Giáo trình lý thuyết tín hiệu và truyền tin

ghĩa là sẽ có sai số khi thực hiện lượng tử hoá. Như vậy việc lượng tử hoá sẽ biến hàm S(t) thành một hàm S'(t) có dạng bậc thang. Sự sai khác giữa S(t) và S'(t) được gọi là sai số lượng tử hoá. Sai số lượng tử càng nhỏ thì S'(t) càng gần với S(t). S(t) Sn S1 t Hình 1.3. Quá trình lượng tử hóa Hình 1.3 minh hoạ quá trình lượng tử hoá. Khi đã thực hiện việc rời rạc hoá tín hiệu ta sẽ có các nguồn tin rời rạc. Trong nhiều trường hợp chúng ta thường chỉ nghiên cứu các nguồn rời rạc. Một bảng chữ cái A gồm m kí hiệu là một nguồn tin rời rạc, A = {a1, a2, ..., am} với những xác suất hiện p(ai) với i = 1,..., m. Nguồn tin này không diễn tả mối quan hệ giữa các tin trước và tin sau nên được gọi là nguồn tin không nhớ rời rạc. Có nhiều phương pháp biến đổi trong hệ thống thông tin số như dưới đây minh hoạ. Hình 1.4. Các phương pháp biến đổi thông tin số trong các khối chức năng của hệ thống. 1.3. Độ đo thông tin Độ đo của một đại lượng là cách ta xác định độ lớn của đại lượng đó. Mỗi độ đo phải thoả mãn 3 tính chất sau: - Độ đo phải cho phép ta xác định được độ lớn của đại lượng. Đại lượng càng lớn, giá trị đo được càng phải lớn. - Độ đo phải không âm. - Độ đo phải tuyến tính, tức là giá trị đo được của đại lượng tổng cộng phải bằng tổng giá trị của các đại lượng riêng phần khi sử dụng độ đo này để đo chúng. Để xác định độ đo thông tin, chúng ta nhận thấy rằng thông tin càng có nhiều ý nghĩa khi nó càng hiếm gặp, do đó độ lớn của nó phải tỷ lệ nghịch với xác suất xuất hiện của tin, hay nó là hàm f(1/p(xi)) cho tin xi có xác suất xuất hiện p(xi). Một tin không cho chúng ta lượng tin nào khi chúng ta đã biết trước về nó hay có xác suất bằng 1. Để xác định dạng hàm này, người ta sử dụng tính chất thứ ba. Giả thiết rằng có hai tin xi và xj là độc lập thống kê để mỗi tin không chứa thông tin về tin còn lại. Nếu hai tin có xác suất hiện là p(xi) và p(xj), lượng tin của mỗi tin là f(1/p(xi)) và f(1/p(xj)). Giả thiết hai tin này cùng đồng thời xuất hiện, ta có tin (xi, xj), lượng tin chung cho tin này phải bằng tổng lượng tin của từng tin riêng biệt. Khi hai tin xuất hiện đồng thời, xác suất xuất hiện đồng thời của chúng là p(xi, xj), và ta có: f(1/ p(xi, xj)) = f(1/ p(xi)) + f(1/ p(xj)) (1.1) Vì hai tin là độc lập thống kê nên: p(xi, xj) = p(xi) + p(xj) (1.2) Vậy nên: f(1/ (p(xi).p(xj))) = f(1/ p(xi)) + f(1/ p(xj)) (1.3) Như vậy, trong trường hợp này hàm f phải có dạng hàm loga. Vậy hàm log(1/p(xi)) là dạng hàm có thể chọn làm độ đo thông tin. Ta cần kiểm tra tính không âm của hàm này. Vì ta có 0£p(xi)£1 nên 1/p(xi)³1 hay log(1/p(xi)) là không âm. Thêm vào đó khi một tin luôn luôn xuất hiện thì lượng tin nhận được bằng không, ta sẽ kiểm tra điều kiện này. Khi đó p(xi) = 1, do vậy log(1/p(xi)) = 0. Vậy hàm log(1/p(xi)) được sử dụng làm độ đo thông tin hay lượng đo thông tin của một tin của nguồn tin. Lượng đo thông tin của tin xi của nguồn tin nào đó thường được kí hiệu là I(xi) : I(xi) = log(1/p(xi)) (1.4) Trong biểu thức trên cơ số của hàm loga chưa được chỉ ra. Tuỳ vào cơ số của hàm loga này ta sẽ có các đơn vị đo độ lớn thông tin xác định. Hiện nay, thường dùng các đơn vị đo sau: Bit hay đơn vị nhị phân khi cơ số loga là 2; Nat hay đơn vị tự nhiên khi cơ số loga là e; Hartley hay đơn vị thập phân khi cơ số loga là 10. Ví dụ 1. Nguồn A có m kí hiệu đẳng xác suất, một tin do nguồn A hình thành là một dãy n kí hiệu ai bất kỳ (ai ÎA). Chúng ta sẽ xác định lượng tin chứa trong một tin như vậy. Trước hết hãy tìm lượng tin chứa trong một tin ai. Do đẳng xác suất nên mỗi tin ai đều có xác suất là 1/m, do đó: I(ai) = logm Lượng tin chứa trong một dãy x gồm n kí hiệu bằng n lần lượng tin của một kí hiệu (vì chúng đẳng xác suất): I(x) = nlogm Đơn vị lượng tin tuỳ thuộc cách ta chọn cơ số của log, là bit, nat, hay Hartley nếu có số lần lượt là 2, e hay 10. Rõ ràng khi m kí hiệu của nguồn có những xác suất khác nhau và không độc lập thống kê với nhau thì lượng tin riêng từng kí hiệu phụ thuộc vào xác suất xuất hiện p(ai) của nó: I(ai) = log 1/p(ai) Và lượng tin chứa trong một dãy kí hiệu của nguồn không những phụ thuộc vào xác suất xuất hiện từng kí hiệu mà còn phụ thuộc vào xác suất có điều kiện. Khái niệm này sẽ được đề cập đến một cách chi tiết ở các chương sau. Ví dụ 2: Hãy xác định lượng tin riêng chứa trong một ô nhớ của bộ nhớ bán dẫn. Giải: Một ô nhớ như đã biết có thể chứa các tin là 0 hay 1. Nguồn tin là nguồn tin nhị phân N=2. Ta đặt như sau: tin a1 tương ứng với 0 và a2 tương ứng với 1. Vì đẳng xác suất nên P(a1)=P(a2). Và ta có cũng có: P(a1) + P(a2) = 1. Hay P(a1) = P(a2) =1/2 Vậy: I(a1) = I(a2) = log22 = 1 (bit) Vậy một ô nhớ có lượng tin là 1 bit nếu tính theo cơ số 2. Ví dụ 3: Cho một nguồn tin có 8 tin với phân bố xác suất như sau: Tin ai a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 Xác suất P(ai) 1/4 1/4 1/8 x 1/16 1/16 1/16 1/16 Hãy xác định lượng tin riêng của a4. Giải: Ta có P(a4) =1/8 và I(a4) = log 8 = 3bit. Lượng tin chứa trong một dãy kí hiệu của nguồn không những phụ thuộc vào xác suất xuất hiện từng kí hiệu mà còn phụ thuộc vào xác suất có điều kiện. Khái niệm này sẽ được đề cập đến một cách chi tiết ở các chương sau. 1.3.3. Lượng tin trung bình thống kê - Entropy của nguồn tin 1.3.3.1. Lượng tin trung bình thống kê của nguồn tin Lượng tin trung bình của một nguồn tin A là lượng tin trung bình chứa trong một kí hiệu bất kỳ của nguồn tin. Ta thường kí hiệu là I(A) và được tính bởi: (1-5) Ví dụ 4: Ta sử dụng lại điều kiện của ví dụ 3. Bây giờ hãy tính lượng tin riêng của các kí hiệu và trung bình của nguồn tin. Giải: Theo biểu thức 1-4 ta có bảng giá trị lượng tin riêng của các tin như sau: Lượng tin riêng I(a1) a2 a3 A4 a5 a6 a7 a8 2 2 3 3 4 4 4 4 Theo biểu thức (1-5) ta có: I(A) = 2*2*1/4 +2*3*1/8 +4*4*1/16 = 2,75 bit. Điều này cho ta thấy rằng có thể biểu diễn các tin trong nguồn tin A bằng chuỗi có chiều dài trung bình là 2,75 bit thay vì dùng 4 bit. Bây giờ ta xét một sự biến đổi một nguồn X thành nguồn Y thông qua sự truyền lan trong một kênh truyền. Qua bất kỳ một kênh truyền nào cũng đều có nhiễu do vậy sự truyền lan X qua kênh thành Y không phải là một - một. Ta sẽ đi tìm khả năng xi nào có khả năng lớn nhất chuyển thành yj trong quá tình truyền tin. Từ đây ta có khái niệm lượng thông tin tương hỗ, lượng tin còn lại của xi sau khi đã nhận yj (lượng tin điều kiện). Lượng tin còn lại của xi sau khi nhận được là yj xác định nhờ xác suất hậu nghiệm: (1-6) Lượng tin tương hỗ là hiệu lượng tin riêng và lượng tin còn lại của xi sau khi đã nhân được yj (lượng tin điều kiện). Do vậy ta có: (1-7) Mặt khác ta có: Do vậy kết quả ta có: (1-8) Tính chất của lượng tin: 1. Lượng tin riêng bao giờ cũng lớn hơn lượng tin về nó chứa trong bất kỳ một ký hiệu nào có liên hệ thống kê với nó. Nghĩa là: I(xi)>=I(xi,yj) 2. Lượng tin riêng là một đại lượng không âm: I(xi)>=0 nhưng I(xi,yj) có thể âm có thể dương. 