Khóa luận Cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie và cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải phương trình vi phân

tö ®¬n vÞ e = 0 ∈ Z tho¶ m·n a + 0 = 0 + a = a, a ∈ Z. iv) Víi mäi a ∈ Z, tån t¹i phÇn tö nghÞch ®¶o a−1 = −a tháa m·n a + (−a) = (−a) + a = 0. VËy (Z,+) lµ mét nhãm. V× a + b = b + a víi mäi a, b ∈ Z nªn (Z,+) lµ nhãm Abel. VÝ dô 1.1.5. Cho G = R+ lµ tËp c¸c sè thùc d­¬ng víi phÐp to¸n nh©n φ(a, b) = a.b i) ¸nh x¹ φ : R+ × R+ → R+ v× tÝch a.b lµ sè thùc d­¬ng khi a, b lµ c¸c sè thùc d­¬ng. 7 www.VNMATH.com 1.1. Nhãm 8 ii) Víi c¸c phÇn tö a, b, c ∈ R+ bÊt kú, ta cã φ(φ(a, b), c) = (a.b).c = a.(b.c) = φ(a, φ(b, c)). iii) Tån t¹i phÇn tö ®¬n vÞ e = 1 tho¶ m·n a.1 = 1.a = a, víi mäi phÇn tö a ∈ R+. iv) Víi mäi phÇn tö a ∈ R+ bÊt kú, tån t¹i phÇn tö nghÞch ®¶o a−1 = 1 a tho¶ m·n a. 1 a = 1 a .a = 1. VËy (R+, .) lµ mét nhãm. V× a.b = b.a víi mäi a, b ∈ R+ nªn nhãm (R+, .) lµ nhãm Abel. VÝ dô 1.1.6. Cho S = {ε : −1 < ε < +∞} víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè ®­îc cho bëi φ(ε, δ) = ε + δ + εδ. i) Ta sÏ chøng minh ¸nh x¹ φ ®i tõ S × S vµo S, nghÜa lµ φ(ε, δ) ∈ S, khi ε, δ ∈ S. LÊy ε, δ ∈ S = (−1,+∞). V× ε ∈ (−1,+∞) nªn ε + 1 > 0. T­¬ng tù δ + 1 > 0 Suy ra (ε + 1)(δ + 1) > 0. VËy ε + δ + εδ ∈ (−1,+∞). ii) TÝnh kÕt hîp: Víi ε, δ, γ ∈ (−1,+∞) bÊt kú, φ(ε, φ(δ, γ)) = ε + (δ + γ + δγ) + ε(δ + γ + δγ) = ε + δ + γ + δγ + εδ + εγ + εδγ = ((ε + δ + εδ) + γ) + (ε + δ + εδ)γ = φ(φ(ε, δ), γ). iii) PhÇn tö ®¬n vÞ e = 0 ∈ (−1,+∞) tháa m·n φ(ε, 0) = φ(0, ε) = 0 + ε + 0.ε = ε. iv) PhÇn tö nghÞch ®¶o: Víi phÇn tö ε ∈ (−1,+∞) bÊt kú tån t¹i ε−1 sao cho: φ(ε, ε−1) = φ(ε−1, ε) = ε + ε−1 + εε−1 = 0. 8 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 9 Suy ra ε−1 = − ε 1 + ε ∈ (−1,+∞). VËy (S, φ) lµ mét nhãm. V× φ(δ, ε) = δ+ ε+ δε = ε+ δ+ εδ = φ(ε, δ) nªn (S, φ) lµ nhãm Abel. VÝ dô 1.1.7. Cho G = R2 víi phÐp to¸n ϕ = (ε, δ) = (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2), ε = (ε1, ε2) ∈ R2; δ = (δ1, δ2) ∈ R2. i) ¸nh x¹ ϕ : R2 × R2 → R2 v× (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2) ∈ R2 v× ε, δ ∈ R2. ii) Víi c¸c phÇn tö α, β, γ bÊt kú, ta cã ϕ(ϕ(α, β), γ) = ϕ((α1 + β1, e β1α2 + β2), γ) = (α1 + β1 + γ1, e γ1(eβ1α2 + β2) + γ2) = (α1 + (β1 + γ1), e (β1+γ1)α2 + e γ1β2 + γ2) = ϕ(α, ϕ(β, γ)). iii) PhÇn tö ®¬n vÞ e = (0, 0) tho¶ m·n ϕ(ε, e) = (ε1 + 0, e 0ε2 + 0) = (ε1, ε2) = ε. iv) Víi mäi phÇn tö ε ∈ R2, ta x¸c ®Þnh phÇn tö nghÞch ®¶o ε−1 Ta cã: ϕ(ε, ε−1) = e nªn suy ra (ε1 + ε−11 , e ε−11 ε2 + ε −1 2 ) = (0, 0). Suy ra ε−1 = (−ε1,− ε2 eε1 ) ∈ R2. VËy (R2, ϕ) lµ mét nhãm. V× ϕ(δ, ε) = (δ1 + ε1, eε1δ2 + ε2) 6= (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2) = ϕ(ε, δ) nªn (R2, ϕ) kh«ng lµ nhãm Abel. 1.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 1.2.1 Nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho D ⊂ R2, S ⊂ R, (S, φ) lµ mét nhãm cã phÇn tö ®¬n vÞ e ∈ S. 9 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 10 XÐt ¸nh x¹ X : D × S → D. TËp hîp { X(., ε) } ε∈S lµ mét nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1) Víi mäi phÇn tö ε ∈ S th× ¸nh x¹ X : D × S → D lµ mét song ¸nh. 2) Víi ε = e,x ∈ D: X(x, e) = x. 3) X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)), víi mäi ε, δ ∈ S. 1.2.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè Nh­ phÇn trªn ®· xÐt nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi cã cÊu tróc ®¹i sè. NÕu ta thªm cÊu tróc gi¶i tÝch vµo nhãm nµy th× nã trë thµnh nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. B©y giê ta xÐt ®Õn nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. Tr­íc hÕt, ta ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1.2.2. Cho D ⊂ R2 lµ mét miÒn më vµ x = (x1, x2) ∈ D. S lµ mét kho¶ng trªn R, (S, φ) lµ nhãm cã phÇn tö ®¬n vÞ 0. PhÐp to¸n φ : S × S → S lµ hµm gi¶i tÝch. ¸nh x¹ X : D × S → D cho ta tËp hîp c¸c phÐp biÕn ®æi ký hiÖu lµ{ X(., ε) } ε∈S . TËp c¸c phÐp biÕn ®æi trªn ®­îc gäi lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1) Víi mäi ε ∈ S, ¸nh x¹ X(., ε) : D × S → D lµ mét song ¸nh vµ kh¶ vi v« h¹n. Víi x cè ®Þnh ∈ D, ¸nh x¹ X(x, .) : S → D lµ hµm gi¶i tÝch theo ε. 2) X(., 0) = IdD. 3) X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)), víi mäi ε, δ ∈ S. 10 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 11 VÝ dô 1.2.3 (Nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng). Cho nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi x∗ = x + ε, y∗ = y, ε ∈ R. víi phÐp to¸n φ(ε, δ) = ε + δ. Nh­ vËy, nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng ®­îc cho bëi D = R2, (S, φ) lµ nhãm céng vµ ¸nh x¹ X : R2 × R → R2 ((x, y), ε) 7→ (x∗, y∗) = (x + ε, y). Ta chøng minh nhãm {X(., ε)}ε∈R c¸c phÐp biÕn ®æi nµy lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 1) Tr­íc hÕt ta cÇn chØ ra víi mäi ε ∈ S, ¸nh x¹ X(., ε) : R2 → R2 lµ mét song ¸nh. Víi mäi sè thùc ε cè ®Þnh, lÊy (x, y) 6= (x′, y′). DÔ thÊy, (x + ε, y) 6= (x′ + ε, y′) nªn ¸nh x¹ X(., ε) : R2 → R2 lµ mét ®¬n ¸nh. Gi¶ sö cã (x, y) bÊt kú ∈ R2 ta t×m ®­îc (x1, y1) tho¶ m·n x = x1 + ε, y = y1. Suy ra (x1, y1) = (x − ε, y) ∈ R2. Tøc lµ ImX ≡ R2. VËy X : R2 → R2 lµ song ¸nh. 2) X((x, y), ε) = (x + ε, y) kh¶ vi v« h¹n theo (x, y) do ta cã ∂X ∂x = (1, 0), ∂X ∂y = (0, 1), ∂2X ∂x2 = (0, 0), ∂2X ∂y2 = (0, 0), ∂2X ∂x∂y = ∂2X ∂y∂x = (0, 0). 11 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 12 3) Víi (x, y) cè ®Þnh ∈ R2, ta cã biÓu diÔn x + ε = x + ε0 + (ε− ε0), y = y. V× X((x, y), .) cã khai triÓn Taylor t¹i ε0 vµ héi tô t¹i ε0 nªn nã gi¶i tÝch theo ε. 4) Ta cã ∂φ ∂ε = 1, ∂φ ∂δ = 1, ∂2φ ∂ε2 = ∂2φ ∂δ2 = 0, ∂2φ ∂ε∂δ = ∂2φ ∂δ∂ε = 0. Suy ra ε + δ = ε0 + δ0 + (ε− ε0) + (δ − δ0). V× hµm φ(ε, δ) = ε + δ lµ hµm khai triÓn ®­îc d­íi d¹ng khai triÓn Taylor vµ héi tô t¹i ®iÓm (ε0, δ0) nªn gi¶i tÝch theo ε, δ. 5) X((x, y), 0) = (x + 0, y) = (x, y). 6) Víi ε, δ bÊt kú thuéc S, ta cã X(X((x, y), ε), δ) = X((x+ ε, y), δ) = (x + ε + δ, y) = (x + (ε + δ), y) = X((x, y), φ(ε, δ)). VËy X((x, y); ε) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. VÝ dô 1.2.4 (Nhãm Scalings). XÐt nhãm x∗ = αx, y∗ = α2y, 0 < α < +∞. 