Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu - Trần Công Nghị

vị điểm đầu tự do. Chuyển vị điểm tại L/2 bằng bao nhiêu? 2. Tìm chuyển vị đầu cuối dầm hai sải, sải đầu dài 2L, tựa trên hai gối tại đầu dầm và vị trí x = 2L, sải thứ hai dài L, đầu còn lại tư do. Dầm chịu momen uốn đặt tại vị trí x = L. M 2L L Hình 3.27 3. Sử dụng phương pháp lực giải các dầm sau đây. L q L q L q q EJ EJ EJ EJ L/2 L/2 y x A B A B A B A B Hình 3.28 4. Giải bài toán 3. bằng phương pháp chuyển vị 5. Xác định phản lực RC của gối đàn hồi, ,độ cứng lò xo k, trình bày tại hình dưới đây. Biết rằng độ cứng dầm EJ, chiều dài dầm L, đểm C giữa dầm 62 y x EJC k A B Hình 3.29 6. Xác định chuyển vị dầm chiều dài L, độ cứng EJ, ngàm bên phải, tựa trên gối đàn hồi phía trái, chịu tải trọng phân bố đều q = const. Độ cứng lò xo tại gối A tính bằng k. y x Hình 3.30 7. Xác định hệ số ngàm đoạn dầm AB hình dưới đây1 . A D C B E I3I2 I1 L1 L2 L3 Hình 3.31 1 Xem lôøi giaûi taïi saùch “Cô hoïc keát caáu taøu thuûy vaø coâng trình noåi”, trang 264, NXB ÑHQG Tp HCM 2002. 63 8. Xác định phản lực tại gối ghi bằng ký tự B, C đường trục máy đẩy tàu trong trường hợp trục gãy góc khi lắp sẽ bị bắt chặt tại bích nối A. 9. Xác định phản lực tại gối ghi bằng ký tự B, C đường trục máy đẩy tàu trong trường hợp trục không đồng tâm khi lắp sẽ bị bắt chặt tại bích nối A. AB C A B C a) Baøi taäp soá 8 b) Baøi taäp soá 9 ϕ Hình 3.32 10. Sử dụng phương trình ba momen xây dựng biểu đồ uốn và lực cắt dầm dưới đây. EJ 4/3qa 2/3qa EJ A B C D Hình 3.33 11. Xây dựng biểu đồ momen uốn, lực cắt. Tính phản lực các dầm nêu tại hình dưới đây. 64 EJ 10kN 10kN 20kN/m 10kN/m 20kN/m 20kN/m 10kN/m 20kN/m 30kN/m 15kN/m 30kN 40kN 10kN.m a) b) c) e) f) g) h) d) Hình 3.34 65 Xoắn trục tròn Tóm tắt Biến dạng (shear strain) và chuyển vị (deflection) do xoắn tính từ công thức: τνγ Err )1(2 0 +== trong đó p T rr J rM . 0 ==τ . (a) Góc xoắn trục: ( ) p T p T GJ lM EJ lM =+= νϕ 12 (b) MT – momen xoắn, r – bán kính đến điểm tính toán, Jp - momen quán tính trong hệ độc cực, l – chiều dài trục. Trường hợp trục rỗng, bán kính ngoài R, bán kính trong r, công thức tính Jp có dạng: ( )44 2 rRJ p −= π (c) Ví dụ 1: Trục hộp số dài l = 0,6m, quay n = 500 v/ph. Người ta gắn thiết bị đo biến dạng dưới góc 45° so với đường tâm trục, và đã ghi được độ giãn dài tương đối ε = 3,4.10-4. Xác định công suất máy Pe tại trục và góc xoắn trục. Biết rằng đường kính ngoài trục D = 8cm, tỷ lệ đường kính trong và ngoài α = d/D = 0,8; E = 2.105 MPa. Hệ số Poisson ν = 0,30. Lời giải: Tại góc 45 ° có thể viết: σ1 = τ; σ2 = -τ. Độ giãn dài tương đối ε = 3,4.10-4 tính theo công thức: ( ) ( ) 421 10.4,31 −=+=−= EE ντνσσε Ứng suất tiếp tính từ công thức: ( ) MPa E 3,52 1 =+= ν ετ Mô đun cắt G = ( )ν+12 E = 77 GPa; Mo men quán tính trong hệ tọa độ độc cực: ( ) 4644 10.75,21 32 mDJ p −=−= απ Mô đun chống xoắn: 3510.88,6 2 m D J W pp −== 66 Từ biểu thức tính ứng suất tiếp do xoắn tại lớp ngoài của trục p T W M=τ có thể suy ra: mkNWM pT .6,3. == τ Công suất truyền đến trục tính theo công thức: kWMnMP TTe 18830 . === πω Góc xoắn trục tính theo công thức (b): '3510.02,1 2 === − rad GJ lM p Tϕ Xoắn dầm thành mỏng Tóm tắt Ứng suất cắt trục thành mỏng tính bằng công thức: tA M T 2 =τ (a) trong đó A – diện tích phần nằm trong đường bao mặt cắt, t – chiều dày thành mỏng. Momen xoắn trục ký hiệu MT . Biểu thức A Mq T 2 = trong công thức qAM T 2= mang tên gọi dòng ứng suất cắt. Ứng suất cắt ống trụ dài L, thành mỏng, đường kính ngoài D = 2R, đường kính trong d = 2r, bị ngàm một đầu, chịu momen xoắn MT tại đầu tự do nhận được kết quả sau đây. Nếu ký hiệu bán kính trung bình rm = (r + R)/2, còn diện tích A trong vòng tròn này sẽ là: A = ( ) 4 2Rr +π , giá trị ứng suất cắt (shear stress) tính như sau. ( )[ ]( ) ( ) ( )rRrR MrRrR MAtM TTT −+=−+== 22 24/22 ππτ (b) Phép tính chính xác đưa lại kết quả sau. ( ) ( ) ( )( )4444 2 2 / rR RrM rR RrM rJ M T T mp T − += −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + == ππτ (c) Từ nguyên lý bảo toàn năng có thể xác định góc xoắn theo các bước: • Công ngoại lực ϕTM2 1 (d) • Công biến dạng do xoắn ∫ ∫L tdsdxG0 2 2 1 τ (e) 67 Nếu thay L dx dϕϕ = có thể tính tiếp: ∫∫ ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛ tdsAt M G tds Gdx dM TT 22 2 2 4 11 τϕ (f) và ∫= dstAMGdxd T 141 2ϕ (g) Nếu ký hiệu S – chu vi mặt A, còn t = const, công thức cuối có dạng: • tA SM Gdx d T 24 .1=ϕ (h) • Góc xoắn dầm tính theo công thức Bredt sẽ là: ( ) ( )rRrRG M tA SM Gdx d TT −+== 32 4 4 .1 π ϕ (i) Công thức giải tích tính góc xoắn: ( )44)2/( rRG MGJMdxd TpT −== π ϕ (j) Ví dụ 1: Dầm thành mỏng, kết cấu kín, mặt cắt ngang hình chữ nhật, rộng 300mm, cao 100mm, chiều dày thành 3mm, chịu momen xoắn MT. Xác định giá trị momen xoắn giới hạn nếu nhận rằng ứng suất tiếp cho phép [τ] = 60 MPa. Lời giải: Diện tích sec tơ của mặt cắt ngang dầm thành mỏng: Aω = 2.30.10 = 600 cm2. Ứng suất tiếp lớn nhất: Hình 3.35 7 3max 10.610.06,0 ≤== −TT M tA M ω τ Từ đó: MT = 6.107.1,8.10-4 = 1,08.104 N.m = 10,8 kNm Ví dụ 2: Tính đường kính trục tàu truyền momen quay từ động cơ công suất 8000 mã lực (PS), quay 100 v/ph. Biết rằng trục rỗng, tỷ lệ D/d = 2, ứng suất tiếp giới hạn [τ]= 300 kG/cm2. Hướng dẫn: Sử dụng các công thức sau đây khi tính trục rỗng, đường kính trong d, đường kính ngoài D. pT D d JGMdArG θθ ==∫2/1 2/1 2 (a) trong đó: ( ) 32 44 dDJ p −= π (b) 68 ( ) pTT GJ M GdD M =−= 44 32 πθ ; p T GJ lMl ==θϕ (c) từ đó tính được ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = 4 4 3 max 1 16 D dD M T π τ (d) Đường kính trục cần tính nhằm đáp ứng truyền được momen quay MT từ động cơ có công suất định trước Pe. Quan hệ giữa MT trên trục với động cơ công suất Pe như sau: MT eP n 7500 60 2 =× π (e) trong đó MT đo bằng kG.m, n tính bằng v/ph, đại lượng 3060 2 nn ππ = gọi là vận tốc góc. Momen xoắn trục tính theo công thức: 1002 60100758000 × ×××= πTM Ứng suất lớn nhất tính theo (d): 3max 16 15 16 D M T πτ ×= Từ đó có thể tính: cmD 47 300100215 601007580001616 3 =×××× ×××××= ππ Đường kính trong d = D/2 = 23,5cm. Ví dụ 