3. Nếu X và Y độc lập thì lượng tin của cặp xiyj là: Một cách tổng quát ta có: 1.3.3.2 Entropy của nguồn Như trên đã trình bày, lượng tin trung bình là lượng tin trung bình chứa trong một kí hiệu bất kỳ của một nguồn tin đã cho. Khi ta nhận được tin đồng thời nhận được một lượng tin trung bình nghĩa là độ bất ngờ về tin đó cũng được giải thoát. Vì vậy độ bất ngờ và lượng tin có ý nghĩa vật lý trái ngược nhau nhưng về số đo lại giống nhau. Ở đây ta chỉ xét nguồn rời rạc. Độ bất ngờ của tin xi trong nguồn X được xác định bởi: (1-9) Khi đó độ bất ngờ trung bình của một nguồn tin tính bởi: (1-10) Từ các biểu thức trên ta thấy về số đo H(X)=I(X). H(X) được gọi là Entropy của nguồn, là một thông số thống kê cơ bản của nguồn tin. Tính chất của H(X) ( cũng là của I(X)) H(X)>=0. Nếu p(xi)=1 thì ta có H(X)=0 H(X) lớn nhất nếu xác suất xuất hiện của các kí hiệu của nguồn bằng nhau. Lúc đó độ bất định của một tin bất kỳ trong nguồn là lớn nhất. Tức là: H(X)max£logN. Với nguồn có N tin. Ta có thể chứng minh điều này như sau: Nếu có N tin các xác suất xuất hiện bằng nhau thì H(X) = logN. Xét: 1 0 0,5 1 p H(X) Hình 1.5. Sự phụ thuộc của H(X) vào p Đó là điều phải chứng minh. Ví dụ 5: Cho X={0,1}, p(0) = p, p(1) = 1-p. Tính H(X) và vẽ đồ thị phụ thuộc vào p. Giải: H(X) = -plogp - (1-p)log(1-p). Ta thấy p=1/2 thì H(X) =1 đạt giá trị lớn nhất. 3. Nếu hai nguồn X={x1, ..., xn} và Y={y1, ..., ym} là độc lập thì với z={x,y} ta có: H(Z) = H(X) +H(Y) 1.4. Tốc độ lập tin và độ dư của nguồn Thông số thông kê quan trọng nhất của nguồn tin là Entropy. Thông số thứ hai chính là tốc độ lập tin. Tốc độ lập tin phụ thuộc vào tính chất vật lý của nguồn tin. Tốc độ lập tin R được tính bởi biểu thức sau: R = n0H(X) (1-11) Trong đó n0 là số kí hiệu lập được trong một đơn vị thời gian. Đơn vị của R là bit/s nếu H(X) tính theo bit. Độ dư của nguồn được định nghĩa là sự chênh lệch giữa H(X) và H(X)max. Rs = H(X)max - H(X) (1-12) Độ dư tương đối của nguồn được định nghĩa như sau: (1-13) 1.5. Tín hiệu, biểu diễn và phân loại Tín hiệu là sự biến đổi của một hay nhiều thông số của một quá trình vật lý nào đó theo qui luật của tin tức. Như vậy để truyền tin ta sử dụng các dạng vật chất nào đó để truyền. Cần chú ý rằng chính sự biến đổi của tham số của quá trình vật lý mới là tín hiệu. Trong phạm vi hẹp của mạch điện, tín hiệu là hiệu thế hoặc dòng điện. Tín hiệu có thể có trị không đổi, ví dụ hiệu thế của một pin, accu; có thể có trị số thay đổi theo thời gian, ví dụ dòng điện đặc trưng cho âm thanh, hình ảnh. . . . 1.5.1. Cách biểu diễn hàm tín hiệu. Dưới đây ta trình bày một số tín hiệu thường gặp. - Kiểu liệt kê: hay còn gọi là dạng bảng, các giá trị của tín hiệu được liệt kê trong một bảng giá trị. T 0 1 4 ... S(t) 0 3 7 ... - Dạng đồ thị: dạng đồ thị có loại tọa độ Đề các và tọa độ cực (dạng véc tơ): S(t) t Hình 1.6. a.Hệ Đề các. B. Hệ tọa độ cực S(t1) S(t2) S(t0) a b Khi tín hiệu là thực ta có dạng đồ thị là trục số. Nếu tín hiệu là tín hiệu phức ta có mặt phẳng phức như hình 1.7 minh họa. Biểu diễn phức của tín hiệu thường có dạng: (1-14) Trong đó A là biên độ và j là góc pha. Im Re Hình 1.7. Hệ tọa độ cực. 0 b a 1.5.2. Phân loại tín hiệu Nếu phân loại tín hiệu theo dạng toán học thì ta có hai loại tín hiệu: - Tín hiệu liên tục - Tín hiệu gián đoạn Chúng ta cũng có thể phân tín hiệu thành hai loại là tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn. Theo dạng vật lý thì ta có loại tín hiệu ngẫu nhiên và tiền định. Trong thực tế kỹ thuật điện tử viễn thông ta còn chia các tín hiệu thành các loại tín hiệu: tín hiệu lượng tử, rời rạc, số và tương tự. 1.6. Một số dạng tín hiệu cơ bản Dưới đây giới thiệu một số dạng tín hiệu thường gặp khi phân tích hệ thống truyền tin. a. Tín hiệu dạng hàm e mũ Tín hiệu hàm e mũ thường được biểu diễn dưới dạng biểu thức sau. (1-15) Hình 1.8. Dạng tín hiệu e mũ Trong đó K, s là các hệ số. Dạng tín hiệu phụ thuộc vào các giá trị trên được minh hoạ ở hình 1.8. b. Hàm nhảy bậc đơn vị Hàm được biểu diễn bởi biểu thức sau: Hình 1.9. Hàm nhảy bậc đơn vị Đây là hàm thay đổi giá trị từ 0 lên 1 ( hoặc giá trị bất kỳ) tại thời điểm t=a. Hình 1.19 là minh họa một số trường hợp của hàm nhảy bậc đơn vị. c. Hàm Dirac (hay hàm xung đơn vị) Khi vi phân hàm nhảy bậc đơn vị ta có hàm xung đơn vị hay hàm Dirac. Thường kí hiệu là hàm này là hàm d(t). (1-17) Hình 1.10. Hàm xung đơn vị Ta thấy rằng hàm này là một hàm toán học không chặt chẽ vì tại thời điểm t>0 thì vi phân này bằng 0 nhưng lại không xác định tại t=0. Một cách tổng quát hàm này được định nghĩa bởi các điều kiện sau: d(t) = 0 tại t¹0 d(t) =¥ tại t=0 Dạng hàm d(t) được minh họa ở hình 1.10. d. Các hàm liên quan đến hàm sin Dưới đây là minh họa một số dạng hàm liên quan tới hàm sin như hàm tắt dần, tích của hai hàm sin. Hình 1.11. a. Hàm tắt dần. b. Tích hai hàm sin. 1.7. Các đặc trưng cơ bản của tín hiệu S(t) Smax Smin t Hình 1.12. Các thông số của tín hiệu t 1.7.1. Các thông số và đặc trưng của tín hiệu a. Độ dài của tín hiệu Độ dài của tín hiệu là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu từ khi xuất hiện đến khi kết thúc. b. Khoảng biến thiên của tín hiệu: D = Smax - Smin c. Trị trung bình của tín hiệu: d. Trị hiệu dụng e. Công suất của tín hiệu Công suất tức thời của tín hiệu s(t) được tính bởi: Công suất trung bình được tín bởi: f. Năng lượng của tín hiệu 1.7.2. Các thành phần đặc trưng của tín hiệu Một tín hiệu bất kỹ bao gồm hai thành phần chính là thành phần tín hiệu một chiều và thành phần xoay chiều. Chỉ thành phần biến đổi mới chứa tin tức. Giá trị trung bình của tín hiệu chính là thành phần một chiều. Ngoài ra một tín hiệu s(t) có thể tách ra làm hai tín hiệu chẵn và lẻ. Chương 2. Cơ sở lý thuyết phân tích tín hiệu Chương này sẽ cung cấp cho chúng ta những công cụ cơ bản để phân tích tín hiệu. Đó là các chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Mở đầu Để có thể phân tích tín hiệu thành dạng tổng của các tín hiệu thành phần, các tín hiệu đơn vị thành phần phải trực giao với nhau từng đôi một. Vì vậy khi dùng một công cụ toán học để phân tích tín hiệu thì tín hiệu đơn vị phải có dạng hàm e mũ ( hoặc tổng của cos và sin.). Hai tín hiệu f(t) và g(t) được gọi là trực giao với nhau trên đoạn [a,b] nếu chúng thỏa mãn điều kiện: (2-1) Trong đó g*(t) là liên hợp phức của g(t). Ví dụ 2.1: Cho hai tín hiệu Chứng minh rằng hai tín hiệu trên trực giao với nhau trên đoạn [-T0/2; T0/2] với w0 = 2p/T0. Giải: Xét tích phân theo biểu thức (2-1): Điều này đạt được khi ta chú ý đến tính chất sinx/x®1 khi x®0. Đó là điều phải chứng minh. Dựa vào tính chất trực giao ta có thể phân tích tín hiệu phức tạp thành tổng các thành phần của tín hiệu đơn giản thỏa mãn điều kiện trực giao. Chuỗi Fourier Một tín hiệu có hàm s(t) bất kỳ có thể được viết dưới dạng tổng của các thành phần cos, sin như sau: (2-2) Với tín hiệu tuần hoàn s(t) thì ta có . Để xác định các hệ số an và bn ta sử dụng các biểu thức dưới đây. (2-3) Ví dụ 2.2: Xét một sóng vuông có dạng sau: Hình 2.1. Tín hiệu xung vuông. Xác định các hệ số của chuỗi Fourier khi phân tích tín hiệu thành tổng các tín hiệu cos và sin. Giải: Theo định nghĩa ta có: Tương tự ta có: Ta thấy rằng khi n chẵn thì cosnp=1 và khi n lẻ thì cosnp=0, vậy nên: Cuối cùng ta có hàm f(x) có thể viết lại như sau: Ví dụ 2.3. Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu cost được chỉnh lưu như hình sau: Hình 2.2. Tín hiệu cost chỉnh lưu Giải: Ta có: Tương tự ta có: Và bn = 0. Vậy: Dùng công thức EULER, có thể đưa dạng s(t) ở trên về dạng gọn hơn ( dạng hàm mũ phức ). Theo công thức EULER → ej2πnfot = cos 2πnfot + j sin 2πnfot Một cách tổng quát ta có thể viết lại biểu diễn s(t) dạng chuỗi Fourier như sau: (2-4) Trong đó n là số nguyên. Cn được tính bởi biểu thức sau: (2-5) Ngoài ra ta có các biểu thức quan hệ sau đây: (2-6) Biến đổi Fourier. Phổ của tín hiệu. Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t) bất kỳ được định nghĩa bởi biểu thức sau: (2-7) Trong đó f là tần số của tín hiệu. Một cách tổng quát hàm S(f) là một hàm phức của tần số và có thể được viết lại như sau: S(f) = X(f) +jY(f) (2-8) Trong đó X(f) là phần thực và Y(f) là phần ảo. Hoặc S(f) cũng có thể biểu diễn theo dạng modul và pha như sau: (2-9) Với: (2-10) Để phục hồi s(t) từ biến đổi Fourier ta dùng biến đổi ngược. Ta có biểu thức sau: (2-11) Vậy biểu thức (2-7) và (2-11) cho ta cặp biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier dùng để chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số và ngược lại. Ta thường sử dụng điều này để thực hiện việc phân tích phổ tín hiệu. Sau đây ta xét một số phổ của các tín hiệu đặc biệt. Phổ của một số tín hiệu đặc biệt Hàm cổng Hàm cổng được minh họa trên hình 2.3. Biểu thức toán học của hàm là: Hình 2.3. Hàm cổng Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier ta có: Ảnh của hàm cổng được cho ở hình 2.4. Hình 2.4. Dạng phổ của hàm cổng Hàm e mũ Xét một hàm e mũ có biểu thức như sau: Theo định nghĩa ta có phổ của tín hiệu này được xác định bởi: Hàm Dirac Để xác định biến đổi F của hàm này ta áp dụng tính chất sau đây của hàm. (2-12) Do đó ta có biến đổi F của hàm xung đơn vị là: Vậy Hàm Dirac có biến đổi F là 1. Dựa vào điều này ta tìm biến đổi F của một hàm số là hằng số A bất kỳ. Hàm s(t)=A Theo biểu thức biến đổi F của hàm Dirac thì ta có A«Ad(f). Khi A=1 thì F[1]=2pd(w)=d(f). Một tính chất nữa của hàm Dirac được nhắc tới trong phần này để giúp ta tìm biến đổi F của tín hiệu . Nếu dịch một khoảng thời gian nào đó thì ta có: Ta có cặp biến đổi F sau: Hàm nhảy bậc Hàm nhảy bậc đơn vị được mô tả bởi biểu thức sau: Minh họa của tín hiệu nhảy bậc cho trên hình 1.9. Bây giờ để tìm biến đổi F của hàm u(t) ta định nghĩa một hàm dấu sau đây: (2-13) Theo đó ta có thể viết lại biểu thức biểu diễn cho hàm nhẩy bậc đơn vị như sau: (2-14) Theo đó ta đã có: Ta xét hàm dấu sgn(t). Hàm này có thể được xem như là giới hạn của hàm e mũ. Nghĩa là: (2-15) Do đó biến đổi F của sgn(t) sẽ là: Vậy biến đổi F[u(t)] = Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier. Qua các ví dụ trên ta thấy rằng trong một số trường hợp đặc biệt mặc dù tích phân theo định nghĩa để tính biến đổi F là không hội tụ nhưng tín hiệu vẫn tồn tại biến đổi F bằng cách tính gián tiếp. Một cách tổng quát để tồn tại biến đổi Fourier thì năng lượng của tín hiệu phải bị giới hạn. Nghĩa là: (2-16) Nếu tín hiệu tồn tại biến đổi Fourier thì ta cũng có thể xác định năng lượng qua phổ của nó. (2-17) Cả hai biểu thức này đều có thể dùng để xác định năng lượng của tín hiệu. Biểu thức (2-17) được gọi là định lý Parseval. Như vậy năng lượng tín hiệu trong miền thời gian bằng năng lượng tín hiệu tính trong miền tần số. Các tính chất của biến đổi Fourier Tính tuyến tính Nếu s(t) là tổng của hai thành phần tín hiệu s1(t) và s2(t) thì ta có: (2-18) Ví dụ 2.3. Xác định phổ của tín hiệu s(t) sau đây: Giải: Ta có công thức Euler: Như đã xét ta có cặp biến đổi F: Do vậy ta có: Hình 2.5. Hàm cổng cho ví dụ 2.4 Tính dịch chuyển theo thời gian Nếu: Thì ta có:(2-19) Ví dụ 2.4. Xác định phổ của tín hiệu sau: Giải: Theo định nghĩa của biến đổi F ta có: Tính chất dịch tần số Nếu Thì ta có: (2-20) Ví dụ 2.5. Tìm biến đổi F của tín hiệu sau: Hình 2.6. Phổ của tín hiệu dịch tần Giải: Vì s(t) chính là hàm cổng có A=1 nhân với thành phần e mũ nên ta có: Tính co dãn theo thời gian Nếu Thì (2-21) Ta thấy rằng nếu a>1 thì tín hiệu được làm giãn. Ngược lại a<1 thì làm co tín hiệu lại. Phổ của đạo hàm và tích phân Nếu Thì (2-22) Và (2-23) Phổ của tích và tích chập hai tín hiệu Trước hết ta định nghĩa tích chập của hia tín hiệu: (2-24) Theo đó tích chập của hai tín hiệu có tính chất giao hoán. Ta có: (2-25) Định lý về sự biến điệu Định lý điều chế thể hiện qua biểu thức sau: (2-26) Chương 3. Ứng dụng phương pháp phổ phân tích đặc tính của tín hiệu và hệ thống Kênh truyền dẫn tín hiệu Khái niệm về độ rộng phổ tín hiệu Độ rộng phổ của tín hiệu là khoảng tần số mà trên đó tồn tại phổ của tín hiệu kể từ tần số cao nhất tới tần số lớn nhất. Hình 3.1. Sự phân bố phổ tín hiệu S(f) f fmin fmax Giả sử ta có một tín hiệu có sự phân bố phổ như hình 3.1 thì ta có độ rộng phổ được tính như sau: Df=fmax - fmin (3-1) Trong dải tần số từ fmin tới fmax ta định nghĩa tần số trung tâm của băng tần là f0: (3-2) Hệ tuyến tính bất biến Hình 3.2. Sơ đồ khối một hệ thống Một hệ thống có thể được hiểu đó là một tập hợp những định luật liên kết một hàm thời gian ở lối ra với mỗi hàm thời gian ở lối vào. Sơ đồ khối đơn giản của một hệ thống như: - Input hay nguồn tin r(t). - Output hay đáp ứng của nguồn tin s(t). Cấu trúc vật lý thực tế của hệ xác định hệ thức chính xác giữa r(t) và s(t). Sự liên hệ giữa Input và Ouput được dùng ký hiệu là mũi tên một chiều r(t)®s(t). Nếu hệ là một mạch điện, r(t) có thể là điện thế hoặc dòng điện và s(t) có thể là điện thế hoặc dòng điện được đo bất kỳ nơi đâu trong mạch. Một hệ được nói là Chồng chất ( Superposition ) nếu đáp ứng do tổng các tín hiệu vào là tổng của các đáp ứng riêng tương ứng. Nghĩa là, nếu s1(t) là đáp ứng của r1(t) và s2(t) là đáp ứng của r2(t) thì đáp ứng của r1(t) + r2(t) là s1(t) + s2(t). Nếu: r1(t)®s1(t) r2(t)®s2(t) Thì khi đó: r1(t)+r2(t)®s1(t)+s2(t) Hơn thế nữa một hệ được gọi là tuyến tính nếu: ar1(t)+br2(t)®as1(t)+bs2(t) Một hệ thống được nói là “ Không đổi theo thời gian “ ( Time invariant ) nếu đáp ứng của một tín hiệu vào không phụ thuộc vào thời điểm mà tín hiệu đó tác động lên hệ. Một thời gian trễ ( Time shift ) trong tín hiệu vào sẽ gây ra một thời gian trễ bằng như vậy trong đáp ứng của nó: Nếu r(t)®s(t) Thì r(t-t0)®s(t-t0) Một điều kiện đủ cho một mạch điện không đổi theo thời gian là các thành phần của nó có trị giá không đổi với thời gian ( giả sử các điều kiện đầu không đổi ). Đó là điện trở, tụ và cuộn cảm. Hàm truyền Một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian được đặc trưng bởi hàm truyền. Để đặc trưng hóa một hệ thống tuyến tính không đổi theo thời gian, ta có thể dùng một phương pháp rất đơn giản. Thay vì cần biết đáp ứng của mỗi tín hiệu vào, ta chỉ cần biết đáp ứng của một tín hiệu thử (test input) mà thôi. Tín hiệu thử là xung lực. Xem phép chồng: r(t) = r(t) * δ (t) = (3-3) Ta xem tích phân này là một tổng: (3-4) Phương tình trên biểu diễn tổng trọng lượng của các xung đơn vị bị trễ. Như vậy, tín hiệu ra là một tổng của các đáp ứng ra bị trễ của một xung đơn vị duy nhất. Giả sử, ta biết đáp ứng ra của mạch do một xung đơn vị duy nhất gây ra và ký hiệu đó là h(t) (đáp ứng xung đơn vị). Vậy đáp ứng do tín hiệu vào của phương trình (3.4) là: (3-5) Nếu bây giờ ta lại lấy giới hạn nó trở thành tích phân, vậy ta có: (3-6) Từ biểu thức (3-6) ta thấy rằng đáp ứng của tín hiệu nào cũng có thể tìm được bằng cách chồng nó với với đáp ứng xung của hệ thống. Để tìm đáp ứng xung của hệ thống ta sử dụng hàm tín hiệu xung đơn vị Dirac vì biến đổi Fourier của nó bằng 1. Do vậy nó chứa mọi tần số. Trong thực tế ta không thể tạo ra được hàm xung đơn vị lý tưởng . Ta chỉ có thể xem nó xấp xỉ với một xung có biên độ rất lớn và độ dài xung rất nhỏ. Bây giờ từ biểu thức (3-6) ta thấy rằng: S(f) = R(f)H(f) (3-7) Trong đó S(f), R(f) và H(f) là các biến đổi F của các tín hiệu s(t), r(t), và h(t). Do vậy: (3-8) H(f) được gọi là hàm truyền của hệ thống. Đôi khi nó còn được gọi là các hàm chuyển hay hàm hệ thống. Điều kiện truyền tín hiệu không méo Khi tín hiệu truyền qua môi trường truyền dẫn ta gọi là kênh truyền thì để tín hiệu không bị méo dạng thì phổ của tín hiệu phải nằm lọt trong dải thông của kênh truyền truyền. Trong thực tế khi truyền tín hiệu thường bị méo. Để đơn giản ở đây chỉ xét méo tuyến tính. Méo tuyến tính có thể gây ra những vấn đề trong các hệ thống truyền xung hoặc trong thông tin số. Sự méo này được đặc trưng bởi thời gian lan tỏa (spreading) do hiệu ứng nhiều đường hoặc do đặc tính của kênh. H(f) = A(f)e-jθ(f) (3-9) A(f): Thừa số biên độ ; θ(f): Thừa số pha. Sự méo dạng sinh ra từ hai thừa số phụ thuộc tần số ở phương trình (3.19). Nếu A(f) không là hằng, ta có sự méo biên độ. Nếu θ(f) không tuyến tính với f, ta có sự méo pha. Méo biên độ. Trước hết giả sử θ(f) tuyến tính với f. Hàm truyền có dạng: H(f) = A(f)e-j2πfto (3-10) Trong đó hằng số tỉ lệ của pha là t0 , vì nó biểu diễn cho thời trễ của kênh. Một cách tổng quát để phân tích biểu thức này với sự biến thiên của biên độ là khai triển A(f) thành chuổi Fonrier. Theo đó ta có: (3-11) Các thành phần Hn(f) có dạng biểu thức cosin sau: (3-12) Chúng ta có thể liên kết với lọc Cosine, mà đặc tuyến biên độ cho sóng Cosine trong dãy thông như hình 3.3 (với n = 2). Khi đó hàm hệ thống của bộ lọc này là: Khi đó nếu tín hiệu vào là r(t) thì tín hiệu ra s(t) sẽ có dạng: (3-13) Hình 3.3. Bộ lọc cosin Phương trình (3-13) cho thấy đáp ứng có dạng của một phiên bản không méo của input cộng thêm 2 phiên bản bị dời thời gian (time - shifted) ( tiếng vang / đa lộ ) echoes/multipaths. Trở lại trường hợp lọc tổng quát, ta thấy Output của một hệ với sự méo biên độ là một tổng các input bị trễ. Vậy với: (3-14) Thì lối ra Output s(t) của một lối vào Input r(t) sẽ là: (3-15) Méo pha : Sự thay đổi pha từ trường hợp không méo (pha tuyến tính) có thể được đặc trưng bằng sự thay đổi độ dốc của đặc tuyến pha và đặc tuyến của một đường từ gốc đến một điểm trên đường cong đặc tuyến. Ta định nghĩa Trễ nhóm (Group delay hay trễ bao hình) và trễ pha (Phase delay) như sau: (3-16) Hình 3.4. Trễ nhóm và trễ pha. Hình 3.4. minh họa trễ nhóm và trễ pha. Đối với một kênh Không méo lý tưởng, đặc tuyến pha là một đường thẳng. Vậy trễ nhóm và trễ pha đều không đổi với mọi f. Thật vậy, cả hai sẽ bằng với thời trễ t0 của tín hiệu vào. Điều chế tín hiệu Khái niệm Hình 3.5 trình bày một mẫu dạng sóng của tiếng nói mà ta muốn truyền đi. Nó không có một đặc trưng riêng biệt nào và tùy thuộc rất nhiều vào âm thanh được tạo ra. Vì dạng sóng chính xác không được