Luận án Ngưng tụ Bose - Einstein của polariton trong microcavity bán dẫn

Ch­¬ng 1 Lý thuyÕt t¸n s¾ ña polariton Trong b¸n dÉn th«ng th­êng, ®é sai kh¸ n¨ng l­îng Eg gi÷a d·y dÉn vµ d·y hãa trÞ ë vµo kho¶ng n¨ng l­îng ko dµi tõ vïng hång ngo¹i tíi vïng ¸nh s¸ng kh¶ kiÕn. Mét photon ã n¨ng l­îng h¯ω > Eg ã thÓ kÝ h thÝ h mét ®iÖn tö trong d·y hãa trÞ nh¶y lªn d·y dÉn vµ ®Ó l¹i trong d·y hãa trÞ mét lç trèng víi ®iÖn tÝ h tr¸i dÊu. Mét ®iÖn tö dÉn liªn kÕt víi mét lç trèng bëi t­¬ng t¸ Coulomb t¹o mét hÖ t­¬ng tù nguyªn tö hydro. ë giíi h¹n mËt ®é thÊp, khi ®ã ta ã thÓ bá qua ¸ hiÖu øng nhiÒu h¹t th× Æp ®iÖn tö lç trèng ®­î oi nh­ mét gi¶ h¹t tù do gäi lµ ex iton. Do ã khèi l­îng hiÖu dng nhá vµ b¸n kÝnh Bohr lín so víi nguyªn tö, ho nªn ¸ ex iton tham gia hñ yÕu vµo ¸ ®¸p øng quang hä ña b¸n dÉn ®èi víi ¸ kÝ h thÝ h bªn ngoµi. C¸ ®Æ tr­ng quang hä quan träng ña b¸n dÉn do vËy ã thÓ ®­î quan s¸t th«ng qua phæ quang hä ña ex iton. Tuy vËy, t­¬ng t¸ gi÷a vËt hÊt vµ ¸nh s¸ng trong bµi to¸n ex iton hØ míi ®­î xem xt theo mét hiÒu, ã nghÜa lµ Êu tró ®iÖn ña vËt hÊt bÞ thay ®æi d­íi ¶nh h­ëng ña tr­êng ngoµi. §Æ tr­ng ho sù thay ®æi nµy ®­î thÓ hiÖn qua hµm ®iÖn m«i ña vËt hÊt ph thué vµo tÇn sè ña tr­êng ngoµi mµ ®­î oi nh­ mét "bath field". Së dÜ ta lµm ®­î nh­ vËy lµ v× ta gi¶ sö mét oupling yÕu gi÷a tr­êng ngoµi vµ tr­êng do ph©n ù vËt hÊt ®­î t¹o ra t­¬ng øng. C¸ h tiÕp Ën nh­ vËy sÏ dÉn ®Õn viÖ bµi to¸n hØ ®­î xö lÝ trong khu«n khæ ña gÇn ®óng nhiÔu lo¹n, h­a ho php m« t¶ ®Çy ®ñ b¶n hÊt ña t­¬ng t¸ gi÷a vËt hÊt vµ ¸nh s¸ng. D­íi quan ®iÓm l­îng tö, ¸ h tiÕp Ën nµy sÏ dÉn ®Õn Hamiltonian ña hÖ kh«ng høa sè h¹ng tù do ña tr­êng ngoµi, ã nghÜa lµ tr­êng ngoµi vÉn ®­î xem xt nh­ mét tr­êng æ ®iÓn. Bµi to¸n ®Çy ®ñ ã thÓ ®­î xem xt d­íi hai ¸ h kh¸ nhau, mét d­íi quan ®iÓm l­îng tö vµ mét d­íi quan ®iÓm b¸n æ ®iÓn, tïy theo m ®Ý h 8 1 Lý thuyÕt t¸n s¾ ña polariton 9 ña nã. Theo quan ®iÓm l­îng tö, tr­êng ngoµi ph¶i ®­î l­îng tö hãa vµ Hamiltonian ña hÖ ph¶i bao gåm ¶ sè h¹ng tù do ña tr­êng. Trong khi ®ã, ¸ h xö lÝ b¸n æ ®iÓn sÏ sö dng hÖ thèng ¸ ph­¬ng tr×nh Maxwell víi hµm ®iÖn m«i ph thué tÇn sè vµ sè sãng. §iÒu nµy t¹o nªn mét hÖ kÝn ho php x¸ ®Þnh sù ¶nh h­ëng qua l¹i gi÷a ph©n ù ña vËt hÊt vµ tr­êng ngoµi. §iÖn tr­êng vµ hµm ®iÖn m«i ®­î yªu Çu tháa ph­¬ng tr×nh sãng trong vËt hÊt sÏ dÉn ®Õn hÖ thø t¸n s¾ ña ¸nh s¸nh trong vËt hÊt. Víi ¸ h tiÕp Ën míi nµy, ta sÏ ph¶i xö lÝ bµi to¸n trén ña hai tr­êng, mét ña tr­êng kÝ h thÝ h vµ mét ña tr­êng do ¸ ph©n ù vËt hÊt t¹o ra. Tr¹ng th¸i trén nh­ vËy trong khu«n khæ bµi to¸n gi¶ h¹t ®­î gäi lµ polariton. Trong ¸ h tiÕp Ën l­îng tö ta sÏ ho hãa Hamiltonian toµn phÇn ña hÖ ®Ó tõ ®ã ta ã thÓ thu ®­î t¸n s¾ ña polariton òng nh­ ¸ hÖ sè trén ña ¸ tr­êng thµnh phÇn. C¸ h tiÕp Ën nµy sÏ ho mét sè th«ng tin vÒ b¶n hÊt l­îng tö ña hÖ trén, nh­ tØ lÖ trén ña ¸ tr­êng, thêi gian sèng, nhê ®ã ta ã thÓ biÕt ®­î ¸ tÝnh hÊt ®éng hä ña ¸ qu¸ tr×nh ph¸t quang trong b¸n dÉn. . . Kh¸i niÖm polariton ®­î sö dng lÇn ®Çu tiªn bëi Hopfield [17℄ ®Ó hØ tr¹ng th¸i trén gi÷a photon vµ ex iton trong b¸n