Khóa luận Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập hình học không gian

ập hình học không gian có khả năng vận dụng thông qua đó chỉ ra dấu hiệu cho phép sử dụng kiến thức, kỹ năng vào bài toán đã cho. Để thực hiện tốt biện pháp này đòi hỏi giáo viên phải có sự hệ thống hóa tri thức đã học để học sinh có được một sự tích hợp các kiến thức và kỹ năng cần thiết, phục vụ vào việc giải quyết tình huống học tập mới. Đồng thời hướng dẫn học sinh tự hình thành phương pháp chung. So với các tiết dạy lý thuyết thì các giờ bài tập đòi hỏi học sinh phải hoạt động tư duy nhiều hơn. Nếu như các giờ lý thuyết, giáo viên phải giúp cho các em hiểu và ghi nhớ các định nghĩa, quy luật, định lý, tiên đề, các công thức giải toán thì các giờ bài tập thực hành sẽ là giờ học yêu cầu học sinh biến tri thức hiểu được để giải quyết các tình huống có vấn đề. Do vậy trong dạy học Toán, giáo viên không chỉ cung cấp kiến thức mà còn phải hình thành ở học sinh những kỹ năng quan trọng để khi đứng trước một vấn đề mới là các bài tập có nội dung sáng tạo các em có được một tâm lý vững vàng. “Học đi đôi với hành” sẽ giúp các em củng cố kiến thức lý thuyết và hình thành các kỹ năng, thuật giải thiết yếu. Thông qua sự vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải toán, giáo viên phải chỉ ra dấu hiệu cho phép sử dụng kiến thức, kỹ năng nào đối với bài tập đã cho cũng như nên có sự phối hợp, kết hợp các kiến thức, kỹ năng để giải quyết bài toán hợp lý, ngắn gọn nhất. c) Ví dụ. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 35 - Ví dụ 1: Cho hai tam giác nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và ,AC AD BC BD a= = = = 2 .CD x= Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính AB và IJ theo a, x b) Với giá trị nào của x thì ( ) ( )ABC ABD^ ? Giải: a). Vì J là trung điểm của CD và AC AD= nên .AJ CD^ Do ( ) ( )mp ACD mp BCD^ nên ( )AJ mp BCD^ ; AC AD BC= = BD a= = nên 2,AB AJ= 2 2 2AJ a x= - 2 2 .AJ a xÞ = - Vậy ( )2 22AB a x= - với a > x. Do ( ),IA IB AJ mp BCD= ^ nên 1 2 JI AB= , tức là ( )2 21 2 . 2 JI a x= - b) Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB. Vậy ( ) ( )mp ABC mp ABD^ ( )0 2 21 1 190 2 .2 2 2 2 CID IJ CD a x xÛ Ð = Û = Û - = 3 . 3 axÛ = Vậy với 3 3 ax = thì ( ) ( )mp ABC mp ABD^ . - Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đường vuông góc chung của AB và CD phải là trung điểm của AB và CD. Giải: Gọi CE, DF lần lượt là đường cao của tam giác ABC, ABD; và I, J lần là trung điểm của AB, CD. Hai tam giác ABC, ABD có diện tích bằng nhau và có cùng đáy AB nên chiều cao tương ứng bằng nhau: .CE DF= Từ đó hai tam giác vuông EFC, FED bằng nhau ( CE DF= , EF chung) Þ hai trung tuyến C J I D A B J I B D A C E F Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 36 tương bằng nhau: CI DI= Þ tam giác CID cân tại I Þ .IJ CD^ Cũng vì hai tam giác EFC, FED bằng nhau cho CE DF= nên hai tam giác CFD, CED cũng bằng nhau (CD chung, ,CE DF= CF DE= ) nên hai trung tuyến tương ứng bằng nhau: FJ EJ= Þ tam giác FJE cân tại J Þ IJ EF^ .IJ ABÞ ^ Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD. Qua bài toán này giáo viên có thể nêu cho học sinh thêm một số kiến thức, kỹ năng chứng minh đường vuông góc chung như: + Hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 luôn tồn tại duy nhất một đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng ấy: Đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của d1, d2. + Đoạn nối giao điểm của đường vuông góc chung với d1, d2 được gọi là đoạn vuông góc chung. + Để chứng minh đoạn AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 ( )1 2, :A d B dÎ Î ta chứng minh AB vuông góc với cả d1, d2. 2.2.3. Biện pháp 3: Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh phân tích nội dung, cách giải để từ đó tìm ra các cách giải khác nhau và biết nhận xét, đánh giá để chỉ ra được cách giải hay nhất. a) Tác dụng: Góp phần rèn luyện và phát triển tính nhuần nhuyễn và độc đáo của tư duy sáng tạo thông qua việc phân tích nội dung, cách giải và tìm được nhiều cách giải khác nhau; biết nhận xét, đánh giá để chỉ ra cách giải hay nhất. b) Cách thực hiện: Có muôn vàn con đường để đi tới đích cần đến nhưng người thông minh là người biết đi bằng con đường ngắn nhất. Trong dạy học Toán cũng vậy, khi đặt ra một tình huống bài tập yêu cầu học sinh giải quyết, giáo viên phải chọn bài tập nào sao cho học sinh có thể có nhiều cách giải. Tùy theo năng lực của mỗi cá nhân mà các em lựa chọn các cách giải khác nhau. Vì vậy cần phải xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian có nội dung phong phú; có những đối tượng, vấn đề, quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau. Như vậy các em có thể giải quyết theo trình tự logic như giờ học lý thuyết giáo viên đã cung cấp cũng có thể bỏ qua những thao tác đơn giản, rườm rà để giải Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 37 quyết yêu cầu nhanh gọn hơn. Giáo viên không nên ép buộc các em đi theo một cách giải mang tính chủ quan của cá nhân mình mà tạo tâm lý thoải mái, hướng dẫn và khuyến khích các em nên vận dụng cách giải nào hay nhất. Hay ở đây phải bao gồm các yếu tố: chính xác – sáng tạo – nhanh gọn. Giải một bài toán hình học không gian bằng nhiều phương pháp, cách giải khác nhau lại là một trong những nội dung quan trọng trong giảng dạy Toán ở trường phổ thông nhưng phương pháp giáo dục hiện nay còn nhiều gò bó và hạn chế tầm suy nghĩ, sáng tạo của học sinh. Bản thân các em học sinh khi đối mặt với một bài toán cũng thường có tâm lý tự hài lòng sau khi đã giải quyết được nó bằng một cách nào đó, mà chưa nghĩ đến chuyện tối ưu hóa bài toán, giải quyết nó bằng cách nhanh nhất. Do đó, việc giáo viên hướng dẫn và tập cho học sinh giải quyết một bài toán Toán bằng nhiều cách khác nhau là một cách rất hay để phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng học toán của mỗi người, giúp học sinh có khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng khác nhau. Nếu giáo viên làm được điều này thì khả năng tư duy sáng tạo của học sinh sẽ được nâng lên một bậc cao hơn, hoàn thiện hơn. c) Ví dụ. - Ví dụ 1: Hãy nêu cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Giải: + Cách 1: Ÿ Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. Ÿ Dựng hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P). Ÿ Từ giao điểm B của a’ và b dựng đường thẳng vuông góc với (P) rồi lấy giao điểm A của đường thẳng này với a. AB là đoạn vuông góc chung của a và b. + Cách 2: Ÿ Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O. Ÿ Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (P). Ÿ Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b’. M B P) b a' a A H b b' a P) O A H B Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 38 Ÿ Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B. Ÿ Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. AB là đoạn vuông góc chung của a và b. + Cách 3: (Áp dụng cho trường hợp a b^ ) Ÿ Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. Ÿ Dựng AB vuông góc với b. AB là đoạn vuông góc chung. - Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a. Hãy xác định và tính độ dài đường vuông góc chung AH và DB. + Cách 1: Phương pháp tổng hợp Trên hình bên: M trên AH; N trên DB; MN là đường vuông góc chung của AH và DB. Từ M kẻ MP AD^ , ( )P ADÎ thì ( )MP mp ABCD^ và PN DB^ (Theo định lý ba đường vuông góc). Tương tự, kẻ ( ),NQ AD Q AD^ Î thì ( )NQ mp ADHE^ và QM AH^ . Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên 3 aDQ QN QP PM PA= = = = = . Lại có 2 3 aPN = ; 22 2 2 2 2 3 3 a aMN MP PN æ öæ ö= + = + ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø 3 3 aMNÞ = . Cách xác định vị trí các điểm M và N suy ra hai điểm P và Q chia đoạn DA thành ba phần bằng nhau. + Cách 2: Phương pháp tổng hợp Ta có HF//DB và tam giác AHF đều. Mặt phẳng (AHF) qua AH và song song với DB. Gọi I, O, P theo thứ tự là tâm của các hình vuông EFGH, ABCD, AEHD. CE cắt mp(AHF) tại K là giao của AI và CE. Dễ thấy K là trọng tâm của tam giác AHF. FI EC^ nên ( )FI EGCA^ do đó H D C G E A F B Q M P N P O K I H D C G E A F B M J N b a P) A B Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 39 FI CK^ . Tương tự ( )HP CDE^ nên HP CK^ . Suy ra ( )CK CHF^ . Từ O kẻ OJ//CK. Từ J kẻ JM//HI. Từ M kẻ MN//JO. Tứ giác OJMN là hình chữ nhật và MN là đường vuông góc chung của AH và DB. Ta có: 1 1 3OJ . 2 3 3 aMN CK CE= = = = 1 1 3 6 NO MJ HI BD= = = và 1 3 DN DB= ; 1 3 AM AJ AH AI = = 1 . 3 AM AHÞ = Từ đó suy ra cách xác định vị trí các điểm M, N. + Cách 3: Phương pháp vectơ Lấy A làm gốc và ba vectơ cơ sở là AD a= uuur r , ,AB b= uuur r AE c= uuur r , a b c a= = = r r r và ;AH a c= + uuur r r ( ) ,AM k AH k a c= = +uuuur uuur r r DB b a= -uuur r r , ( ).DN m DB m b a= = -uuur uuur r r , MN AN AM AD DN AM= - = + - uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur ( ) ( )a m b a k a c= + - - +r r r r r ( )1 m k a mb kc= - - + - r r r . Vì . 0MN DB = uuuur uuur nên ( )( )( )1 m k a mb kc b a- - + - -r r r r r ( )2 21 0ma k m a= + + - = 2 1 0m kÞ + - = (1). Vì . 0MN AH = uuuur uuur nên ( )( )( )1 m k a mb kc a c- - + - +r r r r r 1 2 0m kÞ - - = (2). Từ (1) và (2) ta thu được 1 , 3 m k= = do đó 1 1 1 , 3 3 3 MN a b c= + - uuuur r r r 2 2 3 aMN = 3 . 3 aMNÞ = Từ 1 1, 3 3 AM AH DN DB= = uuuur uuur uuur uuur ta xác định được vị trí các điểm M, N. + Cách 4: Phương pháp tọa độ Lấy góc tam diện vuông đỉnh A của hình lập phương làm hệ trực chuẩn Axyz. Các đỉnh D, B, E lần lượt nằm trên Ax, Ay, Az. Để tiện tính toán lấy cạnh hình lập phương 1a = . H D C G E A F B M N 1 1 1 H D C G E A F B x y x M N Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 40 Tọa độ các đỉnh A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), E(0; 0; 1), C(1; 1; 0), G(1; 1; 1), F(0; 1; 1), H(1; 0; 1). Vì ( )1;0;1AH = uuur nên phương trình dạng tham số của AH là: ( ) 1 1 1 0 . x t y t R z t =ì ï = Îí ï =î Ta lại có ( )1;1;0DB = - uuur nên phương trình dạng tham số của đường thẳng DB là: ( ) 2 2 2 1 . 0 x t y t t R z = - +ì ï = Îí ï =î Do MN DB^ và MN AH^ nên vectơ chỉ phương của MN uuuur là: ( ) 0 1 1 1 1 0 , ; ; 1; 1;1 . 1 0 0 1 1 1 MN AH DBu u u æ öé ù= = = - -ç ÷ë û - -è ø r r r ,M AHÎ tọa độ của ( )1 1;0; ,M t t N DBÎ , tọa độ của ( )2 21; ;0N t t- + . ( ); ;MNMN ku k k k= = - - uuuur r nên ta có hệ phương trình: 2 1 2 1 1 2 1 31 1 . 3 1 3 k t t k t k t t k t ì =ï - - + = -ì ï ï ï= - Þ =í í ï ï- =î ï =ïî Do đó 1 1 2 1;0; , ; ;0 , 3 3 3 3 M Næ ö æ öç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 1 1; ; ; 3 3 3 MN æ ö= -ç ÷ è ø uuuur 3 2 MN = (khi 1a = ) Vậy với a tùy ý thì 3 . 3 aMN = Trong bốn cách giải trên thì cách 1 đơn giản nhất vì đã vận dụng được tính chất của hai mặt phẳng vuông góc và định l ý về ba đường thẳng vuông góc. Cách 2 sử dụng quy tắc: muốn xác định được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau phải xác định được mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 41 đường thẳng kia. Từ đó tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và suy ra cách xác định đường vuông góc chung. Cách 3 chọn hệ vectơ cơ sở làm gốc và ba vectơ không đồng phẳng, chỉ rõ tính chất cơ bản của hệ đó. Trong bài này chúng ta chọn gốc là A và ba vectơ cơ sở là AD a= uuur r , ,AB b= uuur r AE c= uuur r với tính chất ,a b c a= = = r r r . . . 0.a b b c c a= = = r r r r r r Cách 4 cũng tương tự như cách 3, ngoài việc chọn hệ tọa độ nên “số hóa” các dữ kiện để việc tính toán dễ dàng. 2.2.