12 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 13 Vµ phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè φ(α, β) = αβ. V× phÇn tö ®¬n vÞ lµ α = 1 nªn nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi nµy ®­îc tham sè ho¸ l¹i víi sè h¹ng ε = α− 1 nªn α = 1 + ε. Khi ®ã, x∗ = (1 + ε)x, y∗ = (1 + ε)2y; −1 < ε < +∞. Nhãm Scaling ®­îc cho bëi D = R2, S = (−1,+∞) víi phÐp to¸n φ : S × S → S (ε, δ) 7→ ε + δ + εδ, vµ ¸nh x¹ X : R2 × S → R2 ((x, y), ) 7→ (x∗, y∗) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2y). Ta chØ ra r»ng nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi X((x, y), .) trªn lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 1) Ta chØ ra r»ng víi mäi ε ∈ S ¸nh x¹ X(., ε) : R2 → R2 lµ song ¸nh. Víi mäi ε ∈ (−1,+∞), ta lÊy (x, y) 6= (x′, y′). DÔ thÊy ((1 + ε)x, (1 + ε)2y) 6= ((1 + ε)x′, (1 + ε)2y′) nªn ¸nh x¹ X : R2 → R2 lµ ®¬n ¸nh. Gi¶ sö cã (x, y) bÊt kú ∈ R2 ta lu«n t×m ®­îc (x1, y1) ∈ R2 tho¶ m·n (1 + ε)x1 = x, (1 + ε)2y = y. Suy ra (x1, y1) = ( 1 1 + ε , 1 (1 + ε)2 ) ∈ R2. Tøc lµ ImX = R2. VËy X : R2 → R2 lµ mét song ¸nh. 2) X((x, y), ε) kh¶ vi v« h¹n theo (x, y) v× ta cã ∂X ∂x = (1 + ε, 0), ∂X ∂y = (0, (1 + ε)2), ∂2X ∂x2 = ∂2X ∂y2 = ∂2X ∂x∂y = ∂2X ∂y∂x = (0, 0). 13 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 14 3) Víi (x, y) cè ®Þnh ∈ R2, ta cã biÓu diÔn (1 + ε)x = (1 + ε0)x + (ε − ε0)x, (1 + ε)2y = (1 + ε0) 2y + 2(ε− ε0)y + 2(ε − ε0)ε0y + (ε − ε0)2y. V× X((x, y), ε) khai triÓn ®­îc d­íi d¹ng khai triÓn Taylor t¹i ε = ε0 nªn nã gi¶i tÝch theo ε0. 4) Ta cã biÓu diÔn φ(ε, δ) = ε + δ + εδ = ε0 + δ0 + ε0δ0 + ε + δ + εδ − ε0 − δ0 − ε0δ0 = ε0 + δ0 + ε0δ0 + (ε− ε0) + (δ − δ0) + (ε− ε0)(δ − δ0) + εδ0 + ε0δ − ε0δ0 − ε0δ0 = ε0 + δ0 + ε0δ0 + (ε− ε0) + (δ − δ0) + (ε− ε0)(δ − δ0) + ε0(δ − δ0) + δ0(ε − ε0). Ta thÊy φ(ε, δ) khai triÓn ®­îc d­íi d¹ng khai triÓn Taylor vµ héi tô t¹i ®iÓm (ε0, δ0), do ®ã φ(ε, δ) lµ hµm gi¶i tÝch theo ε, δ. 5) X((x, y), 0) = ((1 + 0)x, (1 + 0)2y) = (x, y). 6) Cuèi cïng ta chøng minh víi ε, δ bÊt kú, ta cã X(X(x, y), ε), δ) = (((1 + ε)x, (1 + ε)2y), δ) = ((1 + ε)(1 + δ)x, (1 + ε)2(1 + δ)2y) = ((1 + ε + δ + εδ)x, (1 + ε + δ + εδ)2y) = X((x, y), φ(ε, δ)). VËy X((x, y), ε) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. 14 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 15 1.2.3 BiÕn ®æi vi ph©n Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè X∗ = X(x, ε) (1.1) víi phÇn tö ®¬n vÞ ε = 0 vµ phÐp to¸n φ. Khai triÓn Taylor (1.1) t¹i ε = 0 trong l©n cËn cña ε = 0, ta cã x∗ = x + ε (∂X(x, ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 ) + 1 2 ε2 (∂2X(x, ε) ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 ) + . . . = x + ε (∂X(x, ε ∂ε ∣∣∣ ε=0 ) + O(ε2). (1.2) §Æt ξ(x) = ∂X(x; ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 . (1.3) PhÐp biÕn ®æi x + εξ(x) ®­îc gäi lµ biÕn ®æi vi ph©n cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi (1.1). C¸c thµnh phÇn cña ξ(x) ®­îc gäi lµ vi ph©n cña phÐp biÕn ®æi (1.1). Mét vÊn ®Ò ®Æt ra lµ nÕu chØ cho biÕt ξ(x) th× liÖu r»ng ta cã thÓ biÕt ®­îc biÕn ®æi X(x; ε) hay kh«ng? Chóng ta cïng t×m hiÓu vÒ §Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy. 1.2.4 §Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt Tr­íc tiªn ta xÐt bæ ®Ò Bæ ®Ò 1.2.5. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (1.1) tháa m·n hÖ thøc X(x; ε + ∆ε) = X(X(x; ε);φ(ε−1ε + ∆ε)). (1.4) 15 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 16 Chøng minh: X(X(x; ε);φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X(x;φ(ε, φ(ε−1, ε + ∆ε))) = X(x;φ(φ(ε, ε−1), ε + ∆ε)) = X(x;φ(0, ε + ∆ε)) = X(x; ε + ∆ε). §Þnh lý 1.2.6 (§Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt). Tån t¹i mét phÐp tham sè hãa τ (ε) sao cho Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi X∗ = X(x; ε) t­¬ng øng víi nghiÖm cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I dx∗ dτ = ξ(x∗), (1.5) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu x∗ = x, khi τ = 0. (1.6) Trong ®ã: PhÐp tham sè ho¸ τ (ε) = ε∫ 0 Γ(ε′)dε′. (1.7) Víi Γ(ε) = ∂φ(a, b) ∂b ∣∣∣ (a,b)=(ε−1,ε) , (1.8) vµ Γ(0) = 1. (1.9) Chøng minh: Tr­íc hÕt ta chØ ra (1.1) dÉn ®Õn (1.5) - (1.6) vµ (1.7) - (1.8). Khai triÓn chuçi luü thõa vÕ tr¸i cña (1.4) theo ∆ε t¹i ∆ = 0, ta ®­îc X(x; ε + ∆ε) = X(x; ε) + ∂X(x; ε) ∂ε ∆ε + O((∆ε)2). (1.10) 16 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 17 Khai triÓn chuçi luü thõa φ(ε−1, ε + ∆ε) theo ∆ε t¹i ∆ε = 0, ta cã φ(ε−1, ε + ∆ε) = φ(ε−1, ε) + ∂φ(ε−1, ε) ∂ε ∆ε +O((∆ε)2) = (∂φ(ε−1, ε) ∂ε ∣∣∣ (ε−1,ε) ) ∆ε + O((∆ε)2). (1.11) §Æt ∂φ(ε−1; ε) ∂ε ∣∣∣ (ε−1,ε) = Γ(ε). Ta dÉn ®Õn φ(ε−1, ε + ∆ε) = Γ(ε)∆ε + O((∆ε)2). (1.12) Sau ®ã khai triÓn chuçi luü thõa theo ∆ε vÕ ph¶i cña (1.4) t¹i∆ε = 0, ta thu ®­îc X(x; ε + ∆ε) = X(X(x, ε), φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X(X(x, ε),Γ(ε)∆ε+ O((∆ε)2)) = X(X(x, ε), 0) + ∆εΓ(ε) (∂X(X(x, ε), δ) ∂δ ∣∣∣ δ=0 ) + O((∆ε)2) = x∗ + Γ(ε)ξ(x∗)∆ε + O((∆ε)2). (1.13) Tõ (1.11) vµ (1.13) ta thÊy x∗ = X(x, ε) tho¶ m·n bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n dx∗ dε = Γ(ε)ξ(x∗). (1.14) vµ gi¸ trÞ ban ®Çu x∗ = x, khi ε = 0. (1.15) Tõ (1.2) vµ Γ(0) = 1 phÐp tham sè ho¸ τ (ε) = ∫ ε 0 Γ(ε ′)dε′ ta suy ra ®­îc hÖ (1.5) - (1.6). V× ∂ξ(x) ∂x1 , ∂ξ(x) ∂x2 liªn tôc nªn theo ®Þnh lý tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy cho hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n (1.5) - (1.6), do ®ã hÖ (1.14) - (1.15) tån t¹i vµ duy nhÊt. NghiÖm ®ã chÝnh lµ (1.1). §Þnh lý ®­îc chøng minh. 17 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 18 VÝ dô 1.2.7 (Nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng). Cho nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi x∗ = x + ε, y∗ = y. (1.16) víi phÐp to¸n φ(a, b) = a + b, phÇn tö nghÞch ®¶o ε−1 = −ε. Do ∂φ(a, b) ∂b = 1 nªn Γ(ε) ≡ 1. Ta ®Æt x = (x, y) nhãm (1.16) trë thµnh X(x; ε) = (x + ε, y). V× ∂X(x; ε) ∂ε = (1, 0) nªn ta cã ξ(x) = ∂X(x; ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 = (1, 0). B©y giê, gi¶ sö ta chØ cã ξ(x) = (1, 0). Khi ®ã tõ hÖ (1.5) - (1.6) ta sÏ x©y dùng trë l¹i nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn trªn mÆt ph¼ng. ThËt vËy, dx∗ dε = 1, dy∗ dε = 0, (1.17) vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu x∗ = x, y∗ = y, khi ε = 0. (1.18) Gi¶i hÖ (1.17) - (1.18), ta cã x∗ = ε + C1, y∗ = C2. Khi ε = 0 th× x∗ = x, y∗ = y nªn C1 = x, C2 = y. VËy nghiÖm cña hÖ (1.17) - (1.18) lµ x∗ = x + ε, y∗ = y. VÝ dô 1.2.8. XÐt nhãm x∗ = (1 + ε)x, y∗ = (1 + ε)2y, −1 < ε < +∞. (1.19) 18 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 19 víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè lµ φ(a, b) = a + b + ab, vµ cã phÇn tö nghÞch ®¶o ε−1 = − ε 1 + ε . Do ®ã, ∂φ(a, b) ∂b = 1 + a. Suy ra Γ(ε) = ∂φ(a, b) ∂b ∣∣∣ (a,b)=(ε−1,ε) = 1 + ε−1 = 1 1 + ε . Cho x = (x, y). HÖ (1.19) trë thµnh X = (x; ε) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2y) nªn ta cã ∂X(x; ε) ∂ε = (x, 2(1 + ε)y), vµ ξ(x) = ∂ X(x; ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 = (x, 2y). Gi¶ sö ta chØ cã ξ(x). Khi ®ã tõ kÕt qu¶ cña hÖ (1.14) - (1.15) ta sÏ x©y dùng l¹i nhãm Scalings. Ta cã dx∗ dε = x∗ 1 + ε , dy∗ dε = 2y∗ 1 + ε , x∗ = x, y∗ = y, khi  = 0. (1.20) Gi¶i hÖ (1.20) ta thu ®­îc hÖ (1.19) Thùc hiÖn phÐp tham sè ho¸ τ = ∫ ε 0 Γ(ε′)dε′ = ∫ ε 0 1 1 + ε′ dε′ = ln |1 + ε|. Nhãm (1.19) trë thµnh x∗ = eτx, y∗ = e2τy, −∞ < τ < +∞. (1.21) víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè míi lµ φ(τ1, τ2) = τ1 + τ2. 