Khóa luận Phân loại và phương pháp giải bài tập Điện động lực vĩ mô

lí dòng toàn phần, ta có: 2rjIldH L π==∫ Vì H và ld cùng phương chiều và trên đường lấy lưu thông H có độ lớn không đổi, nên: rHdlHldH LL π2== ∫∫ Suy ra: 2 jrH = α r → Bd lId O ⊕ 43 Áp dụng công thức BH oµ 1= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có: [ ] 2 , rjHB oo µµ == r là bán kính vectơ hướng từ O đến M. ¾ Nhận xét: Với các phân bố có dạng đối xứng trụ như bài toán 2, thì chúng ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải nhờ định lí dòng toàn phần. Bài toán 3: Trong một mặt phẳng vuông góc với các đường cảm ứng từ của một từ trường đều B, người ta đặt một dây dẫn uốn thành nửa vòng tròn. Dây dẫn dài a trong có dòng điện I chạy qua. Xác định độ lớn của lực từ F tác dụng lên dây dẫn. Cho rằng dây cứng và bỏ qua biến dạng. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm tương tác. Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục. ¾ Lời giải: Mỗi phần tử lId chịu tác dụng của lực từ Fd có phương hướng tâm nên có tính chất đối xứng qua On. Xét phần tử lId chịu lực từ Fd có phương qua tâm vòng dây, chiều hướng ra xa tâm, và độ lớn: IBdldF = ( lId vuông góc với B ) Theo nguyên lí chồng chất: ∫∫∫ +== nt FdFdFdF ( tích phân trên nửa đường tròn) Vì lí do đối xứng, nên: 0=∫ tFd Các vectơ nFd đều cùng phương cùng chiều, do đó: ∫ ∫∫ === αα sinsin BIdldFdFF n Với απ d adl = ( ) π παπααπ π BIaBIadBIaF 2 0 cossin 0 =−==→ ∫ lId lId → nFd → Fd I →⊕B → nFd dα α → Fd → tFd →→ ∫= nFF O n 44 ¾ Nhận xét: Qua bài toán chúng ta đã tìm lực tác dụng của từ trường lên một đoạn dây dẫn mang dòng điện. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng tương tự để tính lực của từ trường tác dụng lên dòng điện kín. Bài toán 4: Tính năng lượng từ trường do dòng điện thẳng rất dài cường độ I, trong một hình trụ bán kính R, chiều cao h đặt trong không khí nhận dây dẫn làm trục đối xứng. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ¾ Lời giải: Vì dây dẫn dài nên trường có phân bố đối xứng trụ. Chọn đường tròn L, bán kính r, tâm nằm trên dòng điện, chiều của L trùng với chiều của đường cảm ứng từ. Áp dụng định lí dòng toàn phần: IldH L =∫ Trên đường lấy lưu thông, H có độ lớn không đổi, nên: r IHIrH IdlH L ππ 22 =→=⇔ =∫ r H HB oo π µµ 2 == Chọn dV là lớp trụ đồng trục với hình trụ đã cho có bán kính từ r đến r + dr. hrdrdV π2= RIh r drhIhrdr r I r I BHdVW o R o V o V ln 44 12 222 1 2 1 2 0 2 µππµπππ µ ==== ∫∫∫ ¾ Nhận xét: Từ trường luôn mang năng lượng. Qua bài toán này, chúng ta đã tìm năng lượng từ trường của một phân bố đối xứng trụ. Áp dụng cách giải tương tự, chúng ta sẽ tìm năng lượng từ trường của các phân bố có dạng khác. ˆ Kết luận: Trong mức độ bài tập hiểu, chúng ta đã tiến hành giải các bài tập như tìm trường, tìm lực tương tác, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản. Đối với các phân bố không đối xứng thì chúng ta chia phân bố thành những phần tử nhỏ rồi sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace để tìm trường của phân bố. Còn đối với những phân bố đối xứng, việc giải có phần nhẹ nhàng hơn khi ta sử dụng định lí dòng toàn phần. Sau khi đã giải một số bài tập ở phần này, người học sẽ hiểu các kiến thức mà mình được học. b) Bài tập vận dụng Ở bài tập vận dụng, chúng ta sẽ vận dụng những kiến thức, những kết quả ở bài tập hiểu để giải quyết những bài toán có nội dung yêu cầu cao hơn. Chúng ta sẽ tìm trường của một số phân bố tương đối phức tạp hơn các phân bố ở bài tập hiểu, tìm các lực và năng lượng của từ trường. Bd L M r O I R h 45 Bài toán 1: Một phân bố dòng có dạng tam giác đều cạnh a, mang cường độ dòng điện I đặt trong chân không. Tính cảm ứng từ và cường độ từ trường tại tâm của tam giác. ¾ Mục tiêu: Áp dụng định luật Biôt- Savar- Laplace xác định trường do nhiều phân bố dòng rời rạc gây ra. ¾ Lời giải: Vectơ cảm ứng từ B do dòng điện kín ABCA gây ra tại điểm O có thể xem là kết quả chồng chất từ trường gây ra bởi các đoạn mạch: 1B do cạnh AB, 2B do cạnh BC và 3B do cạnh CA. Theo nguyên lí chồng chất, ta có: 321 BBBB ++= * Cảm ứng từ 1B do AB gây ra tại O: Chia đoạn AB thành những vi phân dl. Phần tử lId gây ra tại O một vectơ: 31 4 r rlIdBd o ∧= π µ Với mọi lId đều gây ra tại O các vectơ 1Bd cùng phương, cùng chiều, nên: ∫= L o r IdlB 21 sin 4 θ π µ Trong đó: ( ) ( ) θθπθ θθθθπθ sin sinsin sin 2 hr r h dhdl tg hhtgtg =→=−= =→−=→−=−−= ll Suy ra: ( ) 6 6 5 2 2 2 1 cos 6 34 sin 4 sin sin sin 4 6 5 6 6 5 6 π π θπ µθθπ µ θ θθθ π µ π π π π −=== ∫∫ a Id h I h dh IB ooo ( )T a I a I oo π µ π µ 2 3 2 3 2 3 32 3 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += 46 Do 321 BBB ↑↑↑↑ và vì tam giác ABC đều nên: B1=B2=B3 Vậy: 2321 3BBBBB =++= a I BB oπ µ 2 9 3 1 == Cường độ từ trường: a IBH BH o o πµ µ 2 9== = ¾ Nhận xét: Chúng ta đã vận dụng cách giải của bài toán 1 ở mức bài tập hiểu để xác định trường do ba phân bố dòng rời rạc gây ra. Ngoài ra, chúng ta có thể ứng dụng để tìm trường do nhiều phân bố dòng rời rạc, và có các hình dạng khác nhau. Bài toán 2: Tính thế vectơ và từ trường tạo bởi một dòng điện một chiều I chạy theo một dây dẫn hình trụ vô hạn tiết diện tròn bán kính a. Hệ số từ thẩm của dây bằng oµ và của môi trường bao quanh vật dẫn lൠ. Giải bài tập bằng phương trình Poisson của thế vectơ A . ¾ Mục tiêu: Trong bài tập này, chúng ta tìm trường của một phân bố đối xứng trụ. Ngoài ra, chúng ta còn làm rõ mối quan hệ của thế vectơ và cảm ứng từ. Thêm vào đó chúng ta sẽ thấy được sự phân bố của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. ¾ Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ trụ, có Oz trùng với trục của hình trụ. Mặt phẳng (xOy) chứa điểm cần xét. Ta có: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = zz ry rx ϕ ϕ sin cos Vì tính chất đối xứng trụ, nên: ( ) ( )rAzrA =,,ϕ * ar ≤≤0 : Phương trình Poisson trong tọa độ trụ: jA ot µ−=∆ j z AA rr Ar rr o ttt µϕ −=∂ ∂+∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂⇔ 2 2 2 2 2 11 Chiếu lên trục tọa độ, ta được: jA ozt µ−=∆ ; 0=∆ tAϕ ; 0=∆ rtA Từ đó, ta được: Azt, Aϕt=const. Ta chọn: Azt=0, Aϕt=0 ϕ x y z r O j M 47 j dr dAr dr d r o zt µ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ 1 jrdr dr dArd ozt µ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ Crj dr dAr ozt +−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ 2 2 µ dr r CdrrjdA ozt +−=⇔ 2µ DrCrjA ozt ++−=⇔ ln4 2 µ * ar ≥ : Phương trình Laplace trong tọa độ cầu: 0=∆ nA Tương tự ta có: 01 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ dr dAr dr d r zn 0=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ dr dArd zt E dr dA r zn =⇔ FrEAzn +=⇔ ln * Điều kiện liên tục: + Từ trường tại tâm bằng 0: 00 0 =→== CrBt + Chọn thế ở tâm bằng 0: 00 0 =→== DrAzt + ar B ar B nt === jaE a Eaj µµ 22 2 −=→=−⇔ + ar A ar A znzt === ajaajaEajFFaEaj ooo ln24 ln 4 ln 4 2222 µµµµ +−=−−=→+=−⇔ 48 Vậy: 22 2 2 444 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=−=−= a rIr a IrjA ooozt πµπµµ aajajrajA ozn ln24 ln 2 222 µµµ +−−= a ra a Ia a I a rajaj oo ln24 ln 24 2 2 2 2 22 πµπµµµ −−=−−= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= a rIA ozn ln24 µµπ * Cảm ứng từ B: r Ae r AeAe A zr eee ArotB zzzr z zr ∂ ∂−=∂ ∂−∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂== ϕϕ ϕ ϕϕ 00 Chỉ có từ trường theo phương của ϕ : 22 a IrB ot π µ ϕ = ; r IB n π µ ϕ 2 = ¾ Nhận xét: o Qua bài toán, chúng ta đã tìm trường và thế vectơ của một đối xứng trụ. Nhưng không phải dùng phương tiện là định lí dòng toàn phần, mà dùng phương trình Poisson của thế vectơ. Việc sử dụng phương trình Poisson của thế vectơ có phức tạp hơn nhiều so với những phương tiện khác. o Ngoài ra, qua bài toán chúng ta thấy được mối quan hệ giữa thế vectơ và cảm ứng từ, chúng ta làm rõ quy luật biến đổi của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. Bài toán 3: Một vật dẫn hình trụ tròn dài vô hạn, có một lỗ hổng cũng hình trụ dài vô hạn (tiết diện tròn của lỗ hổng hoàn toàn nằm trong vật dẫn; Một dòng điện không đổi, mật độ j chạy dọc theo vật dẫn. Tìm cảm ứng từ bên trong lỗ hổng. ¾ Mục tiêu: Vận dụng nguyên lý chồng chất theo hình thức mới để xác định trường. ¾ Lời giải: Ta xét trường hợp tổng quát khi M không trùng với trục O’ của khoảng rỗng. Theo nguyên lí chồng chất: cảm ứng từ 'B tại M trong khoảng rỗng bằng cảm ứng từ B trước khi khoét lỗ trừ đi cảm ứng từ ''B do thành phần dòng điện bị khoét gây ra tại M. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+= ''' BBB (1) 49 * Tính B : Sự phân bố dòng điện có dạng đối xứng trụ, do đó cảm ứng từ tại mọi điểm trên mặt trụ đồng trục với trục dây dẫn sẽ có độ lớn bằng nhau. Ta chọn đường lấy lưu thông là đường tròn bán kính r, đi qua M, tâm nằm trên trục hình trụ, áp dụng định lí dòng toàn phần, ta có: 2rjIldH L π==∫ Vì H và ld cùng phương chiều và trên đường lấy lưu thông H có độ lớn không đổi, nên: rHdlHldH LL π2== ∫∫ Suy ra: 2 jrH = Áp dụng công thức BH oµ 1= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có: [ ] 2 , rjHB oo µµ == r là bán kính vectơ hướng từ O đến M. * Tính ''B : Tương tự như trên, gọi 'r là bán kính vectơ có gốc ở O’ ngọn ở M, ta được: 2 , ' '' ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ = rj B oµ Thay B và ''B vào (1), ta được: [ ]djrrjB oo , 22 ''' µµ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= d là vectơ hướng từ O sang O’. ¾ Nhận xét: o Để giải bài toán, chúng ta đã xây dựng một phân bố mới tạo ra trường tương đương theo nguyên tắc của định luật Ohm ∑= i iII . Sau khi chuyển về phân bố tương đuơng việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn. 50 o Ở mức độ hiểu, chúng ta đã tìm trường do một phân bố đối xứng trụ gây ra. Ở bài tập này, chúng ta đã vận dụng cách làm đó để tính trường do hai phân bố đối xứng trụ gây ra. Do đã làm quen một phần đầu, nên khi gặp bài toán, chúng ta cũng thấy dễ hiểu hơn và thuận lợi trong khi giải. Bài toán 4: Một khung dây hình vuông ABCD trong có dòng điện I1, được đặt cách một dây dẫn thẳng dài vô hạn MN trong có dòng điện I2. Khung ABCD và dây MN cùng nằm trên một mặt phẳng và cạnh AD//MN. Mỗi cạnh khung dài b, và khoảng cách giữa AD và MN là a. Xác định lực từ tác dụng tương hỗ giữa khung dây và dây dẫn. Tính công của các lực từ thực hiện được khi ta dịch chuyển khung dây ra vô cực. Cho rằng khi khung dây chuyển động I1 và I2 giữ không đổi. ¾ Mục tiêu: Xác định lực do từ trường tác dụng lên khung dây, ngoài ra chúng ta còn tìm công của lực từ khi di chuyển khung dây ra vô cực. ¾ Lời giải: * Tính lực F: Để tính lực tương tác giữa dây MN và khung ABCD, ta chỉ cần tính lực do MN tác dụng lên khung. (Do hai lực đó bằng nhau). Chọn chiều của I1 và I2 như hình vẽ. Lực từ do dòng điện I2 tác dụng lên khung ABCD bằng tổng các lực do I2 tác dụng lên từng đoạn mạch AB, BC, CD và DA. Theo nguyên lí chồng chất: 4321 FFFFF +++= Chiều của 1F , 2F , 3F , 4F được xác định như trên hình. Vì dòng điện I1 chạy qua AB và CD là như nhau, độ dài của AB = CD = b, và chúng được đặt trong từ trường có vectơ B ở những điểm tương ứng của chúng đều bằng nhau, nên: 043 =+ FF Từ đó, ta có: 21 FFF += + Tìm 1F : Sử dụng định lí dòng toàn phần ta tính được trường do I2 gây ra tại một điểm trên cạnh DA là: a I B oπ µ 2 2 1 = Do tính chất đối xứng trụ nên từ trường này 51 là như nhau tại mọi điểm trên đoạn DA. Lực từ do I2 gây ra trên phần tử dòng ldI1 của DA là: 111 BldIFd ∧= Ta có: ldI1 vuông góc với 1B . Suy ra: a bIIbBIdlBIF o b πµ 2 21 11 0 111 === ∫ + Tính 2F : Tương tự như cách tính F1, ta tính được: ( )ba bIIbBIdlBIF o b +=== ∫ πµ 2 21210212 Vì hai lực 1F và 2F cùng phương, ngược chiều và F1>F2, nên: ( )baa bII baa bIIFFF oo +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=−= π µ πµ 2 11 2 2 2121 21 , F cùng chiều với 1F . * Tính công: Khi đưa khung dây tịnh tiến dọc theo trục Ox, lực F1 thực hiện công dương A1 còn lực F2 thực hiện công âm A2. Công do các lực thực hiện: dxFdxFAAA baa ∫∫ ∞ + ∞ −=+= 2121 ∫∫∫∫ +∞ + ∞ + + =−+= ba ababa ba a FdxFdxFdxFA 1211 b babII x dxbIIA o ba a o +== ∫+ ln22 2121 πµπµ ¾ Nhận xét: Qua bài toán, chúng ta đã đạt được mục tiêu đặt ra. Chúng ta đã vận dụng cách tìm lực tác dụng lên một dòng điện thẳng để tìm lực tác dụng lên một khung dây kín, bên cạch đó chúng ta lại tiếp tục vận dụng để tính công của lực từ sinh ra. Bài toán 5: Một dòng điện thẳng dài vô hạn I1, và một dòng điện tròn I2 bán