Đề thi môn Lý thuyết điều khiển

VIỆN ĐIỆN Bm ĐKTĐ ĐỀ THI CUỐI KỲ 20191 Học phần: Lý thuyết điều khiển tự động I Mã học phần: EE3280 Đề thi số: 01 Thời gian làm bài: 90 phút Cán bộ phụ trách học phần Trịnh Hoàng Minh BCN bộ môn duyệt Nguyễn Thu Hà Họ tên SV:Số hiệu SV:.. Lớp:... Bài 1 (5 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở Hình 1. a. (2đ) Hãy xác định hàm truyền tương đương 𝐺(𝑠) của hệ. b. (1đ) Cho 𝐻1 = 𝑠+2 𝑠2+2𝑠+1 , 𝐻2 = 0, 𝐻3 = 𝑠4+𝑠3+4𝑠2−(𝑘/20+1)𝑠 (𝑠+2)2 , 𝐺1 = 𝐺2 = 𝑠+2 𝑠+1 , trong đó 𝑘 là STT trong danh sách thi. Xác định tính ổn định của hệ. c. (1đ) Biết rằng 𝐻2 = 𝐻3 = 0, 𝐻1 là tùy ý và 𝐺1𝐺2 là khâu tích phân quán tính bậc nhất có đường đặc tính quá độ ℎ12(𝑡) cho ở hình 2. Hãy xác định hàm quá độ ℎ(𝑡) của hệ kín. Hệ có độ quá điều chỉnh Δℎ𝑚𝑎𝑥 và thời gian quá độ 𝑇5% bằng bao nhiêu? Tìm sai lệch tĩnh của hệ khi bị kích thích bằng tín hiệu 𝑢(𝑡) = 1(𝑡) ở đầu vào. d. (1đ) Biết rằng 𝐻2 = 𝐻3 = 0, 𝐻1 là tùy ý, 𝐺1 là bộ điều khiển PI và 𝐺2 là khâu tích phân quán tính bậc nhất có đường đặc tính quá độ ℎ12(𝑡) cho ở Hình 2. Hãy xác định các tham số của 𝐺1 theo phương pháp tối ưu đối xứng (cho 𝑎 = 2). Bài 2 (5 điểm): Cho đối tượng điều khiển có mô hình: 𝑑�̲� 𝑑𝑡 = ( 0 0 1 1 0 0 −4 −1 −3 ) �̲� + ( 0 0 1 ) �̲�; 𝑦 = 𝑥1, trong đó �̲� = ( 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ). a. (2đ) Hãy kiểm tra tính ổn định, tính điều khiển được và tính quan sát được của đối tượng. b. (1.5đ) Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái 𝑅 để hệ kín nhận các giá trị cho trước 𝑠1 = −3, 𝑠2 = −3, 𝑠3 = −3 làm điểm cực. c. (1đ) Hãy vẽ sơ đồ khối và xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được. Từ đó chỉ ra rằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái đó đã không làm thay đổi được bậc tương đối của đối tượng. d. (0.5đ) Cho hệ tuyến tính với mô hình 𝑑�̲� 𝑑𝑡 = [ 1 0 0 1 ] �̲� + 𝑢, 𝑥(0) = [ 1 2 ] , 𝑢(𝑡) = [ 𝑢1(𝑡) 𝑢2(𝑡) ] . Tìm tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) đưa �̲�(𝑡) về gốc tọa độ sau 1s (tức là 𝑥(1) = [ 0 0 ]). Lưu ý: Sinh viên được sử dụng tài liệu chuẩn bị trên 2 tờ A4. Nộp đề cùng bài làm. VIỆN ĐIỆN Bm ĐKTĐ ĐỀ THI CUỐI KỲ 20191 Học phần: Lý thuyết điều khiển tự động I Mã học phần: EE3280 Đề thi số: 02 Thời gian làm bài: 90 phút Cán bộ phụ trách học phần Trịnh Hoàng Minh BCN bộ môn duyệt Nguyễn Thu Hà Họ tên SV:.Số hiệu SV: Lớp:.... Bài 1 (5 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở Hình 1. a. (2đ) Hãy xác định hàm truyền tương đương 𝐺(𝑠) của hệ. b. (1đ) Cho 𝐻1 = 1, 𝐻2 = 1, 𝐻3 = −𝑘/3, 𝐺1 = 1 𝑠(𝑠+2) và 𝐺2 = 1 2(𝑠2+4𝑠+4) , trong đó 𝑘 là STT trong danh sách thi. Xác định tính ổn định của hệ. c. (1đ) Biết rằng 𝐻1 = 𝐻2 = 0, 𝐻3 là tùy ý, 𝐺1 = 1 𝑠 và 𝐺2 là khâu quán tính bậc nhất có đường đặc tính quá độ ℎ2(𝑡) cho ở hình 2. Hãy xác định hàm quá độ ℎ(𝑡) của hệ kín. Hệ có độ quá điều chỉnh Δℎ𝑚𝑎𝑥 và thời gian quá độ 𝑇5% bằng bao nhiêu? Tìm sai lệch tĩnh của hệ khi bị kích thích bằng tín hiệu 𝑢(𝑡) = 1(𝑡) ở đầu vào. d. (1đ) Biết rằng 𝐻1 = 𝐻2 = 0, 𝐻3 là tùy ý, 𝐺1 là bộ điều khiển tích phân I và 𝐺2 là khâu quán tính bậc nhất có đường đặc tính quá độ ℎ2(𝑡) cho ở Hình 2. Hãy xác định các tham số của 𝐺1 theo phương pháp tối ưu độ lớn. Bài 2 (5 điểm): Cho đối tượng điều khiển có mô hình: 𝑑�̲� 𝑑𝑡 = ( −1 −4 −2 1 0 0 0 1 0 ) �̲� + ( 1 0 0 ) �̲�; 𝑦 = 𝑥1 + 𝑥2, trong đó �̲� = ( 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ). a. (2đ) Hãy kiểm tra tính ổn định, tính điều khiển được và tính quan sát được của đối tượng. b. (1.5đ) Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái 𝑅 để hệ kín nhận các giá trị cho trước 𝑠1 = −1, 𝑠2 = −4, 𝑠3 = −5 làm điểm cực. c. (1đ) Hãy vẽ sơ đồ khối và xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được. Từ đó chỉ ra rằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái đó đã không làm thay đổi bậc tương đối của đối tượng. d. (0.5đ) Cho hệ tuyến tính với mô hình 𝑑�̲� 𝑑𝑡 = [ −1 0 0 −1 ] �̲� + 𝑢, 𝑥(0) = [ 1 −1 ] , 𝑢(𝑡) = [ 𝑢1(𝑡) 𝑢2(𝑡) ] . Tìm tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) đưa �̲�(𝑡) về gốc tọa độ sau 1s (tức là 𝑥(1) = [ 0 0 ]). Lưu ý: Sinh viên được sử dụng tài liệu chuẩn bị trên 2 tờ A4. Nộp đề cùng bài làm. Hình 1 Hình 1 𝑡 Hình 2 