1.2.5 To¸n tö sinh vi ph©n Tõ ®Þnh lý Lie thø nhÊt, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö r»ng nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ®­îc tham sè ho¸ l¹i b»ng phÐp to¸n cho bëi φ(a, b) = a+ b víi ε−1 = −ε vµ Γ(ε) ≡ 1. Do ®ã, víi hµm vi ph©n lµ ξ(x) nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ε sÏ trë thµnh dx∗ dε = ξ(x∗), (1.22) 19 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 20 víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu x∗ = x khi ε = 0. (1.23) §Þnh nghÜa 1.2.9. To¸n tö sinh vi ph©n cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè lµ to¸n tö X = X(x) = ξ(x).∇ = ξ1(x) ∂ ∂x1 + ξ2(x) ∂ ∂x2 . (1.24) víi ∇ lµ to¸n tö gradient: ∇ = ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 ) víi mäi hµm kh¶ vi F (x) = F (x1, x2), ta cã XF (x) = ξ(x).∇F (x) = ξ1(x)∂F (x) ∂x1 + ξ2(x) ∂F (x) ∂x2 . Chó ý r»ng Xx = X(x)x = ( ξ1(x) ∂x1 ∂x1 + ξ2(x) ∂x1 ∂x2 , ξ1(x) ∂x2 ∂x1 + ξ2(x) ∂x2 ∂x2 ) = (ξ(x1), ξ(x2))ξ(x). Theo ®Þnh lý Lie thø nhÊt tõ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ta x¸c ®Þnh ®­îc to¸n tö sinh vi ph©n. §Þnh lý d­íi ®©y chØ ra r»ng b»ng viÖc sö dông to¸n tö sinh vi ph©n (1.23) ta dÉn ®Õn thuËt to¸n t×m nghiÖm t­êng minh cña bµi to¸n Cauchy. §Þnh lý 1.2.10. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè t­¬ng ®­¬ng víi x = eεXx = x+εXx+ 1 2 ε2X2x+· · · = [1+εX+1 2 ε2X2+. . . ]x = ∞∑ k=0 εk k! .Xkx. (1.25) víi to¸n tö X = X(x) = ξ(x) ∂ ∂xi . vµ to¸n tö Xk = Xk(x) k = 1, 2, . . . . Trong ®ã to¸n tö XkF (x) ®­îc tõ to¸n tö X trong Xk−1F (x), k = 1, 2, . . . , víi X0F (x) ≡ F (x). 20 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 21 Chøng minh: Cho X = X(x) = ξ1(x) ∂ ∂x1 + ξ2(x) ∂ ∂x2 , X(x∗) = ξ1(x∗) ∂ ∂x∗1 + ξ2(x ∗) ∂ ∂x∗2 , (1.26) x∗ = X(x; ε), (1.27) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. Khai triÓn Taylor (1.27) t¹i ε = 0, ta cã x∗ = ∞∑ k=0 εk k! (∂X(x; ε) ∂εk ∣∣∣ ε=0 ) = ∞∑ k=0 εk k! (dkx∗ dεk ∣∣∣ ε=0 ) . (1.28) víi mäi hµm kh¶ vi F (x), ta thu ®­îc d dε F (x∗) = ∂F (x∗) ∂x∗1 dx∗1 dε + ∂F (x∗) ∂x∗2 dx∗2 dε = ξ1(x ∗) ∂F (x∗) ∂x∗1 + ξ2(x ∗) ∂F (x∗) ∂x∗2 = X(x∗)F (X∗). (1.29) Do vËy, dx∗ dε = ξ(x∗) = X(x∗)x∗ d2x∗ dε2 = d dε (dx∗ dε ) = d dε X(x∗)x∗ = X(x∗)X(x∗)x∗ = X2(x∗)x∗. (1.30) Tæng qu¸t dkx∗ dεk = Xk(x∗)x∗, k = 1, 2, . . . (1.31) Do ®ã, dkx∗ dkε ∣∣∣ ε=0 = Xk(X∗)x∗ = Xk(x)x. v× khi ε = 0 th× x∗ = X(x; ε) = X(x; 0) = x nªn ta suy ra x∗ = 2∑ k=1 εk k! Xkx. 21 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 22 HÖ qu¶ 1.2.11. NÕu F (x) lµ hµm kh¶ vi v« h¹n th× nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè x∗ = X(x; ε) víi to¸n tö sinh vi ph©n X(x) = ξ(x) ( ∂ ∂x1 + ∂ ∂x2 ) , ta cã F (x∗) = F (eεX .x) = eεX .F (x). (1.32) Chøng minh: F (eεX) = F (x∗) = ∞∑ k=0 εk k! (dkF (x∗) dεk ∣∣∣ ε=0 ) . Tõ (1.29) ta thÊy d2F (x∗) dε2 = X2(x∗)F (x∗), do ®ã dkF (x∗) dεk = Xk(x∗)F (x∗). V× dkF (x∗) dεk ∣∣∣ ε=0 = Xk(x)F (x), nªn ta cã F (x∗) = F (eεXx) = ( ∞∑ k=0 εk k! Xk(x) ) F (x) = eεXF (x). VÝ dô 1.2.12. Ta xÐt vÝ dô cho nhãm phÐp quay x∗ = x cos ε + y sin ε, y∗ = −x sin ε + y cos ε. (1.33) PhÐp biÕn ®æi vi ph©n cña hÖ (1.33) ξ(x∗) = (ξ1(x, y); ξ2(x, y)) = (dx∗ dε ∣∣∣ ε=0 , dy∗ dε ∣∣∣ ε=0 ) = (y,−x). To¸n tö sinh vi ph©n cña hÖ (1.33) X = ξ1(x, y) ∂ ∂x + ξ2(x, y) ∂ ∂y = y ∂ ∂x − x ∂ ∂y . (1.34) Chuçi Lie t­¬ng øng víi hÖ (1.34) lµ (x∗, y∗) = (eεXx, eεY y). Khi ®ã, Xx = y ∂x ∂x − x∂x ∂y = y, Xy = y ∂y ∂x − x∂y ∂y = −x. 22 www.VNMATH.com 1.2. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè 23 Ta tÝnh c¸c Xkx; Xky víi k = 1, 2, . . . X2x = XXx = Xy = −x, X3x = X2Xx = X2y = XXy = −Xx = −y, X4x = X3Xx = X3y = X2Xy = −X2x = x. X2y = XXy = −Xx = −y, X3y = X2Xy = −X2x = x, X4y = X3Xy = −X3x = −X2Xx = −X2y = y. Do ®ã, X4nx = x; X4n−1x = −y; X4n−2x = −x; X4n−3x = y; n = 1, 2, . . . , X4ny = y; X4n−1y = x; X4n−2y = −y; X4n−3y = −x; n = 1, 2, . . . . Bëi vËy (x∗, y∗) ®­îc viÕt l¹i d­íi d¹ng x∗ = eεXx = ∞∑ k=0 Xkx = ( 1− ε 2 2! + ε4 4! + . . . ) x + ( ε − ε 3 3! + ε5 5! + ... ) y = x cos ε + y sin ε. T­¬ng tù: y∗ = eεXy = −x sin ε + y cos ε. 1.2.6 Hµm bÊt biÕn §Þnh nghÜa 1.2.13. Cho F : D → D vµ F (x) lµ hµm kh¶ vi v« h¹n. Khi ®ã F ®­îc gäi lµ bÊt biÕn qua nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi (1.1) nÕu vµ chØ nÕu F (X(x, ε)) = F (x). (1.35) §Þnh lý 1.2.14. F(x) lµ bÊt biÕn qua nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi (1.1) nÕu vµ chØ nÕu XF (x) ≡ 0. Chøng minh: F (x∗) ≡ eεXF (x) ≡ ∞∑ k=0 εk k! XkF (x) ≡ F (x) + εXF (x) + 1 2 ε2X2F (x) + . . . . (1.36) 23 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 24 V× F (x) lµ hµm bÊt biÕn nªn F (x∗) = F (x). VËy tõ (1.36) ta suy ra XF (x) ≡ 0. §Þnh lý 1.2.15. Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi (1.1), ®ång nhÊt thøc F (x∗) ≡ F (x) + ε, (1.37) chØ x¶y ra khi vµ chØ khi XF (x) ≡ 1. (1.38) Chøng minh: Cho F (x) tho¶ m·n (1.37) th× F (x) + ε ≡ F (x) + εXF (x) + 1 2 ε2X2F (x) + . . . . Do ®ã, XF (x) ≡ 1. Ng­îc l¹i, nÕu ta cho F (x) tho¶ m·n XF (x) ≡ 1. Khi ®ã XnF (x) ≡ 0, víi n = 2, 3, . . . . Do vËy, F (x∗) ≡ eεXF (x) ≡ F (x) + εXF (x) ≡ F (x) + ε. 1.3 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 1.3.1 §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1.3.1. Cho D ⊂ R2, x = (x1, x2) ∈ D, S = (S1, S2), vµ phÇn tö ε = (ε1, ε2) ∈ S. (S, φ) lµ nhãm cã phÇn tö ®¬n vÞ e = (0, 0). PhÐp to¸n φi : Si × Si → Si lµ hµm gi¶i tÝch. X = (X1, X2) : D × S → D cho ta tËp c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè ký hiÖu lµ { X(., ε) } ε∈S . TËp c¸c phÐp biÕn ®æi trªn ®­îc gäi lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 24 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 25 1) Víi phÇn tö ε cè ®Þnh ∈ S : X(., ε) : D × S → D lµ mét song ¸nh vµ kh¶ vi v« h¹n. Vµ víi mäi phÇn tö x cè ®Þnh ∈ D : X(x, .) : S → D lµ hµm gi¶i tÝch theo x. 2) X(., 0) = IdD. 3) Víi mäi phÇn tö ε, δ ∈ S, ta cã X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)). Ma trËn vi ph©n Ξ(x) cÊp 2 × 2 Ξ(x) = [ ξ11(x) ξ12(x) ξ21(x) ξ22(x) ] =  ∂X1(x; ε)∂ε1 ∣∣∣ ε=0 ∂X2(x; ε) ∂ε1 ∣∣∣ ε=0 ∂X1(x; ε) ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 ∂X2(x; ε) ∂ε2 ∣∣∣ ε=0  (1.39) Cho Θ(x) lµ ma trËn cÊp 2× 2 Θ(x) =  ∂φ1(ε, δ)∂δ1 ∣∣∣ δ=0 ∂φ2(ε, δ) ∂δ1 ∣∣∣ δ=0 ∂φ1(ε, δ) ∂δ2 ∣∣∣ δ=0 ∂φ2(ε, δ) ∂δ2 ∣∣∣ δ=0  (1.40) vµ ma trËn nghÞch ®¶o cña Θ(ε) Ψ(ε) = Θ−1(ε). (1.41) §Þnh lý 1.3.2 (§Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt). Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè t¹i l©n cËn cña ε = 0 t­¬ng øng víi nghiÖm bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I∂X1∂ε1 ∂X2∂ε1∂X1 ∂ε2 ∂X2 ∂ε2  = Ψ(ε)Ξ(x∗). (1.42) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu x∗ = x khi ε = 0. (1.43) 25 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 26 Chøng minh: Ta chøng minh∂X1∂ε1 (x, ε) ∂X2∂ε1 (x, ε)∂X1 ∂ε2 (x, ε) ∂X2 ∂ε2 (x, ε)  = ∂φ1∂δ1 (ε, 0) ∂φ2∂δ1 (ε, 0)∂φ1 ∂δ2 (ε, 0) ∂φ2 ∂δ2 (ε, 0)  × ∂X1∂ε1 (X(x, ε), 0) ∂X2∂ε1 (X(x, ε), 0)∂X1 ∂ε2 (X(x, ε), 0) ∂X2 ∂ε2 (X(x, ε), 0)  Ta chØ cÇn chøng minh ∂X1 ∂ε1 (x, ε) = ∂φ1 ∂δ1 (ε, 0) ∂X1 ∂ε1 (X(x, ε), 0)+ ∂φ2 ∂δ1 (ε, 0) ∂X1 ∂ε2 (X(x, ε), 0). (1.44) C¸c tr­êng hîp kh¸c t­¬ng tù. V× nhãm (S,ϕ) víi S = S1 × S2 vµ phÐp to¸n ϕ(ε) = (φ1(ε), φ2(ε)) cã phÇn tö ®¬n vÞ 0. PhÇn tö nghÞch ®¶o cña ε ∈ S kÝ hiÖu ε−1. §Ó kiÓm tra (1.44) ta còng lµm nh­ phÇn mét tham biÕn. §Çu tiªn ta còng cã ®¼ng thøc X1(x, ε + h1) = X1(X(x, ε),ϕ(ε −1, ε + h1)). (1.45) víi h1 = (∆ε1, 0). §¼ng thøc (1.45) chøng minh gièng ®¼ng thøc (1.4) víi chó ý (S,ϕ) lµ nhãm! Tõ ®¼ng thøc (1.45) viÕt khai triÓn Taylor X1(x, ε + h1) = X1(x, ε) + ∆ε1 ∂X1 ∂ε1 (x, ε) + O(|h1|2), φ1(ε −1, ε + h1) = φ1(ε−1, ε) + ∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2), φ2(ε −1, ε + h1) = φ2(ε−1, ε) + ∆ε1 ∂φ2 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2). Chó ý: 0 = ϕ(ε−1, ε) = (φ1(ε−1, ε), φ2(ε−1, ε)). Sau ®ã l¹i khai triÓn 26 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 27 Taylor theo biÕn thø hai X1(X(x, ε), (∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2),∆ε1∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2))) = X1(X(x, ε), 0) + ∂X1 ∂ε1 (X(x, ε), 0) ( ∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2) ) + ∂X1 ∂ε2 (X(x, ε), 0) ( ∆ε1 ∂φ2 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2) ) + O(|h1|2). mµ X1(X(x, ε), 0) = X1(x, ε) nªn ta cã (1.45). 1.3.2 To¸n tö sinh vi ph©n §Þnh nghÜa 1.3.3. To¸n tö sinh vi ph©n Xα øng víi tham sè εα cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè X1 = ξ11 ∂ ∂x1 + ξ12 ∂ ∂x2 , X1 = ξ11 ∂ ∂x1 + ξ12 ∂ ∂x2 . (1.46) C¸ch kh¸c ®Ó biÓu diÔn nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè lµ x∗ = eµ1X1eµ2X2, (1.47) trong ®ã, µ1, µ2 lµ nh÷ng h»ng sè thùc. BËc cña nh÷ng sè h¹ng trong c«ng thøc trªn cã thÓ ®­îc s¾p xÕp l¹i b»ng c¸ch ®¸nh sè l¹i c¸c to¸n tö sinh vi ph©n, cã thÓ kh«ng cÇn ph¶i thø tù chÝnh x¸c v× ta cã eµ1X1eµ2X2 = eµ2X2eµ1X1,. Mét thø tù míi cña c¸c sè h¹ng sÏ t­¬ng øng víi mét phÐp tham sè ho¸ kh¸c, vÝ dô Ψ(ε) sÏ thay ®æi. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè t­¬ng øng víi x∗ = X(x, ε) nÕu nã cã thÓ ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng hÖ (1.42) - (1.43) víi cïng mét Ξ(x). Ta còng chØ ra ®­îc r»ng nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè cña phÐp biÕn ®æi x∗ = eεXx = eε(σ1X1+σ2X2x. (1.48) 27 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 28 thu ®­îc nhê sù mò ho¸ to¸n tö sinh vi ph©n X = σ1X1 + σ2X2 = ζ1(x) ∂ ∂x1 + ζ2(x) ∂ ∂x2 , (1.49) trong ®ã ζ1(x) = σ1ξ11(x) + σ2ξ21(x), ζ2(x) = σ1ξ12(x) + σ2ξ22(x). (1.50) Sè h¹ng cña h»ng sè thùc cè ®Þnh bÊt kú σ1, σ2 x¸c ®Þnh mét nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè lµ nhãm con cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè. VÝ dô 1.3.4. Cho vµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè [ε = (ε1, ε2)] trong R2 víi [(x1, x2) = (x, y)] ®­îc cho bëi x∗ = eε1x + ε2, y∗ = e2ε1y. (1.51) Khi ®ã, x∗∗ = eδ1x∗ + δ2 = eφ1(ε,δ)x + φ2(ε, δ), y∗∗ = e2δ1y∗ = e2φ1(ε,δ)y. víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè ϕ(ε, δ) = (φ1(ε, δ), φ2(ε, δ)) = (ε1 + δ1, e δ1ε2 + δ2). (1.52) Ta cã khai triÓn Taylor t¹i (ε0, δ0) cña ϕ viÕt d­íi d¹ng ϕ(ε, δ) = (ε1 + δ1, e δ1ε2 + δ2) = (ε0 + δ0 + ε1 − ε0 + δ1 − δ0, eδ0eδ1−δ0ε0 + δ0 + eδ0eδ−δ0(ε2 − ε0) + (δ2 − δ0). Suy ra ϕ : R2 × R2 → R2 lµ hµm gi¶i tÝch. Ta sÏ kiÓm tra hä 2 tham sè cña phÐp biÕn ®æi (1.51) víi phÐp to¸n (1.52) x¸c ®Þnh mét nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè ë ®©y, S = (R2,R2); (S,ϕ) lµ nhãm cã ®¬n vÞ 0, vµ ¸nh x¹ X : R2 × R2 → R2 (x, y)× (ε1, ε2) 7→ (eε1x + ε2, e2ε1y). 28 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 29 Tr­íc tiªn ta chøng minh r»ng víi mäi ε ∈ S th× ¸nh x¹ X(., ε) : R2 → R2 lµ mét song ¸nh. ThËt vËy, nÕu lÊy (x, y) 6= (x′, y′) th× (eε1x + ε2, e2ε1y) 6= (eε1x′+ε2, e2ε1y′). H¬n n÷a, gi¶ sö cã (x, y) ∈ R2 bÊt kú ta t×m ®­îc (x1, y1) tho¶ m·n x = eε1x1 + ε2, y = e2ε1y1. Suy ra: (x1, y1) = (e−ε1(x− ε2), e−2ε1y) ∈ R2. Tøc lµ, ImX ≡ R2. VËy ¸nh x¹ X : R2 → R2 lµ mét song ¸nh. ¸nh x¹ X((x, y), ε) lµ hµm kh¶ vi v« h¹n v× ∂X ∂x = (eε1, 0), ∂X ∂y = (0, e2ε1); ∂2X ∂x2 = ∂2X ∂y2 = ∂2X ∂x∂y = ∂2X ∂y∂x = (0, 0). Víi mçi (x, y) cè ®Þnh ∈ R2, ta cã eε1x + ε2 = e ε0x + ε0 + e (ε1−ε0)x + (ε2 − ε0), e2ε1y = e2ε0y + e2(ε1−ε0)y. V× X((x, y), .) khai triÓn ®­îc d­íi d¹ng khai triÓn Taylor t¹i ε = ε0 nªn nã lµ hµm gi¶i tÝch theo ε0. Ta cã: X(., (0, 0)) = (e0x + 0, e2.0y) = (x, y). Cuèi cïng ta chøng minh ®­îc X(X(., ε), δ) = X((eε1x + ε2, e 2ε1y), δ) = (eε1eδ1x + ε2 + δ2, e 2ε1e2δ1y) = (eε1+δ1x + (ε2 + δ2), e 2(ε1+δ1)y) = (eφ1(ε,δ) + φ2(ε, δ), e 2φ1(ε,δ)) = X(.,ϕ(ε, δ)). Ta thÊy r»ng hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n (1.42) - (1.43) sÏ trë thµnh ∂x∗ ∂ε1 = eε1x = x∗ − ε2, ∂y ∗ ∂ε1 = 2e2ε1y = 2y∗, ∂x∗ ∂ε2 = 1, ∂y∗ ∂ε2 = 0. 