kính a nằm trong cùng một mặt phẳng. Khoảng cách từ tâm vòng tròn đến dây điện thẳng dài bằng b>a. Tìm lực tác dụng lên dòng điện tròn. ¾ Mục tiêu: Ở bài toán này, chúng ta tìm lực tác dụng của từ trường lên một dòng điện tròn bằng cách áp dụng định nghĩa về công của lực từ. ¾ Lời giải: Từ trường do I1 gây ra tại một điểm trên đường tròn: 52 θπ µ π µ cos 1 22 11 1 rb I h I B oo −== Năng lượng của dây điện tròn I2 đặt trong từ trường của dây điện I1 bằng: ∫ ∫∫ −== a o S rb rdrdIISdBIW 0 2 0 21 12 cos42 1 π θ θ π µ (B1 vuông góc với dS). ( )2221 2 abbIIo −−= µ ( θrdrddS = ) Lực tác dụng lên dây điện tròn: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=∂ ∂−= 1 2 22 21 ab bII b WF oµ ¾ Nhận xét: Ở bài toán này, chúng ta lại có thêm một cách tính lực tác dụng của từ trường. Trong bài, chúng ta không dùng cách tính như bài toán thứ tư, vì nếu áp dụng cách tính đó sẽ phức tạp hơn nhiều. Tuy bài toán yêu cầu tìm lực tác dụng của từ trường, nhưng thông qua đó chúng ta cũng đã khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ˆ Kết luận: Qua mức bài tập này, chúng ta đã nâng mức độ nhận thức của mình lên một bậc, khi giải các bài tập tìm trường của một số phân bố phức tạp và các bài tập tìm lực tương tác, tìm năng lượng khác. Ngoài hai phương tiện mà chúng ta đã nói trên (định luật Biôt- Savar- Laplace và định lí dòng toàn phần), còn một phương tiện nữa đó là sử dụng phuơng trình Poissn của thế vectơ. Giải theo phương tiện này thì phức tạp hơn, nhưng đây là phương tiện thường dùng trong Điện động lực, vì thế chúng ta cần hiểu rõ. c) Bài tập phân tích tổng hợp Ở mức bài tập phân tích tổng hợp này, chúng ta sẽ tìm trường của các phân bố phức tạp hơn các phân bố của bài tập trước. Và chúng ta sẽ tìm trường của nam châm vĩnh cửu. Bài toán 1: Một quả cầu bán kính a, mang điện tích e phân bố đều trên mặt của nó và quay chung quanh một đường kính với vận tốc gốc ω . Tính từ trường bên trong và bên ngoài của quả cầu. ¾ Mục tiêu: Xác định trường của một quả cầu chuyển động quay. ¾ Lời giải: Mật độ điện tích mặt của quả cầu: 24 a e πσ = Khi quay, trên quả cầu xuất hiện dòng điện mặt, mật độ j. 53 Thế vectơ tạo bởi dòng điện đó: ∫ −= S o rr SdjA ' . 4π µ Trong đó: dS là diện tích nguyên tố của quả cầu. r là tọa độ của điểm tính trường. 'r là tọa độ của mẫu dS. Mặt khác ta có: ( )SdaSdj .ωσ= Suy ra: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∫ S o rr SdaA '4 ωσπ µ Theo công thức: ∫∫ ∇= dVdSn ϕϕ ∫∫ −−∇=−→ VS rr dV rr Sd '' ( dấu (-) vì tích phân lấy theo tọa độ của dS) Ngoài ra ta có: ∫ −∇−= Voo rr dVE '4 1 πε Eo là điện trường trong chân không bởi quả cầu tích điện đều, mật độ điện khối là a. ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > < = ar r ra arr E o o o , 3 , 3 1 3 2 ε ε Từ đó ta có: ( )ooo EaA ∧= ωσµε Hay ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >∧ <∧ = arr r a arr a A o o , 3 , 3 3 4 ωσµ ωσµ Mà ArotB = , tính toán ta được: ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >= <= = ar rr rr ar a ea B oo o o , 44 .3 , 63 2 35 π µµ π µµ π ωµωσµ 54 Với ωµ 2 2ea= là mômen từ của quả cầu. ¾ Nhận xét: Từ việc tìm thế vectơ A , thông qua mối quan hệ giữa A và B chúng ta sẽ tìm được B . Việc giải bài toán còn gặp nhiều khó khăn vì chúng ta phải sử dụng các công thức có dấu vectơ, và sử dụng phương tiện mới so với các bài tập khác. Bài toán 2: Xác định năng lượng trên một đơn vị dài của một đường dây điện kép. Đường dây gồm hai dây dẫn thẳng song song, bán kính của chúng là a và b, khoảng cách giữa các trục của các dây dẫn là h. Trong các dây dẫn có các dòng điện I cường độ như nhau nhưng chiều ngược nhau. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ¾ Lời giải: Năng lượng trên một đơn vị dài của đường dây được tính theo công thức: ( )∫= V dVjAW . 2 1 Theo bài toán 2 của bài tập vận dụng, ta tính được thế vectơ của dây dẫn mang dòng điện: Đối với dây dẫn 1: ( ) ( )ar a rIA arr a IA o z o z >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= <−= 1 1 2 1 2 121 ,ln21 4 , 4 π µ π µ Đối với dây dẫn 2: ( ) ( )br a rIA brr a IA o z o z >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += <= 2 2' 2 2 2 22 ' 1 ,ln21 4 , 4 π µ π µ Vì jA ↑↑ , ta được: ( ) ( ) 2'2'121212 21 22 dSAA b IdSAA a IW S zz S zz ∫∫ +−+= ππ Thay các giá trị của thế vectơ vào, ta tính được năng lượng: 55 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ab hIW 2 2 ln21 2 1 ¾ Nhận xét: Chúng ta sử dụng kết quả của thế vectơ ở bài tập vận dụng, sau đó đưa vào biểu thức tính năng lượng. Chúng ta tính các giá trị của tích phân và sẽ tìm được giá trị của năng lượng. Bài toán 3: Một nam châm vĩnh cửu hình trụ, tròn, thẳng, dài l, đường kính d. Biết cảm ứng từ tại cực của nam châm có độ lớn B. Hãy xác định vectơ từ hóa J , biết rằng nam châm được từ hóa đều và vectơ J nằm dọc theo trục của nam châm. Xác định cảm ứng từ Bo tại tâm của nam châm. ¾ Mục tiêu: Xác định trường của nam châm vĩnh cửu. ¾ Lời giải: * Vectơ từ hóa J: Nam châm vĩnh cửu hình trụ tròn, thẳng, dài tương đương với một xôlênôit dài với mật độ điện mặt vi mô JiS =' Áp dụng công thức: ( )12 coscos2 αα µ −= nIB o Ta lại có: JinI S == ' ( )12 coscos2 αα µ −=→ JB o Nếu lấy điểm giữa của nam châm làm gốc tọa độ và trục trùng với trục của nam châm thì: 222 2 dz 2 1 z 2 1 cos ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − − =α 222 22 1 2 1 cos ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + −= dz z α Khi 2 lz = , ta được: 224 dl JlB o + = µ l dlBJ oµ 224 +=→ ⋅ A z O d l α1 α2 56 * Cảm ứng từ Bo tại tâm của nam châm: Tại điểm giữa của nam châm có z = 0, ta được: 22 22 22 4 dl dlB dl JlB oo + += + = µ ¾ Nhận xét: Bài tập xác định trường do một nam châm vĩnh cửu gây ra khó hơn nhiều so với các bài tập xác định trường của các phân bố dòng điện. ˆ Kết luận: Khi giải phần bài tập này, đòi hỏi chúng ta phải tổng hợp nhiều kiến thức liên quan. Các bài tập chúng tôi đưa vào để giúp cho người đọc tham khảo thêm. d) Một số bài tập đề nghị Bài 1: Một dây dẫn được uốn thành đa giác đều, có n cạnh; đường tròn ngoại tiếp với đa giác có bán kính a. Trong dây dẫn có dòng điện I chạy qua. Xác định độ lớn của vectơ cảm ứng từ B tại tâm của đa