i) → (iv). §ã lµ, cho tr­íc 0 6= p ∈ Proj A vµ ε > 0, ta t×m ®­îc mét d·y c¸c phÐp chiÕu: 1 = p1 > p2 > ..., víi ‖xmpn‖ m(n), vµ: φ(pn − pn+1) < 2−(n+1)φ(p). §Æt q = inf k pk lµ ®ñ ®Ó cã ®iÒu cÇn cña §Þnh lý. Chøng minh (ii) → (i) lµ tÇm th­êng. B©y giê, gi¶ sö r»ng ta ®· cã (iii), cho ε > 0, tån t¹i c¸c phÐp chiÕu pn trong A, mµ: pn ↑ 1 vµ ‖xnpn‖ 1 − ε, víi n > m, nghÜa lµ ta cã (i). Do ®ã ta cã: (iii) → (i). TiÕp theo, ta sÏ chøng minh (iv) → (iii). Cho ε > 0, 0 < εk < εk+1 → ε vµ 0 < δk → 0. §Ó chøng minh (iii), ta t×m mét d·y t¨ng (qk) ⊂ Proj A vµ mét d·y t¨ng c¸c sè nguyªn d­¬ng (nk), sao cho: φ(p⊥k ) nk (Chóng ta cã thÓ ®Æt p1 = ... = pn1 = 0, pn1+1 = ... = p2 = q1, etc). Nh­ vËy ®ñ ®Ó chØ ra r»ng, nÕu ε 0 vµ ‖xnp‖ l, p ∈ Proj A th× tån t¹i q ∈ Proj A vµ l′ > l sao cho: q > p, φ(q⊥) l′. 26 Cho (pt, t ∈ T ) lµ mét hä maximal c¸c phÐp chiÕu trùc giao lÉn nhau trong A, sao cho: pt 6 p⊥ vµ ‖xnpt‖ → 0, n→∞, víi mäi t ∈ T. Hä nµy lµ hÇu hÕt ®Õm ®­îc ( v× cã mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ trªn A). V× φ lµ chuÈn vµ chÝnh x¸c, nªn tõ (iv) cã tån t¹i mét d·y (pk) c¸c phÐp chiÕu tù trùc giao trong A, sao cho: ∞∑ k=1 pk = p ⊥ vµ ‖xnpk‖ → 0, n→, k = 1, 2, ... LÊy N ®ñ lín, ta ®¹t ®­îc: φ(p⊥ − N∑ k=1 pk) < δ, vµ, do ®ã: φ(q⊥) < δ víi q = p + ∑N k=1 pk. H¬n n÷a, ‖xnq‖ < ε′ víi n ®ñ lín. §Þnh lý ®­îc chøng minh. §Ó kÕt thóc phÇn nµy, ta ®­a ra kh¸i niÖm sau: 2.2.6. §Þnh nghÜa. Mét d·y (xn) trong A ®­îc gäi lµ héi tô hai phÝa hÇu ®Òu ®Õn x ∈ A nÕu víi mäi ε > 0, tån t¹i mét phÐp chiÕu p ∈ A, sao cho: φ(1− p) < ε vµ ‖p(xn − x)p‖ → 0, n→∞. 2.3 Mét d¹ng kh«ng giao ho¸n cña §Þnh lý Egoroff. Chóng ta b¾t ®Çu víi mÖnh ®Ò sau: 2.3.1. MÖnh ®Ò. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann t¸c ®éng trong kh«ng gian Hilber H. NÕu d·y (xi) trong A héi tô m¹nh tíi x0 th× víi mäi ε > 0 tån t¹i mét d·y (pi) ⊂ ProjA sao cho pi → 1 m¹nh vµ ‖(xi − x0)pi‖ < ε víi mäi i = 1, 2, ... 27 Chøng minh. Ta gi¶ sö r»ng ‖xi‖ 6 1 vµ x0 = 0. §Æt yi = x∗ixi. Khi ®ã víi mäi h ∈ H ta cã: ‖yih‖ = ‖x∗ixih‖ 6 ‖x∗i‖‖xih‖ 6 ‖xih‖. Do ®ã(yi) héi tô m¹nh tíi 0. §Æt pi = ei([0, ε2]) víi ei(1) lµ ®é ®o phæ cña yi. Khi ®ã yi = ∫ 1 0 uei(du) > ε2 ∫ [ε2,1] u ε2 (du) > ε2(1 − pi), §iÒu nµy cã nghÜa lµ (pi) héi tô m¹nh tíi 1. H¬n n÷a, ta cã: ‖xipi‖2 = ‖pix∗ixipi‖ 6 ‖x∗ixipi‖ = ‖yipi‖ < ε2. MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. 2.3.2. §Þnh lý kh«ng giao ho¸n Egoroff Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ vµ (xn) lµ mét d·y trong A héi tô tíi x trong t«p« to¸n tö m¹nh. Khi ®ã víi mäi phÐp chiÕu p ∈ A vµ ε > 0 bÊt k× tån t¹i mét phÐp chiÕu q 6 p trong A vµ mét d·y con xnk cña xn tho¶ m·n: φ(p− q) < ε vµ ‖(xnk − x)q‖ → 0 khi k →∞. Chøng minh. Ta gi¶ sö r»ng p = 1 vµ x = 0. Theo MÖnh ®Ò 2.3.1, tån t¹i mét d·y(pn) cña c¸c phÐp chiÕu trong A tho¶ m·n ‖xnpn‖ < 12 vµ pn → 1 m¹nh. Chän chØ sè n1 sao cho φ(1 − pn) n1. §Æt q1 = pn1 . Nh­ vËy φ(1 − q1) < ε2, ‖xn1q1‖ < 12 vµ tÊt nhiªn r»ng xnq1 → 0 m¹nh. Ta ®­a ra ®¹i l­îng y(1)n = q1x∗nxnq1. Khi ®ã ta cã mét d·y bÞ chÆn trong q1Aq1 héi tô m¹nh vÒ 0. Còng víi c¸ch ®Æt trªn ta t×m ®­îc mét d·y (q(1)n ) c¸c phÐp chiÕu trong q1Aq1 tho¶ m·n q(1)n → q1 m¹nh vµ ‖y(1)n q(1)n ‖ < 122 . Ta chän chØ sè n2 > n1 sao cho φ(q1 − q(1)n ) < ε22 vµ ‖y(1)n2 q2‖ < 122 . 28 TiÕp tôc, ®Æt: q2 = q(1)n2 , ta ®­îc: q2 6 q1, φ(q2 − q1) < ε 22 vµ ‖y(1)n2 q2‖ < 1 22 . MÆt kh¸c: ‖xnq2‖2 = ‖q2x∗nxnq2‖ = ‖q2q1x∗nxnq1q2‖ = ‖q2y(1)n q2‖ 6 ‖y(1)n q2‖ < 1 22 víi n > n2. Tõ ®ã ‖xmq2‖ < 122 . Nh­ vËy ta x©y dùng ®­îc mét d·y gi¶m (qn) cña c¸c phÐp chiÕu trong A vµ mét d·y c¸c chØ sè n1 < n2 < ... tho¶ m·n: ‖xnkqk‖ < 1 2k , φ(qk − qk+1) < ε 2k . §Æt p = inf k q ta ®­îc: φ(1− q) 6 ε vµ ‖xnkq‖ < 1 2k → 0. §Þnh lý ®­îc chøng minh. 2.3.3. NhËn xÐt. Sù héi tô ®iÓm trong ®¹i sè von Neumann ®· ®­îc giíi thiÖu ®Çu tiªn bëi I. Segal vµ ®· ®­îc sö dông cã hÖ thèng trong lý thuyÕt kh«ng giao ho¸n cña tÝch ph©n. Lý thuyÕt nµy ®· ®­îc ph¸t triÓn ®éc lËp bëi Segal vµ Dixmier ®èi víi c¸c vÕt nöa h÷u h¹n. HiÖn nay, cã tån t¹i mét lý thuyÕt kh«ng chØ ®èi víi c¸c vÕt mµ cßn ®èi víi tr¹ng th¸i vµ cao h¬n. Chóng ta chó ý r»ng mèi quan hÖ gi÷a c¸c lo¹i héi tô trong ®¹i sè von Neumann ®· ®­îc th¶o luËn bëi Segal, Ogasawara, Yoshinaga, Padmanabhan, Lance, Stinespring, Batty vµ gÇn ®©y lµ Petz vµ Paszkiewicz. §Æc biÖt, D. Petz ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm héi tô tùa ®Òu vµ A. Paszkiewicz ®· th¶o luËn c¸c mèi quan hÖ gi÷a c¸c lo¹i héi tô ®iÓm cña c¸c d·y to¸n tö kh«ng bÞ chÆn. ¤ng ®· chøng minh ®­îc r»ng mét d·y bÞ chÆn héi tô hÇu ®Òu lµ trïng víi héi tô tùa ®Òu. §Þnh lý Egoroff d¹ng kh«ng giao ho¸n ®­îc chøng minh bëi Saito. C¸c vÊn 29 ®Ò th¶o luËn trong phÇn nµy ®­îc liªn hÖ chÆt chÏ bëi Radin, trong ®ã cã nªu kh¸i niÖm tr¹ng th¸i φ− almost trªn mét C∗− ®¹i sè, víi φ lµ mét vÕt trªn A′′ (song ho¸n tËp). ¤ng ®· chøng minh ®­îc r»ng bÊt cø ∗− tù ®¼ng cÊu cña A′′ lµ ®­îc thùc hiÖn bëi mét sè phÐp biÕn ®æi ®iÓm trong kh«ng gian tr¹ng th¸i cña A, x¸c ®Þnh mäi φ− almost. Mét d¹ng tæng qu¸t h¬n (khi φ lµ mét tr¹ng th¸i tïy ý) ®­îc xem xÐt bëi Luczak. 