3: Dầm chữ I dài l = 1,5m, ngàm đầu trái, chịu tác động momen xoắn MT tại đầu bên phải. Kích thước mặt cắt chữ I như sau: tấm bản dưới rộng a = 12 cm, dày t1 = 1 cm, chiều dày tấm bản trên t = 2 cm; Chiều cao dầm b = 28cm, dày t1. Xác định giá trị giới hạn của momen xoắn MT, biết rằng ứng suất tiếp cho phép [τ] = 60 MPa. Momen quán tính trường hợp tính xoắn tính theo công thức: 4 333 74 3 1.302.12,2 3 cm st JT =+== ∑ Ứng suất tiếp lớn nhất: T T T T MM J tM 4 8 2 max max 10.7,210.74 10.2 === − − τ Hình 3.36 Momen xoắn giới hạn: τmax = 2,7.104MT ≤ 6.107, 69 Từ đây MT = 2,22.103 Nm. 70 Xoắn trục không tĩnh định Ví dụ 1: Trục đặc, ngàm hai đầu, chịu tác động hai momen xoắn K1 =0,4 kNm và K2 = 0,6 kNm, quay ngược chiều nhau. Chọn đường kính trục nhằm đảm bảo bền và cứng, biết rằng ứng suất tiếp giới hạn [τ] = 40 MPa, góc xoắn giới hạn [ϕ] = 0,25°/m. Mô đun cắt G = 8.104 MPa, các khoảng cách a = 0,5m ; b = 0,75m; c = 1,25m. K1 K2 Hình 3.37 a b c Lời giải: Sử dụng phương pháp lực giải bài toán không tĩnh định thường gặp này. Momen cần tìm (tải siêu tĩnh redundant) tại ngàm trái ký hiệu MB, tham gia vào phương trình cân bằng: 0).().( . . 21 =++++− p B pp GJ cbaM GJ baK JG aK Từ phương trình cuối có thể xác định: MB = 220 Nm MA = 400 + 220 – 600 = 20 Nm Xây dựng đồ thị MT co trường hợp này, có thể rút ra rằng Mmax = 380 Nm. Chọn đường kính trục theo điều kiện bền: [ ] cmm MD T 62,30362,0163 === τπ Chọn đường kính theo tiêu chuẩn cứng: [ ] cmmG MD T 75,50575,0.324 === ϕπ Từ kết quả trên, chọn D = 5,75cm làm đường kính trục. Trường hợp trục rỗng ruột, đường kính ngoài D, đường kính trong d, công thức tính đường kính theo tiêu chuẩn bền và cứng mang giá trị tương ứng sau: ( )[ ] DdMD T =−= αταπ ;1163 4 ( )[ ] DdMD T =−= αϕαπ ;1324 4 71 Bài tập 1. Xác định ứng suất cắt và góc xoắn ống tròn thành mỏng làm từ thép. Biết rằng chiều dài ống 0,5m, chịu tác động momen xoắn 1 kN.m. Mô đun đàn hồi vật liệu E = 200 GPa, hệ số Poisson ν = 0,29. 2. Xác định momen xoắn tại hai đầu ngàm trục nêu tại hình 3.32. Momen xoắn áp đặt Q = 10 kN.m. Mô đun cắt G = 3.104 MPa. 4c m 5 c m 1,2m 0,4m A B Hình 3.38 3. Ống thép mặt cắt ngang kết cấu thành mỏng, nửa hình tròn, chiều dày thành t = 3mm, bán kính trung bình R = 40 mm, chịu momen xoắn 500 N.m. Ống dài 300mm. Mô đun đàn hồi E = 210 GPa, hệ số Poisson ν = 0,29. Xác định ứng suất cắt trung bình và góc xoắn dầm thành mỏng này. 4. Ống thép thành mỏng dài 1m, mặt cắt ngang trình bày tại hình 3.32 , chịu momen 75 50 t=3mm 30 R2 5 y x a) Ba øi ta äp 3 b) Ba øi ta äp 4 Hình 3.39 xoắn 2kN.m. Tính chất vật liệu: E = 210 GPa, ν = 0,29. Xác định ứng suất cắt trong thành ống. Xác định góc xoắn ống. 4. Kết cấu ống hai liên (hai vùng kín), làm bằng nhôm, mặt cắt có dạng nêu tại hình 3.33b . Chiều dày thành ống và thanh ngáng t = 5mm. Mô đun đàn hồi nhôm E = 70 GPa, ν = 0,33. Xác định ứng suất cắt trong thành ống. Xác định góc xoắn ống. 72 ỔN ĐỊNH CỘT Tóm tắt: a/ Xác định tải giới hạn bằng phương trình vi phân Độ võng dầm tính theo quan hệ EJy” = M = -Py. Từ phương trình này có thể viết: 0" 2 =+ yky trong đó EJ Pk =2 Nghiệm của phương trình vi phân tìm ở dạng: kxCkxCy cossin 21 += Thay điều kiện biên cho bài toán trình bày tại hình 3.34, tại x = 0, y =0 và tại x = L, y = 0 có thể viết Hình 3.40 C2 = 0, còn C1sinkL = 0 với C1 ≠ 0. KL = nπ, n – số nguyên chẵn. Với EJ P L nk == 2 22 2 π có thể viết: 2 22 L EJnP π= Giá trị trên đây gọi là tải giới hạn hay là tải Euler. Trường hợp n = 1 tải giới hạn sẽ có giá trị 2 2 L EJPcr π= Trong công thức E – mô đun đàn hồi vật liệu, J – momen quán tính mặt cắt, L – chiều dài cột. Tổng quát tải Pcr thể hiện bằng công thức: 2 2 )(KL EJPcr π= , trong đó K phụ thuộc vào điều kiện hình học đầu cọc. Ứng suất giới hạn (ứng suất Euler) có dạng: AKL EJ A Pcr cr .)( 2 2πσ == , với A – diện tích mặt cắt ngang cột. Nếu ký hiệu r = AJ / , KL = Le – chiều dài hữu hiệu, công thức tính ứng suất giới hạn được hiểu: ( ) 2 2 2 2 / ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ == r L E rKL E e cr ππσ . λ y x P L 73 Công thức Euler đúng cho trường hợp: p e cr r L E σπσ ≤ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = 2 2 , tương ứng trường hợp (Le/r) ≥ 105 với thép thông thường E = 210kN/mm2, giới hạn đàn hồi σp = 190 N/mm2 . Ngoài giới hạn trên tải giới hạn tính theo công thức Engesser-Shanley hoặc những công thức khác, dạng chung: ( )2 2 / rL E e t cr πσ = , trong đó Et phụ thuộc vào bản thân σr, Le/r. Những công thức đang được dùng được viết gọn: σcr = A - B(Le/r) Tại châu Âu, giá trị A, B dùng cho thép cac bon có E = 210kN/mm2 như sau: Thép Fe 360: A = 310, B = 1,14. Với thép Fe 510 A =459,3 B= 1,98. Thép nikel hàm lượng 0,05%Ni A = 470, B = 2,3. Tại Nga sử dụng đường tiếp tuyến khi tính ứng suất giới hạn, vơi thép có E = E = 210kN/mm2 , σp = 200MPa, σY = 240MPa công thức tính σcr sẽ là: σcr = 300 - (Le/r) (MPa) khi σcr ≤ σY Thép chrom: σcr = 1000 – 5,2(Le/r) (MPa) Đua ra: σcr = 400 – 3,33(Le/r) (MPa) Tại USA sử dụng đường parabol Johson khi tính ứng suất giới hạn ngoài phạm vi đường cong Euler. ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ >−= 2 / 4 2 2 2 Y cre Y Ycr rLE σσπ σσσ b/ Xác định tải giới hạn bằng phương pháp năng lượng Năng lượng uốn dầm tính bằng biểu thức: λcr l l PdxEJydx EJ MU === ∫ ∫ 0 0 2 2 '' 2 1 2 (a) Mặt khác λ tính theo công thức: ∫= l dxy 0 2' 2 1λ (b) Từ đó: ∫ ∫ = l l cr dxy dxEJy P 0 2 0 2 ' " (c) Hàm y(x) chọn phù hợp với điều kiện từng bài toán. 74 Ví dụ 1: Xác định tải giới hạn dầm độ cứng EJ, dài L, chịu tác động tải trọng nén P như tại hình 3.40. Hàm y thích hợp trong trường hợp cụ thể nên là l xCy πsin= . Thay y vào công thức (c) sẽ nhận được: 2 2 l EJPcr π= Bài tập 1. Cọc thép chiều dài L, gắn kết vào kết cấu như tại hình . Xác định kích thước mặt cắt ngang để kết cấu có khả năng không mất ổn định. Tính tải giới hạn cho những trường hợp sau: a/ Mặt cắt ngang hình tròn, d= 30mm, L = 1,2m Hình 3.41 b/ Mặt cắt hình chữ nhật L = 1,2m, h/b = 2, b = 25mm c/ Mặt cắt hình vuông L =1,2m, a = 30mm. Biết rằng E = 2,1.105 MPa. 2. Tính tải giới hạn cho xi lanh động cơ đốt trong sau đây. Chiều dài L =0,9m. Lực nén lớn nhất do khí đốt 160 kN. Xác định kích thước cho hai phương án kết cấu: (1) piston đặc, mặt cắt ngang tròn đường kính d, và (2) kết cấu ống thành mỏng, tỷ lệ đường kính trong với đường kíng ngoài 0,65. Vật liệu chế tạo có E = 2,15.105MPa. Giới hạn chảy vật liệu σY = 540MPa. 3. Ống hợp kim nhôm (đua ra) dài L = 1,06m chịu tác động lực nén P, như hình ảnh đã đề cập tại bài tập 1. Xác định đường kính ống nếu tỷ lệ giữa đường kính ống và chiều dày d/t = 25. Biết rằng P = 32 kN. 4. Kết cấu khung từ các thanh chịu kéo, nén trình bày tại hình 3.36 cần đượpc kiểm tra ổn định. P P 3m 3m 3m 3m Hình 3.42 75 Xác định gía trị của tải giới hạn Pcr của hệ khung. Biết rằng E = 200MGa, bán kính momen quán tính r = AJ / của mỗi thanh bằng 2,5cm, diện tích mặt cắt A = 6,45 cm2. 