Giáo trình Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

⎧ ∈−− ∈+ =+ tráinhánhM,ax a c phainhánhM,ax a c aex M M M F2M = ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∈+− ∈− =− tráinhánhM,ax a c phainhánhM,ax a c aex M M M F1 F2 A1 A2 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 61 B. Giải toán . Dạng toán 1 : Xác định các yếu tố của hypebol Ví dụ : Hãy xác định đỉnh , độ dài các trục , tiêu cự , tiêu điểm , tiệm cận , tâm sai và vẽ hypebol có phương trình sau : a) (H) : 2 2 1 4 2 x y− = . b) (H) : 16x2 – 9y2 = 144 Giải : a) Ta có : a2 = 4 , b2 = 2 => a = 2 và b = 2 Suy ra đỉnh A1 (- 2; 0 ) , A2 (2 ; 0 ) . Độ dài trục thực 2a = 4 , trục ảo 2b = 2 2 . Ta có : c = 2 2 6a b+ = . Tiêu cự 2c = 2 6 , tiêu điểm F1( - 6 ; 0 ) , F2( 6 ; 0 ) . Tiệm cận : y = 2 2 b x x a ± = ± . Tâm sai e = c/a = 6 /2 b) Viết lại phương trình (H) : 2 2 1 9 16 x y− = => a2 = 9 ; b2 = 16 => a = 3 , b = 4 và c = 2 2 5a b+ = Suy ra A1 (- 3; 0 ) , A2 (3 ; 0 ) . Độ dài trục thực 2a = 6 , trục ảo 2b = 8 . Tiêu cự 2c = 10 , tiêu điểm F1( - 5 ; 0 ) , F2(5; 0 ) . Tiệm cận : y = ± 4 3 b x x a = ± . Tâm sai e = c/a = 5/3 Dạng toán 2 : Lập phương trình chính tắc của hypebol F1 A1 A2 F2 F1 A1 A2 F2 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 62 Từ giả thiết , lập hệ phương trình theo a và b . Giải hệ , tìm được a , b . Suy ra phương trình (H) . Cân nhớ : M(x0 ; y0) ∈ (H) Ù 1 b y a x 2 2 o 2 2 o =− Ví dụ 1 : Lập phương trình của hypebol (H) biết : a) (H) có độ dài trục thực là 6 , tiêu điểm là ( 4; 0 ) b) (H) có một đỉnh là ( 5 ; 0 ) và tiệm cận là y = 2x . c) (H) có một tiệm cận là y = - 2 x và qua điểm M( 4 ; 2 ) . d) (H) qua hai điểm ( 1 ; 3 ) và (- 2 ; 2 2 ) . e) (H) có tiêu điểm F2 ( 3 ; 0 ) và qua điểm ( 3; 4 5 ) Giải a) 2 a = 6 = > a = 3 , c = 4 = > b 2 = c2 – a2 = 16 – 9 = 7 . Phương trình hypebol là : 2 2 1 9 7 x y− = b) Phương trình (H) : 2 2 2 2 1 x y a b − = Đỉnh (5 ; 0 ) do đó a = 5. Tiêu cận y = 2x => b a = 2 Ù b =10 . Vậy phương trình (H) là : 2 2 1 25 100 x y− = c) Phương trình (H) : 2 2 2 2 1 x y a b − = Tiệm cận y = - 2 x => 2b a = Ù b2 = 2a2 (1) M(4 ; 2 ) thuộc (H) Ù 2 2 16 2 1 a b − = (2) Thế (1) vào (2) : 22 15 1 15a a = = . Suy ra b2 = 30 . Vậy phương trình (H) : 2 2 1 15 30 x y− = = 1 d) Phương trình (H) : 2 2 2 2 1 x y a b − = Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 63 ( 1 ; 3 ) ∈ (H) Ù 2 21 3 1a b− = (1) N(- 2 ; 2 2 ) ∈(H) Ù 2 22 8 1(2)a b− = ) Giải hệ (1) và (2) với hai ẩn là : u = 2 2 1 1,v a b = , ta được : u = 5/2 , v = 1/ 2 . Vậy phương trình (H) : 2 2 1 5/ 2 2 x y− = e) F2( 3 ; 0 ) => c = 3 . Suy ra : F1 ( - 3 ; 0 ) . c = 3 = > a2 = 9 – b2 . Phương trình hypebol : 2 2 2 2 1 x y a b − = Thế tọa độ của M , ta được : 2 2 2 22 2 9 16 1 45 16(9 ) (9 )5 9 5 b b b b b b − = − − = −− Ù 45b2 – 144 + 16b2 = 45b2 – 5b4 Ù 5b4 + 16b2 – 144 = 0 Giải phương trình trùng phương này , ta được : b2 = 4 . Suy ra a2 = 5 . Vậy phương trình (H) : 2 2 1 5 4 x y− = Ví dụ 2 : Cho đường tròn (M) di động luôn chắn trên hai trục tọa độ hai dây cung có độ dài là 6 và 4 . Chứng minh tâm đường tròn di động trên một hypebol cố định . Giải Gọi M(x ; y) là tâm các đường tròn (M) . Kẻ MH , MK vuông góc Ox và Oy , ta có : HA = HB = 3 , KC = KD = 2 Suy ra : MB2 = MD2 = r2 Ù MH2 + HB2 = MK2 + KD2 Ù y2 + 9 = x2 + 4 Ù x2 – y2 = 5 Ù =− 5 y 5 x 22 1 Chứng tỏ M ∈ (H) : =− 5 y 5 x 22 1 . Dạng toán 3 : Tìm điểm trên hypebol rr x y M D C A BH K O Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 64 Cân nhớ : * M(x0 ; y0) ∈ (H) Ù 1 b y a x 2 2 o 2 2 o =− Ù | F1M + F2M| = 2a . * F1M = | a cx M + a | ; F2M = | aa cx M − | Ví dụ 1 : Cho hypebol (H) : 2 2 1 9 3 x y− = a) Tìm trên (E ) điểm M có tung độ là 3 . b) Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 = 900 . c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M = 2F2M Giải a) Thế y = 3 vào phương trình của (H) : 2 2 2( 3) 41 9. 2 3 9 3 3 x x x− = = = ± Ta tìm được 2 điểm M có tọa độ (2 3 ; 3 ) , ( - 2 3 ; 3 ) . b) Gọi (x; y) là tọa độ của M . Ta có : F1MF2 = 900 Ù OM = OF1 = OF2 Ù 2 2 2 2 12x y c x y+ = + = ( c2 = a2 + b2 = 9 + 3 = 12 ) Mặt khác vì M ∈ (H) nên tọa độ E thỏa : 3x2 - 9y2 = 27 Ta có hệ : 2 2 2 2 2 2 45 3 9 27 4 312 4 xx y x y y ⎧ =⎪⎧ − =⎪ ⎪⎨ ⎨+ =⎪⎩ ⎪ =⎪⎩ Ù 3 5 2 3 2 x y ⎧ = ±⎪⎪⎨⎪ = ±⎪⎩ Ta tìm được 4 điểm có tọa độ ( 3 5 2 ; 3 2 ) , ( 3 5 2 ; - 3 2 ), (- 3 5 2 ; 3 2 ) , ( - 3 5 2 ; - 3 2 ) c) Vì F1M = 2F2M => F1M > F2M => M thuộc nhánh phải và F1M – F2M = 2a = 6 Suy ra F2M = 6 và F1M = 12 . Mà F1M = =+ axa c M 123x3 32 M =+ Ù x = 9 32 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 65 Thế vào phương trình (H) , ta suy ra : y = 69 2 ± . Tọa độ điểm cần tìm : ( 9 3 69; ) 2 2 ± . Ví dụ 2 : a) Cho hypebol (H) : 2 2 2 2 1 x y a b − = có tiêu điểm F1 , F2. M là điểm bất kì trên (H) . a) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị không đổi b) Cho hypebol (H) : 2 2 1 1 2 x y− = . Một đường thẳng d bất kì : y = x + m cắt (H) tại M, N và hai tiệm cận tại P và Q . Chứng minh MP = NQ . Giải a) Phương trình hai tiệm cận : ∆1 : bx + ay = 0 và ∆2 : bx – ay = 0 . Gọi (x; y) là tọa độ của M , ta có : d(M; ∆1) = 2 2 bx ay a b + + , d(M, ∆2) = 2 2 bx ay a b − + d(M,∆1).d(M,∆2) = 2 2 2 2 2 22 2 2 2 . b x a ybx ay bx ay a ba b a b −+ − = ++ + Vì M(x; y) thuộc (H) : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y b x a y a b a b − = − = suy ra : d(M,∆1).d(M,∆2) = 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b c =+ : giá trị không đổi . M M P N Q Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 66 b) (H) : 2x2 – y2 = 2 . Phương trình hoành độ giao điểm M, N : 2x2 – (x + m)2 = 2 ( thế y = x + m vào phương trình của (H) ) Ù x2 – 2mx – m2 –2 = 0 (1) Phương trình hai tiệm cận : ( 2 x + y)( 2x – y) = 0 Ù 2x2 – y2 = 0 Phương trình hoành độ giao điểm P, Q : 2x2 – (x + m)2 = 0 ( thế y = x + m vào phương trình hai tiệm cận ) Ù x2 – 2mx – m2 = 0 (2) Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 , thế thì hoành độ trung điểm của MN là : ½ (xM + xN ) = ½ . 2m = m ( định lí Viet của (1)) Nếu (2) có hai nghiệm x3, x4 , thế thì hoành độ trung điểm của PQ là : ½ (xP + xQ ) = ½ . 