Luận án Sử dụng phương pháp xấp xỉ galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến

19 Chöông 1 KHAÛO SAÙT PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN ),,,,( txxxtt uuutxfuu =− 1.1. Giôùi thieäu Trong chöông naøy, chuùng toâi xeùt baøi toaùn giaù trò bieân vaø giaù trò ban ñaàu sau ñaây ,0, ,),,,,( Ttxuuutxfuu txxxtt <<Ω∈=− (1.1.1) ),(),1(),1( (t),),0(),0( 1100 tgtuhtugtuhtu xx =+=− ,0 Tt << (1.1.2) ),(~)0,( (x),~)0,( 10 xuxuuxu t == ,Ω∈x (1.1.3) vôùi 10 ,hh laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc, soá haïng phi tuyeán f cuõng laø haøm cho tröôùc thuoäc lôùp ).),0[]1,0([ 31 IRC ×∞× Chöông naày goàm hai phaàn. Ñeå tieän theo doõi, chuùng toâi seõ trình baøy phaàn moät töø muïc 1.1 ñeán muïc 1.5 vaø phaàn hai baét ñaàu töø muïc 1.6 trôû ñi. Trong phaàn moät, chuùng toâi seõ thieát laäp moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) baèng phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính keát hôïp vôùi phöông phaùp Galerkin vaø phöông phaùp compact yeáu. Caùc keát quaû cuûa chöông naày toång quaùt hoùa caùc keát quaû trong [9,11, 12, 37] vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [D2]. Ta cuõng löu yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoaù ñöôïc söû duïng ôû ñaây khoâng aùp duïng ñöôïc cho [13, 14, 21, 22]. Phaàn 2 seõ ñeà caäp ñeán baøi toaùn khai trieån tieäm caän theo moät tham soá beù ε maø chi tieát seõ trình baøy baét ñaàu töø muïc 1.6 cuûa chöông naày. 1.2. Caùc kyù hieäu vaø giaû thieát Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau 20 )( 1H ,0 ,0 10 ≥> hh )( 2H ),(~),(~ 1120 Ω∈Ω∈ HuHu )( 3H ),),0[( 31 IRCf ×∞×Ω∈ )( 4H ).( , 310 +∈ IRCgg Xeùt haøm soá phuï .)()1()()]1([),( 1010 10011 hhhh tgxhtghxh tx ++ +++−=ϕ (1.2.1) Ñaët ⎩⎨ ⎧ ≤≤+= −= .0),,1(),1( ),,0(),0( 11 00 TttvhtvvB tvhtvvB x x (1.2.2) Khi ñoù, vôùi pheùp ñoåi bieán ,0 , ,),(),(),( Ttxtxtxutxw ≤≤Ω∈−= ϕ (1.2.3) thì w thoûa maõn phöông trình ,0 , ),,,,,(~ Ttxwwwtxfww txxxtt <<Ω∈=− (1.2.4) vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát ⎩⎨ ⎧ ≤≤= = ,0,0 ,0 1 0 TtwB wB (1.2.5) vaø ñieàu kieän ñaàu ,),(~)0,(),(~)0,( 10 Ω∈== xxwxwxwxw t (1.2.6) trong ñoù ⎪⎩ ⎪⎨⎧ −=−= −+++= ),0,()(~)(~ ,)0,()(~)(~ ),,(),,,,(),,,,(~ 1100 xxuxwxxuxw txwwwtxfwwwtxf t ttttxxtx ϕϕ ϕϕϕϕ (1.2.7) thoûa .~ ,~ ,)),0[(~ 112031 HwHwIRCf ∈∈×∞×Ω∈ (1.2.8) 21 Nhö vaäy töø baøi toaùn bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát (1.1.1)-(1.1.3) vôùi pheùp bieán ñoåi (1.2.3) seõ töông ñöông vôùi baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát (1.2.4)-(1.2.6). Do ñoù, khoâng laøm maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû raèng )( 5H .010 == gg Treân 1H ta söû duïng moät chuaån töông ñöông sau: .)()0( 2 1 1 0 2/2 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ∫ dxxvvv H (1.2.9) Trong chöông naøy, ta söû duïng daïng song tuyeán tính treân 1H nhö sau: ., ),1()1()0()0()()(),( 110 1 0 // Hvuvuhvuhdxxvxuvua ∈∀++= ∫ (1.2.10) Khi ñoù ta coù caùc boå ñeà sau Boå ñeà 1.1. Pheùp nhuùng 1H ↪ ( )Ω0C laø compact vaø ( ) . ,2 110 Hvvv HC ∈∀≤Ω Boå ñeà 1.1 laø moät keát quaû quen thuoäc maø chöùng minh cuûa noù coù theå tìm thaáy trong nhieàu taøi lieäu lieân quan ñeán lyù thuyeát veà khoâng gian Sobolev, chaúng haïn [3, 4].„ Boå ñeà 1.2. Vôùi giaû thieát ),( 1H daïng song tuyeán tính ñoái xöùng xaùc ñònh bôûi (1.2.10) lieân tuïc, cöôõng böùc treân ,11 HH × nghóa laø: (i) ,, ,),( 11 11 HvuvuCvua HH ∈∀≤ (ii) . ,),( 120 1 HuuCuua H ∈∀≥ vôùi { } { }.2,,1max ,,1min 10100 hhChC == Chöùng minh: Söû duïng baát ñaúng thöùc Schwartz vaø boå ñeà 1.1 ta coù (i) ñuùng. Chöùng minh (ii) thì deã daøng neân ta boû qua.„ Boå ñeà 1.3. Toàn taïi moät cô sôû Hilbert tröïc chuaån }{ jw cuûa 2L goàm caùc haøm rieâng wj öùng vôùi trò rieâng jλ sao cho 22 , 0 21 LL ≤≤≤≤< jλλλ ,lim +∞=+∞→ jj λ (1.2.11) ,,),( 〉〈= vwvwa jjj λ vôùi moïi L,2,1 ,1 =∈ jHv (1.2.12) Hôn nöõa daõy { }jjw λ cuõng laø cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa 1H töông öùng vôùi tích voâ höôùng ).,( ⋅⋅a Maët khaùc, chuùng ta cuõng coù haøm jw thoûa maõn baøi toaùn giaù trò bieân sau: ,jjj ww λ=Δ− trong ,Ω (1.2.13) ).( ,0)1()1()0()0( 1/0/ Ω∈=+=− ∞Cwwhwwhw jjjjj (1.2.14) Boå ñeà 1.3 ñöôïc chöùng minh baèng caùch aùp duïng boå ñeà 0.3, chöông 0, vôùi ,1HV = 2LH = vaø ),( ⋅⋅a cho bôûi (1.2.10).„ Vôùi 0 ,0 >> TM ta ñaët ,),,,,(sup),,(00 wvutxffTMKK == (1.2.15) ( ) ),,,,,(sup),,( /////11 wvutxffffffTMKK wvutx ++++== (1.2.16) sup trong (1.2.15), (1.2.16) ñöôïc laáy treân mieàn ,0 ,10 Ttx ≤≤≤≤ .2,, Mwvu ≤ (1.2.17) Vôùi moãi 0>M vaø ,0>T ta ñaët }.,, ),,,0(),;,0(:);,0({),( );,0();,0();,0( 212 212 MvMvMv LTLvHTLvHTLvTMW LTLttHTLtHTL ttt ≤≤≤ ∈∈∈= ∞∞∞ ∞∞∞ (1.2.18) 1. 