dÉn khèi. Tuy nhiªn, trong khèi do kh«ng ã Êu tró thÕ bÉy ®èi víi bÊt kú h¹t t¶i nµo, ho nªn mét photon sau khi ®­î ph¸t x¹ bëi mét ex iton sÏ tho¸t ra khái mÉu vµ tr­êng ph©n ù t­¬ng øng víi ¸ qu¸ tr×nh quang huyÓn trong ®iÒu kiÖn nµy lµ kh«ng ®¸ng kÓ. Tr¹ng th¸i trén, do vËy, kh«ng ã kh¸ biÖt lín víi ¸ tr¹ng th¸i tinh khiÕt vµ rÊt khã quan s¸t b»ng thù nghiÖm. §Ó kh¾ ph khuyÕt ®iÓm nµy ña hÖ b¸n dÉn khèi nh­ng vÉn gi÷ l¹i ®­î sù t­¬ng tù vÒ mÆt lý thuyÕt ña nã, ng­êi ta ®Æt mét giÕng l­îng tö bªn trong mét hép éng h­ëng Fabry-Perot (mi ro avity-MC). Trong mét Êu tró nh­ thÕ, ¸ photon sau khi ®­î ph¸t x¹ bëi mét ex iton vÉn bÞ giam trong hép éng h­ëng vµ bÞ hÊp th trë l¹i råi l¹i ph¸t x¹ vµ mang trong nã ¸ ®Æ tÝnh ña ex iton... Cø nh­ thÕ tr­êng thu ®­î trong hép éng h­ëng µng ngµy µng lÖ h khái ¸ tr­êng tinh khiÕt ®ñ ®Ó ã thÓ nhËn biÕt ®­î trong thù nghiÖm nh­ lµ tr­êng ña tr¹ng th¸i trén ex iton-photon vµ gi¶ h¹t ña nã ®­î gäi lµ mi ro avity polariton (MCP). 10 z Q W L Z A l A s A l G a A s GaAs A l G a A s A l A s D B R D B R H­íng chïm s¸ng chiÕu vµo /4 /4 L C H×nh 1.1: L­î ®å m« t¶ Êu tró ña mét hép éng h­ëng hai hiÒu (planar mi ro avity-PMC) víi mçi g­¬ng ña nã ®­î t¹o bëi ¸ líp AlAs vµ AlGaAs xen kÏ nhau víi ®é dµy b»ng 1/4 b­í sãng ña nguån kÝ h thÝ h. Chøa bªn trong mét PMC lµ mét giÕng l­îng tö GaAs víi ®é dµy Lz. Bµi to¸n MCP thù sù b¾t ®Çu vµo ®Çu thËp niªn 90 víi kÕt qu¶ thù nghiÖm ®Çu tiªn ña Weisbu h vµ ¸ éng sù [21℄. Trong thÝ nghiÖm nµy hä ®· ho thÊy mét t¸n s¾ ã d¹ng anti- rossing gi÷a t¸n s¾ ña QW ex iton vµ MC photon. C¸ ®¸p øng quang hä ña MC ngay sau ®ã ®­î ho thÊy ph thué vµo h×nh hä ña nã trong ¸ thÝ nghiÖm ña Houdr vµ ¸ éng sù [22℄. C¸ kÕt qu¶ thù nghiÖm nµy më ®Çu ho ¸ nghiªn øu vÒ lý thuyÕt vÒ t¸n s¾ ña MCP [25, 26, 27, 28, 29℄. VÒ mÆt lý thuyÕt, khi xem xt hÖ gåm ex iton bÞ giam nhèt trong giÕng l­îng tö vµ photon trong mét hép éng h­ëng hai hiÒu, hµm sãng ex iton ba hiÒu sÏ ®­î thay thÕ b»ng ¸ hµm sãng ex iton hai hiÒu nh©n víi ¸ hµm envelope ña ®iÖn tö vµ lç trèng, trong khi ®ã tr­êng ®iÖn tõ sÏ ®­î ®Æ tr­ng bëi ¸ mode giam nhèt trong h­íng z. Tuy nhiªn, do ã sù t­¬ng ®ång vÒ sè hiÒu ®èi xøng tÞnh tiÕn ña ¸ mode tù do, uèi ïng sù thay ®æi nµy òng sÏ dÉn tíi mét Hamiltonian ã Êu tró t­¬ng tù trong tr­êng hîp ña b¸n dÉn khèi. Víi sù t­¬ng tù nµy ta hoµn toµn ã thÓ sö dng l¹i ¸ kÕt qu¶ ña lý thuyÕt t¸n s¾ ®· thu ®­î ho b¸n dÉn khèi. 1.1 Photon trong mi ro avity 11 VÒ mÆt thù nghiÖm, mét hÖ thèng nh­ thÕ ®­î ho thÊy trong H. 1.2. §ã lµ mét hép éng h­ëng hai hiÒu (planar mi ro avity-PMC) víi hai g­¬ng lµm b»ng ¸ líp AlAs vµ AlGaAs xen kÏ nhau víi ®é dµy b»ng 1/4 b­í sãng λ ña nguån AS kÝ h thÝ h. §é dµy ña hép éng h­ëng sÏ ®­î hän b»ng mét sè nguyªn lÇn 1/2 b­í sãng λ. Bªn trong mét PMC ng­êi ta ®Æt mét giÕng l­îng tö GaAs víi ®é dµy Lz ®Ó t¹o ra ¸ ex iton hai hiÒu. C¸ exiton nµy liªn kÕt víi ¸ photon avity sÏ t¹o ra tr¹ng th¸i trén òng ã ®Æ tr­ng hai hiÒu ®­î gäi lµ ¸ mi ro avity polariton. Ngoµi ra, Êu tró d¹ng h×nh nªm ña MC ho php ta ã thÓ thay ®æi ®é dµy b»ng ¸ h thay ®æi vÞ trÝ kÝ h