Đề thi môn: Hàm biến phức và phép biến đổi laplace - Mã môn học: 1001060

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu: A, B, C, D ) Câu 1 Tập hợp nghiệm của phương trình là π663 8 ìez −= A) B) ∅ C) D) { })31(),31(,2 222 ieiee −−+− { })31(,2 22 iee + { })31(2),31(2,2 222 ieiee −+ Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π−= .2015 C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 3 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 56 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. C) ( ) )56(21 6 5 4 5 2 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =+ π D) ( ) )56(21 6 5 2 5 6 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =− π Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng liên tục tại (xo,yo). D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D. Câu 5 Ảnh của đường thẳng y = 8 π qua phép biến hình w = = u +iv là ze 4− A) đường thẳng u = 0. B) tia argw = -π/2. C) tia argw = π/2. D) đường thẳng v = 0. Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= - 1 - B) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . C) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). D) ∫ =− 31 3 2 z dzez z = ∫ =− 31 3 2 z dzez z = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π Câu 7 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27. π−te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y = 1− − p e pπ + 27 (2) Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= 2 27 )2)(1( −+−− − ppp e pπ (3) Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = 2 27 1 1 2 1 −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − ppp e pπ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) ttt etuee 2)(2 27)( +−− −− πππ A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? yyxu 833 22 −−= xxyv 86 += A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 24sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 4sin 21 1 2π 0 ∫ −−− π Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L 9 22]32[ 23 2 −++=++ p p pp tsht C) L -1 22 4 2 *sin 2 ( 2)( 4) te t p p −⎡ ⎤ =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ D) L -1 te pp p t 6cos 404 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− − PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân - 2 - ⎩⎨ ⎧ =++ =+ teyyx tyx 2' sin23' , với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0 Câu 13 (2 điểm) a) Tìm ảnh của hàm gốc: +−−= )cos()()( ππ ttutf 5t2 sint + udu t e u 5cos 0 2∫ − b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 duut t uy )cos( 0 )( −∫ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001 Giám thị 1: Giám thị 2: Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh(STT):........ Phòng thi : . Ngày thi: 27/12/2014 Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu: A, B, C, D ) Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? yyxu 833 22 −−= xxyv 86 += A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 24sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 4sin 21 1 2π 0 ∫ −−− π Câu 3 Tập hợp nghiệm của phương trình là π663 8 ìez −= A) { })31(),31(,2 222 ieiee −−+− B) ∅ C) { })31(,2 22 iee + D){ })31(2),31(2,2 222 ieiee −+ Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π−= .2015 C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 5 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 56 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. C) ( ) )56(21 6 5 4 5 2 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =+ π D) ( ) )56(21 6 5 2 5 6 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =− π Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. - 1 - C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng liên tục tại (xo,yo). D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D. Câu 7 Ảnh của đường thẳng y = 8 π qua phép biến hình w = = u +iv là ze 4− A) đường thẳng u = 0. B) tia argw = -π/2. C) tia argw = π/2. D) đường thẳng v = 0. Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= B) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . C) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). D) ∫ =− 31 3 2 z dzez z = ∫ =− 31 3 2 z dzez z = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π Câu 9 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27. π−te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y = 1− − p e pπ + 27 (2) Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= 2 27 )2)(1( −+−− − ppp e pπ (3) Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = 2 27 1 1 2 1 −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − ppp e pπ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) ttt etuee 2)(2 27)( +−− −− πππ A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L 9 22]32[ 23 2 −++=++ p p pp tsht C) L -1 22 4 2 *sin 2 ( 2)( 4) te t p p −⎡ ⎤ =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ D) L -1 tepp p t 6cos 404 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− − PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎩⎨ ⎧ =++ =+ teyyx tyx 2' sin23' , với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0 - 2 - Câu 13 (2 điểm) a) Tìm ảnh của hàm gốc: +−−= )cos()()( ππ ttutf 5t2 sint + udu t e u 5cos 0 2∫ − b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 duut t uy )cos( 0 )( −∫ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010 Giám thị 1: Giám thị 2: Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh(STT):........ Phòng thi : . Ngày thi: 27/12/2014 Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu: A, B, C, D ) Câu 1 Ảnh của đường thẳng y = 8 π qua phép biến hình w = = u +iv là ze 4− A) đường thẳng u = 0. B) tia argw = -π/2. C) tia argw = π/2. D) đường thẳng v = 0. Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L 9 22]32[ 23 2 −++=++ p p pp tsht C) L -1 D) L -1 22 4 2 *sin 2 ( 2)( 4) te t p p −⎡ ⎤ =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ te pp p t 6cos 404 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− − Câu 3 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? yyxu 833 22 −−= xxyv 86 += A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 24sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 4sin 21 1 2π 0 ∫ −−− π Câu 5 Tập hợp nghiệm của phương trình là π663 8 ìez −= A) { })31(),31(,2 222 ieiee −−+− B) ∅ C) { })31(,2 22 iee + D){ })31(2),31(2,2 222 ieiee −+ Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π−= .2015 C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 7 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 56 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. - 1 - C) ( ) )56(21 6 5 4 5 2 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =+ π D) ( ) )56(21 6 5 2 5 6 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =− π Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng liên tục tại (xo,yo). D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D. Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= B) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . C) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). D) ∫ =− 31 3 2 z dzez z = ∫ =− 31 3 2 z dzez z = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π Câu 10 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27. π−te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y = 1− − p e pπ + 27 (2) Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= 2 27 )2)(1( −+−− − ppp e pπ (3) Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = 2 27 1 1 2 1 −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − ppp e pπ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) ttt etuee 2)(2 27)( +−− −− πππ A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎩⎨ ⎧ =++ =+ teyyx tyx 2' sin23' , với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0 Câu 13 (2 điểm) - 2 - a) Tìm ảnh của hàm gốc: +−−= )cos()()( ππ ttutf 5t2 sint + udu t e u 5cos 0 2∫ − b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 duut t uy )cos( 0 )( −∫ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011 Giám thị 1: Giám thị 2: Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh(STT):........ Phòng thi : . Ngày thi: 27/12/2014 Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu: A, B, C, D ) Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng liên tục tại (xo,yo). D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D. Câu 2 Ảnh của đường thẳng y = 8 π qua phép biến hình w = = u +iv là ze 4− A) đường thẳng u = 0. B) tia argw = -π/2. C) tia argw = π/2. D) đường thẳng v = 0. Câu 3 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27. π−te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y = 1− − p e pπ + 27 (2) Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= 2 27 )2)(1( −+−− − ppp e pπ (3) Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = 2 27 1 1 2 1 −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − ppp e pπ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) ttt etuee 2)(2 27)( +−− −− πππ A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L 9 22]32[ 23 2 −++=++ p p pp tsht C) L -1 D) L -1 22 4 2 *sin 2 ( 2)( 4) te t p p −⎡ ⎤ =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ te pp p t 6cos 404 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− − Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? yyxu 833 22 −−= xxyv 86 += A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa - 1 - Câu 6 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 24sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 4sin 21 1 2π 0 ∫ −−− π Câu 7 Tập hợp nghiệm của phương trình là π663 8 ìez −= A) { })31(),31(,2 222 ieiee −−+− B) ∅ C) { })31(,2 22 iee + D){ })31(2),31(2,2 222 ieiee −+ Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π−= .2015 