29 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 30 Do vËy,  ∂x ∗ ∂ε1 ∂y∗ ∂ε1 ∂x∗ ∂ε2 ∂y∗ ∂ε2  = [ x∗ − 2 2y∗ 1 0 ] (1.53) Do ®ã, ξ11(x) = ∂x∗ ∂ε1 ∣∣∣ ε=0 = x; ξ12(x) = ∂y∗ ∂ε1 ∣∣∣ ε=0 = 2y; ξ21(x) = ∂x∗ ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 = 1; ξ22(x) = ∂y∗ ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 = 0. Bëi vËy ma trËn vi ph©n lµ: Ξ(x) = [ x 2y 1 0 ] (1.54) §Ó x¸c ®Þnh Ψ(ε), ta cã: ∂φ1 ∂δ1 = 1, ∂φ2 ∂δ1 = eδ1ε2, ∂φ1 ∂δ2 = 0, ∂φ2 ∂δ2 = 1. Do ®ã Θ11 = ∂φ1 ∂δ1 ∣∣∣ δ=0 = 1, Θ12 = ∂φ2 ∂δ1 ∣∣∣ δ=0 = ε2, Θ21 = ∂φ1 ∂δ2 ∣∣∣ δ=0 = 0, Θ22 = ∂φ2 ∂δ2 ∣∣∣ δ=0 = 1. VËy ta cã: Θ(ε) = [ 1 ε2 0 1 ] , (1.55) vµ Ψ(ε) = Θ−1(ε) = [ 1 −ε2 0 1 ] . (1.56) DÔ thÊy, Ψ(ε)Ξ(x∗) = [ x∗ − ε2 2y∗ 1 0 ] , (1.57) 30 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 31 lµ ma trËn (1.53). KiÓm tra l¹i hÖ (1.42) - (1.43). Gi¶i bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I ∂x∗ ∂ε1 = x∗ − 2, ∂y∗ ∂ε1 = 2y∗, ∂x∗ ∂ε2 = 1, ∂y∗ ∂ε2 = 0, (1.58) víi x∗ = y, y∗ = y khi ε1 = 0, ε2 = 0, dÉn ®Õn hÖ (1.51) To¸n tö sinh vi ph©n t­¬ng øng víi hÖ (1.51) X1 = x ∂ ∂x + 2y ∂ ∂y , X2 = ∂ ∂x . (1.59) Víi mäi hµm F (x, y) kh¶ vi v« h¹n, ta cã eεX1F (x, y) = F (eεx, e2εy), eεX2F (x, y) = F (x + ε, y). (1.60) Ta kiÓm tra biÓu diÔn d­íi d¹ng (1.47) vµ (1.48) dÉn ®Õn hÖ (1.51) Tõ (1.58) cho mäi h»ng sè thùc µ1, µ2, ta cã eµ1X1eµ2X2(x, y) = eµ1X1(x + µ2, y) = (e µ1x + µ2, e 2µ1y), (1.61) vµ eµ2X2eµ1X1(x, y) = eµ2X2(eµ1x, e2µ1y) = (eµ1(x + µ2), e 2µ1y). (1.62) §Æt: x˜ = λ1x + λ2 th× eε(λ1X1+λ2X2)(x, y) = eελ1x˜ ∂ ∂x+2ελ1y ∂ ∂y ( x˜− λ2 λ1 ) = (eελ1x˜ − λ2 λ1 , e2ελ1y ) = ( eελ1x˜ + λ2 λ1 ( eελ1 − 1 ) , e2ελ1y ) . (1.63) 31 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 32 Do vËy (1.61) ®ång nhÊt víi hÖ (1.42) - (1.43) víi cïng phÐp to¸n (1.52); (1.62) t­¬ng ®­¬ng víi hÖ (1.42) - (1.43) víi phÐp to¸n gi÷a c¸c tham sè ϕ(ε, δ) = (1 + δ1, ε2 + e −δ1δ2); (1.63) t­¬ng ®­¬ng víi hÖ (1.42) - (1.43) víi phÐp to¸n ϕ(ε, δ) = ( ε1 + δ1, ε1 + δ1 eε1+δ1 − 1 ( eδ1 (ε2 ε1 (eε1 − 1) + δ2 δ1 ) − δ2 δ1 )) . 1.3.3 §¹i sè Lie §Þnh nghÜa 1.3.5. XÐt nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè víi c¸c to¸n tö sinh vi ph©n X1, X2 ®­îc x¸c ®Þnh bëi (1.39) vµ (1.46). TÝch Lie cña X1 vµ X2 lµ to¸n tö cÊp I [X1, X2] = X1X2 −X2X1 = (ξ11(x) ∂ ∂x1 )(ξ21(x) ∂ ∂x1 )− (ξ21(x) ∂ ∂x1 )(ξ11(x) ∂ ∂x1 ) + (ξ11(x) ∂ ∂x1 )(ξ22(x) ∂ ∂x2 )− (ξ21(x) ∂ ∂x1 )(ξ12(x) ∂ ∂x2 ) + ξ12(x) ∂ ∂x2 )(ξ21(x) ∂ ∂x1 )− (ξ22(x) ∂ ∂x2 )(ξ11(x) ∂ ∂x1 ) + (ξ12(x) ∂ ∂x2 )(ξ22(x) ∂ ∂x2 )− (ξ22(x) ∂ ∂x2 )(ξ12(x) ∂ ∂x2 ) = (ξ11(x) ∂ ∂x1 )(ξ22(x) ∂ ∂x2 )− (ξ21(x) ∂ ∂x1 )(ξ12(x) ∂ ∂x2 ) + ξ12(x) ∂ ∂x2 )(ξ21(x) ∂ ∂x1 )− (ξ22(x) ∂ ∂x2 )(ξ11(x) ∂ ∂x1 ) = η1(x) ∂ ∂x1 + η2(x) ∂ ∂x2 . (1.64) Khi ®ã, ηj(x) = 2∑ i=1 ( ξ1i(x) ∂ξ2j(x) ∂xi − ξ2i(x)∂ξ1j(x) ∂xi ) . (1.65) DÔ dµng thÊy r»ng [Xα, Xβ] = −[Xβ , Xα]. (1.66) 32 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 33 §Þnh lý 1.3.6 (§Þnh lý Lie c¬ b¶n thø hai). Ho¸n tö cña 2 to¸n tö sinh vi ph©n cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè còng lµ mét to¸n tö sinh vi ph©n. §Æc biÖt, [X1, X2] = aX1 + bX2, (1.67) trong ®ã, hÖ sè a, b lµ nh÷ng h»ng sè thùc. Chøng minh: Chøng minh cho ®Þnh lý nµy chñ yÕu dùa vµo ®iÒu kiÖn kh¶ tÝch ∂2x∗i ∂εα∂εβ = ∂2x∗i ∂εβ∂εα , i = 1, 2, α, β = 1, 2. (1.68) ®­îc ¸p dông tõ (1.42). Chøng minh chi tiÕt ®Þnh lý nµy ®­îc ®Ò cËp trong STK [5] §Þnh nghÜa 1.3.7. Ph­¬ng tr×nh (1.67) ®­îc gäi lµ quan hÖ giao ho¸n tö cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè x∗ = X(x, ) víi to¸n tö sinh vi ph©n (1.46). Cho 3 to¸n tö sinh vi ph©n Xα, Xβ , Xγ bÊt kú, ta cã ®¼ng thøc Jacobi [Xα, [Xβ , Xγ ]] + [Xβ, [Xγ , Xα]] + [Xγ , [Xα, Xβ]] = 0. (1.69) §Þnh nghÜa 1.3.8. Mét ®¹i sè Lie L lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ trªn R víi dÊu ngoÆc to¸n tö song tuyÕn tÝnh (giao ho¸n tö) tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt (1.66), (1.69), vµ (1.67). §Æc biÖt, c¸c to¸n tö sinh vi ph©n X1, X2 cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè x∗ = X(x, ) lËp thµnh mét ®¹i sè Lie 2 chiÒu trªn R. VÝ dô 1.3.9. ë vÝ dô (1.3.4), trong R2 víi X1 = x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y , X2 = ∂f ∂x . Ta tÝnh tÝch Lie gi÷a to¸n tö sinh vi ph©n X1, X2 [X1, X2] = X1X2 −X2X1 = X1X2(f)−X2X1(f) = (x ∂ ∂x + 2y ∂ ∂y )( ∂f ∂x )− ∂ ∂x (x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y ) = x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y − (∂f ∂x + x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) = −X2. 33 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 34 Víi a, b, c, d ∈ R2 tÝch Lie cña c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian R2 [aX1 + bX2, cX1 + dX2] = (aX1 + bX2)(cX1 + dX2)− (cX1 + dX2)(aX1 + bX2) = acX1X1 + adX1X2 + bcX2X1 + bdX2X2 − acX1X1 − bcX1X2 − daX2X1 − dbX2X2 = adX1X2 + bcX2X1 − cbX1X2 − daX2X1 = ad ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y )(∂f ∂x ) + bc ∂f ∂x ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y ) − cb ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y )(∂f ∂x ) − da∂f ∂x ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y ) = ad ( x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) + bc (∂f ∂x + x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) − bc ( x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) + bc (∂f ∂x + x ∂2f ∂x2 − ad ∂ 2f ∂x∂y ) = bc ∂f ∂x − ad∂f ∂x = (bc− ad)∂f ∂x = (bc− ad)X2. Do vËy ®¹i sè Lie L ®­îc x¸c ®Þnh bëi tÝch Lie [X1, X2] vµ tÝch Lie [aX1 + bX2, cX1 + dX2] trªn kh«ng gian R2. Trong tr­êng hîp tæng qu¸t, ta cã thÓ x©y dùng giao ho¸n tö [X1, X2] b»ng ®èi sè d­íi ®©y: §Æt G2 = X(x, ε) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè. Nhãm Lie mét tham sè (ε) bÊt kú lµ nhãm con cña G2 cã to¸n tö sinh vi ph©n t­¬ng øng trong L2. VÝ dô cho X1 ∈ L2 t­¬ng øng víi eεX1x ∈ G2, aX1 + bX2 ∈ L2 t­¬ng øng víi c¶ eε(aX1+bX2)x ∈ G2, vµ eεaX1eεbX2x ∈ G2. NÕu X1, X2 ∈ L2, th× c¶ eεX1x vµ eεbX2x thuéc G2 víi sè thùc ε bÊt kú. XÐt nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (ε) giao ho¸n tö e−εX1e−εX2eεX1eεX2x = [eεX1 ]−1[eεX2]−1eεX1eεX2x ∈ G2. 34 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 35 Khi ®ã, e−εX1e−εX2eεX1eεX2 = (1− εX1 + 1 2 ε2(X1) 2)(1− εX2 + 1 2 ε2(X2) 2) × (1 + εX1 + 1 2 ε2(X1) 2)(1 + εX2 + 1 2 ε2(X2) 2) + O(ε3) = (1− ε(X1 + X2) + ε2(X1X2 + 1 2 (X1) 2 + 1 2 (X2) 2) × (1 + ε(X1 + X2) + ε2(X1X2 + 1 2 (X1) 2 + 1 2 (X2) 2) +O(ε3) = 1 + ε2(2X1X2 + (X1) 2 + (X2) 2 − (X1 −X2)2) +O(ε3) = 1 + ε2(X1X2 −X2X1) + O(ε3) = 1 + ε2[X1, X2] +O(ε 3). Do vËy, [X1, X2] ∈ L2. Ta thÊy r»ng eεX1eδX2 = eδX2eεX1 = eεX1+δX2 nÕu vµ chØ nÕu [X1, X2] = 0. §Þnh nghÜa 1.3.10. Mét kh«ng gian con J ⊂ L ®­îc gäi lµ mét ®¹i sè con cña ®¹i sè Lie nÕu [X1, X2] ∈ J víi mäi X1, X2 ∈ J . 