thÝ h ña nguån s¸ng trªn bÒ mÆt ña avity. Trong phÇn nµy ta sÏ lÇn l­ît xem xt ¸ mode riªng ña photon trong PMC vµ biÓu diÔn l­îng tö hãa thø Êp ña nã. Mét sè ®Æ tÝnh hai hiÒu ña ex iton sÏ ®­î ®Ò Ëp vµ uèi ïng sÏ dÉn ra Hamiltonian t­¬ng t¸ ña hÖ. §Þnh nghÜa to¸n tö polariton Pk = xkBk + ckbk, Bk vµ bk lÇn l­ît lµ ¸ to¸n tö QW ex iton vµ MC photon, vµ ho hãa Hamiltonian toµn phÇn vÒ d¹ng Hamiltonian tù do ña to¸n tö polariton ta sÏ thu ®­î t¸n s¾ ña nã òng nh­ ¸ hÖ sè trén ña ¸ tr­êng thµnh phÇn. 1.1 Photon trong mi ro avity Do ®é dµy ña avity ®­î hän b»ng víi mét sè nguyªn lÇn 1/2 b­í sãng λ ña sãng ¸nh s¸ng kÝ h thÝ h, v× thÕ nã ã thÓ t¹o ra ¸ sãng ph¶n x¹ éng h­ëng víi sãng kÝ h thÝ h ®­î hiÕu vµo theo h­íng vu«ng gã víi avity ã b­í sãng n(λ/2) = Lc. TÇn sè ña éng h­ëng t­¬ng øng víi mode thÊp nhÊt (n = 1), do vËy, sÏ ã gi¸ trÞ lµ ωc0 = ckz√ ǫ0 = πc Lc √ ǫ0 · (1.1) Víi h­íng hiÕu bÊt kú ta ã ωc,k = c√ ǫ0 √ k2z + k 2 || = c√ ǫ0 √√√√√π2 L2c + k2|| ≡ ωc,k|| · (1.2) Trong mi ro avity (MC) thÕ ve tor A(r, t) ña tr­êng ®iÖn tõ tháa ph­¬ng tr×nh  ∂2 ∂t2 − c2∇2 A(r, t) = 0 , (1.3) 12 /4 /4 n ( z ) z H×nh 1.2: ChiÕt suÊt ®­î gi¶ sö lµ h»ng sè trong mçi líp ®iÖn m«i ña avity. vµ gi¸ trÞ dõng ña nã ®­î viÕt l¹i d­íi d¹ng A(r, t) = uq(r)e −iωqt , (1.4) víi thµnh phÇn ph thué kh«ng gian uq(r) ña nã ®­î ho bëi biÓu thø (Xem [56℄) uq(r) = χq(z) 1√ S eiq||r|| , (1.5) trong ®ã r = (z, r||) vµ q = (qz, q||) víi r|| = (x, y) vµ q|| = (qx, qy). §Ó x¸ ®Þnh χq(z) ta thay (1.4) vµo (1.3) víi uq(r) ho bëi (1.5) ta thu ®­î ph­¬ng tr×nh ho χq(z) trong mçi líp ®iÖn m«i ña MC d­íi d¹ng ∂ 2 ∂z2 + [n2(z)q2 − q2||] χq(z) = 0 , (1.6) trong ®ã n(z) = √ ǫ(z) lµ hiÕt suÊt ña ¸ líp ®iÖn m«i trong avity vµ ®­î gi¶ sö lµ h»ng sè trong mçi líp H. 1.2. NghiÖm ña (1.6) ph¶i tháa ¸ ®iÒu kiÖn liªn t t¹i biªn ¸ líp ®iÖn m«i ña avity. D¹ng tæng qu¸t ña ¸ nghiÖm nµy ã thÓ thu ®­î b»ng kü thuËt ma trËn huyÓn ®­î tr×nh bµy trong tµi liÖu tham kh¶o [56℄. Trong biÓu diÔn l­îng tö hãa thø Êp, thÕ ve tor bÊt kú ña tr­êng ®iÖn tõ ®­î thay b»ng to¸n tö vµ ã thÓ khai triÓn theo ¸ nghiÖm kh«ng gian 1.2 Ex iton trong Quantumwell 13 uk(r) d­íi d¹ng [57℄ A(r, t) = ∑ k √√√√2πc2h¯ ωk ( bkuk(r) + b † ku ∗ k(r) ) , (1.7) trong ®ã ωk lµ tÇn sè riªng ña tr­êng trong avity, b † k vµ bk lµ ¸ to¸n tö sinh hñy photon trong mode riªng t­¬ng øng. Sö dng biÓu thø ña ¸ nghiÖm kh«ng gian (1.5) th× (1.7) ®­î viÕt l¹i lµ A(r, t) = ∑ k √√√√2πc2h¯ ωk bkχk(z)eik||r||√ S + b†kχ ∗ k(z) e−ik||r||√ S  , (1.8) ¶nh Fourier hai hiÒu ña (1.8) v× vËy sÏ ã d¹ng A(q||, z, t) = ∑ k 1 S ∫ dr|| √√√√2πc2h¯ ωk bkχk(z)eik||r||√ S + b†kχ ∗ k(z) e−ik||r||√ S  e−iq||r|| = 1√ S ∑ qz √√√√2πc2h¯ ωk ( bqz,q||χqz ,q||(z) + b † qz,−q||χqz ,−q||(z) ) . (1.9) Thµnh phÇn ®iÖn tr­êng theo ®Þnh nghÜa ã d¹ng E(q, t) = −1 c ∂ ∂t A(q, t) . (1.10) do ®ã biÓu diÔn l­îng tö hãa thø Êp ña ®iÖn tr­êng trong avity sÏ ã d¹ng E(q||, z, t) = 1√ S ∑ qz i √ 2πh¯ωq ( bqz,q||χqz ,q||(z)− b†qz,−q||χ∗qz ,−q||(z) ) , (1.11) ë ®©y ¸ biÓu thø ∂ ∂t bk = −iωkbk ∂ ∂t b†k = iωkb † k , (1.12) sö dng trong qua trinh tÝnh to¸n thu ®­î tõ viÖ thay (1.7) vµo (1.3). 