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn và tập cho học sinh cách nhìn nhận bài toán, hình vẽ dưới các khía cạnh khác nhau để từ đó lựa chọn cách giải thích hợp. a) Tác dụng: Rèn luyện tính linh hoạt, độc đáo của tư duy sáng tạo, qua đó tập cho học sinh khả năng nhìn nhận, phân tích, tổng hợp, kiểm tra và đánh giá. Từ đó góp phần mở rộng, đào sâu hệ thống hóa kiến thức và cao hơn là sáng tạo toán học. b) Cách thực hiện: Trong dạy học bài tập hình học không gian, khả năng nhìn nhận và phát hiện vấn đề của học sinh hiện nay còn gặp rất nhiều khó khăn. Nó đòi hỏi học sinh phải có một năng lực tư duy tốt, kể từ khâu nắm bắt yêu cầu của đề bài. Nhiều bài tập từ chỗ đề ra đến việc vẽ hình cũng làm cho các em rất lúng túng. Do vậy, giáo viên phải biết hướng dẫn và tập luyện cho học sinh cách nhìn nhận bài tập, hình vẽ dưới các khía cạnh khác nhau: có thể dùng trực tiếp kiến thức hình học không gian để giải hoặc cũng có thể đưa về dạng tương tự trong hình học phẳng để giải hay cũng có thể sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ… Từ các cách nhìn nhận đó đưa ra các cách giải và nhiệm vụ của giáo viên là phải hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét, đánh giá để lựa chọn cách giải thích hợp. Ngoài ra, giáo viên có thể xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian bằng cách thêm vào hay bỏ bớt một số yếu tố ở bài toán ban đầu, ra bài tập dạng đặc biệt hóa và khái quát hóa... Những cách thức này sẽ góp phần rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy học bài tập hình học không gian. c) Ví dụ. - Ví dụ 1: Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cách cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' '.AB A B BC B C CD C D DA D A AC A C BD B D= = = = = = Chứng minh rằng hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 42 Giải: Ta đi xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1: Hai hình tứ diện đó có ba cặp đỉnh tương ứng bằng nhau, chẳng hạn A trùng A’, B trùng B’, C trùng C’, còn D khác D’. Khi đó, mỗi điểm A, B, C cách đều hai điểm D và D’ nên mp(ABC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng DD’, suy ra phép đối xứng qua mp(ABC) biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’. Vậy hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau. + Trường hợp 2: Hai hình tứ diện đó có hai cặp đỉnh tương ứng bằng nhau, chẳng hạn A trùng A’, B trùng B’. Khi đó gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CC’ thì (P) đi qua A và B (vì A và B cùng cách đều hai điểm C và C’). Vậy phép đối xứng qua mặt phẳng (P) sẽ biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D1 và do đó tứ diện ABCD bằng tứ diện ABCD1. Vì hai tứ diện A’B’C’D1 và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng bằng nhau và có ba điểm tương ứng trùng nhau nên theo như trường hợp 1, chúng bằng nhau. + Trường hợp 3: Hai hình tứ diện đó có một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, chẳng hạn A trùng A’. Khi đó, gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của BB’ thì (Q) đi qua A (vì A cách đều B và B’). Vậy phép đối xứng qua (Q) biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C1, D1 và do đó, hai tứ diện ABCD và A’B’C1D1 bằng nhau. Mặt khác, hai tứ diện A’B’C1D1 và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng bằng nhau và có hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 2, chúng bằng nhau. B' A' C' B C A D D' A' B'B D D' A C C' Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 43 b ca O + Trường hợp 4: Hai hình tứ diện đó không có cặp đỉnh tương ứng nào trùng nhau. Khi đó, gọi (R) là mặt phẳng trung trực của AA’, phép đối xứng qua (R) biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B1, C1, D1 nên tứ diện ABCD bằng tứ diện A’B1C1D1; mà hai tứ diện A’B1C1D1 và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng bằng nhau và một đỉnh tương ứng trùng nhau, do đó theo như trường hợp 3, chúng bằng nhau. Từ bài toán ví dụ này giáo viên hướng dẫn, gợi ý học sinh rút ra nhận xét: Nhận xét 1: Hai tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. Nhận xét 2: Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. - Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong không gian nếu có ba đường thẳng sao cho trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau thì hoặc chúng cắt nhau tại một điểm hoặc là chúng chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. Giải: Trước khi giải bài toán này giáo viên cần nhắc cho học sinh: Hai đường thẳng cắt nhau xác định được một mặt phẳng. Gọi a, b, c là ba đường thẳng đã cho. Theo giả thiết: 1a b OÇ = , 2 ,b c OÇ = 3.c a OÇ = a) Nếu: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , a b O b c O O O a c b a c O O Ç = ü ïÇ = Þ Ì Þ Ìý ï¹ þ O2 O3 O1a b c Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 44 Vậy nếu 1 2O O¹ thì a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng. b) Nếu a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng, nhưng chúng cắt nhau từng đôi một tại lần lượt các điểm O1, O2, O3 thì 1 2 3.O O Oº º Thật vậy chẳng hạn nếu 1 3O Oº và 1 2O O¹ thì từ phần (a) dẫn đến mâu thuẫn là a, b, c cùng phẳng. Lí luận tương tự đối với 1 2O O¹ và 2 3O O¹ . Vậy tóm lại ba đường thẳng a, b, c nếu không nằm trong cùng một mặt phẳng nhưng lại cắt nhau từng đôi một thì chúng cùng đồng quy tại một điểm. Loại những bài tập này chiếm một số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và thường gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí vươn lên trong học tập của học sinh. Do vậy khi dạy học giải bài tập, người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp l ý để giải bài toán. Bởi vì “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” (Pôlia 1975). Hai bài toán trên được ra dưới “mở” nên học sinh có thể trình bày theo những cách nhìn nhận, suy nghĩ khác nhau trên cơ sở hiểu được trọng tâm bài toán. Tùy theo mức độ hiểu biết, năng lực của từng học sinh sẽ có những cách trình bày khác nhau nhưng vẫn đảm bảo được đúng trọng tâm. Bài toán không chỉ khai thác ở các em những suy nghĩ trước một vấn đề đặt ra mà còn rèn luyện cho các em năng lực sáng tạo. 2.2.5. Biện pháp 5: Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh phân tích, phát hiện, đề xuất bài toán mới từ bài toán đã cho. a) Tác dụng: Bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy linh hoạt, giúp học sinh thấy được nhiều bài toán khác nhau được khai thác từ một nội dung giống nhau và học sinh có thể tự hình thành phương pháp chung để giải một bài toán. b) Cách thực hiện: Trong quá trình dạy học, các bài tập là một dạng tình huống có vấn đề mà giáo viên đặt ra cho học sinh. Đứng trước một vấn đề nào đó, học sinh phải có sự huy động ở mức cao nhất các thao tác tư duy. Tuy nhiên, để chuẩn bị cho các em có thể giải quyết nhanh gọn những yêu cầu mà bài toán đặt ra đòi hỏi giáo viên phải đi theo một trình tự nhất định. Trước hết, giáo viên phải hướng dẫn Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 45 K B D C A H cho các em phân tích các bài toán mẫu. Sau khi xem xét bài toán ví dụ mẫu, học sinh sẽ trải qua quá trình ghi nhớ, lĩnh hội đến chỗ tái hiện và tái tạo trên cơ sở bài toán ví dụ mẫu. Trong dạy học hình học không gian, giáo viên có thể dạy học theo hai bước sau: Thứ nhất yêu cầu học sinh phát biểu và giải bài tập tương tự dựa vào một bài tập tổng quát lấy làm bài toán ví dụ mẫu. Thứ hai, giáo viên thay đổi lời văn, số liệu của bài tập dùng làm mẫu để đặt học sinh vào một tình huống mới. Dạng bài tập này chỉ mới ở mức độ vừa phải nên học sinh có thể dễ dàng trong việc thực hiện với một sự hứng thú, tích cực cao. Giáo viên còn có thể xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian bằng cách thêm những giả thiết khác nhau, nhưng phần kết luận và phương pháp giải giống nhau; ví dụ như phát biểu và giải bài toán tương tự, bài toán tổng quát từ đó hướng dẫn học sinh phân tích, phát hiện, giải các bài tập đó và có thể đề xuất bài toán mới. c) Ví dụ. - Ví dụ 1: Chứng minh rằng các cạnh đối diện của tứ diện đều ABCD đôi một vuông góc với nhau. Giải: Ta cần chứng minh ,AB CD^ ,AD BC^ AC BD^ . Ta gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD), K BH CD= Ç suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCDD CD BKÞ ^ . Mặt khác ( )AH BCD AH CD^ Þ ^ . Do đó ( )CD ABK^ CD ABÞ ^ . Tương tự ta cũng chứng minh được: AD BC^ , AC BD^ . Từ bài toán ví dụ trên giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, phát hiện; nêu và giải bài toán: “Chứng minh rằng nếu tứ diện MNPQ thỏa mãn điều kiện MN PQ^ , MP NQ^ thì MQ NP^ ” tương tự như bài toán trên. Điều dễ nhận thấy ở hai bài toán này là có giả thiết khác nhau, F N Q P M H D E Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 46 nhưng phần kết luận và phương pháp giải lại giống nhau. Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mp(NPQ), nghĩa là ( )MH NPQ^ nên MH PQ^ . Theo giả thiết thì MN PQ^ ( )PQ MNHÞ ^ PQ NHÞ ^ . Ta cũng chứng minh tương tự được .NQ PH^ Gọi F, E, D theo thứ tự là giao điểm của các tia NH, PH, QH với các cạnh PQ, NQ, NP. Theo chứng minh ở trên thì NF, PE là đường cao của tam giác NPQ. Suy ra QD cũng là đường cao của tam giác NPQ QD NPÞ ^ . Do ( )MH NPQ^ nên MH NP^ ( )NP MQDÞ ^ .NP MQÞ ^ Ra các bài toán tương tự như trên giáo viên sẽ giúp học sinh hình thành thói quen nhìn nhận một bài toán dưới nhiều cấp độ, nhiều trường hợp, tìm được nhiều lời giải, phát hiện được cái chung và có năng lực khái quát hóa. - Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD biết ;AC BC AD BD a= = = = ; .AB p CD q= = Giải: Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có tam giác BCD cân tại B nên suy ra .BJ CD^ Hơn nữa vì AC AD AJ CD= Þ ^ (Vì tam giác ACD cân tại A). Do đó ( )CD ABJ^ .CD IJÞ ^ Mặt khác vì BCD ACDD = D AJ BJ ABJÞ = Þ D cân tại J. Do đó .IJ AB^ Suy ra IJ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD nên IJ chính là khoảng cách của AB và CD. Xét trong tam giác vuông BIJ, vuông tại I có: 2 2 2IJ BJ BI= - 2 2 2BC CJ BI= - - 2 2 2 2 2 q pa æ ö æ ö= - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 2 4 p qa += - ( )2 2 21 4 .2IJ a p qÞ = - + Từ bài toán ví dụ trên giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện bài toán mới bằng cách đặc biệt hóa bài toán trên để được bài toán mới là: “Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a”. J I B D C A Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 47 Giải: Ta có p q a= = nên ( )2 2 21 24 .2 2 aIJ a p q= - + = Cũng có thể giáo viên ra bài toán: “Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a” hướng dẫn học sinh giải, rồi khái quát bài toán này lên ta được bài toán mới như trên. Giải: Cho tứ diện ABCD đều, cạnh a nên các cặp cạnh đối diện có vai trò như nhau. Do đó ta chỉ cần tính khoảng cách giữa cặp cạnh đối AB và CD rồi suy ra khoảng cách hai cặp cạnh đối còn lại. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó ta có: ( ); .d AB CD IJ= Xét trong tam giác vuông BIJ, vuông tại I có: 2 2 2IJ BJ BI= - 2 2 23 2 2 2 a a aæ ö æ ö= - =ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø 2 . 2 aIJÞ = Khái quát hóa bài toán là thể hiện năng lực khái quát hóa của học sinh. Để bồi dưỡng cho học sinh năng lực khái quát hóa đúng đắn giáo viên phải bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh để biết tìm ra cái chung ẩn náu bên trong các hiện tượng. Sau những chi tiết tản mạn khác nhau nhìn thấy cái bản chất sâu sắc bên trong của các hiện tượng, sau cái hình thức bên ngoài đa dạng để hiểu được những cái chính, cái chung trong cái khác nhau về bề ngoài. Khi học sinh phân tích và giải các bài toán loại này dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của giáo viên học sinh sẽ hình thành cho mình được cách tư duy từ lời giải của một bài toán ban đầu có thể mở rộng hay thu hẹp các lời giải đó trong điều kiện đầu bài thay đổi cho phù hợp và chặt chẽ trong lời giải. J I B D C A Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 48 2.2.6. Biện pháp 6: Hướng dẫn học sinh phân tích các yếu tố của bài toán để chỉ ra cách giải độc đáo, sáng tạo đối với bài toán đã cho. a) Tác dụng: Rèn luyện kỹ năng phân tích, bồi dưỡng và rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo; phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. b) Cách thực hiện: Một bài toán giáo viên đưa ra hàm chứa trong đó rất nhiều yếu tố làm cơ sở cho học sinh căn cứ để giải quyết. Tuy nhiên có những yếu tố hiện lên một cách trực tiếp qua ngôn ngữ của đề bài nhưng cũng có những yếu tố được ẩn ngầm dưới cách diễn đạt không “lộ diện”, thậm chí là một cách đánh lừa khả năng tư duy của học sinh. Do vậy, nhiệm vụ của giáo viên là phải hướng dẫn học sinh cách phân tích các yếu tố của đề ra để chỉ ra cách giải độc đáo và sáng tạo. Bên cạnh ra những bài tập đi sâu vào một loại kiến thức, kỹ năng tổng hợp giáo viên cần ra thêm những bài tập đòi hỏi học sinh khi giải phải vận dụng tổng hợp các kiến thức kỹ năng đã học, năng lực thực hiện nhiều thao tác tư duy phối hợp khi đã biết các yếu tố của bài toán. Để thực hiện tốt biện pháp này giáo viên nên xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian bằng cách đi sâu vào những kiến thức có những yếu tố độc đáo và sáng tạo. c) Ví dụ. - Ví dụ 1: Trên cạnh BB’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta lấy điểm M sao cho 1 '. 