2m ( định lí Viet của (2) ) Chứng tỏ MN và PQ có cùng trung điểm hay MP = NQ. Ghi chú : Tính chất này đúng với mọi hypebol C. Bài tập rèn luyện . 3.86 . Xác định độ dài các trục , tọa độ đỉnh , tiêu điểm , tiệm cận và vẽ các hypebol sau : a) 2 2 1 4 5 x y− = b) 2 2 1 4 4 x y− = c) 4x2 - 9y2 = 36 3.87 . Cho hypebol (H) : 2 2 1 4 yx − = . Tìm trên (H) : a) điểm M có hoành độ 2 . b) điểm N cách đều hai trục tọa độ . c) điểm P sao cho góc F1PF2 = 900 . d) tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp (H) biết hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có diện tích là 8 2 đvdt. e) điểm Q sao cho F2Q = 2F1Q . 3.88. Cho hypebol (H) có độ dài trục thực là 4 và qua điểm M ( )5 ; 2 a) Lập phương trình (H) . Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 67 b) Tính độ dài dây cung của (H) vuông góc với trục thực tại tiêu điểm . c) Tìm giao điểm của (H) và đường tròn đường kính F1F2 , F1 , F2 là các tiêu điểm của (H) . 3.89. Lập phương trình (H) biết : a) tiêu cự 8 và khoảng cách từ đỉnh trên trục thực đến tiêu điểm là 1 . b) độ dài trục ảo là 4 và một tiêu điểm là ( 3 ; 0 ) c) một tiêu điểm là F2 ( 5 ; 0 ) và một tiệm cận là y = 2x . d) một tiệm cận là y = 3 x và qua điểm ( 3 ; 15 ) e) một tiêu điểm là ( 2 ; 0) và qua điểm (3 ; 2 ) . 3.90. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết : a) độ dài trục thực là 6 và qua điểm ( 10 ; 2) . b) qua hai điểm P ( ) 510 ;2 , ;12Q ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . c) có tiêu cự là 4 2 và qua điểm ( 3 ; 5 ) 3.91. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết : a) qua điểm M ( )3 ; 1 và F1MF2 = 900 b) một tiêu điểm (2 ; 0 ) và khoảng cách từ nó đến tiệm cận là 1. c) tiêu điểm là( 3 ; 0) và dây cung qua tiêu điểm và vuông góc Ox có độ dài là 5 . d) một tiệm cận có hệ số góc 2/ 5 và khỏang cách từ tiêu điểm đến tiệm cận là 2 . 3.92 Cho đường tròn tâm I( - 6; 0) , bán kính 4 và điểm J(6 ; 0 ) . (M) là đường tròn di động luôn qua J và tiếp xúc với (I) . Chứng minh tậphợp tâm M các đường tròn M là một hypebol . Viết phương trình hypebol . 3.93 . Cho (H) : 9x2 - 4y2 = 36 a) Xác định tiêu điểm , độ dài các trục và tiệm cận . Vẽ (H) . b) M tùy ý của (H) , chứng minh rằng : (F1M + F2M)2 – 4OM2 là một hằng số . c) Một đường thẳng thay đổi d : x + y + m = 0 . Chứng minh d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt P, Q . Tính độ dài đoạn PQ theo m . Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 68 3. 94. a) Viết phương trình của (H) biết nó có một đỉnh là (1 ; 0) và một tiêu điểm là ( 5,0) . b) Định m để hai đường thẳng d : mx – y = 0 và d’ : x + my = 0 đều cắt (H) . c) Gọi M , P và N, Q lần lượt là giao điểm của d và d’ với (H) . Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tính diện tích của nó khi m = 2 . 3.95. Cho (H) : 5x2 – 4y-2 = 20 và đường thẳng d : 2x – y + m = 0 a) Định m để d cắt (H) tại 2 điểm M, N phân biệt . b) Tìm tập hợp trung điểm của MN c) Gọi P, Q lần lượt là đối xứng của M, N qua O . Định m để MNPQ là hình thoi. 3.96. Cho (H) : x2 – 3y2 = 12 a) Tìm các đỉnh, tiêu điểm , tiệm cận . b) Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 = 1200 . c) Tìm M ∈ (H) sao cho : T = F1M – F2M + MF 1 MF 1 12 − lớn nhất d) Cho M bât kì ∈ (H) , tính tích các khỏang cách từ M đến hai tiệm cận . 3.97. Cho êlip (E) và hypebol (H) biết chúng có cùng tiêu điểm F(2 ; 0) , tiệm cận của (H) chứa đường chéo của hình chữ nhật cơ sở của (E) và hợp với Ox một góc 300 . a) Viết phương trình chính tắc của (E) và (H) . b) Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của (E) và (H) . 3. 98 .Cho hai điểm A1 ( – 2; 0) và A2( 2 ; 0 ) . Gọi (I) là đường tròn di động qua A1 , A2 và MM’ là đường kính của (I) cùng phương với Ox . Chứng minh tập hợp những điểm M, M’ là một hypebol . 3.99. Cho đường tròn tâm O , bán kính 1 . Gọi A và A’ là hai điểm trên đường tròn có hoành độ là – 1, 1 . Đường thẳng di động x = m ( 0, 1m ≠ ± ) cắt đường tròn tại M và M’ ( M có tung độ dương) . a) Tìm tọa độ M và M’ . b) Viết phương trình đường thẳng AM và A’M’ . Chứng minh giao điểm của AM và A’M’ di động trên một hypebol cố định. 3. 100. Chọn câu đúng : Cho (H) : 6x2 - 9y2 = 54 . Phương trình một tiệm cận là : Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 69 a) y = 6 3 x b) y = 3 6 x c) y = 6 9 x d) y = 9 6 x 3.101 . Chọn câu đúng : Cho (H) : 4x2 - 5y2 = 20 . Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là : a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 3. 102. Chọn câu đúng : Cho (H) : 3x2 - y2 = 3. Điểm M có tung độ là 3 thuộc (H) . Thế thì F1M = ( F1 là tiêu điểm bên trái ) a) 3 b) 4 c) 5 d) đáp số khác 3.103. Chọn câu đúng : Cho (H) : 4x2 - 9y2 = 36 . Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến một tiệm cận là : a) 2 b) 3 c) 2 13 3 d) 4/ 13 3.104. Chọn câu đúng : Cho điểm M(x ; y) bất kì thuộc (H) : 2 2 1 4 x y− = . Thế thì :F1M 2 + F2M2 - 2OM2 = a) 6 b) 10 c) 2 5 d) có giá trị thay đổi theo M 3.105. Chọn câu đúng : Hypebol (H) có khoảng cách giữa tiêu điểm bên phải và đỉnh bên trái là 5 và độ dài trục ảo là 2 5 . (H) qua điểm M có hoành độ 3 và tung độ dương gần nhất với giá trị : a) 2, 1 b) 2, 2 c) 2, 3 d) 2, 4 3.106. Chọn câu đúng : Hypebol (H) qua điểm M ( 5; 2 ) và tiệm cận qua điểm ( 3 2; 6 ) . Vậy tiêu cự của (H) là : a) 2 b) 4 c) 2 3 d) 4 3 3.107. Chọn câu đúng : Hypebol (H) có hai tiệm cận vuông góc nhau và qua điểm M ( 5; 4) . a) (H) chỉ qua duy nhất điểm M có tọa độ nguyên dương . b) Mỗi đường thẳng y = x + m cắt (H) nhiều nhất tại một điểm c) Cả (a) và (b) đều đúng . d) Cả (a) và (b) đều sai . Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 70 D. Hướng dẫn hay đáp số 3.87. b) Thế y = x và y = - x . c) Tọa độ P thỏa x2 + y2 = c2 d) Gọi (x; y) là tọa độ một đỉnh của hình chữ nhật . Ta có : |xy| = 2 2 e) F2Q – F1Q = 2a = 2 Ù F1Q = 1 , F2Q = 2 . Lại có : F1Q2 – F2Q2 = 4cxM . 3.88 a) 2 2 4 8 x y− = 1 . c) Phương trình đường tròn là : x2 + y2 = 12 3.89 . a) c = 4 , a = 3 . b) b = 2 , c = 3 c) c = 5 , b = 2a d) b2 = 3a2 , 2 2 9 15 1 a b − = e) a2 = 4 – b2 , 2 29 2 1a b− = 3.90 a) a = 3 , b = 6 b) 2 2 1 5 4 x y− = c) x2 – y2 = 4 3.91. a) x2 – y2 = 2 b) Khoảng cách từ tiêu điểm đến tiệm cận là : 2 2 1bc a b = + c) Độ dài dây cung là : 2. 