giác. ĐS: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= n tg a In B o ππ µ 2 Bài 2: Một dây dẫn được uốn thành mạch điện như hình, trong đó có dòng điện I. Tìm độ lớn cảm ứng từ B tại tâm O của cung tròn. Biết bán kính của cung tròn bằng a. ĐS: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 4 31 2 π µ a IB o Bài 3: Dây dẫn L1 thẳng dài vô hạn, mang dòng điện I1, Dây dẫn L2 thẳng dài L mang dòng điện I2. Đặt L2 vuông góc với L1, cách L1 một đoạn a. Xác định lực từ mà L1 tác dụng lên L2. ĐS: a LaIIF o += ln 2 21 π µ Bài 4: Tìm năng lượng của một đơn vị chiều dài của một dây gồm bởi hai hình trụ đồng trục với các bán kính R1 và R2 (R1<R2), không gian giữa chúng chứa đầy chất với độ từ thẩm là µ. ĐS: 2 1 2 ln 4 R RIW π µ= Bài 5: Bên trong một vỏ dẫn điện hình trụ mỏng bán kính b có một dây dẫn bán kính a hệ số từ thẩm oµ đặt cùng trục với vỏ. Không gian giữa dây dẫn và vỏ chứa một chất có hệ số từ thẩm µ . Tìm hệ số tự cảm L của hệ dây dẫn này trên một đơn vị dài. m a O P Q R θ1 θ2 57 ĐS: a bL o ln22 1 µµ += 2.3. Trường chuẩn dừng 2.3.1. Cơ sở lý thuyết Trong hai chương đầu, chúng ta đã nghiên cứu các trường tĩnh và trường dừng, là những trường hợp không biến thiên theo thời gian. Ta thấy rằng, đối với trường tĩnh và trường dừng thì điện trường và từ trường độc lập với nhau, và có thể khảo sát riêng rẽ. Ở chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các trường biến thiên chậm theo thời gian, lúc này thì điện trường biến thiên và điện trường biến thiên có quan hệ gắn bó với nhau, không thể tách rời. Như đã nói ở trên trường chuẩn dừng là những trường biến thiên chậm theo thời gian, nên nó phải thỏa mãn hai điều kiện: ™ Điều kiện dòng điện dịch: maxmax j t D <<∂ ∂ ™ Điều kiện về không gian: Kích thước của không gian khảo sát rất nhỏ so với bước sóng của sóng điện từ. Do đặc thù của chương, chúng tôi phân bài tập thành hai dạng: ™ Các hiện tượng chuẩn dừng trong các dây dẫn thẳng. ™ Các dòng xoáy và hiệu ứng mặt ngoài. 2.3.2. Phân loại và giải bài tập a) Bài tập hiểu Bài toán 1: Một khung dây phẳng quay với vận tốc góc không đổi trong từ trường đều, trục quay vuông góc với trường. Cảm ứng từ của từ trường là B, diện tích của khung dây là S. Tính: a. Sức điện động cảm ứng của khung dây. b. Cường độ dòng điện, biết rằng điện trở của khung dây là R, độ tự cảm là L. ¾ Mục tiêu: Trong bài tập này, chúng ta khảo sát sự biến đổi của từ trường qua một khung dây. Khi từ trường qua khung dây biến thiên thì sẽ làm xuất hiện trong khung dây một suất điện động cảm ứng và dòng điện cảm ứng. Chúng ta sẽ tìm giá trị của chúng. ¾ Lời giải: a. Tại thời điểm t, góc hợp bởi pháp tuyến của khung dây và phương của trường là: ot ϕωϕ += Trong đó, oϕ là góc tương ứng lúc t = 0. Từ thông: ( )otBS ϕωφ += cos 58 Ta có: [ ] ( )oocu tSBtSBdt d dt d ϕωωϕωφε +=+−=−= sin)cos( b. Mạch điện tương ứng: Cường độ dòng điện trên khung dây thỏa mãn phương trình: cuiRdt diL ε=+ ( )otSBiRdt diL ϕωω +=+⇔ sin * Nghiệm tổng quát của phương trình không vế phải: tL R AeiiR dt diL −=→=+ 10 * Nghiệm riêng của phương trình có vế phải: ( )α−ϕ+ωω+ ω= o222o tsinLR SBi Với R Ltg ωα = Vậy: ( )αϕωω ω −+ + +=+= − oto t LR SBAeiii L R sin 2221 ¾ Nhận xét: o Nghiệm tổng quát tLRAei −=1 là nghiệm tắt dần, sau thời gian quá độ i1 được coi là tắt hẳn trong mạch chỉ còn dòng cưỡng bức. o Thông thường chọn lúc t = 0, i1=0 nên A=0, còn oϕ và α tùy thuộc vào vị trí tương đối của khung và B lúc t =0. Bài toán 2: Một tụ điện C được tích điện với điện tích qo. Mắc tụ điện vào một mạch kín có điện trở R và tự cảm L. Xác định điện tích trên các bản của tụ điện là hàm của thời gian. Cho rằng C LR 4> ¾ Mục tiêu: Khảo sát dòng điện tắt dần trong mạch điện R, L, C, lúc t =0 tụ được tích điện. ¾ Lời giải: ·~· εcu R L 59 Sơ đồ mạch điện: Hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện là: C qu = Ta có phương trình: C qiR dt diL =+ Trong đó: dt dqi −= Suy ra: 02 2 =++ C q dt dqR dt qdL 012 2 =++⇔ q LCdt dq L R dt qd * Phương trình đặc trưng: 012 =++ LC r L Rr LC 4 L R LC 14 L R 22 −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=∆ Theo giả thiết, C LR 4> nên 0>∆ 2 42 1 LCL R L R r −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+− = ; 2 42 2 LCL R L R r −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−− = * Nghiệm của phương trình: trtr eCeCq 21 21 += * Từ điều kiện ban đầu khi t=0, thì: + ( )121 oo qCCqq =+⇔= + 0=−= dt dqi trtr erCerC dt dq 21 2211 += R L C, qo 60 ω L C ( ) ( )202211 =+−⇔ rCrC Từ (1) và (2): oo qrr rCq rr rC 12 1 2 12 2 1 ; −=−= Vậy điện tích trên bản tụ là: tr o tr o eqrr req rr rq 21 12 1 12 2 −+−= Với r1 và r2 được tính như trên. ¾ Nhận xét: Trạng thái dao động của mạch phụ thuộc vào quan hệ giữa các thông số của mạch. Bài toán 3: Một mạch gồm một tụ điện có điện dung C và cuộn tự cảm L mắc song song (bỏ qua điện trở của mạch). Mắc nối tiếp mạch trên vào một mạch có một nguồn biến thiên tần số ω. Hỏi với điều kiện nào của tần số ω thì cường độ dòng điện trong mạch bằng không? ¾ Mục tiêu: Trong bài này, chúng ta khảo sát mạch điện gồm có L và C. Ở đây, chúng ta đi tìm điều kiện để dòng điện trong mạch bằng không. ¾ Lời giải: Mạch điện: Điện trở phức của tụ điện và cuộn tự cảm là: LiZ C iZ ωω =−= 21 ; Hai điện trở này được mắc song song với nguồn có suất điện động ε. Cường độ dòng điện trong mạch là: ( )1111 2 21 −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +== LC L i Lii C ZZZ I ωω ε ω ωεεε Điều kiện để cho I = 0 là: LC LC 101 22 =⇔=− ωω 61 ¾ Nhận xét: Dòng điện qua L và C là ngược pha nên dòng tổng hợp 0=+= CL iii . Hiện tượng mô tả trong mạch gọi là hiện tượng cộng hưởng dòng. ˆ Kết luận:Với mức độ bài tập hiểu, chúng ta đã khảo sát một số mạch điện đơn giản. Để giải được các bài tập về mạch điện, việc làm đầu tiên của chúng ta là vẽ sơ đồ mạch điện tương ứng với bài toán. Từ sơ đồ, chúng ta mới đi thiết lập phương trình vi phân cho mạch điện. Sau khi thiết lập phương trình vi phân cho mạch điện, chúng ta sẽ tìm cách giải các phương trình vi phân đó và tìm ra đại lượng cần tìm. b) Bài tập vận dụng Bài toán 1: Một mạch dao động gồm một cuộn tự cảm L, hai tụ điện C1 nối tiếp với C2. Lúc đóng mạch, điện tích ở C1 là Q, còn