30 Ch­¬ng 3. Sù héi tô cña kú väng ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von neumann 3.1 Kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von Neumann Nh¾c l¹i, trong lý thuyÕt x¸c suÊt cæ ®iÓn, kú väng cã ®iÒu kiÖn cña mét biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch ξ (trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω,F ,P)) ®èi víi mét σ - tr­êng con G ⊂ F ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ lµ mét biÕn ngÉu nhiªn G− ®o ®­îc E(ξ|G) cho bëi:∫ A E(ξ|G)dP = ∫ A ξdP, víi mäi A ∈ G. (3.1) Cho A = L∞(Ω,F ,P) vµ B = L∞(Ω,G,P). Khi ®ã B lµ mét ®¹i sè von Neumann con cña A vµ kú väng cã ®iÒu kiÖn chØ xem xÐt ®èi víi c¸c hµm bÞ chÆn, nh­ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh d­¬ng EG : A → B cã c¸c tÝnh chÊt: EG1 = 1 (Hµm ®ång nhÊt) (3.2) τP(fg) = τP(EG(f)g) víi mäi f ∈ A; g ∈ B, víi τP lµ mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trªn A cho bëi tÝch ph©n: τ (f) = ∫ Ω fdP. C«ng thøc nµy phï hîp víi sù tæng qu¸t hãa lªn ®¹i sè von- Neumann. 3.1.1. §Þnh nghÜa. Cho φ lµ mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trong ®¹i sè von Neumann A vµ B lµ mét ®¹i sè von Neumann con cña A. Mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh: 31 EB : A→ B sao cho: a)EB1 = 1 (3.3) b)φ(yxz) = φ(yEB(x)z), víi mäi y, z ∈ B,x ∈ A, ®­îc gäi lµ mét kú väng ®iÒu kiÖn cña A lªn B ®èi víi φ. 3.1.2. MÖnh ®Ò. Kú väng ®iÒu kiÖn cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1o)EB(yxz) = y(EBx)z, víi mäi x ∈ A; y, z ∈ B, ®Æc biÖt: 1oo)EB lòy ®¼ng trong B 2o)(EBx)∗(EBx) = EB(x∗x), víi x ∈ A, ®Æc biÖt: 2oo)EB d­¬ng 3o)EB lµ chÝnh x¸c 4o)EB lµ chuÈn. Chøng minh. Tr­íc tiªn ta sÏ chøng tá E d­¬ng. ThËt vËy, v× φ lµ chÝnh x¸c vµ chuÈn nªn gi¶ sö r»ng A t¸c ®éng trong kh«ng gian biÓu diÔn cyclic (GNS) Hφ cña nã víi c¸c phÇn tö cyclic t¸ch ξ, trong ®ã φ(x) = (xξ, ξ). Khi ®ã, víi y ∈ B,x ∈ A, ta cã (3.3) : (E(x∗x)yξ, yξ) = (y∗x∗xyξ, ξ) > 0. Tõ {yξ, y ∈ B} lµ tËp trï mËt trong L2(B,φ), suy ra E(x∗x) > 0, víi mäi x ∈ A. Mét c¸ch t­¬ng tù, ta chøng minh 1o, b¾t ®Çu tõ ®¼ng thøc: φ(u∗yxzu) = φ(u∗E(yxz)u) = φ(u∗yE(x)zu), víi u, y, z ∈ B,x ∈ A §iÒu kiÖn 2o dÔ dµng suy ra tõ: E [ (x− Ex)∗(x− Ex)] > 0 (tÝnh d­¬ng cña E ®­îc chøng minh) vµ: E((Ex)∗x) = (Ex)∗Ex, E(x∗(Ex)) = (Ex∗)Ex = (Ex)∗Ex, E((Ex)∗Ex) = (Ex)∗Ex. 3o ®­îc suy ra trùc tiÕp tõ tÝnh chÝnh x¸c cña φ. ThËt vËy, cho x > 0; 32 NÕu Ex = 0 th×: 0 = φ(Ex) = φ(x), suy ra x = 0. TiÕp theo, ta chøng minh E lµ chuÈn. Cho xα lµ tËp bÞ chÆn t¨ng c¸c phÇn tö d­¬ng cña A, tøc lµ: 0 6 xα ↑ sup xα. Khi ®ã: E(xα) ↑ sup α E(xα), vµ v× E d­¬ng nªn suy ra sup α E(xα) 6 E(sup α xα). H¬n n÷a, tõ φ lµ chuÈn nªn ta cã: φ ( sup α E(xα) ) = sup α φ ( E(xα) ) = sup α φ(xα) = φ ( sup α xα ) = φ ( E(sup α xα). Do ®ã: φ ( sup α E(xα) ) = φ ( E(sup α xα) ) . HoÆc: φ [ sup α E(xα)− E(sup α xα) ] = 0. Do φ lµ chÝnh x¸c nªn ta cã: sup α E(xα) = E(sup α xα). Chøng minh ®­îc hoµn thµnh. Chó ý r»ng, tõ kÕt qu¶ cña Tomiyama, mäi phÐp chiÕu chuÈn b»ng 1 cña C∗ - ®¹i sè lªn C∗ - ®¹i sè con cña nã lµ d­¬ng vµ cã c¸c tÝnh chÊt 1o, 2o cña MÖnh ®Ò 3.1.2. 3.1.3. NhËn xÐt Mét ®iÒu rÊt quan träng, ng­îc víi tr­êng hîp cæ ®iÓn lµ, kú väng ®iÒu kiÖn cña ®¹i sè von Neumann A lªn ®¹i sè von Neumann B cña nã cã thÓ kh«ng tån t¹i. Theo kÕt qu¶ cña Takesaki [8], kú väng ®iÒu kiÖn EB tån t¹i nÕu vµ chØ nÕu ®¹i sè B lµ bÊt biÕn ®èi víi nhãm tù ®¼ng cÊu modular σφt liªn kÕt víi φ (®Þnh nghÜa cña nhãm σφt cã thÓ xem trong phô lôc). 33 KÕt qu¶ cña Takesaki lµ v« cïng quan träng, nh­ng ta kh«ng sö dông nã. Trong phÇn tiÕp theo, chóng ta sÏ th¶o luËn vÒ lý thuyÕt martingale héi tô, vµ ®Ó ®¬n gi¶n, ta gi¶ sö víi ®¹i sè ta xÐt, coi nh­ kú väng ®iÒu kiÖn tån t¹i. 3.1.4. VÝ dô. (1). Cho A = L∞(Ω,F ,P) (trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω,F ,P)). Khi ®ã, c¸c ®¹i sè von Neumann con B cña A còng chÝnh lµ ®¹i sè con cã d¹ng L∞(Ω,G,P) víi G lµ σ− tr­êng con cña F. HÇu nh­ hiÓn nhiªn r»ng, kú väng ®iÒu kiÖn EB (theo nghÜa cña §Þnh nghÜa 3.1.1) lu«n tån t¹i vµ chÝnh lµ kú väng ®iÒu kiÖn cæ ®iÓn E(.‖G) víi mét σ− tr­êng con thÝch hîp. (2). Víi mçi ®¹i sè von Neumann A cã mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ, ®Æt E(x) = φ(x)1. TÊt nhiªn, E lµ kú väng ®iÒu kiÖn lªn ®¹i sè cña c¸c béi sè (v« h­íng) cña phÇn tö ®¬n vÞ. (3). Cho H lµ kh«ng gian Hilbert h÷u h¹n chiÒu cïng víi vÕt chuÈn hãa τ trªn B(H) (®¹i sè cña tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trong H). Cho {pk} lµ mét d·y c¸c phÐp chiÕu trùc giao t­¬ng hç trong H, víi∑N k=1 pk = 1. §Æt: Ex = N∑ k=1 pkxpk Chóng ta sÏ chØ ra r»ng, E lµ kú väng ®iÒu kiÖn cña B(H) lªn {pk}′ (ho¸n tËp) ®èi víi τ . ThËt v©y, hiÓn nhiªn E1 = 1. Tõ tÝnh trùc giao cña pk, ta cã pk(Ex) = (Ex)pk nªn E lµ tõ B(H) lªn {pk}′. H¬n n÷a, ta cã: τ (Ex) = τ ( ∑ k pkxpk) = ∑ k τ (xpk) = τ ( ∑ k xpk) = τ (x), víi mäi x ∈ B(H) 34 Do ®ã, víi y, z ∈ {pk}′ vµ x ∈ B(H) th×: τ ( y(Ex)z ) = τ ( y( ∑ k pkxpk)z ) = τ ( ∑ k pkyxzpk) = τ ( E(yxz) ) = τ (yxz). KÕt thóc chøng minh. Trong tr­êng hîp pk = ∧ ek (phÐp chiÕu lªn kh«ng gian con x¸c ®Þnh bëi ek), k = 1, ..., n = dim(H) vµ B(H) nh­ lµ ®¹i sè cña c¸c ma trËn phøc cÊp n víi c¬ së {ek}. Khi ®ã, E lµ ¸nh x¹ thay thÕ ma trËn bëi phÇn ®­êng chÐo cña nã, tøc lµ: E : (aij) → (bij), víi bij = aijδij (δij lµ ký hiÖu Kronecker). (4). Cho φ lµ mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trªn A. Ký hiÖu Hφ = L2(A,φ) lµ ®Çy ®ñ cña A víi chuÈn x→ φ(x∗x) 12 . Ta cã thÓ ®ång nhÊt A nh­ lµ tËp con cña Hφ vµ A trï mËt trong Hφ. Cho E lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña A lªn ®¹i sè von Neumann con B cña nã. Khi ®ã, cã thÓ th¸c triÓn E thµnh phÐp chiÕu trùc giao ∼ E trong Hφ. ChÝnh x¸c h¬n, ký hiÖu L2(B,φ) lµ ®Çy ®ñ cña B víi chuÈn x → φ(x∗x) 12 , ta cã L2(B,φ) lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh ®ãng cña L2(A,φ) vµ ∼ E lµ mét phÐp chiÕu trùc giao cña L2(A,φ) lªn L2(B,φ). ThËt vËy, tõ MÖnh ®Ò 3.1.2 φ ( (Ex)∗(Ex) ) 6 φ(x∗x) nªn ta cã thÓ th¸c triÓn E nh­ lµ phÐp co ∼ E trong L2(A,φ). §Ó chøng minh ∼ E lµ mét phÐp chiÕu trùc giao, ta xÐt x ∈ A, khi ®ã, víi y ∈ B, ta cã: φ ( y∗(x− Ex)) = φ(y∗x)− φ(y∗Ex) = 0. Tõ ®ã, víi x ∈ L2(A,φ) ta cã (x − ∼ Ex) ⊥ L2(B,φ), nªn víi x ∈ L2(A,φ), c«ng thøc x = (x− ∼ Ex) + ∼ Ex lµ mét khai triÓn trùc giao cña x ®èi víi L2(B,φ). (5). Cho mét ®¹i sè von Neumann A víi mét vÕt chuÈn chÝnh x¸c τ vµ B lµ mét ®¹i sè von Neumann con cña A. Khi ®ã, tån t¹i mét kú väng cã ®iÒu kiÖn EB : A→ B mµ cã thÓ më réng thµnh mét ¸nh x¹ chÝnh x¸c tuyÕn tÝnh d­¬ng E tõ L1(A, τ ) lªn L1(B, τ ) cã chuÈn 1 sao cho: E ( (Ex)y ) = E ( x(Ey) ) , (∗) 35 víi x ∈ L1(A, τ ) vµ y ∈ A hoÆc x ∈ A vµ y ∈ L1(A, τ ). ThËt vËy, víi mäi x ∈ A, ®Æt: φx(z) = τ (xz), z ∈ B. (∗∗) Khi ®ã φx lµ mét hµm liªn tôc σ - yÕu trªn B, nªn φx ∈ B∗. Tõ ®ã, cã x ∈ L1(B, τ ) sao cho: φx(z) = τ (xz), z ∈ B. Nh­ng tõ (∗∗) ta cã: |φx(z)| 6 ‖x‖τ (|z|), z ∈ B, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ: z → τ (xz) th¸c triÓn thµnh phiÕm hµm trªn L1(B, τ ) vµ ®iÒu ®ã cho ta x ∈ B. Râ rµng x lµ x¸c ®inh duy nhÊt bëi x. VËy nªn, ¸nh x¹: E : x→ x lµ ®Þnh nghÜa tèt vµ tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (i) : E1 = 1 (ii) : τ (xz) = τ ((Ex)z), víi x ∈ A vµ z ∈ B, nghÜa lµ E lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña A lªn B ®èi víi τ . Tõ τ (|Ex|) 6 τ (|x|) vµ A,B t­¬ng øng trï mËt trong L1(A, τ ) vµ L1(B, τ ) nªn ta cã thÓ th¸c triÓn ¸nh x¹: x→ Ex thµnh mét ¸nh x¹ tõ L1(A, τ ) lªn L1(B, τ ). §iÒu kiÖn (∗) ®­îc suy ra dÔ dµng b»ng c¸nh chuyÓn qua giíi h¹n tõ 1o trong MÖnh ®Ò 3.1.2. (6). Mét phÐp co tuyÕn tÝnh d­¬ng α cña ®¹i sè A lªn chÝnh nã ®­îc gäi lµ mét nh©n (®èi víi tr¹ng th¸i φ) nÕu: α1 = 1, φ(αx) = φ(x) vµ: φ(|αx|2) 6 φ(|x|2). 36 V× vËy, kú väng cã ®iÒu kiÖn lµ mét nh©n ®Æc biÖt (tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn kh¸c ®iÒu kiÖn 1o cña MÖnh ®Ò 3.1.2). (7). Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ vµ (An) lµ mét d·y t¨ng cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi kú väng cã ®iÒu kiÖn En = EAn (®èi víi φ). Ký hiÖu A∞ = W ∗{An;n > 1} lµ ®¹i sè von Neumann sinh bëi (An). Khi ®ã, kú väng cã ®iÒu kiÖn E∞ = EA∞ tån t¹i. Chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng A t¸c ®éng trong kh«ng gian biÓu diÔn cyclic Hφ víi vÐct¬ cyclic vµ t¸ch ξ. §Æc biÖt, φ(x) = (xξ, ξ), víi x ∈ A. Ký hiÖu ∼ En lµ th¸c triÓn chÝnh t¾c cña En thµnh phÐp chiÕu trùc giao trªn H, tøc lµ: ∼ En(xξ) = (Enx)ξ, víi x ∈ A. D·y ( ∼ En) cña phÐp chiÕu lµ t¨ng nªn cã mét phÐp chiÕu trùc giao trong H, ch¼ng h¹n, ký hiÖu lµ ∼ E∞ sao cho: ‖ ∼ Enh− ∼ E∞‖H → 0, víi mäi h ∈ H. Cho y ∈ A′. Khi ®ã, ta cã: En(x)(yξ) = y(Enx)ξ = y ∼ En(xξ) → y ∼ E∞(xξ) Tõ d·y (Enx) bÞ chÆn ®Òu vµ tËp {yξ, y ∈ A′} lµ trï mËt trong H nªn Enx héi tô m¹nh ®Õn mét to¸n tö, ký hiÖu lµ E∞x. Nh­ng Enx ∈ An ⊂ A∞. V× A∞ lµ ®ãng trong t«p« yÕu (m¹nh) nªn ta nhËn ®­îc E∞x ∈ A∞. Do ®ã: ∼ E∞(xξ) = (E∞x)ξ. TiÕp theo, ta chØ ra r»ng ¸nh x¹: E∞ : A → A∞ lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn mµ ta ®ang t×m. §Ó lµm ®­îc ®iÒu nµy, ta viÕt ph­¬ng tr×nh cho En(n = 1, 2, ...) : En1 = 1, 37 φ(yxz) = φ(yEn(x)z), víi mäi y, z ∈ An;x ∈ A. ChuyÓn qua giíi h¹n n→∞ ta ®­îc: E∞1 = 1, φ(yxz) = φ(yE∞(x)z), víi mäi y, z ∈ ∞∪ n=1 An;x ∈ A. Cho y, z ∈ A∞. T×m (ys) vµ (zs) trong ∪An sao cho ys → y vµ zs → z m¹nh. Ta cã: φ(yxz) = lim s φ(yszxs) = lim s φ(ysE∞(x)zs) = φ(yE∞(x)z). Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 3.1.5. Bæ ®Ò. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann cïng víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ vµ {An} lµ d·y kh«ng t¨ng cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A cïng víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. §Æt En = EAn. Cho ap lµ d·y c¸c sè d­¬ng sao cho: 0 = a0 < a1 < ... < an < ... < 1 vµ ap → 1. Khi ®ã to¸n tö: T = ∞∑ p=1 (ap−ap−1)Ep (3.4) lµ mét nh©n cña A. Tuy nhiªn, víi mçi ε > 0, cã thÓ chän d·y {ap} vµ d·y {np} c¸c sè nguyªn d­¬ng sao cho: ∞∑ p=1 ‖ 1 np np−1∑ k=0 −Ep‖ 6 ε (3.5) Chøng minh. V× tr¹ng th¸i φ lµ chuÈn vµ chÝnh x¸c, biÓu diÔn cyclic pi cña A ®èi víi φ lµ chuÈn chÝnh x¸c vµ pi(A) lµ mét ®¹i sè von Neumann. V× vËy, kh«ng mÊt tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ thiÕt A t¸c ®éng vµo kh«ng gian biÓu diÔn GNS H = Hφ cña nã cïng víi vect¬ cyclic t¸ch ξφ. Cô thÓ, ta cã: φ(x) = (xξφ, ξφ) víi x ∈ A. 38 Cho ∼ En lµ phÐp co cña H t­¬ng øng víi kú väng cã ®iÒu kiÖn E, (tøc lµ ∼ En(xξφ) = (En)ξφ). HiÓn nhiªn T lµ phÐp co tuyÕn tÝnh d­¬ng cña A víi: T1 = 1 vµ φ(Tx) = φ(x), ∀x ∈ A. §Æt: ∼ T = ∞∑ p=1 (ap − ap−1) ∼ Ep. Khi ®ã, ∼ T lµ phÐp co tuyÕn tÝnh cña Hp vµ: (Tx)ξφ = ∼ T (xξφ) víi x ∈ A. Do ®ã: φ ( (Tx)∗Tx ) = (Txξ, Txξ) = ‖Txξ‖2 6 ‖xξ‖2 = φ(x∗x), nªn T lµ mét nh©n. Râ rµng: EnEm = Emax(n,m). §iÒu nµy suy ra: T k = ∞∑ p=1 (akp−akp−1)Ep, k = 1, 2, ... (3.6) ThËt vËy, (3.6) ®óng víi k = 1. Gi¶ sö r»ng (3.6) ®óng víi k, khi ®ã: T k+1 = ∞∑ p=1 bpEp, víi: bp = (a k p − akp−1)(ap − ap−1) + (akp − akk−1)ap−1 + akp−1(ap − ap−1) = (ak+1p − ak+1p−1), suy ra (3.6) ®­îc chøng minh. MÆt kh¸c, ta cã: 1 n n−1∑ k=0 T k = 1 n I+ ∞∑ p=1 (b(n)p −b(n)p−1)Ep (3.7) víi: b(n)p = 1− anp n(1− ap) , p > 0 (3.8) Theo c«ng thøc Taylor víi hµm x→ (1 + x)n, x = a− 1, ta ®­îc: an 6 1 + n(a− 1) + n(n − 1) 2 (a− 1)2, víi mäi 0 < a < 1; n = 1, 2, ... 39 Do ®ã: 1−n− 1 2 (1−a) 6 1 − a n n(1 − a) 6 1 n(1− a) (3.9) Tõ (3.7); (3.8); (3.9) cho ta ­íc l­îng: ‖1 n n−1∑ k=0 T k − Ep‖ 6 1 n ∞∑ q=1 q 6=p (b(n)q − b(n)q−1) + 1 − b(n)p + b(n)p−1 = 2(1− b(n)p + b(n)p−1) (Tõ b(n)0 = 1n vµ bnp → 1 khi p→∞). V× vËy, ta cã (3.9) : ‖1 n n−1∑ k=0 T k − Ep‖ 6 2 (n− 1 2 (1− ap) + 1 n(1 − ap−1) ) . Cho n = np th×: np − 1 6 [(1− ap)(1 − ap−1)]− 12 6 np, vµ ta ®­îc: ‖ 1 np np∑ k=0 T k − Ep‖ 6 3( 1− ap 1 − ap−1 ) 1 2 §Ó kÕt thóc chøng minh, chØ cÇn cè ®Þnh (ap) sao cho: ∞∑ p=1 ( 1− ap 1 − ap−1 ) 1 2 < ε 3 , ch¼ng h¹n, ®Æt: ap = 1 − (1 + 3ε )−2p 2 . 3.2 Sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale Chóng ta b¾t ®Çu b»ng mÖnh ®Ò sau: 3.2.1. MÖnh ®Ò. (xem [2]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. An lµ d·y t¨ng ( t­¬ng øng gi¶m ) cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi kú väng cã ®iÒu kiÖn. Víi mäi x ∈ A, d·y EAnx héi tô m¹nh ®Õn EA∞x khi n → ∞, trong ®ã: A∞ = W ∗{An;n > 1}, (t­¬ng øng: A∞ = ∞⋂ n=1 An) 40 Chøng minh. Cho {H, pi, ξ} lµ mét biÓu diÔn cyclic cña A ®èi víi φ. ∼ En lµ mét phÐp chiÕu trùc giao lªn H t­¬ng øng víi EAn, nghÜa lµ: ∼ Enpi(x)ξ = pi(EAnx)ξ, víi x ∈ A. ( ∼ En) lµ mét d·y t¨ng (t­¬ng øng gi¶m) cña phÐp chiÕu trùc giao héi tô m¹nh ®Õn phÐp chiÕu ∼ E = sup n ∼ En (t­¬ng øng inf n ∼ En). Do ®ã, víi mäi x ∈ A vµ y ∈ pi(A)′, ta cã: pi(EAnx)yξ = ypi(EAnx)ξ = y ∼ Enpi(x)ξ→ y ∼ Epi(x)ξ trong chuÈn cña H. Tõ {yξ, y ∈ pi(A)′} trï mËt trong H (do tÝnh chÊt cña ξ) vµ d·y pi(EAnx) bÞ chÆn ®Òu nªn pi(EAnx) héi tô m¹nh ®Õn ∼ Epi(x). V× pi(A) lµ ®ãng m¹nh nªn giíi h¹n nµy thuéc pi(A), tøc lµ cã mét phÇn tö x¸c ®Þnh duy nhÊt cña A lµ E0x tháa m·n: pi(EAnx) → pi(E0x). Nh­ng ∼ E t­¬ng øng víi EA∞. Do φ lµ tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c nªn ®iÒu nµy cho ta sù héi tô m¹nh cña EAnx ®Õn EA∞x. MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. 3.2.2. §Þnh lý. (xem [2]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. (An) lµ mét d·y gi¶m c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. Khi ®ã, víi mçi x ∈ A, d·y Enx = EAnx héi tô hÇu ®Òu ®Õn EA∞x, trong ®ã: A∞ = ∞⋂ n=1 An. Chøng minh. Cho x ∈ A vµ ε > 0. LÊy (ap) vµ (np) nh­ trong Bæ ®Ò 3.1.5. Tõ §Þnh lý 2.2.3 - [7], tån t¹i xT ∈ A sao cho: 1 n n−1∑ k=0 T kx→ xT hÇu ®Òu. Do ®ã, tån t¹i mét phÐp chiÕu q ∈ A sao cho φ(q⊥) < ε vµ: ‖( 1 n n−1∑ k=1 T kx− xT )q‖ → 0, n→∞. 41 V× vËy, ta cã: ‖(Epx− xT)q‖ 6 ‖Epx− 1 np n−1∑ k=0 T kx‖+ ‖ 1 np ( n−1∑ k=0 T kx− xT ) q‖ N(ε). Tõ §Þnh lý 1.2.1 - [7] - (i → ii), ta cã ®­îc sù héi tô hÇu ®Òu cña Enx ®Õn xT . Tõ MÖnh ®Ò 3.2.1, xT = EA∞x. §Þnh lý ®­îc chøng minh. 3.2.3. Bæ ®Ò. (xem [2]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ Aq lµ c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn t­¬ng øng EA1 ,EA2 , ...,EAq. Khi ®ã, víi mäi x ∈ A+, vµ víi mäi ε > 0, ta cã khai triÓn: EApx = ypq + zpq, 1 6 p 6 q, víi: ypq ∈ A,xpq ∈ A+; ‖ypq‖ 6 ε, zpq < cq, p 6 q; cq ∈ A+, ‖cq‖ 6 4‖x‖, vµ: φ(cq) 6 8‖x‖1/2φ(x)1/2. Chøng minh. Cho ε > 0. §Æt: A′p = { Aq−p+1 nÕu p 6 q, A1 nÕu p > q. Víi d·y (A′p) vµ cho tr­íc ε > 0, ta cã thÓ chän (ap) vµ (np) sao cho víi Tq ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ trong Bæ ®Ò 3.1.5, ta cã: ‖EAp − 1 np np−1∑ k=0 T kq x‖ 6 ε Ta cã thÓ viÕt: EApx = (EApx− 1 np np−1∑ k=0 T kq x) + 1 np np−1∑ k=0 T kq x. 42 §Æt: ypq vµ zpq lµ ®¹i l­îng thø nhÊt vµ thø hai trong khai triÓn trªn cña EApx. Khi ®ã: ‖ypq‖ 6 ε. Tån t¹i cq víi tÝnh chÊt nh­ trªn suy ra tõ §Þnh lý ergodic cùc ®¹i cña Lance (xem 2.2.15 - [5]). Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 3.2.4. Bæ ®Ò Maximal cña Dang Ngoc ®èi víi kú väng cã ®iÒu kiÖn. Cho (An) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. Víi mçi x ∈ A+, tån t¹i c ∈ A+, sao cho: ‖c‖ 6 4‖x‖, φ(c) 6 8‖x‖1/2φ(x)1/2 vµ EAn 6 c, n = 1, 2, ... Chøng minh. Víi mäi sè nguyªn q > 1, xÐt khai triÓn trong Bæ ®Ò 3.2.3: EApx = ypq + zpq, víi εq = 2−q; 1 6 p 6 q vµ víi cq liªn kÕt (nh­ trong Bæ ®Ò 3.2.3). V× (cq) bÞ chÆn ®Òu nªn tån t¹i mét d·y con héi tô σ−yÕu cña (cq) lµ (cqi). Cho (cqi) → c (σ - yÕu). Khi ®ã, ta cã: ‖c‖ 6 4, φ(c) 6 8‖x‖1/2φ(x)1/2, ®ång thêi: ‖ypqi‖ 6 2−qi → 0 nªn: ‖EApx→ zp,qi‖ → 0, i→∞, víi mäi p = 1, 2, ... V×: zp,qi 6 cqi, víi p 6 qi(i = 1, 2, ...), ta suy ra: EApx 6 c. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 3.2.5. Bæ ®Ò. (xem [2]) Cho (An) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. §Æt K0 = {x ∈ A : lim n ‖EAnx − EA∞x‖ = 0}. Víi mäi phÇn tö d­¬ng x ∈ A, tån t¹i mét d·y (xp) trong K0 sao cho héi tô ®Õn x trong t«p« m¹nh ∗. 43 Chøng minh. Cho x ∈ A+. Râ rµng, tõ (An) lµ t¨ng, ta cã: ⋃ n An ⊂ K0. Tõ MÖnh ®Ò 3.2.1 suy ra mäi phÇn tö y ∈ A+∞ lµ mét giíi h¹n m¹nh (σ - m¹nh) cña d·y bÞ chÆn (yp) cña c¸c phÇn tö d­¬ng cña A∞ ⋂ K0 (do víi y ∈ A∞, y = E∞y = lim n Eny). §Æt y = EA∞x. Cho 0 6 yp ∈ A∞ ⋂ K0 vµ yp → y m¹nh. TiÕp theo, ta ®Æt: xnp = (yp − EA∞x). Khi ®ã, ta cã: EAnxp = EAnyp, víi mäi p; 1 6 n 6∞. V× vËy: ‖EAnxp − EA∞xp‖ = ‖EAnyp − EA∞yp‖ → 0, n→∞ §iÒu ®ã cã nghÜa lµ: xp ∈ K0. H¬n n÷a: yp → y = EA∞x trong t«p« m¹nh nªn xp → x (m¹nh ∗). Ta kÕt thóc chøng minh víi chó ý r»ng: ‖xp‖ 6 2‖x‖+ sup ‖yp‖. 3.2.6. Bæ ®Ò. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann t¸c ®éng trong kh«ng gian Hilbert H, Víi x, y ∈ A, 0 6 x 6 y 6 1. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt mét to¸n tö z ∈ A sao cho: x1/2 = zy1/2 vµ ‖z‖ 6 1. Chøng minh. Víi h ∈ H ta cã: ‖x1/2h‖2 = (xh, h) = (yh, h) = ‖y1/2h‖2 §Æc biÖt: y1/2h = 0 suy ra x1/2h = 0. ¸nh x¹ b : y1/2h→ x1/2h ®Þnh nghÜa trªn y1/2(H) lµ tuyÕn tÝnh vµ liªn tôc trªn y1/2(H). H¬n n÷a, ta cã: y1/2(H) = y(H). Cho c : y1/2(H) → H lµ mét më réng duy nhÊt cña b. Khi ®ã, 44 x1/2 → cy1/2 vµ tån t¹i duy nhÊt z nh­ trong §Þnh lý. TiÕp theo, ta chØ ra r»ng z ∈ A. Nh­ng víi to¸n tö Unita u ∈ A′ (ho¸n tËp cña A), ta cã: uzu∗y1/2 = uzy1/2u∗ = ux1/2u∗ = x1/2, suy ra tõ sù duy nhÊt cña z. Ta cã:zu = uz víi u ∈ A′. Tõ §Þnh lý song ho¸n tËp (xem phô lôc, A4 - [7]) ta suy ra z ∈ A. 3.2.7. Bæ ®Ò. (xem [5]) Cho x, y ∈ A, 0 6 x 6 y 6 1. Khi ®ã, víi mäi phÐp chiÕu p, ta cã: ‖xp‖ 6 ‖yp‖1/2 Chøng minh. Tõ Bæ ®Ò 3.2.6, tån t¹i mét to¸n tö z ∈ A víi ‖z‖ 6 1 sao cho: x1/2 = zy1/2. Do dã: ‖xp‖ = ‖x1/2zy1/2p‖ 6 ‖y1/2p‖ = ‖pyp‖1/2 6 ‖yp‖1/2 Cho x ∈ A. B»ng c¸ch biÓu diÔn x d­íi d¹ng tæng cña phÇn tö liªn hîp vµ phÇn liªn hîp lÖch sau ®ã viÕt mét trong sè chóng d­íi d¹ng hiÖu cña phÇn ©m vµ phÇn d­¬ng cña nã, ta ®¹t ®­îc: x = 4∑ k=1 ik−1x(k), (3.10) víi x(k) > 0, ‖x(k)‖ 6 ‖x‖. §Æt x++ = x(1) + x(2) + x(3) + x(4), ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 3.2.8. Bæ ®Ò. (xem [5]) Cho (xn) lµ mét d·y bÞ chÆn trong A vµ héi tô ®Õn 0 trong t«p« m¹nh ∗. Khi ®ã: x++ → 0 m¹nh. Chøng minh. NÕu xk = yk + izk, víi yk vµ zk tù liªn hîp, th× yk → 0 vµ zk → 0 (m¹nh ∗), nªn ta cã thÓ gi¶ sö r»ng xk còng tù liªn hîp. NÕu xk → 0 m¹nh th× 45 |xk| → 0 (v× ‖xkh‖ = ‖|xk|h‖). Do ®ã: (xk)(1) = 12(xk + |xk|) → 0 m¹nh. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. B©y giê, ta sÏ xem xÐt mét ®Þnh lý mµ cã thÓ cho phÐp ta chøng minh ®Þnh lý cña Dang Ngoc. 3.2.9. §Þnh lý. (xem [2]) Cho (An) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. Víi mçi x ∈ A, d·y EAnx héi tô hÇu ®Òu ®Õn EA∞x, n→∞, víi A∞ = W ∗{An, n > 1} (®¹i sè von Neumann sinh bëi An) Chøng minh. §Æt E = EAn, víi 1 6 n 6∞. Tõ §Þnh lý 1.2.1 - [7] vµ tÝnh chÊt céng tÝnh hiÓn nhiªn cña giíi h¹n tùa ®Òu, ta gi¶ sö r»ng x ∈ A+ (nÕu cÇn th× dïng khai triÓn 3.10 cña x). Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng ‖x‖ 6 1. Tõ Bæ ®Ò 3.2.5, cã mét d·y (xp) ∈ K0 sao cho xp → x trong t«p« m¹nh ∗, víi ‖xp‖ 6 3. Ta cã thÓ viÕt: Enx−E∞x = (Enxp−E∞xp)+En(x−xp)+E∞(xp−x). (3.11) Tõ ®ã: x− xp = 4∑ k=1 ik−1(x− xp)(k) (3.12) lµ khai triÓn 3.10 cña x − xp. Tõ Bæ ®Ò 3.2.4, ta t×m ®­îc cpk ∈ A+, (k = 1, 2, 3, 4) sao cho: En((x−xp)(k)) 6 cpk, n > 1, k = 1, 4 (3.13) vµ: ‖cpk‖ 6 8, φ(cpk) 6 16φ ( (x−xp)++ )1/2 (3.14) Ta cã: E∞(x− xp) = 4∑ k=1 ik−1En((x− xp)(k)) (3.15) 46 TiÕp theo, ta ®Æt: cp = 4∑ k=1 [ckp]+En((x−xp)(k)) (3.16) Cho ε > 0, tõ Bæ ®Ò 3.2.8 vµ 3.14, cp → 0 m¹nh. ¸p dông §Þnh lý 1.3.2 - [7] ®èi víi d·y (cp), ta t×m ®­îc mét d·y con (ps) vµ phÐp chiÕu q sao cho φ(q⊥) < ε vµ lim s ‖cpsq‖ = 0. Tõ 3.13 → 3.16 vµ Bæ ®Ò 3.2.7, ta cã: lim s→∞ sup n ‖En((x−xps)(k))q‖ = 0, 1 6 k 6 4, (3.17) vµ: lim s→∞ ‖E∞((xps−x)(k))q‖ = 0, 1 6 k 6 4, (3.18) kÕt hîp víi 3.11, ta ®­îc: ‖(Enx−E∞x)q‖ 6 ‖Enxps−E∞xps‖+ 4∑ k=1 ‖En(x−xps)q‖+ 4∑ k=1 ‖E∞(x−xps)q‖. (3.19) Hai sè h¹ng cuèi tiÕn ®Õn 0 khi s → ∞. Tõ (xp) ⊂ K0, sè h¹ng ®Çu tiªn tiÕn ®Õn 0 khi cè ®Þnh s vµ n → ∞. Do ®ã, víi ε > 0, ta cã thÓ t×m ®­îc q, φ(q⊥) < ε sao cho: ‖(Enx− E∞x)q‖ < ε, víi n ®ñ lín. Tõ §Þnh lý 1.2.1 - [7] - (i) → (ii), ta ®¹t ®­îc sù héi tô hÇu ®Òu cña Enx ®Õn E∞x. §Þnh lý ®­îc chøng minh. Cho (An) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. (®èi víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trªn A). Ta c«ng nhËn ®Þnh nghÜa sau: 3.2.10. §Þnh nghÜa. D·y (xn) c¸c phÇn tö cña A lµ mét martingale thÝch nghi víi d·y (An) nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y ®ång thêi tháa m·n: i) xn ∈ An, n = 1, 2, ... ii) EAnxn+1 = xn, n = 1, 2, ... iii) sup n ‖xn‖ <∞ 47 3.2.11. §Þnh lý Dang Ngoc (xem [2]). Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ vµ (xn) lµ mét martingale t­¬ng thÝch víi d·y t¨ng (An) c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn (®èi víi φ). Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt x∞ ∈ A∞ = W ∗{An, n > 1} sao cho (xn) héi tô m¹nh vµ hÇu ®Òu ®Õn x∞. H¬n n÷a, xn = EAnx∞ víi mäi 1 6 n 6∞. Chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng A t¸c ®éng trong GNS - kh«ng gian biÓu diÔn H (liªn kÕt víi φ). §Æc biÖt, ta cã: φ(x) = (xξ, ξ), víi x ∈ A, ξ lµ vÐct¬ cyclic vµ t¸ch trong H. Ký hiÖu ∼ En lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c trong H liªn kÕt víi EAn, tøc lµ: ∼ En(xξ) = (EAnx)ξ, víi x ∈ A. Râ rµng, ta cã: xnξ = x1ξ + n∑ k=2 (xk − xk−1)ξ (3.20) V× c¸c vect¬ x1ξ, (x2 − x1)ξ, ..., (xn+1 − xn)ξ, ... nªn ta cã: ‖xnξ‖2 = ‖x1ξ‖2+ n∑ k=2 ‖(xk−xk−1)ξ‖2 6 sup n ‖xn‖2, n = 1, 2, ... (3.21) Nh­ vËy, x1ξ + (x2 − x1)ξ + ... héi tô trong H. Ta ký hiÖu giíi h¹n nµy lµ g. Ta cã: ∼ Eng = xnξ, n = 1, 2, ... Cho y ∈ A. Khi ®ã: ‖xn(yξ)− yg‖ = ‖y(xnξ − g)‖ 6 ‖y‖.‖xnξ − g‖ → 0, n→∞. Do A′ξ trï mËt trong H vµ d·y (xn) bÞ chÆn ®Òu nªn (xn) héi tô m¹nh ®Õn x ∈ A∞ vµ tháa m·n xξ = g. H¬n n÷a, ta cã: xnξ = ∼ Eng = ∼ En(xξ) = (EAnx)ξ, n = 1, 2, ... Tõ tÝnh chÊt t¸ch cña ξ, ta cã: xn = EAnx, n = 1, 2, ... §Þnh lý ®­îc chøng minh. 3.2.12. NhËn xÐt. M.S. Goldstein (xem [4]) ®· chøng minh §Þnh lý héi tô martingale 48 cho tr¹ng th¸i trong tr­êng hîp tæng qu¸t h¬n, ®éc lËp víi Dang Ngoc, theo mét c¸ch kh¸c. Ph­¬ng ph¸p cña «ng t­¬ng tù nh­ mét ph­¬ng ph¸p mµ «ng ®· dïng ­íc l­îng trung b×nh ergodic lµ ph­¬ng ph¸p ho¸n tËp. Ta sÏ tiÕp cËn ph­¬ng ph¸p cña Goldstein b»ng c¸ch gi¶ sö r»ng ®¹i sè A (víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ) t¸c ®éng trong kh«ng gian biÓu diÔn Hφ víi vÐct¬ cyclic vµ t¸ch ξ. Ta b¾t ®Çu víi Bæ ®Ò quan träng sau cña Goldstein. 