Luận án Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact

n cho bởi ∆p(z1, · · · , zn) = ( 2m√pz1,√pz2, · · · ,√pzn−1, pzn) và các miền Ωp := ∆p(Ω ∩ U), Dp := ψp(Ω ∩ U). Bằng cách đặt ψ˜p = ψp |Ω∩U ◦∆−1p ta nhận được dãy các song chỉnh hình ψ˜p : Ωp → Dp (0′,−1) 7→ (0′,−1). Áp dụng Mệnh đề 1.1.7, ta có thể chỉ ra rằng dãy {ψ˜p} hội tụ đến song chỉnh hình ψ˜ : MH →MQ∞. Điều này suy ra rằng degQ∞ = degH = 2m và degQp = 2m với p đủ lớn. Dễ dàng thấy rằng Ωp đến MH . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng Dp hội tụ đếnMQ∞. Theo Mệnh đề 1.1.8, dãy {ψ−1p } hội tụ đều trên các tập con compact củaMQ∞ đến p∞. Điều này có nghĩa là: với mọiK bMQ∞, ta có ψ−1p (K) b Ω∩U (tức là:K b Dp) với p đủ lớn. Mặt khác, doK b Dp với p đủ lớn nên ta có ψ−1p (K) b Ω∩U . Điều này suy ra rằng K bMQp với p đủ lớn. Do đó, K bMQ∞. Sự hội tụ của ψ˜−1p (tương ứng ψ˜p) được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2.12 (tương ứng Bổ đề 1.1.9). Cuối cùng, do ψ˜(MH) ⊂MQ∞ và ψ˜(0′,−1) = (0′,−1) nên bằng cách áp dụng nguyên lý cực đại cho hàm Re ψ˜n +Q∞ ◦ ψ˜1 + |ψ˜2|2 + · · ·+ |ψ˜n−1|2 ta thấy rằng ψ˜(MH) ⊂MQ∞. Từ Bổ đề 1.3.1, ta có degQ∞ = 2m. Điều này kết thúc chứng minh phần b). c) Ta xét song chỉnh hình đã được xây dựng ở phần a) ψ : Ω→MQ z˜0 7→ (0′,−1). 51 Ta biết rằng Q = lim 1 p 2m∑ l=2 (τ1(η ′ p, p)) lPl,p, trong đó η′p = (η1p, · · · , ηnp + p) ∈ ∂Ω, p > 0, lim p = lim τ1(η′p, p) = 0, Pl,p := ∑ j+k=l ajk(η ′ p)w j 1w¯ k 1 , lim ‖Pl,p‖ = 0 với l < 2m và limP2m,p = H. Tuy nhiên, theo phần b), bậc của Q bằng 2m. Do đó, p ≈ τ1(η ′ p, p) 2m. Vì vậy phần thuần nhất bậc 2m của đa thức Q bằng λH với λ > 0 nào đó. Lấy hợp thành ψ với (z1, z2, · · · , zn) → (λ1/2mz1, z2, · · · , zn) ta được điều cần chứng minh. Bây giờ ta cần nhắc lại bổ đề sau (xem [8, Bổ đề 4.2]). Bổ đề 1.3.4. Giả sử Q ∈ P2m với degQ > 2 và tồn tại dãy zk ∈ C hội tụ đến ∞ sao cho limQj,q¯(zk) = 0 với j, q > 0 và (j + q) < degQ. Khi đó, tồn tại một số ν ∈ [0, 2pi) sao cho (i) lim Re(eiνzk) = 0, (ii) Q = λ[(2 Re(eiνz))s − 2 Re(eiνz)s], trong đó λ > 0 và s = degQ. Để chứng minh định lý chính thứ nhất ta cũng cần bổ đề sau. Bổ đề này là một mở rộng của [8, Bổ đề 4.3]. Bổ đề 1.3.5. Giả sử Ω là một miền trong Cn với biên nhẵn, giả lồi và có kiểu hữu hạn trong một lân cận nào đó của ξ. Giả sử rằng tồn tại song chỉnh hình f : MQ → Ω (Q ∈ P2m) và dãy nào đó ap trong MQ sao cho (i) lim |ap| = +∞, 52 (ii) |Re anp +Q(a1p) + |a2p|2 + · · ·+ |an−1p|2| ≥ c > 0, ∀p ≥ 0, (iii) lim f(ap) = ξ. Khi đó, limt→+∞ f(z′, zn ± it) = ξ với bất kì z ∈MQ. Chứng minh. Gọi φ là hàm chỉnh hình trên MQ đã được đưa ra ở phần đầu của chứng minh Bổ đề 1.3.3. Do |φ(z)| < 1 và φ(z) hội tụ đến 1 khi z → ∞ nên tồn tại các hằng số A > 0 và a > 0 sao cho ta có thể định nghĩa được hàm đa điều hòa dưới âm φ˜ trên MQ bởi φ˜ = max(|φ|2 − 1,−a) trên MQ \ {|z| ≤ A} φ˜ = −a trên MQ ∩ {|z| < A} Theo cách xây dựng, φ˜ thỏa mãn các ước lượng sau |φ˜(z)| . [|zn|+ |z1|2m]−1/N với |z| ≥M > 0, (1.36) trong đó M > 0 là số đủ lớn. Áp dụng bổ đề Holf cho hàm φ˜ ◦ f−1, ta có thể tìm được một lân cận V của ξ sao cho d[f(z), ∂Ω] . [|zn|+ |z1|2m]−1/N với |z| ≥M và f(z) ∈ V. (1.37) Gọi (a′p, zn) ∈ MQ là một dãy cho trước sao cho f(a′p, zn) ∈ V . Xét đĩa giải tích h ∈ H(∆,Ω) cho bởi h(u) = f(a′p, zn + u|cp|), trong đó cp = Re zn +Q(a1p) + |a2p|2 + · · ·+ |an−1p|2. Từ Định lý 1.2.12, ta suy ra rằng |u| ≤ 1/2⇒ |h(u)− h(0)| . d(h(0), ∂Ω)1/2m. (1.38) Từ (1.37) và (1.38), ta có |∂fj ∂zn (a′p, zn)| . 1|Re zn +Q(a1p) + |a2p|2 + · · ·+ |an−1p|2|(|zn|+ |a1p|2m)α (1.39) 53 với |z| ≥M , f(a′p, zn) ∈ V ∩ Ω, j = 1, · · · , n và α = (2mN)−1. Xét dãy ánh xạ Fp : [0,+∞)→ Ω cho bởi Fp(x) = f(a ′ p, anp − x). Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng (Fp) hội tụ đều trên [0,+∞) đến ξ0. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng điều này không đúng. Tồn tại hình cầu B ⊂ V tâm ξ và một dãy Xp ∈ (0,+∞) sao cho Fp(Xp) ∈ ∂B và Fp([0, Xp]) ⊂ B ⊂ V (trích dãy con nếu cần và chú ý rằng limFp(0) = ξ do điều kiện iii)). Từ bất đẳng thức (1.39) và điều kiện ii), ta có |Fp(Xp)− Fp(0)| . ∫ +∞ 0 dx (x+ c)[|x− Re anp|+Bp]α , (1.40) trong đó Bp := | Im anp| + 2|a1p|2m. Kí hiệu Ip := ∫ +∞ 0 hp(x)dx là tích phân ở vế phải của (1.40). Ta sẽ dẫn đến mâu thuẫn bằng việc chỉ ra rằng lim inf Ip = 0. Nếu lim inf(Re anp) = −∞ thì điều này được suy ra trực tiếp từ định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue vì hp(x) ≤ (x+ c)−(α+1). Nếu lim inf(Re anp) > −∞ thì tồn tại số K > 0 sao cho Re anp ≤ −K với mọi p. Do đó, |Re anp| ≤ max(K, |Q(a1p)|) và từ i) suy ra rằng limBp = +∞. Đặt y = x− Re anp, ta nhận được Ip = ∫ +∞ K dy (y + c+ Re anp)(y +Bp)α + ∫ K −Re anp dy (y + c+ Re anp)(|y|+Bp)α . (1.41) Theo định lý Lebesgue tích phân đầu hội tụ về không. Mặt khác, tích phân thứ hai nhỏ hơn đại lượng B−αp ∫ K −Re anp dy y + c+ Re anp = B−αp Ln( K + c+ Re anp c ). 54 Do −K ≤ Re anp ≤ |Q(a1p)| . |a1p|2m nên tích phân thứ hai cũng hội tụ về không. Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại dãy {ξp}, ξp ∈ ∂Ω sao cho lim ξp = ξ và limx→+∞ f(a′p, anp − x) = limt→+∞ f(a′p, anp ± it) = ξp với mọi p. Theo chứng minh trên, ta có thể giả sử rằng Fp([0,+∞)) ⊂ V . Do đó từ (1.39) và ii) ta có ∀X,X ′ ∈ [0,+∞) : |Fp(X)− Fp(X ′)| . ∫ X ′ X dx (x+ c)[|x− Re anp|+Bp]α (1.42) Điều này chứng minh sự tồn tại của dãy {ξp}. Sự hội tụ của dãy này suy ra từ sự hội tụ của dãy {Fp}. Bây giờ ta còn phải chứng tỏ rằng limt→+∞ f(a′p, anp±it) = ξp với mọi p. Giả sử rằng điều này không đúng. Khi đó, tồn tại hình cầu đủ nhỏ B ⊂ V tâm ξp và một dãy {Xl} sao cho f(a′p, anp + iXl) 6⊂ B và lim |Xl| = +∞. Xét đường γl : [0, 1]→MQ cho bởi γl(t) = (1− t)(a′p, anp− |Xl|) + t(a′p, anp + iXl). Do lim f ◦ γl(0) = ξp nên tồn tại xl ∈ [0, 1] sao cho f ◦ γl(xl) ∈ ∂B và f ◦ γl([0, xl]) ⊂ B ⊂ V . Vì vậy, từ (1.39) và ii), ta có |f ◦ γl(0)− f ◦ γl(xl)| . ∫ xl 0 dx [c+ (1− u)|xl|][Xl]α . |Xl|−αLn(c+ |Xl| c ). (1.43) Điều này không thể xảy ra. Ta sẽ kết thúc chứng minh bằng việc chỉ ra rằng dãy {ξp} thực sự là dãy hằng. Do lim ξp = ξ nên ta có thể giả sử rằng ∂Ω giả lồi, kiểu hữu hạn tại ξp. Do đó, theo Mệnh đề 1.1.8, ta có limt→+∞ f(z′, zn ± it) = ξp với bất kì z ∈MQ. Vì vậy dãy {ξp} là dãy hằng. 55 Việc kiểm soát dãy các phép co giãn kết hợp với quỹ đạo {ϕp(z˜0)} liên quan chặt chẽ với dáng điệu của {ϕp(z˜0)} trong Ω. Nhưng tiếc rằng việc kiểm tra trực tiếp dáng điệu này dường như không thể. Vì thế mục đích của chúng ta là nghiên cứu ảnh của dãy {ϕp(z˜0)} trong một mô hình đa thức MQ của Ω. Từ đó, chứng minh của Định lý 1.3.2 được suy ra từ mệnh đề sau. Mệnh đề 1.3.6. Giả sử Ω là một miền trong Cn thỏa mãn các giả thiết sau (1) ∂Ω nhẵn, giả lồi trong một lân cận nào đó của p∞ ∈ ∂Ω và có kiểu 2m tại p∞, (2) ∃z0 ∈ Ω, ∃ϕp ∈ Aut(Ω) sao cho limϕp(z0) = p∞. Gọi z˜0 ∈ Ω và Q ∈ P(Ω, z˜0) được cho bởi Mệnh đề 1.3.3. Đặt ψ là song chỉnh hình giữa Ω và MQ, nó biến z˜0 thành điểm (0 ′,−1). Kí hiệu ψ ◦ ϕp(z˜0) bởi ap = (a1p, · · · , anp) và kí hiệu |Reψn ◦ ϕp(z˜0) +Q[ψ1 ◦ ϕp(z˜0)] + |ψ2 ◦ ϕp(z˜0)|2 + · · · + |ψn−1 ◦ ϕp(z˜0)|2| bởi p. Gọi H là phần thuần nhất bậc cao nhất của đa thức Q. Khi đó, ta có ba khả năng sau đây. (i) Nếu lim p = 0 và lim inf |a1p| < +∞, thì Q(z) = H(z − a) + 2 Re ∑2m j=0 Qj(a) j! (z − a)j(a ∈ C) và Ω 'MH , (ii) Nếu lim p = 0 và lim inf |a1p| = +∞ thì Q(z) = H = λ[(2 Re(eiνz))2m− 2 Re(eiνz)2m](λ > 0, ν ∈ [0, 2pi)) và Ω 'MH , (iii) lim sup p > 0 thì H = λ|z|2m(λ > 0) và Ω 'MH . 56 Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng degQ > 2. Nếu không thì Q = |z|2 và Mệnh đề được suy ra từ Mệnh đề 1.3.3. Xét trường hợp lim p = 0. Định nghĩa dãy đa thức {Qp} bởi Qp = 1 p ∑ j,q>0 Qj,q¯(a1p) (j + q)! τ j+qp z j 1z¯ q 1, (1.44) trong đó τp > 0 được chọn để ‖Qp‖ = 1. Lấy dãy con nếu cần ta có thể giả sử rằng limQp = Q∞, trong đó Q∞ ∈ P2m và ‖Q∞‖ = 1. Ta xét dãy các tự đẳng cấu của Cn sau φp : Cn → Cn, z 7→ z′, trong đó z′ cho bởi z′n = 1 p [ zn − anp − p + 2 2m∑ j=1 Qj(a1p) j! (z1 − a1p)j + 2 n−1∑ j=2 a¯jp(zj − ajp) ] z′1 = 1 τp [z1 − a1p] z′2 = 1√ p [z2 − a2p] ... z′n−1 = 1√ p [zn−1 − an−1p] (1.45) Dễ dàng kiểm tra thấy rằng φp là song chỉnh hình từ MQ lên MQp và biến ap thành (0 ′,−1). Theo chứng minh của Mệnh đề 1.3.3, tồn tại lân cận U của p∞ và dãy các phép biến đổi Tp kết hợp với dãy ϕp(z˜0) sao cho dãy các miền Dp := Tp(Ω ∩ U) hội tụ đến mô hình MQ. Đặt ψp = (φp ◦ ψ) |Ω∩U ◦T−1p và Mp := φp ◦ ψ(Ω ∩ U), ta định nghĩa dãy các 57 tự đẳng cấu ψp : Dp →Mp (0′,−1) 7→ (0′,−1). Lập luận tương tự như ở mục trong chứng minh Mệnh đề 1.3.3, ta có thể giả sử rằng (ψp) hội tụ đến song chỉnh hình nào đó ψ∞ từ MQ lên MQ∞ (ở đây, ta cũng áp dụng Định lý 1.2.12 và Bổ đề 1.1.9). Do đó, ψ∞ ◦ψ là một song chỉnh hình giữa Ω và MQ∞ biến z˜0 thành (0′,−1). Vì vậy, Mệnh đề 1.3.3b) suy ra rằng degQ∞ = 2m. Nhưng đồng nhất thức (1.44) chứng tỏ rằng điều này là không thể trừ trường hợp τp ≈ 1/2mp (1.46) và limQj,q¯(a1p) = 0 với j, q > 0 và j + q < 2m. (1.47) Nếu lim inf |a1p| < +∞ thì trích ra dãy con nếu cần ta có thể giả sử rằng lim a1p = a. Do đó, (1.47) suy ra Qj,q¯(a) = 0 với j, q > 0 và j + q < 2m. Vì phần thuần nhất bậc 2m trong Q bằng H nên điều này chứng minh i). Nếu lim |a1p| = +∞ thì khẳng định ii) được suy ra từ Bổ đề 1.3.4. Bây giờ ta xét trường hợp lim sup p > 0. Lấy dãy con nếu cần ta có thể giả sử rằng p ≥ c > 0 với mọi p. Ta sẽ nghiên cứu tác động thực (gt) lên Ω bởi  g : R× Ω→ Ω (t, z) 7→ gt(z) gt(z) = ψ −1[ψ(z) + (0′, it)]. (1.48) 58 Từ Bổ đề 1.3.5, ta kết luận rằng tác động này là tác động parabolic, tức là ∀z ∈ Ω : lim t→±∞ gt(z) = p∞. (1.49) Theo [4], tác động (gt)t là nhẵn. Vì thế, ta có thể xét trường véctơ tiếp xúc chỉnh hình ~X xác định trong một lân cận của điểm p∞ trong ∂Ω cho bởi ~X = d dt gt(z) ∣∣∣ t=0 . Áp dụng các kết quả của E. Bedford và S. Pinchuk [3], [4], ta kết luận rằng H = |z|2m. Sau đó, ta có thể áp dụng kĩ thuật scaling để chỉ ra rằng Ω song chỉnh hình với M|z|2m. Điều này kết thúc chứng minh Mệnh đề 1.3.6. Chương 2 Đặc trưng của miền lồi tuyến tính trong Cn bởi nhóm tự đẳng cấu không compact Trong chương này, chúng tôi chứng minh kết quả chính thứ hai của luận án (Định lý 2.3.2). Kết quả này là mở rộng kết quả của H. Gaussier [16] và đã được công bố trong bài báo [35]. Trong bài báo [16], H. Gaussier đã sử dụng tính chất tách miền bởi các siêu phẳng tựa để chỉ ra tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ scaling. Đối với miền không lồi thì tính chất này không còn nữa. Tuy nhiên, nếu miền là lồi tuyến tính thì chúng tôi sẽ chỉ ra rằng miền cũng tách được bởi các nón. Từ đó, tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ scaling được chứng minh bằng các kỹ thuật cơ bản của Giải tích phức. Để trình bày kết quả này, mục đầu dành cho việc xây dựng các đa đĩa quanh những điểm gần biên của miền lồi tuyến tính và nêu ra một số tính chất của nó. Trong mục 2.2, ta xét các đa đĩa tâm tại qν := hν(q), trong đó q ∈ Ω và dãy các tự đẳng cấu {hν}ν hội tụ đến 59 60 p∞. Điều này cho phép ánh xạ miền Ω thành các miền scaling bằng cách co giãn hệ toạ độ. Sau đó, chúng ta chỉ ra rằng các miền scaling hội tụ đến miền với hàm xác định biên đa thức (một mô hình đa thức). Trong mục 2.3, chúng tôi chứng minh tính chuẩn tắc của dãy scaling. Từ đó, miền Ω song chỉnh hình với mô hình trên. 2.1 Hệ toạ độ và đa đĩa của M. Conrad Trong luận án tiến sỹ, M. Conrad [43] đã đưa ra cách xây dựng các đa đĩa trên các miền lồi tuyến tính trong Cn và đồng thời chứng minh một số tính chất của các đa đĩa này. Nhưng những kết quả này chưa được xuất bản. Vì vậy, để tiện lợi chúng tôi sẽ đưa ra các chứng minh chi tiết. Hệ toạ độ trong Cn được ký hiệu bởi z = (z1, z′), trong đó z1 ∈ C và z′ ∈ Cn−1. Giả sử Ω là một miền trong Cn với biên ∂Ω nhẵn, lồi tuyến tính và có kiểu hữu hạn trong một lân cận nào đó của điểm p∞. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng p∞ = 0 và kiểu của ∂Ω tại gốc tọa độ bằng 2m. Khi đó, tồn tại một lân cận U của p∞ = 0 trong Cn sao cho Ω ∩ U là miền lồi tuyến tính và được xác định bởi một hàm nhẵn r(z1, z ′) = Re z1 + h(Im z1, z′), trong đó h là một hàm nhẵn. Chúng ta có thể giả sử rằng tồn tại một số thực dương 0 > 0 sao cho các tập mức {r(z) = } là lồi tuyến tính với mọi −0 <  < 0. Với mỗi  ∈ (0, 0/2), q ∈ Ω ∩ U thoả mãn |r(q)| < 0/2 và mỗi véctơ 61 đơn vị v ∈ Sn−1 := {v ∈ Cn : |v| = 1}, ta đặt τ(q, v, ) := sup{ρ > 0 : r(q+λv)−r(q) <  với λ ∈ C thoả mãn |λ| < ρ}. Dễ dàng thấy rằng τ(q, v, ) là khoảng cách từ q đến Sq, := {r(z) = r(q) + } dọc theo đường thẳng phức {q+λv : λ ∈ C}. Đối với mỗi điểm q ∈ Ω ∩ U và bất kỳ hằng số dương đủ nhỏ  ta kết hợp với (1) Một hệ toạ độ chỉnh hình (z1, z2, · · · , zn) tâm tại q và bảo toàn tính trực giao, (2) Các điểm p1, p2, · · · , pn trên siêu mặt Sq, và (3) Các số thực dương τ1(q, ), τ2(q, ), · · · , τn(q, ). Cách xây dựng đa đĩa được tiến hành như sau. Trước hết, ta đặt e1 := ∇r(q) |∇r(q)| và τ1(q, ) := τ(q, e1, ). Với  đủ bé, tồn tại duy nhất điểm p1 thuộc Sq, sao cho khoảng cách trên đạt được. Chọn một tham số hoá toạ độ của đường thẳng phức nối q với p1 sao cho z1(0) = q và p1 nằm trên trục thực dương Re z1. Bởi cách chọn trục thực dương cho toạ độ z1, ta có ∂r ∂x1 (q) = 1 và vì thế nếu U đủ bé thì ∂r∂x1 (z) ≈ 1 với mọi z ∈ U. Mặt khác, chúng ta cũng có τ1(q, ) ≈ , (2.1) ở đây hằng số xác định một cách độc lập với q và . Bây giờ ta xét phần bù trực giao H1 của không gian sinh bởi tọa độ z1 trong Cn. Với mỗi γ ∈ H1 ∩ Sn−1, ta tính τ(q, γ, ). Do giả thiết biên ∂Ω có kiểu 62 hữu hạn nên khoảng cách lớn nhất là hữu hạn và đạt được tại véctơ e2 ∈ H1 ∩ Sn−1 nào đó. Đặt τ2(q, ) := τ(q, e2, ). Gọi p2 ∈ Sq, là điểm sao cho p2 = q + τ2(q, )e2. Toạ độ z2 được xác định bởi việc tham số hoá đường thẳng phức nối q với p2 sao cho z2(0) = q và p2 nằm trên trục thực dương Re z2. Tiếp theo, ta gọi H2 là phần bù trực giao của không gian sinh bởi z1 và z2 trong Cn và lặp lại cách xây dựng ở trên. Cứ tiếp tục quá trình này ta nhận được n hàm toạ độ zj, các véctơ ej, các số τj(q, ) và các điểm pj(1 ≤ j ≤ n). Do cách xây dựng ta có ∂r ∂zj (pk) = 0 và ∂r ∂yk (pk) = 0 với mọi j > k ≥ 2, (2.2) trong đó zj = xj + iyj (1 ≤ j ≤ n). Các -đa đĩa và các đồng dạng của nó theo hệ số c > 0 được định nghĩa bởi cP(q) = {z ∈ Cn : |zk − qk| < cτk(q, ) , 1 ≤ k ≤ n}. Bổ đề 2.1.1. Tồn tại hằng số c > 0 sao cho (i) τ1(q, ) ≤ c, (ii) Với mọi j ≥ 2, τj(q, ) ≤ c1/2m. Chứng minh. (i) được suy ra từ cách xây dựng hệ tọa độ. (ii) Giả sử ngược lại rằng tồn tại hằng số C > 0, chỉ số j, điểm q ∈ Ω∩U và  > 0 sao cho τj(q, ) 2m+1 ≥ C.. Do  ≥ r(q + λej) − r(q) với mọi λ ∈ C thoả mãn |λ| < τj(q, ), ta có τj(q, )2m+1 ≥ C.(r(q+ λej)− r(q)). Khi đó, tồn tại đường thẳng phức C 3 λ 7→ q + λej có cấp tiếp xúc lớn hơn 2m đối với Sq,0. Điều này trái với giả thiết của ta và (ii) đã được chứng minh. 63 Do tính lồi tuyến tính của mặt mức {r(z) = } nên chúng ta có hai bổ đề sau. Bổ đề 2.1.2. Tồn tại hằng số c1 sao cho, với mọi q ∈ Ω ∩ U và 0 <  < 0/2, ta có: c1P(q) ⊂ {r(z) < r(q) + } (2.3) Chứng minh. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng (2.3) đúng với c1 = 1 4n . Gọi (z1, z2, · · · , zn) là hệ toạ độ tương ứng với q và  trong xây dựng ở trên. Với mỗi z ∈ P(q), ta định nghĩa hàm h(z) = n∑ k=1 |xk|+ |yk| τk(q, ) , trong đó xk = Re zk, yk = Im zk. Dễ dàng thấy rằng h(z) < 1, ∀z ∈ c1P(q). Chúng ta sẽ chứng minh rằng h(Q) ≥ 1 với mọi Q ∈ Sq, ∩ U ∩ P(q). Điều này kết thúc việc chứng minh bổ đề. Giả sử ngược lại rằng h(Q) < 1. Gọi H là không gian tiếp xúc với Sq, tại Q. Khi đó, tồn tại một véctơ X ∈ Cn, X 6= 0 sao cho H = {z ∈ Cn :=}. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng Xk 6= 0 với k = 1, 2, · · · , n. Bởi nếu không ta xét điểm Q˜ ∈ H ∩P(q) trong U ∩{z : zk = 0 nếu Xk = 0} với Q˜ :=  0 nếu Xk = 0 Qk nếu ngược lại. Do chiều phức của H là n− 1 và Xk 6= 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n, nên tồn tại các điểm zk = λkek ∈ H thoả mãn λk ∈ C for 1 ≤ k ≤ n. Do đó, ta có |zk| ≥ τk(q, ) (1 ≤ k ≤ n). (2.4) 64 Bây giờ siêu phẳng được biểu diễn dưới dạng H = {z = z1 + n∑ k=2 αk(z 1 − zk), αk ∈ C}. Do Q ∈ H nên Q = z1 +∑nk=2 αk(z1 − zk), trong đó α2, α3, · · · , αn là các số phức nào đó. Vì vậy Q1 = (1 + n∑ k=2 αk)z 1 1 và Qk = −αkzkk , k = 2, · · · , n. (2.5) Nếu h(Q) h(Q) = ∑n k=1 |xk|+ |yk| τk(q, ) = ∑n k=1 |Qk| τk(q, ) . Từ (2.5) và (2.4), ta có |Q1| τ1(q, ) < 1− n∑ k=2 |Qk| τk(q,  ≤ 1− n∑ k=2 |αk|. (2.6) Tuy nhiên, từ (2.5) ta cũng có |Q1| = |1 + n∑ k=2 αk||z1| ≥ |1 + n∑ k=2 αk|τ1(q, ). (2.7) Vì vậy, từ (2.6) và (2.7) ta có 1− n∑ k=2 |αk| > |1 + n∑ k=2 αk| ≥ 1− n∑ k=2 |αk|. Bất đẳng thức trên là mâu thuẫn. Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2.1.3. Tồn tại hằng số c2 > 0 sao cho c2P(q) ⊃ {r(z) > r(q)− }. Chứng minh. Áp dụng định lý hàm ẩn và phép biến đổi toạ độ, ta có: r(z)− r(q) = Re z1 + h1(z′) + h2(Im z1, z′). (2.8) 65 Do Sq,0 lồi tuyến tính nên h1(z ′) ≥ 0. Hơn nữa, |h2(Im z1, z′)| . | Im z1|. (2.9) Từ (2.1), với mọi z ∈ P(q) ta có r(z)− r(q) ≥ Re z1 + 0− C| Im z1| & −|z1| & τ1(q, ) ≈ −. Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2.1.4. Tồn tại hằng số C > 0 sao cho, với mọi q ∈ Ω ∩ U , ta có Γq ∩ Ωq,0 ∩ U = ∅, trong đó Γq := {z ∈ Cn : γq(z) = Re(∂r(q)(z − q)) − C| Im(∂r(q)(z − q))| ≥ 0}; Ωq, := {r(z) < r(q) + }. Chứng minh. Từ (2.9) và (2.8), tồn tại hằng số A sao cho, với mọi z ∈ Ωq,0 ∩ U , ta có 0 ≥ r(z)− r(q) ≥ Re z1 − A| Im z1|. Do cách chọn hệ toạ độ nên ta có ∂r(q) = (1, 0, · · · , 0) và vì thế γq(z) = Re z1 − C| Im z1|. Lấy C ≥ A, ta nhận được γq(z) ≤ Re z1 − A| Im z1| < 0, ∀z ∈ Ωq,0 ∩ U . Vì vậy, Γq ∩ Ωq,0 ∩ U = ∅. Nhận xét 2.1.5. Hằng số C bất biến qua mọi cách thay đổi toạ độ. Bổ đề 2.1.6. (i) Với mọi j ≤ n, ta có ∂r∂zj (pj) là số thực. (ii) Tồn tại hằng số c > 0 sao cho với mọi j ≤ n, ta có | ∂r ∂zj (pj)| ≥ cτ1(q, ) τj(q, ) . 