1.3.4 §¹i sè Lie gi¶i ®­îc §Þnh nghÜa 1.3.11. Mét ®¹i sè con J ⊂ L ®­îc gäi lµ mét i®ªan hay mét ®¹i sè con chuÈn t¾c cña L nÕu [X, Y ] ∈ J víi mäi X ∈ J , Y ∈ L. §Þnh nghÜa 1.3.12. L2 lµ mét ®¹i sè Lie gi¶i ®­îc 2 chiÒu nÕu tån t¹i mét chuçi c¸c ®¹i sè con L(1) ⊂ L(2) = L2, (1.70) sao cho L(k) lµ mét ®¹i sè Lie k chiÒu vµ L(k−1) lµ mét i®ªan cña L(k), k = 1, 2. CÇn chó ý r»ng L(0) lµ mét i®ªan kh«ng chØ chøa vÐc t¬ kh«ng. 35 www.VNMATH.com 1.3. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 36 §Þnh nghÜa 1.3.13. L ®­îc gäi lµ ®¹i sè Lie Abel nÕu [X1, X2] = 0, víi X1, X2 ∈ L. §Þnh lý 1.3.14. Mäi ®¹i sè Lie Abel ®Òu gi¶i ®­îc. §Þnh lý 1.3.15. Mäi ®¹i sè Lie hai chiÒu ®Òu gi¶i ®­îc. Chøng minh: Cho L lµ mét ®¹i sè Lie 2 chiÒu víi to¸n tö sinh vi ph©n X1 vµ X2 lµ vÐc t¬ c¬ b¶n. Gi¶ sö [X1, X2] = aX1 + bX2 = Y . NÕu c1X1 + c2X2 ∈ L, víi mäi h»ng sè c1, c2 tuú ý th× [Y, c1X1 + c2X2] = c1[Y,X1] + c2[Y,X2] = c1b[X2, X1] + c2a[X1, X2] = (c2a− c1b)Y. Do vËy, Y lµ mét i®ªan mét chiÒu cña L. [NÕu a = b = 0, th× L lµ mét ®¹i sè Lie Abel.] 36 www.VNMATH.com Ch­¬ng 2 øng dông tÝnh ®èi xøng vµo viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n 2.1 øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I. 2.1.1 HÖ to¹ ®é chÝnh t¾c Gi¶ sö ta thùc hiÖn ®æi hÖ to¹ ®é (xÐt trong tr­êng hîp ®¬n ¸nh vµ kh¶ vi liªn tôc trong mét miÒn thÝch hîp) y∗ = Y (x) = (y1(x), y2(x)). (2.1) Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (1.1), víi to¸n tö sinh vi ph©n X = ξ1(x) ∂ ∂x1 +ξ2(x) ∂ ∂x2 , trªn hÖ to¹ ®é x = (x1, x2), biÓu diÔn to¸n tö sinh vi ph©n trªn b»ng hÖ to¹ ®é y = (y1, y2), x¸c ®Þnh bëi (2.1). To¸n tö sinh vi ph©n sÏ trë thµnh Y = η1(y) ∂ ∂y1 + η2(y) ∂ ∂y2 . (2.2) Trong tr­êng hîp nµy ta cÇn Y = X cïng bËc cã t¸c ®éng nhãm t­¬ng tù. PhÐp vi ph©n trªn hÖ to¹ ®é y η(y) = (η1(y), η2(y)) = Y y. (2.3) 37 www.VNMATH.com 2.1. øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I. 38 Chó ý r»ng, b»ng viÖc sö dông quy luËt chuçi, ta cã X = ξ1(x) ∂ ∂x1 + ξ2(x) ∂ ∂x2 = ξ1(x) ∂y1(x) ∂x1 ∂ ∂y1 + ξ1(x) ∂y2(x) ∂x1 ∂ ∂y2 + ξ2(x) ∂y1(x) ∂x2 ∂ ∂y1 + ξ2(x) ∂y2(x) ∂x2 ∂ ∂y2 = η1(y) ∂ ∂y1 + η2(y) ∂ ∂y2 = Y. V× vËy, ®Ó Y = X cïng bËc cÇn cã ηj(y) = ξ1(x) ∂yj(x) ∂x1 + ξ2(x) ∂yj(x) ∂x2 = Xyj, j = 1, 2. (2.4) §Þnh lý 2.1.1. Víi hÖ to¹ ®é y cho bëi (2.1) th× nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (1.1) trë thµnh y∗ = eεY y. (2.5) Chøng minh: Tõ (1.32) vµ (2.1), ta thu ®­îc y∗ = Y (x∗) = eεXY (x) = eεXY = eεY y. §Þnh nghÜa 2.1.2. PhÐp ®æi to¹ ®é (2.1) x¸c ®Þnh mét tËp c¸c hÖ to¹ ®é chÝnh t¾c cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (1.1) nÕu trong hÖ to¹ ®é míi ®ã nhãm (1.1) cã d¹ng sau: y∗1 = y1, y∗2 = y2 + ε. (2.6) §Þnh lý 2.1.3. Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi (1.1) bÊt k×, khi ®ã tån t¹i mét tËp c¸c to¹ ®é chÝnh t¾c y = (y1, y2) sao cho (1.1) t­¬ng ®­¬ng víi hÖ (2.6). Chøng minh: Tõ §Þnh lý (1.2.14), ta cã y∗1 = y1(x ∗) = y1(x), 38 www.VNMATH.com 2.1. øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I. 39 nÕu vµ chØ nÕu Xy1(x) ≡ 0. (2.7) Ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cÊp I Xu(x) = ξ1(x) ∂u ∂x1 + ξ2(x) ∂u ∂x2 = 0, (2.8) cã 1 nghiÖm ®éc lËp u(x), chÝnh lµ nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I dx dt = ξ(x), (2.9) kÕt qu¶ tõ ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng dx1 ξ1(x) = dx2 ξ2(x) . HÖ to¹ ®é chÝnh t¾c nµy tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®Çu cña (2.6). Tõ ®Þnh lý (1.2.15), ta cã y∗2 = y2(x ∗) = y2(x) + ε, nÕu vµ chØ nÕu Xy2(x) ≡ 1. (2.10) Do vËy, y2(x) ®­îc t×m ra tõ nghiÖm riªng ν(x) cña ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt cÊp I bÊt k× Xν(x) = ξ1(x) ∂ν ∂x1 + ξ2(x) ∂ν ∂x2 = 1, (2.11) ®­îc gi¶i b»ng viÖc x¸c ®Þnh mét nghiÖm tæng qu¸t t­¬ng øng víi ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I dν dt = 1, dx dt = ξ(x). (2.12) 39 www.VNMATH.com 2.1. øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I. 40 §Þnh lý 2.1.4. Trong c¸c thµnh phÇn cña tËp hîp hÖ to¹ ®é chÝnh t¾c bÊt k× y = (y1(x), y2(x)), to¸n tö sinh vi ph©n cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè (1.1) trë thµnh Y = ∂ ∂y2 . (2.13) Chøng minh: Ta cã Y = η1(y) ∂ ∂y1 + η2(y) ∂ ∂y2 Tõ (2.7) vµ (2.10) ta suy ra c¸c thµnh phÇn cña hÖ to¹ ®é chÝnh t¾c η1(y) = Xy1 = 0, η2(y) = Xy2 = 1. 2.1.2 øng dông nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I ®Ó gi¶i ®­îc mét ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I b»ng viÖc sö dông nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè. Tr­íc hÕt ta cÇn biÕt ®­îc thÕ nµo lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè phï hîp víi ph­¬ng tr×nh vi ph©n. Ta cã ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2.1.5. Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè {X(., ε)} ®­îc gäi lµ phï hîp víi ph­¬ng tr×nh vi ph©n y′ = f(x, y), nÕu y∗ = X(y, ε), x∗ = X(x, ε), th× y∗ x∗ = f(x∗, y∗). 40 www.VNMATH.com 2.1. øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I. 41 VÝ dô 2.1.6. Cho ph­¬ng tr×nh vi ph©n sau: y′ = f (y x ) , trong ®ã, f lµ hµm thuÇn nhÊt. Trong R2, ta lÊy x1 = x, x2 = y, vµ cho hÖ to¹ ®é chÝnh t¾c ®­îc kÝ hiÖu b»ng y1 = r, y2 = s, Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè x∗ = X((x, y), ε) = eεx, y∗ = Y ((x, y), ε) = eεy, (2.14) víi to¸n tö sinh vi ph©n X = x ∂ ∂x + y ∂ ∂y . dY = eεdy, dX = eεdx suy ra dY dX = dy dx = f (y x ) = f (Y X ) . To¹ ®é r(x, y) tho¶ m·n Xr = x ∂r ∂x + y ∂r ∂y = 0. (2.15) Ph­¬ng tr×nh vi ph©n ®Æc tr­ng t­¬ng øng ®­îc quy vÒ dy dx = y x . (2.16) víi nghiÖm tæng qu¸t lµ r(x, y) = y x = const. (2.17) To¹ ®é s(x, y) tho¶ m·n Xs = x ∂s ∂x + y ∂s ∂y = 1. (2.18) NghiÖm riªng cña (2.18) lµ s(x, y) tho¶ m·n ds dy = 1 y . (2.19) Do vËy, s(x, y) = ln |y|. (2.20) 41 www.VNMATH.com 2.1. øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I. 42 vµ do ®ã, hÖ (2.14) cã hÖ to¹ ®é chÝnh t¾c lµ (r, s) = (y x , ln |y| ) . Ta cã ph­¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng t¸ch biÕn: x dx = y dy hay y x = C, nªn dr = − y x2 + 1 x dy = [ − y x2 + 1 x f (y x )] = 1 x (−r + f(r))dx. ds = 1 y dy. Do vËy ds dr = 1 f(r)− r . Suy ra s = ∫ 1 f(r)− rdr. NghiÖm tæng qu¸t viÕt d­íi d¹ng tham sè cña bµi to¸n ph­¬ng tr×nh vi ph©n ban ®Çu x = es r , y = es. VÝ dô 2.1.7. Gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n y′ = xy2 − 2y x − 1 x3 . T­¬ng tù vÝ dô trªn ta xÐt nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi x∗ = X((x, y), ε) = eεx, y∗ = Y ((x, y), ε) = e−2εy. ξ(X, Y ) = (X,−2Y ), dY = e−2εdy, dX = eεdx. Suy ra dY dX = e−3ε dy dx = e−3ε(xy2 − 2y x − 1 x3 ) = XY 2 − 2Y X − 1 X3 . To¹ ®é r(x, y) tho¶ m·n Xr = x ∂r ∂x − 2y∂r ∂y = 0. Suy ra r(x, y) = x2y. To¹ ®é s(x, y) tho¶ m·n Xs = x ∂s ∂x − 2y ∂s ∂y = 1. 