5. Xác định tải giới hạn cho dầm trình bày tại hình 3.34, giả sử rằng đường cong diễn tả độ võng đàn hồi có dạng: a/ w = C(Lx – x2) b/ w = C(L3x - 2Lx3 + x4) 6. Xác định tải giới hạn trình bày dạng: 2 2 L EJCPcr = trong đó C – hệ số phụ thuộc vào quan hệ A = i/J và k nêu tại hình 3.43. C i iJ P P Hình 3.43 Giả sử đường cong trình bày độ võng ghi theo một trong hai dạng sau: a/ ( )224 xLxLfw −= ; b/ Lxfw πsin= trong đó f – độ võng lớn nhất tại x = L/2. Tính tải giới hạn cho các trường hợp sau: 1) A = 0,2, k = 0,2; 2) A = 0,4 , k = 0,2; 3) A = 0,6, k = 0,6. 76 Chương 4 KHUNG VÀ GIÀN 4.1 Tóm tắt Xác định bậc không tĩnh định khung phẳng theo hướng dẫn sau: Khung giản đơn 3 1 4 2 a) N=4-3=1 3 2 3 1 b) N=4-3=1 4 2 1 4 3 3 c) N=5-3=2 d) N=6-3=3 2 1 3 4 5 6 Hình 4.1 Khung phẳng nhiều tầng, khung phức tạp 1 3 6 9 3 6 2 5 4 7 8 2 1 4 5 N=9-3=6 N=9-3=6 Hình 4.2 77 4.2 Nguyên lý bảo toàn năng lượng trong xử lý khung phẳng Ví dụ 1: Áp dụng nguyên lý bảo toàn năng lượng xác định chuyển vị nút D khung phẳng giới thiệu tại hình. Lực P = 5 kN, độ cứng các thanh EJ = 8000 kN.m2. 5kNA B C D Hình 4.3 Từ chương trước đã trình bày, công biến dạng trong vật thể tính bằng công thức ∫ × V dVεσ 2 1 . Khi áp dụng công thức trên tính công biến dạng các dầm, thay biến dạng bằng quan hệ z EJ M=ε , trong đó E – mô đun đàn hồi, J – momen quán tính mặt cắt, z – khoảng cách từ trục trung hòa mặt cắt đến vị trí tính toán, công thức tính công biến dạng trở thành dV EJ zM V ∫ 22221 . Sau tích phân chúng ta nhận được phương trình tính công biến dạng dầm dài L, độ cứng EJ, chịu tác động momen uốn M dạng sau đây: ∫L dxEJM0 2 2 (*) Có thể thành lập các phương trình tính momen uốn do lực P = 5kN, đặt ngang tại D, gây ra cho từng thanh thuộc kết cấu khung phẳng đang xét. Đoạn CD: M = 5x; Đoạn BC: M = 20; Đoạn AB: M = 20 – 5x; Công biến dạng tính theo công thức (*) đang nêu: EJEJEJEJ dx EJ xdx EJ dx EJ x 33,1133 3 642516001600 2 160067,266 )520( 2 1)20( 2 1)5( 2 1 4 0 23 0 24 0 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×+−++= =−++ ∫∫∫ 78 Công do ngoại lực thực hiện: Δ××=Δ×× )(5 2 1 2 1 kNP Cân bằng công biến dạng với công ngoại lực thực hiện có thể thấy: EJEJ 33,45333,11335 2 1 =Δ⇒=Δ×× hay là: Δ = 453,33 / 8000 = 0,0567m. Có thể đổi thành Δ = 56,7mm. 4.3 Phương pháp tải đơn vị Ví dụ 1: Áp dụng công thức (e) xác định chuyển vị điểm A khung phẳng làm bằng thép tại hình 4.4 dưới đây. Mô đun đàn hồi vật liệu E = 200 GPa. Momen quán tính mặt cắt J = 150.104 mm4. D A B C 10kN q=20kN/m Hình 4.4 Phương trình momen M do tải trọng bên ngoài áp đặt: Đoạn AB: M = 10x2; Đoạn BC: 40; Đoạn cD: 40 – 90 x. Phương trình momen uốn tính cho các thanh khi áp đặt tải đơn vị tại A, theo hướng từ trên xuống. Đoạn AB: M1 = x; Đoạn BC: M1 = 2; Đoạn CD: M1 = 2 – x. 260)2)(9040(.80.10 3 0 2 0 2 0 2 =−−++=Δ ∫∫∫ dxxxdxxdxxEJ Từ đó: m489 10.222,71015010240 260 − − =×××=Δ 79 4.4 Ứng dụng định lý Castigliano xác định chuyển vị khung Ví dụ 1: Xác định chuyển vị theo hướng ngang u và v theo hướng thẳng đứng điểm D của khung, tại hình 4.5 dưới. Kích thước khung ghi tại hình. Độ cứng các thanh EJ = 12.1013 N.mm2. Hình 4.5 Các lực mượn (dummy loads) P và Q được gán tại D theo hướng từ trên xuống và sang ngang, tạo momen uốn. Momen uốn do tải trọng q(x) = 30kN/m cùng P gây ra tính cho toàn khung như sau: Đoạn AB: M = -(4P + 240 + 50x); Đoạn BC: M = -(Px + 15x2) Đoạn CD: M = 0. Công biến dạng tính bằng công thức (*): ( ) ( ) 0 2 15 2 502404 4 0 24 0 2 +++++= ∫∫ dxEJ xPxdxEJ xPU Chuyển vị theo hướng lực P tác động tính theo công thức Castigliano: ( ) ( )∫∫ ++×++=∂∂=Δ 4 0 4 0 2 1524 2 5024042 dx EJ xPxdx EJ xP P U V Khi thay P = 0 sẽ nhận được: ( ) ( ) EJ dx EJ xdx EJ x V 640015450240 4 0 4 0 =+×+=Δ ∫∫ Thay giá trị EJ = 12.1013 N.mm2 vào công thức tính sẽ nhận được: mV 0533,010.12 6400 4 ==Δ 80 Momen uốn do tải trọng bên ngoài cùng Q gây ra tính cho toàn khung như sau: Đoạn AB: M = -[Q(2-x) + 240 + 50x]; Đoạn BC: M = -(20 + 15x2) Đoạn CD: M = Qx. Công biến dạng tính bằng công thức (*): ( ) ( ) ( )∫∫∫ +++++−= 2 0 24 0 24 0 2 22 152 2 502402 dx EJ Qxdx EJ xQdx EJ xQxQU Công thức tính chuyển vị điểm D theo hướng ngang có dạng: ( ) 030)2(50240 4 0 24 0 0 ++−+=∂ ∂=Δ ∫∫= dxEJxdxEJ xxQU QH Sau thay thế ΔH = 3,1mm. Ví dụ 2: Xác định phản lực cho khung phẳng hệ thống siêu tĩnh tại hình 4.6. Chuyển vị nút D cuối dầm số 3 trên hình có thể xác định theo công thức Mohr: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂==∂ ∂= ∂ ∂==∂ ∂= ∂ ∂==∂ ∂= ∫ ∫ ∫ dx R MM EJM U dx R MM EJR U dx R MM EJR Uu dd HH VV 10 10 10 θ v (a) Pz=20kN Px=10kN p= 2k N/ m A B C D 3 m 2 1 3 3m1,73m Hình 4.6. Nếu ký hiệu RH – phản lực phương ngang, RV – phản lực phương thẳng đứng, có thể viết phương trình cân bằng lực sau cho hệ thống, A, B, C, D chỉ các nút nêu tại hình 4.6. x’RHD + MD = M|3 3RHD + x’’RVD + MD = M|2 81 ( ) ( ) DVDHD MRxRy +++− '''~3'''~3 ( ) 1 2 0 2 ''''''~'''~ MxpyPxP xz =−− trong đó o60;cos''''''~;sin''''''~ === ααα xxxy ; 0 ≤ x’ ≤ 3; 0 ≤ x’’ ≤ 3; 0 ≤ x’’’ ≤ 3,464. và M|i, i = 1, 2, 3. Tiến hành các phép tích phân sau: 0111 321 =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∫∫∫ dxRMMEJdxRMMEJdxRMMEJ VDVDVD (b) với ;'''~3;'';0 123 xR Mx R M R M VDVDVD +=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ Kết quả tính đưa lại: 32,088RHD + 61,638RVD + 18,696MD = 524,694. (c) Tiếp tục tính theo dòng 2 công thức (a): ;'''~3;3;' 123 yR M R Mx R M VDVDVD +=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ và từ dòng 3: 1123 =∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ DDD M M M M M M Có thể xác lập tiếp hai phương trình cân bằng, dạng tương tự (c). Tập họp lại trong hệ phương trình đại số tuyến tính có thể thấy: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 810,125 35,122 694,524 464,9892,17698,18 696,18088,32392,46 89,17638,61088,32 D VD HD M R R Giải hệ phương trình theo phương pháp lực đang nêu nhận được: RHD = -10,205 kN; RVD = 9,188 kN; MD = 16,217 kN.m 4.5 Nguyên lý công bù ảo Ví dụ 1: Áp dụng nguyên lý công bù ảo xác định phân bố momen uốn khung phẳng dạng chữ Π, thường gọi portal frame, như tại hình 4.7. 