66 (iii) Nếu j ≤ n− 1 thì ∂r∂zk (pj) = 0 với mọi k > j. Chứng minh. i) và iii) được suy ra từ cách xây dựng ở trên. ii) Trong hệ toạ độ (z1, z2, · · · , zn), x1 trực giao với Sq, tại p1 và là một thay đổi nhỏ của pháp tuyến của mặt ∂Ω tại p∞. Chọn lân cận U nhỏ hơn nếu cần và do dạng của hàm xác định biên r, với mỗi q trong U và với  đủ bé, chúng ta có thể giả sử rằng 1 2 ≤ | ∂r ∂x1 (p1)| ≤ 2. Điều này chứng minh ii) cho trường hợp j = 1. Bây giờ ta xét các nón Γpk với k = 2, · · · , n. Theo i) ta có Im ∂r(pk)pk = 0. Đặt αk := τ1(q, ) ∂r ∂z1 (pk). Khi đó, |αk| ≈ τ1(q, ) và Imαk ∂r∂z1 (pk) = 0. Với hằng số thích hợp c > 0 (độc lập với q, ) thì wk ∈ Sq,, trong đó wk := (cαk, 0, · · · , 0). Theo Bổ đề 2.1.4, ta có γpk(w k) ≤ 0, nghĩa là: Re ∂r ∂z1 (pk)cαk ≤ Re ∂r ∂zk (pk)τk(q, ). (2.10) Từ Re ∂r∂z1 (pk)cαk ≈ | ∂r∂z1 (pk)|2τ1(q, ) & τ1(q, ), ta suy ra rằng ii) đúng với mọi k = 2, · · · , n. 2.2 Scaling miền Ω ∩ U Trong mục này, chúng ta sử dụng phương pháp của H. Gaussier [16] để khẳng định rằng dãy miền scaling hội tụ. Giả sử rằng p∞ là điểm 67 tụ quỹ đạo của miền Ω trong Cn. Khi đó, tồn tại dãy các tự đẳng cấu {hν}ν≥0 của miền Ω và tồn tại điểm q trong Ω sao cho lim ν→∞hν(q) = p∞. Để thuận tiện chúng ta sử dụng các ký hiệu như sau. qν = hν(q), ν = −r(qν). Tương ứng với qν và ν, ta có hệ toạ độ mới (z ν 1 , · · · , zνn), các số thực dương τν,1, · · · , τν,n và các điểm pν1, · · · , pνn. Phép đổi toạ độ từ hệ toạ độ chính tắc sang hệ mới (zν1 , · · · , zνn) là hợp thành của một phép tịnh tiến Tν và một phép biến đổi Unita Aν. Hơn nữa, (Aν ◦ Tν)−1 xác định trong một lân cận cố định của gốc toạ độ. Hàm xác định biên tương ứng rν được xác định bởi rν := r ◦ (Aν ◦ Tν)−1. Trong một lân cận cố định của z = 0 ta có thể viết rν(z) = −ν + Re( n∑ j=1 aνjzj) + ∑ 2≤|α|+|β|≤2m Cναβz ′αz′β +O(|z|2m+1), trong đó α = (α2, · · · , αn), |α| = α2 + · · · + αn và z′α = zα22 . · · · .zαnn . Ở đây, đại lượng O(|z|2m+1) xác định độc lập với ν. Gọi r ◦A là giới hạn của rν trên một lân cận compact cố định của p∞ khi ν dần đến vô hạn, trong đó A là phép biến đổi Unita. Khi đó, với mọi j ≤ n và với mọi đa chỉ số α và β thoã mãn 2 ≤ |α|+ |β| ≤ 2m thì tồn tại các số aj và Cαβ sao cho lim ν→∞ a ν j = aj và lim ν→∞C ν αβ = Cαβ. 68 Bây giờ ta xét các phép co giãn toạ độ Λν(z) := (τν,1z1, · · · , τν,nzn) và hàm số r˜ν = 1 ν rν ◦ Λν. Khi đó, hàm số r˜ν có dạng sau r˜ν(z) = −1 + 1 ν Re ( n∑ j=1 aνj τν,jzj ) + 1 ν ∑ 2≤|α|+|β|≤2m Cναβτ α+β ν z ′αz′β +O((ν) 1/2m|z|2m+1), trong đó τα+βν = τ α2+β2 ν,2 . · · · .ταn+βnν,n . Mệnh đề 2.2.1. Các hàm r˜ν là nhẵn và đa điều hoà dưới. Hơn nữa, tồn tại một dãy con của dãy {r˜ν}ν hội tụ đều trên các tập con compact của Cn đến một hàm đa điều hoà dưới nhẵn r˜ có dạng r˜(z) = −1 + Re (∑ j≥1 bjzj ) + P (z′), trong đó P là đa thức đa điều hoà dưới bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2m. Chứng minh. Các hàm r˜ν là nhẵn và đa điều hoà dưới do cách xây dựng. Từ đó hàm giới hạn r˜ cũng nhẵn và đa điều hoà dưới. Do O((ν) 1/2m|z|2m+1) hội tụ về không trên các tập con compact của Cn khi ν dần ra vô cùng nên chúng ta chỉ cần xem xét sự hội tụ trong không gian các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2m. Vì không gian này có chiều hữu hạn nên các chuẩn đều tương đương. Vì vậy, tồn tại hằng số dương d1 sao cho với mọi ν ≥ 1 ta có sup j,α,β {|aνj |τν,j, |Cνα,β|τα+βν } ≤ d1 sup |ω|≤C |Re( ∑ j aνj τν,jωj)+ ∑ α,β Cνα,βτ α+β ν ω ′αω¯′β|, 69 trong đó C := min{c1, c2}; c1, c2 được cho trong các Bổ đề 2.1.3 và Bổ đề 2.1.4. Điều này suy ra rằng tồn tại hằng số dương d2 sao cho với mọi ν ≥ 1, ta có sup j,α,β {|aνj |τν,j, |Cνα,β|τα+βν } ≤ d2 sup z∈CPν (qν) |Re( ∑ j aνjzj) + ∑ α,β Cνα,βz ′αz¯′β|. Từ các Bổ đề 2.1.2 và Bổ đề 2.1.3, ta nhận được sup z∈CPν (qν) |r(z)| ≤ 2ν. Mặt khác, áp dụng Bổ đề 2.1.4 và từ định nghĩa các đa đĩa Pν(q ν), ta có sup z∈CPν (qν) O(|z|2m+1) ≤ ν. Từ đó, tồn tại hằng số dương d3 độc lập với ν sao cho sup j,α,β {|aνj |τν,j, |Cνα,β|τα+βν } ≤ d3ν. Vì vậy ta có thể trích từ dãy {r˜ν}ν một dãy con hội tụ đến hàm r˜ được cho trong Mệnh đề 2.2.1, trong đó bj là các số phức. Gọi Ων là ảnh của miền Ω∩U qua phép đổi biến Λ−1ν ◦Aν ◦ Tν. Mệnh đề 2.2.1 suy ra rằng dãy miền {Ων} hội tụ đến miền D˜ = {r˜(z) < 0} theo nghĩa hội tụ chuẩn tắc theo nghĩa Carathéodory. 2.3 Tính chuẩn tắc của họ ánh xạ scaling Xét dãy ánh xạ fν từ h −1 ν (Ω ∩ U) đến Ων được cho bởi fν = Λ −1 ν ◦ Aν ◦ Tν ◦ hν. 70 Nhắc lại rằng limν→∞ h−1ν (Ω ∩ U) = Ω và trong mục trước ta đã chỉ ra rằng limν→∞Ων = D˜. Bổ đề 2.3.1. Họ ánh xạ {fν}ν là chuẩn tắc. Chứng minh. Đặt ej = Λ −1 ν (p ν j ), ν ≥ 1 và j ≥ 1. Bây giờ ta xét hệ toạ độ đã được xây dưng ở trong mục 2.2 phụ thuộc vào ν. Trong hệ toạ độ (z1, · · · , zn) như vậy, ta có pνj = (0, · · · , 0, τν,j, 0, · · · , 0) và vì thế ej = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0). Hơn nữa, ta cũng có ∂r˜ν ∂zj (ej) = τν,j ν ∂rν ∂zj (pνj ). Theo phần (ii) của Bổ đề 2.1.6, tồn tại hằng số dương d4 sao cho |∂rν ∂zj (pνj )| ≥ d4 ν τν,j . Chúng ta kết luận rằng tồn tại hằng số d5 > 0 sao cho, với ν đủ lớn, ta có |∂r˜ν ∂zj (ej)| ≥ d5. (2.11) Khi đó, phần (iii) của Bổ đề 2.1.6 suy ra rằng, với mỗi k > j và ν đủ lớn, ta có ∂r˜ν ∂zk (ej) = 0. Từ (2.11), ta có thể chỉ ra rằng họ {f 1ν}ν thành phần đầu tiên của họ ánh xạ {fν} là chuẩn tắc. Thật vậy ta có e1 thuộc ∂Ων với mọi ν. Theo Bổ đề 2.1.4, ta có γe1(z) ≤ 0 với mọi z ∈ Ων, nghĩa là:(∂r˜ν ∂x1 (e1) ) (Re z1 − 1) ≤ C.|∂r˜ν ∂x1 (e1) Im z1|. 71 Gọi K là tập con compact tuỳ ý của Ω. Với ν đủ lớn, K là tập con compact của h−1ν (Ω∩U) và vì thế fν(K) là tập con compact của Ων. Khi đó bất kỳ điểm w trong K thỏa mãn bất đẳng thức(∂r˜ν ∂x1 (e1) ) (Re f 1ν (w)− 1) ≤ C.| ∂r˜ν ∂x1 (e1) Im f 1 ν (ω)|. Do điều kiện (2.11), ta có thể giả sử rằng Re f 1ν (w)− 1 ≤ C.| Im f 1ν (w)|. Hệ quả là họ {f 1ν}ν chuẩn tắc. Hơn nữa, với mọi ν ≥ 1 ta luôn luôn có f 1ν (q) = 0. Vì thế ta có thể ta có thể trích được từ dãy {f 1ν}ν một dãy con mà ta vẫn gọi là {f 1ν}ν hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình f 1 : Ω→ C. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng {f 2ν}ν là chuẩn tắc. Theo bổ đề 2.1.4, ta có γe2(z) ≤ 0 với mọi z ∈ Ων, nghĩa là: Re (∂r˜ν ∂z1 (e2)z1 ) + ∂r˜ν ∂x2 (e2)(Re z2−1) ≤ C.| Im (∂r˜ν ∂z1 (e2)z1 ) + ∂r˜ν ∂x2 (e2) Im z2|. Hơn nữa, lim ν→∞ ∂r˜ν ∂x2 (e2) = ∂r˜ ∂x2 (e2); lim ν→∞ ∂r˜ν ∂z1 (e2)f 1 ν (w) = ∂r˜ ∂z1 (e2)f 1(w). Tiếp tục sử dụng (2.11) và trích ra dãy con nếu cần, ta có thể giả sử rằng với mọi w thuộc K và mọi ν đủ lớn, ta có Re f 2ν (w)− 1 ≤ C.| Im f 2ν (w)|. Khi đó, họ {f 2ν}ν là chuẩn tắc và tồn tại dãy con hội tụ đến hàm chỉnh hình từ Ω vào C. Lặp lại quá trình trên và trích dãy con nếu cần, ta có thể khẳng định rằng dãy {fν}ν hội tụ đến ánh xạ f từ Ω vào D˜. 