C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 9 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 56 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. C) ( ) )56(21 6 5 4 5 2 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =+ π D) ( ) )56(21 6 5 2 5 6 2 eiz dzez iz z +=− +∫ =− π Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= B) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . C) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). D) ∫ =− 31 3 2 z dzez z = ∫ =− 31 3 2 z dzez z = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎩⎨ ⎧ =++ =+ teyyx tyx 2' sin23' , với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0 - 2 - Câu 13 (2 điểm) a) Tìm ảnh của hàm gốc: +−−= )cos()()( ππ ttutf 5t2 sint + udu t e u 5cos 0 2∫ − b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 duut t uy )cos( 0 )( −∫ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000 Giám thị 1: Giám thị 2: Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh(STT):........ Phòng thi : . Ngày thi: 27/12/2014 Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 27/12/2014) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời D B C B A D A B C D Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-001 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời A B C D B D C A D B Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời A D A B C D B D C B Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời B B A D A B C D D C BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Câu hỏi Nội dung Điểm Câu 11 1,5đ Đặt = )( pYY = [ ])t(yL . Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính và tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: = ( ) YypYypyYp 25)0(6)0(')0(2 +−−−− [ ]tt ee 23 −−L ⇔ =+− )256( 2 ppY 2 1 3 1 −−+ pp 0.5đ ⇔ =Y ]16)3)[(3)(2( 5 2 +−+− − ppp = 2−p A 3++ p B + 16)3( 4)3( 2 +− +− p DpC 0.5đ Biếi đổi Laplace ngược hai vế và áp dụng tính chất tuyến tính ta được =)(ty = ][1 Y−L ] 16)3( 4 16)3( 3 3 1 2 1[ 22 1 +−++− −+++− − p D p pC p B p AL ⇔ =)(ty tDetCeBeAe tttt 4sin4cos 3332 +++ − te t 4sin3 3+ Tìm dựa vào đẳng thức: DCBA ,,, ]16)3)[(3)(2( 5 2 +−+− − ppp (*)= 2−p A 3++ p B + 16)3( 4)3( 2 +− +− p DpC =A ]16)32)[(32( 5 2 +−+ − 17 1−= , =B ]16)33)[(23( 5 2 +−−−− − = 52 1 Từ (*) cho được: 0=p =× 256 5 2− A 3 B+ + 25 43 DC +− Từ (*) cho được: 3=p 96 5− = 46 DBA ++ . 0.5đ 1 Suy ra =C 884 35 , =D 1768 25 Câu 12 1.5đ Đặt [ ] [ ]yY,xX LL == ; biến đổi Laplace hai vế ta được: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⎩⎨⎧ =+′+ =+′ teyx tyx LLLL LLL 2 sin23 y ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=++ +=+⇔ 1 1)2( 1 23 2 p YpX p YpX ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ + ++++− +−=++− +−= + ++++− +−=++− −+−= ⇔ 1 '' 3 ' )1( ')1(' )1)(3()1( 2 13)1( )1( )1)(3()1( 72 2222 3 2222 2 p EpD p C p BpA ppp ppY p EDp p C p BpA ppp ppX Biến đổi ngược hai vế ta được: ⎩⎨ ⎧ = = − − ][ ][ 1 1 Y X y x L L ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++++++−+− ++++++−+− = = − − ] 1 1' 1 ' 3 1' )1( 1' 1 1'[ ] 1 1 13 1 )1( 1 1 1[ 222 1 222 1 p E p pD p C p B p A p E p pD p C p B p A y x L L ⇔ ⎩⎨ ⎧ ++++= ++++= − − tEtDeCteBeAy tEtDCeBteAex ttt ttt sin'cos'''' sincos 3 3 ♦ Tìm EDC dựa vào BA ,,,, 13)1( )1( )1)(3()1( 72 2222 2 + ++++− +−=++− −+− p EDp p C p BpA ppp pp =B )11)(31( 7121 2 2 ++ −×+− 4 3−= , =C )19()13( 732)3( 2 2 +−− −×+−− 16 1−= ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −+++−=−−= ++++=−= +++−=−= 5 2 9 3 3 1:2 5 2 525 7:2 33 7:0 DECBApCho EDCBApCho ECBApCho 0.5đ 0.5đ 0.5đ Thay B 4 3−= , 16 1−=C vào hệ trên và sử dụng máy tính casio giải được 80 69=A , 5 3−=D , 10 7−=E ♦ Tương tự, chúng ta tìm ',',' dựa vào ,',' EDCBA 1 '' 3 ' )1( ')1(' )1)(3()1( 2 2222 3 + ++++− +−=++− +− p EpD p C p BpA ppp pp 4 1 )11)(31( 211' 2 3 =++ +−=B , 20 11 )1)3)((13( 2)3()3(' 2 3 =+−−− +−−−=C 2 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −+++−=−−= ++++== +++−== 5 '2'' 9 ''3 45 4:2 5 ''2 5 ''' 25 8:2 ' 3 ''' 3 2:0 DECBApCho EDCBApCho ECBApCho Thay 'B 4 1= , 20 11'=C vào hệ trên và sử dụng máy tính casio giải được ='A , ='D , ='E Câu 13 1đ a)L [f(t)] = πpe− 12 +p p + 5 ' 22 )1( 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +p p + .1 p L [ ] te t 5cos2− = πpe− 12 +p p + 10 32 2 )1( 31 + − p p + 25)2( 2.1 2 ++ + p p p 0.5đ 0.5đ b) Aùp dụng tích chập, phương trình được viết lại ttyety t cos*)(2)( 5 += Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính và định lý Borel ta được Y = 5 1 −p + 2L [y(t)] L [cost] ⇔ Y = 5 1 −p +2Y 12 +p p Giải phương trình với Y là ẩn ta được Y = 2 2 )1)(5( 1 −− + pp p = 2)1( )1( 5 − +−+− p CpB p A Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm = =)(ty ][1 Y−L ] )1( 1 1 1 5 [ 2 1 −+−+− − p C p B p AL ⇔ )(ty = tAe5 tt CteBe ++ Tìm dựa vào đẳng thức CBA ,, 2 2 )1)(5( 1 −− + pp p = 2)1( )1( 5 − +−+− p CpB p A =A 8 13 , 2 1−=C , 8 5−=B 0.5đ 0.5đ 3