trên C2 = 0. Tính cường độ dòng điện trên mạch. ¾ Mục tiêu: Ở bài này, chúng ta sẽ khảo sát mạch điện với một cuộn cảm L và hai tụ điện C. Chúng ta sẽ tìm phương trình cường độ dòng điện qua mạch. ¾ Lời giải: Mạch điện: Ta có: dt diL CC q C qu AB =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +== 21 11 dt idL CCdt dq 2 21 11 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⇔ Mà: dt dqi −= 011 21 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++→ CC i dt idL 0 21 21 2 2 =++⇔ i LCC CC dt id Đặt LCC CC 21 212 +=ω 02'' =+→ ii ω Nghiệm của phương trình: ( )ϕω += tIi o sin * Điều kiện ban đầu: L C2 C1 .. A B 62 + Khi t = 0, I = 0 00sin =→=→ ϕϕoI + 10 LC Q tdt di ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ tI dt di o ωω cos= 110 LC QI LC QI tdt di oo ωω =→===⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Vậy: t LC Qi ωω sin1= Với: LCC CC 21 212 +=ω ¾ Nhận xét: Mạch dao động lí tưởng được duy trì nhờ sự biến đổi năng lượng điện trường thành năng lượng từ trường và ngược lại. Bài toán 2: Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung C và cuộn thuần cảm có độ tự cảm L. Ở một thời điểm nào đó, người ta mắc vào hai bản của tụ điện một nguồn có suất điện động không đổi ε và điện trở R. Viết biểu thức của dòng điện chạy qua cuộn cảm. Biết rằng sau thời gian 2RC thì dòng điện qua cuộn cảm đạt giá trị bảo hòa, tần số dao động riêng của mạch: RCLCo 2 11 ==ω ¾ Mục tiêu: Chúng ta sẽ khảo sát mạch điện có cả R, L, C với nguồn điện không đổi. ¾ Lời giải: Mạch điện: Phương trình nút tại A: i3 = i1+i2 (1) Định luật Ohm cho đoạn mạch: ( )23Riu AB −= ε 22 1 2 11 i dt idLC dt dq dt diLCq dt diL C qu AB ==→=→== (3) L i1 ε, R i2 i3 A B C 63 Từ (1) và (2): ( )Riiu AB 21 +−= ε Thay (3) vào phương trình trên: dt diLR dt idLCiu AB 12 1 2 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= ε 1 1 12 1 2 ε=++⇔ dt diLRi dt idRLC RLC i LCdt di RCdt id ε=++⇔ 1121 2 11 Để biểu thức đơn giản, ta thay i1 bằng i: RLC i LCdt di RCdt id ε=++ 112 2 * Phương trình không vế phải: 0112 2 =++ i LCdt di RCdt id + Phương trình đặc trưng: 0112 =++ LC r RC r 0 2 141141 222 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=∆ RCRCLCRC RC r 2 1−= + Nghiệm của phương trình thuần nhất: rtrt teCeCi −− += 21 * Nghiệm riêng của phương trình có vế phải: R i ε= Vậy nghiệm tổng quát của phương trình có vế phải: RRC ttC RC tCi ε+⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−+⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−= 2 exp 2 exp 21 * Điều kiện bài toán: + Khi t = 0, I = 0 R C R C εε −=→=+→ 11 0 + Dòng đạt giá trị bão hòa: R ii tbh ε== ∞→ lim Theo đề bài, khi t = 2RC thì R i ε= 64 R L u1 Ta có: ( ) CR C RRRC RCRCC RC RC R 22 2 2 2 2exp2 2 2exp ε εεε =→ =+⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−+⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− Vậy dòng điện chạy qua cuộn cảm là: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= − RC t e RC t R i 2 2 11ε ¾ Nhận xét: Trong bài chỉ yêu cầu tìm phương trình dòng điện qua cuộn cảm L, áp dụng cách làm tương tự, chúng ta cũng tìm được phương trình dòng điện qua C và phương trình dòng điện của mạch. Bài toán 3: Người ta đặt vào một mạch điện gồm điện trở R và cuộn thuần cảm có độ tự cảm L mắc nối tiếp một xung điện thế hình chữ nhật có dạng: ( ) ⎩⎨ ⎧ ≤≤ >∨<= TtU Ttt tu o 0, 0,0 1 Viết biểu thức của điện thế ( )tu2 hai đầu cuộn cảm. ¾ Mục tiêu: Khảo sát mạch điện có R và L, với nguồn biến đổi theo thời gian. ¾ Lời giải: Mạch điện: Ứng với các giai đoạn của u1(t), ta cũng chia u2(t) theo các giai đoạn tương ứng. * Tt ≤≤0 Phương trình tương ứng: oUdt diLiR =+ 1 ' ' = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ⇔ −=⇔ −=⇔ i L R L U i i L R L Ui i L R L U dt di o o o 65 L R i L R L U i L R L U o o −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ⇔ ' t L R o t L R o e R AL R Ui Aei L R L U − − −=⇔ =−⇔ + Khi t = 0, I = 0 L U A R AL R U oo =→−=→ 0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=→ − tL R o e R Ui 1 Mà ( ) ( ) tLRoeUtudt diLtu −=→= 22 * t < 0 Phương trình tương ứng: 0=+ dt diLiR t L R Bei t L Ri dt L R i di i L R dt di −=⇔ −=⇔ −=⇔ −=⇔ ln + Khi t = 0, I = 0 0=→ B Vậy 0=i Mà ( ) ( ) 022 =→= tudt diLtu * t > T Tương tự: t L R Cei −= + Khi t = T, ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=→=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −− 11 TL R oTL RT L R o e R UCCee R U 66 R L ∼ ε Vậy t L RT L R o ee R Ui − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 1 ( ) tLRTLRo eeUtu −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=→ 12 Vậy: ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ≤≤ < = − − TteeU TteU t tu t L RT L R o t L R o ,1 0, 0,0 2 ¾ Nhận xét: o Với nguồn biến đổi gián đoạn cần thiết lập các phương trình tương ứng với các miền của nguồn. o Giữa các miền có điều kiện biên là cơ sở giúp chúng ta tìm được các hằng số tích phân của bài toán. o Trường chuẩn dừng do các nguồn có dạng xung thế được sử dụng nhiều trong kỹ thuật vô tuyến điện. ˆ Kết luận: Sau khi giải một số bài tập có mạch điện đơn giản ở mức độ nhận thức hiểu. Trong mục này, chúng ta khảo sát những mạch điện khó hơn một chút, là những mạch dao động, mạch có cả R, L, C, mạch có xung điện thế hình chữ nhật. Để giải các bài tập này đòi hỏi chúng ta phải giải các phương trình vi phân phức tạp và phải biết thiết lập các phương trình tương ứng với các miền của nguồn. c) Bài tập phân tích tổng hợp Bài toán 1: Ở thời điểm t = 0 người ta mắc một nguồn có suất điện động ( )oo t ϕωεε += cos vào mạch gồm có điện trở R và cuộn cảm có độ tự cảm L mắc nối tiếp. Xác định biểu thức cường độ dòng điện trong mạch. Với giá trị nào của pha ban đầu oϕ thì hiện tượng chuyển tiếp trong mạch không xuất hiện. ¾ Mục tiêu: Xác định biểu thức của i. Áp dụng các điều kiện ban đầu để tìm hiểu các hiện tượng chuyển tiếp. ¾ Lời giải: Mạch điện: 67 Phương trình mạch điện: ( )oo tdt diLiR ϕωε +=+ cos ( )oo tLiL R dt di ϕωε +=+⇔ cos (1) * Phương trình không vế phải: 0=+ i L R dt di Nghiệm: t L R Cei −=1 * Nghiệm riêng của phương trình có vế phải có dạng: ( ) ( )ooo tBtAi ϕωϕω +++= sincos * Nghiệm tổng quát của phương trình có vế phải: ( ) ( )ootL