3. Xaáp xæ tuyeán tính cho phöông trình soùng phi tuyeán Trong phaàn naøy, vôùi söï choïn löïa M vaø T thích hôïp, ta xaây döïng moät daõy }{ mu trong ),( TMW baèng qui naïp. Daõy }{ mu seõ ñöôïc chöùng minh hoäi tuï veà nghieäm cuûa baøi toaùn (1.1.1)-(1.1.3) töông öùng vôùi .010 == gg Choïn soá haïng ban ñaàu ).,(0 TMWu ∈ Giaû söû raèng ).,(1 TMWum ∈− (1.3.1) 23 Ta lieân keát baøi toaùn (1.1.1)-(1.1.3) töông öùng vôùi 010 == gg vôùi baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính sau: Tìm ),( TMWum ∈ thoûa ,,),(, 〉〈=+〉〈 vFvuavu mmm&& vôùi moïi ,1Hv∈ (1.3.2) ,~)0(,~)0( 10 uuuu mm == & (1.3.3) trong ñoù )).,(),,(),,(,,(),( 111 txutxutxutxftxF mmmm −−− ∇= & (1.3.4) Söï toàn taïi cuûa mu cho bôûi ñònh lyù döôùi ñaây. Ñònh lyù 1.1. Giaû söû )(),()( 531 HHH − ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0>M vaø 0>T sao cho ñoái vôùi moïi ),(0 TMWu ∈ cho tröôùc, toàn taïi moät daõy qui naïp tuyeán tính ),(}{ TMWum ⊂ xaùc ñònh bôûi (1.3.2)-(1.3.4). Chöùng minh. Chöùng minh bao goàm nhieàu böôùc. Böôùc 1: Xaáp xæ Galerkin. Goïi { }jw laø cô sôû tröïc chuaån cuûa 1H nhö trong boå ñeà 1.3 ( )jjj ww λ= . Duøng phöông phaùp Galerkin ñeå xaây döïng nghieäm xaáp xæ )()( tu km cuûa (1.3.2)-(1.3.4) theo daïng ,)()( 1 )()( ∑ = = k j j k mj k m wtctu (1.3.5) trong ñoù )()( tc kmj thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính sau: ,1 ,),()),((),( )()( kjwtFwtuawtu jmjkmjkm ≤≤〉〈=+〉〈 && (1.3.6) ,~)0( ,~)0( 1 )( 0 )( k k mk k m uuuu == & (1.3.7) vôùi ( ) , trong~ ~ 20 1 0 Huwu k j j k jk →=∑ = α (1.3.8) 24 ( ) . trong~ ~ 11 1 1 Huwu k j j k jk →=∑ = β (1.3.9) Töø giaû thieát (1.3.1), toàn taïi ( ) 0>kmT sao cho baøi toaùn (1.3.6), (1.3.7) coù duy nhaát nghieäm )()( tu km treân ].,0[ )(kmT Chuù thích 1.1. Nghieäm cuûa heä (1.3.6) – (1.3.9) ñöôïc tính nhö sau. Tröôùc heát heä phöông trình vi phaân tuyeán tính (1.3.6) – (1.3.9) töông ñöông vôùi heä sau: ,1,),(1)()( 2 )()( kjwtF w tctc jm j k mjj k mj ≤≤〉〈=+ λ&& (1.3.10) ( ) ( ) ( ) ( ).)0(c ,)0( kjkmjkjkmjc βα == & (1.3.11) Töø ñoù, nghieäm cuûa heä (1.3.10) – (1.3.11) ñöôïc bieåu dieãn theo coâng thöùc: ( ) ( ) ( ) .1,),( ))(sin(1 )sin( )cos()( 0 2 kjdwF t w t ttc t jm j j j j jk jj k j k mj ≤≤〉〈−+ += ∫ ττλ τλ λ λβλα (1.3.12) Caùc ñaùnh giaù sau ñaây trong böôùc 2 cho pheùp ta laáy ( ) ,TT km = vôùi moïi k vaø vôùi moïi m. Böôùc 2: Ñaùnh giaù tieân nghieäm. Trong (1.3.6) thay jw bôûi )()( tu km& ta coù .)(),())(),(( 2 1)( 2 1 )()()(2)( 〉〈=+ tutFtutua dt dtu dt d k mm k m k m k m && Sau ñoù tích phaân theo t ta ñöôïc ,)(),(2)0()( 0 )()()( ∫ 〉〈+= t kmmkmkm duFptp τττ & (1.3.13) trong ñoù )).(),(()()( )()( 2)()( tutuatutp km k m k m k m += & 25 Trong (1.3.6) thay jw bôûi , 1 j j wΔ− λ khi ñoù ,),()),((),( )()( 〉Δ〈=Δ+〉Δ〈 jmjkmjkm wtFwtuawtu&& hay ).),((),()),(( )()( jmjkmjkm wtFawtuwtua =〉ΔΔ〈+&& (1.3.14) Thay jw bôûi )( )( tu km& trong ñaúng thöùc (1.3.14), keát hôïp vôùi (1.2.14), laáy tích phaân theo ,t ta ñöôïc ,))(),(()0()( 0 )()()( ∫+= t k mm k m k m duFaqtq τττ & (1.3.15) vôùi .)())(),(()( 2)()()()( tututuatq km k m k m k m Δ+= && Ñaïo haøm (1.3.6) theo ,t sau ñoù thay jw bôûi )( )( tu km&& ta coù .)(),())(),(( 2 1)( 2 1 )()()(2)( 〉∂ ∂〈=+ tutF t tutua dt dtu dt d k mm k m k m k m &&&&&& Tích phaân hai veá theo t ,)(),(2)0()( 0 )()()( ∫ 〉∂∂〈+= t k mm k m k m duFt rtr τττ && (1.3.16) vôùi )).(),(()()( )()( 2)()( tutuatutr km k m k m k m &&&& += Töø (1.3.13), (1.3.15) vaø (1.3.16), daãn ñeán .)(),(2 ))(),((2)(),(2)0( )())()()( 0 )( 0 )( 0 )()( )()()()( ∫ ∫∫ 〉∂ ∂〈+ +〉〈+= ++= t k mm t k mm t k mm k m k m k m k m k m duF t duFaduFs trtqtpts τττ ττττττ && && (1.3.17) Caùc tích phaân ôû veá phaûi (1.3.17) laàn löôït ñöôïc ñaùnh giaù döôùi ñaây. + Tích phaân thöù nhaát 26 Töø (1.2.15) vaø (1.3.1) ta coù .)(2 )( )(2)(),(2 0 )( 0 0 )( 0 )( ∫ ∫∫ ≤ ≤〉〈 t k m t k mm t k mm dpK duFduF ττ ττττττ && (1.3.18) + Tích phaân thöù hai Do boà ñeà 1.2 ta coù .)( )(2))(),((2 0 )( H1 0 )( 11∫∫ ≤ t Hkmm t k mm duFCduFa ττττττ && (1.3.19) Töø (1.2.15), (1.2.16) vaø (1.3.1) ta tìm ñöôïc ,),0( 20 2 KtFm ≤ (1.3.20) ( ) ( )∫ ∫ −−− −−∇− ∇+Δ+∇+≤ ∇+Δ+∇+=∂ ∂ 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 / 1 / 1 // 2 14 dxuuuK dxufufuffF x mmm mumumuxm & && ( ) ( ).214 14 22 1 2 1 2 1 2 1 12 MK uuK HmHm +≤ ++≤ −− & (1.3.21) Suy ra töø (1.3.20), (1.3.21) raèng ( ) .214),0( 20221222 1 KMKtFFxF mmHm ++≤+∂∂= (1.3.22) Töø (1.3.15), (1.3.19), (1.3.22) ta coù ( ) .)(2122))(),((2 0 )( 0 2 1 0 1 0 )( ∫∫ ++≤ t kmt kmm dqKMKC CduFa τττττ & (1.3.23) + Tích phaân thöù ba Ta coù .)