3.2.13. Bæ ®Ò. (xem [4]) Cho A1, A2, ..., AN lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn EAn = En (®èi víi φ). Ký hiÖu E′ : A′ → A′ lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu víi En theo nghÜa Goldstein, tøc lµ theo tÝnh chÊt 2.2.6 - [7]. Cho x1, x2, ..., xm ∈ A, xi > 0, (i = 1, 2, ...,m) vµ ε1, ε2, ..., εm lµ c¸c sè d­¬ng sao cho: m∑ i=1 ε−1i φ(xi) < 1 (3.22) Khi ®ã, tån t¹i c¸c to¸n tö y1, y2, ..., ym ∈ A′ tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i) yi > 0, ∑m i=1 yi 6 1 ii) E′Nyi = yi, víi i = 1, 2, ...,m iii) (yiξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiξ, ξ), i = 1, 2, ...,m iv) NÕu y ∈ A′, 0 6 y 6 1 −∑mi=1 yi, víi i = 1, 2, ...,m, 1 6 n 6 N. Chøng minh. Ta chó ý r»ng: E′nE′m = E′n∧m = min(n,m) (3.23) ThËt vËy, víi x ∈ A, y ∈ A′, ta cã: ( E′nE′m(y)ξ, xξ ) = ( x∗E′nE′m(y)ξ, ξ ) = = ( En∧m(x∗)yξ, ξ ) = ( x∗(E′n∧m(y)ξ, ξ ) = ( E′n∧m(y)ξ, xξ ) V× x tïy ý vµ (Aξ) trï mËt trong H, nªn E′n∧m(y)ξ = E′nE′m(y)ξ. Tõ tÝnh chÊt t¸ch cña ξ, suy ra (3.23). Ta sÏ chøng minh Bæ ®Ò b»ng ph­¬ng 49 ph¸p quy n¹p ®èi víi N. Gi¶ sö r»ng A1 ∈ CI. Khi ®ã, ®Æt (víi N = 1) y1 = y2 = ... = ym = 0 vµ (yi) tháa m·n tÊt c¶ c¸c ®iÒu kiÖn tõ (i) → (iv). TiÕp theo, gi¶ sö r»ng, víi c¸c ®¹i sè A1, ..., AN−1, ta t×m ®­îc c¸c to¸n tö z1, z2, ..., zm tháa m·n ®iÒu kiÖn (i) → (iv) (víi zi = yi vµ N − 1 thay cho N). Ta xÐt ®¹i sè B = ∏m i=1A ′ vµ tËp: L = {(u1, u2, ..., um) ∈ B,ui > 0,E′Nui = ui, 1 6 i 6 m; m∑ i=1 ui 6 1− ∑ i = 1mzi} (3.24) L lµ compact yÕu vµ hµm: g(u1, u2, ..., um) = ∑ (xiuiξ, ξ)− εi(ui, ξ) (3.25) liªn tôc yÕu trong L. V× vËy, tån t¹i mét ®iÓm u = (u1, ..., um) ∈ L sao cho g(u) = max g. §Æt yi = zi + ui, (1 6 i 6 m). Râ rµng, c¸c to¸n tö yi tháa m·n ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii). Cho y ∈ A′, víi 0 6 y 6 1 −∑mi=1 yi, E′N (y) = y. §Æt ∧ y = E′N−1(y). Khi ®ã, ta cã: ∧ y ∈ A′ vµ 0 6 ∧y 6 1− m∑ i=1 E′N−1(yi) 6 1− m∑ i=1 zi. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ta ®­îc: (En(xi) ∧ yξ, ξ) 6 εi( ∧ yξ, ξ) víi 1 6 n 6 N−1, 1 6 i 6 m (3.26) Tõ MÖnh ®Ò 2.2.6 - [7] vµ tÝnh ®¬n ®iÖu cña d·y (E), ta ®­îc: (En(xi) ∧ yξ, ξ) = (En(xi)E′N−1(y)ξ, ξ) = = (EN−1En(xi)yξ, ξ) = (En(xi)yξ, ξ), 1 6 n 6 N − 1 (3.27) H¬n n÷a, tõ MÖnh ®Ò 2.2.6 - [7], cã: ( ∧ yξ, ξ) = (E′N−1(xi) ∧ yξ, ξ) = (yξ, ξ) (3.28) Nªn tõ (3.26) , (3.27) , (3.28), ta ®­îc: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) víi n = 1, 2, ..., N − 1; i = 1, 2, ...,m (3.29) 50 Chó ý r»ng, tõ (3.24), ta cã: (u1, ..., ui, ui + y, ui+1, ..., um) ∈ L víi i = 1, 2, ...,m §Æt u = (u1, ..., um), ta cã: g(u1, ..., ui, ui + y, ui+1, ..., um) 6 g(u) Tõ (3.25) ta cã: (xiyξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) (3.30) TiÕp tôc, tõ MÖnh ®Ò 2.2.6 - [7], ta cã: (EN (xi)yξ, ξ) = (xiE′N (y)ξ, ξ) = (xiyξ, ξ) (3.31) nªn tõ (3.30) ta ®­îc: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ). Do ®ã, ta cã (iv) (víi 1 6 i 6 m vµ 1 6 n 6 N − 1). TiÕp theo, ta chøng minh (iii). §Ó lµm ®­îc ®iÒu nµy, ta thÊy r»ng, râ rµng: g(u1, u2, ..., ui−1, 0, ui+1, ..., um) 6 g(u) Suy ra: (uiξ, ξ) 6 ε−1i (xiuiξ, ξ). Nh­ng tõ gi¶ thiÕt quy n¹p: (ziξ, ξ) 6 ε−1i (xiziξ, ξ) víi 1 6 i 6 m. V× vËy, ta nhËn ®­îc: (yiξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiξ, ξ). Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 51 3.2.14. §Þnh lý. (xem [4]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann vµ (An) lµ mét d·y t¨ng cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi kú väng cã ®iÒu kiÖn En = EAn. Cho (xn) lµ d·y c¸c to¸n tö d­¬ng tõ A tháa m·n: ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn) < 1 2 víi εn lµ c¸c sè d­¬ng. Khi ®ã, tån t¹i mét phÐp chiÕu p ∈ A sao cho: ‖pEm(xn)p‖∞ 6 2εn víi mäi m,n = 1, 2, ... vµ: φ(p) > 1 − 2 ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn). Chøng minh. XÐt N to¸n tö x− 1, x2, ..., xn. ¸p dông Bæ ®Ò 3.2.13 ®èi víi c¸c ®¹i sè A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An, ta t×m ®­îc: y1N , ..., yNN sao cho: yiN > 0, N∑ i=1 yiN 6 1 (3.32) vµ: (yiNξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiNξ, ξ) víi 1 6 i 6 N (3.33) NÕu 0 6 y 6 1 −∑Ni=1 yiN , y ∈ A′ th×: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) víi i, n = 1, 2, ..., N (3.34) §Æt yN = 1 − ∑N i=1 yiN . HiÓn nhiªn: 0 6 yN 6 1 vµ víi y ∈ A′, 0 6 y 6 yN, ta cã: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) víi i, n = 1, 2, ..., N (3.35) §Æt qN = supportyN. Tõ MÖnh ®Ò 2.2.8 - [7], ta cã: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) víi mçi y ∈ qNA′qN , vµ i, n = 1, 2, ..., N (3.36) 52 Theo Bæ ®Ò 2.2.7 - [7], tån t¹i mét phÐp chiÕu pN ∈ A, sao cho: φ(pN ) > (qNξ, ξ) (3.37) vµ: ‖pNEN (xi)pN‖∞ 6 εi, i, n = 1, 2, ..., N (3.38) Tõ 0 6 yN 6 1, ta cã: yN 6 qN. Do ®ã: (qNξ, ξ) > (yNξ, ξ) = 1− N∑ i=1 (yiNξ, ξ) (3.39) Tõ (3.33), ta nhËn ®­îc: (yiNξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiNξ, ξ) = ε−1i (yiNx 1/2 i ξ, x 1/2 i ξ) 6 6 ε−1i ‖x1/2i ξ‖2 = ε−1i (xiξ, ξ) = ε−1i φ(ξ) (3.40) V× vËy, tõ (3.37), (3.39), (3.40), ta ®­îc: φ(pN ) > 1− −1∑ i=1 ε−1i φ(xi) (3.41) XÐt d·y chØ sè con (Ns) sao cho d·y (pNs) héi tô trong t«p« to¸n tö yÕu ®Õn mét to¸n tö d­¬ng Q. Cho Q = ∫ 1 0 λF(dλ) lµ biÓu diÔn phæ cña Q. §Æt p = F [1 2 , 1]. Ta cã thÓ kÕt thóc chøng minh §Þnh lý b»ng c¸ch t­¬ng tù nh­ chøng minh trong MÖnh ®Ò 2.2.9 - [7]. 3.2.15. Bæ ®Ò. (xem [4]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann vµ (An) lµ mét d·y t¨ng cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi kú väng cã ®iÒu kiÖn En = EAn. Ký hiÖu E∞ lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña A∞ = W ∗{An, n = 1, 2, ...}. Cho δ > 0. Khi ®ã, tån t¹i mét phÇn tö ∧x ∈ A sao cho c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y tháa m·n: ‖x−∧x‖2 < δ (3.42) ‖∧x‖∞ 6 3‖x‖∞ (3.43) ‖En(∧x)−E∞(∧x)‖ → 0, n→∞ (3.44) 53 Chøng minh. Tr­íc hÕt, ta chó ý r»ng, tõ VÝ dô 7 trong (3.1.4) th× kú väng cã ®iÒu kiÖn E∞ tån t¹i. Gi¶ sö r»ng ‖x‖ 6 1. Ta dïng th¸c triÓn chÝnh t¾c cña En (tøc lµ ®Æt ∼ E(xξ) = En(x)ξ ), ta ®­îc d·y ( ∼ En) cña c¸c phÐp chiÕu trùc giao. Nã cho phÐp ta t×m ®­îc n0 sao cho: ‖En(x)− E∞(x)‖2 6 δ, víi n > n0. §Æt: ∧ x = x−E∞(x)+ ∞∑ n=1 2−nEn0+n(x) (3.45) th×: E∞( ∧ x) = ∞∑ n=1 2−nEn0+n(x) (3.46) vµ víi n > n0, En( ∧ x) = n−n0∑ k=1 2−kEn0+k(x)+ ∞∑ k=n−n0+1 2−kEn(x) (3.47) Do ®ã, ta cã: ‖En(∧x)− E∞(∧x)‖∞ 6 ∞∑ k=n−n0+1 2−k , suy ra ‖En(∧x)− E∞(∧x)‖ → 0, khi n→∞. H¬n n÷a: ‖x− ∧x‖2 6 ∞∑ n=1 2−n‖E∞(x)− En0+n(x)‖ 6 δ. Cuèi cïng: ‖∧x‖∞ 6 ‖x‖∞ + ‖E∞(x)‖∞ + ∞∑ n=1 2−n‖En0+n(x)‖ 6 3‖x‖∞. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. Cho X lµ bao ®ãng cña tËp {x = x∗ : x ∈ A} trong L2(A,φ) = H (ta ®ång nhÊt x vµ xξ víi ξ lµ phÇn tö cyclic t¸ch trong H). Khi ®ã, X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. Ký hiÖu X + iX lµ mét d¹ng phøc hãa cña nã. 54 3.2.16. §Þnh lý Goldstein (xem [4]). Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann vµ (An) lµ mét d·y t¨ng cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi kú väng cã ®iÒu kiÖn En = EAn , (n = 1, 2, ...). Ký hiÖu E∞ lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña A∞ = W ∗{An, n = 1, 2, ...}. Cho δ > 0. Khi ®ã, víi mçi x ∈ X + iX, d·y En(x) héi tô hÇu ®Òu ®Õn E∞(x). Chøng minh. Ký hiÖu bëi cïng mét ch÷ En lµ th¸c triÓn chÝnh t¾c cña En thµnh mét phÐp chiÕu trong H (tøc lµ ta ®ång nhÊt biÓu thøc En(x)ξ víi En(xξ), víi x ∈ A). Cho x = y + iz, víi y, z ∈ X. Ký hiÖu K lµ tËp tÊt c¶ x ∈ A mµ: ‖En(x)− E∞(x)‖∞ → 0, n→∞. Tõ Bæ ®Ò (3.2.15), tån t¹i hai d·y (yn) vµ (zn) trong K sao cho: yn = y ∗ n, zn = z ∗ n, ‖yn‖2 6 2−n, ‖zn‖2 6 2−n vµ y = ∞∑ n=1 yn, z = ∞∑ n=1 zn (sù héi tô cña hai d·y nµy xÐt trong chuÈn cña L2). Cho tr­íc ε > 0. §Æt εn = 2−n, (n = 1, 2, ...) vµ cè ®Þnh n0 sao cho: 2n0 < ε/4. ¸p dông §Þnh lý 3.2.14 víi to¸n tö y2n vµ z2n, ta t×m ®­îc phÐp chiÕu p ∈ A, sao cho: ‖pEm(y2n)p‖∞ 6 2εn, m = 1, 2, ...; n > n0, (3.48) ‖pEm(z2n)p‖∞ 6 2εn, m = 1, 2, ...; n > n0, (3.49) vµ: φ(p) > 1−2 ∞∑ n=n0+1 ε−1n [φ(y 2 n)+φ(z 2 n)] > 1−4 ∞∑ n=n0+1 2−n > 1−ε (3.50) Tõ bÊt ®¼ng thøc Kadison (xem A37 - [7]), ta ®­îc: ‖pEm(yn)2p‖∞ 6 ‖pEm(y2n)p‖∞ 6 2−n+1 víi m = 1, 2, ...;n > n0 (3.51) Do ®ã: ‖Em(yn)p‖∞ = ‖pEm(yn)2p‖1/2∞ 6 21− n 2 , víi m = 1, 2, ...; n > n0. (3.52) 55 Tõ yn ∈ R, (chuyÓn qua giíi h¹n trong (3.52)), ta ®­îc: ‖Em(yn)p‖∞ 6 21−n2 , víi n > n0. (3.53) Râ rµng, ta còng cã kÕt qu¶ t­¬ng tù ®èi víi d·y (zn). Cho n > n0. Tõ (3.52) vµ (3.53), víi mçi 1 6 m 6∞, ta cã: ∞∑ s=n+1 ‖Em(ys)p‖∞ 6 λn víi λn = ∞∑ s=n+1 21−s/2 (3.54) Do ®ã, cã c¸c to¸n tö Rn,m ∈ A sao cho: ‖Rn,m‖∞ 6 λn, (m = 1, 2, ...,∞) vµ: ‖ n+N∑ s=n+1 Em(ys)−Rn,m‖∞ → 0 khi N →∞ (3.55) MÆt kh¸c, chuçi ∑∞ s=n+1 ‖Em(ys) héi tô ®Õn Em(y) trong H, tøc lµ trong chuÈn cña L2, víi m = 1, 2, ...,∞. Do ®ã: Em(y) = n∑ s=1 Em(ys)+Rn,m, (m = 1, 2, ...,∞) (3.56) V× vËy, ta cã ®¸nh gi¸: ‖(Em(y)−E∞(y))p‖∞ 6 nmax 16s6n ‖(Em(ys)−E∞(ys))p‖∞+‖Rn,m‖∞+‖Rn,∞‖∞ (3.57) Víi δ > 0, ta lÊy n1 > n0 sao cho λn1 < δ/4. Tõ (ys) ⊂ K, cã mét m sao cho: ‖Em(ys)− E∞(ys)‖∞ < δ 2n1 víi m > n1. Tõ (3.57), ta ®­îc: ‖(Em(y)− E∞(y))p‖∞ 6 δ víi m > n1. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ: ‖(Em(y)− E∞(y))p‖∞ → 0 khi m→∞. 56 T­¬ng tù, ta còng cã: ‖(Em(z)− E∞(z))p‖∞ → 0 khi m→∞. Tãm l¹i, víi ε > 0, ta t×m ®­îc mét phÐp chiÕu p ∈ A sao cho: ‖(En(z)− E∞(z))p‖∞ → 0 khi n→∞, vµ: φ(p⊥) < ε. §Þnh lý ®­îc chøng minh. 3.2.17. NhËn xÐt. Cho (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt vµ (Fn) lµ mét d·y t¨ng cña c¸c c¸c ®¹i sè con cña F. Chóng ta coi c¸c kú väng ®iÒu kiÖn Pn = En(.|Fn) nh­ lµ c¸c to¸n tö t¸c ®éng trong L2(Ω,F ,P). TiÕp theo, tõ lý thuyÕt héi tô martingale, d·y E(f |Fn) héi tô hÇu ch¾c ch¾n, víi mäi f ∈ L2. L2 - version cña lý thuyÕt martingale lµ ®óng víi c¸c phÐp chiÕu Pn kh«ng nhÊt thiÕt lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn. E.stein ®· chøng minh ®­îc r»ng, víi mçi d·y t¨ng Pn cña c¸c phÐp chiÕu trùc giao d­¬ng trong L2(Ω,F ,P), d·y Pnf héi tô hÇu ch¾c ch¾n víi mçi f ∈ L2. Trong phÇn tiÕp theo, chóng ta sÏ chØ ra mét kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ ®· chøng minh trong ®¹i sè von Neumann. Cho A lµ ®¹i sè von Neumann h÷u h¹n víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. Ta ®­a ra ®Þnh nghÜa sau: 3.2.18. §Þnh nghÜa. (xem [3]) Mét d·y an : E2(A,φ) → L2(A,φ) ®­îc gäi lµ tháa m·n ®iÒu kiÖn Duncan nÕu cã mét h»ng sè c d­¬ng sao cho: φ(| n∑ k=1 a∗k(pk)|2) 6 c2, (3.58) víi mäi d·y (p1, p2, ...) c¸c phÐp chiÕu trùc giao cña A vµ c¸c sè nguyªn d­¬ng n. Ta sÏ b¾t ®Çu b»ng Bæ ®Ò maximal víi to¸n tö d­¬ng trong L2(A,φ). 57 3.2.19. Bæ ®Ò. Cho an : E2(A,φ) → L2(A,φ) lµ mét d·y c¸c to¸n tö d­¬ng (tøc lµ anx > 0, víi x > 0). NÕu (an) tháa m·n ®iÒu kiÖn Duncan th× víi mçi x ∈ L2(A,φ) vµ ε > 0 cã mét phÐp chiÕu q ∈ A sao cho: ‖qak(x)q‖ < 2ε víi k = 1, 2, ..., (3.59) vµ: φ(1− q) 6 2c ε φ(|x|2)1/2 (3.60) Chøng minh. Tr­íc hÕt, ta gi¶ sö r»ng x > 0. Khi ®ã ak(x) > 0. Cho ε > 0. §Æt q0 = 0. TiÕp tôc ta ®Þnh nghÜa b»ng truy håi: pn = e(ε,∞){(1 − qn−1)an(x)(1− qn−1)}, n = 1, 2, ... vµ qn = qn−1 + pn. Râ rµng, c¸c phÐp chiÕu (pn) lµ trùc giao vµ: qn = p1 + p2 + ...+ pn. H¬n n÷a, tõ pk 6 1− qk−1, ta cã: φ ( pkak(x) ) = φ ( pkak(x)pk ) = φ ( pk(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)pk ) = ε ∫ ∞ ε λ ε φ ( edλ{(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)} ) > εφ ( e(ε,∞){(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)} ) = εφ(pk). Chóng ta chó ý r»ng: φ ( pkak(x) ) =2, víi 2= φ(v∗u) lµ mét tÝch trong L2. Nh­ vËy, ta cã: φ(qn) = n∑ k=1 φ(pk) 6 1 ε n∑ k=1 φ ( pkak(x) ) = 1 ε 2 58 = 1 ε n∑ k=1 2 = 1 ε < x, n∑ k=1 a∗k(pk) >2 6 1 ε ‖x‖2.