2b a 3.92. a) Gọi T là tiếp điểm của (M) và (I) , ta có : MT = MJ Ù MI - IT = MJ ( tiếp xúc ngoài) hay MI + IT = MJ ( tiếp xúc trong) MI – MJ = IT = 4 hay MI – MJ = - IT = - 4 Ù |MI – MJ| = 4 Vì I , J cố định nên tập hợp những điểm M là hypebol tiêu điểm I(- 6 ; 0) và J(6 ; 0) và 2a = 8 . Suy ra : b2 = c2 – a2 = 36 – 16 = 20 . Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 71 Vậy phương trình (H) là : 2 2 1 16 20 x y− = 3.93. b) Thế y = - x – m vào phương trình (H) , ta được phương trình hoành độ giao điểm : 5x2 – 8mx – 4m2 – 36 = 0 . Phương trình này có ∆ ‘ > 0 , với mọi m nên luôn có 2 nghiệm phân biệt . PQ = 212 2( 5) 5 m + 3. 94 . a) (H) : 2 2 1 4 x y− = 1 b) 2 2 1 24 0 2 14 1 0 2 2 mm m m ⎡ ⎪ ⎢⎨ − >⎪ ⎢⎩ − < < −⎢⎣ . c) Tứ giác là hình thoi . Diện tích là 212 7 3.95. a) Phương trình hoành độ giao điểm : 11x2 + 16mx + 4m2 + 20 = 0 Có 2 giao điểm M, N Ù Δ > 0 Ù m 11 y x I J T M O y x I J T M O Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 72 b) Tọa độ trung điểm I của MN thỏa : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += −=+= mx2y 11 m8 2 xxx II 21 I Ù ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−= −= 8 x5 8 x11x2y 8 x11 m II II I Vì m 11 Ù 11 8x 11 8 <<− nên tập hợp những điểm I là phần đường thẳng y = 5x/8 ứng với 11 8x 11 8 <<− c) Hình bình hành MNPQ là hình thoi Ù OM vuông góc ON Ù x1x2 + y1y2 = 0 , (x1 , 2 ; y1,2) là tọa độ M, N . 3.96. b) Áp dụng định lí hàm cos trong tam giác MF1F2 : F1F22 = F1M2 + F2M2 + F1M.F2M Thế F1F2 = 8 , | F1M | = 32 3 x2 + ; F2M = 32 3 x2 − , ta được : x2 = 13 Ù x = . .. . c) T = F1M – F2M + MF.MF MFMF .21 21 − * M ∈ nhánh trái : F1M T < 0 * M ∈ nhánh phải : F1M > F2M và F1M – F2M = 2a = 4 3 . Suy ra : T = 4 3 + 12 3 x4 34 2 − với x2 ≥ a2 = 12 . Vậy T lớn nhất khi x2 = 12 và GTLN của T là 5 3 d) Xem ví dụ 2( Dạng toán 3) 3.97. a) (E) : 1 B y A x:)H(;1 b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 =−=+ Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 73 Ta có : a2 - b2 = A2 + B2 = 4 ; 3 130tg A B a b 0 === Suy ra : a2 = 6, b2 = 2 ; A2 = 3 và B2 = 1 (E) : )1(6y3x1 2 y 6 x 2222 =+=+ (H) : )2(3y3x1 1 y 3 x 2222 =−=− b) Giải (1) và (2) : x2 = 9/2 ; y2 = 1/2 => x2 + y2 = 5 : phương trình đường tròn cần tìm 3.98. Gọi (x ; y) là tọa độ của M , M’ . Ta có : IM = IA1,2 = R Ù x2 = y2 + 4 Ù x2 - y2 = 4 . 3.99. a) Phương trình đường tròn : x2 + y2 = 1 => A( - 1 ; 0) , A’(1 ; 0) . Tọa độ M ( m; 21 )m− , tọa độ M’ ( 2( ; 1 )m m− − . b) Phương trình đường thẳng A’M : 2 1 0 1 1 0 x y m m + −=+ − − (1) Phương trình đường thẳng AM’ : 2 1 0 1 1 0 x y m m − −=− − − − (2) Nhân (1) và (2) : => x2 - y2 = 1 => M thuộc hypebol : x2 – y2 = 1 3. 100(a) 3.101(d) 3.102(c) 3.103(a) 3. 104(b) Ta biết : F1M2+ F2M2 = 2( x2 + y2 + c2 ) = 2OM2 + 2c2 => F1M 2 + F2M2 - 2OM2 = 2c2 = 10 3.105(d) . Ta có a + c = 5 và b2 = c2 – a2 = 5 . Suy ra : c – a = 1 . Vậy c = 3, a = 2 . Phương trình (H) : 2 2 1 4 5 x y− = . Thế x = 3 : y = 2, 5 x y mO M M' A A' I Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 74 x M F K O y 3.106. (d) Tiệm cận : y = b x a qua điểm (3 2; 6 ) => b2 = 2a2 . Lại có : 2 2 5 2 1 a b − = . Suy ra : a2 = 4 , b2 = 8 => c = 2 3 . 3.107. ( c) Ta có : b = a = 3 . Phương trình (H) : x2 – y2 = 9 (1) * (1) Ù (x + y)(x – y) = 9. 1 Vì x, y nguyên dương nên x + y = 9 , x – y = 1 Ù x = 5 ; y = 4 . Vậy (a) đúng . * Phương trình hoành độ giao điểm : x2 – (x + m)2 = 1 Ù 2mx = m2 + 1 : phương trình này có nghiệm duy nhất nếu m khác 0 và vô nghiệm nêu m = 0 : (b) đúng . Vậy (c) đúng . * §7. Parabol A. Tóm tắt giáo khoa 1. Định nghĩa : Cho điểm F và đường thẳng (∆) không chứa F . Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F luôn bằng khoảng cách từ M đến (∆) . F : tiêu điểm , (∆) : đường chuẩn của parabol . P = d(F, Δ ) : tham số tiêu 2. Phương trình chính tắc của parabol . Với F( ;0) 2 p và ∆ : x = - 2 p ( p > 0 ) . M(x ; y) ∈ (P) Ù y2 = 2px (1) . (1) : phương trình chính tắc của parabol . 3. Hình dạng của parabol * O là đỉnh của parabol * (P) có trục đối xứng là Ox . * Độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng tại F có độ dài là 2p. Tính chất này thường dùng để vẽ parabol . * MF = MK = Mx2 p + Ngoài dạng trên , ta còn nhớ các đồ thị các hàm số y = ax2 và y = ax2 + bx + c cũng là parabol. H Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 75 B. Giải toán Dạng toán 1 : Xác định các yếu tố của parabol Ví dụ 1 : Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của các parabol sau và vẽ các parabol đó : y2 = 6x Giải 2p = 6 => p = 3 . Tiêu điểm F( 3 ;0) 2 , đường chuẩn : x = - 3/2 . Dạng toán 2 : Lập phương trình chính tắc của parabol Ví dụ 1 : Lập phương trình chính tắc của parabol biết : a) tiêu điểm F( 5; 0 ) . b) qua điểm ( 2 ; - 4) . c) qua điểm M có hoành độ 2 và cách tiêu điểm F một khoảng 3 GIẢI a) Phương trình (P) có dạng : y2 = 2px ( p > 0 ) . Tiêu điểm (5 ; 0 ) => p/2 = 5 Ù p = 10 . Vậy phương trình (P) : y2 = 20x . b) Phương trình (P) có dạng : y2 = 2px ( p > 0 ) . M(2 ; - 4) thuộc (P) Ù ( - 4 )2 = 2p. ( 2) Ù p = 4 Vậy phương trình (P) : y2 = 8x c) Ta có : 2 M p x FM+ = , suy ra : 2 3 2 p + = Ù p = 2 . Vậy phương trình (P) là : y2 = 4x . Ví dụ 2 : Cho điểm F ( 4 ; 0 ) . Gọi (M) là đường tròn tâm M di động nhưng luôn tiếp xúc với trục tung và qua F . Chứng minh tập hợp những điểm M là một parabol mà ta phải viết phương trình của nó . Giải Vì (M) tiếp xúc với d nên khoảng cách từ tâm M đến đường thẳng Oy bằng bán kính đường tròn tức bằng FM ( vì (M) qua F) ) . Vậy tập hợp những điểm M là parabol (P) tiêu điểm F , đường chuẩn là Oy . Đặt M = (x ; y) , ta có : y x F M O H Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 76 M(x ; y) ∈ (P) Ù MF = MH Ù 22 y)4x( +− = |x| Ù x2 – 8x + 16 + y2 = x2 Ù y2 = 8(x – 2) Dạng toán 3 : Tìm điểm thuộc parabol Ví dụ 1 : Cho (P) : y2 = 4x . a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4 . b) Tìm trên (P) điểm M ≠ O sao khỏang cách từ M đến Oy gấp hai lần khỏang cách từ M đến Ox . Giải p = 2 Ta có : FM = Mx2 p + = 4 Ù 1 + xM = 4 Ù xM = 3 Suy ra : yM2 = 12 Ù yM = ± 2 3 . Ta được 2 điểm M(3 ; ± 2 3 ) b) Gọi M (x ; y) , ta có :|x| = 2|y| ≠ 0 Thế x = |x| = 2|y| vào phương trình y2 = 4x : y2 = 8|y| Ù |y| = 8 Suy ra : M = (16 ; 8) hay M = (16 ; - 8) Ví dụ 2 : Cho parabol (P) : y2 = 4x và đường thẳng d luôn qua tiêu điểm F và có hệ số góc là 1/ k ( k ≠ 0 ) a) Viết phương trình đường thẳng d và viết phương trình tung độ giao điểm của d và (P) . Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm M, N và tích khoảng cách từ M và N đến trục đối xứng của parabol có giá trị không đổi . b) Định k để MN = 2 5 . c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và N lên đường chuẩn ∆ . Chứng minh đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩn . GIẢI a) Tiêu điểm F có tọa độ ( 1 ; 0 ) . Phương trình đường thẳng d : y - 0 = 1 k ( x - 1 ) Ù x = ky + 1 Phương trình tung độ giao điểm của d và (P) : y2 = 4 ( ky + 1 ) Ù y2 – 4ky - 4 = 0 (1) Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 77 ∆’ = 4k2 + 4 > 0 với mọi k nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt , chứng tỏ d luôn cắt (P) tại 2 điểm . Chú ý trục đối xứng của (P) là Ox và khoảng cách từ M và N đến Ox chính là | yM | và | yN | . Do đó tích các khoảng cách này là : | yM | . | yN | = | | yM yN | = | c a | = | - 4 | = 4 ( định lí Viet của (1)) ( giá trị không đổi ) . b) Gọi x 1 , x2 lần lượt là hoành độ của M , N . Ta có : FM = 1 112 p x x+ = + , FN = 2 212 p x x+ = + Lại có : x1 = ky1 + 1 , x2 = ky2 + 1 , do đó : MN = FM + FN = 4 + k( y1 + y2 ) Thế : y1 + y2 = 4k ( định lí Viet của ( 1) ) , ta được : 4 + k( y1 + y2 ) = 4 + 4k2 . Và YCBT Ù 4 + 4k2 = (2 5 )2 Ù k2 = 4 Ù k = ± 2 . c) Kẻ MH , NK vuông góc Δ . Ta chứng minh khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến đường chuẩn ∆ thì bằng bán kính đường tròn . Theo định nghĩa parabol : FM = MH , FN = NK Suy ra : M N = FM + FN = MH + NK = 2 d( I , ∆ ) với I là trung điểm của MN , cũng là tâm đường tròn đường kính MN . Hay : d(I , ∆) = 2 MN = bán kính ( đpcm) BÀI TẬP 3.108. Tìm tiêu điểm , đường chuẩn và vẽ parabol các phương trình sau : a) y2 = 5x b) y2 = 6x 3.109. Cho parabol (P) : y2 = 8x . a) Tìm độ dài dây cung AB của parabol biết hoành độ A và B là 1 . b) Tìm trên (P) điểm cách tiêu điểm F một khoảng là 5 . c) Tìm m để đường thẳng d : x + y + m = 0 có với (P) điểm chung duy nhất . 3.110. Cho (P) : y2 = 4x . x y F O N M H K I Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 78 a) Tìm trên (P) điểm cách đường thẳng d : 3x – 4y + 10 = 0 một khoảng ngắn nhất . b) Cho A và B là hai điểm trên (P) có tung độ - 2 và 4 . M là điểm cung AB co tung độ y ( - 2 ≤ y ≤ 4) .Tính diện tích tam giác MAB theo y . Định y để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất . c) Tìm m sao cho đường thẳng y = x + m cắt (P) tại hai điểm M, N và FM = 2FN . 3.111. Lập phương trình chính tắc của parabol : a) qua điểm ( 2; 2) . b) có đường chuẩn qua điểm ( 5; 7) . c) biết khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 6 . d) biết nó qua điểm có hoành độ là 4 và cách đường chuẩn một khoảng là 6. 3.112. Lập phương trình chính tắc của parabol : a) biết nó qua điểm có tung độ là 4 và cách tiêu điểm một khoảng là 5. b) biết nó qua hai điểm M , N có tung độ là - 1, 3 và thẳng hàng với tiêu điểm . c) biết nó qua điểm M có tung độ là 2 và cách đường chuẩn một khỏang là 5/2 . 3.113. Cho parabol (P) : y2 = 2px . AB là dây cung di động của (P) . a) Biết AB có hệ số góc không đổi là k khác 0 , chứng minh trung điểm I của AB di động trên đường thẳng cố định . b) Viêt phương trình đường thẳng AB biết trung điểm của nó có tọa độ (2 ; 4) 3.114. Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 – 4x = 0 và đường tròn (M) di động tâm M luôn tiếp xúc ngoài với (C ) và trục Oy tại hai điểm phân biệt . Chứng minh M di động trên một parabol cố định mà ta phải viết phương trình của nó . 3.115. Cho đường tròn (O) : x2 + y2 = 4 . M là điểm tùy ý trên (O) có hình chiếu là H lên Ox. Gọi A là điểm trên (O) có tung độ – 2 . . a) Gọi (x0 ; y0 ) là tọa độ của M , viết phương trình OM và AH . b) Suy ra giao điểm I của OM và AH di động trên một parabol . Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 79 3.116. Cho parabol (P) : y = 21 4 x a) Xác định đường chuẩn ∆ , tiêu điểm F và vẽ (P) . b) M là điểm di động trên ∆ và có hoành độ là m . Viết phương trình trung trực (t) của FM . c) Chứng minh (t) và (P) có điểm chung duy nhất.. Tìm tọa độ điểm chung. 3.117. Cho parabol (P) : y2 = 4x . Một đường thẳng d qua tiêu điểm F và có hệ số góc là k ≠ 0 cắt (P) tại M, N . a) Chứng minh tích các khỏang cách từ M và N đến trục Ox có giá trị không đổi . b) Tìm k sao cho FM = 4FN. c) Chứng minh góc MON luôn tù . 3.118. Cho (P) : y2 = 8x . a) Xác định tiêu điểm F , đường chuẩn Δ . b) Một đường thẳng quay quanh tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 , cắt (P) tại M , N . Chứng minh tích các khỏang cách từ M, N đến trục tung có giá trị không đổi . c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M, N lên đường chuẩn . Tính diện tích hình thang MNHK theo k . 3.119. Cho (P) : y = 2x 4 1 . a) Tìm tiêu điểm F và đường chuẩn của (P) . b) Một đường thẳng bất kì qua F có hệ số góc là m cắt (P) tại M, N . Tìm tọa độ trung điểm I của MN . Suy ra I di động trên một parabol cố định . 3.120. Cho parabol (P) : y2 = 2x . Hai đường thẳng qua O và vuông góc có hệ số góc lần lượt là k và – 1/k ( k ≠ 0 ) lại cắt (P) tại M và N . a) Tìm tọa độ M, N . b) Chứng minh đường thẳng MN luôn qua một điểm cố định . c) Chứng minh trung điểm của MN ∈ một parabol cố định . Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 80 3.121. Cho parabol (P) : y2 = 4x và đường thẳng Δ di động có phương trình y = m ( m ≠ 0 ) . a) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn Δ . b) Δ lần lượt cắt Δ , Oy và (P) lần lượt tại K, H , M. Tìm tọa độ các điểm đó c) Gọi I là trung điểm OH . Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) tại một điểm duy nhất . d) Chứng minh MI vuông góc KF . Từ đó suy ra MI là phân giác của góc KMF. 3.122. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1 ; 1) , A’ (1 ; - 1) . Gọi M là điểm di động trên Oy có tung độ là m . a) Viết phương trình hai đường cao của tam giác MAA’ . b) Chứng minh trực tâm H của tam giác MAA’ thuộc một parabol cố định 3.123. Chọn câu đúng : Phương trình chính tắc của parabol mà khỏang cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng 3/ 4 là : a) y2 = x 4 3 b) y2 = 2 3 x c) y2 = 3x d) y2 = 6x 3.124 . Chọn câu đúng : Điểm M ∈ (P) : y2 = 4x và FM = 3 thì hòanh độ của M là a) 1 b) 3 c) 3/2 d) 2 3. 125. Chọn câu đúng : Đường thẳng d : x – 2y + 5m - 1 = 0 có một điểm chung duy nhất với (P) : y2 = mx ( m ≠ 0 ) , vậy m là : a) số nguyên lẻ b) số nguyên chẵn c) số hữu tỷ không nguyên d) số vô tỉ 3.126. Chọn câu đúng : Một tam giác đều OMN có 3 điểm thuộc (P) : y2 = 8x . Vậy cạnh tam giác đều gần nhất với số nào dưới đây : a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 3.127. Chọn câu đúng : Có hai parabol qua điểm M có tung độ là 6 và cách tiêu điểm một khỏang là 19 .Tổng hai tham số tiêu của chúng là : a) 38 b) 72 c) 18 d) đáp số khác Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 81 3.128. Chọn câu đúng : Cho parabol (P) , độ dài dây cung MN của parabol vuông góc Ox là 3 . Vậy khỏang cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là : a) 12 b) 3 c) 6 d) đáp số khác 3.129. Chọn câu đúng : Cho (P) : y2 = 16x . Một đường thẳng qua tiêu điểm F và có hệ số góc là 1 cắt (P) tại M, N . Tính độ dài MN . a) 28 b) 32 c) 40 d) 20 3. 130. Chọn câu đúng : Cho (P) : y2 = 8x . Một đường thẳng qua tiêu điểm F và có hệ số góc là m > 0 , cắt (P) tại M, N . Biết |FM – FN| = 3 , thế thì m = a) 2 2 b) 2 2 / 3 c) 2 d) 2/ 3 D. Hướng dẫn hay đáp số 3.109. a) Tọa độ A( 1 ; 2 2 ) và B(1 ; 2 2 ) . Độ dài AB = 4 2 . b) Gọi x0 là hoành độ điểm cần tìm , ta có : FM = 2 o p x+ = 2 + x0 = 5 Ù x0 = 3 Suy ra tọa độ điểm cần tìm là ( 3 ; ± 6 2 ) c) Thế x = - y – m vào phương trình của (P) , ta được phương trình tung độ giao điểm của d và (P) : y2 = 8(- y – m ) Ù y2 + 8y + 8m = 0 (1) YCBT Ù (1) có nghiệm duy nhất Ù ∆’ = 16 – 8m = 0 Ù m = 2 3.110.. a) Gọi M(x0 ; y0 ) là điểm cần tìm , ta có : d(M , d) = 2 2 3 4 5 3 4 o ox y− + + = 3 4 5 5 o ox y− + Thế x0 = 2 4 oy ( vì M ∈(P) ) , ta được : d(M , d) = 2 23 4 10 3 16 404 5 20 o o o o y y y y − + − += x y F M O Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 82 Ta có : 3y02 – 16y0 + 40 = 2 216 40 8 563 3 ( ) 0 3 3 3 9o o o y y y⎛ ⎞ ⎡ ⎤− + = − + >⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Suy ra : d(M , d) = 28 563 ( ) 3 9 20 oy ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ ≥ 56 14 60 15 = . Vậy GTNN của d(M, d) là 14/ 14 , đạt được ( y0 - 8 3 )2 = 0 Ù y0 = 8 3 b) Tọa độ A(1 ; - 2) , B(4 ; 4) , M(x; y) . Ta có : AB = 2 23 6 3 5+ = Phương trình đường thẳng AB : 2x – y – 4 = 0 Khoảng cách từ M đến AB : 2 4 5 x y− − Diện tích MAB : S = ½ . 3 2 4 35. 2 4 25 x y x y − − = − − Thế x = y2 / 4 , ta được : S = 23 2 8 4 y y− − = 3 4 ( 2)( 4)y y+ − Vì – 2 ≤ y ≤ 4 nên (y + 2)(y – 4) ≤ 0 , suy ra : S = 3 4 (- y2 + 2y + 8) = 3 4 29 ( 1)y⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ≤ 27 4 Vậy S nhỏ nhất khi y = 1 c) Phương trình hoành độ M , N : (x + m)2 = 4x Ù x2 + 2( m – 2)x + m2 = 0 (1) ∆’ = – 4m + 4 ≥ 0 Ù m ≤ 1 . Nghiệm x1 , x2 là hoành độ của M và N . Ta có : FM = 1 + x1 , FN = 1 + x2. FM = 2FN Ù x1 – 2x2 = 1 (1) Theo Viết : x1 + x2 = 2 – m (2) , x1.x2 = m2 (3) x y B O A M H x y M O N F Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 83 Giải (1) và (2) : x1 = 2 5 2 1, 3 3 m mx− −= Thế vào (3) : 7m2 + 7m – 5 = 0 Ù m = 7 189 14 − ± 3.111. a) y2 = 2x b) x2 = 3y c) y2 = 12x d) y2 = 2px . Ta có : FM = 2 p x+ = 6 Ù p = 4 3.112. a) y2 = 2px . Ta có : 16 = 2px Ù x = 8/ p . Khoảng cách là : FM = 2 p x+ = 6 Ù 28 5 10 16 0 2 p p p p + = − + = Ù p = 2 hay p = 8 . b) y2 = 2px . F( ;0 2 p ) , M 1 9( ; 1), ( ;3) 2 2 N p p − F, M, N thẳng hàng Ù 1 9 2 2 2 2 1 0 3 0 p p p p − − =− − − Ùp 2 = 3 Ù p = 3 c) Theo định nghĩa parapol : d(M, ∆) = FM = 5/ 2 Ù 5 2 2 p x+ = (1) ( x : hoành độ của M ) . Lại có : y2 M = 2pxM 4 = 2px Ù x = 2 p (2) Thế (2) vào (1) : 2 2 p p + = 5 2 Ù p2 – 5p + 4 = 0 Ù p =1 hay p = 4 Vậy ta tìm được 2 parabol (P1) : y2 = 2x và (P2 ) : y2 = 8x 3.113. a) Gọi (x1 ; y1 ) , (x2 ; y2 ) là tọa độ của A và B , ta có : y12 = 2px1 , y22 = 2px2 => y12 – y22 = 2p ( x1 – x2) => 1 2 1 2 1 2 2y y p x x y y − =− + = k => yI = p / k Vậy I di động trên đường thẳng y = p/ k song song với Ox . x y A O B F I Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 84 b) yI = p/ k = 4 Ù k = p/ 4 . Vậy phương trình AB : y – 4 = 4 p (x – 2) Ù px – 4y – 2p + 16 = 0 3.114.: Vẽ đường thẳng d song song với Oy và cách trục Oy một khoảng bằng bán kính đường tròn (C) có tâm F(2 ; 0) . Thế thì : FM = d(M, d) = R + r Vậy tập hợp những điểm M là parabol tiêu điểm F (2; 0) , đường chuẩn x = - 2 => p = 4=> phương trình parabol là : y2 = 8x . 3.115.a) Phương trình OM : y0x – x0y = 0 Ù o o x y x y = (1) Tọa độ H (x0 ; 0 ) , A( 0 ; - 2) , phương trình AH : 0 0 2 2 0 0 2 2o x y x y x x − + += =− + (2) Từ (1) và (2) : 2 2 2 2oo y y yy y y + = = + , 2 2o xx y = + x02 + y02 = 4 Ù 2 2 2 2 4 2 2 x y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ù x 2 + y2 = x2 + y2 Ù x2 + y2 = y2 + 4y + 4 Ù y = - 21 1 4 x − Vậy I di động trên parabol có phương trình : y = x y d O F M H x y O A M H I Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 85 - 21 1 4 x − 3.116.a) y = 21 4 x Ù x2 = 4y . Suy ra p = 2 . Vậy F = ( 0 ; 1) và đường chuẩn ∆ : y = - 1 . b) Phương trình đường chuẩn : y = - 1 => yM = - 1 . Suy ra tọa độ của M ( m ; - 1) . Vậy tọa độ trung điểm I của FM là ( 1 1; ) ( ; 0) 2 2 2 m m− = Phương trình (t) qua I ( ; 0) 2 m và vuông góc với JJJJG ( ; 2)FM m= − là : m(x - 2 m ) – 2( y – 0) = 0 Ù mx – 2y - 2 2 m = 0 c) Tọa độ điểm chung của (t) và (P) thỏa hệ : 2 2 4 (1) 2 0 (2) 2 x y mmx y ⎧ =⎪⎨ − − =⎪⎩ Thế (1) vào (2) : 2mx – x2 – m2 = 0 Ù (x – m)2 = 0 Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép x 1 = x2 = m , chứng tỏ (P) và (t) có điểm chung duy nhất ( x = m ; y = 2 4 m ) 3.117. a) Phương trình d : y = kx – k.. Phương trình hoành độ giao điểm : (kx – k)2 = 4x Ù k2x2 – 2(k2 + 2)x + k2 = 0 (1) Phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 . Tích các khỏang cách : |y1|. |y2| = 2. 