ℎ12(𝑡) 2 1 1 𝐺1 𝑢 rrr 𝑦 𝐻3 𝐺2 𝐻1 𝐻2 t 𝐺1 𝐺2 𝐻1 ℎ2(𝑡) Hình 2 2 4 𝐻2 𝐻3 y 𝑢 2.528 Đáp án Đề 1 Bài 1: a. Hàm truyền tương đương của hệ: 𝐺 = 𝐺1𝐺2 1−𝐻2𝐺2+𝐺1𝐺2(𝐻1𝐻2+𝐻3+1) b. Với điều kiện đã cho thì 𝐺(𝑠) = (𝑠 + 2)2 (𝑠 + 1)2 + (𝑠 + 2)2 (1 + 𝑠4 + 𝑠3 + 4𝑠2 − (𝑘/20 + 1)𝑠 (𝑠 + 2)2 ) = (𝑠 + 2)2 𝑠4 + 𝑠3 + 6𝑠2 + (5 − 𝑘/20)𝑠 + 5 Đa thức đặc tính: 𝐴(𝑠) = 𝑠4 + 𝑠3 + 6𝑠2 + (5 − 𝑘/20)𝑠 + 5. Đặt 𝑥 = 𝑘/20, ta có bảng Routh: 1 6 5 1 5 − 𝑥 1 + 𝑥 5 −(𝑥)(𝑥 − 4)/(𝑥 + 1) 0 1 Suy ra điều kiện ổn định: 0 < x < 4 ⟺ 0 < 𝑘 < 80. c. Ta có: 𝐺1𝐺2 = 2 𝑠(𝑠+1) ⇒ 𝐺(𝑠) = 𝐺1𝐺2 1+𝐺1𝐺2 = 2 𝑠2+𝑠+2 . Từ đó suy ra: 𝐻(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝑠 = 2 𝑠 ((𝑠 + 1 2 ) 2 + 7 4) = 1 𝑠 − (𝑠 + 1 2 ) + 1 2 (𝑠 + 1 2 ) 2 + 7 4 ⇒ ℎ(𝑡) ⇒ ℎ(𝑡) = 1(𝑡) − 𝑒− 𝑡 2 (cos ( √7 2 𝑡) + 1 √7 sin ( √7 2 𝑡) ) 1(𝑡) 𝑘 = 1, 𝑇 = 1 √2 , 𝐷 = √2 4 ⇒ 𝑒∞ = 𝑘 − 1 = 0. 𝛥ℎmax = 𝑘exp (− 𝜋𝐷 √1 − 𝐷2 ) = 𝑒 − 𝜋 √7 = 0.305, 𝑇5% = 3𝑇 𝐷 = 6. d. Với 𝐺2 = 2 𝑠(𝑠+1) ⇒ 𝑘 = 2, 𝑇1 = 1. Từ đó ta chọn bộ điều khiển PI theo phương pháp tối ưu đối xứng với: 𝑎 = 2, 𝑘𝑝 = (𝑘𝑇1√2) −1 = 0.3536, 𝑇 = 𝑎𝑇1 = 2. Bài 2: a. Hàm truyền của hệ:𝐺(𝑠) = 𝑠 1+4𝑠+3𝑠2+𝑠3 . Từ đó suy ra hệ ổn định do các nghiệm của đa thức đặc tính của hệ đều nằm bên trái trục ảo. Ta có: 𝑟(𝐵, 𝐴𝐵, 𝐴2𝐵) = 𝑟 ([ 0 1 −3 0 0 1 1 −3 5 ]) = 3, 𝑟 ([ 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴2 ]) = 𝑟 ([ 1 0 0 0 0 1 −4 −1 −3 ]) = 3 nên hệ điều khiển được và quan sát được theo tiêu chuẩn Kalman. b. Hệ không ở dạng chuẩn ĐK nên thiết kế theo pp Ackermann ta có: 𝜂𝑇 = [0 1 0] ⟹ 𝑀 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] = 𝑀−1 ⟹ 𝑀𝐴𝑀−1 = [ 0 1 0 0 0 1 −4 −1 −3 ] Đa thức đặc tính mong muốn: 𝑝𝑑(𝑠) = 𝑠 3 + 9𝑠2 + 27𝑠 + 27. Suy ra bộ ĐK cần tìm: 𝑅 = [�̃�0, �̃�1, �̃�2]𝑀 + 𝜂 𝑇𝐴3 = [23 26 6]. c. Hàm truyền của hệ kín: 𝐺𝑘(𝑠) = 𝑠 27+27𝑠+9𝑠2+𝑠3 . Bậc tương đối của hệ kín và hệ ban đầu đều là 𝑟 = 3 − 1 = 2. Có thể tính 𝑟 từ công thức: 𝐶𝐴𝑖𝐵 = 0, 𝑖 = 1, , 𝑟 − 2; 𝐶𝐴𝑟−1𝐵 ≠ 0. d. Nghiệm của pt trạng thái: 𝑥𝑖(𝑡) = 𝑒 𝑡𝑥𝑖(0) + 𝑒 𝑡 ∫ 𝑒−𝜏𝑢𝑖(𝜏)𝑑𝜏 1 0 , với 𝑖 = 1, 2. Tại 𝑡 = 1, ta cần có 0 = 𝑥𝑖(1) = 𝑒𝑥𝑖(0) + 𝑒 ∫ 𝑒 −𝜏𝑢𝑖(𝜏)𝑑𝜏 1 0 ⇒ −𝑥𝑖(0) = ∫ 𝑒 −𝜏𝑢𝑖(𝜏)𝑑𝜏 1 0 . Chọn 