biết, nên ta có thể nói như thế nào về hệ thống cần thiết để truyền nó ? Trong trường hợp tiếng nói ( hay bất kỳ một tín hiệu Audio nào ), câu trả lời dựa vào sinh lý học. Tai người ta chỉ có thể đáp ứng với những tín hiệu có tần số khoảng dưới 15kHz ( số này giảm theo tuổi tác ). Vậy nếu mục đích cuối cùng của ta là nhận những tín hiệu audio, phải giả sử rằng ảnh F của tín hiệu là bằng không khi f>15kHz. Hình 3.5. Dạng tín hiệu âm thanh S(f) = 0 , f > fm ; Với fm = 15kHz . Những hòa âm hoặc những dụng cụ phát âm khác, có thể tạo ra những thành phần tần số cao hơn 15kHz, dù tai người không thể nghe được. Tuy nhiên, nếu một trong những tín hiệu này đi qua một bộ lọc hạ thông có tần số cắt 15kHz, thì ngõ ra của bộ lọc ( nếu đưa đến loa ) sẽ tạo lại giống như tín hiệu vào. Như vậy, ta đã giả sử rằng tín hiệu đã bị giới hạn bởi một tần số trên ( upper frequency ) vào khoảng 15kHz. Bây giờ ta giả sử lấy một tín hiệu audio và cố truyền qua không khí - Bước sóng của tín hiệu 3KHz trong không khí khoảng 100km. Một anten 1/4 sóng sẽ dài 25km! Điều ấy không thể thực hiện. Và nếu giả sử ta có thể dựng được anten thì ta còn gặp phải 2 vấn đề. Thứ nhất, liên quan đến những tính chất của không khí và tần số audio. Những tần số này truyền không hiệu quả trong không khí. Thứ hai, sự giao thoa do các dãy tần của các đài phát phủ lên nhau. Vì những lý do đó, ta phải cải biến tín hiệu tần số thấp trước khi gửi nó đi từ nơi này đến nơi khác. Tín hiệu đã cải biến ít nhạy cảm với nhiễu so với tín hiệu gốc. Phương pháp chung nhất để thực hiện sự cải biến là dùng tín hiệu tần số thấp để biến điệu ( cải biến những thông số của ) một tín hiệu tần số cao hơn. Tín hiệu này thường là hình sin. Một cách tổng quát tín hiệu này có thể được viết dưới dạng: (3-16) Khi đó ta lựa chọn tần số sóng mang thích hợp để có thể truyền đi xa một cách hiệu quả. Ví dụ 3.1: Điều chế FM của đài phát thành Hải Phòng có tần số sóng mang là fc =93,7MHz. Ví dụ 3.2: Với một tần số sóng mang là 100MHz, hãy xác định chiều dài anten hợp lý để phát sóng. Ta có: Đây là chiều dài anten hợp lý khi dùng để phát vô tuyến. Từ biểu thức (3-16) ta cũng nhận thấy rằng có thể thay đổi biên độ A, tần số f và pha q của tín hiệu. Tương ứng ta có ba loại điều chế cơ bản là điều chế biên độ, điều chế tần số và điều chế pha. Điều chế biên độ a. Điều chế biên độ sóng mang bị nén 2 băng 2 cạnh DSB SCAM ( double - side band suppressed carried amplitude modulation ). Nếu ta điều chế biên độ của sóng mang ở phương trình (3-16), ta có kết quả: Sm(t) = A(t) cos ( 2πfCt+θ ) (3-17) Tần số fC và pha θ không đổi Biên độ A(t) thay đổi cách này hay cách khác theo s(t). Để đơn giản, ta giả sử θ = 0. Điều này không ảnh hưởng đến kết quả căn bản vì góc thực tế tương ứng với một độ dời thời gian q/2pfc. ( Một sự dời thời gian không được xem là sự méo dạng trong một hệ thông tin ). A(t) thay đổi như thế nào với s(t)? Câu trả lời đơn giản nhất là chọn A(t) bằng với s(t). Điều đó sẽ đưa đến dạng sóng biến điệu AM. sm(t) = s(t) cos 2πfCt (3-18) Tín hiệu loại này gọi là biến điệu AM sóng mang bị nén 2 băng cạnh vì những lý do mà ta sẽ thấy ngay sau đây: Hình 3.6. Dạng phổ tín hiệu Đặt S(f) là biến đổi F của s(t). Nhớ là ta không cần gì hơn là S(f) phải bằng zero đối với những tần số cao hơn tần số cắt fm. Hình 3.6 chỉ một S(f) biểu diễn cho yêu cầu đó. Đừng nghĩ rằng S(f) luôn phải là như vậy, mà nó chỉ là biến đổi F của một tín hiệu tần số thấp tổng quát, có dãy tần bị giới hạn. Định lý về sự biến điệu ( chương II ) được dùng để tìm Sm(f): Sm(f) = F [s(t)Cos2πfCt] = 1/2[S (f + fC) + S (f - fC)] (3-19) Hình 3.7. Phổ của tín hiệu điều biên DSB SCAM. Nhớ là biến điệu một sóng mang bằng s(t) sẽ làm dời tần số của s(t) ( cả chiều lên và chiều xuống ) bởi tần số của sóng mang. Hình 3.7 minh họa điều này: Điều này tương tự với kết quả lượng giác của một phép nhân một hàm sin với một hàm sin khác. Hình 3.7 cho thấy, sóng biến điệu sm(t) chứa những tần số trong khoảng fC - fm và fC + fm. Nếu gán những trị tiêu biểu vào cho fm = 15kHz và fC = 1MHz, ta sẽ thấy khoảng tần số bị chiếm bởi sóng biến điệu là từ 985.000 đến 1.015.000Hz. - Thứ nhất: Với khoảng tần số này, thì thì anten có chiều dài hợp lý có thể xây dựng được. Đó là một trong 2 vấn đề cần giải quyết. - Vấn đề thứ hai, là khả năng tách kênh trong một hệ đa hợp (Multiplexing). Ta thấy, nếu một tin tức biến điệu một sóng hình sin tần số fC1 và một tin tức khác biến điệu một sóng hình sin tần số fC2 thì các ảnh F của 2 sóng mang bị biến điệu sẽ không phủ lên nhau. Và fC1, fC2 tách biệt nhau ít nhất là 2fm. Hình 3.8. Dạng phổ của hai tín hiệu điều biên Nếu các tần số của 2 sóng biến điệu không cách nhau xa lắm, cả 2 có thể dùng 1 anten, mặc dù chiều dài tối ưu của anten không như nhau cho cả 2 kênh [trong thực tế, một anten được dùng cho cả 1 khoảng tần số. Ta nhấn mạnh lại rằng, các tín hiệu có thể được tách ra nếu chúng không bị phủ lên nhau ( hoặc về thời gian, hoặc về tần số ). Nếu chúng không phủ nhau về thời gian, có thể dùng các cổng hay các Switchs để tách. Nếu chúng không phủ về tần số, các tín hiệu có thể tách ra bởi các bộ lọc dải thông. Vậy, một hệ thống như hình 3.9 có thể dùng để tách sóng mang bị điều chế. Hình 3.9. Tách hai tín hiệu điều biên. Nếu nhiều tín hiệu được truyền trên cùng một kênh, chú ý có thể được tách ra tại máy thu bằng các bộ lọc dải thông. Các bộ lọc này chỉ tiếp nhận một trong các tín hiệu hiện diện trong tín hiệu điều chế mong muốn. Hình 3.10 minh họa các bộ lọc này. Hình 3.10. Các bộ lọc dùng trong giải điều chế biên độ. Ví dụ 3.3. Một tín hiệu tin tức có dạng: Tín hiệu này được điều chế biên độ bởi sóng mang với tần số 10Hz( ví dụ minh họa mà thôi). Hãy vẽ dạng sóng AM và biến đổi F của nó. Giải: Nếu điều chế AM DSB SCAM thì ta có dạng tín hiệu sau điều chế như sau: Hình 3.11. Dạng tín hiệu cho ví dụ 3.3. s(t) Dạng sóng tín hiệu như hình 3.11. Ta thấy rằng biến đổi F của tín hiệu là hàm cổng vì tín hiệu chính là hàm sinc. Biến đổi F của sóng điều chế được tính bởi định lý biến điệu: Hình 3.12. Dạng phổ của tín hiệu s(t) và tín hiệu sau điều chế ví dụ 3.3. Theo định lý điều chế chứng tỏ rằng một hàm thời gian với hàm sin sẽ dời ảnh F của hàm thời gian đi trong miền tần số. Cos2pfct Hình 3.13. Quá trình giải điều chế tín hiệu điều biên. Vậy nếu ta lại nhân Sm(t) với một hàm sin ( tần số sóng mang ), thì ảnh F sẽ dời lui xuống đến tần số thấp của nó. Phép nhân này cũng dời ảnh F lên đến 1 vị trí giữa khoảng 2fC, những thành phần này dễ dàng bị loại bởi một lọc hạ thông. Tiến trình này vẽ ở hình 3.13. Sự phục hồi tín hiệu được mô tả như sau: Sau khi cho tín hiệu g(t) qua bộ lọc thông thấp ta được thành phần tín hiệu cần truyền đi s(t)/2 (một nửa của s(t)). Quá trình trên được gọi là quá trình giải điều chế tín hiệu điều biên. b. Điều chế biên độ sóng mang được truyền băng 2 cạnh DSB TCAM Trong trường hợp này ta cải biến bằng cách thêm một thành phần sóng mang. Biểu thức thực hiện như hình sau: (3-20) Vậy khác với trường hợp trước DSB SCAM trong trường hợp này ta đã truyền một thành phần rõ ràng sóng mang Acos2pfct. Có thể viết lại biểu thức (3-20) như sau: (3-21) Hình 3.14. Sơ đồ điều chế và dạng phổ tín hiệu. Khi đó biến đổi F của tín hiệu có dạng như hình 3.14 sau: Tùy thuộc giá trị biên độ của s(t) là a và A mà dạng tín hiệu điều chế trong miền thời gian có dạng khác nhau. Điều chế FM và PM Điều chế tần số Mở đầu Xem một sóng mang chưa bị biến điệu sC(t) = A cos(2πfCt + θ) (3-22) Nếu fC bị thay đổi tùy theo thông tin mà ta muốn truyền, sóng mang được nói là được biến điệu tần số. Còn nếu θ bị làm thay đổi, sóng mang bị biến điệu pha. Nhưng nếu khi fC hay θ bị thay đổi theo thời gian, thì sC(t) không còn là Sinusoide nữa. Vậy định nghĩa về tần số mà ta dùng trước đây cần được cải biến cho phù hợp. Xem 3 hàm thời gian: s1(t) = A cos 6πt s2(t) = A cos (6πt +5) s3(t) = A cos (2πt e-t ) Tần số của s1(t) và s2(t) rõ ràng là 3Hz. Tần số của s3(t) hiện tại chưa xác định. Định nghĩa truyền thống của ta về tần số không áp dụng được cho loại sóng này. Vậy cần mở rộng khái niệm về tần số để áp dụng cho những trường hợp mà ở đó tần số không là hằng. Ta định nghĩa tần số tức thời theo cách có thể áp dụng được cho các sóng tổng quát. Tần số tức thời được định nghĩa như là nhịp thay đổi của pha. Nếu đặt như sau: (3-23) Ta sẽ có được định nghĩa của tần số tức thời: (3-24) Trong đó fi được gọi là tần số tức thời. Ví dụ 3.4. Tìm tần số tức thời của các sóng sau: Giải: Tổng quát sóng có dạng biểu diễn toán học như sau: Trong đó g(t) là một hàm có dạng ở hình 3.15. Tần số tức thời cho bởi: Hình 3.15. Dạng hàm g(t). Hàm fi(t) cũng được mô tả giống g(t). Ví dụ 3.5. Tìm tần số tức thời của hàm sau đây: Giải: Áp dụng định nghĩa ta có: Dạng hàm của tần số tức thời được cho trên hình 3.16. Hình 3.16. Hàm của tần số tức thời ví dụ 3.5 Điều chế tần số Biến điệu FM được phát minh bởi Edwin Armstrong năm 1933 [cũng là người phát minh máy thu kiểu đổi tần (superheterodyne - siêu phách)]. Trong biến điệu FM, ta biến điệu tần số tức thời fi (t) bởi tín hiệu s(t). Và cũng vì để có thể tách biệt các đài với nhau, ta phải dời tần s(t) lên đến tần số sóng mang fC. Ta định nghĩa biến điệu FM như là một sóng với tần số tức thời như sau: fi (t) = fC + Kf s(t) (3-25) Trong đó: fC là tần số sóng mang (hằng số) và Kf là hằng số tỷ lệ, thay đổi theo biên độ của s(t). Nếu s(t) tính bằng volt, Kf có đơn vị là Hz/v hoặc 1/v.sec . Vì tần số là đạo hàm của pha, nên: (3-26) Không mất tính tổng quát giả thiết điều kiện ban đầu bằng 0, sóng điều chế có dạng như sau: (3-27) Chúng ta thấy rằng nếu s(t)=0 thì ta có tín hiệu điều chế là sóng mang thuần túy. Tần số sẽ thay đổi từ fc+Kf{min[s(t)]} tới fc+Kf{max[s(t)]}. Khi mà Kf rất nhỏ ta có điều chế FM băng hẹp. Ngược lại Kf lớn ta có loại FM băng rộng. Điều chế FM băng hẹp: Khi mà Kf rất nhỏ ta có điều chế FM băng hẹp, khi đó ta có thể dùng phép tính xấp xỉ để đơn giản phương trình của FM. Ta viết lại biểu thức sau: Đặt hàm g(t) như sau: (3-28) Vậy ta viết lại được như sau: (3-29) Khai triển hàm cos ta có: (3-30) Nếu Kf rất nhỏ thì ta thấy rằng có thể gần đúng như sau: (3-31) Từ biểu thức (3-31) ta nhận thấy rằng phép tính này tuyến tính với g(t) tức là tuyến tính với s(t). Bây giờ ta đi tìm biến đổi Fourier của nó. Ta đã có: Vậy từ (3-31) ta có: (3-32) Dạng phổ của điều chế FM băng hẹp cho trên hình 3.17. Hình 3.17. Phổ của tín hiệu tin và điều chế. FM băng hẹp có 3 vấn đề: - Tần số có thể tăng cao đến mức cần thiết để truyền đi có hiệu qủa, bằng cách điều chỉnh fC đến trị mong muốn. - Nếu tần số sóng mang của nguồn tin lân cận cách nó ít nhất 2fm, thì các tín hiệu chứa những nguồn tin khác nhau có thể truyền cùng lúc trên cùng một kênh. - s(t) có thể hồi phục từ sóng biến điệu. Và phần sau ta sẽ thấy, cùng một khối hoàn điệu có thể tách sóng cho FM trong cả 2 trường hợp Kf nhỏ và Kf lớn. Khổ băng của sóng FM là 2fm, đúng như trường hợp AM hai cạnh. Thí dụ dùng tiếng huýt sáo (tối đa 5000Hz) để biến điệu một sóng mang. Giả sử sự dời tần tối đa là 1Hz. Như vậy, tần số tức thời thay đổi từ (fC - 1)Hz đến (fC + 1)Hz. Biến đổi F của sóng FM chiếm một băng giữa (fC - 5000)Hz và (fC + 5000)Hz. Rõ ràng, tần số tức thời và cách thức mà nó thay đổi đã góp phần (cả 2) vào khổ băng của FM. Gọi là “Băng hẹp” khi Kf nhỏ, là vì khi Kf tăng, khổ băng sẽ tăng từ trị tối thiểu 2fm. Sơ đồ điều chế/ giải điều chế FM bằng hẹp như sau: Hình 3.18. a. Sơ đồ điều chế, b sơ đồ giải điều chế FM băng hẹp. Nếu Kf nhỏ không đủ để cho phép tính xấp xỉ như ở phần trên, ta có FM băng rộng. Tín hiệu được truyền: λfm(t) = A cos 2π[fct + Kfg(t)] Trong đó g(t) là tích phân của tín hiệu chứa tin s(t). Nếu g(t) là một hàm đã biết, biến đổi F của sóng FM sẽ tính được. Nhưng trong những trường hợp tổng quát, không thể tìm biến đổi F cho sóng FM, vì sự liên hệ phi tuyến giữa s(t) và sóng biến điệu. Những phân giải thực hiện trong phạm vi thời gian. Ta giới hạn trong một trường hợp riêng, dùng tín hiệu mang tin là một Sinusoide thuần túy. Điều này cho phép dùng lượng giác trong phân giải. S(t) = a cos 2πfmt a: hằng số biên độ. Tần số tức thời của sóng FM được cho bởi: fi (t) = fC + aKf cos 2πfmt Khi đó sóng mang FM có dạng: (3-33) Phổ của dạng tín hiệu này có được nhờ sử dụng hàm Bessel. Ở đây chỉ đưa ra kết quả như hình 3.18: Hình 3.18. Dạng phổ điều chế băng rộng của tín hiệu dạng sin Hình 3.19. Sơ đồ điều chế FM băng