72 Định lý sau đặc trưng cho miền lồi tuyến tính trong Cn. Đây là kết quả chính thứ hai của luận án. Định lý 2.3.2. Giả sử Ω là một miền trong Cn và p∞ ∈ ∂Ω là một điểm biên tụ quỹ đạo của Ω. Khi đó, nếu ∂Ω nhẵn, lồi tuyến tính địa phương trong một lân cận của p∞ và có kiểu hữu hạn 2m tại điểm p∞ thì Ω song chỉnh hình với miền sau D = {z ∈ Cn : Re z1 + P (z′) < 0}, trong đó P là một đa thức thực không suy biến đa điều hoà dưới bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2m. Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng bằng cách lấy dãy con nếu cần, các tính chất sau đúng. (i) {Ων}ν hội tụ đến D˜. (ii) {fν}ν hội tụ đều trên các tập con compact của Ω (iii) {(fν)−1}ν hội tụ đều trên các tập con compact của D˜. (iv) Nếu f := lim fν thì f(Ω) ⊂ D˜. Theo mệnh đề 1.1.7, ta khẳng định rằng Ω song chỉnh hình với miền D˜ = {(z1, z′) ∈ Cn : −1+Re( ∑n j=1 bjzj)+P (z ′) < 0}. Từ (2.11), ta thấy rằng b1 khác 0. Bằng phép biến đổi affine, miền D˜ song chỉnh hình với miền D = {(z1, z′) ∈ Cn : Re z1 + P (z′) < 0}. Do Ω là hyperbolic nên D cũng là hyperbolic và theo một kết quả của Barth [1] miền D không chứa bất kỳ đường thẳng phức. Khi đó miền ∂D cũng không chứa đường 73 thẳng phức. Theo [43, Định lý 2.1] miền D có kiểu hữu hạn và đa thức P không suy biến. Chương 3 Giả thuyết Greene-Krantz Trong chương này, chúng tôi chứng minh giả thuyết Greene-Krantz cho một lớp miền cụ thể (Định lý 3.1.1). Kết quả này đã được công bố trong bài báo [9]. Trước tiên, chúng ta giới thiệu kết quả của K. T. Kim và S. Krantz và chỉ ra lỗ hổng trong chứng minh của họ. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số bổ đề. Các bổ đề này cho phép hoàn thành chứng minh kết quả chính của chương này. 3.1 Một số kết quả xung quanh giả thuyết Greene- Krantz Năm 1993 R. Greene và S. G. Krantz [17] đưa ra giả thuyết sau. Giả thuyết Greene-Krantz. Nếu nhóm tự đẳng cấu Aut(Ω) của miền bị chặn, nhẵn và giả lồi Ω b Cn không compact thì điểm tụ quỹ đạo bất kì đều có kiểu hữu hạn. Các kết quả chính xung quanh giả thuyết này thể hiện trong các công 74 75 trình của R. Greene và S. G. Krantz [17], K. T. Kim [22], K. T. Kim và S. G. Krantz [23],[24], H. B. Kang [21], M. Landucci [27], J. Byun và H. Gaussier [10]. Gọi P∞(∂Ω) là tập tất cả các điểm biên ∂Ω có kiểu vô hạn. Trong [27], M. Landucci đã chứng minh rằng nếu P∞(∂Ω) là một đoạn đóng trên biên của miền trong C2 thì nhóm tự đẳng cấu của Ω là compact. Năm 2005, J. Byun và H. Gaussier [10] đã chứng minh được rằng không tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic trên biên ∂Ω nếu tập P∞(∂Ω) là một đoạn đóng và hoành với không gian tiếp xúc phức tại một điểm biên nào đó. Đối với trường hợp tập P∞(∂Ω) là một đường cong đóng thì có tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic hay không? Năm 1994 H. B. Kang [21] đã chỉ ra rằng nhóm tự đẳng cấu của miền bị chặn Ω = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + P (w) < 1} là compact, trong đó P (w) là hàm nhẵn và triệt tiêu cấp vô hạn tại điểm w = 0. Năm 2006 K. T. Kim và S. G. Kantz [24] xét miền giả lồi Ω ⊂ C2, trong đó hàm xác định của miền Ω có dạng ρ(z) = Re z1 + ψ(z2, Im z1) trong một lân cận của điểm kiểu vô hạn (0, 0). Họ đã chỉ ra rằng điểm (0, 0) không là điểm tụ quỹ đạo parabolic ( xem [24, Định lý 4.1]). Họ chứng minh dựa vào điều kiện ψ triệt tiêu cấp vô hạn tại (0, 0). Tuy nhiên, điều này chưa chắc đúng. Chẳng hạn hàm ψ(z2, Im z1) = e −1/|z2|2 + |z2|4.| Im z1|2 chỉ triệt tiêu đến cấp hai theo z1. Mục đích của chương này là trình bày chứng minh định lý sau. Định lý này chỉ ra rằng: nếu P∞(∂Ω) là đường cong đóng thì không tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic. 76 Định lý 3.1.1. Giả sử Ω ⊂ C2 là một miền bị chặn giả lồi trong C2 và 0 ∈ ∂Ω. Giả sử rằng (1) ∂Ω là nhẵn và thỏa mãn điều kiện Bell (R), (2) Tồn tại lân cận U của điểm 0 ∈ ∂Ω sao cho Ω ∩ U = {(z1, z2) ∈ C2 : ρ = Re z1 + P (z2) +Q(z2, Im z1) < 0}, trong đó P và Q thỏa mãn các điều kiện sau: (i) P là nhẵn, điều hòa dưới, dương thực sự tại tất cả các điểm trong lân cận nào đó của gốc tọa độ trừ gốc tọa độ và hàm này triệt tiêu mọi cấp tại (0, 0), tức là: lim z2→0 P (z2) |z2|N = 0, ∀N ≥ 0, (ii) Q(z2, Im z1) là hàm nhẵn và có thể viết dưới dạng Q(z2, Im z1) = |z2|4| Im z1|2R(z2, Im z1) với hàm nhẵn R(z2, Im z1) nào đó. Khi đó, (0, 0) không phải là điểm tụ quỹ đạo parabolic. Nhận xét 3.1.2. i) Bằng tính toán cụ thể ta có thể chỉ ra rằng điểm (0, 0) có kiểu vô hạn, các điểm (it, 0) với t đủ nhỏ có kiểu lớn hơn hoặc bằng 4 và các điểm còn lại trong một lân cận đủ nhỏ của gốc tọa độ đều giả lồi chặt (có kiểu bằng 2). ii) Phản ví dụ đã được đưa ra ở trên thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1.1. iii) Vấn đề mà K. T. Kim và S. Krantz đặt ra (Định lý 5) hiện nay vẫn còn là một câu hỏi mở và là một phần của giả thuyết Greene-Krantz. Định lý 3.1.1 là một trường hợp riêng của Định lý 5. 77 3.2 Sự tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic Giả Ω là một miền thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1.1. Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng không tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic với kiểu vô hạn. Trước tiên, chúng ta cần những bổ đề sau. Bổ đề 3.2.1. Không tồn tại các số a, b ∈ C với Re a 6= 0 và b 6= 0 sao cho Re[aP (z) + bzkP ′(z)] = γ(z)P (z), (3.1) với số nguyên k ∈ N, k > 1 nào đó và với mọi |z| 0 là số thực đủ nhỏ, γ(z) là hàm nhẵn và γ(z)→ 0 khi z → 0. Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng a, b ∈ C với Re a 6= 0 và b 6= 0 sao cho Re[aP (z) + bzkP ′(z)] = γ(z)P (z), (3.2) với số nguyên k ∈ N, k > 1 nào đó và với mọi |z| 0 là số thực đủ nhỏ, γ(z) là hàm nhẵn và γ(z) → 0 khi z → 0. Khi đó phương trình này tương đương với 1 + Re[ b Re a zk P ′(z) P (z) ] = γ1(z), ∀ 0 < |z| < 0, (3.3) trong đó γ1(z) = γ(z)/Re a. Đặt F (z) = lnP (z) và viết z = reiϕ, b 2 Re a = 1 R eiψ. Khi đó, theo (3.3), ta có: ∂F ∂x (z) cos(kϕ+ ψ) + ∂F ∂y (z) sin(kϕ+ ψ) = −R rk + R rk γ1(z). Đặt ϕ0 = 2pi − ψ k − 1 và g(r) := F (re iϕ0). Khi đó, ta dễ dàng thấy rằng: ∂F ∂x (reiϕ0) cos(ϕ0) + ∂F ∂y (reiϕ0) sin(ϕ0) = −R rk + R rk γ1(re iϕ0) 78 và g′(r) = −R rk + R rk γ1(re iϕ0). Đặt h(r) := g(r) + R 1− k 1 rk − 1 . Khi đó h′(r) = R rk γ1(re iϕ0). Ta có thể giả sử rằng tồn tại r0 đủ nhỏ sao cho |h′(r)| ≤ R 2rk , với mọi 0 < r ≤ r0. Vì thế, ta có ước lượng sau |h(r)| ≤ |h(r0)|+ ∣∣ ∫ r r0 |h′(r)|dr∣∣ ≤ |h(r0)|+ R 2 ∣∣ ∫ r r0 r−kdr ∣∣ ≤ |h(r0)| − R 2(k − 1)r 1−k 0 + R 2(k − 1)r 1−k. Vì vậy, g(r) ≥ R k − 1r 1−k − |h(r0)|+ R 2(k − 1)r 1−k 0 − R 2(k − 1)r 1−k. Từ đó, lim r→0+ g(r) = +∞. Có nghĩa là P (reiϕ0) 6→ 0 khi r → 0+. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng hàm P (w) triệt tiêu tại w = 0. Bổ đề 3.2.2. Không tồn tại các số a, b ∈ C với Re a 6= 0 và b 6= 0 sao cho Re[aP n+1(z) + bzkP ′(z)] = γ(z)P (z), (3.4) với số nguyên k ∈ N, k > 1 nào đó và với mọi |z| 0 là số thực đủ nhỏ, γ(z) là hàm nhẵn và γ(z)→ 0 khi z → 0. Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng a, b ∈ C với Re a 6= 0 và b 6= 0 sao cho Re[aP n+1(z) + bzkP ′(z)] = γ(z)P n+1(z), (3.5) 79 với số nguyên k ∈ N, k > 1 nào đó và với mọi |z| 0 là số thực đủ nhỏ, γ(z) là hàm nhẵn và γ(z) → 0 khi z → 0. Khi đó phương trình này tương đương với 1 + Re[ b Re a zk P ′(z) P n+1(z) ] = γ1(z), ∀ 0 < |z| < 0, (3.6) trong đó γ1(z) = γ(z)/Re a. Đặt F (z) = 1 P n(z) và viết z = reiϕ, −b 2nRe a = 1 R eiψ. Theo (3.6), ta có ∂F ∂x (z) cos(kϕ+ ψ) + ∂F ∂y (z) sin(kϕ+ ψ) = −R rk + R rk γ1(z). Đặt ϕ0 = 2pi − ψ k − 1 và g(r) := F (re iϕ0). Khi đó ∂F ∂x (reiϕ0) cos(ϕ0) + ∂F ∂y (reiϕ0) sin(ϕ0) = −R rk + R rk γ1(re iϕ0). và g′(r) = −R rk + R rk γ1(re iϕ0). Đặt h(r) := g(r) + R 1− k 1 rk − 1 . Khi đó, ta có thể giả sử rằng tồn tại r0 đủ nhỏ sao cho |h′(r)| ≤ 3R 2rk , với mọi 0 < r ≤ r0. Vì thế, ta có ước lượng sau |g(r)| ≤ |g(r0)|+ ∣∣ ∫ r r0 |g′(r)|dr∣∣ ≤ |g(r0)|+ 3R 2 ∣∣ ∫ r r0 r−kdr ∣∣ ≤ |g(r0)| − 3R 2(k − 1)r 1−k 0 + 3R 2(k − 1)r 1−k. 80 Do vậy ta nhận được 1 P n(reiϕ0) . 1 r1−k , P (reiϕ0) & r k−1n . Vì thế ta suy ra rằng P (reiϕ0) không triệt tiêu đến cấp vô hạn tại gốc. Điều này trái với giả thiết. Bổ đề 3.2.3. Không tồn tại các số a, b ∈ C với Re a 6= 0 và b 6= 0 sao cho Re[aP n+1(z) + bzP ′(z)] = γ(z)P n+1(z), (3.7) với số nguyên n ≥ 0 nào đó và với mọi |z| 0 đủ bé, trong đó γ(z)→ 0 khi z → 0. Chứng minh. Giả sử rằng tồn tại t a, b ∈ C với Re a 6= 0 và b 6= 0 sao cho (3.7) đúng. Trước tiên, ta xét trường hợp n = 0. Khi đó, phương trình (3.7) tương đương với Re[ b Re a z ∂ ∂z lnP (z)] = −1 + γ1(z), (3.8) trong đó γ1(z) := γ(z)/Re a. Đặt u(z) := lnP (z) và viết b 2 Re a = α+ iβ, z = x+ iy. Khi đó, theo (3.8), ta có phương trình đạo hàm riêng bậc nhất sau (αx− βy) ∂ ∂x u(x, y) + (βx+ αy) ∂ ∂y u(x, y) = −1 + γ1(x, y). (3.9) Để giải phương trình đạo hàm riêng này, ta cần giải hệ phương trình vi phân sau  x′(t) = αx− βy y′(t) = βx+ αy, t ∈ R. 81 Bằng tính toán đơn giản ta nhận được nghiệm x(t) = c1e αt cos(βt) + c2e αt sin(βt) y(t) = −c2eαt cos(βt) + c1eαt sin(βt, t ∈ R, (3.10) trong đó c1, c2 là các hằng số thực. Kí hiệu hàm g(t) := u(x(t), y(t)). Khi đó, g′(t) = −1 + γ1(x(t), y(t)). Vì thế, g(t) = −t + t∫ t0 γ1(x(s), y(s))ds + t0 + g(t0). Từ (3.10), ta nhận được x2 + y2 = (c21 + c 2 2)e 2αt, t ∈ R. (3.11) Xét các trường hợp sau. TH 1. α = 0. Trong trường hợp này, ta lấy c1 = r > 0, c2 = 0, trong đó r đủ bé. Khi đó, trên từng đường tròn {x(t) = r cos(t), y(t) = r sin(t), t ∈ [0, 2pi]}, ta có g(t) = −t + t∫ 0 γ1(x(s), y(s))ds + u(r, 0). Lấy r đủ bé, ta có thể giả sử rằng |γ1(x(s), y(s))| ≤ 1/2 với mọi s ∈ [0, 2pi]. Dễ thấy |g(2pi)− g(0)| ≥ pi. Điều này không thể xảy ra vì g(2pi) = g(0) = u(r, 0). TH 2. α > 0. Theo (3.11), ta có (x(t), y(t)) → 0 khi t → −∞. Khi đó, u(x(t), y(t))→ +∞ khi t→ −∞. Điều này trái với giả thiết. TH 3. α < 0. Theo (3.11), ta có (x(t), y(t)) → 0 khi t → +∞ và t = 1 2α ln x2 + y2 c21 + c 2 2 . Lấy t0 > 0 đủ lớn, ta có thể giả sử rằng 82 |γ1(x(s), y(s))| ≤ 1 với mọi s ≥ t0. Khi đó, với mọi t ≥ t0, ta có g(t) ≥ −(t− t0)− | t∫ t0 γ1(x(s), y(s))ds| − |g(t0)| ≥ −(t− t0)− | t∫ t0 |γ1(x(s), y(s))|ds| − |g(t0)| ≥ −(t− t0)− |t− t0| − |g(t0)| ≥ −2(t− t0)− |g(t0)|. Vì vậy, với mọi t ≥ t0, ta nhận được P (z(t)) & e−2t & |z(t)|−1/α, trong đó z(t) := x(t) + iy(t). Điều này không thể được vì P triệt tiêu cấp vô hạn tại 0. Bây giờ ta xét trường hợp n > 0. Khi đó phương trình (3.7) tương đương với Re[ b −nRe az ∂ ∂z 1 P n(z) ] = −1 + γ1(z), (3.12) trong đó γ1(z) := γ(z)/Re a. Đặt u(z) := 1 P n(z) và viết b −2nRe a = α + iβ, z = x + iy. Khi đó, theo (3.12), ta có phương trình đạo hàm riêng cấp một sau (αx− βy) ∂ ∂x u(x, y) + (βx+ αy) ∂ ∂y u(x, y) = −1 + γ1(x, y). (3.13) Để giải phương trình đạo hàm riêng này, ta cần giải hệ phương trình vi 83 phân sau  x′(t) = αx− βy y′(t) = βx+ αy, t ∈ R. Bằng tính toán đơn giản ta nhận được nghiệm x(t) = c1e αt cos(βt) + c2e αt sin(βt) y(t) = −c2eαt cos(βt) + c1eαt sin(βt), t ∈ R, (3.14) trong đó c1, c2 là các hằng số thực. Đặt g(t) := u(x(t), y(t)). Khi đó g′(t) = −1 + γ1(x(t), y(t)). Vì vậy, g(t) = −t+ t∫ t0 γ1(x(s), y(s))ds+ t0 + g(t0). Từ (3.14), ta có x2 + y2 = (c21 + c 2 2)e 2αt, t ∈ R. (3.15) Ta xét các trường hợp sau. TH 1. α = 0. Bằng lập luận tương tự như trong TH1 ở trên ta kết luận rằng trường hợp này cũng không xảy ra.. TH 2. α < 0. Theo (3.15), ta có (x(t), y(t)) → 0 khi t → +∞. Khi đó, u(x(t), y(t))→ −∞ khi t→ −∞. Trái với giả thiết. TH 3. α > 0. Theo (3.15), ta có (x(t), y(t)) → 0 khi t → −∞ và t = 1 2α ln x2 + y2 c21 + c 2 2 . Lấy t0 < 0 sao cho |t0| đủ lớn, ta có thể giả sử rằng |γ1(x(s), y(s))| ≤ 1 với mọi s ≤ t0. Khi đó, với mọi t ≤ t0, ta có ước 84 lượng sau g(t) ≤ −(t− t0) + | t∫ t0 γ1(x(s), y(s))ds|+ |g(t0)| ≤ −(t− t0) + | t∫ t0 |γ1(x(s), y(s))|ds|+ |g(t0)| ≤ −(t− t0) + |t− t0|+ |g(t0)| ≤ −2(t− t0) + |g(t0)|. Vì vậy, với mọi t ≤ t0, ta có: P n(z(t)) & 1−2t & −1 ln |z(t)| , trong đó z(t) := x(t) + iy(t). Điều này suy ra rằng lim t→−∞ P (z(t)) |z(t)| = +∞. Điều này mâu thẫn với giả thiết P triệt tiêu cấp vô hạn tại 0. Gọi F = (f, g) ∈ Aut(Ω) là tự đẳng cấu sao cho F (0, 0) = (0, 0). Do điều kiện Bell (R) của ∂Ω, ánh xạ F có thể thác triển thành hàm nhẵn xác định cho đến tận biên của miền Ω. Gọi U là một lân cận của (0, 0). Khi đó, tồn tại một lân cận V của (0, 0) sao cho F (Ω ∩ V ) ⊂ Ω ∩ U. (3.16) Bổ đề sau tương tự như [27, Bổ đề 2.5]. Bổ đề 3.2.4. Giả sử F = (f, g) ∈ Aut(Ω). Gọi U, V là hai lân cận của (0, 0) sao cho (3.16) đúng. Khi đó, với mọi (z1, z2) ∈ V , ta có 85 (i) g(z1, 0) = 0. (ii) f(z1, z2) = f(z2) Chứng minh. a) Gọi U, V là hai lân cận của (0, 