𝑢𝑖(𝑡) = −𝑒−𝑡 (∫ 𝑒−2𝜏′𝑑𝜏′ 1 0 ) −1 𝑥𝑖(0) thỏa mãn đề bài. Đáp án Đề 2 Bài 1: a. Hàm truyền tương đương của hệ: 𝐺 = 𝐺1𝐺2 1+𝐻2𝐺2−𝐺1𝐺2(𝐻3𝐻2+𝐻1−1) b. Với điều kiện đã cho thì 𝐺(𝑠) = 1 2𝑠(𝑠 + 2)3 1 + 1 2(𝑠 + 2)2 + 𝑘/3 2𝑠(𝑠 + 2)3 = 1 2𝑠(𝑠 + 2)3 + 𝑠(𝑠 + 2) + 𝑘/3 Đa thức đặc tính: 𝐴(𝑠) = 2𝑠(𝑠 + 2)3 + 𝑠(𝑠 + 2) + 𝑘/3 = 2𝑠4 + 12𝑠3 + 25𝑠2 + 18𝑠 + 𝑘/3. Lập bảng Routh: 2 25 𝑘/3 12 18 22 𝑘/3 18 − 2𝑘/11 0 𝑘/3 Suy ra điều kiện ổn định: 0 < 𝑘 < 99. c. Ta có: 𝐺2 = 4 (2𝑠+1) ⇒ 𝐺(𝑠) = 𝐺1𝐺2 1+𝐺1𝐺2 = 2 𝑠2+ 𝑠 2 +2 = 1 1 2 𝑠2+ 𝑠 4 +1 .Từ đó suy ra: 𝐻(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝑠 = 2 𝑠 ((𝑠 + 1 4) 2 + 31 16) = 1 𝑠 − (𝑠 + 1 4) + 1 4 (𝑠 + 1 4) 2 + 31 16 ⇒ ℎ(𝑡) = 1(𝑡) − 𝑒− 𝑡 4 (cos ( √31 4 𝑡) + 1 √31 sin ( √31 4 𝑡) ) 1(𝑡) 𝑘 = 1, 𝑇 = 1 √2 , 𝐷 = √2 8 ⇒ 𝑒∞ = 𝑘 − 1 = 0; 𝛥ℎmax = 𝑘exp (− 𝜋𝐷 √1 − 𝐷2 ) = 0.5688, 𝑇5% = 3𝑇 𝐷 = 12. d. Với 𝐺2 = 4 (2𝑠+1) ⇒ 𝑘 = 4, 𝑇 = 2. Từ đó ta chọn bộ điều khiển tích phân I theo phương pháp tối ưu độ lớn với tham số 𝑇𝑅 = 𝑇𝐼 𝑘𝑝 = 2𝑘𝑇 = 16. Bài 2: a. Hàm truyền của hệ: 𝐺(𝑠) = 𝑠+𝑠2 2+4𝑠+𝑠2+𝑠3 . Từ đó suy ra hệ ổn định do các nghiệm của đa thức đặc tính của hệ đều nằm bên trái trục ảo. Ta có 𝑟(𝐵, 𝐴𝐵, 𝐴2𝐵) = 𝑟 ([ 1 −1 −3 0 1 −1 0 0 1 ]) = 3, 𝑟 ([ 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴2 ]) = 𝑟 ([ 1 1 0 0 −4 −2 −4 −2 0 ]) = 3 nên hệ điều khiển được và quan sát được theo tiêu chuẩn Kalman. b. Hệ không ở dạng chuẩn ĐK nên thiết kế theo pp Ackermann ta có: 𝜂𝑇 = [0 0 1] ⟹ 𝑀 = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] = 𝑀−1 ⟹ 𝑀𝐴𝑀−1 = [ 0 1 0 0 0 1 −2 −4 −1 ] Đa thức đặc tính mong muốn: 𝑝𝑑(𝑠) = 𝑠 3 + 10𝑠2 + 29𝑠 + 20. Suy ra bộ ĐK cần tìm: 𝑅 = [�̃�0, �̃�1, �̃�2]𝑀 + 𝜂 𝑇𝐴3 = [9 25 18]. c. Hàm truyền của hệ kín: 𝐺𝑘(𝑠) = 𝑠+𝑠2 20+29𝑠+10𝑠2+𝑠3 . Bậc tương đối của hệ kín và hệ ban đầu đều là 𝑟 = 3 − 1 = 2. Có thể tính 𝑟 từ công thức: 𝐶𝐴𝑖𝐵 = 0, 𝑖 = 1, , 𝑟 − 2; 𝐶𝐴𝑟−1𝐵 ≠ 0. d. Nghiệm của pt trạng thái: 𝑥𝑖(𝑡) = 𝑒 −𝑡𝑥𝑖(0) + 𝑒 −𝑡 ∫ 𝑒𝜏𝑢𝑖(𝜏)𝑑𝜏 1 0 , với 𝑖 = 1, 2. Tại 𝑡 = 1, ta có 0 = 𝑥𝑖(1) = 𝑒 −1𝑥𝑖(0) + 𝑒 −1 ∫ 𝑒𝜏𝑢𝑖(𝜏)𝑑𝜏 1 0 ⇒ −𝑥𝑖(0) = ∫ 𝑒 𝜏𝑢𝑖(𝜏)𝑑𝜏 1 0 . Chọn 𝑢𝑖(𝑡) = −𝑒𝑡 (∫ 𝑒2𝜏′𝑑𝜏′ 1 0 ) −1 𝑥𝑖(0) thỏa mãn đề bài.