‖ n∑ k=1 a∗k(pk)‖2 = 1 ε φ(|x|2)1/2φ(| n∑ k=1 a∗k(pk)|2)1/2 6 c ε φ(|x|2)1/2. §Æt: 1− q = ∑∞k=1 pk. Khi ®ã, ta cã: φ(1− q) 6 c ε φ(|x|2)1/2, vµ: ‖qak(x)q‖ 6 ‖(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)‖ = ‖(1− pk+1)(1− qk)ak(x)(1− qk)(1− pk+1)‖ < ε, (k = 1, 2, ...). NÕu x lµ tïy ý trong L2(A,φ), ta ®Æt x = u+ iv, víi u = u∗ ∈ L2, v = v∗ ∈ L2. Cè ®Þnh q ∈ Proj A, sao cho: ‖qak(|u|+ |v|)q‖ < ε, víi k = 1, 2, ... vµ: φ(1− q) < c ε [φ(|u|+ |v|)2]1/2. Khi ®ã, ta cã: −qak(|u|)q 6 qak(u)q 6 qak(|u|)q, vµ c«ng thøc t­¬ng tù cho v, nªn ta cã: ‖qak(x)q‖ 6 2‖qak(|u|+ |v|)q‖ < 2ε, víi k = 1, 2, ... H¬n n÷a, ta cã: φ(1− q) 6 2c ε φ(|x|2)1/2. ThËt vËy, cã c¸c d·y un ∈ A, vn ∈ A, sao cho: un → u, vn → v trong L2, nªn φ(uv) = φ(vu). Do ®ã: φ(|x|2) = φ(u2) + φ(v2), 59 vµ: [φ(|.u|+ |v|)2]1/2 6 φ(|x|2)1/2. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 3.2.20. §Þnh lý. Cho (Pn) lµ mét d·y t¨ng c¸c phÐp chiÕu trùc giao d­¬ng trong L2(A,φ). Khi ®ã, víi mçi x ∈ L2(A,φ) th× Pnx → Px hai phÝa hÇu ®Òu. Trong ®ã P lµ giíi h¹n m¹nh cña (Pn). Chøng minh. Cho x ∈ L2(A,φ). §Æt Rn = P − Pn. Khi ®ã, d·y c¸c phÐp chiÕu (Rn) tháa m·n ®iÒu kiÖn Duncan. §Ó chøng minh ®iÒu nµy, chØ cÇn thay ®æi mét chót suy luËn ®¬n gi¶n cña Duncan (xem [3]). Cô thÓ lµ, cho qk(k = 1, 2, ...) lµ d·y c¸c phÐp chiÕu trùc giao trong A. Khi ®ã: φ(| n∑ k=1 Rkqk|2) = n∑ r,s=1 = n∑ r,s=1 2 = n∑ r,s=1 2 6 n∑ r,s=1 ( Tõ 2= φ(Pr∨s(qr)qs) = φ(qsPr∨s(qr)qs) > 0 ). Do ®ã: φ(| n∑ k=1 Rkqk|2) 6 ‖P( n∑ r=1 qr)‖2‖ n∑ s=1 qs‖ 6 1, vµ ta nhËn ®­îc ®iÒu kiÖn Duncan. §Æt H = L2(A,φ) vµ cho W lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh sinh bëi (I−P)(H) vµ (Pk+1 − Pk)(H), (k = 1, 2, ...). Râ rµng, W trï mËt trong H (trong t«p« L2 - chuÈn) vµ Rn(W ) = 0, víi n > n(ω), trong ®ã ω ∈ W . Do ®ã, víi ε > 0 vµ x ∈ L2(A,φ), ta cã thÓ t×m ®­îc ω ∈ W sao cho x = ω + a, víi φ(|a|2) < ε4. Chó ý r»ng: Rn(x) = Rn(a), víi n > n0. Tõ Bæ ®Ò 3.2.19, tån t¹i mét phÐp chiÕu q ∈ A, sao cho: ‖qRn(x)q‖ = ‖qRn(a)q‖ n0, 60 vµ: φ(1 − q) 6 2 ε φ(|a|2)1/2 < 2 ε ε2 = 2ε. Tãm l¹i, víi x ∈ L2(A,φ) vµ ε > 0, cã mét phÐp chiÕu q ∈ A, sao cho: (∗) ‖qRn(x)q‖ n0 vµ φ(1 − q) < ε. Tõ (∗), ta t×m ®­îc mét d·y (qn) ⊂ Proj A vµ mét d·y (mn) c¸c sè d­¬ng sao cho: φ(1− qn) mn. §Æt q = ∧nqn. Khi ®ã φ(1 − q) < ε vµ ‖qRn(x)q‖ → 0, n → ∞. NghÜa lµ: Pnx→ Px hÇu ®Òu. §Þnh lý ®­îc chøng minh. 3.2.21. NhËn xÐt. Kú väng cã ®iÒu kiÖn (vµ martingale) trong ®¹i sè von Neumann ®· ®­îc b¾t ®Çu nghiªn cøu trªn thÕ giíi vµo n¨m 1954 bëi Umegaki vµ Tomiyama. N¨m 1967, Arveson ®· chøng minh ®­îc ®Þnh lý L2 - héi tô ®èi víi c¸c d·y ®¬n ®iÖu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn. Takesaki ®· chøng tá ®­îc r»ng kú väng cã ®iÒu kiÖn EB tõ A lªn ®¹i sè con B (®èi víi tr¹ng th¸i φ) tån t¹i nÕu vµ chØ nÕu ®¹i sè B lµ bÊt biÕn ®èi víi nhãm tù ®¼ng cÊu modular (σφt ) cña tr¹ng th¸i φ (®èi chiÕu víi phô lôc - [7]). §Þnh lý héi tô martingale theo tõng ®iÓm trong ®¹i sè von Neumann ®· ®­îc chøng minh ®Çu tiªn bëi Cuculescu trong tr­êng hîp ®¹i sè von Neumann h÷u h¹n (tøc lµ khi tr¹ng th¸i φ lµ vÕt). KÕt qu¶ nµy ®· ®­îc tæng qu¸t hãa bëi Lance trong tr­êng hîp mét vÕt nöa h÷u h¹n. Nh÷ng kÕt qu¶ tæng qu¸t nhÊt thuéc vÒ Dang Ngoc vµ Goldstein vµ ®· ®­îc th¶o luËn chi tiÕt trong ch­¬ng nµy. Dang Ngoc ®· thÝch nghi mét c¸ch rÊt hiÖu qu¶ c¸c ph­¬ng ph¸p cña Neveu - ng­êi lµm gi¶m c¸c chi tiÕt trong chøng minh cæ ®iÓn c¸c ®Þnh lý cña Doob vÒ lý thuyÕt ergodic. ý t­ëng chÝnh cña Dang Ngoc lµ: lý thuyÕt sù héi tô hÇu 61 ®Òu cña martingale ®­îc suy ra tõ c¸c kÕt qu¶ cña Lance - K .. ummerer. Ph­¬ng ph¸p cña Goldstein lµ trùc tiÕp vµ rÊt cã Ých trong c¸c tr­êng hîp kh¸c (so s¸nh víi kÕt qu¶ cña Goldstein ®· tr×nh bµy trong ch­¬ng 2 - [7]). C¸c tr­êng hîp kh«ng giao ho¸n cña lý thuyÕt martingale chuÈn héi tô lµ rÊt réng, v­ît qu¸ ph¹m vi luËn v¨n vµ kh«ng ®­îc th¶o luËn ë Ch­¬ng nµy. 62 KÕt luËn Cã thÓ nãi lý thuyÕt vÒ kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale ®· ®­îc rÊt nhiÒu nhµ to¸n häc hµng ®Çu quan t©m bëi nh÷ng øng dông to lín cña nã. Trong ®ã cã tr­êng hîp nghiªn cøu chóng trong ®¹i sè von Neumann. Víi môc ®Ých cña luËn v¨n lµ hiÓu vµ n¾m b¾t ®­îc c¸c kÕt qu¶ vÒ ®Æc tr­ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn trong kh«ng gian Lp còng nh­ c¸c d¹ng héi tô cña chóng trong ®¹i sè von Neumann, t«i ®· cè g¾ng t×m hiÓu, tæng hîp vµ hÖ thèng c¸c vÊn ®Ò cã liªn quan ®Õn néi dung cña ®Ò tµi luËn v¨n. Tuy nhiªn, do kh¶ n¨ng vµ tr×nh ®é cã h¹n nªn ch¾c ch¾n luËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. V× vËy, t«i rÊt mong nhËn ®­îc sù h­íng dÉn, chØ b¶o cña c¸c thÇy c«, sù hîp t¸c cña c¸c b¹n ®Ó t«i cã thÓ hoµn thiÖn h¬n. 63 Tµi liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn Duy TiÕn vµ Vò ViÕt Yªn (2000), Lý thuyÕt x¸c suÊt, Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc, Hµ Néi. [2] Dang Ngoc, N. (1979), Pointwise convergence of martingales in von Neumann algebras, Israel J. Math. (34), No. 4, 273 - 280. [3] Duncan, R. (1977), Some pointwise convergence results in Lp(µ), 1 < p <∞, Canad. Math. Bull. (20), 277 - 284. [4] Goldstein, M. S. (1981), Theorems in almost everywhere convergence in von Neumann algebras, In Russian. J. Oper. Theory 6, 233 - 311. [5] Lance, E. C. (1976), Ergodic theorems for convex sets and operator algebras, Invent Math. (37), 201 - 214. [6] Neveu J. (1975), Discrete-Parameter martingales, North-Holland Math. Library. [7] Ryszard Jajte. (1985), Strong Limit Theorems in Non-Commutative Probability, Springer - Verlag, New York. [8] Takesaki, M. (1972), Conditional expectations in von Neumann algebras, J. Funct. Anal. (9), 306 - 321. [9] William S. D. (2001), Probability with martingales, Cambridge Math. Text Books.