82 1 4 2 3 P 2 1 3 1,5L L L y x L 1,5L L 1 1 2 4 3 2 3 P M1 R H Hình 4.7 Độ cứng các thanh của khung EJ. Chiều dài hai thanh đứng L, thanh ngang 1,5L. Lực ngang P tác động tại nút góc phải khung, từ phải sang trái. Độ không tĩnh định khung đang xét là 3. Trường hợp này có thể chọn ba phản lực, phản lực theo hướng thẳng đứng R, theo hướng ngang H và momen M, tính tại nút 1 làm lực không tĩnh định. Phương trình trình bày phân bố momen uốn trong các thanh được viết như sau: Thanh 1: M(1) = -Hs – M; Thanh 2: M(2) = -HL + Rs – M; Thanh 3: M(3) = -H(L – s) + 1,5LR – M – Ps; Lực ảo tính theo công thức: Thanh 1: δM(1) = -δHs – δM; Thanh 2: δM(2) = -δHL + δRs – δM; Thanh 3: δM(3) = -δH(L – s) + 1,5LδR – δM; Công nội lực, công bù ảotính cho mỗi thanh có dạng: ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += =−−−−== ∫∫ MLMHLHMLHL EJ dsMHsMHs EJ dsMM EJ W LL δδ δδδδ 223 00 )1()1()1*( int 2 1 2 1 3 11 11 83 ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= =−+−−+−== ∫∫ RMLRLHL EJ MLMRLHLHMLRLHL EJ dsMRsHLMRsHs EJ dsMM EJ W LL δ δδ δδδδδ 233 22233 5,1 0 5,1 0 )2()2()2*( int 8 9 8 9 8 91 2 3 8 9 2 3 2 3 8 9 2 31 11 ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+− +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−= −+−−−−+−−== ∫∫ RPLMLRLHL EJ MPLLMRLHLHPLMLRLHL EJ dsMRLsLHPsMLRsLH EJ dsMM EJ W LL δ δδ δδδδδ 3233 2223233 00 )3()3()3*( int 4 3 8 3 8 27 8 151 2 1 2 7 8 21 2 1 6 1 2 1 4 3 2 11 5,1][5,1][11 Từ đó: =++= )3*(int)2*(int)1*(int*int WWWW δδδδ ⎥⎦ ⎤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− ⎢⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−= MPLLMRLHLRPLMLRLHL HPLMLRLHL EJ δδ δ 2223233 3233 2 1 2 7 8 21 2 5 4 3 8 21 8 27 8 15 6 1 2 5 8 15 6 131 Vì rằng công bù ảo do ngoại lực tác động bằng 0 tính cho trường hợp các chuyển vị liên quan nút 1 đều bằng 0 có thể thấy ngay rằng: δWint* = δWext* = 0. Từ đó có thể viết tiếp: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−+ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− =++− 0 2 1 2 7 8 21 2 5 0 4 3 8 21 8 27 8 15 0 6 1 2 5 8 15 6 13 222 3233 3233 PLLMRLHL PLMLRLHL PLMLRLHL hay là: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 2 1 3 4 3 6 1 2 7 2 8 213 8 27 2 2 53 8 153 6 13 PL PL PL M R H LDX LL LLL Sau khi giải, nghiệm của hệ phương trình trên đây mang giá trị: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ PL P P M R H 10 3 15 4 2 1 84 Momen uốn khung được vẽ dưới đây. Hình 4.8 4.6 Phương pháp ma trận Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp ma trận dẻo giải khung sau. Hình 4.9 Như ví dụ trước, ba lực redundant áp đặt tại nút D của khung, lần lượt mang ký hiệu 1, 2, 3 hoặc H, R, M như đã dùng cho ví dụ trên. Momen uốn do tải trọng bên ngoài gây ra xác định như sau: Tải Ký hiệu Đoạn DC Đoạn CB Đoạn BA Tải thực M(x) 0 15x2 50x+240 R1 = 1 m1 -x -2 -2 + x R2 = 1 m2 0 -x -4 R3 = 1 m3 1 1 1 Tất cả thành phần ma trận dẻo xác định như chuyển vị đơn vị do lực đơn vị Pi = 1 gây ra. δik = δki = ∑∫ dsEI MM ki ** (*) Tích phân trên thực hiện trong mỗi dầm riêng lẻ. Chuyển vị đơn vị được tính theo cách tương tự: Δip = ∫∑ M MEI dsp i * * (**) 85 Hình 4.10 Trong đó Mp, Sp, Qp là momen uốn, lực dọc trục và lực cắt của tải cho trước. M* với chỉ số i là momen và lực tương ứng từ tải đơn vị Pi = 1. Hệ số κ dùng cho trường hợp liên quan lực cắt, chỉ tỉ lệ tham gia của diện tích tíết diện vào ứng suất cắt. Sau khi giải hệ phương trình cho lực đơn vị, ứng lực trong các dầm thuộc hệ thống được tính theo công thức: M = MP + i n = ∑ 1 piMi* ; (***) Kết quả tính trong trường hợp đang xem xét này: ∫∫∫ ∫ +−++== 4 0 24 0 2 0 2 1 11 )2(4 dx EJ xdx EJ dx EJ xdx EJ mδ EJ xxx EJ x EJ x EJ 24 32 4414 3 1 4 0 32 4 0 2 0 3 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∫∫ ∫ =+−−+=== 4 0 4 0 211221 16)2)(4(21 EJ dx EJ xxdx EJEJ dxmmδδ ∫ ∫∫ ∫ −=−+−+−=== 4 0 4 0 2 0 311331 10)2()2( EJ dx EJ xdx EJ dx EJ x EJ dxmmδδ EJ dx EJ dxx EJ dxm EJ 33,851611 4 0 4 0 22 222 =+== ∫∫∫δ EJ dx EJ dx EJ x EJ dxmm 24)4( 4 0 4 0 322332 −=−+−=== ∫∫ ∫δδ 86 EJ dx EJ dx EJ dx EJ dxm EJ 101111 4 0 4 0 2 0 2 333 =++== ∫∫∫∫δ Vec tor lực tính như sau: EJ dx EJ xxdx EJ x dx EJ xxdx EJ xdx EJ mM L 33,373)48014050(30 )2)(24050()2(15. 4 0 24 0 2 4 0 4 0 2 1 1 −=−++− =+−++−==Δ ∫∫ ∫∫∫ EJ dx EJ xdx EJ xdx EJ mM L 6400)24050(15. 4 0 4 0 2 2 2 −=++−==Δ ∫∫∫ EJ dx EJ xdx EJ xdx EJ mM L 1680)24050(15. 