42 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 43 Suy ra s(x, y) = ln |x|. VËy hÖ to¹ ®é chÝnh t¾c lµ (r, s) = (x2y, ln |x|). Ta cã ph­¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng t¸ch biÕn: x dx = −2y dy hay x2y = C, nªn dr = 2xydx + x2dy = (2xy + x3y2 − 2xy − x)dx, ds = 1 x dx. Suy ra ds dr = 1 x4y3 − 1 = 1 r2 − 1 . VËy s = 1 2 ln ∣∣∣r − 1 r + 1 ∣∣∣+ C. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t viÕt d­íi d¹ng tham sè cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n ban ®Çu x = es, y = r e2s . 2.2 øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 2.2.1 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ®éc lËp, mét tham sè phô thuéc Nghiªn cøu tÝnh bÊt biÕn cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp k víi biÕn ®éc lËp x vµ biÕn phô thuéc y nh»m môc ®Ých lµ t×m ra nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè nhËn ®­îc tõ biÕn ®æi ®iÓm x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε). (2.21) víi y = y(x). §Æt yk = y (k) = dky dxk , k ≥ 1. (2.22) Khai triÓn (2.21) trong kh«ng gian (x, y, y′, . . . , y(k)), k ≥ 1 ®ßi hái (2.21) ph¶i ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn tiÕp xóc liªn kÕt c¸c vi ph©n dx, dy, dy1, . . . , dyk. 43 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 44 Khi ®ã, ta cã dy = y1dx, (2.23) vµ dyk = yk+1dx, k ≥ 1. (2.24) §Æc biÖt, d­íi t¸c ®éng cña nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi (2.21), c¸c ®¹o hµm x¸c ®Þnh liªn tôc y∗i , k ≥ 1 ®­îc biÕn ®æi dy∗ = y∗1dx ∗, ... dy∗k = y ∗ k+1dx ∗, (2.25) Víi x∗ vµ y∗ ®­îc x¸c ®Þnh bëi (2.21), ta cã dy∗ = dY (x, y; ε) = ∂Y (x, y; ε) ∂x dx + ∂Y (x, y; ε) ∂y dy, dx∗ = dX(x, y; ε) = ∂X(x, y; ε) ∂x dx + ∂X(x, y; ε) ∂y dy. (2.26) Bëi vËy, tõ (2.21) vµ (2.26), y∗1 tho¶ m·n ∂Y (x, y; ε) ∂x dx+ ∂Y (x, y; ε) ∂y dy = y∗1 [∂X(x, y; ε) ∂x dx+ ∂X(x, y; ε) ∂y dy ] . (2.27) Thay thÕ (2.25) vµo (2.26), ta thÊy y∗1 = Y1(x, y, y1; ε) = ∂Y (x, y; ε) ∂x + y1 ∂Y (x, y; ε) ∂y ∂X(x, y; ε) ∂x + y1 ∂X(x, y; ε) ∂y . (2.28) §Þnh lý 2.2.1. Nhãm Lie mét tham sè më réng thø 2 cña phÐp biÕn ®æi ®iÓm (2.21) trªn kh«ng gian to¹ ®é (x, y) khai triÓn tõ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi trªn kh«ng gian (x, y, y1) x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε), y∗1 = Y1(x, y, y1; ε), (2.29) 44 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 45 víi Y1(x, y, y1; ε) ®­îc cho bëi c«ng thøc (2.28) Chøng minh: §Þnh lý hoµn toµn chøng minh ®­îc b»ng viÖc chØ ra r»ng tÝnh ®ãng ®­îc b¶o ®¶m trong khai triÓn ®Çu tiªn cña (2.21) víi kh«ng gian (x, y, y1). Nh÷ng tÝnh chÊt kh¸c cña nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè th× cã trùc tiÕp trong khai triÓn ®Çu tiªn nµy. Cho φ(ε, δ) x¸c ®Þnh phÐp to¸n gi÷a tham sè ε vµ δ. §Æt (x∗∗, y∗∗) = (X(x∗, y∗; δ), Y (x, y; δ)). (2.30) TÝnh ®ãng cña nhãm (2.21) tho¶ m·n hÖ thøc (x∗∗, y∗∗) = (X(x∗, y∗;φ(ε, δ)), Y (x, y;φ(ε, δ))). Nh­ng y∗∗1 tho¶ m·n dy∗∗ = y∗∗1 dx∗∗. Do ®ã, y∗∗1 = Y1(x, y, y1;φ(ε, δ)) = ∂Y (x, y;φ(ε, δ)) ∂x + y1 Y (x, y;φ(ε, δ)) ∂y ∂X(x, y;φ(ε, δ)) ∂x + y1 ∂X(x, y;φ(ε, δ)) ∂y . §Þnh lý 2.2.2. Nhãm Lie mét tham sè cña phÐp biÕn ®æi ®iÓm (2.21) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè trªn kh«ng gian (x, y, y1, y2) x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε), y∗1 = Y1(x, y, y1; ε), y∗2 = Y2(x, y, y1, y2; ε) = ∂Y1 ∂x + y1 ∂Y1 ∂y + y2 ∂Y1 ∂y1 ∂X(x, y; ε) ∂x + y1 ∂X(x, y; ε) ∂y , (2.31) víi Y1 = Y1(x, y, y1; ε) ®­îc cho bëi c«ng thøc (2.28). 45 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 46 §Þnh lý 2.2.3. Nhãm Lie mét tham sè më réng thø k cña phÐp biÕn ®æi ®iÓm (2.21) lµ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè trªn kh«ng gian (x, y, y1, . . . , yk) x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε), y∗1 = Y1(x, y, y1; ε), ... y∗k = Yk(x, y, y1, . . . , yk; ε) = ∂Yk−1 ∂x + y1 ∂Yk−1 ∂y + · · ·+ yk∂Yk−1 ∂yk−1 ∂X(x, y; ε) ∂x + y1 ∂X(x, y; ε) ∂y , (2.32) víi Y1 = Y1(x, y, y1; ε) ®­îc x¸c ®Þnh bëi (2.28), vµ Yi = Yi(x, y, y1, . . . , yi; ε), i = 1, 2, . . . , k. Chó ý r»ng ta cã thÓ khai triÓn tËp hîp bÊt kú c¸c phÐp biÕn ®æi 1 - 1 (kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lµ mét nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi) x† = X(x, y), y† = Y (x, y), (2.33) tõ miÒn D trong kh«ng gian (x, y) vµo miÒn D† kh¸c trong kh«ng gian (x†, y†), vµ hµm X(x, y), Y (x, y) lµ ®¹o hµm k lÇn trong D. Ta còng cã thÓ khai triÓn tù nhiªn c¸c phÐp biÕn ®æi (2.33) ë kh«ng gian (x, y, y1, . . . , yk) ®Ó ®iÒu kiÖn tiÕp xóc (2.25) ®­îc b¶o ®¶m dy† = y†1dx †, dy†k = d † k+1dx †, k ≥ 1. (2.34) ë ®©y, phÐp biÕn ®æi më réng thø k tõ kh«ng gian (x, y, y1, . . . , yk) vµo 46 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 47 kh«ng gian (x†, y†, y†1, . . . , y † k) ®­îc cho bëi x† = X(x, y), y† = Y (x, y), y†1 = Y1(x, y, y1), ... y†k = Yk(x, y, y1, . . . , yk) = ∂Yk−1 ∂x + y1 ∂Yk−1 ∂y + · · ·+ ∂Yk−1 ∂yk−1 ∂X(x, y) ∂x + y1 ∂X(x, y) ∂y . (2.35) víi Y1 = Y1(x, y, y1) = ∂Y (x, y) ∂x + y1 ∂Y (x, y) ∂y ∂X(x, y) ∂x + y1 ∂X(x, y) ∂y , vµ Yi = Yi(x, y, y1, . . . , yi), i = 1, 2, . . . , k − 1. Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè cña biÕn ®æi ®iÓm x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) + O(ε2), y∗ = Y (x, y; ε) = y + εη(x, y) +O(ε2), (2.36) t¸c ®éng trªn kh«ng gian (x, y) cã vi ph©n ξ(x, y); η(x, y), víi to¸n tö sinh vi ph©n t­¬ng øng X = ξ(x, y) ∂ ∂x + η(x, y) ∂ ∂y . 47 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 48 Khai triÓn thø k cña (2.36) x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) + O(ε2), y∗ = Y (x, y; ε) = y + εη(x, y) + O(ε2), y∗1 = Y1(x, y, y1, ε) = y1 + εη (1)(x, y, y1) +O(ε 2), ... y∗k = Yk(x, y, y1, . . . , yk; ε) = yk + εη (k)(x, y, y1, . . . , yk) + O(ε 2). (2.37) Vi ph©n më réng thø k ξ(x, y), η(x, y), η(1)(x, y, y1), . . . , η (k)(x, y, y1, . . . , yk), víi to¸n tö sinh vi ph©n më réng thø k t­¬ng øng X (k) = ξ(x, y) ∂ ∂x +η(x, y) ∂ ∂y +η(1)(x, y, y1) ∂ ∂y1 +· · ·+η(k)(x, y, y1, . . . , yk) ∂ ∂yk , (2.38) víi k = 1, 2, . . . . C«ng thøc cho vi ph©n më réng η(k) lµ kÕt qu¶ cña ®Þnh lý §Þnh lý 2.2.4. Vi ph©n më réng η(k) tho¶ m·n hÖ thøc ®Ö quy η(k)(x, y, y1, . . . , yk) = Dη (k−1)(x, y, y1, . . . , yk−1)− ykDξ, k = 1, 2, . . . , (2.39) trong ®ã, η0 = η(x, y). §Æc biÖt, η(k) = Dkη − k∑ j=1 k! (k − j)!j! . Chøng minh: PhÇn chøng minh ta cã thÓ tham kh¶o ë trang 60 - STK[5]. 