()(2)(),(2 0 )( 0 )( ∫∫ ∂∂≤〉∂∂〈 t k mm t k mm duFt duF t ττττττ &&&& (1.3.24) 27 Töø (1.2.16) vaø (1.3.1) ta thu ñöôïc ( ) ( ) ( ). 314 14 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 / 1 / 1 // 2 MK uuuK dxufufuffF t mmm mumumutm +≤ +∇++≤ +∇++=∂ ∂ −−− −−∇−∫ &&&& &&&& & (1.3.25) Do ñoù töø (1.3.24), (1.3.25) ta suy ra .)(314)(),(2 0 )(2 1 0 )( ∫∫ +≤〉∂∂〈 t k m t k mm drMKduFt τττττ && (1.3.26) Töø (1.3.17), (1.3.18), (1.3.23), (1.3.26) ta thu ñöôïc ,)()0( )(2)0()( 0 )()( 0 )()()( ∫ ∫ ++≤ +≤ t k m k m t k m k m k m dsKTKs dsKsts ττ ττ (1.3.27) trong ñoù ( ) .312212),,( 21021 0 1 0 MKKMKC CKfTMKK +++++== (1.3.28) Tieáp theo ta ñaùnh giaù soá haïng ).0()(kms Ta coù ).~,~(~~)~,~(2)0()0( 00 2 0 2 111 2)()( kkkkkk k m k m uuauuuuaus +Δ+++= && (1.3.29) Trong (1.3.6), thay jw bôûi ),( )( tu km&& sau ñoù laáy ,0=t ta ñöôïc .)0(),~,~,~,0,()0(,~)0( )(100)(0 2)( 〉∇〈=〉Δ〈− kmkmkkm uuuuxfuuu &&&&&& Töø ñaây suy ra .)~,~,~,0,(~)0( 1000 )( uuuxfuu k k m ∇+Δ≤&& (1.3.30) Ta suy töø (1.3.8), (1.3.9), (1.3.29), (1.3.30) raèng toàn taïi moät soá 0>M ñoäc laäp vôùi k vaø m sao cho ,4)0( 2)( Ms km ≤ vôùi moïi k vaø .m (1.3.31) 28 Ta löu yù, vôùi giaû thieát ),( 3H suy ra töø (1.2.15), (1.2.16) raèng .1,0 ,0),,(lim 0 == +→ ifTMTKiT (1.3.32) Keát hôïp (1.3.28) vaø (1.3.32), tìm ñöôïc T > 0 sao cho ( ) ,),,(exp),,( 4 2 2 MfTMTKfTMTKM ≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + (1.3.33) vaø .1),,(11)21(2 1 0 <⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= fTMTK C kT (1.3.34) Cuoái cuøng ta suy ra töø (1.3.27), (1.3.31), (1.3.33) raèng .0 ,)()exp()( )( 0 )(2)( k m t k m k m Tt dsKTKMts ≤≤+−≤ ∫ ττ (1.3.35) Aùp duïng boå ñeà Gronwall ta coù ,)exp()exp()( 22)( MtKTKMts km ≤−≤ .0 )( TTt km ≤≤≤ (1.3.36) Töø ñaây ta coù ,)( TT km = vôùi moïi m vaø k vaø ta suy ra töø ñaây raèng ).,()( TMWu km ∈ (1.3.37) Böôùc 3: Qua giôùi haïn Töø (1.3.37), toàn taïi moät daõy con }{ )( jkmu cuûa }{ )(kmu vaø toàn taïi mu sao cho yeáu*,);,0( trong 2)( HTLuu m k m j ∞→ (1.3.38) yeáu*,);,0( trong 1)( HTLuu m k m j ∞→ && (1.3.39) yeáu*,);,0( trong 2)( LTLuu m k m j ∞→ &&&& (1.3.40) ).,( TMWum ∈ (1.3.41) Töø (1.3.38) - (1.3.41) qua giôùi haïn trong (1.3.6), (1.3.7) ta coù theå kieåm tra deã daøng raèng mu thoûa maõn (1.3.2), (1.3.3) trong ),0( TL ∞ yeáu *. Ñònh lyù 1.1 chöùng minh hoaøn taát.■ 29 Chuù thích 1.2. Trong [9] chuùng toâi thu ñöôïc moät ñaùnh giaù töông töï nhö (1.3.36) nhôø moät nghieäm cöïc ñaïi ñòa phöông cuûa moät baát phöông trình tích phaân Voltera phi tuyeán lieân keát vôùi moät nhaân khoâng giaûm [20]. Tuy nhieân trong luaän aùn naøy chuùng toâi chæ caàn ñöa veà ñaùnh giaù (1.3.35), töø ñoù nhaän ñöôïc (1.3.36) nhôø boå ñeà Gronwall. Caùch laøm naøy theo chuùng toâi ñaùnh giaù thì ñôn giaûn hôn [9]. 1.4. Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát Ñònh lyù 1.2. Giaû söû )(),()( 531 HHH − ñuùng. Khi ñoù toàn taïi ,0>M 0>T sao cho baøi toaùn (1.1.1)-(1.1.3) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu ).,( TMWu∈ Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính }{ mu xaùc ñònh bôûi (1.3.1)-(1.3.4) hoäi tuï maïnh veà nghieäm yeáu u trong khoâng gian )}.;,0( : );,0({)( 211 LTLuHTLuTW ∞∞ ∈∈= & (1.4.1) Hôn nöõa ta cuõng coù ñaùnh giaù sai soá , );,0();,0( 21 m TLTLmHTLm Ckuuuu ≤−+− ∞∞ && vôùi moïi ,m (1.4.2) trong ñoù 10 << Tk xaùc ñònh bôûi (1.3.34) vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc 10 ,, uuT vaø .Tk Chöùng minh. a/ Söï toàn taïi nghieäm. Tröôùc heát ta löu yù raèng )(1 TW laø khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (xem [18]) . );,0();,0()( 211 LTLHTLTW uuu ∞∞ += & (1.4.3) Ta seõ chöùng minh raèng }{ mu laø daõy Cauchy trong ).(1 TW Ñaët .1 mmm uuv −= + Khi ñoù mv thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân sau: ⎩⎨ ⎧ == ∈∀〉−〈=+〉〈 + .0)0()0( , ,, ),(, 11 mm mmmm vv HvvFFvvavv & && (1.4.4) Laáy mvv &= trong (1.4.4) ta coù 30 .,))(),(( 2 1)( 2 1 1 2 〉−〈=+ + mmmmmm vFFtvtvadt dtv dt d && Söû duïng giaû thieát ),( 3H ta suy töø ñònh lyù 1.1, sau khi tích phaân theo t ta coù ( ) .)21(2 ,2),( 0 111 0 1 2 1∫ ∫ −− + ++≤ 〉−〈=+ t mHmm t mmmmmm dvvvK dvFFvvav τ τ && && (1.4.5) Söû duïng boå ñeà 1.2 (ii) vaø (1.4.5) ta thu ñöôïc ( ) ( ).)21(2 111 11 2 0 2 TWmTWmHmm vvTKvCv −+≤+& (1.4.6) Töø (1.4.6) daãn ñeán , )(1)( 11 TWmTTWm vkv −≤ vôùi moïi ,m (1.4.7) trong ñoù 10 << Tk cho bôûi (1.3.34). Vì vaäy , 1)(01)( 11 T m T TWTWmpm k kuuuu −−≤−+ vôùi moïi ., pm (1.4.8) Suy ra }{ mu laø daõy Cauchy trong ),(1 TW do ñoù toàn taïi )(1 TWu∈ sao cho )( trong 1 TWuum → maïnh. (1.4.9) Baèng caùch aùp duïng moät lyù luaän töông töï maø chuùng ta ñaõ söû duïng trong ñònh lyù (1.1), ta coù theå laáy ra moät daõy con }{ jm u cuûa }{ mu sao cho );,0( trong 2HTLuu jm ∞→ yeáu*, (1.4.10) );,0( trong 1HTLuu jm ∞→ && yeáu*, (1.4.11) );,0( trong 2LTLuu jm ∞→ &&&& yeáu*, (1.4.12) ).,( TMWu∈ (1.4.13) Aùp duïng ñònh lyù Riesz-Fischer, töø (1.4.9), toàn taïi daõy con cuûa }{ 1−jmu vaãn kyù hieäu laø }{ 1−jmu sao cho ,),( a.e. 1 Tm Qtx uu j ∈→− (1.4.14) 31 ,),(a.e. 1 Tm Qtxuu j ∈∇→∇ − (1.4.15) .),( a.e. 1 Tm Qtxuu j ∈→− && (1.4.16) Do f lieân tuïc, aùp duïng ñònh lyù hoäi tuï bò chaän Lebesgue, töø (1.4.14)-(1.4.16) ta coù ).