1.2 Ex iton trong Quantum well Trong vËt liÖu b¸n dÉn, liªn kÕt ®iÖn gi÷a mét ®iÖn tö dÉn víi mét lç trèng hãa trÞ h×nh thµnh mét hÖ t­¬ng tö nguyªn tö Hydro. Ph­¬ng tr×nh Shroedinger m« t¶ huyÓn ®éng t­¬ng ®èi ña hóng sÏ ã d¹ng − h¯2∇2 2mr + V (r) ψν(r) = Eνψν(r) , (1.13) 14 ßn ®­î biÕt ®Õn nh­ ph­¬ng tr×nh Wanier, trong ®ã mr lµ khèi l­îng rót gän ña Æp ®iÖn tö lç trèng ®­î x¸ ®Þnh bëi hÖ thø 1 mr = 1 me + 1 mh , V (r) ho bëi biÓu thø V (r) = e2 ǫ0r , (1.14) lµ thÕ t­¬ng t¸ hót Coulomb gi÷a hóng, ψν(r) vµ Eν lÇn luît lµ hµm riªng vµ trÞ riªng ña Hamiltonian Hex = − h¯2∇2 2mr + V (r)  . (1.15) Trong hÖ hai hiÒu ∗ (2D), Hamiltonian ña ph­¬ng tr×nh Wannier (1.13) ®­î viÕt trong hÖ täa ®é ù d­íi d¹ng Hex = − h¯ 2 2mr 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r + L2z r2 − V (r), (1.16) trong ®ã Lz = −i ∂ ∂φ (1.17) lµ to¸n tö moment ®éng l­îng vu«ng gã víi mÆt ph¼ng (x, y) vµ tháa ph­¬ng tr×nh trÞ riªng Lz 1√ 2π eimφ = m 1√ 2π eimφ . (1.18) Nh­ vËy, tr¹ng th¸i riªng ña Æp ®iÖn tö-lç trèng hai hiÒu (ex iton 2D) ψν(r) ã thÓ ®­î viÕt d­íi d¹ng ψν(r) = fn,m(r) 1√ 2π eimφ . (1.19) Thay (1.16), (1.17) vµ (1.19) vµo ph­¬ng tr×nh Wannier (1.13) ta thu ®­î ph­¬ng tr×nh ho fn,m(r) nh­ sau h¯2 2mrr ∂ ∂r r ∂ ∂r + h¯2m 2mrr2 + V (r)− En  fn,m(r) = 0. (1.20) ∗ §Ó tiÖn lîi, tõ ®©y vÒ sau, trõ khi ®­î nãi tíi  thÓ, ta sÏ viÕt ¸ ®¹i l­îng ve tor hai hiÒu kh«ng ßn kÌm theo kÝ hiÖu || n÷a. 1.2 Ex iton trong Quantumwell 15 §Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh (1.20), tr­í hÕt ta h·y xem xt ¸ nghiÖm tiÖm Ën ña nã khi r → ∞ vµ r → 0. Trong tr­êng hîp tiÖm Ën tíi ∞, ph­¬ng tr×nh (1.20) ®­î viÕt l¹i d­íi d¹ng h¯2 2mr ∂2 ∂r2 − En  f∞(r) = 0 , (1.21) vµ ã nghiÖm lµ f∞(r) = e−r √ 2mrEn/h¯ 2 = e−αr/2 , (1.22) víi α = 2 √ 2mrEn/h¯ 2 . (1.23) Trong giíi h¹n r → 0, nÕu hai vÕ ña ph­¬ng tr×nh (1.20) ®­î nh©n víi r2, nghiÖm ña nã ã thÓ ®­î viÕt lµ f0(r) = (αr) |m|R(r) . (1.24) Khi ®ã, mét ¸ h h×nh thø , nghiÖm tæng qu¸t ña ph­¬ng tr×nh (1.20) ®­î viÕt trong d¹ng fn,m(ρ) = ρ |m|e−ρ/2R(ρ) , (1.25) trong ®ã ρ = αr. Thay (1.25) vµo (1.20) ta thu ®­î ph­¬ng tr×nh ho R(ρ) lµ ρ ∂2 ∂ρ2 R(ρ) + (2|m|+ 1− ρ) ∂ ∂ρ R(ρ) + (λ− |m| − 1)R(ρ) = 0 , (1.26) víi λ = 2mre 2 ǫ0h¯ 2α = 2 αa0 . (1.27) NghiÖm ña ph­¬ng tr×nh (1.26) ã thÓ ®­î viÕt d­íi d¹ng khai triÓn huæi lòy thõa ña ρ d­íi d¹ng R(ρ) = ∑ ν=0 βνρ ν . (1.28) §Ó x¸ ®Þnh ¸ hÖ sè βν ta thay (1.28) vµo ph­¬ng tr×nh (1.26) sÏ thu ®­î hÖ thø ®Ö quy βν+1 = βν ν − q (ν + 1)(ν + p+ 1) , (1.29) víi p = 2|m| , q = λ− p 2 − 1 2 . 16 §Ó hµm sãng ã thÓ huÈn hãa ®­î , huçi (1.28) ph¶i ®­î ng¾t ë gi¸ trÞ νmax tháa ph­¬ng tr×nh νmax − q = 0 hay νmax + |m| + 1 2 = λ ≡ n+ 1 2 , n = 0, 1, . . . (1.30) §iÒu kiÖn ng¾t huçi (1.30) ïng víi (1.27) vµ (1.23) dÉn tíi biÓu thø uèi ïng ho phæ n¨ng l­îng liªn kÕt ña ex iron 2D d­íi d¹ng En = −E0 1 (n+ 12) 2 , n = 0, 1, . . . (1.31) víi E0 = h¯2 2mra20 , (1.32) vµ a0 = h¯2ǫ0 e2mr , (1.33) ®­î viÕt tíi nh­ lµ n¨ng l­îng Rydberg vµ b¸n kÝnh Bohr ña hÖ ®iÖn tö-lç trèng tùa nguyªn tö Hydro trong b¸n dÉn khèi, n lµ sè l­îng tö n¨ng l­îng ña ¸ tr¹ng th¸i liªn kÕt. Hµm sãng tháa ph­¬ng tr×nh (1.20) b©y giê sÏ ®­î viÕt l¹i d­íi d¹ng fn,m(ρ) = Cρ |m|e−ρ/2 ∑ ν=0 βνρ ν , (1.34) trong ®ã C lµ h»ng sè huÈn hãa. Hµm sãng (1.34) ã thÓ ®­î biÕn ®æi vÒ d¹ng liªn kÕt víi ¸ ®a thø trù giao Laguerre Lqp(ρ) = q−p∑ ν=0 (−1)ν+p (q!) 2 (q − p− ν)!