48 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 49 Vi ph©n më réng η(k) cã c¸c tÝnh chÊt i) η(k) lµ tuyÕn tÝnh cña yk, k ≥ 2. ii) η(k) lµ mét hµm ®a thøc cña y1, y2, . . . , yk mµ hÖ sè cña nã lµ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt ξ(x, y), η(x, y) vµ ®¹o hµm riªng cña chóng lªn ®Õn bËc k. VÝ dô 2.2.5. Nhãm c¸c phÐp tÞnh tiÕn η(k) = 0, k ≥ 1. VÝ dô 2.2.6. Nhãm Scalings η(k) = (2− k)yk, k ≥ 1. §Þnh lý 2.2.7. Cho X (k)α , X (k) β lµ to¸n tö sinh vi ph©n më réng thø k cña to¸n tö sinh vi ph©n Xα, Xβ , vµ [Xα, Xβ ](k) lµ to¸n tö sinh vi ph©n më réng thø k cña giao ho¸n tö [Xα, Xβ ]. Khi ®ã, [Xα, Xβ ](k) = [X (k) α , X (k) β ], k ≥ 1. Do vËy, nÕu [Xα, Xβ] = Xγ , th× [X (k) α , Xβ(k)] = X (k) γ , k ≥ 1. 2.2.2 VÝ dô øng dông §¹i sè Lie vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n bËc cao VÝ dô 2.2.8. Ta xÐt ph­¬ng tr×nh vi ph©n (ph­¬ng tr×nh Blasius) y′′′ + 1 2 yy′′ = 0. (2.40) nhËn ®­îc tõ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè víi to¸n tö sinh vi ph©n X1 = ∂ ∂x , X2 = x ∂ ∂x − y ∂ ∂y . Khi ®ã, [X1, X2] = X1. Hµm bÊt biÕn cña X (2)1 ®­îc cho d­íi d¹ng u = y, v = y′ = y1, v1 = dv du = y2 y1 . 49 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 50 T­¬ng tù, X (2)2 = x ∂ ∂x − y ∂ ∂y − 2y1 ∂ ∂y1 − 3y2 ∂ ∂y2 , X2u = −y = −u, X (1)2 v = −2y1 = −2v, X (2)2 v1 = − y2 y1 = −v1. th× X (1)2 U(u, v) = 0, X (2) 2 V (u, v, v1) = 0; ta dÉn ®Õn U = u v2 , V = v1 u . Do ®ã ph­¬ng tr×nh vi ph©n bËc 3 (PT Blasius) ®­îc ®­a vÒ d¹ng dV dU = d((yy1) −1)y2 d(y−2y1) = y2y1y3 − y2(y2)2 − y(y1)2y2 y(y1)2y2 − 2(y1)4 = 1 2y 3y1y2 + y 2(y2) 2 + y(y1) 2y2 2(y1)4 − y(y1)2y2 . BiÕn ®æi theo u vµ v ph­¬ng tr×nh trë thµnh ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I dV dU = V U [ 1 2 + V + U 2U − V ] . (2.41) NÕu V = φ(U ;C1) lµ nghiÖm tæng qu¸t cña (2.41) th× ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I v1 = dv du = uφ( v u2 ;C1), (2.42) nhËn ®­îc X (1)2 = −u ∂ ∂u − 2v ∂ ∂v . BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng b»ng hÖ to¹ ®é chÝnh t¾c r = v u2 , s = ln |v|, ph­¬ng tr×nh vi ph©n (2.42) trë thµnh ds dr = φ(r;C1) r(φ(r; c1)− 2r . (2.43) §iÒu nµy dÉn ®Õn phÐp cÇu ph­¬ng v = C2exp {∫ r φ(ρ;C1) ρ(φ(ρ;C1) = 2ρ) dρ } , (2.44) khi v = y1, r = y1/y2. Theo nguyªn t¾c, (2.44) cã thÓ khai triÓn d­íi d¹ng nghiÖm tæng qu¸t y′ = Ψ(y;C1, C2). 50 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 51 Ta nhËn ®­îc X1 = ∂ ∂x vµ sau ®ã ®­a ®­îc vÒ d¹ng phÐp cÇu ph­¬ng sau: ∫ dy Ψ(y;C1, C2) = x + C3. (2.45) Ph­¬ng tr×nh (2.45) biÓu diÔn nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh Blasius. VÝ dô 2.2.9. VÝ dô tiÕp theo chóng ta xÐt ph­¬ng tr×nh vi ph©n bËc 3 yy′ ( y y′ )′′ = ±1. (2.46) Ph­¬ng tr×nh nµy cã ®­îc khi nghiªn cøu vÒ tÝnh chÊt cña ph­¬ng tr×nh sãng víi vËn tèc sãng y(x). Ph­¬ng tr×nh vi ph©n (2.46) hiÓn nhiªn nhËn ®­îc nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi 2 tham sè x∗ = ax + b, y∗ = ay. Ta dÔ dµng thÊy r»ng hµm vi ph©n bÊt biÕn t­¬ng øng víi nhãm trªn lµ U = y′, V = yy′′. Do ®ã, ph­¬ng tr×nh vi ph©n (2.46) ®­a vÒ d¹ng dV dU = 2 V U ∓ U V . (2.47) NgÉu nhiªn, ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I (2.47) nhËn ®­îc nhãm Scalings U∗ = λU, V ∗ = λV. Cho nªn, nghiÖm tæng qu¸t cña PTVP (2.47) t×m ®­îc mét c¸ch dÔ dµng U−2 [(V U )2 ∓ 1 ] = const. (2.48) Cã 2 tr­êng hîp x¶y ra phô thuéc vµo kÝ hiÖu h»ng sè ë (2.48). Ta sÏ xÐt tr­êng hîp khi h»ng sè ®­îc cho bëi ω2 ≥ 0, ω = const. Trong tr­êng 51 www.VNMATH.com 2.2. øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao 52 hîp nµy, ®Ó thuËn tiÖn ta chän hµm vi ph©n bÊt biÕn cÊp I t­¬ng øng víi hµm bÊt biÕn d­íi c¸c biÕn ®æi cña x nh­ mét biÕn míi: u = y; v = y′ = U. Khi ®ã, (2.48) trë thµnh ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I dv du = √ ω2v ± 1 u . (2.49) NghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n (2.49) v = 1 2ω [(ρu)ω ∓ (ρu)−ω], (2.50) trong ®ã, ρ lµ mét h»ng sè tuú ý. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t trong c«ng thøc biÕn ®æi nhãm Scalings cña x vµ y ta cho ρ = 1. Khi ®ã ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I (2.46) ®­îc ®­a vÒ d¹ng y′ = 1 ω [yω ∓ y−ω]. ChuyÓn sang d¹ng to¹ ®é ta cã: y′ = 1 2ω sinh(ω ln |y|), (2.51) hoÆc y′ = 1 2ω cosh(ω ln |y|). (2.52) NÕu h»ng sè trong (2.48) ®­îc cho bëi −ω2 ≤ 0, th× víi tiÕn tr×nh t­¬ng tù ta thu ®­îc d¹ng to¹ ®é gän h¬n cho ph­¬ng tr×nh vi ph©n (2.46) y′ = − 1 ω sin(ω ln |y|). (2.53) TÝnh chÊt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n (2.53) rÊt thó vÞ. 52 www.VNMATH.com KÕt luËn 53 KÕt LuËn Môc ®Ých chÝnh cña khãa luËn lµ ®­a ra tÝnh chÊt ®èi xøng cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n, tõ ®ã ®­a ra øng dông cña tÝnh chÊt ®ã trong nhãm Lie vµ ®¹i sè Lie nh»m biÕn ®æi ®Ó gi¶i nh÷ng ph­¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng gi¶i ®­îc b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng. C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña khãa luËn lµ: • Tæng hîp l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ lý thuyÕt nhãm Lie, §¹i sè Lie. • Tr×nh bµy, ph©n tÝch vµ b×nh luËn c¸c bµi to¸n Ph­¬ng tr×nh vi ph©n gi¶i ®­îc nhê viÖc ®­a ra tÝnh ®èi xøng cña nghiÖm vµ nhãm Lie, ®¹i sè Lie; nªu lªn ý nghÜa c¬ b¶n cña nã trong gi¶i Ph­¬ng tr×nh vi ph©n. • Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p ®· nghiªn cøu ®Ó øng dông gi¶i mét sè vÝ dô cô thÓ c¸c Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I, c¸c Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao; lµm s¸ng tá mét sè kÕt qu¶ to¸n häc vÒ øng dông tÝnh ®èi xøng cña nghiÖm trong gi¶i Ph­¬ng tr×nh vi ph©n. 53 www.VNMATH.com Tµi liÖu tham kh¶o 54 Tµi liÖu tham kh¶o [1]. P.Eisenhart (1961), Continuous groups of transformations, Dover, New York. [2]. Gilmore (1974), Lie groups, Lie algebras and some of their applications, Wiley, New York. [3]. N.H. Ibragimov (1985), Transformation groups applied to mathematical physics, Reidel, Boston. [4]. Hans Stephani (1989), Differential equation - Their solution using sym- metries, University Press, Cambridge, UK. [5]. George W.Bluman and Stephen C. Anco (2002), Symmetry anh Inte- gration Methods for Differential Equations, Springer - Vertal NeW York, Inc. [6]. NguyÔn ThÕ Hoµn, Ph¹m Phu (2003), C¬ së ph­¬ng tr×nh vi ph©n vµ lÝ thuyÕt æn ®Þnh, NXB Gi¸o Dôc. [7]. TrÇn V¨n Tr¶n, Ph­¬ng ph¸p sè thùc hµnh - tËp I, II, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi. 54 www.VNMATH.com