( trong),,,,( 2 Ttxm QLuuutxfF j → (1.4.17) Maët khaùc vì ,0);,0( 2 KF LTLm j ≤∞ vôùi moïi ,j (1.4.18) neân ta coù theå trích ñöôïc töø }{ jm F moät daõy con vaãn goïi laø }{ jm F sao cho );,0( trong 2LTLFF jm ∞→ yeáu*. (1.4.19) So saùnh (1.4.17) vaø (1.4.19) suy ra . a.e. ),,,,(),( Ttx Q(x,t)uuutxftxF ∈= (1.4.20) Vaäy );,0( trong),,,,( 2LTLuuutxfF txm j ∞→ yeáu*. (1.4.21) Qua giôùi haïn (1.3.2), (1.3.3), baèng söï keát hôïp vôùi (1.4.10), (1.4.12), (1.4.21), ta thu ñöôïc u thoûa baøi toaùn bieán phaân sau: ⎩⎨ ⎧ == ∈∀〉〈=+〉〈 ,~)0( ,~)0( ,,),,,,,(),(, 10 1 uuuu Hvvuuutxfvuavu tx & && (1.4.22) trong ),0( TL∞ yeáu*. b/ Söï duy nhaát nghieäm. Giaû söû 1u vaø 2u laø hai nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1)-(1.1.3), thoûa ),,( TMWui ∈ .2,1=i Ñaët ,21 uuu −= khi ñoù u laø nghieäm cuûa baøi toaùn bieán phaân sau ⎩⎨ ⎧ == ∈∀〉−〈=+〉〈 ,0)0()0( , ,,),(, 121 uu HvvFFvuavu & && (1.4.23) 32 trong ñoù .2,1 ,),,,,(),( =∇= iuuutxftxF iiii & (1.4.24) Laáy uv &= trong (1.4.23), sau khi tích phaân theo ,t ta coù ( ) .)()()()(2 )(),()(2))(),(()( 0 1 0 21 2 ∫ ∫ +∇+≤ 〉−〈=+ t t m duuuuK duFFtutuatu τττττ ττττ && && (1.4.25) Ñaët )).(),(()()( 2 tutuatutz += & (1.4.26) Khi ñoù, ta suy töø (1.4.25) raèng .)( 222)( 00 1 ∫⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≤ t dz C Ktz ττ (1.4.27) Söû duïng boå ñeà Gronwall ta suy ra .hay ,0)( 21 uutz == Ñaùnh giaù sai soá (1.4.2) ñöôïc suy töø (1.4.8), (1.4.9) baèng caùch cho .∞→p Vaäy ta ñaõ chöùng minh xong ñònh lyù 1.2.■ 1.5. Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân khoâng thuaàn nhaát Giaû söû )()( 41 HH − thoûa maõn. Vôùi pheùp ñoåi bieán (1.2.3) nhö ñaõ noùi ôû phaàn ñaàu, baøi toaùn khoâng thuaàn nhaát (1.1.1) – (1.1.3) ñöa veà baøi toaùn thuaàn nhaát (1.2.4) – (1.2.7), trong ñoù caùc döõ kieän fuugg ,~,~,, 1010 trong baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) seõ laàn löôït thay bôûi .~,~,~,0,0 10 fww Chuùng ta cuõng laøm caùc böôùc xaáp xæ tuyeán tính cho baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) theo sô ñoà sau ,0 , ,),(),(),( Ttxtxtxwtxu mm ≤≤Ω∈+= ϕ (1.5.1) vôùi 33 .)()1()()]1([),( 1010 10011 hhhh tgxhtghxh tx ++ +++−=ϕ )(i Choïn ),,(0 TMWw ∈ vôùi 0, >TM thích hôïp. (1.5.2) )(ii Giaû söû ),,(1 TMWwm ∈− (1.5.3) ta xaùc ñònh ),( TMWwm ∈ laø nghieäm cuûa baøi toaùn ,0 , ,,~),(, TtxvFvwavw mmm <<Ω∈〉〈=+〉〈 && (1.5.4) ,),(~)0,(),(~)0,( 10 Ω∈== xxwxwxwxw mm & (1.5.5) trong ñoù ),,(),,,,( ),,,,(~),(~ 111 111 txwwwtxf wwwtxftxF mmm mmmm ϕϕϕϕ &&&& & −+∇+∇+= ∇= −−− −−− (1.5.6) ).0,()(~)(~ ,)0,()(~)(~ 1100 xxuxwxxuxw ϕϕ &−=−= (1.5.7) Söï toàn taïi moät daõy quy naïp }{ mu xaùc ñònh bôûi (1.5.1) cho bôûi ñònh lyù sau. Ñònh lyù 1.3. Giaû söû caùc giaû thieát )()( 41 HH − ñöôïc thoûa maõn. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá ,0>M 0>T sao cho vôùi moïi ),,(0 TMWw ∈ toàn taïi moät daõy quy naïp tuyeán tính ),(}{ TMWwm ⊂ xaùc ñònh bôûi (1.5.2)- (1.5.7).■ Ñònh lyù 1.4. Giaû söû caùc giaû thieát )()( 41 HH − ñöôïc thoûa maõn. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá ,0>M 0>T sao cho baøi toaùn (1.2.4) – (1.2.7) coù duy nhaát nghieäm yeáu ).,( TMWw∈ Hôn nöõa daõy quy naïp tuyeán tính ),(}{ TMWwm ⊂ xaùc ñònh bôûi (1.5.2) – (1.5.7) hoäi tuï maïnh veà nghieäm yeáu w trong khoâng gian ).(1 TW Do ñoù baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) coù duy nhaát nghieäm yeáu u xaùc ñònh bôûi (1.2.3).■ Chuù thích 1.3. Veà tính duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân khoâng thuaàn nhaát (1.1.1)-(1.1.3). Giaû söû baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) coù hai nghieäm yeáu 21,uu sao cho ),;,0( 2HTLui ∞∈ ),;,0( 1HTLui ∞∈& ),;,0( 2LTLui ∞∈&& 2,1=i vôùi moät 0>T thích hôïp. Khi ñoù 21 uuu −= laø nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát (1.1.1)-(1.1.3) töông öùng vôùi 34 ,010 == gg ,0~~ 10 == uu ).,,,,(),,,,( 222111 uuutxfuuutxff && ∇−∇= (1.5.8) Vôùi caùch laøm töông töï cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát ta thu ñöôïc .021 =−= uuu Do ñoù baøi toaùn (1.1.1)-(1.1.3) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu maø khoâng phuï thuoäc vaøo haømϕ trong pheùp ñoåi bieán .