0) sao cho (3.16) đúng. Gọi γ là tập tất cả các điểm (it, 0) ∈ ∂Ω∩U . Do điều kiện Bell (R) nên hàm F có thể thác triển thành hàm nhẵn trên Ω. Nó xác định một C-R tự đẳng cấu trên ∂Ω. Bởi vì kiểu của biên theo nghĩa của D’Angelo là C- R bất biến nên ta có F (γ∩V ) ⊂ γ. Do đó, g(it, 0) = 0 và Re f(it, 0) = 0. Kí hiệu H = {z1 ∈ C : Re z1 < 0} là nửa mặt phẳng trái của mặt phẳng phức. Vì h(z1) := g(z1, 0) ∈ Hol(H) ∩ C∞(H) nên g(z1, 0) ≡ 0. b) Theo Bổ đề Hopf, ta dễ dàng thấy hàm (ρ ◦ F )(z1, z2) cũng là hàm xác định biên xác định trên V . Đặc biệt, tồn tại hàm nhẵn k(z1, z2) > 0 sao cho với mọi (z1, z2) ∈ V , ta có Re z1 + P (z2) +Q(z2, Im z1) = k(z1, z2) [ Re f(z1, z2) + P (g(z1, z2)) +Q(g(z1, z2), Im f(z1, z2) ] . (3.17) Ta có khẳng định sau: với bất kì N ≥ 1 và điểm (it, 0) ∈ γ ∩ V , ta có ∂N ∂zN2 ( Re f(z1, z2) + P (g(z1, z2)) +Q(g(z1, z2), Im f(z1, z2)) )∣∣∣ (it,0) = 0. (3.18) Thật vậy, với bất kì điểm (it, 0) ∈ γ ∩ V ta có Re f(it, 0) + P (g(it, 0)) +Q(g(it, 0), Im f(it, 0)) = 0. Từ (3.17), ta suy ra rằng ∂ ∂z2 ( Re f(z1, z2) + P (g(z1, z2)) +Q(g(z1, z2), Im f(z1, z2)) )∣∣∣ (it,0) = 0. 86 Do đó (3.18) đúng cho trường hợp N = 1. Lấy đạo hàm hai vế của (3.17) N lần theo biến z2 và sử dụng phương pháp qui nạp ta suy ra rằng (3.18) đúng với bất kì N > 1. Từ a), (3.18) và tính chất (2.i) ta có ∂N ∂zN2 f(it, 0) = 0, (3.19) với mọi N ≥ 1 và (it, 0) ∈ ∂Ω∩V . Lập luận tương tự như ở (a), ta thấy rằng (3.19) suy ra (b). Chứng minh Định lý 3.1.1. Giả sử rằng (0, 0) ∈ ∂Ω là điểm tụ quỹ đạo parabolic tương ứng với nhóm con 1-tham số {Fθ}θ∈R ⊂ Aut(Ω). Gọi H là trường véctơ sinh ra nhóm {Fθ}θ∈R, tức là: H(z) = d dθ Fθ(z) ∣∣∣ θ=0 . Do Ω thỏa mãn điều kiện Bell (R) nên mỗi tự đẳng cấu của Ω có thể thác triển thành hàm nhẵn trên Ω. Vì vậy, H ∈ Hol(Ω) ∩ C∞(Ω). Hơn nữa, vì Fθ(∂Ω) ⊂ ∂Ω nên H(z) ∈ Tz(∂Ω) với mọi z ∈ ∂Ω, tức là: (ReH)ρ(ζ) = 0, ∀ ζ ∈ ∂Ω. (3.20) Trường véctơ H ∈ Hol(Ω) ∩ C∞(Ω) thỏa mãn (3.20) được gọi là trường véctơ chỉnh hình tiếp xúc với miền Ω. Vì Fθ(0, 0) = (0, 0) nên từ Bổ đề 3.2.4 ta có Fθ(z1, z2) = (fθ(z1), z2gθ(z1, z2)), trong đó fθ và gθ chỉnh hình trên U ∩ Ω, ở đây U là một lân cận của (0, 0). Vì vậy, trường véctơ H có dạng sau H(z1, z2) = h1(z1) ∂ ∂z1 + z2h2(z1, z2) ∂ ∂z2 , 87 trong đó h1 và h2 chỉnh hình trên Ω ∩ C∞(Ω). Hơn nữa, h1 triệt tiêu tại gốc tọa độ. Bằng các tính toán đơn giản ta nhận được ∂ ∂z1 ρ(z1, z2) = 1 2 + ∂ ∂z1 Q(z2, Im z1), ∂ ∂z2 ρ(z1, z2) = P ′(z2) + ∂ ∂z2 Q(z2, Im z1). Vì H là trường véctơ tiếp xúc với ∂Ω nên ta có Re [ ( 1 2 + ∂ ∂z1 Q(z2, Im z1))h1(z1)+ + (P ′(z2) + ∂ ∂z2 Q(z2, Im z1))z2h2(z1, z2) ] = 0, (3.21) với mọi (z1, z2) ∈ ∂Ω. Với bất kì (it, 0) ∈ ∂Ω ∩ U , ta có Reh1(it) = 0. (3.22) Do h1 ∈ Hol(H) ∩ C∞(H), trong đó H là nửa mặt phẳng trái, nên theo nguyên lý phản xạ Schwarz hàm h1 có thể thác triển thành hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z1 = 0 trong mặt phẳng phức. Từ (3.21), ta có Re [1 2 h1(−P (z2)) + z2P ′(z2)h2(−P (z2), z2) ] = 0 (3.23) với bất kì z2 sao cho (−P (z2), z2) ∈ ∂Ω ∩ U . Khai triển h1 và h2 thành chuỗi Taylor trong lân cận của gốc tọa độ, ta nhận được h1(z1) = ∞∑ n=0 anz n 1 và h2(z1, z2) = ∞∑ k=0 bk(z1)z k 2 , trong đó an ∈ C, bk ∈ Hol(H) ∩ C∞(H) với mọi n, k ∈ N. Chú ý rằng a0 = 0 vì h1(0) = 0. Nếu tồn tại số tự nhiên n ≥ 1 sao cho Re an 6= 0 thì hạng tử lớn nhất trong Re[1 2 h1(−P (z2))] có dạng Re anP n(z2). Do đó, tồn tại ít nhất một số nguyên k ∈ N sao cho hoặc bk(0) 6= 0 hoặc bk(z1) triệt tiêu cấp hữu hạn tại z1 = 0. Khi 88 đó, hạng tử lớn nhất trong Re [ z2P ′(z2)h2(−P (z2), z2) ] phải có dạng Re [ bzk2P ′(z2)P l(z2) ] , trong đó b ∈ C∗, l ∈ N. Theo (3.23), tồn tại 0 > 0 sao cho Re [ anP n−l(z2) + bzk2P ′(z2) ] = o(P n−l(z2)), (3.24) với mọi |z2| l. Vì thế theo Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.2 và Bổ đề 3.2.3, ta có Re an = b = 0. Điều này mâu thuẫn. Vì vậy, Re an = 0 với mọi n ≥ 1 và ta có thể viết h1(z1) = i. ∞∑ n=1 αnz n 1 , trong đó αn ∈ R, n = 1, 2, · · · . Đặt u(z1) := Reh1(z1). Khi đó hàm u điều hòa trên nửa phẳng trái H và trơn cho đến biên ∂H. Theo (3.22), ta có u(it) = 0 với mọi số thực t đủ nhỏ. Hơn nữa, vì h1(z1) = i ∞∑ n=1 αnz n 1 nên u(−t) = 0 với mọi t đủ nhỏ. Vì thế, theo nguyên lý cực đại ta kết luận rằng u(z1) ≡ 0. Hệ quả là h1(z1) ≡ 0 và do đó H trở thành trường véctơ phẳng. Điều này không thể xảy ra vì ∂Ω không phẳng trong một lân cận đủ nhỏ của gốc tọa độ. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết quả chính của luận án: • Chứng minh định lý đặc trưng cho miền không bị chặn trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact và hạng của dạng Levi tại điểm tụ quĩ đạo ≥ n− 2. • Chứng minh định lý đặc trưng cho miền lồi tuyến tính không bị chặn trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact. • Chứng minh giả thuyết Greene-Krantz cho một lớp miền bị chặn trong Cn. 89 90 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo Mặc dù luận án chỉ nghiên cứu các miền trong Cn nhưng hai kết quả chính (Định lý 1.3.2 và 2.3.2) có thể mở rộng dễ dàng lên các miền bất kì trong đa tạp phức. Hướng nghiên cứu còn có các câu hỏi mở sau đây: 1. Phải chăng các định lý đặc trưng cho các miền trong Cn vẫn đúng mà không cần giả thiết về hạng của dạng Levi cũng như điều kiện lồi tuyến tính? 2. Phải chăng mỗi miền có nhóm tự đẳng cấu không compact với biên nhẵn, kiểu hữu hạn và biên lồi tuyến tính song chỉnh hình với một mô hình thuần nhất, tức là đa thức P (z′) trong Định lý 2.3.2 là thuần nhất? 3. Phải chăng Định lý Kim-Krantz vẫn còn đúng? Tuy nhiên, vì thời gian hạn hẹp nên chúng tôi cũng chưa trả lời được các câu hỏi trên. Chứng tôi hy vọng rằng các câu hỏi này sớm được giải quyết. Danh mục các công trình của tác giả liên quan đên luận án [1] Ninh Van Thu (2009), Characterization of linearly convex domains in Cn by their noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of Mathematics, 37(1), pp. 67-79. [2] Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Geometry of domains in Cn with noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of Mathemat- ics, 37(2-3), pp. 1-12. [3] Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Characterization of domains in Cn by their