R tBtACei ϕωϕω ++++= − sincos Suy ra: ( ) ( )ootL R tBtACe L Ri ϕωωϕωω +++−−= − cossin' Thay i và i’ vào (1), ta được: ( ) ( ) ( )oooo tLtAL RBtB L RA ϕωεϕωωϕωω +=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + cossincos ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += +=⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =− =+ → 22 222 2 2 2 2 2 0 RL R A RL LB L BRA LL RB L RA L RB L B L RA o ooo ω ε ω ωε ω ωεω ω ωεωω Ta được: ( ) ( ) ( )[ ]ooo t L R tLtR RL Cei ϕωωϕωω ε +++++= − sincos 22 Trong đó: ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++=+++ oooo tR LtRtLtR ϕωωϕωϕωωϕω sincossincos Đặt R Ltg ωϕ = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]oooo ttRttR ϕωϕϕϕωϕϕωϕ ϕϕω +++=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++→ sinsincoscos cos sin cos sincos ( )ϕϕωϕ −+= ot R cos cos 68 ( )2221 1cos ωϕ ϕ LR R tg + = + = ( ) ( ) ( )ϕϕωω εω −++ ++=⇒ − oo t L R t RL R R LR Cei cos 22 22 ( ) ( )ϕϕωω ε −+ + += − oo t L R t RL Ce cos 22 * Khi t = 0, i = 0 ( ) ( )ϕϕω ε − + −=→ oo RL C cos 22 Vậy: ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−+ + = − tL R oo o et RL i ϕϕϕϕω ω ε coscos 22 * Để không xảy ra điều kiện chuyển tiếp, thì: lúc t =0 ( ) 0cos =− − tLRo eϕϕ ( ) ππϕϕ ππϕϕ ϕϕ k k o o o ++=⇔ +=−⇔ =−⇔ 2 2 0cos ¾ Nhận xét: Số hạng ( tL R Ce L R −− ) xác định điều kiện chuyển tiếp từ trạng thái không có dòng sang trạng thái có dòng. Bài toán 2: Một hình trụ kim loại dài vô hạn có độ dẫn điện σ và độ từ thẩm µ được đặt sao cho trục của nó trùng với trục của một xôlênôit vô hạn có tiết diện tròn mà dọc theo đó có dòng biến thiên tioeII ω−= chạy qua. Tìm cường độ từ trường và cường độ điện trường trong toàn không gian, và sự phân bố của mật độ dòng điện j trong hình trụ; bán kính hình trụ là a, bán kính của xôlênôit là b, số vòng trên một đơn vị chiều dài là n. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường do nguồn biến đổi theo thời gian gây ra. Áp dụng quan hệ biến đổi giữa từ và điện và hiệu ứng mặt ngoài. ¾ Lời giải: Vì hệ là đối xứng với trục hình trụ và trường điện từ đầu tiên Ho là đều, nên các dòng xoáy trong hình trụ sẽ chạy theo các đường tròn trong các mặt phẳng vuông góc với nó. Các dòng đó sẽ tạo ra cùng một trường như là từ trường tạo ra bởi một tập hợp các xôlênôit đồng trục riêng lẻ. 69 Trường của xôlênôit trong không gian ngoài bằng không, còn bên trong xôlênôit nó hướng dọc theo trục của xôlênôit. Như vậy, từ trường toàn phần ở ngoài hình trụ trùng với trường Ho, và bên trong hình trụ nó được xác định bởi phương trình: t H c H ∂ ∂=∆ 24πµσ Phương trình này, do sự đối xứng trụ, có dạng: 01 22 2 =++ Hk dr dH rdr Hd Trong đó: ( ) 0;;12 ===+= rz HHrHHik αδ Điều kiện biên: ( ) oHaH = Nghiệm, là hữu hạn khi r = 0 và thỏa mãn điều kiện biên đó, được biểu thị qua hàm Betxen bậc không: ( ) ( )kaJ krJHH o o o == Ở bên ngoài hình trụ, ta có: H = Ho khi bra ≤≤ H = 0 khi r > b Mật độ dòng điện và điện trường bên trong hình trụ được tính theo công thức: E c Hrot σπ4= ( ) ( ) oo HkaJ krJkcEjj 1 4πασα === Er = Ez = 0 Điện trường bên ngoài hình trụ: ∫∫ = dSBcidlE nl ω Bên ngoài hình trụ điện trường E chỉ có thành phần ( )rEα . Nếu ta chọn một vòng tròn làm chu tuyến l thì thành phần theo chu tuyến cho απrE2 . Khi tích phân theo mặt, ta sử dụng: ( ) ( ) ( ) ( )xZxdxxZxxPZdxxPZ PPPPPP 11 +−−− −== ∫∫ ( ) ( ) ( )221 24 arcrHirakaJ kaJkcHE ooo −+= ω πσα :bra ≤≤ ( )( ) ( )221 24 abcrHirakaJ kaJkcHE ooo −+= ω πσα 70 r > b: r bHE o 2 2 =α ¾ Nhận xét: Trường do nguồn biến đổi theo thời gian gây ra có dạng phức tạp, nó gồm có cả điện trường và từ trường. Lúc này hai mặt điện và trường có mối quan hệ với nhau, không thể tách rời. Bài toán 3: Một quả cầu bán kính a có độ dẫn điện σ nằm trong một từ trường đều tioeHH ω−= . Tìm từ trường tổng hợp trong quả cầu đối với trường hợp tổng quát của các tần số tùy ý. ¾ Mục tiêu: Xác định trường tổng hợp của quả cầu dẫn. ¾ Lời giải: Do tính đối xứng trục của hệ gồm có quả cầu và trường ngoài, sự phân bố của các dòng xoáy trong quả cầu và điện trường cũng có tính đối xứng trục. Điện trường chỉ có thành phần αE , thành phần này chỉ phụ thuộc vào r, θ: ( )θα ,rfE = Ta tìm nghiệm của phương trình: t E c E ∂ ∂=∆ 24πµσ cho điện trường toàn phần E dưới dạng: ( ) 0,sin === θα θ EErFE r Sử dụng biểu thức cho Laplace của vectơ trong tọa độ cầu, ta sẽ tìm được F(r), bằng cách thay F(r) = H(r)/ r phương trình này qui về phương trình Betxen. Nghiệm của nó hữu hạn khi r = 0 sẽ là: H(r) = AJ3/2(kr) Từ trường bên trong quả cầu được xác định từ phương trình: t B c Eror ∂ ∂−= 1 Từ trường trong miền ngoài sẽ gồm có từ trường ngoài oH cộng với trường của mômen từ m có phương trùng với oH : ( ) 352 .3 r m r rmrHH o −+= Trong đó: oo Hkkac iaAHctgka kaak am 8sin 3;331 2 22 3 πω=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−−= ¾ Nhận xét: Bài toán tương đối phức tạp, các hằng số m, A được xác định từ điều kiện biến đổi của H trên mặt cầu. ˆ Kết luận: Trong phần bài tập phân tích tổng hợp, các bài toán tương đối phức tạp, và vận dụng nhiều kiến thức. Chúng tôi đưa vào với tính chất để người học tham khảo thêm. 71 d) Một số bài tập đề nghị Bài 1: Một vòng dây tròn bán kính a, nằm trong từ trường không đổi có cảm ứng từ B , quay với vận tốc góc ω chung quanh đường kính vuông góc với B . Tính cường độ dòng điện I chạy trong dây, cho rằng lúc đầu mặt phẳng của vòng dây song song với từ trường. ĐS: ( ) R Ltgt LR BaAei t L R ωααωω ωπ =− + += − ,sin 222 2 Bài 2: Người ta đặt vào trong một mạch nối tiếp của điện trở R và tụ điện có điện dung C một điện thế xung hình chữ nhật : u1(t)=Uo khi 0≤ t ≤ T và u1(t)=0 khi tT. Tìm điện thế u2(t) trên cuộn tự cảm L. ĐS: ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ≤≤ < = − − TteeU TteU t tu RC t RC T o RC t o ,1 0, 0,0 2 Bài 3: Một bộ acquy có sđđ ξ và điện trở trong R, một tụ điện C và một cuộn tự cảm L được mắc song song. Bỏ qua điện trở của cuộn tự cảm và dây dẫn. Tính cường độ dòng điện đi qua acquy sau khi đã mắc mạch. ĐS: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − RCe RC t R i 2 1sin1 ω ωξ , trong đó: 222 4 11 CRCL −=ω Bài 4: Tìm công suất trung bình Q hấp thụ bởi một quả cầu dẫn