ϕ+= wu Chuù thích 1.4. • Trong tröôøng hôïp ),,,( tuutff = ),),0[( 21 IRCf ×∞∈ ,0)0,0,( =tf ,0≥∀t vaø ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát thay bôûi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát ,0),1(),0( == tutu chuùng toâi cuõng thu ñöôïc keát quaû keát quaû toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toång quaùt hôn baøi baùo [12]. • Trong tröôøng hôïp haøm ),),0[]1,0[( 31 IRCf ×∞×∈ vaø ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát öùng vôùi ,010 == gg chuùng toâi cuõng ñaõ thu ñöôïc moät soá keát quaû töông töï trong [9]. Keát quaû naày cuõng ñöôïc nôùi roäng trong [D2] cho tröôøng hôïp ,00 ≠g .01 ≠g • Moät soá keát quaû thu ñöôïc ôû trong chöông cuûa luaän aùn naày cuõng nhö trong [D1] seõ khoâng söû duïng ñeán ñieàu kieän 1Cf ∈ nhöng vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát thay bôûi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát .0),1(),0( == tutu 35 1.6. Veà baøi toaùn khai trieån tieäm caän Trong phaàn naøy chuùng toâi khaûo saùt khai trieån tieäm caän theo tham soá beù ε cho nghieäm cho baøi toaùn giaù trò bieân vaø ban ñaàu sau ñaây: )( εP ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += == =+=− <<=Ω∈=− .),,,,(),,,,(),,,,( ),(~)0,( ,)(~)0,( ),(),1(),1(),(),0(),0( ,0 ,)1,0( ,),,,,( 10 1100 txtxtx t xx txxxtt uuutxguuutxfuuutxF xuxuxuxu tgtuhtutgtuhtu TtxuuutxFuu εε ε Trong baøi baùo [9] tröôùc ñaây, chuùng toâi ñaõ xeùt baøi toaùn )( εP vôùi 010 == gg vaø ),),0[( 32 IRCf ×∞×Ω∈ ).),0[( 31 IRCg ×∞×Ω∈ Khi ñoù chuùng toâi thu ñöôïc khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm εu cuûa baøi toaùn )( εP theo tham soá beù ε ñeán caáp hai ),( 210 εεε Ouuu ++= theo nghóa ,2 );,0(10);,0(10 21 εεε εε Cuuuuuu LTLHTL ≤−−+−− ∞∞ &&& vôùi C laø moät haèng soá ñoäc laäp vôùi .ε Sau ñoù keát quaû naøy ñöôïc môû roäng trong [D2] vôùi tröôøng hôïp .0, 10 ≠gg Vôùi ),),0[( 31 IRCf N ×∞×Ω∈ + )),0[( 3IRCg N ×∞×Ω∈ vaø moät soá ñieàu kieän phuï treân 101010 ~,~,,,, uugghh , chuùng toâi seõ chöùng minh trong phaàn naøy raèng nghieäm εu cuûa baøi toaùn )( εP coù moät khai trieån tieäm caän ñeán caáp 1+N theo tham soá beù ε nhö sau )( 1 0 + = += ∑ NN i i i Ouu εεε theo nghóa ,1 );,0(0);,0(0 21 + == ≤−+− ∞∞ ∑∑ N LTL N i i i HTL N i i i Cuuuu εεε εε && vôùi C laø moät haèng soá ñoäc laäp vôùi .ε Caùc keát quaû cuûa phaàn naøy ñaõ toång quaùt hoaù caùc keát quaû trong [6, 9, 11, 12] vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [D2]. Ta ñöa theâm giaû thieát sau 36 ).),0[(, )( 313 IRCgfH ×∞×Ω∈′ Trong phaàn moät ta ñaõ khaûo saùt söï toàn taïi duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn )( 0P öùng vôùi .0=ε Baèng caùch töông töï, vôùi giaû thieát ),( 3H ′ baøi toaùn )( εP cuõng ñöôïc chöùng minh toàn taïi duy nhaát nghieäm yeáu khi thay f bôûi ,εF f ~ bôûi εF ~ vôùi ).,(),,,,( ),,,,(),,,,(~ txwwwtxg wwwtxfwwwtxF ttttxx ttxxtx ϕϕϕϕε ϕϕϕε −++++ +++= (1.6.1) Ta cuõng nhaéc laïi, vôùi ,)()1()()]1([),( 1010 10011 hhhh tgxhtghxh tx ++ +++−=ϕ pheùp ñoåi bieán ,0 , ,),(),(),( Ttxtxtxutxw <<Ω∈−= ϕ (1.6.2) baøi toaùn )( εP ñöôïc chuyeån veà tìm w laø nghieäm cuûa baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát ,0 , ),,,,,(~ TtxwwwtxFww txxxtt <<Ω∈=− ε (1.6.3) ,0),1(),1(),0(),0( 10 =+=− twhtwtwhtw xx (1.6.4) .),(~)0,()(~)0,( ),(~)0,()(~)0,( 11 00 Ω∈=−= =−= xxwxxuxw xwxxuxw tt ϕ ϕ (1.6.5) Ta chuù yù raèng, caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm cuûa daõy xaáp xæ Galerkin }{ )(kmw trong chöùng minh ñònh lyù 1.1 cuûa phaàn 1, cho baøi toaùn ( 1.6.3) – (1.6.5) thoûa ( ) ),,( TMWw km ∈ (1.6.6) trong ñoù TM , laø caùc haèng soá ñoäc laäp vôùi km, vaø .ε Thaät vaäy, trong quaù trình chöùng minh, ta choïn caùc haèng soá döông M vaø T nhö trong (1.2.15), (1.2.16), (1.3.28), (1.3.29), (1.3.31), (1.3.33), (1.3.34), trong ñoù )~,~,~,0,( 100 uuuxf ∇ vaø 37 ),,,( fTMKi ,1,0=i ñöôïc thay theá bôûi )~,~,~,0,(~sup 100 1 wwwxF ∇ < εε vaø ),~,,(sup 1 εε FTMKi< ,1,0=i theo thöù töï. Do ñoù, giôùi haïn εw trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp cuûa daõy ( )}{ kmw khi ,+∞→k sau ñoù ,+∞→m laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn (1.6.3)-(1.6.5) thoûa ).,( TMWw ∈ε (1.6.7) Khi ñoù ta coù theå chöùng minh moät caùch töông töï nhö trong chöùng minh cuûa ñònh lyù 1.2, cuûa phaàn 1, raèng giôùi haïn 0w trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp cuûa hoï }{ εw khi 0→ε laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn (1.6.3)-(1.6.5) töông öùng vôùi ,0=ε thoûa ).,(0 TMWw ∈ (1.6.8) Do ñoù, ϕεε += wu (töông öùng vôùi ϕ+= 00 wu ) laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn )( εP ( töông öùng vôùi 0=ε ). 