3 BM BB= Gọi O là tâm của hình lập phương. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (ABCD). Giải: Gọi O’ là tâm của ABCD. Kéo dài OM cắt DB tại N. Đường thẳng AN là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMO) và (ABCD). Kẻ BH vuông góc với AN tại H; rõ ràng MH vuông góc với AN và MHBÐ là góc của hai mặt phẳng nêu trên. Đặt ,MHBj = Ð 'ANOa = Ð và gọi a là độ O O' A A' D' C' B' B CD N M H Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 49 dài cạnh của hình lập phương. Ta có: OO’//BM nên 1 ' 23 1' ' 3' 2 BBNB BM NO OO BB = = = . Suy ra B là trọng tâm của tam giác ANC. 3 2' 3 ' 2 aNO BO= = 2.BN aÞ = Mặt khác: 2 ' 12tan ' 33 2 2 a O A O N a a = = = Suy ra 2 tan.sin 1 tan BH NB NB aa a = = + 1 2 532. . 51 101 9 a aa= = = + Tam giác MBH vuông tại B nên: 1 53tan 35 5 aBM BH a j = = = Vậy 5arctan . 3 j = - Ví dụ 2: Cho tứ ABCD có 2AB CD x= = và bốn cạnh còn lại có độ dài là 1. a) Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo x. b) Xác định x để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất. Giải: a) Bốn mặt của tứ diện là bốn tam giác cân có hai cạnh bằng 1 và cạnh còn lại bằng 2x, suy ra bốn mặt có diện tích bằng nhau. Gọi S là diện tích toàn phần tứ diện. Theo công thức Heron, với: 1 ; 1 ; .p x p a x p b p c x= + - = - - = - = Ta được: ( )( ) 2 41 1 . . .S x x x x x x= + - = - O'A C N B H Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 50 b) Ta có: 2 2 4 2 4 21 1 1 1 1 1 . 4 4 4 2 4 2 S x x x x xæ ö= - = - + - = - - £ =ç ÷ è ø Dấu “=” xảy ra 2 1 2 . 2 2 x x= Þ = Vậy 1max 2 S = khi 2 . 2 x = Ra những bài tập loại này giáo viên sẽ giúp học sinh phát triển được năng lực tư duy độc lập, rèn luyện tư duy sáng tạo tính tự giác học tập, phương pháp giải toán nhanh, kỹ năng phân tích và phát hiện tốt; từ đó học sinh chỉ ra được cách giải độc đáo, sáng tạo. KẾT LUẬN CHƯƠNG II Chương này người viết đã đề xuất một số biện pháp nhằm phát huy năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải các bài tập hình học không gian. Trong đó chú trọng vào việc xây dựng hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh. Với những đề xuất này, tác giả hi vọng góp thêm được một tiếng nói vào việc cụ thể hóa đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay trong việc nâng cao chất lượng dạy học bài tập hình học không gian nói riêng và dạy học bộ môn Toán nói chung. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 51 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm Vận dụng một số biện pháp “Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập hình học không gian” trong một số bài tập hình học không gian ở phổ thông vào thực tế dạy học toán nhằm thể hiện bước đầu tính khả thi, tính hiệu quả của đề tài. Trong quá trình thực nghiệm sư phạm, tôn trọng phân phối chương trình sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2008 do Bộ giáo dục và đào tạo ban hành. Phát hiện nội dung tư duy sáng tạo có thể rèn luyện năng lực trong các bài thực nghiệm sư phạm. Lựa chọn và phân phối các biện pháp trong các bài tập để rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. 3.2. Nội dung thực nghiệm Vì thời gian có hạn nên thực nghiệm sư phạm chủ yếu chỉ tập trung vào một số bài tập hình học không gian có kiến thức liên quan ở chương II: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” và chương III: “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” ở hình học lớp 11; Ở chương I: “Khối đa diện và thể tích của chúng”, Chương II: “Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón” và Chương III: “Phương pháp tọa độ trong không gian” ở hình học 12. 3.3. Tổ chức dạy học thực nghiệm 3.3.1. Thiết kế dạy học thực nghiệm Người viết thiết kế dạy học thực nghiệm ở cả hai khối 11, 12 theo hướng rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học bài tập hình học không gian theo hướng đã đề xuất, đồng thời ra một số bài tập về nhà cho học sinh để làm cơ sở đánh giá, kết luận tính khả thi của đề tài. Sau đây, tác giả sẽ giới thiệu cách cụ thể. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 52 GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM SỐ 1 Trường THPT Hương Thủy Lớp: 118 Tiết 6; Thứ 6, ngày 25 tháng 03 năm 2011 I. Mục tiêu yêu cầu + Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất của tư duy khoa học. + Cũng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. + Bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy linh hoạt, giúp học sinh thấy được nhiều con đường khác nhau để dẫn đến một kết quả giống nhau và học sinh có thể tự hình thành phương pháp chung để giải một bài toán. + Kích thích óc tò mò, khoa học, đặt học sinh trước tình huống có vấn đề với những cái chưa biết, những cái cần khám phá, làm cho học sinh thấy được nhu cầu, có hướng thú và quyết tâm huy động kiến thức, kinh nghiệm và năng lực tư duy sáng tạo của bản thân để tìm tòi, phát hiện các kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán. + Tạo cho học sinh tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, hứng thú trong tiếp thu kiến thức, năng lực sáng tạo trong giải toán, cố gắng để phát huy được năng lực tư duy của bản thân, rèn luyện tư duy logic, năng lực tư duy sáng tạo. II. Phương pháp dạy học - Phương pháp chủ đạo: ra bài tập, luyện tập thực hành. - Phương pháp kết hợp: trực quan, thảo luận, phân tích. Kết hợp gợi mở vấn đề, vấn đáp và thuyết trình , diễn giải. III. Kiến thức chuẩn bị + Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song. + Quan hệ vuông góc trong không gian. IV. Tiến trình bài dạy + Ổn định tổ chức lớp + Giới thiệu bài dạy Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 53 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Ra bài toán 1: Cho hai hình vuông ABCD và ADEF không cùng nằm trên một mặt phẳng. Trên cạnh AB và DE lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM=DN. 1) Tứ giác BCEF là hình gì? 2) Xác định giao điểm của đường thẳng BF và mặt phẳng (MED). 