rộng Sơ đồ điều chế và giải điều chế của FM banưg rộng như hình 3.19. Không có sự khác biệt cơ bản giữa biến điệu pha và biến điệu tần số. Hai từ ấy thường được dùng thay đổi cho nhau. Biến điệu một pha bằng một sóng thì cũng như biến điệu đạo hàm của nó (tần số) với sóng ấy. Sóng biến điệu pha cũng có dạng: λ pm(t) = A cos θ(t). Trong đó θ(t) được biến điệu bởi s(t). Vậy: θ(t) =2π [fCt + Kp s(t)] (3-34) Hằng số tỷ lệ Kp có đơn vị V-1. Sóng PM có dạng: (3-35) Khi s(t) = 0, sóng PM trở thành sóng mang thuần túy. Ta có thể liên hệ PM với FM bằng cách dùng định nghĩa của tần số tức thời: fi (t) = fC + Kpds/dt (3-36) Trông rất giống với trường hợp của FM. Thực vậy, không có sự khác biệt giữa việc biến điệu tần số một sóng mang bằng s(t) và việc biến điệu pha của cùng sóng mang đó bằng tích phân của s(t). Ngược lại không có gì khác nhau giữa việc biến điệu pha của một sóng mang bằng s(t) và biến điệu tần số cùng sóng mang ấy bằng đạo hàm của s(t). Vì vậy, tất cả các kết quả của điều chế FM trên đây thì cũng được áp dụng cho điều chế PM. Chương 4. Rời rạc hóa và lượng tử hóa tín hiệu 4.1. Rời rạc hóa tín hiệu 4.1.1. Lấy mẫu Để đổi một sóng chứa tin Analog thành tín hiệu rời rạc, trục thời gian, phải bằng cách này hay cách khác, được rời rạc hoá. Sự đổi trục thời gian liên tục thành một trục rời rạc được thực hiện nhờ phương pháp lấy mẫu. Định lý lấy mẫu ( đôi khi còn gọi là định lý Shannon, hoặc định lý Kotelnikov ) chứng tỏ rằng: Nếu biến đổi F của một hàm thời gian là bằng với |f| > fm và những trị giá của hàm thời gian được biết với t = n TS ( với mọi trị nguyên của n ) thì hàm thời gian được biết một cách chính xác cho mọi trị của t. Một cách tổng quát định lý Shannon được phát biểu như sau: Một tín hiệu tương tự bất kỳ có độ dài hữu hạn s(t) có thể biểu diễn bằng các điểm rời rạc mà khoảng cách theo thời gian giữa hai điểm liên tiếp nhau không vượt quá 1/2fmax, trong đó fmax là tần số lớn nhất của tín hiệu s(t). Nghĩa là: (4-1) Nói cách khác s(t) có thể được xác định từ những giá trị của nó tại một loạt những thời điểm cách đều nhau. Tần số lấy mẫu là fs = 1/Ts hay fs³2fmax. Như vậy, tần số lấy mẫu ít nhất phải 2 lần cao hơn tần số của tín hiệu được lấy mẫu. Nhịp độ lấy mẫu tối thiểu, 2 fm, được gọi là nhịp lấy mẫu Nyquist. Thí dụ, nếu một tiếng nói có tần số max 4KHz, nó phải được lấy mẫu ít nhất 8.000 lần/sec. Ta thấy rằng khoảng cách giữa những thời điểm lấy mẫu thì tỷ lệ nghịch với tần số cao nhất của tín hiệu ( fm ). Có ít nhất 3 cách để tiếp cận với định lý Shannon. Ta sẽ trình bày ở đây 2 cách. Trước tiên ta tiếp cận định lý này theo những hiểu biết về điều chế AM. Ta lấy tích của một chuỗi xung và s(t). Nếu chuỗi gồm những xung hẹp, thì output của mạch nhân là một phiên bản được mẫu hoá của tín hiệu gốc. Lối vào không chỉ tùy thuộc vào những trị mẫu của lối ra mà còn vào một khoảng những trị chung quanh mỗi điểm lấy mẫu. Những hệ thống thực tế thường lấy mẫu trong một khoảng thời gian nhỏ xung quanh các điểm lấy mẫu. Hàm nhân không nhất thiết phải chứa các xung vuông hoàn toàn, nó có thể là một tín hiệu tuần hoàn bất kỳ. Hình 4.1. Tiếp cận theo điều chế AM Phép nhân s(t) với p(t) như hình 4.1 là một dạng " đóng mở cổng " (Time Gating ) hay Switching. Chủ đích của ta là chứng tỏ rằng tín hiệu gốc có thể được hồi phục từ sóng đã lấy mẫu, ss(t). Giả sử s(t) bằng 0 tại những tần số cao hơn fm. Biến đổi F của nó S(f) bị cắt tại fm. Hình 4.2. Dạng phổ tín hiệu. Vì chuỗi xung nhân vào giả sử là tuần hoàn, nó có thể được khai triển thành chuỗi F. Và vì p(t) được chọn là hàm chẵn, ta có thể dùng chuỗi lượng giác chỉ chứa các số hạng cosine. Vậy: ss(t) = s(t)p(t). Biểu diễn theo chuỗi Fourier ta có: (4-2) Ta thấy rằng thành phần thứ hai trong biểu thức 4-2 chính là một sóng AM, trong đó tín hiệu chứa tin là s(t) và sóng mang là nfs. Hình 4.3. Dạng phổ tín hiệu lấy mẫu Biến đổi Fourier của nó như hình sau: Tập trung tại gốc, là biến đổi của aos (t). Các phiên bản bị dời tần là biến đổi của các số hạng biến điệu chứa trong dấu Σ. Ta thấy các thành phần không phủ nhau vì fS > 2fm. (Đó là điều kiện của định lý lấy mẫu ). Vậy chúng ta có thể tách ra bằng cách dùng những mạch lọc tuyến tính. Một bộ lọc LPF có tần số cắt fm sẽ hồi phục lại thành phần aos(t). Đó là điều cần chứng minh. Bây giờ ta tiếp cận định lý Shannon theo phương pháp toán học. Ta triển khai S(f) thành chuỗi Fourier trong khoảng -fm<f<fm, dạng chuỗi như biểu thức 4-3. (4-3) Trong đó . Theo chuỗi Fourier ta cũng có: (4-4) Nhưng khi biến đổi ngược FT ta có: (4-5) Vì phổ của tín hiệu S(f) bằng 0 ở ngoài khoảng fm. Bây giờ ta so sánh hai biểu thức 4-4 và 4-5 ta thấy rằng: (4-6) Phương trình trên cho ta thấy rằng Cn được xác định một khi s(t) được biết tại các điểm t=n/2fm. Khi Cn được biết thì hàm S(f) cũng sẽ được xác định. Hay nói cách khác ta cũng biết được s(t). Do đó định lý lấy mẫu được chứng minh. Bây giờ ta tìm s(t) từ các giá trị Cn: (4-7) Biến đổi ngược ta được s(t): (4-8) Vậy ta có thể dùng biểu thức 4-8 để tìm s(t) từ những giá trị được lấy mẫu. 4.1.2 Các phương pháp rời rạc hóa Định lý lấy mẫu gợi ra một kỹ thuật để đổi một tín hiệu Analog s(t) thành một tín hiệu rời rạc. Ta chỉ cần lấy mẫu tín hiệu liên tục tại những thời điểm rời rạc, thí dụ một danh sách các số được lấy mẫu s(0), s(T), s(2T)... Để truyền tín hiệu rời rạc mẫu hoá đó, danh sách các số sẽ được đọc trên một telephone hoặc được viết trên một mãnh giấy để gởi FAX. Một phương pháp rất hấp dẫn cho viễn thông là biến điệu vài thông số của một sóng mang tùy vào danh sách các số. Tín hiệu được biến điệu sau đó được truyền trên dây hoặc trong không khí ( nếu băng tần nó chiếm cho phép ). Vì thông tin có dạng rời rạc, nên chỉ cần dùng tín hiệu mang sóng rời rạc (thay vì dùng sóng sin liên tục như 2 chương trước). Ta chọn một chuỗi xung tuần hoàn làm sóng mang. Các thông số có thể làm thay đổi là biên độ, bề rộng và vị trí của mỗi xung. Sự làm thay đổi một trong ba thông số ấy sẽ đưa đến 3 kiểu biến điệu: - PAM ( Pulse Amlitude Modulation: điều chế biên độ xung ). - PWM ( Pube Width Mod: điều chế độ rộng xung ). - PPM ( Pulse Position Mod: điều chế vị trí xung ). Hình 4.4. Dạng sóng mang và tín hiệu PAM đỉnh phẳng