1.7. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm theo tham soá beù ε ñeán caáp moät Ñònh lyù 1.5. Vôùi caùc giaû thieát )(),(),(),( 4321 HHHH ′ toàn taïi caùc haèng soá ,0>M 0>T sao cho vôùi moãi ,1 , <εε baøi toaùn )( εP coù duy nhaát moät nghieäm yeáu ),,( TMWu ∈ε thoûa maõn moät ñaùnh giaù tieäm caän , );,0(0);,0(0 21 εεε Cuuuu LTLHTL ≤−+− ∞∞ && (1.7.1) trong ñoù C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo ).,,(),,,(,, 1010 fTMKgTMKhh Chöùng minh. Ñaët .00 wwuuv −=−= εε Khi ñoù v thoûa baøi toaùn bieán phaân ⎩⎨ ⎧ == ∈〉〈+〉〈=+〉〈 ,0)0()0( ,,,,),(, 1 vv HwwgwGwvawv & && moïi vôùi ε (1.7.2) 38 trong ñoù ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +∇+∇+= +∇+∇+− +∇+∇+= ).,,,,( ),,,,,( ),,,,( 000 ϕϕϕ ϕϕϕ ϕϕϕ εεε εεε && && && wwwtxgg wwwtxf wwwtxfG Laáy vw &= trong (1.7.2), ta coù ,)(),()(),())(),(( 2 1)( 2 1 2 〉〈+〉〈=+ tvtgtvtGtvtva dt dtv dt d &&& ε sau khi laáy tích phaân theo ,t ta ñöôïc .)(),(2)(),(2))(),(()( 00 2 ∫∫ 〉〈+〉〈=+ tt dssvsgdssvsGtvtvatv &&& ε (1.7.3) Ta ñaùnh giaù caùc tích phaân ôû veá phaûi cuûa (1.7.3). [ ] ( ) ,)(3)(4),,( 2 1 )()()()(2),,( )(,)()()(2),,( )(,)()()(),,()(),( 0 22 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11 1 ∫ ∫ ∫ ∫∫ +≤ ++≤ 〉+∇+〈≤ 〉+∇+〈≤〉〈 t H t HH t H tt dssvsvfTMK dssvsvsvsvfTMK dssvsvsvsvfTMK dssvsvsvsvfTMKdssvsG & && && &&& (1.7.4) ).,,()()(),( 202 0 2 0 gTMKdssvdssvsg tt εε +≤〉〈 ∫∫ && (1.7.5) Vôùi caùc ñaùnh giaù treân ta thu ñöôïc [ ] [ ] ).,,())(),(()( ))(),(()(),,()34())(),(()( 2 0 2 0 2 0 2 1 0 2 gTMTKdssvsvasv dssvsvasvfTMK C tvtvatv t t ε+++ ++≤+ ∫ ∫ & && (1.7.6) Töø (1.7.6), aùp duïng boå ñeà Gronwall ta coù ,),,()34(1exp),,())(),(()( 1 0 2 0 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++×≤+ tfTMK C gTMTKtvtvatv ε& vôùi moïi ].,0[ Tt∈ (1.7.7) Do ñoù 39 , );,0();,0( 21 εCvv LTLHTL ≤+ ∞∞ & (1.7.8) trong ñoù C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo ).,,(),,,(,, 1010 fTMKgTMKhh Vaäy ñònh lyù 1.5 ñaõ ñöôïc chöùng minh.„ 1.8. Khai trieån tieäm caän theo tham soá beù ε ñeán caáp N+1 Trong phaàn naøy, chuùng toâi khaûo saùt khai trieån tieäm caän nghieäm yeáu εu ñeán caáp 1+N theo ε vôùi ε ñuû nhoû. Ta ñònh nghóa moät soá kyù hieäu sau: Vôùi moãi ña chæ soá NN Z +∈= ),...,( 1 ααα vaø ,),...,( 1 NN IRxxx ∈= ta ñaët .... ,)()1()( ,)( ,! !! ,... 1 1 2 1 11 N N N i i N i i NN xxx i i ααα ααηααη ααη αααααα = −=−= = =++= ∑ ∑ = = L Boå ñeà 1.4. Vôùi moïi ,,),...,(),,...,(),,...,( 111 IRIRzzzyyyxxx NNNN ∈∈=== ε vaø ,,,, 321 +∈ Zkkkk ta coù (i) , ! ! 1 ∑∑ == =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ k kN i i x kx α α α (ii) , ! ! )(, 1 1 ∑ ∑∑ = === ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ kN kp p pk kN i i i xkx εαε αηα α (iii) , !!! !!!)( ,, 321 111 321 321 321 ∑ ∑∑∑∑ ++ ++==== ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Nkkk kkkp p kN i i i kN i i i kN i i i zyxkkkzyx εγβαεεε γβα γβα 40 , !!! !!! )4( 3 1 3 1 321 ,, 321 111 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = = = === ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∑ = ∑ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = = kN kp p kk kk kN i i i kN i i i kN i i i j j j j zyxkkk zyxi εγβα εεε γβα γβα , !!! !!! !!! !!! )5( )1( 1 1 1 ,, 321 1 1 1 ,, 321 1 1 111 3 1 3 1 3 1 321 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ − = − = = − = = = − = = === ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∑ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = = = NN p p N k kk N p p p k kk N k kk kN i i i kN i i i kN i i i j j j j j j zyxkkk zyxkkk zyxi εγβα εγβα εεε γβα γβα γβα γβα trong ñoù toång ∑ γβα ,, xuaát hieän trong (3i), (4i) vaø (5i) ñöôïc laáy treân caùc ña chæ soá NZ +∈γβα ,, sao cho .)(,,, 321 pkkk =++=== γβαηγβα Chöùng minh boå ñeà 1.4. Caùc ñaúng thöùc (i)-(4i) ñöôïc nghieäm laïi töø caùc pheùp tính ñaïi soá thoâng thöôøng neân chuùng ta boû qua chöùng minh chuùng. Ta chæ nghieäm laïi (5i): Nghieäm laïi (5i): Tröôùc heát, vôùi moïi ),1(1 ,11 ,, −≤≤−≤≤∈ NNpNkIRckpε ta coù . )1( 1 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑∑∑∑∑ − = − = − = = − = = += NN Np N k p kp N p p k p kp N k kN kp p kp ccc εεε (5i1) Thaät vaäy, töø ñaúng thöùc sau ñaây . 