(p+ ν)!ν! , (1.35) ®Ó thu ®­î d¹ng huÈn hãa ña nã nh­ sau fn,m(ρ) = − √√√√√ 2 a20 ( n+ 12 )3 (n− |m|)![(n+ |m|)!]3ρme−ρ/2L2|m|n+|m|(ρ) , (1.36) trong ®ã ρ = 2r( n+ 12 ) a0 . Trong tr¹ng th¸i 1s n¨ng l­îng liªn kÕt ña ex iton 2D, theo (1.31), sÏ lµ E2D0 = 4E0 , (1.37) 1.2 Ex iton trong Quantumwell 17 vµ lín h¬n 4 lÇn so víi n¨ng l­îng liªn kÕt ña ex iton khèi. §©y lµ kÕt qu¶ ña viÖ hµm sãng ña ex iton trong tr­êng hîp nµy lu«n ã xu h­íng b¶o toµn tÝnh ®èi xøng Çu ña nã. ViÖ gi¶m kÝ h th­í ña hÖ theo hiÒu z lµm ho b¸n kÝnh theo hiÒu z ña ®¸m m©y ®iÖn tö bÞ thu hÑp vµ dÉn tíi b¸n kÝnh hai hiÒu ßn l¹i òng bÞ thu hÑp ®Ó b¶o toµn tÝnh ®èi xøng Çu ña nã. B¸n kÝnh Bohr ña ex iton hai hiÒu do vËy òng trë nªn nhá h¬n so víi b¸n kÝnh Bohr ña ex iton khèi. B¸n kÝnh Bohr ña ex iton ®­î ®Þnh nghÜa lµ kho¶ng ¸ h ®Ó hµm sãng tr¹ng th¸i 1s ña nã gi¶m ®i mét thõa sè 1/e trong kh«ng gian. Víi ®Þnh nghÜa nµy vµ biÓu thø (1.36) ta ã a2D0 = 1 2 a0 , (1.38) trong ®ã a0 vµ a 2D 0 lÇn l­ît lµ b¸n kÝnh Bohr ña ex iton trong tr­êng hîp khèi vµ hai hiÒu. Trong thù tÕ, ta sÏ kh«ng ã mét hÖ hai hiÒu thËt sù, ho nªn b¸n kÝnh Bohr hoÆ n¨ng l­îng liªn kÕt ¬ b¶n ña ex iton 2D sÏ ®­î x¸ ®Þnh dùa vµo sù ®óng ®¾n ña hÖ thø E0a0 = E 2D 0 a 2D eff , (1.39) trong ®ã a2Deff = 1 2a 2D 0 ã ý nghÜa lµ b¸n kÝnh ®Ó ã x¸ suÊt t×m thÊy ex iton trong kh«ng gian thù lµ ù ®¹i(Xem [61℄). Nh­ vËy b¸n kÝnh Bohr hoÆ n¨ng l­îng liªn kÕt ña ex iton 2D sÏ ®­î x¸ ®Þnh nÕu biÕt tr­í gi¸ trÞ ña ®¹i l­îng ßn l¹i. Hµm sãng t­¬ng øng ña ex iton 2D khi ®ã sÏ ph¶i ®­î nh©n víi ¸ hµm envelope ña ®iÖn tö vµ lç trèng theo hiÒu giam nhèt Ψ2D(r, R) = ξ(ze)ξ(zh) eikR√ S ψ2D1s (r) , (1.40) trong ®ã R = reme + rhmh me +mh , r = re − rh , (1.41) vµ ψ2D1s (r) = √√√√2 π α eαr , (1.42) ξ(z) = √√√√ 2 Lz cos ( πz Lz ) , (1.43) 18 ë ®©y α = 1 a2D0 , ®­î xem nh­ lµ mét th«ng sè biÕn thiªn, vµ Lz lµ ®é dµy ña giÕng l­îng tö. Sau ®©y ta sÏ gäi ex iton trong giÕng l­îng tö lµ ex iton QW. 1.3 T¸n s¾ ña polariton Hamiltonian t­¬ng t¸ víi ¸ h¹t t¶i tù do (®iÖn tö vµ lç trèng) víi ¸nh s¸ng ®­î ®Þnh nghÜa lµ HI = − ∫ d3rψ†(r)[er]E(r, t)ψ , (1.44) trong ®ã ψ†(r) vµ ψ(r) lµ to¸n tö tr­êng ña ¸ h¹t t¶i tù do. Khai triÓn theo ¬ së ¸ hµm sãng Blo h ña nã ã d¹ng ψ(r) = ∑ λ,k aλ,kφλ(r, k) ψ†(r) = ∑ λ,k a†λ,kφ ∗ λ(r, k) (1.45) Trong 2D, ¸ hµm sãng Blo h trong triÓn khai (1.45) ®­î viÕt trong gÇn ®óng ¸ hµm bao (envelope fun tion) d­íi d¹ng φλ(r, k‖) = ξλ(z)e ik‖r‖√ S wλ(r, k‖) φ∗λ(r, k‖) = ξ ∗ λ(z) e −ik‖r‖√ S w∗λ(r, k‖) (1.46) trong ®ã wλ(r, k) vµ w ∗ λ(r, k) lµ ¸ hµm Blo h ba hiÒu. Hamiltonian (1.44) b©y giê ®­î viÕt l¹i nh­ sau HI = − ∫ d3r ψ†(r) [e r] E(r, t)ψ(r) = − ∑ k||,k ′ ||,q|| ∑ λ,λ′ a†k||,λak′||,λ′ 1 S ∫ d3r ξ∗λ(z)ξλ′(z) e i(k′||+q||−k||)r|| × w∗λ(0, r) er wλ′(0, r)E(q||, z, t) = − ∑ k||,k ′ ||,q|| ∑ λ,λ′ a†k||,λak′||,λ′ N∑ i=1 