a. Điều chế biên độ xung PAM Có hai loại PAM là PAM đỉnh phẳng và PAM tự nhiên. Giả sử có sc(t) là các xung vuông dùng để điều chế tín hiệu. Nếu lấy tích thì ta có PAM đỉnh phẳng, ngược lại ta có các xung PAM tự nhiên. Dạng của tín hiệu PAM tự nhiên được cho trên hình 4.5 Bây giờ ta lấy biến đổi F của PAM để xác định kênh sóng cần thiết. Trước hết là xem trường hợp của PAM lấy Hình 4.5. Dạng tín hiệu PAM tự nhiên mẫu tự nhiên. Dựa vào định lý lấy mẫu. Khai triển sC(t) thành chuỗi F. Rồi nhân với s(t). Kết quả thu được là 1 tổng gồm nhiều sóng AM với các tần số sóng mang là tần số căn bản và các hoạ tần sC(t). Hình 4.6 minh họa điều này. Hình 4.6. Dạng phổ của tín hiệu điều chế PAM. Nếu là dạng PAM đỉnh phẳng thì phổ có dạng sau: Hình 4.7. Dạng phổ tín hiệu PAM đỉnh phẳng. Phổ tín hiệu có các hệ số Cn là bằng nhau với mọi n khác nhau. Sơ đồ khối điều chế PAM được cho dưới đây (hình 4.8): b. Điều chế độ rộng xung PWM Như trường hợp của PAM, ta lại bắt đầu với một sóng mang là một chuỗi xung tuần hoàn. Hình 4.9, chỉ một sóng mang chưa biến điệu, một tín hiệu chứa tin s(t) và sóng biến điệu PWM. Độ rộng của mỗi xung biến điệu thay đổi tuỳ theo trị mẫu tức thời của s(t). Trị mẫu lớn hơn sẽ làm độ rộng xung biến điệu rộng hơn. Vì độ rộng xung thay đổi, nên năng lượng của sóng cũng thay đổi. Vậy khi biên độ tín hiệu tăng, Hình 4.9. Quá trình điều chế độ rộng xung. công suất truyền cũng tăng. Hình 4.8. Sơ đồ khối điều chế PAM. Hình 4.9 minh họa quá trình điều chế độ rộng xung. Cũng như trong trường hợp FM, PWM là một phép điều chế phi tuyến. Xem một thí dụ đơn giản để minh chứng điều đó. Giả sử tín hiệu chứa tin là một hằng, s(t) = 1. Sóng PWM sẽ gồm những xung có độ rộng bằng nhau, vì mỗi trị mẫu thì bằng với mỗi trị mẫu khác. Bây giờ nếu ta truyền s(t) = 2 theo PWM, thì ta lại có một chuỗi xung có độ rộng bằng nhau, nhưng độ rộng của chúng lớn hơn khi truyền s(t) = 1. Nguyên lý tuyến tính sẽ cho kết quả là độ rộng xung của trường hợp sau gấp đôi trường hợp trước. Nhưng ở đây không phải như vậy, như hình 4.10. Hình 4.10. Tín hiệu cần điều chế là hằng số. Nếu ta giả sử tín hiệu s(t) biến đổi chậm ( lấy mẫu với nhịp nhanh hơn so với nhịp Nyquist ) thì các xung lân cận sẽ có độ rộng hầu như bằng nhau. Với giả thiết này, có thể phân giải xấp xĩ cho sóng biến điệu, theo chuỗi Fourier. Mỗi số hạng của chuỗi là một sóng FM, thay vì là một sóng sin thuần tuý. Hình 4.11. Tín hiệu răng cưa. Ta sẽ trình bày một dạng của khối biến điệu và một dạng của khối hoàn điệu cho PWM. Trong cả hai, ta đều dùng sóng răng cưa để chuyển đổi giữa thời gian và biên độ. Điều này tương tự như cách thức cho FM, ở đó ta thấy rằng cách dễ nhất để biến điệu một tín hiệu là trước tiên đổi nó thành AM. Tín hiệu răng cưa được dùng vẽ ở hình 4.11. Quá trình điều chế được chỉ ra ở hình 4.12. Trước tiên tín hiệu s(t) được lấy mẫu và giữ để có s1(t). Tín hiệu răng cưa bị dời xuống 1 đơn vị tạo nên s2(t). Tổng của s1(t) và s2(t) tạo nên s3(t) và vào mạch so sánh. Những khoảng thời gian mà s3(t) dương là những khoảng mà ở đó độ rộng tỷ lệ với trị giá mẫu gốc. Lối ra của mạch so sánh là 1 khi s3(t) dương và là 0 khi s3(t) âm. Kết quả là s4(t), là một sóng PWM. Độ rộng xung có thể được hiệu chỉnh bằng cách tăng giảm s(t). Trong hình vẽ, ta giả sử rằng bình thường s(t) nằm giữa 0 và 1. Hình 4.12. Quá trình điều chế PWM. Sự hoàn điệu được thực hiện bằng cách tích phân sóng PWM trong mỗi khoảng thời gian. Vì chiều cao của xung thì không đổi, tích phân tỷ lệ với độ rộng xung. Nếu output của tích phân được lấy mẫu và giữ tại trị giá cuối của nó, kết quả sẽ là một sóng PAM. c. Điều chế vị trí xung PPM PPM có lợi hơn PWM về mặt triệt nhiễu và cũng không có vần đề công suất thay đổi theo biên độ tín hiệu. Hình 4.13. Tín hiệu trước và sau điều chế PPM. Một tín hiệu chứa tin s(t) và sóng PPM tương ứng vẽ ở hình 4.13. 4.2. Lượng tử hóa tín hiệu a. Khái niệm Lượng tử hóa là quá trình biến tín hiệu tương tự thành tín hiệu lượng tử, kết quả thu được tín hiệu lượng tử liên tục về mặt thời gian nhưng bị lượng tử hóa biên độ thành các mức[3]. Có hai loại lượng tử hóa là lượng tử hóa đều là lượng tử mà các mức lượng tử liên tiếp luôn luôn đều đặn bằng nhau, ngược lại nếu trong quá trình lượng tử có ít nhất 2 khoảng cách giữa hai mức lượng tử không đều nhau thì ta có lượng tử hóa không đều. Bước thứ nhất để chuyển đổi một tín hiệu analog liên tục thành dạng digital là đổi tín hiệu thành một danh mục các số. ( Điều này được thực hiện bằng cách lấy mẫu hàm thời gian). Danh mục các số kết quả biểu diễn cho những trị liên tục. Đó là mặc dù một mẫu nào đó có thể trưng ra như là một số làm tròn, nhưng thực tế nó sẽ được tiếp tục như một số thập phân vô hạn. Danh mục các số analog sau đó phải được mã hoá thành các Code Words rời rạc. Biện pháp trước nhất để hoàn tất việc đó là làm tròn mỗi số trong danh mục. Thí dụ, nếu các mẫu nằm trong khoảng từ 0 đến 10V, mỗi mẫu sẽ được làm tròn đến số nguyên gần nhất. Vậy các từ mã ( code words ) sẽ rút ra từ 11 số nguyên ( từ 0 đến 10 ). Trong đa số các hệ viễn thông digital, dạng thực tế được chọn cho các từ mã là một số nhị phân 0 và 1. Lý do để chọn sẽ trở nên rõ ràng khi ta bàn đến kỹ thuật truyền chuyên biệt. Trở lại thí dụ trên, converter sẽ hoạt dộng trên những mẫu từ 0 đến 10V bằng cách làm tròn những trị mẫu đến Volt gần nhất, rồi đổi số nguyên đó thành số nhị phân 4 bit ( mã BCD ). Sự chuyển đổi A/ D được xem như là sự lượng tử hoá ( quantizing ). Trong sự lượng tử hoá đều đặn, các trị liên tục của hàm thời gian được chia thành những vùng đều đặn, và một mã số nguyên được kết hợp cho mỗi vùng. Như vậy, tất cả các trị của hàm trong một vùng nào đó đều được mã hoá thành một số nhị phân giống nhau. Hình 4.14 chỉ nguyên lý lượng tử hoá 3 bit theo hai cách khác nhau Hình 4.14a, chỉ khoảng các trị của hàm được chia làm 8 vùng gần nhau. Mỗi vùng kết hợp với một số nhị phân 3 bit. Nếu dùng cả 23=8 mức thì ta thấy sẽ đạt hiệu quả hơn. Hình 4.14. Minh họa sự lượng tử hóa Hình 4.14b chỉ sự lượng tử hoá bằng cách dùng sự liên hệ của input và output. Trong khi input thì liên tục, output chỉ lấy những trị rời rạc. Bề rộng của mỗi bậc không đổi. Vì sự lượng tử hoá là đều đặn.