điện trong một từ trường đều, biến thiên với các tần số tùy ý. ĐS: ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + −−= δδ δδ δ δ aach aashaHaQ o 2cos2 2sin2 1 8 3 22 72 Phần ba: Kết luận Điện động lực là môn học khó vì nội dung kiến thức rộng, sử dụng nhiều ngôn ngữ toán học cao cấp, tương ứng bài tập đa dạng nên việc giải các bài tập gặp không ít khó khăn. Do đó, việc xác định đúng mục tiêu, phân tích được đúng cơ chế của hiện tượng để làm xuất hiện các nội dung lý thuyết ứng dụng được bài tập là hết sức cần thiết. Ở đề tài, “Phân loại và phương pháp giải bài tập Điện động lực vĩ mô”, chúng tôi đã dựa vào mức độ nhận thức để phân loại các bài tập, với ý muốn giúp cho người học trong việc lựa chọn các bài tập để tự học một cách có phương pháp. Khi chúng ta mới bắt đầu giải bài tập, nên chọn các bài tập ở mức độ hiểu để làm. Mục đích giải các bài tập hiểu để tổng hợp kiến thức cũng như phương pháp phân tích lựa chọn và cách thức tiến hành giải. Rồi để từ đó chúng ta sẽ vận dụng những hiểu biết, kiến thức từ bài tập này sang các bài tập khác, cao hơn. Và cuối cùng chúng ta mới tiến hành phân tích, tổng hợp, tìm cách giải cho các bài tập khó. Việc phân loại còn được kết hợp với các tiêu chí: cấu trúc môn học, mục tiêu nhận thức của bài tập, nhằm từng bước xây dựng phương pháp nhận thức khoa học nói chung và phương pháp giải bài tập nói riêng. Trong khóa luận, chúng tôi đã đưa ra 32 bài tập giải mẫu, trong đó có 12 bài tập ở mức hiểu, 11 bài tập ở mức vận dụng và 9 bài tập ở mức phân tích tổng hợp. Và chúng tôi có đưa thêm 15 bài tập đề nghị để người đọc tham khảo thêm. Trong đó, đã sử dụng những phương pháp: nguyên lý chồng chất, phương pháp ảnh điện, phương pháp nghịch đảo, phương pháp ánh xạ bảo giác,... Khóa luận đã giúp cho bản thân có hiểu biết sâu sắc hơn về Điện động lực nói riêng và Vật lý lý thuyết nói chung, làm tiền đề cho sự phát triển tri thức của bản thân sau này. Đồng thời, chúng tôi hy vọng khóa kuận sẽ góp phần làm phong phú hơn tài liệu học tập cho các bạn sinh viên, nhằm nâng cao hiệu quả học tập. Tuy nhiên, vì thời gian còn ít, nên khóa luận chỉ trình bày những bài tập cơ bản nhất mà chưa đề cập đến những bài tập chuyên sâu. Hy vọng chúng tôi sẽ được tiếp tục nghiên cứu. Dù đã cố gắng nhiều, nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn. 73 Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Thông. 2005. Phương Pháp Nghiên Cứu Khoa Học. Kiều Khắc Lâu. 1999. Lý Thuyết Trường Điện Từ. NXBGD. Lg, Gretsko, V.i.xugakôv. 1978. Tuyển tập các bài tập vật lý lý thuyết. NXBĐH&THCNHN. Nguyễn Công Nghênh, Vũ Ngọc Hồng, Huỳnh Huệ, Nguyễn Trọng Hải, Lê Chấn Hùng. 1982. Bài tập vật lý đại cương tập 2. NXBGD. Nguyễn Hữu Chí. 2003. Điện Động Lực Học. NXBĐHQGTPHCM. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hưởng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường. 1983. Bài tập vật lý lý thuyết tập I. NXBGD. Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường. 2001. Bài tập vật lý lý thuyết. Hà Nội. NXBĐHQGHN. Nguyễn Phúc Thuần. 1998. Điện động lực. NXBĐHQG. Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Văn Đoành, Vũ Tuấn.1998. Toán cao cấp A3. NXBGD. Phạm Hữu Tòng. 1989. Phương Pháp Dạy Bài Tập Vật Lý. NXBGD. Trần Thể. 2003. Phương Pháp Dạy Học Vật Lý Phổng Thông. Trường Đại Học Luật Hà Nội. 2007. Giáo Trình Tâm Lý Học Đại Cương. NXBCAND. Vũ Tiến Dũng. Bài Giảng Điện Động Lực Học Vv, Batưgin, I.n.tôptưgin. 1980. Tuyển tập các bài tập Điện động lực. NXBGD. 74 MỤC LỤC Lời nói đầu Mục lục Phần một: Mở đầu......................................................................................................1 I. Lý do chọn đề tài ..............................................................................................1 II. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................................1 III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................1 IV. Phạm vi nghiên cứu..........................................................................................2 V. Giả thuyết khoa học..........................................................................................2 VI. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................2 VII. Đóng góp của đề tài ..........................................................................................2 VIII.Cấu trúc khóa luận............................................................................................2 IX. Kế hoạch nghiên cứu........................................................................................3 Phần hai: Nội dung.....................................................................................................4 Chương I Cơ sở lý luận của đề tài ............................................................................4 1. Lý luận về hoạt động nhận thức ...................................................................4 2. Lý luận về bài tập vật lý ...............................................................................4 3. Lý luận về phân loại bài tập vật lý ...............................................................5 4. Lý luận về phương pháp giải bài tập vật lý ..................................................6 5. Tóm tắt nội dung lý thuyết ...........................................................................8 6. Các công thức toán học giải tích vectơ.......................................................15 Chương II Phân loại và phương pháp giải bài tập..................................................17 1. Cơ sở phân loại bài tập ...............................................................................17 1.1. Đặc điểm của môn học .......................................................................17 1.2. Cấu trúc nội dung môn học ................................................................18 1.3. Căn cứ vào mục tiêu bài tập ...............................................................18 2. Phân loại và giải bài tập .............................................................................18 2.1. Trường tĩnh điện.................................................................................18 