4 0 4 0 2 3 3 =++==Δ ∫∫∫ Phương trình tương hợp, theo cách diễn đạt tại chương ba “Cơ học kết cấu” mang dạng: [δ][P] = [Δ] – [ΔL] ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − − − ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1680 6400 33,373 1 0 0 0 2433,85 101624 1 EJ M R H DX EJ Sau giải hệ phương trình giá trị các lực xác định như sau: H = -53,33 kN; R = 70,01 kN; M = -53,33 kN.m Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp ma trận cứng giải khung vừa đề cập. Trong khuôn khổ phương pháp chuyển vị cách xử lý bài toán qua ma trận cứng được dùng từ rất sớm. Ngày nay phương pháp ma trận cứng đang chiếm vị trí quan trọng trong số các phương pháp năng lượng. Thủ tục tính theo phương pháp ma trận cứng trình bày tại chương ba giành cho dầm được sử dụng vào hệ khung phẳng, không đổi thay nội dung. Chọn chuyển vị đang là ẩn số cho bài toán đang xem xét: 1- chuyển dịch ngang nút B, 2 - góc xoay góc tại nút B, và 3 – góc xoay tại nút C. Ba toạ độ chọn lựa trình bày tại hình tiếp theo. Hình 4.11 87 Các lực và momen cố định tại nút các dầm: Lực tác động ngang 50 kN Momen cố định tại đầu trái đoạn BC: mkNM FBC .4012 430 2 −=×− Momen cố định đầu bên phải BC: +40kN.m Vecto lực được tính là: { } ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − = 40 40 50 P Thành lập ma trận cứng. Chuyển vị đơn vị theo hướng lực số 1, tính cho trường hợp Δ=1: EJEJEJk 6875,1 2 12 4 12 3311 =+= EJEJkk 375,0 4 6 21221 −=−== EJEJkk 5,1 2 6 21331 −=−== Chuyển vị đơn vị theo hướng hai tức góc xoay tại B, θ = 1: EJEJEJk 2 4 4 4 4 22 =+= EJEJkk 5,0 4 2 2332 == Chuyển vị đơn vị theo hướng ba tức góc xoay tại C, θ = 1: EJEJEJk 3 2 4 4 4 33 =+= Phương trình trình bày quan hệ giữa độ cứng, chuyển vị và lực tác động có dạng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− 40 40 50 3 5,02 5,1375,06875,1 C B H DX EJ θ θ Vecto chuyển vị tính từ hệ phương trình: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 0 667,26 35556 1 EJ H C B θ θ Biểu đồ momen tính cho khung phẳng đang nêu có dạng: 88 0 4 35556.3667,260 4 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+= EJM AB kNm EJ EJM BA 333,134 355563667,26201 4 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ×−×+×= ( ) kNm EJ EJM BC 333,1340667,262 1 4 2 −=−×= kNm EJ EJM CB 333,5340667,26 1 4 2 =+×= [ ] kNm EJ EJM CD 333,5335556302 1 2 2 −=×−= [ ] kNm EJ EJM DC 333,5335556302 1 2 2 −=×−= 4.7 Phương pháp chuyển vị góc Ví dụ 1: Phân tích kết cấu khung phẳng dưới đây bằng phương pháp chuyển vị góc. Biết rằng độ cứng các thanh đứng của khung EJ, thang ngang 2EJ. A B D C 40kN/m 2J J J 72 72 180 72 72 3636+ + Hình 4.12 Cách giải khung phẳng theo phương pháp chuyển vị góc trình bày tại giáo trình “Cơ học kết cấu tàu thủy”. Momen tại ngàm (fixed moments) tính như sau: mkNM FBC .12012 640 2 −=×−= 89 MFCB = 120 kN.m MFAB = MFBA =MFCD = MFDC =0 Các phương trình chuyển vị góc. Với ϕA = 0 có thể viết: ( ) BBAAB EJEJM ϕϕϕ 5,0024 20 =−++= Trong trường hợp ϕA = 0 còn có thể viết: ( ) BBABA EJEJM ϕϕϕ =−++= 024 20 ( ) CBCBBC EJEJEJM ϕϕϕϕ 3 4 3 412002 6 2120 ++−=−++−= ( ) CBCBCB EJEJJEM ϕϕϕϕ 3 4 3 212002 6 )2(2120 ++=−++= Với ϕD = 0 có thể viết: ( ) CDCCD EJEJM ϕϕϕ =−++= 024 20 ( ) CDCDC EJEJM ϕϕϕ 5,0024 20 =−++= Phương trình cân bằng: ∑MB = 0; MBA + MBC = 0; EJϕB –120 + 4/3 EJϕB + 2/3 EJϕc = 0. Sắp xếp lại ba phương trình có thể nhận được phương trình sau đây: 7EJϕB + 2EJϕC = 360. ∑MC = 0; MCB + MCD = 0; 120 + 2/3 EJϕB + 4/3 EJϕc = 0. Sắp xếp lại ba phương trình cuối có thể nhận được phương trình sau đây: 2EJϕB + 7EJϕC = 360. Từ hai phương trình 7EJϕB + 2EJϕC = 360 và 2EJϕB + 7EJϕC = 360 có thể xác định: EJϕB = 72 và 7EJϕc = - 72 Thay các giá trị này vào phương trình cân bằng chuyển vị góc sẽ nhận được: 90 ;.72)72( 3 272 3 2120 ;.72)72( 3 272 3 4120 ;.72 ;.36725,0 mkNM mkNM mkNM mkNM CB BC BA AB =−×+×+= −=−×+×+= = =×= mkNM mkNM DC CD .36 ;.72 −= −= Biểu đồ momen uốn trình bày tại hình phía phải, hình 4.12. Ví dụ 2: Giải khung phẳng sau đây, khi giải tính đến trường hợp các nút tham gia chuyển vị tuyến tính. Biết trước mô đun đàn hồi vật liệu làm khung E, momen quán tính mặt cắt ghi tại hình 4.13. Có thể tính mo men tại ngàm ảo cho dầm BC theo các công thức từ sức bền vật liệu: mkNM mkNM FCB FBC .120 ;.120 12 640 2 = −=×−= MFAB = MFBA = MFCD = MFDC = 0 Phương trình cân bằng chuyển vị góc: Δ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−++= 375,0 4 32 4 20 BAAB EIM ϕϕ Δ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−++= 375,0 4 32 4 20 BBABA EI EIM ϕϕϕ ( ) CBCBBC EIEIIEM ϕϕϕϕ 887,0333,112026 )2(2120 ++−=++−= ( ) CBCBCB EIEIIEM ϕϕϕϕ 333,1667,012026 )2(2120 ++=++= Δ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−+= EIEIIEM CDCCD 333,0333,16 32 6 )2(2 ϕϕϕ Δ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−+= EIEIIEM CDCDC 333,0667,06 32 6 )2(2 ϕϕϕ 91 B C A D 2I 2II A B D C 40kN/m ∆ ∆ Hình 4.13 Phương trình cân bằng momen. ∑ = 0BM ∑ ∑ =+ 0BCBA MM 0667,0333,1120375,0 =++−Δ− CCB EIEIEI ϕϕϕ Ba công thức này được dồn lại trong biểu thức sau: 120375,0667,0333,2 =Δ−+ CB EIEI ϕϕ ∑ = 0CM ∑ ∑ =+ 0CDCB MM 0333,0333,1667,0120 =Δ−++ EIEIEI CB ϕϕ Ba công thức này được dồn lại trong biểu thức sau: 120333,0667,2667,0 −=Δ−+ CB EIEI ϕϕ Nếu coi rằng các phản lực ngang tại nút A và D mang giá trị sau: 4 BAAB A MMH += và 6 DCCD D MMH += Trong khi đó HA + HD = 0, chúng ta có thể viết: 3(MAB + MBA ) + 2(MCD + MDC ) = 0. Từ đó có thể viết phương trình cân bằng thứ ba, tiếp (a) và (b): 0583,345,4 =Δ−+ CB IEI ϕϕ Giải hệ ba phương trình ba ẩn (a), (b), (c) nhận được nghiệm sau: EIϕB = 72,414; EIϕC = -60,172; EIΔ= 23,842; Thay các giá trị vừa tìm vào hệ phương trình cân bằng chuyển vị góc sẽ nhận được: 92 MAB = 0,5.(72,414) – 0,375. 23,842 = 27,266 kN.m MBA = 72,414 – 0,375. 23,842 = 73,473 kN.m MBC = -120 + 1,333. 72,414 + 0,667.(-60,127) = 63,577 kN.m MCB = 120 + 0,667.72,414 + 1,333 (-60,127) = 88,151kN.m MCD = 1,333.(-60,127) –0,333.23,842 = 88,089 kN.m MDC = 0,667.(-60,127) – 0,333.(23,842 = -48,044 kN.m 4.8 Giàn phẳng Ví dụ 1: Nửa cung tròn, bán kính a, ngàm hai đầu vào tường cứng. Tải tập trung P đặt tại giữa cung, tác động theo phương pháp tuyến với mặt phẳng cung. Xác định momen uốn, lực cắt giàn. P a Hình 4.14 Trường hợp kết cấu đối xứng, tải bố trí tại đường tâm đối xứng, chúng ta có thể chia cơ kết này thành hai phần đối xứng để xem xét. Tại vị trí đặt P, cắt cung tròn ta hai phân nửa ¼ cung tròn, một đầu mgàm, đầu kia chịu lực tập trung ½P. Momen đơn vị bố trí tại đầu tự do ¼ cung này. Lời giải Momen uốn và momen xoắn do lực thực: M(x) = ½P.r.sinϕ MT(x) = ½P(r - rcosϕ) Momen đơn vị mang giá trị sau: m = -1.cosϕ mT = -1.sinϕ ∫∫ +=Δ dxGJmMdxEJmM p TTP .. 