Đề thi cuối kỳ học kỳ II - Năm học 2014 - 2015 môn: Toán cao cấp A1

Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 1/3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ------------------------- ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán cao cấp A1 (CĐ) Mã môn học: 1001111 Ngày thi: 10/06/2015 Thời gian: 90 phút Đề thi có 1 trang Đề số: 1 SV được phép sử dụng tài liệu. Câu 1: ( 2 điểm) Cho số phức 1 3 i z i    . Tính 2015z và 3 z . Câu 2: (1,5 điểm) Cho hàm số    2ln 1 3 , 0 , 0 x x f x x m x         . a. Tìm m để hàm số  f x liên tục tại 0 0x  . b. Với giá trị m vừa tìm được ở câu a, xét sự khả vi của  f x tại 0 0x  . Câu 3: (2 điểm) Xét sự hội tụ của các tích phân a. 2 5 1 1 5 x x x I dx x x       b. 1 0 sin x J dx x   Câu 4: (2 điểm) a. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 1 n n n    . b. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 1 .5 n n n x n    . Câu 5: (2,5 điểm) a. Tìm giới hạn 3 2 20 0 lim 2x y x x y   . b. Tìm cực trị tự do của hàm hai biến   2 2 , 3 2 5 2 2 x y f x y xy x y      . Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 5 tháng 6 năm 2015 Thông qua bộ môn Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 2/3 ĐÁP ÁN Câu 1. 2 cos sin 1 4 4 3 2 cos sin 6 6 i i z i i                   0,5đ 1 5 cos sin 12 122 i          . 0,5đ 2015 2015 1 5.2015 5.2015cos sin 12 122 z i              . 0,5đ 3 6 1 5 /12 2 5 /12 2 cos sin 3 32 k k z i              , 0,1,2k  . 0,5đ Câu 2. a.    2 2 0 0 0 ln 1 3 3 lim lim lim 0 x x x x x f x x x       . 0,5đ  0f m ;     0 lim 0 0 x f x f m     . 0,5đ b.      2 2 2 20 0 0 ln 1 30 3 lim lim lim 3 0x x x xf x f x x x x        (hữu hạn). Do đó,  f x khả vi tại 0 0x  . 0,5đ Câu 3. a. Ta có 2 5 1 0, 1 5 x x x x x x        . Khi 2 2 5 5 3 1 1 , 5 x x x x x x x x x        ; 0,5đ Mà 3 1 1 dx x   hội tụ (vì 3 1 2    ) nên I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2. 0,5đ b. Ta có sin 0, (0,1] x x x    . Khi 0x  , sin 1x x x x x  ; 0,5đ Mà 1 0 1 dx x  hội tụ (do 1 1 2    ) nên J hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2. 0,5đ Câu 4. a. Do 1 lim lim 1 2 1 22 1 n n n n nn n n n        nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. 0,5đ b. 1 1 lim 5 5 5 n nn R n       . Chuỗi có khoảng hội tụ:  5,5 . 0,5đ Tại 5x   , chuỗi số     1 1 11 5 5 n n n n nn n         hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. 0,5đ Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 3/3 Tại 5x  , chuỗi số 1 1 1 1 5 5 n n n nn n       phân kì. Vậy miền hội tụ của chuổi lũy thừa là [ 5;5) . 0,5đ Câu 5. a. 3 2 2 2 2 2 0 . 2 2 x x x x x y x y      ,    , 0,0x y  0,5đ Mà 0 0 0 0 lim0 lim 0 x x y y x       nên 3 2 20 0 lim 0 2x y x x y    . 0,5đ b. ' 3 1 0 ' 3 2 0 x y f x y f y x          0,5đ 7 / 8 5 / 8 x y      . Suy ra  f x có điểm dừng  7 / 8; 5 / 8M  . 0,5đ 21, 3, 1, 8A B C AC B        . Tại  7 / 8; 5 / 8M  ,do 8 0    nên  f x không đạt cực trị tại M . 0,5đ