2121 xx4x2.x = = 4.1 = 4 : giá trị không đổi . b) FM = 4FN Ù 1 + x1 = 4(1 + x2) Ù x1 = 4x2 + 3 Thế vào : x1 . x2 = 1 , ta được : 4x22 + 3x2 – 1 = 0 . . .. y x F M T O Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 86 c) Ta chứng minh : 0yyxxON.OM 2121 <+= Chú ý : y1 = k(x1 – 1) , y2 = k(x2 – 1) 3.118. b) Giải tương tự như bài 3.117. c) Chú ý : MH + NK = MF + NF = MN , HK = |yM – yN | 3.119. a) (P) : x2 = 4y => F(0 ; 1) , Δ : y + 1 = 0 b) Phương trình đường thẳng : y = mx + 1 . Phương trình hoành độ giao điểm : x2 – 4mx – 4 = 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi k và tọa độ I : 1 2 x y 1mxy m2 2 xxx 2I I I 21 I += ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += =+= I di động trên parabol (P’) : y = 1 2 x 2 + Tập hợp 3.120. a) d : y = kx ; d’ : y = k x− . M( 2/k2 ; 2/k) , N(2k2 ; - 2k) b) Phương trình MN : k(x – 2) + (k2 – 1)y = 0 => MN luôn qua điểm cố định K (2 ; 0) . c) Tọa độ I : ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= += k k 1y k 1kx I 2 2 I => y2I = xI – 2 => I ∈ parabol : y2 = x – 2 3.121. a) F(1 ; 0) , Δ : x + 1 = 0 b) K( - 1; m) , H(0 ; m) ; M(m2 /4 ; m) c) I(0 ; m/2) . IM : 4x – 2my + m2 = 0 Phương trình tung độ giao điểm : y2 – 2my + m2 = 0 Ù y = m Điểm chung duy nhất là M . d) Tam giác KMF cân tại M. 13.122. a) Đường cao từ M : y = m (1) Đường cao qua A(1 ; 1) và vuông góc )1m;1(M'A +−= : x y O F MHK I x y F M O N K I Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 87 -1.(x – 1) + (m + 1)(y – 1) = 0 Ù x – (m + 1)y + m = 0 (2) b) Thế (1) vào (2) : x – y2 = 0 Ù y2 = x 3.123 (b) 3.124 (d) 3.125 (c) 3.126 (c) Hoành độ đỉnh M là (x ; y) trong đó : x = |y| 3 . Cạnh là 16 3 3.127 (a) x = 36/p . 19 p 36 2 p =+ Ù p2 – 38p + 72 = 0 3.128 (d) Độ dài dây cung là 2p => p = 3/2 . 3.129 (b) Phương trình hoành độ giao điểm : x2 – 24x + 16 = 0 MN = 21 x2 px 2 p +++ = 32 3.130. (a) Phương trình hoành độ giao điểm : m2 x2 - 4(m2 + 2)x + 4m2 = 0 |FM – FN) = 3 Ù |x1 – x2| = 3 Ù (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 9 Mà x1x2 = 4 , suy ra : x1 + x2 = 5 . Vậy : 5 m )2m(4 2 2 =+ Ù m = 2 2 §8. Các Đường Cônic A. Tóm tắt giáo khoa 1. Đường chuẩn : Cho (E) : 1 b y a x 2 2 2 2 =+ : hay (H) : 1 b y a x 2 2 2 2 =− 2 • Δ1 : x = - c a e a 2−= gọi là đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) y x H M A' A Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 88 • Δ2 : x = c a e a 2= gọi là đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) Δ1 Δ 2 Δ1 Δ 2 M H2 M H1 F1 O F2 F1 O F2 Chú ý : Đối với êlip tâm O ở gần tiêu điểm hơn đường chuẩn tương ứng .Trong khi với hypebol , tâm O ờ gần đường chuẩn hơn tiêu điểm tương ứng . 2. Tính chất : Với mọi M ∈ (E) hay (H) : e );M(d MF );M(d MF 2 2 1 1 =Δ=Δ 3. Định nghĩa : Cho điểm F cố định và đường thẳng Δ cố định , tập hợp các điểm sao cho : e );M(d MF =Δ ( số dương cho trước ) được gọi là đường cônic . F : tiêu điểm , Δ : đường chuẩn , e : tâm sai • e < 1 : cônic là êlip • e = 1 : cônic là parabol • e > 1 : cônic là hypebol B. Giải toán : 1. Dạng toán : Lập phương trình chính tắc của cônic với đường chuẩn Ví dụ 1 : Lập phương trình chính tắc của êlip có một đỉnh là (0 ; 5 ) và khỏang cách giữa hai đường chuẩn là 9 . Giải (E) : 1 b y a x 2 2 2 2 =+ . Theo đề bài , ta có : b = 5 Ù a2 = 5 + c2 2 9 c a 2 = Ù 2 9 c c5 2 =+ Ù 2c2 – 9c + 10 = 0 Ù c = 2 hay c = 5/2 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 89 • c = 2 : a2 = 7 => (E) : 1 5 y 7 x 22 =+ • c = 5/2 : a2 = 15/2 => (E): 1 5 y 2/15 x 22 =+ Ví dụ 2 : Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiệm cận y = 2x và một đường chuẩn là x = 1 Giải (H) : 1 b y a x 2 2 2 2 =− . Ta có : a2b2 a b == Ù c2 – a2 = 4a2 Ù c = a 5 Và 1 c a 2 = Ù 1 5a a 2 = Ù a = 5 . Suy ra : b = 2 5 => (E) : 1 20 y 5 x 22 =− Dạng toán 2 : Lập phương trình cônic bằng định nghĩa Ví dụ 1 : Lập phương trình parabol tiêu điểm O và đường chuẩn Δ : 3x – 4y + 5 = 0 Giải Gọi (P) là parabol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (P) Ù MO = d(M ; Δ ) Ù 5 |5y4x3|yx 22 +−=+ Ù 25(x2 + y2 ) = (3x – 4y + 5)2 Ù 16x2 + 24xy + 9y2 – 30x + 40y – 25 = 0 Ví dụ 2 : Lập phương trình hypebol tiêu điểm F(1 ; 0) , đường chuẩn Δ : x – y = 0 và tâm sai e = 2 `Giải Gọi (H) là hypebol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (H) Ù 2 );M(d MF =Δ Ù MF = d(M ; Δ) . 2 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 90 Ù 2. 2 |yx|y)1x( 22 −=+− Ù (x – 1)2 + y2 = (x – y)2 Ù 2xy – 2x + 1 = 0 Dạng toán 3 : Nhận dạng cônic theo tâm sai . Ví dụ 1 : Cho cônic có tiêu điểm F(1 ; 1) và đường chuẩn Δ : x + y – 3 = 0 . Biết cônic qua gốc O , hãy cho biết dạng cônic ấy . Giải Ta có : OF = 2 và d(O, Δ) = 2 3 . Suy ra : e = 3 2 );M(d MF =Δ < 1 , vậy cônic là một êlip . Ví dụ 2 : Chứng minh đồ thị hàm số y = x2 1 là một hypebol . `Giải Ta có : y = 1xy2x 2 1 = (1) Cộng hai vế x2 + y2 + 2x + 2y + 1 , ta được : (1) Ù x2 + y2 + 2x + 2y + 1+ 2xy = x2 + y2 + 2x + 2y + 1 + 1 Ù (x + y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 Ù 22 )1y()1x(2. 2 |1yx| +++=++ Gọi F là điểm ( - 1 ; - 1) , Δ là đường thẳng : x + y + 1 = 0 và M = (x ; y) , thế thì : (2) Ù d(M ; Δ) . 2 = MF Ù 2 ):M(d MF =Δ => cônic là một hypebol tiêu điểm F và đường chuẩn Δ . C. Bài tập rèn luyện . 3.131. Lập phương trình chính tắc của : a) êlip qua M(- 5 ; 2) và một đường chuẩn là x = 5 . b) hypebol có một tiệm cận là y = x 3 4 và khỏang cách giũa hai đường chuẩn là 18 / 5 . c) hypebol có đỉnh A( 5 ; 0) , đường chuẩn hợp với hai tiệm cận một tam giác có diện tích là 9 510 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 91 d) êlip đỉnh A2 ( 2 ; 0) cách đường chuẩn ứng với F1 một khoảng là 6 . e) hypebol có hai tiệm cận vuông góc và một đường chuẩn x = 2 3.132. Cho biết dạng các cônic và lập phương trình chính tắc của nó : a) tiêu điểm (4 ; 0) và đường chuẩn x = 2 . b) đường chuẩn x = 9/2 và qua M(0 ; 5 ) c) đỉnh ( 5 ; 0) và khỏang cách giũa tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng là 4 . 