1 Để ý rằng dx = r.dϕ, công thức cuối mang dạng: 93 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += =−−+−=Δ ∫ ∫ p p P GJEJ GJ rd EJ rd 11 2 Pr 2 )cos1Pr(.sin2 2 .sin.Pr.cos2 2 2/ 0 2/ 0 1 π π ϕϕϕϕϕϕ Các thành phần ma trận dẻo tính theo cách sau: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += =+=+= ∫∫∫∫ P PP T GJEJ r rd GJ rd EJ dx GJ mdx EJ m 11 2 . sin2cos2 2/ 0 22/ 0 222 11 π ϕϕϕϕδ ππ Trường hợp cung làm từ thép tròn, mô đun cắt G = 0,4E, biểu thức GJP = 0,8EJ, kết quả tính vừa trình bày sẽ mang dạng: EJ r EJP πδ 125,1;Pr125,1 11 2 1 =−=Δ Từ đó, momen uốn tại giữa cung tính bằng biểu thức: rPX P .318,0Pr 11 1 ==Δ−= πδ Biểu đồ momen uốn và momen xoắn tính như sau: M = MP + m.X = ½ Prsinϕ - 0,318Prcosϕ MT = MPT + mT.X = ½ Pr(1 - cosϕ) - 0,318Pr.sinϕ P/2P/2 X=1 ϕ ϕ P/2 A C z D B A zas in ϕ X=1 x x a P 0,5Pa -0,5Pa 0,318Pa 0,182Pa 0,174Pa 0,174Pa 0,182Pa Hình 4.15 94 Bài tập 1. Xác định phản lực theo hướng thẳng đứng và hướng ngang V và H, vẽ biểu đồ mô men uốn khung phẳng, chịu áp lực phân bố đều, cường độ q = const, hình 4.16a. Biết rằng độ cứng khung EJ, kích thước khung trình bày tại hình. 2. Cột cẩu có dạng như miêu tả tại hình 4.16b, độ cứng EJ. Xác định phản lực và momen uốn khung vừa hình thành dưới tác động lực P. P C A B J A B q a) Baøi taäp 1 b) Baøi taäp 2 Hình 4.16 P I2 I2 I1 I3I3 k I3I3 I2 I1 I2 Hình 4.17 3. Xác định phản lực, trình bày biểu đồ momen uốn khung phẳng tại hình 4.17 hía trái. 4. Xác định phản lực, trình bày biểu đồ momen uốn khung phẳng tại hình 4.17 phía phải. 95 A B CP P D C D A P P P P P P Q Q 2Q a) Baøi taäp 5 b) Baøi taäp 6 c) Baøi taäp 7 Hình 4.18 5. Vẽ đồ thị momen uốn vòng bị tác động hai lực P kéo đối xứng, hình 4.18a. 6. Vẽ đồ thị momen uốn vòng bị tác động lực sáu lực P kéo đối xứng, hình 4.18b. 7. Vẽ đồ thị momen uốn vòng bị tác động ba momen nêu tại hình 4.18c. P Pa Pa P A B CD Hình 4.19 8. Trình bày đồ thị momen uốn giàn tại hình 4.19. 9. Hai dầm cùng vật liệu, dầm thứ nhất dài l1, độ cứng EJ1, dầm thứ hai dài l2, độ cứng EJ2, đặt tựa lên nhau, vuông góc với nhau. Điểm tựa lên nhau chính giữa sải mỗi dầm. Hệ thống chịu tải tập trung P, tác động pháp tuyến, tại điểm tựa đang nêu. Xác định phản lực hai dầm dưới tác động của P. Hướng dẫn: a) R1 từ dầm thứ nhất và R2 từ dầm thứ hai thỏa mãn điều kiện R1 + R2 = P. b) Độ võng của điểm giữa hai dầm bằng nhau. 96 daàm na èm döô ùi P Hình 4.20 10. Vẽ biểu đồ momen uốn trong khung phẳng nêu tại hình 4.21. Y X h h h 2h A C D E B EJ1=1 EJ2=2 P Hình 4.21 97 CHƯƠNG 5 TẤM MỎNG Tóm tắt Tấm mỏng được xác định trong hệ tọa độ Oxyz như tại hình 5.1 t t/ 2 t/ 2θ θ Taám moûng Chuyeån vò Hình 5.1 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị bài toán phẳng áp dụng vào tấm mỏng: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂+∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂= xy u y x u xy y x v v γ ε ε (a) Phương trình chuyển vị trong tấm u, v, w theo chuyển vị w và góc xoay θx, θy mặt trung hòa diễn đạt như sau: ⎭⎬ ⎫ ×= ×= y x z zu θ θ v (b) Thay phương trình (b) vào (a) chúng ta nhận được các biểu thức tính biến dạng trong tấm. Từ giả thiết đảm bảo độ vuông góc của pháp tuyến sau biến dạng, các biểu thức γxz = γyz = 0, còn biến dạng εz = 0 và như vậy biến dạng tấm trong mặt phẳng 0xy sẽ là: 98 ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂×= ∂ ∂×= ∂ ∂×= xy z y z x z yx xy y y x x θθγ θε θε (c) Ký hiệu xyyx yx xy y y x x ∂ ∂=∂ ∂−=∂ ∂=∂ ∂= θθκθκθκ ;; , phương trình (c) trở thành: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ×= ×= ×= xyxy yy xx z z z κγ κε κε 2 . Thay thế w y w x yx ∂ ∂−=∂ ∂−= θθ ; vào (c) có thể thấy: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂∂ ∂×−= ∂ ∂×−= ∂ ∂×−= yx wz y wz x wz xy y x 2 2 2 2 2 2γ ε ε (d) Quan hệ biến dạng – ứng suất thể hiện tại định luật Hooke: ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x E τ σ σ υ υ υ γ ε ε 1200 01 01 1 (e) Từ đó có thể tính vec tơ ứng suất trong trạng thái ứng suất phẳng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − xy y x xy y x E γ ε ε υ υ υτ σ σ υ 2 1 2 00 01 01 1 (f) Trong nghiên cứu tấm mỏng, thay vì xem xét ứng suất σx, σy, τxy người ta thường dùng đại lượng hợp lực (stress resultants) tính bằng giá trị lực trên đơn vị chiều dài, dạng thường gặp sau: ∫∫∫ −−− === 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ ;;; t t xyxy t t yy t t xx dzNdzNdzN τσσ Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng quan hệ giữa hợp lực và biến dạng tương tự phương trình trong định luật Hooke: 99 và ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − xy y x xy y x Et N N N γ ε ε υ υ υ υ 2 1 2 00 01 01 1 (g) hoặc tính ngược lại: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x N N N Et )1(200 01 01 1 υ υ υ γ ε ε (h) Ứng suất và hợp lực trong phần tử tấm diễn tả tại hình 5.2 tiếp theo. ÖÙng suaát Momen vaø löïcσ σ τ τ τ τ τ σ τ τ τ σ Hình 5.2 Momen uốn, momen xoắn và lực cắt liên quan ứng suất vừa trình bày được biết dưới dạng: Momen uốn, momen xoắn ∫ − ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 2 2 t t zdz M M M xy y x xy y x τ σ σ (i) và lực cắt dz q q t t yz xz y x ∫ − ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 2 2 τ τ (j) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − xy y x xy y x Et M M M κ κ κ υ υ υ υ 2 1 2 3 00 01 01 )1(12 (k) Đại lượng )1(12 2 3 υ−= EtD trong công thức cuối có tên gọi độ cứng tấm. 100 Trường hợp biểu diễn các hệ số κx, κy, κxy trong quan hệ với w: yx w yy w yx w x x xy y y x x ∂∂ ∂−=∂ ∂−=∂ ∂−=∂ ∂=∂ ∂−=∂ ∂= 2 2 2 2 2 2;; θκθκθκ quan hệ (k) được hiểu theo cách khác như sau: ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂− ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ −−=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ yx w x w y w y w x w Et M M M xy y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 )1(12 υ υ υ υ tư đó ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x M M M Et )1(200 01 01 12 3 υ υ υ κ κ κ Ứng suất của tấm trong trạng thái ứng suất phẳng: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = 12/ 12/ 12/ 3 3 3 t zM t zM t zM xy xy y y x x τ σ σ (l) Phân bố ứng suất theo chiều dày tấm có dạng trình bày tại hình 5.3. σ σ τ ττ τ yz yx y xy xz x Hình 5.3 101 Điều kiện cân bằng ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =−∂ ∂+∂ ∂ =−∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂ 0 0 0 y xyy x yxx yx q x M y M q y M x M p y q x q (m) Thay thế hai công thức cuối từ hệ phương trình đang đề cập vào phương trình đầu, chúng ta nhận được phương trình cân bằng bậc cao hơn sau đây: 02 22 2 2 =+∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ p y M yx M x M yxyx (n) Phương trình vi phân uốn tấm Thay thế các biểu thức từ (11a) vào vị trí Mx, My, Mxy của phương trình (n) chúng ta nhận được phương trình vi phân bậc 4 trình bày điều kiện cân bằng. D p y w yx w x w =∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ 4 4 22 4 4 4 2 (o) Công thức cuối này còn được viết theo cách sau đây: D pw =∇ 4 trong đó ( )22224 ∇=∇∇=∇ , còn 22222 yx ∂∂+∂∂=∇ Ví dụ 1: Phương trình độ võng tấm chữ nhật, vật liệu đẳng hướng, chỉ hai cạnh đối xứng tựa tự do trên gối cứng theo cách giải Navier được giới thiệu tiếp dưới đây. Chiều dầy tấm t, tải trọng phân bố đều q(x,y) = const. Tâm toạ độ tại góc dưới bên trái. D.∇4w = q. (a) Lưu ý tính đối xứng bài toán và điều kiện biên cũng đối xứng, lời giải có thể tìm một trong hai cách: w(x,y) = ∑∞ =1 sin)( n n b ynxX π hoặc w(x,y) = ∑∞ =1 sin)( n n a xnxY π (b) Chuỗi phân bố tải trọng tương ứng: q = ∑∞ =1 sin n n b ynq π hoặc q = ∑∞ =1 sin n n a xnq π (c) Chọn phương án 2 khi tiếp tục giải bài toán này. Nhân hai vế của biểu thức cho q với (2/a)sin(mπx/a) và tích phân từ x = 0 đến x = a, hệ số qn sẽ được xác định: 102 qn = πn q4 khi n =1,3,5,... qn = 0 nếu n =2,4, ... (d) Từ đó: q = a xn n q n π π sin 14 ,..3,1 ∑∞ = (e) Thay biểu thức trên vào (b), với n =1,3,5,... sẽ nhận được phương trình vi phân bậc bốn sau: YnIV -2 n a π⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 Yn’’ + n a π⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4 Yn = Dn q π 4 (f) Lời giải riêng là 45 44 βπ Dn qb , với a bπβ = (g) Nghiệm bài toán có dạng: Yn(y)= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ a ynC πcosh0 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ a ynC πsinh1 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ a yn a ynC ππ sinh2 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ a yn a ynC ππ cosh3 + 4 4 5 4 qb n Dπ β (h) Điều kiện biên bài toán đòi hỏi thỏa mãn 4 phương trình: w(x,0) = ∂∂ 2 2y w(x,0) = w(x,b) = ∂∂ 2 2y w(x,b) = 0. (i) Thay biểu thức w(x,y) = ∑∞ =1 sin)( n n a xnxY π vào các phương trình thuộc điều kiện biên trên sẽ nhận được: Yn(0) = Yn’’(0) = Yn(b) = Yn’’(b) = 0. (j) Từ đó: ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ×+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= b yn b yn b yn n b yn nn Dn qayYn β β β β β ββ π cosh sinh 2 2 sinh cosh 2 tanh 4 114 5 4 (k) Momen uốn tấm có dạng sau: 103 ( ) ( ) a xn n b yn b yn n b yn nn n qaM n x π β β βυ β β ββυπ sin 2 cosh sinh 2 1 4 cosh cosh 2 tanh 4 11114 ,3,1 33 3 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ×−+ +⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−×= ∑∞ = (l) ( ) ( ) a xn n b yn b yn n b yn nn n qaM n y π β β βυ β β ββυυυπ sin 2 cosh sinh 2 1 4 cosh cosh 2 tanh 4 114 ,3,1 33 3 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ×−+ +⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−×= ∑∞ = (m) Ví dụ 2: Tấm hình chữ nhật, tựa trên bốn cạnh, chiều dày tấm t = 0,6cm chịu tác động momen uốn Mx = 600 N.m/m, phân bố đều dọc cạnh dài, song song với trục Oy, hình 5.4. Xác định momen xoắn lớn nhất trong tấm và ứng suất lớn nhất tại tấm. Biết rằng E = 2.105 MPa, ν = 0,3. y My O x Hình 5.4 Mx Lời giải Ứng suất do uốn tính theo công thức: MPaPa t M W M x x x x 10010 6 8 2max, ====σ Theo hướng Oy momen uốn My = 0 và theo đó σy = 0. Ứng suất tiếp lớn nhất: MPayx 50 2 max, max = −= σστ Momen xoắn lớn nhất: mNmtQ /300 6 .1 2 maxmax == τ 104 Bán kính cung uốn tính từ biểu thức: EJ M=ρ 1 như đã giới thiệu trong phần uốn dầm. m M EJ x 6 12.600 10.6.110.2 9311 =×== − ρ Ví dụ 3: Tấm chữ nhật tựa trên bốn cạnh, chiều dày tấm t = 4mm, chịu tác động momen uốn Mx = 300 Nm/m và My = 100 Nm/m. Xác định ứng suất lớn nhất trong tấm. Kiểm tra độ bền theo tiêu chuẩn von Mises, biết rằng σcr = 120MPa. Trả lời ;5,112 6 2max, MPat M x x ==σ ;5,37 6 2max, MPat M y y ==σ MPayx 5,37 2 max,max, max = −= σστ Theo tiêu chuẩn bền von Mises: ( ) ( ) ( ) MPaeq 992 2 2 13 2 32 2 21 =−+−+−= σσσσσσσ Giới hạn trên đây nhỏ hơn giá trị ứng suất cho phép σcr = 120MPa Ví dụ 4: Tấm hình chữ nhật, cạnh a = 80cm; b = 25cm, chiều dầy tấm t = 0,4cm, tựa trên bốn cạnh, chịu tải phân bố đều theo phương pháp tuyến p = 40kPa. Xác định độ võng lớn nhất f, ứng suất lớn nhất và momen xoắn lớn nhất. Biết rằng E = 2.105 MPa, ν = 0,25. Với tấm dài, tỷ lệ a/b > 3 có thể coi rằng liên kết tựa hai cạnh ngắn đến độ uốn tấm theo chiều kia không lớn. Công thức tính momen uốn và ứng suất mang dạng: mmNMMmmNpbM xyx /.50;/.2008 max, 2 max, ==== υ Từ đó có thể tính tiếp: MPa t M x x 75 6 2 max, max, ==σ Momen xoắn tính theo công thức: mmN MM Q yx /.75 2 max,max, max = −= và MPa t Q 1,28 6 2 max max ==τ 105 Độ cứng tấm chịu uốn: ( ) mkNEtD .14,1112 2 3 =−= υ Độ võng lớn nhất, tính tại điểm giữa tấm: mm D pbwf 73,0 384 5 4 max === Ổn định tấm hình chữ nhật Ví dụ 1: Tấm chữ nhật, tựa bản lề bốn cạnh, chịu tác động lực nén theo chiều dọc. Xác định ứng suất giới hạn nếu a = 40 cm, b = 25 cm, t = 0,8 cm, E = 7,2. 