Đề thi môn: Toán ứng dụng trong kỹ thuật - Mã môn học: Math131501

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 1 trang Được phép sử dụng tài liệu Bài 1 (2,5 điểm) Một vật khối lượng m (kg) rơi theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0 (m/s) trong mơi trường cĩ sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc (hệ số tỷ lệ k ), và gia tốc trọng trường g (m/s2). Biết vận tốc của vật thỏa phương trình phương trình vi phân )(tv )/( sm )()(' tv m kgtv −= , 0)0( =v Cho g = 10, m = , k = 4. 5,0 a) Áp dụng phương pháp Ơle với 1,0=h , tính v(0,2) ≈ (1) và v(0,5) ≈ (2) b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, với 1,0=h , tính v(0,2) ≈ (3) và v(0,6) ≈ (4). Từ kết quả đĩ suy ra gia tốc tại điểm t = 0,2s là )2,0('v ≈ (5). Bài 2 (2 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị) Một vật chuyển động thẳng trên trục từ a đến b dưới tác động của ngoại lực biến thiên F(x) cùng hướng chuyển động của vật. Khi đĩ cơng W của lực F(x) được tính bởi công thức x0 ( )b a W F x d= ∫ x Cho a = 0, b = 1,2 và ( ) 1F x x x= + . a) Áp dụng cơng thức hình thang 3 đoạn chia. Khi đĩ W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7). b) Áp dụng cơng thức Simpson 4 đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9). Bài 3 (1,5 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị) Khảo sát độ bền uốn y(x) của một loại vật liệu bằng cách tác động cùng một(loại)lực lên cùng một diện tích bề mặt của các miếng vật liệu giống nhau cĩ bề dày x thay đổi. Chúng ta cĩ bảng số liệu x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 y 515 518 522 525 528 531 Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với dạng phương trình y = A + B x , suy ra A = (10) và B= (11). Dự đốn y khi x = là y( ) = (12) 25,0 25,0 Bài 4 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân tety 512)( −= + duutuy t∫ − 0 )(2cos)(5 Bài 5 (2,5 điểm) Cho phương trình vi phân ttytyty 2sin3)(18)('6)('' =++ , 0)0( =y , 0)0(' =y a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân trên. b) Giả sử )(ty là phương trình chuyển động thẳng của một chất điểm theo thời gian t. Xác định giá trị (gần đúng) của biên độ chuyển động khi t đủ lớn. . ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 5 tháng 6 năm 2014 Bộ môn duyệt Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 1 trang Được phép sử dụng tài liệu Bài 1 (2,5 điểm) Một vật khối lượng m (kg) rơi theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0 (m/s) trong mơi trường cĩ sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc (hệ số tỷ lệ k ), và gia tốc trọng trường g (m/s2). Biết vận tốc của vật thỏa phương trình phương trình vi phân )(tv )/( sm )()(' tv m kgtv −= , 0)0( =v Cho g = 10, m = 1, k = 3. a) Áp dụng phương pháp Ơle với 1,0=h , tính v(0,2) ≈ (1) và v(0,5) ≈ (2) b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, với 1,0=h , tính v(0,2) ≈ (3) và v(0,6) ≈ (4). Từ kết quả đĩ suy ra gia tốc tại điểm t = 0,2s là )2,0('v ≈ (5). Bài 2 (2 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị) Một vật chuyển động thẳng trên trục từ a đến b dưới tác động của ngoại lực biến thiên F(x) cùng hướng chuyển động của vật. Khi đĩ cơng W của lực F(x) được tính bởi công thức x0 ( )b a W F x d= ∫ x Cho a = 0, b = 1,2 và ( ) 1F x x x= + . a) Áp