noncompact automorphism groups, Nagoya Mathematical Journal, 196, pp. 135-160. [4] Franc¸ois Berteloot and Ninh Van Thu (2009), Existence of parabolic boundary points of certain domains in C2, 91 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Barth T. J. (1980), Convex domains and Kobayashi hyperbolicity, Proc. Amer. Math. Soc, 79, pp. 556-558. [2] Bedford E. and Dadok J. (1987), Bounded domains with prescribed group of automorphisms, Comment. Math. Helv. 62 , no. 4, pp. 561– 572. [3] Bedford E. and Pinchuk S. (1989), Domains in C2 with noncompact groups of automorphisms, Math. USSR Sbornik 63, pp. 141-151. [4] Bedford E. and Pinchuk S. (1991), Domains in Cn+1 with noncom- pact automorphism group, J. Geom. Anal. , 1, pp. 165-191. [5] Bedford E. and Pinchuk S. (1998), Domains in C2 with noncompact automorphism groups, Indiana Univ. Math. Journal 47, pp. 199-222. [6] Bell S., Local regularity of C.R. homeomorphisms, Duke Math. J. 57(1988), 295-300. 92 93 [7] Bell S. (1987), Compactness of families of holomorphic mappings up to the boundary Lecture Notes in Math. Vol. 1268, Springer-Verlag, Berlin/New Jork, , pp. 29-42. [8] Berteloot F. (1994), Characterization of models in C2 by their automorphism groups, Internat. J. Math. 5, pp. 619-634. [9] Franc¸ois Berteloot and Ninh Van Thu (2009), Existence of parabolic boundary points of certain domains in C2, arxiv:0906.5125v1. [10] Byun J. and Gaussier H. (2005), On the compactness of the auto- morphism group of a domain, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1341, pp. 545-548. [11] Catlin D. (1989), Estimates of invariant metrics on pseudoconvex domains of dimension two, Math. Z. 200, pp. 429-466. [12] Cho S. (1992), A lower bound on the Kobayashi metric near a point of finite type in Cn,J. Geom. Anal. 2-4, pp. 317-325. [13] Cho S. (1994), Boundary behavior of the Bergman kernal function on some pseudoconvex domains in Cn, Trans. of Amer. Math. Soc. 345, pp. 803-817. [14] D’Angelo J. P. (1982), Real hypersurfaces, orders of contact, and applications, Ann. Math. 115, pp. 615-637. [15] Duren P. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathema- tischen Wissenschaften 259, Springer-Verlag. 94 [16] Gaussier H. (1997), Characterization of convex domains with non- compact automorphism group , Michigan Math. J. 44, pp. 375-388. [17] Greene R. and Krantz S. (1987), Biholomorphic self-maps of do- mains, Lecture Notes in Math., 1276, pp. 136-207. [18] Greene R. and Krantz S. G. (1993), Techniques for studying auto- morphisms of weakly pseudoconvex domains, Math. Notes, Vol 38, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, pp. 389-410. [19] Gunning R. and Rossi H. (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J. [20] Isaev A. and Krantz S. G. (1999), Domains with non-compact automorphism group : A survey, Adv. Math. 146, pp. 1-38. [21] Kang H. B. (1994), Holomorphic automorphisms of certain class of domains of infinite type, Tohoku Math. J. 46, pp. 345-422. [22] Kim K. T. (1993), On a boundary point repelling automorphism orbits, J. Math. Anal. Appl. 179, pp. 463-482. [23] Kim K. T. and Krantz S. G. (2001), Convex scaling and domains with non-compact automorphism group, Illinois J. Math. 45, pp. 1273-1299. [24] Kim K. T. and Krantz S. G. (2003), Some new results on domains in complex space with non-compact automorphism group, J. Math. Anal. Appl. 281, pp. 417- 424. 95 [25] Kobayashi S. (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Map- pings, N. Y. Dekker. [26] Kobayashi S. (1998), Hyperbolic Complex Spaces, v. 318 , Grund- -lehrender mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag. [27] Landucci M. (2004), The automorphism group of domains with boundary points of infinite type, Illinois J. Math. 48, pp. 33-40. [28] McNeal J. D. (1992), Convex domains of finite type , J. Funct. Anal. 108, pp. 361-373. [29] McNeal J. D. (1994), Estimates on the Bergman kernels of convex domains, Adv. in Math. 109, pp. 108-139. [30] Narasimhan R. (1971), Several Complex Variables, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press. [31] Pinchuk S. (1991), The scaling method and holomorphic mappings, Proc. Symp. Pure Math. 52, Part 1, Amer. Math. Soc. [32] Do Duc Thai and Tran Hue Minh (2004), Generalizations of the theorems of Cartan and Greene- Krantz to complex manifolds, Illinois Jour. of Math., 48, pp. 1367-1384. [33] Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Characterization of do- mains in Cn by their noncompact automorphism groups. Nagoya Mathematical Journal, 196, pp. 135-160. 96 [34] Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Geometry of domains in Cn with noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of Mathematics, 37(2-3) , pp. 1-12. [35] Ninh Van Thu (2009), Characterization of linearly convex domains in Cn by their noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of Mathematics, 37 (1), pp. 67-79. [36] Ninh Van Thu (2009), A remark on the Kim’s theorem, Acta Mathematica Vietnamica, 34(2), pp. 285-297. [37] Saerens R. and Zame W. R. (1987), The isometry groups of mani- folds and the automorphism groups of domains, Trans. Amer. Math. Soc. 301, no. 1, pp. 413–429. [38] Winkelmann J. (2004), Realizing connected Lie groups as automor- phism groups of complex manifolds. Comment. Math. Helv. 79 , no. 2, pp. 285–299. [39] Wong B. (1977), Characterization of the ball in Cn by its automor- phism group, Invent. Math. 41, pp. 253-257. Tiếng Pháp [40] Berteloot F. (1995), Attraction de disques analytiques et continuité Holdérienne d’applications holomorphes propres , Topics in Compl. Anal., Banach Center Publ., pp. 91-98. 97 [41] Berteloot F. (2003), Principle de Bloch et Estimations de la Metrique de Kobayashi des Domains de C2, J. Geom. Anal. Math. 1, pp. 29-37. [42] Rosay J. P. (1979), Sur une caracterisation de la boule parmi les domainesde Cn par son groupe d’automorphismes, Ann. Inst. Fourier 29 (4), pp. 91-97. Tiếng Đức [43] Conrad M. (2002), Anisotrope optimale Pseudometriken fu¨r lineal konvexe Gebiete von endlichen typs (mit Anwendungen), Ph. D. thesis, Berg. Universitra¨t-GHS Wuppertal.