104MPa, ν = 0,30 và ứng suất giới hạn cơ cấu cứng [σ] = 240 MPa. Lời giải Ứng suất giới hạn tính theo công thức: tb Dkcr 2 2πσ = trong đó 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += mb a a mbk Điều kiện chuyển tiếp để tấm chuyển sang giai đoạn mất ổn định từ m nửa sóng đến m + 1 nửa sóng: b amm =+ )1( Trường hợp này, a/b = 40/25 = 1,6 > √2. Hệ số k tính bằng k = 4,2. Độ cứng tấm: ( ) mNEtD .47,3112 2 3 =−= υ Từ đó có thể tính: MPaMPacr 240][88,2 =<= σσ Ví dụ 2: Tấm hình vuông cạnh b = 20 cm, tựa trên các cạnh, bị nén cả hai chiều bằng tải T. Xác định ứng suất giới hạn nếu t = 0,4 cm, E = 7,0.104 MPa, ν = 0,30. Trường hợp chỉ chịu nén một hướng ứng suất giới hạn sẽ giảm như thế nào? Lời giải Tấm hình vuông mất ổn định trong cả trường hợp m = n = 1. Ứng suất giới hạn tính bằng biểu thức: tb Dkycrxcr 2 2 ,, πσσ == 106 trong đó 2 2 2 2 2 2 = +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = n a mb n a mb k Độ cứng tấm: ( ) mNEtD .410112 2 3 =−= υ MPa tb Dkycrxcr 6,502 2 ,, === πσσ Tấm bị cắt Ví dụ 1: Tấm chữ nhật, a = 40 cm, b = 25 cm, t = 0,4 cm, chịu ứng suất cắt τ = const dọc bốn cạnh. Xác định ứng suất cắt giới hạn, biết E = 7,2.104MPa, [τ] = 120 MPa. Lời giải Ứng suất cắt giới hạn tính theo công thức: 2)9,0( ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = t b EkScrτ Trong đó 9,6435,5 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= a bkS MPacr 114=τ Ví dụ 2: Tấm hình chữ nhật, cạnh a = 30 cm, b = 12 cm, t = 0,1 cm, bị viền bằng nẹp cứng ba cạnh, hai cạnh dài và một cạnh ngắn, cạnh ngắn còn lại gắn chặt vào cơ cấu khỏe. Tấm chịu lực cắt đặt tại nút trên của tấm, xem hình. Biết rằng E = 2.105 MPa, [τ] = 250 MPa. Xác định lực cắt giới hạn, biết rằng hệ số an toàn cho ổn định n = 1,5. P Hình 5.5 Lời giải Ứng suất cắt tại các mép tấm: 107 cr cr P tb nP 310.17,4 . ==τ , (Pa) Công thức tính ứng suất giới hạn, như đã trình bày trên đây, có dạng: 2)9,0( ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = t b EkScrτ với 99,5435,5 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= a bkS Từ đây có thể viết: 73 10.49,710.17,4 =crP Pcr = 1,8.104 = 18 kN. Bài tập 1. Giải bài toán uốn tấm mỏng, hình chữ nhật, kích thước a x b, trình bày tại hình 1, phần tấm mỏng, tựa trên các cạnh, chịu tác động áp lực p(x,y) theo phương pháp tuyến. Phương án thực hiện: trình bày p(x,y) dạng chuỗi Navier. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∑∑∞ = ∞ = b yn a xmCyxp m n mn ππ sinsin),( 1 1 Hằng số Cmn tính từ chuỗi Fourier: dxdy b yn a xmyxp ab C a b mn ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫ ∫ ππ sinsin),(4 0 0 2. Trường hợp p(x,y) = p0 = const được áp dụng cho bài tập 1 vừa nêu, chứng minh rằng: ,...5,3,1, 16 2 0 == nm mn pCmn π Chuyển vị tấm tính theo công thức: ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ∑∑ ∞ = ∞ = b yn a xm anbm ba mnmn pyxw m n ππ π sinsin 116),( 2 22 22 1 1 2 0 m, n = 1,3,5, . . . 3. Sử dụng kết quả bài tập 2 tìm độ võng điểm giữa tấm với a/b = 1,6. 4. Sử dụng kết quả bài tập 2 giải bài toán tấm mỏng làm từ thép, kích thước 200mm x 400mm, chiều dày tấm t = 6mm, E = 210 GPa, ν = 0,3. Áp lực p0 = 100 kPa. Xác định wmax cho các trường hợp sau: • Các cạnh tựa tự do • Các cạnh ngàm • Hai cạnh ngắn tựa trên gối, hai cạnh dài ngàm • Hai cạnh ngắn tựa, hai cạnh còn lại tự do 108 5. Xác định ứng suất lớn nhất độ võng lớn nhất đo tại giữa tấm hình chữ nhật, cạnh dài a, cạnh ngắn b, chịu tác động phân bố lực p theo phương pháp tuyến, dựa vào công thức sau đây: 3 4 2max 2 1max Et pbKw t bpK =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=σ ; Hệ số Poisson υ = 0,3 Bảng 1 Trường hợp 1: Bốn cạnh tựa trên gối a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 4.0 5.0 ∞ K1 0.2874 0.3762 0.4530 0.5172 0.5688 0.6102 0.7134 0.7410 0.7476 0.7500 K2 0.0440 0.0616 0.0770 0.0906 0.1017 0.1110 0.1335 0.1400 0.1417 0.1421 Trường hợp 2: Bốn cạnh ngàm a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ K1 0.3078 0.3834 0.4356 0.4680 0.4872 0.4974 0.5000 K2 0.0138 0.0188 0.2260 0.0251 0.0267 0.0277 0.0284 Trường hợp 3: Hai cạnh đối diện, cạnh a, tựa tự do, hai cạnh kia ngàm a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ K1 0.4182 0.5208 0.5988 0.6540 0.6912 0.7146 0.7500 K2 0.0210 0.0349 0.0502 0.0658 0.0800 0.0922 0.1422 Trường hợp 4: Hai cạnh đối diện, cạnh b, tựa tự do, hai cạnh kia ngàm a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ K1 0.4182 0.4626 0.4860 0.4968 0.4971 0.4973 0.5000 K2 0.0210 0.0243 0.0262 0.0273 0.0280 0.0283 0.0285 Đặc trưng hình học và áp lực p của các tấm như sau: 1) a = 2m; b = 1m; t = 5mm; p = 5MPa. 2) a = 2m; b = 1m; t = 8mm; p = 9,81MPa. 3) a = 4m; b = 1m; t = 8mm; p = 9,81MPa. 4) a = 6m; b = 1m; t = 10mm; p = 9,81MPa. 5) a = 9m; b = 1m; t = 10mm; p = 9,81MPa. 6. Chứng minh những biểu thức sau đây, dùng cho tấm hình tròn. Chuyển vị hướng li tâm: dr dwzur −= (a) Biến dạng: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −== −== dr dw r z r u dr wdz dr du r r θε ε 2 2 (b) 109 Ứng suất: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 z r dr wd dr dw r zE dr dw rdr wdzE σ ννσ ν νσ θ (c) Nếu ký hiệu M – momen uốn phân bố trên đơn vị chiều dài, công thức cuối có thể viết thành: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = = 3 3 12 12 t zM t zM r r θ θσ σ (d) với ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 2 2 2 2 1 dr wd dr dw r DM dr dw rdr wdDM r ν ν θ với ( )2 3 112 ν−= EtD (e) Công thức trình bày tại (d) dùng cho tấm dày t có dạng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ±= ±= 3minmax, 3minmax, 6)( 6)( t M t M r x θ θσ σ Phương trình vi phân bậc bốn uốn tấm, chịu tác động lực pháp tuyến p(r) được viết thành: D rp dr dw rdr wd dr d rdr drw )(11)( 2 2 2 2 4 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=∇ 7. Xác định chiều dày t tấm thép hình chữ nhật nhằm tránh mất ổn định tấm trong trường hợp chịu lực nén P=30kN phân bố đều dọc cạnh ngắn tấm. Tấm tựa tự do bốn cạnh. Biết rằng cạnh tấm a = 35cm, b = 10cm, E = 2.105MPa, ν = 0,28. 8. Tấm thép hình vuông cạnh b = 25cm, tựa bốn mép trên gối, chịu lực nén cường độ q cả hai chiều, hình 5.6. Xác định ứng suất giới hạn (ứng suất Euler) của tấm, biết rằng chiều dày tấm t = 0,40cm, E = 7.104MPa, ν = 0,3. Trường hợp lực nén cường độ như trên chỉ tác động theo một hướng, kết quả tính sẽ như thế nào? τ τ τ τ 110 Hình 5.6 Hình 5.7 9. Tấm làm từ hợp kim nhôm, hình chữ nhật cạnh a = 40cm, b = 25cm, tựa tư do trên bốn cạnh, chịu tác động lực cắt τ, hình 5.7. Xác định tải giới hạn, biết rằng E = 7,2.104MPa, [τ] = 120MPa. 10. Tấm hình chữ nhật cạnh nhật cạnh a = 36cm, b = 20cm, tựa tư do trên bốn cạnh, chịu tác động lực cắt τ, và lực nén T = 2τ, hình 5.8. Xác định τcr để tấm không bị mất ổn định. τ τ τ τ Hình 5.8 Biết rằng E = 7,2.104MPa, ν = 0,3.