1 1 11 1 1, 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ∑∑∑∑∑∑∑ − = − = − = − == − = = =+++= N k N kp kp N k Nk k k k k N p p k kp ccccc L (5i2) ta suy ra 41 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑ ∑∑∑∑ − = = − = = − = = − = − = − = = − = − = = += += ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += N k kN Np p kp N p p k p kp N k kN Np p kp N k N kp p kp N k kN Np p kp N kp p kp N k kN kp p kp cc cc ccc εε εε εεε (5i3) Aùp duïng keát quaû treân vôùi ∑ ∑ =∑ = = kk kp j j zyxkkkc 3 1 ,, 321 !!! !!! γβα γβα γβα ta coù ∑ ∑ ∑∑∑− = = ===∑ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = 1 1 1113 1 321N k kk kN i i i kN i i i kN i i i j j zyx εεε ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ − = = = − = = = ∑ + ∑ = = = 1 1 ,, 321 1 1 1 ,, 321 . !!! !!! !!! !!! 3 1 3 1 N k kN Np p kk N p p k p kk j j j j zyxkkk zyxkkk εγβα εγβα γβα γβα γβα γβα Vaäy boå ñeà 1.4 ñöôïc chöùng minh.„ Baây giôø chuùng toâi boå sung theâm caùc giaû thieát sau: )~( 3H ).),0[(),),0[( 331 IRCgIRCf NN ×∞×Ω∈×∞×Ω∈ + Ta söû duïng caùc kyù hieäu sau ).,1(),1(),,0(),0( , ),,,,,(][ 1100 22 tuhtuuBtuhtuuB xt Luuutxfuf xx tx +=−= ∂ ∂−∂ ∂== Goïi ),(0 TMWu ∈ laø nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn ).( 0P Xeùt daõy ,, ,2 ,1, Npu p K= vôùi ),,( TMWup ∈ laàn löïôt laø caùc nghieäm yeáu cuûa caùc baøi toaùn sau )~( 1P ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == <<Ω∈= ,0)0,()0,( ,1,0 ,0 ,0, ],[ˆ 11 1 111 xuxu iuB TtxuFLu i & trong ñoù 42 ,][][][][][ˆ 10/10/10/011 uufuufuufuguF uuu x &&+∇++= (1.8.1) vôùi ,2 Np ≤≤ )~( pP ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ == == <<Ω∈= ,0)0,()0,( ,1,0 ,0 ,0, ],[ˆ xuxu iuB TtxuFLu pp pi ppp & trong ñoù ],,1[],[][ˆ gpCfpCuF pp −+= (1.8.2) vôùi ,),,,,(].[],[ 1 3210 )( 3 1 321∑ ∑= =∑ = = p k kk k kkk i i kkkkpQuffpC (1.8.3) , ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ),,,,( 1 1 1 1 ,, 1 1 321 111 p p p p p p ppp iii uuuuuu kkkkpQ γγββαα γγββα γβα α & L&LL ×∇∇×= ∑ (1.8.4) trong ñoù iii γβα , , laø caùc soá nguyeân khoâng aâm thoûa .)( , , , 1 3 1 2 1 1 1 pikkk ii p i i p i i p i i p i i =++=== ∑∑∑∑ ==== γβαγβα (1.8.5) ÔÛ ñaây ta söû duïng kyù hieäu sau . 321321 )( kk x k k k kkk uuu ff &∂∂∂ ∂= (1.8.6) Ta cuõng löu yù ],[ fpC laø haøm baäc nhaát theo . , , ppp uuu &∇ Thöïc vaäy, Vôùi ,1=p .][][][],1[ 0/0/0/ pupupu uufuufuuffC x &&+∇+= (1.8.7) Vôùi ,2≥p ta coù ,),,,,(~].[],1[],[ 2 3210 )( 3 1 321∑ ∑= =∑ += = p k kk k kkk i i kkkkpQuffCfpC (1.8.8) vôùi 43 , ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ),,,,(~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,, 1 1 321 111111 − − − − − − −−− ×∇∇×= ∑ p p p p p p ppp iii uuuuuu kkkkpQ γγββαα γγββα γβα α & L&LL (1.8.9) vaø iii γβα , , laø caùc soá nguyeân khoâng aâm thoûa .1)( , , , 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 −=++=== ∑∑∑∑ − = − = − = − = pikkk ii p i i p i i p i i p i i γβαγβα Goïi ),( TMWu ∈ε laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ).( εP Khi ñoù huUuuuuuv N p p p −≡−−≡−−= ∑ = εεε ε 0 1 0 (1.8.10) thoûa baøi toaùn ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == +−++−+= ,0)0,()0,( ,2,1 ,0 ),,(])[][(][][ xvxv ivB txEhghvghfhvfLv i & εε (1.8.11) trong ñoù .][ˆ])[ˆ][( ])[][(][][),( 2 010 0000 ∑ = −−+ −++−+= N p pp p uFuFug ugUugufUuftxE εε εε (1.8.12) Ta seõ söû duïng moät soá haèng soá ñöôïc kyù hieäu nhö sau ,,...,2,1 , ][supmax),(ˆ 0)( 321 321 NkuffTK k kkkkkkkk == =++ (1.8.13) , ][supmax),,(~ )1( 11 321321 uffTMK N kkkNkkkN + +=+++ = (1.8.14) , ][supmax),,(~ )( 321 321 uggTMK N kkkNkkkN =++= (1.8.15) trong (1.8.13), sup ñöôïc laáy treân mieàn ,Ω∈x ,0 Tt ≤≤ vaø trong caùc coâng thöùc (1.8.14), (1.8.15), sup ñöôïc laáy treân mieàn ,Ω∈x ,0 Tt ≤≤ .)1(2,, MNuuu x +≤& Vôùi moãi ña chæ soá NN Z +∈= ),...,( 1 ααα vaø vectô ,),...,( 1 NN IRuuu ∈=r ta ñaët 44 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ∇∇= = .)...()( ,)...()( ,)...()( 1 1 1 1 1 1 N N N Nt Nx N uuu uuu uuu ααα ααα ααα &&r r r (1.8.16) Khi ñoù ta coù boå ñeà sau Boå ñeà 1.5. Giaû söû )(),~(),(),( 4321 HHHH ñuùng. Khi ñoù toàn taïi haèng soá K ~ sao cho ,~ 1 );,0( 2 +≤∞ NLTL KE εε (1.8.17) trong ñoù K~ chæ phuï thuoäc vaøo TMN ,, vaø caùc haèng soá ),,(ˆ fTKk ,,...,2,1 Nk = ),,(ˆ gTKk ,1,...,2,1 −= Nk ),,(~ 1 fTMKN+ vaø ).,,(~ gTMKN Chöùng minh: Tröôøng hôïp 1=N ñôn giaûn, ta boû qua chöùng minh vaø chæ xeùt caùc tröôøng hôïp .2≥N Aùp duïng khai trieån Taylor cho ][ 0 Uuf + xung quanh ),,,,( 000 uuutx &∇ ñeán caáp 1+N )1(0 ),,,( ][ ! 1][][ 111 0 000 <<+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∇∂∇ ∂+∂ ∂=−+ + = ∑ θθεfR ufU u U u U uk ufUuf N N k k & & (1.8.18) ôû ñaây .][ !!! ! ][ !!! ! ][ 321 3 1 321 321 3 1 321 111 0 )( 321 0 )( 321 0 k N p p p k N p p p k N p p p kk k kkk kkk kk k kkk k uuuuf kkk k UUUuf kkk k ufU u U u U u k i i i ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∇⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∑ = ∇ ∑ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∇∂∇ ∂+∂ ∂ ∑∑∑∑ ∑ ==== = = = & & & & εεε (1.8.19) Aùp duïng boå ñeà 1.4 vôùi zyx ,, laàn löôït thay bôûi ,, , γβα tx uuu rrr ta coù 45 ),,,( !!! 