ei(k ′ ||+q||−k||)rL|| S × ξ∗λ(z)ξλ′(z)E(q||, z, t) ∫ d3ruw∗λ(0, r u) e(ru + rL)wλ′(0, r u) × ei(k′||+q||−k||)ru|| = − ∑ k||,k ′ ||,q|| ∑ λ,λ′ a†k||,λak′||,λ′ ∫ dzLd2rL|| ei(k ′ ||+q||−k||)rL|| S 1.3 T¸n s¾ ña polariton 19 × ξ∗λ(z)ξλ′(z)E(q||, z, t) 1 l3 ∫ d3ruw∗λ(0, r u) eruwλ′(0, r u) × ei(k′||+q||−k||)ru|| = − ∑ k||,k ′ ||,q|| ∑ λ,λ′ a†k||,λak′||,λ′ ∫ dz ξ∗λ(z)ξλ′(z)E(q||, z, t) × 1 l3 ∫ d3ruw∗λ(0, r u) eruwλ′(0, r u) × δk||,k′||+q|| . (1.47) ë ®©y ta ®· thay vµo dßng ®Çu tiªn ña (1.47) ¸ khai triÓn (1.45) víi ¸ hµm sãng Blo h (1.46) vµ sö dng d¹ng biÕn ®æi Fourier 2D ña ®iÖn tr­êng E(r, t) = ∑ q|| E(z, q||, t)eiq||r|| , (1.48) ®Ó thu ®­î biÓu thø trong b­í thø hai. Trong b­í thø ba ta ®· t¸ h tÝ h ph©n trong b­í thø hai thµnh tæng theo tÊt ¶ ¸ « ®¬n vÞ víi gi¶ sö r»ng : (i) ¸ hµm ξλ(z) xem nh­ h»ng sè trªn mçi « ®¬n vÞ, (ii) ¸ thay ®æi ña E(r, t) trªn « ®¬n vÞ lµ kh«ng ®¸ng kÓ, (iii) tÝ h ph©n trªn mçi « ®¬n vÞ lµ nh­ nhau trong toµn tinh thÓ. Trong b­í nµy ta òng thù hiÖn mét php thay thÕ r → ru+ rL, trong ®ã ru vµ rL lÇn l­ît lµ ve tor täa ®é trong mçi « ®¬n vÞ vµ ve tor täa ®é ña ¸ nót m¹ng trong tinh thÓ. B­í thø t­, trong tr­êng hîp tinh thÓ ã kÝ h th­í lín ta ®· lµm mét php x¾p xØ N∑ i=1 · · · → 1 l3 ∫ d3r · · · . (1.49) Cuèi ïng ta ®· sö dng ®Þnh nghÜa ña hµm delta Dira δk||,k′|| = 1 S ∫ d2r||ei(k−k ′)r|| , (1.50) vµ thu ®­î biÓu thø ho bëi (1.47). TiÕp theo, b»ng viÖ sö dng ¸ ký hiÖu dλ,λ′ = 1 l3 ∫ d3ruw∗λ(0, r u) eruwλ′(0, r u) , (1.51) η(z) = ξ∗λ(z)ξλ′(z) , (1.52) vµ sö dng d¹ng t­êng minh ña E(z, q||, t) trong (1.11), Hamiltonian t­¬ng t¸ (1.44) ®­î viÕt l¹i d­íi d¹ng HI = − i ∑ k||,q||,qz ∑ λ,λ′ ∫ dz η(z) dλ,λ′ √ 2πh¯ωq√ S × a†k||,λak||−q||,λ′ ( bqz,q||χqz,q||(z) + b † qz,−q||χqz,−q||(z) ) . (1.53) 20 Trong gÇn ®óng hai d·y ta ã HI = − i ∑ k||,q||,qz ∫ dz η(z)χq||,qz(z) dc,v √ 2πh¯ωq√ S × ( a†c,k||av,k||−q|| + a † v,k||−q||ac,k|| ) ( bqz,q|| − b†qz,−q|| ) . (1.54) §Ó biÓu diÔn Hamiltonian t­¬ng t¸ (1.54) theo ¸ to¸n tö sinh, hñy ña Ex iton 2D B†ν, k|| vµ Bν,k||, ta lµm t­¬ng tù víi tr­êng hîp khèi sÏ thu ®­î HI = − ∑ ν,qz,q|| ih¯ gν(q||, qz) ( B+ν,q|| +Bν,−q|| ) ( bqz ,q|| − b+qz,−q|| ) , (1.55) trong ®ã h¯ gν(q||, qz) = dcvψ2Dν (r|| = 0) √ 2πωq U(q||, qz) , (1.56) víi U(q||, qz) = ∫ dz η(z)χq||,qz(z) . (1.57) Trong gÇn ®óng hØ xt tíi tr¹ng th¸i thÊp nhÊt ña ex iton 2D vµ photon MC ta ã HI = − ∑ q|| ih¯ g(q||) ( B+ν,q|| + Bν,−q|| ) ( bqz,q|| − b+qz,−q|| ) , (1.58) trong ®ã h¯ g(q||) = dcvψ2D(r|| = 0) √ 2πωc,q U(q||) . (1.59) Cïng víi ¸ Hamiltonian tù do ña ex iton 2D Hex = ∑ q|| h¯ ωx,q||B † q|| Bq|| , (1.60) vµ ña photon MC Hph = ∑ q|| h¯ ωc,q||b † q|| bq|| , (1.61) trong ®ã ωx,q|| = ω x 0 + h¯ k2 2M , (1.62) vµ ωc,q|| ®­î ho bëi (1.2), lÇn l­ît lµ tÇn sè ña ex iton 2D vµ photon MC trong tr¹ng th¸i ¬ b¶n, ë ®©y h¯ωx0 = E 2D 0 . Bá qua ¸ sè h¹ng kh«ng éng h­ëng ña Hamiltonian t­¬ng t¸ (1.58) ta thu ®­î Hamiltonian toµn phÇn ña hÖ 2D d­íi d¹ng Htot = h¯ ∑ q [ ωx,q||B † q|| Bq|| + ωc,q||b † q|| bq|| + igq|| ( B†q||bq|| −Bq||b†q|| )] , (1.63) 1.3 T¸n s¾ ña polariton 21 §Ó ho hãa Hamiltonian (1.63) vÒ d¹ng H = ∑ q|| h¯Ωq||P † q|| Pq|| , (1.64) trong to¸n tö Polariton Pq‖ ®­î ®Þnh nghÜa d­íi d¹ng tæ hîp tuyÕn tÝnh ña ¸ to¸n tö ex iton vµ photon nh­ sau Pq‖ = xq‖Bq‖ + cq‖bq‖ , (1.65) trong ®ã ¸ hÖ sè xq‖ vµ cq‖ ®­î x¸ ®Þnh ®Ó ®¶m b¶o to¸n tö Pq‖ tháa hÖ thø giao ho¸n [ P †q‖, Pq‖ ] = |xq‖|2 + |cq‖|2 = 1 , (1.66) vµ bµi to¸n trÞ riªng[ Pq‖, Htot ] = [ Pq‖, H ] = ∑ q‖ h¯Ωq‖Pq‖ . (1.67) Bµi to¸n nµy sÏ dÉn tíi t¸n s¾ ña polariton trong mi ro avity Ωq‖ Ωq||,± = 1 2 ( ωx,q|| + ωc,q|| )± 1 2 √( ωx,q|| − ωc,q|| )2 + 4g2 , (1.68) ïng víi ¸ hÖ sè Hopfield xq‖ vµ cq‖ xq||,j = √√√√√ Ωq||,j − ωc,q|| 2Ωq||,j − ωc,q|| − ωx,q|| , (1.69) icq||,j = √√√√√ Ωq||,j − ωx,q|| 2Ωq||,j − ωc,q|| − ωx,q|| , (1.70) trong ®ã + hØ nh¸nh trªn vµ − hØ nh¸nh d­íi, vµ j = + ,−. ChuÈn h¹t tù do t­¬ng øng víi phæ n¨ng l­îng (1.68) ®­î gäi lµ Mi ro avity polariton (MCP). Mét ®Æ tr­ng quan träng ña t¸n s¾ , phæ n¨ng l­îng, ña MC polariton lµ tham sè hØ ®é lÖ h δ gi÷a éng h­ëng ex iton Ex0 = h¯ω x 0 vµ éng avity Ec0 = h¯ω c 0 ®­î ®Þnh nghÜa δ = Ex0 −Ec0 . (1.71) Tham sè nµy quy ®Þnh sù thay ®æi d¸ng ®iÖu ña t¸n s¾ mµ tõ ®ã dÉn tíi ¸ thay ®æi ®¸p øng quang hä ña MC polariton. Sù ph thué d¸ng ®iÖu ña t¸n s¾ vµo δ ®­î ho thÊy trong h×nh 1.3. H×nh 1.3 (bªn tr¸i-trªn) ho thÊy 22 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.999 1.000 1.001 1.002 / x 0 kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H o p f i e l d C o e f s . kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.9990 0.9995 1.0000 1.0005 1.0010 / x 0 kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H o p f i e l d C o e f s . kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.9985 0.9990 0.9995 1.0000 1.0005 1.0010 / x 0 kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H o p f i e l d C o e f s . kc/n 0 x 0 H×nh 1.3: Bªn tr¸i: t¸n s¾ ña MC polariton ®­î vÏ ho tr­êng hîp ®é lÖ h éng h­ëng δ/h¯ωx0 = 0.001 (trªn), δ/h¯ω x 0 = 0 (gi÷a), vµ δ/h¯ω x 0 = −0.001 (d­íi) víi A = h¯ωx0 ǫ0/Mc 2 = 0.001, g/ωx0 = 0.001. C¸ ®­êng liÒn hØ ¸ nh¸nh t¸n s¾ ña MP polariton, ®­êng g¹ h lµ t¸n s¾ ña ex iton 2D vµ ®­êng ña MC photon. Bªn ph¶i: ¸ träng sè Hopfield ña nh¸nh d­íi ña MC polariton ®­î vÏ ho ¸ tr­êng hîp ®é lÖ h éng h­ëng t­¬ng øng. §­êng liÒn lµ träng sè ®ãng gãp ña MC photon vµo tr¹ng th¸i trén MC polariton, ®­êng g¹ h biÓu diÔn träng sè ña 2D ex iton. 1.3 T¸n s¾ ña polariton 23 t¸n s¾ ña MC polariton vÏ trong tr­êng hîp ®é lÖ h éng h­ëng δ > 0. Ta thÊy r»ng, ®é t¸ h ña ¸ nh¸nh t¸n s¾ polariton khái ¸ t¸n s¾ tù do ban ®Çu kh«ng ®¸ng kÓ. §iÒu nµy ho thÊy r»ng ¸nh s¸ng víi tÇn sè lín h¬n éng h­ëng ex iton t­¬ng t¸ kh«ng hiÖu qu¶ víi ph©n ù ex iton trong tr¹ng th¸i ¬ b¶n. NÕu tiÕp t t¨ng ®é lÖ h éng h­ëng vÒ phÝa ¸nh s¸ng ã tÇn sè lín ta sÏ trë vÒ bµi to¸n t­¬ng t¸ yÕu, ë ®ã viÖ kh«ng ã tr¹ng th¸i trén gi÷a hai h¹t t¶i, mµ ®é hång phñ tr¹ng th¸i gi÷a hóng kh«ng ®¸ng kÓ, lµ ®iÒu ã thÓ hiÓu ®­î . T¸n s¾ ña MC polariton ho ®é lª h éng h­ëng zero ®­î vÏ trong h×nh 1.3 (bªn tr¸i-gi÷a). Trong tr­êng hîp nµy ta thÊy ®é t¸ h suy biÕn ë q|| = 0 b»ng mét nöa hÖ sè oupling g. Nã ho thÊy xu