2.1.1. Cơ sở lý thuyết ...........................................................................18 2.1.2. Một số phương pháp giải các bài toán điện tĩnh.........................20 a) Phương pháp ảnh điện ....................................................................20 b) Phương pháp nghịch đảo ................................................................21 c) Phương pháp ánh xạ bảo giác.........................................................23 2.1.3. Phân loại và giải bài tập .............................................................25 a) Bài tập hiểu.........................................................................................25 Bài toán 1................................................................................................25 Bài toán 2................................................................................................27 Bài toán 3................................................................................................28 Bài toán 4................................................................................................29 Bài toán 5................................................................................................30 b) Bài tập vận dụng.................................................................................33 Bài toán 1: ..............................................................................................33 Bài toán 2: ..............................................................................................34 75 Bài toán 3: ..............................................................................................35 c) Bài tập phân tích tổng hợp..................................................................36 Bài toán 1: ..............................................................................................37 Bài toán 2: ..............................................................................................38 Bài toán 3: ..............................................................................................39 d) Một số bài tập đề nghị ........................................................................40 2.2. Trường tĩnh từ ....................................................................................41 2.2.1. Cơ sở lý thuyết ...........................................................................41 2.2.2. Phân loại và giải bài tập .............................................................41 a) Bài tập hiểu.........................................................................................41 Bài toán 1: ..............................................................................................41 Bài toán 2: ..............................................................................................42 Bài toán 3: ..............................................................................................43 Bài toán 4: ..............................................................................................44 b) Bài tập vận dụng.................................................................................44 Bài toán 1: ..............................................................................................45 Bài toán 2: ..............................................................................................46 Bài toán 3: ..............................................................................................48 Bài toán 4: ..............................................................................................50 Bài toán 5: ..............................................................................................51 c) Bài tập phân tích tổng hợp..................................................................52 Bài toán 1: ..............................................................................................52 Bài toán 2: ..............................................................................................54 Bài toán 3: ..............................................................................................55 d) Một số bài tập đề nghị ........................................................................56 2.3. Trường chuẩn dừng ............................................................................57 2.3.1. Cơ sở lý thuyết ...........................................................................57 2.3.2. Phân loại và giải bài tập .............................................................57 a) Bài tập hiểu.........................................................................................57 Bài toán 1: ..............................................................................................57 Bài toán 2: ..............................................................................................58 Bài toán 3: ..............................................................................................60 b) Bài tập vận dụng.................................................................................61 Bài toán 1: ..............................................................................................61 Bài toán 2: ..............................................................................................62 Bài toán 3: ..............................................................................................64 c) Bài tập phân tích tổng hợp..................................................................66 Bài toán 1: ..............................................................................................66 Bài toán 2: ..............................................................................................68 Bài toán 3: ..............................................................................................70 76 d) Một số bài tập đề nghị ........................................................................71 Phần ba: Kết luận.....................................................................................................72 Tài liệu tham khảo..................................................................................................73