1][ !!! 1][][][ 11 1 1 )2( ,, 0 )( 1 1 )1( ,, 0 )( 00 2 3 1 321 3 1 321 θε εγβα εγβα γβα γβα γβα γβα fR uuuuf uuuufufUuf N N Np p N k kk tx k kkk N p p p k kk tx k kkk i i i i + += = = = = = + ∑ + ∑ =−+ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ = = rrr rrr (1.8.20) trong soá haïng thöù nhaát, toång ∑ )1( ,, γβα ñöôïc laáy treân caùc NZ +∈γβα ,, sao cho ,1 1 k p i i =∑ = α ,2 1 k p i i =∑ = β ,3 1 k p i i =∑ = γ ,)( 1 pi p i iii =++∑ = γβα trong soá haïng thöù hai, toång ∑ )2( ,, γβα ñöôïc laáy treân caùc NZ +∈γβα ,, sao cho ,1 1 k N i i =∑ = α ,2 1 k N i i =∑ = β ,3 1 k N i i =∑ = γ .)( p=++ γβαη Sau khi saép laïi theo baäc cuûa ε ta thu ñöôïc ,10,),,( ],,[~],[][][ 111 11 00 2 <<+ +=−+ + +== ∑∑ θθε εε fR fpNCfpCufUuf N N Np p N p p (1.8.21) ôû ñaây ],[ fpC ñöôïc ñònh nghóa bôûi (1.8.8) vaø caùc ñaïi löôïng coøn laïi ñònh nghóa nhö sau , !!! ].[],,[~ 1 ,, 0 )( 3 1 321∑ ∑ ∑= =∑ = = N k kk txk kkk i i uuuuffpNC γβα γβα γβα rrr (1.8.22) trong ñoù ∑ γβα ,, ñöôïc laáy treân caùc NZ+∈γβα ,, thoûa ,)( ,,, 321 pkkk =++=== γβαηγβα (1.8.23) ∑ += ++ + ∑ += = 1 10 )1(1 11 3 1 321 ][),,( Nk N kkk N N i i UuffR θεθε ∑ === ++× 321 ,, )( !!! kkk tx uuu γβα γβαη γβα εγβα rrr . (1.8.24) 46 Töông töï aùp duïng khai trieån Taylor cho ][ 0 Uug + xung quanh ),,,,( 000 uuutx &∇ ñeán caáp ,N ta thu ñöôïc .10 ,),,( ],,1[~],[][][ 22 )1( 1 1 1 00 <<+ −+=−+ ∑∑ − += − = θθε εε gR gpNCgpCugUug N NN Np p N p p (1.8.25) Töø (1.8.2) - (1.8.5), (1.8.12), (1.8.21), (1.8.25) ta ruùt ra ).,,(),,( ],,1[~],,[~),( 211 )1( 1 1 2 θεεθε εεε gRfR gpNCfpNCtxE NN NN Np p N Np p ++ −+= + − = + += ∑∑ (1.8.26) Do caùc haøm , , , iii uuu &∇ Ni ,...,2,1,0= bò chaän treân khoâng gian ),,0( 1HTL∞ neân töø (1.8.22), (1.8.24), (1.8.26) ta coù ,~ 1 ):,0( 1 +≤∞ NHTL KE εε (1.8.27) trong ñoù ).,,(~ ! )3(),,(~ )!1( )3( ),(ˆ ! )3()1(),(ˆ ! )3()(~ 1 1 1 1 2 1 2 gTMK N MNfTMK N MN gTK k MNNfTK k MNNNK N N N N N k k kN k k k +++ −+−= + + − == ∑∑ (1.8.28) Vaäy boå ñeà 1.5 ñöôïc chöùng minh.„ Baây giôø, ta xaáp xæ baøi toaùn (1.8.11) baèng daõy qui naïp }{ mv nhö sau ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥== == <<Ω∈+ −++−+= ≡ −− .1 ,0)0,()0,( ,2,1 ,0 ,0 ,),,( ])[][(][][ ,0 11 0 mxvxv ivB TtxtxE hghvghfhvfLv v mm mi mmm & ε ε (1.8.29) Vôùi ,1=m ta coù baøi toaùn tìm 1v ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == <<Ω∈= ,0)0,()0,( ,2,1 ,0 ,0 , ),,( 11 1 1 xvxv ivB TtxtxELv i & ε (1.8.30) 47 Nhaân hai veá cuûa (1.8.30) vôùi ,1v& sau ñoù laáy tích phaân theo t ta coù .)(),(2))(),(()( 0 11 2 1 ∫ 〉〈=+ t dssvsEtvtvatv && ε (1.8.31) Töø boå ñeà 1.5 ta deã daøng suy ra raèng .~2))(),(()( );,0(1 1 11 2 1 2LTL N vTKtvtvatv ∞ +≤+ && ε (1.8.32) Töø ñaây suy ra raèng .~)11(2 10);,0(1);,0(1 21 ++≤+ ∞∞ NLTLHTL TKCvv ε& (1.8.33) Ta seõ chöùng minh raèng toàn taïi moät haèng soá TC ñoäc laäp vôùi m vaø ε sao cho . ,1 ,1 );,0();,0( 21 mCvv NTLTLmHTLm ∀≤≤+ +∞∞ εε& (1.8.34) Nhaân hai veá cuûa (1.8.29) vôùi ,mv& sau ñoù laáy tích phaân theo t ta thu ñöôïc .)][][][][(2 ~2))(),(( 0 11);,0( );,0( 12 2 2 ∫ −++−++ ≤+ −− + ∞ ∞ t mmLTLm LTLm N mmm dhghvghfhvfv vTKtvtvav τ ε & && (1.8.35) Ñaët . );,0();,0( 21 LTLmHTLmm vv ∞∞ += &η (1.8.36) Töø (1.8.35) ta suy ra , 1 δηση +≤ −mm vôùi moïi ,1≥m (1.8.37) vôùi [ ] ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += +++= + .~2)11( ,),,(),,(()11()21(2 1 0 110 NTKC gTMKfTMKTC εδ σ (1.8.38) Ta giaû söû raèng ,1 <σ (1.8.39) vôùi haèng soá 0>T thích hôïp. Aùp duïng boå ñeà 0.4, Chöông 0, vôùi δση ,},{ m cho bôûi (1.8.36), (1.8.38), ta 48 suy ra töø (1.8.37), (1.8.39) raèng ,)1/( 1 );,0();,0( 21 +=−≤=+ ∞∞ NTmLTLmHTLm Cvv εσδη& (1.8.40) vôùi moïi ,1≥m trong ñoù, ).1/(~)11(2 0 σ−+= TKCCT (1.8.41) Maët khaùc, theo ñònh lyù 1.2, aùp duïng cho baøi toaùn (1.8.11), daõy quy naïp tuyeán tính ñònh nghóa bôûi (1.8.29) hoäi tuï maïnh trong )(1 TW veà nghieäm v cuûa baøi toaùn (1.8.11). Vì vaäy, qua giôùi haïn (1.8.34) khi ,∞→m ta thu ñöôïc ,1 );,0();,0( 21 +≤+ ∞∞ NTLTLHTL Cvv ε& (1.8.42) hay .1 );,0(0);,0(0 21 + == ≤−+− ∞∞ ∑∑ NT LTL N p p p HTL N p p p Cuuuu εεε εε && (1.8.43) Ta coù ñònh lyù döôùi ñaây Ñònh lyù 1.6. Giaû söû caùc giaû thieát )(),~(),(),( 4321 HHHH ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0>M vaø 0>T sao cho, vôùi moïi ε thoûa ,1<ε baøi toaùn )( εP coù duy nhaát nghieäm yeáu ),( TMWu ∈ε thoûa öôùc löôïng tieäm caän ñeán caáp 1+N nhö (1.7.43), trong ñoù caùc haøm ,pu Np ,...,2,1= laø nghieäm yeáu cuûa caùc baøi toaùn NpPp ,...,2,1 ), ~( = theo thöù töï.„