h­íng tiÕn dÇn vÒ m« h×nh t­¬ng t¸ m¹nh khi éng h­ëng ña avity tiÕn gÇn vÒ phÝa éng h­ëng ña ex iton tõ phÝa ña vïng tÇn sè ao. Tr­êng hîp ®é lÖ h éng h­ëng δ < 0 ®­î ho thÊy trong h×nh 1.3 (bªn tr¸i-d­íi). Trong h×nh nµy ho thÊy mét xu h­íng ng­î l¹i víi tr­êng hîp δ > 0, ã nghÜa lµ qu¸ tr×nh biÕn ®æi tõ d¹ng tùa ex iton sang d¹ng tùa photon ña ¸ nh¸nh diÔn ra rÊt m¹nh, hay nãi ¸ h kh¸ ta thËt sù ã ®­î bµi to¸n t­¬ng t¸ m¹nh. Xt  thÓ ho nh¸nh d­íi, ta thÊy phÇn tùa photon ã sù kh¸ biÖt rÊt b so víi t¸n s¾ ña MC photon tù do. §iÒu nµy ho thÊy r»ng t­¬ng t¸ ®· lµm ex iton hµnh xö gÇn nh­ mét photon. Nh¸nh trªn ho thÊy mét diÔn biÕn ng­î l¹i. §Æ tr­ng quan träng thø hai ña MC polariton lµ sù h÷u h¹n t¹i q|| = 0 ña ¸ träng sè Hopfield m« t¶ ®ãng gãp ña thµnh phÇn ex iton vµ photon trong tr¹ng th¸i trén. §iÒu nµy lµm ho ¸ qu¸ tr×nh t¸n x¹ liªn quan tíi ¸ thµnh phÇn nµy trë nªn quan träng, mµ do ®ã ã kh¶ n¨ng ph¸ vì sù tËp trung ph©n bè trong l©n Ën ®iÓm éng h­ëng ®Ó t¸n x¹ vÒ ¸ tr¹ng th¸i n¨ng l­îng thÊp h¬n dÉn tíi sù h×nh thµnh mét tr¹ng th¸i l­îng tö vÜ m« trong tr¹ng th¸i n¨ng l­îng thÊp nhÊt. Trong h×nh 1.3, ¸ träng sè Hopfield lÇn l­ît ®­î vÏ ho ¸ ®é lÖ h éng h­ëng δ/h¯ωx0 = 0.001, 0, −0.001. Theo hiÒu gi¶m ña ®é lÖ h éng h­ëng, ¸ h×nh nµy høng tá tØ lÖ trén ña ¸ tr¹ng th¸i thµnh phÇn theo ®ã òng t¨ng lªn. Tuy nhiªn, µng gi¶m ®é lÖ h éng h­ëng, ta l¹i thÊy ã mét thay ®æi ®ét ngét thµnh phÇn h¹t t¶i tù do trong tr¹ng th¸i trén gÇn vÞ trÝ éng h­ëng mµ sÏ lµm hËm qu¸ tr×nh håi ph do t¸n x¹ ña polariton vÒ ¸ tr¹ng th¸i n¨ng l­îng thÊp. §iÒu nµy 24 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.995 1.000 1.005 1.010 / x 0 kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.995 1.000 1.005 1.010 / x 0 kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H o p f i e l d C o e f s . kc/n 0 x 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H o p f i e l d C o e f s . kc/n 0 x 0 H×nh 1.4: PhÝa trªn: t¸n s¾ ña MC polariton ®­î vÏ ho tr­êng hîp ®é t¸ h Rabi g/ωx0 = 0.001 (tr¸i) vµ g/ω x 0 = 0.01 (ph¶i) víi δ/h¯ω x 0 = 0, A = h¯ω x 0 ǫ0/Mc 2 = 0.001, g/ωx0 = 0.001. C¸ ®­êng liÒn hØ ¸ nh¸nh t¸n s¾ ña MP polariton, ®­êng g¹ h lµ t¸n s¾ ña ex iton 2D vµ ®­êng ña MC photon. PhÝa d­íi: ¸ träng sè Hopfield ña nh¸nh d­íi ña MC polariton ®­î vÏ ho ¸ tr­êng hîp ã ®é t¸ h Rabi t­¬ng øng. §­êng liÒn lµ träng sè ®ãng gãp ña MC photon vµo tr¹ng th¸i trén MC polariton, ®­êng g¹ h biÓu diÔn träng sè ña 2D ex iton. ïng víi qu¸ tr×nh r· tù ph¸t ña polariton sÏ dÉn ®Õn mét ®éng hä håi ph kiÓu æ hai, ã nghÜa lµ ¸ polariton sau khi t¸n x¹ vÒ tíi vÞ trÝ éng h­ëng, do håi ph hËm, r· tù ph¸t lín, nªn mét l­îng rÊt lín polariton sÏ bÞ mÊt m¸t do r· tr­í khi nã tiÕp t t¸n x¹ vÒ tr¹ng th¸i n¨ng l­îng thÊp h¬n, t¹o nªn mét t×nh tr¹ng l­u th«ng æ hai ña ¸ polariton trong kh«ng gian pha vµ do ®ã ®­î gäi lµ hiÖu øng æ hai (Bottlene k effe t). Ngoµi ra, h»ng sè t­¬ng t¸ ex iton-photon g òng g©y ra ¸ biÕn ®æi kÞ h tÝnh trong d¸ng ®iÖu t¸n s¾ ña MCP nh­ ®­î ho thÊy trong h×nh 1.4. H»ng sè nµy ®Æ tr­ng ho ®é t¸ h Rabi ΩR = 2g trong t¸n s¾ ña n.