3.133. Lập phương trình tổng quát các cônic bằng định nghĩa biết tiêu điểm F , đường chuẩn Δ , tâm sai e . a) F( - 1; 0) , Δ : x = 3 , e = 1/ 2 b) F(0 ; 0) , Δ : x – y + 1 = 0 , e = 1 c) F(- 3 ; 0) , Δ : x + 2y , e = 2 3. 134. Cho parabol có đường chuẩn Δ : x – y – 4 = 0 và đỉnh là O . Tìm tiêu điểm F và phương trình của parabol . 3.135. Cho cônic có tâm đối xứng I(2 ; 4) , đường chuẩn Δ : x + y + 2 = 0 và tiêu điểm tương ứng thuộc Oy . Hãy tìm tiêu điểm , tâm sai và nhận dạng cônic đó . 3.136. Cho cônic có tiêu điểm (0 ; 3) , đường chuẩn x + y = 0 , tâm sai e = 2 . Tìm giao điểm của cônic với các trục tọa độ . 3.137. Nhận dạng các đường có phương trình sau : a) |1yx|yx 22 −−=+ b) |yx|)1x2yx(2 22 +=+−+ c) x2 + 2y2 + 2x - 1 = 0 d) x2 + y2 – 2xy + 2x + 2y – 1 = 0 d) xy = 1 3.138. Biện luận theo m hình dạng đường (C) có phương trình : x2 + y2 = m(x – 2)2 D. Hướng dẫn hay đáp số 3.131. a) (E) : 1 b y a x 2 2 2 2 =− . Ta có : c5a5 c a 22 == Suy ra : b2 = a2 – c2 = 5c – c2 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 92 M(- 5 ; 2) ∈ (E) Ù 1 b 4 a 5 22 =+ Ù 5b2 + 4a2 = a2 b2 Ù 5(5c – c2 ) + 20c = 5c(5c – c2 ) Ù c2 – 6c + 9 = 0 ) ( chia hai vế cho 5c) Ù c = 3 . . . b) (H) : 1 b y a x 2 2 2 2 =− . Ta có : 4a = 3b (1) và 5 9 c a 2 = (2) Vì : c2 = a2 + b2 = 25a2 / 9 Ù c = 5a/3 ( do (1) ) . Thế và (2) : a = 3 . . . c) (H) : 1 b y a x 2 2 2 2 =− .Ta có : Tam giác có đường cao là c a 2 và cạnh đáy là 2. c ab . Suy ra : 9 510 c b55 c ba 22 3 == Ù 9b = 2c2 Thế c2 = a2 + b2 = 5 + b2 : 2b2 – 9b + 10 = 0 Ù b = 2 hay b = 5/2 . . . 3.132. a) c = 4 , 8a2 c a 22 == . Suy ra : a < c . Vậy cônic là hypebol và : b2 = 8 . b) 2 9 c a 2 = Ù 2a2 = 9c (1) . Vì cônic qua M ∈ Oy nên cônic là êlip và b2 = 5 Vậy : a2 = 5 + c2 . Thếvào (1) : 2(5 + c2) = 9c Ù 2c2 – 9c + 10 = 0 Ù c = 2 hay c = 5/2 . . . c) Ta có : a = 5 và c |c5| c cac c a 22222 −=−=− = 4 . Ù ⎢⎣ ⎡ = =⎢⎢⎣ ⎡ =−− =−+⎢⎢⎣ ⎡ =− =− 5c 1c 05c4c 05c4c c45c c4c5 2 2 2 2 • c = 1 < a : cônic là êlip : 4 y 5 x 22 + = 1 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 93 • c = 5 > 5 : cônic là hypebol : 1 20 y 5 x 22 =− 3.133. a) M(x ; y) ∈ (C) Ù 222 )3x.( 2 1y)1x(e );M(d MF −=++=Δ . . ..Lập phương trình tổng quát các cônic bằng định nghĩa biết tiêu điểm F 3. 134. Ta tìm hình chiếu H của O lên Δ thì tiêu diểm F là điểm đối xứng của H qua O . H(2 ; - 2) => F(- 2 ; 2) . M(x ; y) ∈ (P) Ù MF = d(M ; Δ) Ù (x + 2)2 + (y – 2)2 = 2 )4yx( 2−− . Khai triển và rút gọn, ta được phương trình tổng quát cần tìm . 3.135. Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc Δ : x – y + 2 = 0 . Đường này cắt Oy tại F(0 ; 2) là tiêu điểm của cônic. Ta có : c = IF = 2 2 , ),I(d c a 2 Δ= = 4 2 => a2 = 16 Ù a = 4 . Vậy e = c/a = 2 : cônic là êlip 3.136. Gọi M(x ; 0) là giao điểm ∈ Ox , ta có : MF = 2. d(M ; Δ) Ù x2 + 9 = 4. 2 )0x( 2+ Ù x = ± 3 . . . . 3.137. a) Xét điểm O(0 ; 0) và đường thẳng Δ : x – y – 1= 0 , ta có : MO = 22 yx + ; d(M ; Δ) = 2 |1yx| −− y x O F H y x O I F Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 94 PT Ù 2 );M(d MO =Δ . Vậy tập hợp là một hypebol tiêu điểm O và đường chuẩn Δ . b) Xét điểm F(1 ; 0) và Δ : x + y = 0 . Tập hợp là parabol . c) PT Ù 2(x2 + y2 ) = x2 - 2x + 1 Ù Ù 2 |1x|yx 22 −=+ Xét O(0 ; 0) và Δ : x – 1 = 0 : tập hợp là êlip d) 2(x2 +y2 ) = x2 + y2 + 2xy - 2x - 2y + 1 Ù 2(x2 + y2) = (x + y – 1)2 Ù 2 |1yx|yx 22 −+=+ Xét O và Δ : x + y – 1 = 0 : tập hợp là parabol . e) 2xy = 2 . Cộng hai vế cho x2 + y2 + 2x 2 + 2y 2 + 2 Ù x2 + y2 + 2xy + 2x 2 + 2y 2 + 2 = x2 + y2 + 2x 2 + 2y 2 + 4 Ù (x + y + 2 )2 = (x + 2 )2 + (y + 2 )2 Ù 2. 2 |2yx|)2y()2x( 22 ++=+++ Xét F( - 2 ; 2 ) và Δ : x + y + 2 = 0 : tập hợp là hypebol tiêu điểm F , đường chuẩn Δ , e = 2 . 3.138. * Nếu m tập hợp ∅ * Nếu m = 0 : x = y = 0 => tập hợp là {O} * Nếu m > 0 : xét O và Δ : x – 2 = 0 , ta có : m ),M(d MO =Δ • m < 1 : êlip • m = 1 : parabol • m > 1 : hypebol § 9.Trắc nghiệm cuối chương . Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 95 A. Đề : 1. Phương trình đường thẳng qua A(3 ; - 2) và có vectơ chỉ phương (- 2 ; 6) là : a) 3x + y – 7 = 0 b) – x + 3y + 9 = 0 c) x + 3y + 3 = 0 d) 3x – y – 11 = 0 2. Cho tam giác ABC với A(2 ; 4) , B(2 ; 1) và C(5 ; 0 ) . Trung tuyến CM qua điểm N có hoành độ 20 và tung độ bằng ? a) - 12 b) - 12, 5 c) - 13 d) – 13, 5 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : 3x – 4y + 2 = 0 và 3x – 4y – 3 = 0 là : a) 1 / 5 b) 1 c) 5 d) đáp số khác 4. Có 2 điểm M thuộc Ox và cách đường thẳng 2x – y + 5 = 0 một khoảng là 2 5 , tích hai hoành độ của chúng là : a) – 75/4 b) – 25/ 4 c) – 225 / 4 d) đáp số khác 5. Hai đường thẳng d : mx + y – 5 = 0 và d’ : (m – 3) x + 5 y + m = 0 song song khi m = a) 4/3 b) – 4/3 c) 3/4 d) – 3/4 6. Đường thẳng d : 3x – 2y + 8 = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; - 1) , bán kính là : a) 5 13 b) 13 c) 13 d) đáp số khác 7. Gọi α là góc của hai đường thẳng : y = 5x + 3 và x - 5y – 1 = 0 , thế thì cos α = a) 1/ 26 b) 2/ 13 c) 5/ 13 d) 0 8. Có hai đường thẳng y = kx và hợp với d : x – y = 0 một góc là 600 . Tổng hai giá trị của k là : a) 1 b) – 8/ 3 c) – 8 d) - 1 9. Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(- 3 ; 1) và B(5 ; 7) là : a) x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0 b) x2 + y2 - 2x + 8y – 8 = 0 c) x2 + y2 + 2x - 8y – 8 = 0 d) x2 + y2 - 2x - 8y – 8 = 0 10 Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình : x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = 0 là phương trình đường tròn ? a) 0 b) 5 c) 7 d) vô số 11. Có hai đường tròn có bán kính 10 và qua A (- 3 ; 2) và B(1 ; - 6) . Một đường tròn có tung độ tâm là : a) - 6 b) - 9 c) - 2 d) 7 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 96 12. Đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 cắt đường thẳng x – y + 1 = 0 theo một dây cung có độ dài là : a) 1 b) 2 c) 3 d) đáp số khác 13. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Oy tại A(0 ; 5) và có tâm thuộc đường thẳng 3x – y - 5 = 0 .B.àn kình đường tròn gần nhất với số nào dưới đây : a) 3, 1 b) 3, 2 c) 3, 3 d) 3, 4 14. Đường tròn (C) : x2 + y2 + 6x – 4y + 3 = 0 có bán kính là : a) 10 b) 3 c) 4 d) 29 15. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 biết tiếp tuyến song song với ∆ : 3x – 4y + 12 = 0 a) 4x - 3y – 27 = 0 b) 4x +3 y – 11 = 0 c) 3x – 4y + 23 = 0 d) 3x - 4y + 27 = 0 16. Elip : 4x2 + 8y2 = 32 có tiêu cự là : a) 2 b) 4 c) 2 3 d) 4 2 17. Cho elip : 2 2 1 9 5 x y+ = . Câu nào sau đây là sai ? a) Một tiêu điểm của elip là ( - 2; 0) b) Một đỉnh trên trục nhỏ là (0 ; 5 ) c) Độ dài trục lớn là 6 d) Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 3 5 18. Elip có một tiêu điểm là F ( 3 ; 0 ) cách đỉnh B một khoảng là 5 , có độ dài trục nhỏ là : a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 19. Elip (E) : 2 2 1 5 1 x y+ = . Điểm M ( 3; 1) trên (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông . Tung độ dương của M là : a) ½ b) 1 c) 2 d) đáp số khác 20. Cho elip (E) : 2 2 1 9 5 x y+ = . Điểm M trên (E) thỏa F1M – F2M = 2 . Hoành độ của M gần nhất với số nào dưới đây ? a) 1, 4 b) 1, 5 c) 1, 6 d) 1, 7 21. Cho parabol y2 = 2px qua điểm M( 2 ; 6) . Khoảng cách từ M đến đường chuẩn là : a) 6, 5 b) 9 c) 11 d) đáp số khác 22. Parabol y2 = x có tiêu điểm là : Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 97 a) ( ¼ ; 0 ) b) (1 /2 ; 0 ) c) (0 ; ¼ ) d) (0 ; ½) 23. Parabol y2 = 2px (p > 0 ) qua điểm M có tung độ 2 và cách đường chuẩn một khoảng là 5. Ta được hai parabol có tổng hai giá trị của p là : a) 5 b) 10 c) 4 d) đáp số khác 24. Cho (P) : y2 = 4x . Đường thẳng d qua F có hệ số góc 1 , cắt (P) tại M và N . Độ dài MN bằng : a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 25. Hypebol : 2x2 – 4y2 = 8 : a) có tiêu cự là 2 2 b) có một tiệm cận là : y = 1 2 x c) Câu (a) và (b) đều đúng d) Câu (a) và (b) đều sai . 26. Một điểm M bất kì trên hypebol (H) : 2 2 1 8 2 x y− = . Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng : a) 4 5 b) 8 5 c) 16 5 d) không xác định . 27. Hypebol có tiêu điểm F(10 ; 0 ) và một tiệm cận là : y = 2x . Hypebol có độ dài trục thực bằng : a) 2 5 b) 4 5 c) 8 5 d) đáp số khác 28. Hypebol : 2 2 2 2 1 x y a b − = qua điểm M ( 5 ; 4) và có một tiệm cận là y = x 2 . Thế thì ab = a) 17 2 b) 34 c) 34 2 d) đáp số khác 29. Hypebol có một đỉnh là A1 ( - 4 ; 0 ) và đỉnh này cách tiệm cận một khoảng là 2 . Thế thì độ dài trục ảo gần nhất với số nào dưới đây ? a) 4, 3 b) 4, 4 c) 4, 5 d) 4, 6 30. Elip (E) : 2 2 16 4 x y+ =1 và hypebol (H) : 2 2 2 2 1 x y a b − = có cùng tiêu điểm và độ dài trục thực của (H) bằng độ dài trục nhỏ của (E) . Vậy (E) và (H) cắt nhau tại bốn điểm nằm trên đường tròn có bán kính là : a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 8 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 98 B. Bảng trả lời : 1. (a) 2.(b) 3. (b) 4.(a) 5. (d) 6.(b) 7. (c) 8.(b) 9.(d) 10.(d) 11. (a) 12.(b) 13. (c) 14.(a) 15. (c) 16.(b) 17. (d) 18.(b) 19.(a) 20.(b) 21.(a) 22.(a) 23.(b) 24.(d) 25.(d) 26.(b) 27.(b) 28.(a) 29.(d) 30.(b) C. Hướng dẫn giải 1. (a) 2.(b) Phương trình trung tuyến là : 5x + 6y – 25 = 0 . Cho x = 20 : y = -12 , 5 3.(b) Khỏang cách giữa 3x – 4y + 2 = 0 và 3x – 4y – 3 = 0 là 1 . 4.(a) Gọi M(x ; 0) : | 2x 5 | 2 5 5 + = Ù |2x + 5| = 10 Ù x = 5/2 hay x = - 15/2 Vậy có 2 điểm M và tích 2 hoành độ là – 75/4 . 5.(d) d // d’ Ù m 1 5 m 3 5 m −= ≠ − m 3 5m m 25 − =⎧⎨ ≠ −⎩ Ù m = - ¾ 6.(b) R = d(I, d) = 13 13 13 = 7.(c) 8. (b) Phương trình đường thẳng cần tìm : kx – y = 0 . Ta có : 0 2 | k 1| 1cos 60 2k 1 + = =+ Ù 3k2 + 8k + 3 = 0 => k1 + k2 = - 8/3 . 9. (d) 10. (d) a2 + b2 – c = m2 – 9 > 0 Ù m > 3 hay m < - 3 : vố số giá trị m nguyên . 11.(a) Gọi I(a ; b) là tâm : 2 2 2 22 2 a 2b 3IA IB (a 3) (b 2) 100IA R 100 = +⎧ = ⎧⎪ ⎨ ⎨ + + − == =⎪ ⎩⎩ Thế , ta được : b2 + 4b – 12 = 0 Ù b = - 6 hay b = 2 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 99 12. (b) (C) có tâm I(1 ; - 2) , R = 3 . Khỏang cách d từ I đến đường thẳng là : 3 / 2 Suy ra độ dài dây cung là : 2. 2 2R d 2 9 8 2− = − = 13.c Vì đường tròn tiếp xúc Oy tại A( 0 ; 5) nên tâm I(a ; 5) . I ∈ 3x – y – 5 = 0 Ù a = 10/3 Bán kính đường tròn là 10/3 = 3,333… . 14. (a) (C ) có tâm I( - 3/2 ; 5/2 ) , bán kính R = 46 4 => MT2 = IM2 + R2 = 9 => MT = 3 15. (c) 16. (b) 17 (d) Hình chữ nhật cơ sở có diện tích là 4ab = 12 5 18. ( b) Tam giác OBF cho : OB2 = BF2 - OF2 = 25 – 9 = 16 => BF = b = 4 Vậy độ dài trục nhỏ là 8 . 19.(a) Ta c ó hệ : 2 2 2 2 2 5 5 11/ 4 | | 24 x y y y x y ⎧ + =⎪ => = => =⎨ + =⎪⎩ Vậy tung độ dương của M là ½ . 20 (b) Ta có hệ : 1 2 1 1 2 2 6 4 2 2 FM F M FM FM F M F M + = =⎧ ⎧⎨ ⎨− = =⎩ ⎩ Suy ra : F1M2 – F2M2 = 4cx = 12 => x = 3/2 21(a) . (P) : y2 = 2px qua điểm (2 ; 6) Ù 36 = 4p Ù p = 9 Khoảng cách từ M đến đường chuẩn là : x + 2 p = 2 + 4, 5 = 6, 5 22( a) . 23.(b) Gọi (x ; 2) là tọa độ của M , ta có hệ : 4 2 5 2 px px =⎧⎪⎨ + =⎪⎩ => 2 5 2 p p + = ( x > 0 ) Ù p2 – 10p + 4 = 0 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 100 Phương trình này có 2 nghiệm và tổng là 10 . 24 (d) . Phương trình đường thẳng d : y = x – 1 . Phương trình hoành độ giao điểm M , N : (x – 1)2 = 4x Ù x2 – 6 x + 1 = 0 (1) Gọi x1 , x2 là hoành độ của M , N , ta có : MN = FM + FN = (1 + x1 ) + (1 + x2 ) = 2 + x1 + x2 = 8 25(d) . 2 2 1 4 2 x y− = : * có c = 6 => tiêu cự là 2 6 : (a) sai . * có tiệm cận là : y = ± x 2 /2 : (b) sai . 26(b) . (H) : 2x2 – 8y2 = 16 . Phương trình hai tiệm cận : x ± 2y = 0 Tích khoảng cách là : 2 242 2 8. 5 55 5 x yx y x y −+ − = = 27(b) . Ta có : c = 10 và b = 2a . Suy ra : a2 + b2 = 100 Ù 5a2 = 100 Ù a = 2 5 Vậy độ dài trục thực là 4 5 . 28(a). Ta có hệ : 2 2 2 2 25 16 1 2 a b b a ⎧ − =⎪⎨⎪ =⎩ Ù 2 2 17 34 a b ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ => ab = 17. 2 29(d) . Ta có : a = 4 . Phương trình một tiệm cận là : bx + 4y = 0 . Khoảng cách từ A1 đến tiệm cận là : 2 4 2 16 b b − = + Ù 16b2 = 4b2 + 64 Ù b2 = 16/ 3 . Vậy độ dài trục ảo là : 2b = 2. 4 3 ≈ 4, 6 30(b). Ta có : 2a = 4 Ù a = 2 . Ngoài r a: 16 – 4 = a2 + b2 = 4 + b2 Ù b2 = 8 . Vậy (H) : 2 2 1 4 8 x y⎧ − =⎨⎩ . Tọa độ giao điểm của (E) và (H) : Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 101 2 2 2 2 4 16 2 8 x y x y ⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩ Ù 2 2 16 3 8 3 x y ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ => x2 + y2 = 8 Vậy 4 giao điểm thuộc đường tròn tâm O , bán kính là 2 2