3) Xét vị trí tương đối của MN và mặt phẳng (BCE). - Yêu cầu cả lớp đọc, tìm lời giải cho bài toán. - Gọi học sinh lên bảng vẽ hình. - Yêu cầu đặt ra của bài toán là tứ giác BCEF là hình gì? Chứ không nêu cụ thể là phải chứng minh BCEF là hình thang hay hình bình hành hoặc hình vuông, hình chữ nhật,... - Giáo viên yêu cầu học sinh phải thể hiện năng lực óc phán đoán, suy luận trên cơ sở, điều kiện của A D E F B C N M I Giải: 1) Theo giả thiết AD và BC là hai cạnh đối của hình vuông nên AD//BC và AD= BC (1). Tương tự EF//AD và EF=AD (2). Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCEF có BC//EF và BC=EF nên BCEF là hình bình hành. Ta lại có: ( ) EF AF EF ABF EF AB ^ ü Þ ^ý^ þ EF BFÞ ^ . Do đó BCEF là hình chữ nhật. 2) Trong mặt phẳng (ABF) từ M kẻ MI//AF ( I AFÎ ). Do MI//AF và theo giả thiết DE//AF suy ra MI//DE. Do đó I BFÎ và ( )I mp MDEÎ Vậy ( )I BF MDE= Ç 3) Vì ABCD và ADEF là hai hình vuông có cạnh chung AD nên DE=AF=AB, tam giác AFB cân tại A. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 54 đầu bài. Sau đó gọi một số học sinh đứng tại chổ dự đoán xem khả năng hình đó là hình gì? Và đi chứng minh điều dự đoán của mình. - Tương tự giáo viên hỏi học sinh các vị trí tương đối của MN và mp(BCE) có thể xảy ra, rồi yêu cầu học sinh suy nghĩ lựa chọn ra phương án phù hợp và đi chứng minh phương án đó. - Yêu cầu học sinh nhận xét và bổ sung nếu cần. - Giáo viên nhận xét và hoàn chỉnh hóa lời giải. MI//AF MB MI MB MI AB AF Þ = Þ = suy ra tam giác MIB cân tại M. Ta có MB AB AM DE DN EN= - = - = suy ra MI=EN ; Mà MI//EN. Do đó IMNE là hình bình hành. Suy ra MN//IE; Mà ( )IE BCEÌ nên MN//mp(BCE). - Ra bài toán 2: Cho hình chóp tam giác SABC, cạnh SA vuông góc với đáy ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC. Chứng minh rằng ( ).HK SBC^ - Yêu cầu cả lớp đọc, tìm lời giải cho bài toán. - Gọi học sinh lên bảng vẽ hình. - Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh, giúp học sinh phát huy năng KH S A C B M N E Giải: Theo giả thiết H là trực tâm ABCD nên AH BC^ tại M, BH AC^ tại N. Tương tự ta có K là trực tâm SBCD nên BK SC^ tại E. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 55 lực, khả năng của bản thân để tìm ra lời giải bài toán một cách khoa học, sáng tạo. - Yêu cầu học sinh nhận xét và bổ sung nếu cần. - Giáo viên nhận xét và hoàn chỉnh hóa lời giải. - Bài toán 3: Cho ABCD đều. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A. Điểm M dÎ ; H là trực tâm của ABCD ; O là trực tâm của BCMD . Đường thẳng qua O và H cắt d tại N. Chứng minh rằng BCMN là tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. - Yêu cầu học sinh vẽ hình và giải bài toán này. (Bài toán này có đường lối giải tương tự bài toán 2 ở trên. - Giáo viên hướng dẫn, gợi ý giúp học sinh sáng tạo trong giải bài toán này là học sinh cần chứng minh ( )MC mp BOH^ và ( )OH mp BCM^ . Để chứng minh điều đó ta có thể sử dụng kết quả của bài toán 2. Ta sẽ chứng minh KH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (SBC). Thật vậy do ( )SA ABC^ và ( )BC SAM^ , (Vì BC AM^ và BC SA^ ) suy ra BC SM^ nên K SMÎ ( )HK mp SAMÞ Ì Þ BC HK^ (1). Mặt khác ;BN AC BN SA^ ^ ( )BN SACÞ ^ nên BN SC^ . Ta lại có BE SC^ ( )SC BNEÞ ^ . Do ( )HK mp BNEÌ nên SC HK^ (2). Từ (1) và (2) ( ).HK SBCÞ ^ d I H O M N B C A KJ Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 56 Ra bài tập củng cố: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác nhọn ABC. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(P) tại A lấy điểm M. Dựng ;( )BK AC K AC^ Î , ; ( )BH CM H CM^ Î . Đường thẳng KH cắt d tại N. a) Chứng minh BN CM^ b) Chứng minh MB CN^ ………………………………………………………………………………....... Xác nhận của giáo viên phổ thông: Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 57 GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM SỐ 2 Trường THPT Hương Thủy Lớp: 121 Tiết 2; Thứ 4, ngày 30 tháng 03 năm 2011 I. Mục tiêu yêu cầu + Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất của tư duy khoa học. + Rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo thông qua việc tìm được nhiều lời giải, nhiều cách giải trong đó có nhiều cách giải lạ, đặc sắc. + Bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy linh hoạt, giúp học sinh thấy được nhiều con đường khác nhau để dẫn đến một kết quả giống nhau và học sinh có thể tự hình thành phương pháp chung để giải một bài toán. + Củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. + Tạo cho học sinh tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, hứng thú trong tiếp thu kiến thức, năng lực sáng tạo trong giải toán, cố gắng để phát huy được năng lực tư duy của bản thân, rèn luyện tư duy lôgic, năng lực tư duy sáng tạo. II. Phương pháp dạy học - Phương pháp chủ đạo: ra bài tập, luyện tập thực hành. - Phương pháp kết hợp: trực quan, thảo luận, phân tích. Kết hợp gợi mở vấn đề, vấn đáp và thuyết trình , diễn giải. III. Kiến thức chuẩn bị + Kiến thức về khối đa diện và thể tích của chúng. + Kiến thức về mặt cầu, mặt trụ, mặt nón. + Kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian. IV. Tiến trình bài dạy + Ổn định tổ chức + Giới thiệu bài dạy Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 58 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Ra bài toán 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật AB=a; AD=b; SA=b là chiều cao của hình chóp. M là điểm nằm trên cạnh SA với AM=x. Mặt Phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMN theo a, b và x. - Yêu cầu cả lớp đọc, tìm lời giải cho bài toán. - Gọi học sinh lên bảng vẽ hình. - Giáo viên gợi ý, hướng dẫn, giúp học sinh phát huy khả năng, năng lực sáng tạo ở bài toán này là ở chỗ giúp học sinh chia khối ABCDMN thành hai khối sao cho có thể tính được thể tích của từng khối đó. Từ đó giáo viên giúp học sinh định hình ra và tìm được lời giải bài toán. - Yêu cầu học sinh nhận xét và bổ sung nếu cần. - Giáo viên nhận xét và hoàn chỉnh lời giải. a b b x B A D C S M N P Q Giải: Gọi V là thể tích của khối ABCDMN. Ta thấy MN//AD. Vì ( ) ( )MN MBC SAD= Ç lần lượt chứa BC//AD. Từ N kẻ đường thẳng song song với SA cắt AD tại P. Từ P kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại Q. Khi đó khối đa diện ABCDMN được chia làm hai khối ABMPQN và NCDPQ. Ta có .ABMPQN N CDPQV V V= + (1) *) Ta có ABMPQN là lăng trụ có đáy là ABMD và MN là chiều cao. Ta có SAD là tam giác vuông cân A (vì SA=AD=b). Nên tam giác SMN cũng vuông cân tại M. Do đó MN=SM=b-x . 