dụng cơng thức hình thang 3 đoạn chia. Khi đĩ W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7). b) Áp dụng cơng thức Simpson 4 đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9). Bài 3 (1,5 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị) Khảo sát độ bền uốn y(x) của một loại vật liệu bằng cách tác động cùng một (loại)lực lên cùng một diện tích bề mặt của các miếng vật liệu giống nhau cĩ bề dày x thay đổi. Chúng ta cĩ bảng số liệu x  0,1 0,2  0,3 0,4 0,5 0,6 y  415 421  428 435 438 441 Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với dạng phương trình y = A + B x , suy ra A = (10) và B= (11). Dự đốn y khi x = là y( ) = (12) 25,0 25,0 Bài 4 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân tety 512)( −= + duutuy t∫ − 0 )(2cos)(5 Bài 5 (2,5 điểm) Cho phương trình vi phân ttytyty 2sin3)(18)('6)('' =++ , 0)0( =y , 0)0(' =y a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân trên. b) Giả sử )(ty là phương trình chuyển động thẳng của một chất điểm theo thời gian t. Xác định giá trị (gầng đúng) của biên độ chuyển động khi t đủ lớn. . ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 5 tháng 6 năm 2014 Bộ môn duyệt ĐÁP ÁN MƠN TỐN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã mơn: MATH131501 Ngày thi: 6/6/2014 Bảng trả lời bài 1, 2, 3: Đề 1: (Bài 1: m = 0,5 ; k = 4) Câu Đáp án Điểm Câu Đáp án Điểm (1) v(0,2) ≈ 1,2 0,5 (7) Δ ≤ 0,016 0,5 (2) v(0,5) ≈ 1,2496 0,5 (8) y2 = F(x2) = 0,7589 0,5 (3) v(0,2) ≈ 0,912 0,5 (9) W ≈ 0,96276 0,5 (4) v(0,6) ≈ 1,225287 0,5 (10) A ≈ 502,97126 0,5 (5) v’(0,2) ≈ 2,704 0,5 (11) B ≈ 35,37548 0,5 (6) W ≈ 0,97456 0,5 (12) y(0,25) ≈ 520,659 0,5 Đề 2: (Bài 1: m = 1 ; k = 3) Câu Đáp án Điểm Câu Đáp án Điểm (1) v(0,2) ≈ 1,7 0,5 (7) Δ ≤ 0,016 0,5 (2) v(0,5) ≈ 2,7731 0,5 (8) y2 = F(x2) = 0,7589 0,5 (3) v(0,2) ≈ 1,48325 0,5 (9) W ≈ 0,96276 0,5 (4) v(0,6) ≈ 2,76341 0,5 (10) A ≈ 395,62652 0,5 (5) v’(0,2) ≈ 5,55025 0,5 (11) B ≈ 59,62675 0,5 (6) W ≈ 0,97456 0,5 (12) y(0,25) ≈ 425,439895 0,5 Bài 4: Áp dụng tích chập, phương trình tương đương với tety 512)( −=  +  tty 2cos*)(5 Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] , và biến đổi Laplace hai vế phương trình và áp dụng định lý Borel ta được 4 5 5 12 2 +++= p pY p Y (0,5 điểm) 415)4)(1)(5( )4(12 (*)2 −+−++=−−+ +=⇔ p C p B p A ppp pY (0,5 điểm) Biến đổi Laplace ngược ta được ttt CeBeAety 45)( ++= − (0,25 điểm) Từ đẳng thức (*) tính được A = 58/9 , B = -10/3 , C = 80/9 (0,25 điểm)  Bài 5: a) Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] , biến đổi Laplace hai vế phương trình và áp dụng tính chất đạo hàm gốc ta được 4 6186 2 2 +=++ pYpYYp (0,5 điểm) ⇔ = Y ]9)3)[(4( 6 22 +++ pp (0,5 điểm) = 4 2 2 + + p BAp + 9)3( 3)3( 2 ++ ++ p DpC = 4 2 4 22 +++ p B p Ap + 9)3( 3 9)3( )3( 22 +++++ + p D p pC (0,5 điểm) Biến đổi Laplace ngược ta được )(ty = + (0,25 điểm) tBtA 2sin2cos + )3sin3cos(3 tDtCe t +− với A = -9/85 , B = 21/170 , C = 9/85 , D = 2/85 (0,25 điểm) b) Khi t đủ lớn: )3 0sin3cos(3 tDtCe t +− ≈ , đặt 2 2 2 2 sin cosA B A B A B α α= ∧ =+ + Khi đó 2 2( ) cos 2 sin 2 sin( 2 ) (0,25)y t A t B t A B tα≈ + = + +   Đây là phương trình chuyển động của dao động điều hòa có biên độ dao động là 22 BA +   Vậy biên độ chuyển động gần bằng 22 BA + , với A = -9/85 , B = 21/170 (0,25 điểm)  Hết