1 . . 2 1 ( ) 2 ABMPQN ABMV S MN AB AM MN ax b x Þ = = = - *) N.CDPQ là hình chóp đáy là hình chữ Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 59 - Ra bài toán 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân, có AB=AC=a; cạnh bên AA’=a. Gọi E là trung điểm AB, F là hình chiếu vuông góc của E lên BC. Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó. - Yêu cầu cả lớp đọc, tìm lời giải cho bài toán. - Gọi học sinh lên bảng vẽ hình. - Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh tư duy để giải bài toán. - Giáo viên hướng dẫn học sinh sáng tạo ở bài toán này là ở chổ tính thể tích phần lăng trụ có chứa điểm C. - Giáo viên hướng dẫn cho học sinh biết cách tính thể tích khối CC’FADE bằng cách tính cả khối OFCC’ sau đó trừ đi thể tích của khối OAED. Khi đó học sinh sẽ biết lấy thể tích của lăng trụ trừ đi thể tích phần lăng trụ chứa điểm C được thể tích phần còn lại của lăng trụ. nhật CDPQ, chiều cao là NP. Ta có NP=b-(b-x)=x. Vậy . 1 . . 3N CDPQ V CD PD NP= 21 1 3 3 axx ax= = Thay vào (1) ta được: 21 1( ) 2 3 V ax b x ax= - + (3 ) 6 ax b x- = . a aa D E B' C' C B A A' O F Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 60 - Ra bài toán 3: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA=a, SB=b, SC=c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. - Yêu cầu cả lớp đọc, tìm các lời giải cho bài toán. - Gọi học sinh lên bảng vẽ hình. Hướng dẫn học sinh giải cách 1. Cách 1: Gọi O1 là trung điểm của AB thì O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Kẻ O1x//SC và từ trung điểm I của SC ta kẻ Iy//SO1. Gọi O là giao điểm của O1x với Iy. Khi đó O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Gọi R là bán kính của mặt cầu thì R bằng bao nhiêu? Cách 2: Từ ba cạnh SA, SB, SC dựng một hình hộp chữ nhật nhận SA, SB, SC là ba cạnh xuất phát từ đỉnh S. Khi ấy tâm của hình hộp chữ nhật chính là tâm của mặt cầu cần tìm và bán kính của mặt cầu bằng nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật đó. c b a x y I O1 C S B A O 2 2 2 2 1 1R OS O S O O= = + 2 2 4 4 AB SC = + 2 2 21 ( ) 4 SA SB SC= + + 2 2 21 ( ) 4 a b c= + + Vậy 2 2 21 2 R a b c= + + . O C S B A Ta có chiều dài đường chéo hình hộp chữ Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 61 Ta có chiều dài đường chéo hình hộp chữ nhật là: 2 2 2d a b c= + + Vậy 2 2 21 1 2 2 R d a b c= = + + . - Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh có thể áp dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán trên, nhật là: 2 2 2d a b c= + + Vậy 2 2 21 1 2 2 R d a b c= = + + . Ra bài tập củng cố: Hãy giải bài toán sau bằng các cách khác nhau. Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a. Hãy xác định và tính độ dài đường vuông góc chung AH và DB. …………………………………………………………………………………... Xác nhận của giáo viên phổ thông: Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 62 3.3.2. Tiến trình dạy học thực nghiệm Được sự cho phép của trường Trung học phổ thông Hương Thủy, nhất là sự giúp đỡ tận tình của hai giáo viên Nguyễn Thị Thúy Hằng và Nguyễn Đình Sơn chịu trách nhiệm giảng dạy tại hai lớp tác giả chọn làm thực nghiệm, tác giả đã tiến hành tổ chức dạy học thực nghiệm tại hai lớp 118, 121. 3.4. Kết quả thực nghiệm 3.4.1. Thống kê kết quả + Người làm đề tài trực tiếp dạy thực nghiệm tại hai lớp 118 và 121 của trường Trung học phổ thông Hương Thủy - Thị xã Hương Thủy - Tỉnh Thừa Thiên Huế. + Chọn lớp dạy thực nghiệm sư phạm có trình độ học vấn trung bình và trung bình khá (Vừa có học sinh yếu, trung bình, khá và giỏi) bằng cách dựa vào điểm tổng kết của năm học trước cũng như điểm tổng kết của học kỳ I. + Sau khi dạy thực nghiệm có cho bài tập về nhà làm nhằm sơ bộ đánh giá năng lực, khả năng, kết quả rèn luyện của học sinh khi có đủ thời gian tư duy. + Kiểm tra, nhận xét, đánh giá bài làm của học sinh. 3.4.2. Đánh giá Qua hai giáo án thực nghiệm sư phạm rõ ràng chưa đủ tin cậy theo thống kê toán học. Nhưng do điều kiện thời gian và cơ sở thực nghiệm còn hạn chế nên chúng ta chỉ có thể làm đến thế mà chưa thể làm rõ hơn. Do vậy, chỉ có thể coi năng lực, khả năng học sinh làm được các bài tập là một minh họa thực tế cho các biện pháp của đề tài này chứ chưa thể khẳng định gì về khoa học. 3.4.3. Kết luận Tuy thời gian thực nghiệm hạn chế nhưng qua thực nghiệm sư phạm tác giả nhận thấy trong một tiết dạy không thể truyền tải được nhiều dạng bài tập và phương pháp, nên không thể tạo được nhiều sự hứng thú, tích cực của học sinh. Hơn nữa, khi đứng trước một bài tập hình học không gian mà giáo viên ra thì sự ham thích, hứng thú cũng như năng lực và khả năng của học sinh thể hiện để giải bài tập này là còn thấp. Trong quá trình giải học sinh lại thiếu đi sự kiên trì, sự cố gắng trong việc sử dụng các thao tác trí tuệ và các thao tác tư duy sáng tạo. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 63 Nhận thấy học sinh có những khó khăn cơ bản như vậy nên tác giả thấy việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh phải là một quá trình lâu dài, nên giáo viên cần có sự chuẩn bị tốt chứ không thể nóng vội được. Trong một tiết dạy, bài dạy, bài tập giáo viên nên chỉ chọn một hoặc hai yếu tố sáng tạo nổi bật trong bài để rèn luyện cho học sinh chứ không nên quá ôm đồm quá nhiều kiến thức. Trong quá trình dạy học thì giáo viên cần quan tâm chú ý để phát hiện ra những biểu hiện tư duy, những yếu tố sáng tạo để bồi dưỡng cho học sinh. Giáo viên cũng cần phát hiện, khai thác, tận dụng các yếu tố sáng tạo tiềm ẩn trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo… để rèn luyện và phát triển lên cho học sinh. Hơn nữa, trong quá trình giải bài tập giáo viên cũng cần phải gợi ý, hướng dẫn, dẫn dắt học sinh tư duy theo các thao tác năng lực tư duy sáng tạo, để từ đó hình thành dần dần cho học sinh thói quen tự năng lực tư duy. Giáo viên cũng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của đối tượng học sinh để đưa ra các bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp các em làm được và sáng tạo các cách giải gây hứng thú cho các em, từ đó dần dần nâng cao kiến thức từ dễ tới khó. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 64 C. KẾT LUẬN Hiện nay, để đáp ứng nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục trong thời kỳ công nghiệp hóa – hiện đại hóa thì yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy vai trò chủ thể của học sinh trở thành yêu cầu cấp bách và có ý nghĩa thực tiễn. Đối với bộ môn Toán, năng lực tư duy sáng tạo là một vấn đề quan trọng. Nếu dạy học chỉ đơn thuần là giáo viên đọc – học sinh chép thì chắc chắn khả năng tư duy sáng tạo của các em sẽ bị thui chột, không có “mảnh đất” để thể hiện. Hậu quả mà phương pháp giáo dục này gây ra không chỉ dừng lại ở đó! Trong mỗi học sinh đều tiềm ẩn một năng lực và nhiệm vụ của người giáo viên là phải biết phát hiện, góp phần hình thành, nuôi dưỡng và kích thích những chồi mầm của năng khiếu ấy trong một học sinh để chúng phát triển ở mức tối đa nhất. Do vậy việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học Toán nói chung và dạy học bài tập hình học không gian là một nhiệm vụ quan trọng trong quá trình dạy học ở nhà trường trung học phổ thông. Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, bước đầu người viết đã đi từ việc nghiên cứu các cơ sở lý luận, thực tiễn của đề tài để từ đó đề xuất một số biện pháp dạy học nhằm rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập hình học không gian. Trong số các biện pháp đó, tác giả đã chú trọng đưa ra các hệ thống bài tập cụ thể, rõ ràng. Ngoài ra còn có một số biện pháp khác. Tuy nhiên để đạt hiệu quả cao đòi hỏi người giáo viên phải có sự phối kết hợp đồng bộ, nhuần nhuyễn nhiều biện pháp thì mới nâng cao năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh ở mức cao nhất. Điều này đã được thực hiện trong hai giáo án thực nghiệm và đã tiến hành dạy tại hai lớp 118, 121 trường Trung học phổ thông Hương Thủy. Tuy gặp phải một số khó khăn nhất định nhưng bước đầu đã cho kết quả khả quan đáp ứng mục đích của đề tài, khẳng định tính khả thi, hiệu quả của kết quả nghiên cứu. Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn hình học không gian là một vấn đề lớn đòi hỏi phải có thời gian và những kế hoạch cụ thể. Kết quả nghiên cứu của khóa luận này chứng tỏ giả thuyết khoa học là đúng đắn, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành. Hi vọng khóa luận sẽ góp Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 65 phần giúp học sinh học tốt và phát huy được năng lực, tính sáng tạo của bản thân trong khi học môn hình học không gian, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở nhà trường Trung học phổ thông. Khi nghiên cứu đề tài này, tác giả hi vọng góp thêm một tiếng nói của mình vào việc cụ thể hóa những quan điểm dạy học theo hướng đổi mới, phát huy vai trò chủ thể của người học. Tuy nhiên do sự hạn chế về mặt kinh nghiệm, năng lực, thời gian, tài liệu vì vậy trong quá trình khai thác và triển khai đề tài chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình từ phía thầy cô và các bạn để đề tài hoàn thiện hơn. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 66 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A.P. Septulin (1987), Phương pháp nhận thức biện chứng, Bản dịch Tiếng Việt của Nguyễn Đình Lâm và Nguyễn Thanh Thủy, Nhà xuất bản Sách giáo khoa Mác – Lênin. 2. Trần Nguyệt Anh (2000), Bước đầu khai thác và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải bài tập hình học không gian, Luận văn thạc sĩ. 3. Phạm Bảo (2010), Nhiều cách giải cho một bài toán, Toán học tuổi trẻ, Số 395 (5-2010). 4. Nguyễn Văn Cát (2000), Muốn giỏi toán Hình học không gian, Nhà xuất bả trẻ. 5. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, Sai lầm phổ biến khi giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục. 6. Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông, Nhà xuất bản Hà Nội. 7. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, Nhà xuất bản Giáo dục. 8. Văn Như Cương, Đoàn Quỳnh, 2009, Hình học Nâng cao 11 và 12, Nhà xuất bản Giáo dục. 9. G.Pôli (1975), Sáng tạo toán học (1, 2, 3), Bản dịch tiếng việt của Nguyễn Sỹ Tuyển và Phan Tất Đắc, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 10. G.Pôli (1976), Toán học và những suy luận có lý, Bản dịch tiếng việt của Hà Sỹ Hồ (Chủ biên), Nhà xuất bản Giáo dục. 11. G. Pôli (1979), Giải một bài toán như thế nào, Bản dịch tiếng việt của Hồ Thuần và Bùi Tường, Nhà xuất bản Giáo dục. 12. Đào Thế Hưng (1997), Tạp chí Toán học và tuổi trẻ: “Một số kinh nghiệm giải bài toán Hình học không gian”, Nhà xuất bản Giáo dục. Khóa luận tốt nghiệp SVTT: Nguyễn Văn Hiền 67 13. Kơrutexki.V.A (1973), Tâm lý năng lực toán học của học sinh, Nhà xuất bản Giáo dục. 14. Phạm Đình Khương (1998), Rèn luyện tư duy học toán cho học sinh qua giải bài tập toán, Nghiên cứu giáo dục. 15. Đào Tam, Nguyễn Quý Duy, Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán - tập 5 hình học không gian. 16. Ngô Thị Bích Thủy (2002), Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học Hình học 11, Luận văn thạc sĩ. 17. Đinh Văn Tố (1981), Phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập. 18. Tuyển tập 30 năm Tạp chí toán học và Tuổi trẻ (1997), Nhà xuất bản Giáo dục. 19. Trần Thúc Trình (1998), Tư duy và hoạt động toán học, Viện khoa học giáo dục. 20. Phan Thị Ánh Tuyết (2005), Một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong việc giải toán Hình học 11, Khóa luận tốt nghiệp. 21. Nguyễn Cảnh Toàn (1993), Đổi mới cách suy nghĩ về tư duy toán học sáng tạo, Thế giới mới. 22. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Một phương pháp suy nghĩ sáng tạo, Tạp chí toán học và Tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục. 23. Nguyễn Cảnh Toàn (1995), Soạn bài dạy trên lớp theo tinh thần dẫn dắt học sinh sáng tạo, tự dành lấy kiến thức, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục. 24. Trần Vui (chủ biên) (2005), Một số xu hướng mới trong dạy học toán THPT. Giáo trình bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên toán THPT chu kỳ III, Nhà xuất bản Giáo dục. 25. Đặng Quang Việt (1998), Sự kết hợp giữa trí tưởng tượng không gian và tư duy logic trong dạy học hình học, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục.