Luận văn Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình VI phân phức

Ò ý nghÜa nµo ®ã, cã thÓ xem nh• ®Æc tr•ng cho “ cÊp t¨ng” cña mét h¯m ph©n h×nh. NhËn xÐt: NÕu hµm f cè ®Þnh, ta cã thÓ viÕt        , , , , , ,m R a N R a n R a T R lÇn l•ît thay cho   1 1 1 , , , , , , ,m R N R n R T R f f a f a f a                     nÕu a lµ h÷u h¹n vµ      , , , , ,m R N R n R   thay cho      , , , , ,m R f N R f n R f . NÕu chóng ta cho R biÕn thiªn th× ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cã thÓ ®•îc viÕt d•íi d¹ng nh• sau:        , , 1 .m R a N R a T R O   Víi mçi a lµ h÷u h¹n hay v« h¹n. Sè h¹ng m(R,a) dÇn tíi trung b×nh nhá nhÊt cã thÓ ®•îc cña f ’ a trªn vßng trßn z R , sè h¹ng N(R,a) dÇn ®Õn sè nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh  f z a trong z R . Víi mçi gi¸ trÞ cña a, tæng cña hai sè h¹ng nµy cã thÓ xem lµ kh«ng phô thuéc vµo a. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 1.2.3.2. Mét sè vÝ dô VÝ dô 1: XÐt hµm h÷u tû   ... ... p p q q z a f z c z b      , trong ®ã 0c  . Gi¶ sö p > q. Khi ®ã  f z  khi z  , nh• vËy khi a h÷u h¹n m(r,a) = 0 víi mäi r > r0 nµo ®ã. Ph•¬ng tr×nh f(z) = a cã p nghiÖm sao cho n(t,a) = p(t>t0), nh• vËy:      , , log 1 r a dt N r a n t a p r O t    khi r  , Do ®ã, khi r  ,    , log 1 ,T r f p r O  vµ    , log 1 ,N r a p r O     , 1 ,m r a O víi a   . NÕu p < q,    , log 1 ,T r f q r O     , log 1 ,N r a q r O     , 1 ,m r a O víi 0a  . NÕu p = q,    , log 1 ,N r f q r O     , log 1 ,N r a q r O     , 1 ,m r a O víi a c . Nh• vËy, trong mäi tr•êng hîp    , log 1 ,T r f d r O     , log 1 ,N r a d r O     , 1 ,m r a O víi  a f  , trong ®ã d = max(p, q). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Trong tr•êng hîp nµy, m(r, a) lµ bÞ chÆn khi r  ngo¹i trõ mét gi¸ trÞ cña a lµ  f  . NÕu ph•¬ng tr×nh f(z) = a cã nghiÖm béi  t¹i  víi 0 d  , th×    , log 1 ,m r a r O      , log 1 .N r a d a r O   VÝ dô 2: XÐt hµm    cos sin , r iz f z e e     víi i z re   . Khi ®ã     cos sin coslog log log logi r ir rf z f re e e          , coslog ,cos 0 0,cos 0 r e         , cos log , 2 2 3 0, 2 2 r e                  , = cos , 2 2 3 0, 2 2 r                 . Tõ ®ã:     2 2 0 2 1 1 , log cos . 2 2 i r m f a f re d r d                Do hµm z e kh«ng cã kh«ng ®iÓm trong z r nªn N(r, f) = 0, nh• vËy,      , , , . r T r f m r N r      Do ®ã  , r T r f   . VÝ dô 3: XÐt   ... p p P z az a   , lµ mét ®a thøc vµ    P z f z e . Khi ®ã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19     ... p p az aP z f z e e     , Nh• vËy:      , , ... , . , log p p p p a aaz az T r f T r e T r e p T r e e          , =    . , 1 p az p T r e O . TÝnh  , p az T r e . §Æt paz g e . Ta cã      , , ,T r g m r g N r g  . Do g chØnh h×nh nªn:  , 0N r g  suy ra      , , , p az T r g m r g m r e  .     2 0 1 , log , 2 i p a re p az m r e e d      =     2 cos sin 0 1 log 2 p ar p i p e d        , =  2 cos 0 1 log 2 p a r p e d       , =   2 2 1 cos 2 p p p a r p d        , =   2 2 1 1 . . sin 2 p p p p a r a r p p p       . Nh• vËy  , p a r T r g p  , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 suy ra    , 1 . pa T r f r O    1.2.4. §Þnh lý Cartan vÒ ®ång nhÊt thøc vµ tÝnh låi 1.2.4.1. §Þnh lý Gi¶ sö f(z) lµ mét hµm ph©n h×nh trong z R . Khi ®ã:       2 0 1 , , log 0 2 iT r f N r e d f      , víi ( 0 < r <R). Chøng minh: Ta ¸p dông c«ng thøc Jensen (1.6) cho hµm f(z) = a ’ z víi R = 1 vµ thu ®•îc: 2 0 log , 11 log . 2 log log 0, 1 i a a a e d a a a             Nh• vËy trong mäi tr•êng hîp ta ®Òu cã: 2 0 1 log log . 2 ia e d a       (*) L¹i ¸p dông (1.6) cho hµm sè   if z e  vµ cã:         2 0 1 log 0 log . , , . 2 i i i if e f r e e d N r N r e          LÊy tÝch ph©n hai vÕ theo biÕn  vµ thay ®æi thø tù lÊy tÝch ph©n trong tÝch ph©n vÕ ph¶i ta cã: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21               2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 1 1 1 log 0 log . 2 2 2 1 1 , , 2 2 1 1 1 log . , , . 2 2 2 i i i i i i f e d f r e e d d N r d N r e d f r e e d d N r N r e d                                                              ¸p dông c«ng thøc (*) ta cã:         2 2 0 0 1 1 log 0 log , , . 2 2 i if f re d N r N e d           Tõ ®ã:                       2 2 0 0 2 0 2 0 1 , log , log 0 , 2 1 , , , log 0 , 2 1 , , log 0 . 2 i i i i N r f re d N r e d f N r f m r f N r e d f T r f N r e d f                                   Víi ( 0 < r < R). VËy ®Þnh lý ®•îc chøng minh. 1.2.4.2. HÖ qu¶ 1: Hµm ®Æc tr•ng Nevanlinna T(r,f) lµ mét hµm låi t¨ng cña logr víi 0 < r <R. Chøng minh: Ta thÊy r»ng  , iN r e  hiÓn nhiªn lµ hµm t¨ng, låi cña logr nªn ta suy ra hµm T(r,f) còng cã tÝnh chÊt nh• vËy vµ hÖ qu¶ ®•îc chøng minh. Trong tr•êng hîp nµy chóng ta cã: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22     2 0 1 , , . 2 idr T r f n r e d dr     1.2.4.3. HÖ qu¶ 2: Trong mäi tr•êng hîp chóng ta ®Òu cã   2 0 1 , log 2. 2 im r e d      Chøng minh Sö dông ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho hµm f(z) víi ia a  chóng ta cã:          , , , log 0i i iT r f m r e N r e f e G       , trong ®ã   log 2G   . LÊy tÝch ph©n hai vÕ theo biÕn  ta cã:       2 2 2 0 0 0 1 1 1 , , , 2 2 2 i iT r f d m r e d N r e d             +     2 2 0 0 1 1 log 0 . 2 2 if e d G d          Sö dông ®Þnh lý (1.2.4.1), c«ng thøc (*) ta sÏ thu ®•îc:             2 2 0 0 1 1 , , , log 0 log 0 . 2 2 iT r f m r e d T f f f G d             Nh• vËy:     2 2 2 0 0 0 1 1 1 , log 2 log 2. 2 2 2 im r e d G d d               HÖ qu¶ 2 ®•îc chøng minh. * NhËn xÐt: §Þnh lý Cartan v¯ hÖ qu° chØ ra rºng “trung b×nh “ cña c¸c gi¸ trÞ cña hµm m(r,a) lÊy trªn mét vßng trßn l¯ “ kh¸ nhá”, h¯m T(r,f) hÇu nh• chØ phô thuéc trung b×nh cña gi¸ trÞ N(r,a) trªn vßng trßn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 1.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai 1.3.1. Giíi thiÖu Trong môc tr•íc chóng ta ®· ®Þnh nghÜa hµm ®Æc tr•ng Nevanlinna vµ cã ®•îc ®Þnh lý: víi mçi sè phøc a,        , , 1m R a N R a T R O   . Tõ ®ã chóng ta còng thÊy r»ng tæng m + N cã thÓ xem lµ ®éc lËp víi a. §ã chÝnh lµ kÕt qu¶ cña ®Þnh lý thø nhÊt. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai sÏ cho ta thÊy r»ng trong tr•êng hîp tæng qu¸t sè h¹ng N(R,a) chiÕm •u thÕ trong tæng m + N vµ thªm n÷a trong N(R,a) chóng ta kh«ng thÓ lµm gi¶m tæng ®ã nhiÒu nÕu c¸c nghiÖm béi ®•îc tÝnh mét lÇn. Tõ kÕt qu¶ nµy còng suy ra ®Þnh lý Picard, nãi r»ng hµm ph©n h×nh nhËn mäi gi¸ trÞ, trõ ra cïng l¾m lµ hai gi¸ trÞ. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna ®•îc suy tõ ®Þnh lý sau,®•îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n. 1.3.2. BÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n §Ó ®¬n gi¶n, chóng ta sÏ viÕt m(r,a) thay cho m(r,1 / f ’ a) vµ  ,m r  thay cho m(r,f). 1.3.2.1. §Þnh lý Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong z r . Gi¶ sö a1, a2,….aq lµ c¸c sè phøc h÷u h¹n riªng biÖt, 0  vµ va a   víi 1 v q   . Khi ®ã:          1 1 , , 2 , . q v v m r m r a T r f N r S r       Trong ®ã N1(r) d•¬ng vµ ®•îc ®Þnh nghÜa:      1 1 , 2 , , ' . ' N r N r N r f N f f         Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24    1 ' ' 3 1 , , log log 2 log . ' 0 q v v f f q S r m r m r q f f a f                Chøng minh: Víi c¸c sè ph©n biÖt av;     1 2 log 1 logq f z av       , ta xÐt hµm:     1 1 . q v v F z f z a    a) Gi¶ sö r»ng víi mét sè v nµo ®ã   3 vf z a q    . Khi ®ã víi v  ta cã:     2 . 3 3q f z a a a f z a             Bëi vËy víi v      3 1 1 . 2 2 1 v z a q f z af       Nh• vËy ta cã:           1 1 1 . 22 1 1 1 v v v v q F z z a z a z aqf z af f f               Tõ ®ã ta cã:     1log log log2.F z f z av     Trong tr•êng hîp nµy:    1 1 2log log log log2 q F z q f z a          Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25  1 1 3log log log2. q qq f z a         (**) Bëi v× víi v  ,   1 3 2 log log log . 2f z a         Nªn ta cã:      1 1 11 log log log q vf z af z a f z av                 1 2 log 1 log .q f z av       Suy ra:     1 2 log 1 log . v q f z a          Tõ ®ã ta cã:     1 log log log 2 v f z f z a          1 1 1 log log log2 q vf z a f z a              ,     1 1 2 log 1 log log2. q q f z a            Suy ra: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26    1 1 3log log log log2. q qF z q f z a         VËy (**) ®•îc chøng minh. Nh• vËy nÕu tån t¹i mét gi¸ trÞ v q ®Ó   3 vf z a q    th× (**) hiÓn nhiªn ®óng. b) Ng•îc l¹i, gi¶ sö   , , 3 vf z a v q     khi ®ã cã mét ®iÒu hiÓn nhiªn lµ:    1 1 3log log log log2. q qF z q f z a         Bëi v×, do   , , 3 vf z a v q     nªn   1 3 v q f z a    , suy ra:   1 3 log log , v q f z a     suy ra  1 1 3 log log log 2, q v v q q f z a         tõ ®ã:    1 1 3 log 0 log log log 2. q v v q F z q f z a            Nh• vËy trong mäi tr•êng hîp ta ®Òu cã:    1 1 3 log log log log 2. q v v q F z q f z a           Víi iz re  lÊy tÝch ph©n hai vÕ chóng ta suy ra: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27     2 2 10 0 1 3 log log log log 2 . q i v v q F re d q d f z a                 Nªn     1 3 , , log log2. q v v q m r F m r a       (1.14) MÆt kh¸c ta xÐt:     1 1 , , ' , , , ' . ' ' f f m r F m r f F m r m r m r f F f f f f                      (1a) Theo c«ng thøc Jensen (1.12) ta cã:         1 , , log 0 . 0 , , log . ' ' ' 0 T r f T r f f ff f T r T r f f f                     Hay     0' ' , , , , log . ' ' ' 0 ff f f f m r N r m r N r f f f f f                            Suy ra     0' ' , , , , log . ' ' ' 0 ff f f f m r m r N r N r f f f f f                            (2a) Vµ ngoµi ra ta cã:     1 1 , , , log 0 .T r f m r N r f f f               Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Hay     1 1 1 , , , log . 0 m r T r f N r f f f               (3a) KÕt hîp (2a) vµ (3a) thay vµo bÊt ®¼ng thøc (1a) ta ®•îc:       1 1 ' , , , log , 0 f m r F T r f N r m r f ff                       0' , , log , ' . ' ' 0 ff f N r N r m r f F f f f                . BÊt ®¼ng thøc trªn kÕt hîp víi (1.14) chóng ta sÏ cã:                   1 3 , , , , log log 2, 1 ' ' , , , , , ' 1 3 , ' log , , log log 2. ' 0 q v v q m r a m r m r F m r f q f f f T r f N r N r N r m r f f f f q m r f F T r f N r f q f                                                Sö dông c«ng thøc Jensen cho hµm ' f f ta cã:         2 0 0 1 ' log log , , . ' 0 2 '' i i f ref f f d N r N r f f ff re                   Suy ra:         2 0 0' 1 , , log log ' 2 ' 0' i i f re ff f N r N r d f f ff re                   , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29     2 0 1 log log 0 2 if re d f          2 0 1 log ' log ' 0 2 if re d f     ,     1 1 , , , , ' . ' N r N r f N r N r f f f                Cuèi cïng ta cã:           1 1 , , 2 , 2 , , ' , ' q v v m r a m r T r f N r f N r f N r f                     ' 1 3 , , ' log log log2. ' 0 f q m r m r f F q f f           Chó ý:   1 ' , ' , , q v v f m r f F m r f a         vµ ®Æt:      1 1 , 2 , , ' . ' N r N r N r f N r f f         Vµ:    1 ' ' 3 1 , , log log 2 log . ' 0 q v v f f q S r m r m r q f f a f                Khi ®ã ta cã:          1 1 , , 2 , 0 q v v m r a m r T r f N r S       . §©y lµ ®iÒu cÇn ph¶i chøng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 * NhËn xÐt: N1(r) trong ®Þnh lý (1.3.2.1) lµ d•¬ng v×:   1 , log q v v R N r f b  . Trong tæng trªn nÕu bv lµ cùc ®iÓm béi k th× ®•îc tÝnh k lÇn. Gi¶ sö 1,..., Nb b lµ c¸c cùc ph©n biÖt cña f(z) víi cÊp lÇn l•ît lµ: 1,..., Nk k . XÐt t¹i ®iÓm bv ta thÊy khai triÓn cña f(z) sÏ cã d¹ng:     ...v v k k v c f z z b     Khi ®ã f’(z) sÏ cã khai triÓn lµ:     1 1 ' ' ...v v k k v c f z z b       Tøc lµ bv sÏ lµ cùc ®iÓm cÊp kv + 1 cña hµm f’(z). Nh• vËy 1,..., Nb b sÏ lµ c¸c cùc ®iÓm cña f’(z) víi cÇp lÇn l•ît lµ: 1 1,..., 1Nk k  . TÊt nhiªn f’(z) kh«ng cã cùc ®iÓm nµo kh¸c. Nh• vËy:   1 , log N v v v R N r f k b  , vµ     1 , ' 1 log N v v v R N r f k b   . Nªn:       1 1 2 , , ' 2 log 1 log N N v v v vv v R R N r f N r f k k b b       ,    1 2 1 log N v v v v R k k b    ,   1 2 1 log 0. N v v v R k b    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Tõ ®ã ta cã:      1 1 , 2 , , ' 0. ' N r N r N r f N r f f          1.3.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna §Þnh lý: Gi¶ sö f lµ mét hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng trªn  vµ 1 2, ,..., qa a a lµ q > 2 ®iÓm ph©n biÖt. Khi ®ã:          1 1 1 1 , , , , , q j j q T r f N r f N r N r f S r f f a            ,      0 1 1 , , , , . q j j N r f N r N r f S r f f a           Trong ®ã     , ,S r f o T r f khi r  , r n»m ngoµi mét tËp cã ®é ®o h÷u h¹n,      1 1 , 2 , , ' ' N r N r N r f N r f f         , vµ 0 1 , ' N r f       lµ hµm ®Õm t¹i c¸c kh«ng ®iÓm cña f mµ kh«ng ph¶i lµ kh«ng ®iÓm cña jf a , víi j = 1,..,q. 1.3.4. Quan hÖ sè khuyÕt Chóng ta ký hiÖu l¹i:    , , ,n t a n t a f lµ sè c¸c nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh  f z a trong z t , nghiÖm béi ®•îc tÝnh c¶ béi vµ ký hiÖu  ,n t a lµ sè nghiÖm ph©n biÖt cña  f z a trong z t . T•¬ng tù ta ®Þnh nghÜa:                     0 0 , , , , , 0, log , , , , , , 0, log . r r n t a n a N r a N r a f dt n a r t n t a n a N r a N r a f dt n a r t           Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Chóng ta sÏ ký hiÖu    , , ,N r f T r f t•¬ng øng thay cho    , , , , ,N r f T r f  . Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong 0z R , nh• vËy:  ,T r f  khi 0r R . Theo ®Þnh lý (1.2.3.1):        , , , 1m r a N r a T r f O   , khi 0r R . Ta ®Þnh nghÜa:                               0 0 0 0 , , , 1 lim , , , 1 lim , , , , . lim lim r R r R r R r R m r a N r a a a f T r T r N r a a a f T r N r a N r a a a f T r                     HiÓn nhiªn, cho 0  , víi r ®ñ gÇn R0 ta cã:         , ,N r a N r a a T r   ,       , 1N r a a T r   . Tõ ®ã suy ra:         , 1 2N r a a a T r     . Nh• vËy:      .a a a    L•îng  a ®•îc gäi lµ sè khuyÕt cña gi¸ trÞ a,  a gäi lµ bËc cña béi. B©y giê chóng ta chøng minh mét kÕt qu¶ c¬ së cña lý thuyÕt Nevanlinna , ®Þnh lý sau ®©y gäi lµ ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt. 1.3.4.1. §Þnh lý Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong 0z R . Khi ®ã tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña a mµ   0a  cïng l¾m lµ ®Õm ®•îc, ®ång thêi ta cã: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33        2 a a a a a      . Chøng minh:     , ,n nS r f o T r f , khi 0nr R . Chän mét d·y  nr , sao cho 0nr R khi n  . XÐt q ®iÓm kh¸c nhau 1 2, ,..., qa a a . Theo bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n ta cã:           1 1 , , 2 , , . q n n v n n n v m r m r a T r f N r o T r f       Céng thªm ®¹i l•îng     1 , , q n n v v N r N r a    vµo hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:               1 1 , , 2 , , , , . q n n n n n v n n v T r f qT r f T r f N r N r a N r o T r f         Suy ra :              1 1 1 , , , , . q n n n n v n v q T r f o T r f N r N r a N r        MÆt kh¸c :      1 1 , 2 , , ' ' n n n nN r N r N r f N r f f         . §Æt:         1 1 , , , 2 , , ' . ' q n n v n n n v A N r N r a N r N r f N r f f             Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc trªn ®•îc viÕt l¹i lµ:        1 , , .n nq T r f o T r f A   (1.15) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Gi¶ sö f cã cùc ®iÓm cÊp k t¹i av , khi ®ã:     ....k k v c f z z a        1 1 ' ' ... k k v c f z z a       Do ®ã av sÏ cã cùc ®iÓm cÊp k + 1 cña f’. Gi¶ sö ; 1,vb v p lµ c¸c cùc ®iÓm ph©n biÖt cña hµm f , víi béi t•¬ng øng lµ 1 2, ,..., pk k k . Khi ®ã:     1 , , log ; p n n n p v v r N r N r f k b        1 , ' 1 log ; p n n p v v r N r f k b   tõ ®ã:         1 , 2 , , ' 2 1 log ; p n n n n p p p v v r N r N r f N r f k k k b          1 log , ; p n n v v r N r b    nh• vËy (1.15) viÕt l¹i lµ:          1 1 1 1 , , , , . ' q n n v n n v q o T r f N r a N r N r f              Chóng ta thÊy r»ng mét nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh   vf z a cã bËc p th× nã còng lµ kh«ng ®iÓm bËc p ’ 1 cña f’(z) vµ nh• thÕ nã ®ãng gãp mét lÇn vµo   1 , , ' vn t a n t f        . Do ®ã bÊt ®¼ng thøc trªn ®•îc viÕt nh• sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35          0 1 1 1 1 , , , , . ' q n n v n n v q o T r f N r a N r N r f              (1.16) Trong ®ã 0 1 , ' nN r f       ®•îc tÝnh t¹i nh÷ng ®iÓm lµ kh«ng ®iÓm cña f’ nh•ng kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh   vf z a , v = 1,…,q. Chó ý r»ng 0 1 , 0 ' nN r f       nªn tõ (1.16) ta cã:          1 1 1 , , , . q n n v n v q o T r f N r a N r       (1.17) Chia c¶ hai vÕ cña (1.17) cho  ,nT r f vµ bá qua ®¹i l•îng o(1) ta cã:        1 , , 1. , , q n v n v n n N r a N r q T r f T r f     LÊy giíi h¹n khi 0nr R ta suy ra:         0 0 1 , , 1, , ,lim lim n n q n v n v n nr R r R N r a N r q T r f T r f      hay         0 0 1 1 , , 1, , ,lim lim n n q q n v n v v n nr R r R N r a N r q T r f T r f        tøc lµ:      1 1 1 1. q v v a q        Hay     1 2 q v v a      . Do q bÊt kú nªn ®Þnh lý ®•îc chøng minh xong. §Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña quan hÖ sè khuyÕt. 1.3.4.2. §Þnh lý Picard Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0,1, . Khi ®ã f lµ hµm h»ng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Chøng minh: Gi¶ sö f kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng. Kh«ng mÊt tæng qu¸t, cã thÓ xem f(z) kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0,1, . Tõ ®ã:  ,0 0N r  ;  ,1 0N r  ;  , 0N r f  . Suy ra  0 1  ;  1 1  ;   1   , nªn   3    a a ; ®iÒu nµy m©u thuÉn víi quan hÖ sè khuyÕt. VËy f(z) ph¶i lµ hµm h»ng. 1.4. Mét sè øng dông cña c¸c ®Þnh lý c¬ b¶n 1.4.1. C¸c vÝ dô VÝ dô 1: Gi¶ sö  f z a v« nghiÖm. Khi ®ã ta cã  , 0,N r a r  suy ra   1a  . Ch¼ng h¹n:  0 1z ff e    . VÝ dô 2: Gi¶ sö cã       , , 1N r a o T r f a  ( sè khuyÕt b»ng 1 khi sè nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh qu¸ Ýt so víi cÊp sè t¨ng cña nã). VÝ dô 3: Gi¶ sö f lµ hµm nguyªn, khi ®ã f kh«ng cã cùc ®iÓm nªn   1   . Nh• vËy   1 a a     . Tõ ®ã suy ra ph•¬ng tr×nh f(z) ’ a = 0 cã nghiÖm víi mäi a trong mÆt ph¼ng phøc, trõ ra cïng l¾m mét gi¸ trÞ. Ch¼ng h¹n ta thÊy hµm   zf z e lµ chØnh h×nh trªn  vµ    0 0 1   , nh• vËy hµm ze a sÏ cã nghiÖm víi 0a  . VËy vÊn ®Ò ®Æt ra lµ cã bao nhiªu gi¸ trÞ cña a ®Ó ph•¬ng tr×nh f(z) ’ a = 0 gåm toµn nghiÖm béi. C©u tr¶ lêi lµ: cïng l¾m lµ cã hai gi¸ trÞ, bëi v× gi¶ sö t¹i a1 vµ a2 ph•¬ng tr×nh f(z) ’ a1 = 0 ; f(z) ’ a2 = 0 gåm toµn nghiÖm béi. Khi ®ã    1 2 1 2 a a   , do ®ã      1 2 2a a     nªn víi tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ a kh¸c a1; a2 ph•¬ng tr×nh f(z) = a ®Òu ph¶i cã nghiÖm ®¬n. VÝ dô nh• Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 chóng ta xÐt hµm f(z) = sinz, víi a1 = 1; a2 = -1 ta thÊy: khi sin 1z   th× (sinz)’ = cosz = 0 nh• thÕ cã nghÜa lµ c¸c ph•¬ng tr×nh sinz = a1; sinz = a2 ®Òu gåm toµn nghiÖm béi. NÕu         1 1 1 1 ; 1 1 2 2          , suy ra ph•¬ng tr×nh sinz = a sÏ cã nghiÖm ®¬n víi mäi a kh¸c 1 . VÝ dô 4: Tr•íc hÕt ta ®Þnh nghÜa: Gi¸ trÞ a ®•îc gäi lµ béi Ýt nhÊt  2m m  nÕu c¸c nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh f(z) = a béi lín h¬n hoÆc b»ng m. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh vµ gi¶ sö  va lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ béi Ýt nhÊt  vm . Khi ®ã:         1 1 , , , 1 .v v v v N r a N r a T r f O m m    Tõ ®ã :   1 1v v a m    . Theo ®Þnh lý Nevanlinna vÒ sè khuyÕt ta cã: 1 1 2 v vm         . MÆt kh¸c do 2m nªn ta cã: 1 1 1 2vm        . Nh• vËy ta thÊy r»ng ®èi víi hµm ph©n h×nh cã nhiÒu nhÊt 4 gi¸ trÞ a mµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh f(z) = a cã béi lín h¬n hoÆc b»ng 2. +) Trong tr•êng hîp cã 4 gi¸ trÞ cña a tháa m·n, khi ®ã mv = 2. VÝ dô cô thÓ cña hµm lo¹i nµy chÝnh lµ hµm elliptic Weiestrass. +) Trong tr•êng hîp cã 3 gi¸ trÞ cña a tháa m·n, do: 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 3 2. v vm m m m                   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Nªn 1 2 3 1 1 1 1 m m m         . Khi ®ã chóng ta sÏ cã c¸c bé  1 2 3; ;m m m nh• sau: (2;2;m) (2;3;3) (2;3;4) (2;3;5) (2;3;6) (2;4;4) (3;3;3). Tr•êng hîp (2;2;m) tån t¹i vµ vÝ dô cô thÓ vÒ nã lµ hµm f(z) lµ sinz; cosz. Víi   1f z   gåm toµn nghiÖm béi 2 vµ  f z   . Trong c¸c tr•êng hîp kh¸c, vÊn ®Ò nãi chung lµ rÊt khã vµ ®· ®•îc nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu vµ cho kªt qu¶ trong tr•êng hîp tæng qu¸t ( Christoffel-Schwarz, Lª V¨n Thiªm,…) 1.4.2. §Þnh lý 5 ®iÓm cña Nevanlinna 1.4.2.1. §Þnh nghÜa Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh trªn  , a . Ta ®Þnh nghÜa :     fE a z f z a   ( tËp c¸c nghiÖm ph©n biÖt cña ph•¬ng tr×nh f(z) = a ). 1.4.2.2. §Þnh lý Gi¶ sö r»ng    1 2, 2f z f lµ c¸c hµm ph©n h×nh trªn  . NÕu tån t¹i 5 ®iÓm 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a sao cho:    1 2 ; 1,...,5f fj jE a E a j   Khi ®ã hoÆc f1 vµ f2 lµ h»ng sè hoÆc 1 2f f . Chøng minh: Ta gi¶ sö r»ng f1, f2 lµ c¸c hµm kh«ng ®ång thêi lµ c¸c hµm h»ng vµ còng kh«ng ®ång nhÊt víi nhau. Gäi 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a lµ c¸c sè phøc ph©n biÖt sao cho:    1 2 ; 1,...,5f fj jE a E a j   . Khi ®ã: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39     1 2 1 1 , , ; 1,...,5j j j N r N r N r j f a f a                +) Gi¶ sö mét trong hai hµm f1, f2 lµ hµm h»ng, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö f1 = const, khi ®ã f1 kh¸c Ýt nhÊt 4 gi¸ trÞ trong 5 gi¸ trÞ ja ( j =1,…,5) kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö c¸c gi¸ trÞ ®ã lµ: 1 2 3 4, , ,a a a a nh• vËy: 1 1 , 0; 1,..., 4 j N r j f a         , v× thÕ: 2 1 , 0; 1,..., 4 j N r j f a         , nghÜa lµ f2 kh«ng nhËn 4 gi¸ trÞ 1 2 3 4, , ,a a a a . Theo ®Þnh lý Picard f2 ph¶i lµ hµm h»ng. +) f1, f2 lµ c¸c hµm kh¸c hµm h»ng, sö dông bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n cho hµm f1 víi 5 ®iÓm 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ta sÏ cã:             5 ' 1 1 1' 1 1 1 , , 2 , , 2 , , .j j m r m r a T r f N r N r f N r f S r f              Céng thªm vµo hai vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn mét ®¹i l•îng lµ:     5 1 , , j j N r N r a    , ta ®•îc:         5 1 1 1 1 6 , 2 , , , , ' j j T r f T r f N a N r N r f                 '1 12 , , .N r f N r f S r   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Do     5 5 0 0 1 1 1 1 1 , , , , ; , ' ' ' j j j j N r a N r N r a N r N r f f f                        do c¸c cùc ®iÓm cña 1/ f’ mµ kh«ng ph¶i lµ kh«ng ®iÓm cña jf a vµ    , ,N r N r f  . Suy ra:           5 ' 1 0 1 1 1 1 4 , , , , , ' j j T r f N r a N r N r f N r f S r f            ,       5 0 1 1 1 , , , ' j j N r a N r N r f S r f           ,       5 1 1 , ,j j N r a N r f S r             5 1 1 1 , , .j j N r T r f O T r f     Nh• vËy:        5 1 1 1 3 , , .j j T r f N r O T r f    T•¬ng tù ta cã:        5 2 2 1 3 , , .j j T r f N r O T r f    B©y giê xÐt: 1 2 1 ,T r f f       . Theo ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt ta cã:       1 2 1 2 1 2 1 , , log 0 ,T r T r f f f f a r f f           ,    1 2, 1T r f f O   , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41      1 2, , 1T r f T r f O   ,             5 5 1 2 1 1 1 1 , , 1 3 3 j j j j N r o T r f N r o T r f O         ,        5 1 2 1 2 , , . 3 j j N r o T r f T r f     Ta thÊy r»ng, nÕu z lµ nghiÖm chung cña c¸c ph•¬ng tr×nh f1 = a; f2 = a th× z lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh f1 ’ f2 = 0, nªn suy ra:     5 1 1 2 1 2 1 1 , , 1 ,j j N r N r T r O f f f f                 nh• vËy:   5 1 ,j j N r   lµ giíi néi khi r  , ®iÒu nµy m©u thuÉn v× f1, f2 kh¸c hµm h»ng. ®Þnh lý ®•îc chøng minh. * NhËn xÐt NghÞch ¶nh cña 5 ®iÓm ®ñ ®¶m b¶o x¸c ®Þnh mét hµm ph©n h×nh. Sè 5 ®ã lµ tèt nhÊt vµ kh«ng thÓ thay thÕ bëi sè nhá h¬n. VÝ dô nh• hµm sau: XÐt hµm ;z zf e g e  víi c¸c ®iÓm 1 2 3 40; 1; 1; ;a a a a      ThÊy r»ng:    1 1 .f qE a E a       2 2 2 , .f qE a E a k i k         3 3 2 1 , .f qE a E a k i k       4 4 .f qE a E a  Nh•ng f g vµ lµ c¸c hµm kh¸c h»ng trªn  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Ch•¬ng II NghiÖm toµn côc cña ph•¬ng tr×nh vi ph©n 2.1. Giíi thiÖu B»ng c¸ch sö dông lý thuyÕt Nevanlinna chóng ta t×m ra nghiÖm toµn côc siªu viÖt cña ph•¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian phøc nh• sau :     1 21 2 . z znf z P f p e p e     Trong ®ã p1, p2 lµ 2 hµm nhá cña ze vµ 1 2,  lµ 2 h»ng sè kh¸c kh«ng víi mét vµi ®iÒu kiÖn, vµ P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f vµ nã cã ®¹o hµm ( víi hµm nhá cña f coi nh• lµ hÖ sè) cã bËc kh«ng lín h¬n n - 1. Chóng ta gäi hµm ph©n h×nh a(z) lµ hµm nhá f(z) nÕu T(r,a) = S(r,f). Cho P(f) lµ ®a thøc vi ph©n cña f , vµ f , víi hÖ sè lµ hµm nhá cña f . A lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c hµm ph©n h×nh tháa m·n:      ,1/ , ,N r h N r h S r h  . Chó ý: tÊt c¶ c¸c hµm trong A lµ siªu viÖt vµ tÊt c¶ c¸c hµm cã d¹ng zbe lµ c¸c hµm trong A, trong ®ã  lµ h»ng sè kh¸c 0 vµ b lµ hµm h÷u tû. Lý thuyÕt Nevanlinna ®•îc sö dông ®Ó nghiªn cøu vÒ tån t¹i cña nghiÖm ph©n h×nh toµn côc cña ph•¬ng tr×nh vi ph©n trong kh«ng gian phøc, xem e.g [7,8]. Mét sè ph•¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn tÝnh ®•îc nghiªn cøu trong [5,12,13]. §Æc biÖt trong [13] ®· chØ ra r»ng 4f3+ 3f’’ = -sin 3z cã ®óng 3 nghiÖm toµn côc kh¸c h»ng sè :       1 2 3 sin . 3 1 cos sin . 2 2 3 1 cos sin . 2 2 f z z f z z z f z z z       Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 2.2. §Þnh nghÜa hµm nhá Gi¶ sö cho f vµ a lµ hµm ph©n h×nh trong kh«ng gian phøc. NÕu      , , ; . .,T r a S r f i e a S f  th× chóng ta gäi a lµ hµm nhá cña f. 2.3. Mét sè bæ ®Ò Ta sÏ sö dông mét sèbæ ®Ò sau. 2.3.1. Bæ ®Ò 1: ( Xem bæ ®Ò [2,3] cña Clunie). Gi¶ sö f(z) lµ ph©n h×nh vµ siªu viÖt trong mÆt ph¼ng vµ:       ,nf z P f Q f trong ®ã P(f) vµ Q(f) lµ c¸c ®a thøc vi ph©n ®èi víi f víi hÖ sè lµ hµm nhá cña f vµ bËc cña Q(f) cao nhÊt lµ n . Khi ®ã M(r,P(f))=S(r,f). 2.3.2. Bæ ®Ò 2: (Xem [4]). Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè vµ F = fn + Q(f), trong ®ã Q(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f víi bËc  n -1. NÕu N(r,f)+N(r,1/F) = S(r,f), th× :   , n F f   trong ®ã  lµ ph©n h×nh vµ T(r,  ) = S(r,f). 2.3.3. Bæ ®Ò 3. (Xem [11]). Gi¶ sö h lµ hµm trong tËp A. Cho 1 0 1 ... p p pf a h a h a     vµ 1 0 1 ... q q qg b h b h b     lµ ®a thøc cña h víi tÊt c¶ hÖ sè lµ hµm nhá cña h vµ 0 0 0pa b a  . NÕu q p , th× m(r,g/f) = S(r,h). 2.4. C¸c ®Þnh lý Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 2.4.1. §Þnh lý A: Cho 4n  lµ mét sè nguyªn, vµ P(f) lµ mét ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc  n ’ 3, p1, p2 lµ 2 ®a thøc kh¸c 0, 1 vµ 2 lµ 2 h»ng sè kh¸c 0 víi 1 2    h÷u tû. Khi ®ã ph•¬ng tr×nh vi ph©n     1 21 2 . z znf z P f p e p e     kh«ng cã nghiÖm nguyªn siªu viÖt. 2.4.2. §Þnh lý B: Cho 3n  lµ mét sè nguyªn, vµ P(f) lµ mét ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc  n ’ 3, b(z) lµ hµm ph©n h×nh, vµ  , c1, c2 lµ 3 h»ng sè kh¸c 0. Khi ®ã ph•¬ng tr×nh vi ph©n       1 2 ,n z zf z P f b z c e c e    kh«ng cã nghiÖm nguyªn siªu viÖt tháa m·n T(r,b) = S(r, f). §ã lµ gi¶ thiÕt trong [10] vÒ kÕt luËn cña ®Þnh lý A cßn ®óng khi bËc cña ph•¬ng tr×nh vi ph©n P(f) lµ n ’ 2 hoÆc n ’ 1. Sau ®©y chóng ta sÏ chøng minh c¸c kÕt qu¶ cho sù hoµn thiÖn cña ®Þnh lý A vµ B. 2.4.3. §Þnh lý 1: Cho 2n  lµ sè nguyªn d•¬ng. Cho f lµ hµm nguyªn siªu viÖt, P(f) lµ mét ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc  n ’ 1. NÕu     1 21 2 , z znf z P f p e p e     (2.1) trong ®ã pi (i =1,2) lµ hµm nhá kh«ng triÖt tiªu cña e z ,  1, 2i i  lµ sè d•¬ng lµm tháa m·n   2 11 0n n    , th× tån t¹i hµm nhá  cña f sao cho:   22 . n z f p e   (2.2) Chøng minh : §Çu tiªn , chóng ta viÕt  1nP f nh• sau:     1 0 , n j j j P f b M f    (2.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 trong ®ã bj lµ hµm nhá cña f , M0(f) = 1, Mj(f) (j = 1,2,…,n-1) lµ ®¬n thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc j. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, chóng ta gi¶ thiÕt 0 0b  , ngoµi ra, chóng ta lµm biÕn ®æi f = f1 + c cho phï hîp h»ng sè c. Tõ (2.1), chóng ta cã:   1 2 1 2 1 11 2 0 1 2 0 1 1 1 . . n n j j z z z z j j b M f p e p e b p e p e b f f f                         (2.4) Chó ý     , / ,jjm r M f f S r f vµ do bæ ®Ò 3 chóng ta cã:    1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 , , , . z z z z m r S r p e p e S r f p e p e b              Bëi vËy, vÕ tr¸i cña (2.4) lµ ®a thøc cña 1/f cã bËc nhiÒu nhÊt b»ng n ’ 1 víi hÖ sè trë thµnh hµm gÇn ®óng cña 1/f . Tõ ®ã:   1 , , .m r S r f f       (2.5) §¹o hµm hai vÕ cña (2.1) cho:       1 21 ' '1 1 1 2 2 2' ' .z znnf f P f p p e p p e        (2.6) Khö 1ze  vµ 2ze , t¸ch tõ (2.1) vµ c«ng thøc ë trªn, chóng ta ®•îc:          1' 1 '2 2 2 2 2 2 2 2' ' .zn np p f p nf f p p P f p P f e        (2.7)          2' 1 '1 1 1 1 1 1 1 1' ' .zn np p f p nf f p p P f p P f e         (2.8) Trong ®ã  ' '1 2 2 1 2 1 1 2p p p p p p      , lµ c¸c hµm nhá cña f . Chóng ta chó ý r»ng  kh«ng thÓ triÖt tiªu mét c¸ch ®ång nhÊt, c¸ch kh¸c, b»ng phÐp lÊy tÝch ph©n chóng ta ®•îc  2 1 1 2 z p e C p    cho h»ng sè C, lµ kh«ng thÓ ®•îc. Tõ (2.7) vµ (2.8) chóng ta ®•îc: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46      , , , .j zm r e nT r f S r f   , j = 1,2 . (2.9) Tõ (2.1) chóng ta cã:           1 21 2, , , , , .z zn nnT r f m r f m r f P f T r p e p e S r f      (2.10) Bëi vËy,        1 2, , , :z zS r e S r e S r f S r    . Tõ (2.4) chóng ta cã 1 2 1 2 1 11 2 0 1 2 0 1 , 1,2. ii i n jzz zn j j z z z z j n j b e Me e i p e p e b p e p e b f f f                       Sau ®ã:  , , 1,2. i z n e m r S r i f        (2.11) Sau ®ã chóng ta chøng minh   1 1 , , 1,2. z n e m r S r i f          (2.12) Cè ®Þnh r>0, cho iz re  . Cho kho¶ng më [0, 2 ) cã thÓ biÓu thÞ hîp nhÊt cho 3 tËp hîp rêi nhau nh• sau:                   2 1 2 1 2 1 1 2 3 0,2 1 . 0,2 1, 1 . 0,2 1, 1 . z z z z z f z E e f z E e e f z E e e                                                   Do ®Þnh nghÜa cña hµm gÇn ®óng, chóng ta cã: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47   2 1 2 31 1 0 1 , log . 2 i iz z n n e e m r d I I I f f z                 Trong ®ã   2 1 0 1 log , 1,2,3. 2 i z i n e I d i f z        Víi 1E  , chóng ta cã:    2 1f z e z  . Tõ         1 2 2 11 z z n n z f ze e f z f z e      , chóng ta ®•îc:   2 1 , z n e I m r S r f        . Víi 2E  , chóng ta cã 1 1 z e   , vµ nh• vËy     1 1 1 1 z n n e f z f z     . Sau ®ã tõ (2.5) th×:  1 1 1 , n I m r S r f         . Víi 3E  , chóng ta cã    2 1f z e z  . V× vËy:        1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 zz n n z n z n z ee f z e e           . Do gi¶ thiÕt:   2 11n n   , chóng ta ®•îc   1 1 1 z n e f z    . V× vËy chóng ta cã I3 = 0. Tõ ®ã cè ®Þnh (2.10). Sau ®ã tõ (2.7) th×: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48   1 1 1 1 . . z n n n e f f R f f        (2.13) Trong ®ã  '2 2 2 2 'p p f np f    , vµ         '2 2 2 2 'R f p p P f p P f   , lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc lín nhÊt n-1. Do bæ ®Ò 1, chóng ta ®•îc    ,m r S r  , chó ý r»ng  lµ toµn côc, chóng ta cã    ,N r S r  . Tõ ®ã:    ,T r S r  ,i, e ,  lµ hµm nhá cña f. B»ng ®Þnh nghÜa cña  , chóng ta ®•îc: ' 2 2 2 2 2 ' . p p f f np np     ThÕ c«ng thøc ë trªn vµo (2.8) cho:        2 ' 2 1 1 111 1 2 2' . zn n p p pnp p p f f P f P f p e         Do bæ ®Ò 2, chóng ta nh×n thÊy sù tån t¹i hµm nhá  cña f trong   22 n zf p e  . §©y lµ ®iÒu ph¶i chøng minh cña ®Þnh lý 1. 2.4.4. §Þnh lý 2: Cho 2n  lµ sè nguyªn d•¬ng,  1,2i i  lµ sè thùc vµ 1 20   . Cho p1,p2 lµ hµm nhá cña e z. NÕu tån t¹i hµm nguyªn siªu viÖt f tháa m·n ph•¬ng tr×nh vi ph©n (2.1), trong ®ã P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc kh«ng lín h¬n n ’ 2, th× 1 2 0   , th× tån t¹i h»ng sè c1,c2 vµ hµm nhá 1 2,  víi f          2' 1 '1 1 1 1 1 1 1 1' ' .zn np p f p nf f p p P f p P f e         1 2/ / 1 1 2 2 . z n z n f c e c e     (2.14) H¬n n÷a, , 1,2ni ip i   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Chøng minh: Chóng ta chØ th¶o luËn cho tr•êng hîp 1 2 0   . Cßn tr•êng hîp 1 2 0   cã thÓ lµm t•¬ng tù. Gi¶ sö f lµ nghiÖm nguyªn siªu viÖt cña (2.1). Chøng minh t•¬ng tù ®Þnh lý 1, chóng ta vÉn lÊy (2.5) – (2.11). Cè ®Þnh r>0, cho iz re  . Cho kho¶ng më [0, 2 ) cã thÓ biÓu thÞ hîp nhÊt cho 3 tËp hîp rêi nhau nh• sau:                   2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 0,2 1 . 0,2 1, 1 . 0,2 1, 1 . z z z z z f z E e f z E e e f z E e e                                                   Tõ ®Þnh nghÜa cña hµm gÇn ®óng, chóng ta cã:       1 2 1 22 1 2 32 2 2 2 0 1 , log 2 z z n n e e m r d I I I f f z                     , trong ®ã     1 2 2 2 1 log , 1,2,3. 2 j z j n E e I d j f z         Víi 1E  , chóng ta cã:             1 2 2 2 2 1 2 22 2 2 2 . z z z n n nz f ze e e f z f z f ze            . Nh• vËy do (2.11), chóng ta ®•îc  1I S r . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 Víi 2E  , tõ 1ze  , vµ 1 2 0   th×  1 2 1 z e    . V× vËy       1 2 2 2 2 2 1 z n n e f z f z      . Sau ®ã tõ (2.5) th×:  2I S r . Víi 3E  , chóng ta cã    2 12 zf z e   . V× vËy:            1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 z z n n z n z n z ee f z e e                 . Do ®ã:  3I S r . Tõ ®ã chóng ta cã     1 2 2 2 , , z n e m r S r f f          . (2.15) Nh©n (2.7) víi (2.8) cho:    1 22 2 2 .znf Q f e        (2.16) Trong ®ã Q(f) lµ ®a thøc vi ph©n trong f cã bËc lín nhÊt 2n ’ 2, vµ      ' '1 1 1 1 2 2 2 2' ' .p p f p nf p p f p nf       (2.17) Tõ (2.16) vµ bæ ®Ò 1, chóng ta ®•îc    , ,m r S r f  . V× vËy,    , ,T r S r f  . NÕu  '1 1 1 1 ' 0p p f np f   , b»ng phÐp lÊy tÝch ph©n chóng ta ®•îc 1 1 znf cp e  , trong ®ã c lµ h»ng sè kh¸c 0. V× vËy, 1 /z nf ae , víi a lµ hµm nhá cña f. Chóng ta thÊy vÕ tr¸i cña (2.1) lµ ®a thøc trong 1 /z ne  cã bËc n. MÆt kh¸c vÕ ph¶i (2.1) kh«ng lµ ®a thøc trong 1 /z ne . Tõ ®ã  '1 1 1 1 ' 0p p f np f   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 T•¬ng tù, chóng ta cã  '2 2 2 2 ' 0p p f np f   . V× vËy 0  . Cho  '2 2 2 2 'p p f np f h   , (2.18) khi ®ã chóng ta cã :  '1 1 1 1 'p p f np f h    . (2.19) B»ng c¸ch khö f’ vµ f , t¸ch ra tõ (2.18) vµ (2.19) chóng ta ®•îc: 1 2 1 . p p f h h      (2.20) Vµ  '' 2 2 21 1 1 1' . p pp p f h n n h        (2.21) Trong ®ã :  ' '1 2 2 1 2 1 1 2p p p p p p      lµ hµm nhá cña f nã kh«ng thÓ triÖt tiªu mét c¸ch ®ång nhÊt. Tõ (2.20) chóng ta thÊy:      2 , , , .T r h T r f S r f  V× vËy, mäi hµm nhá cña f còng lµ hµm nhá cña h. Vµ tõ vi ph©n cña  chóng ta thÊy h lµ mét hµm trong A. Nh• vËy h’/h lµ hµm nhá cña f. B»ng c¸ch ®¹o hµm c¶ 2 vÕ cña (2.20) , chóng ta ®•îc: 1 1 2 2' ' 1' ' ' . p p p ph h f h h h h                               (2.22) So s¸nh hÖ sè vÕ ph¶i cña (4.7) vµ (4.8), suy ra ' 1 1 1 1 1 '' . p p p p h n h            (2.23)  '2 2 2 2 2 '' . p p p p h n h                (2.24) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 B»ng phÐp lÊy tÝch ph©n (2.23) vµ (2.24), t¸ch ra, chóng ta ®•îc: 1 1 1 1 n z pp e d h         ; 2 2 2 2 1 n z pp e d h           , (2.25) trong ®ã d1 vµ d2 lµ 2 h»ng sè kh¸c 0. Tõ 2 c«ng thøc trªn, tån t¹i 2 hµm nhá 1 2,  cña ze tháa m·n , 1,2ni ip i  . Vµ  1 2 1 2 1 2 1 2 2 . n z p p p p e d d             (2.26) VÕ ph¶i cña c«ng thøc trªn lµ mét hµm nhá cña f, nh• vËy lµ hµm nhá cña ze . V× vËy c«ng thøc trªn chØ ®óng khi 1 2 0   . Ngoµi ra, chóng ta thÊy tån t¹i 2 h»ng sè kh¸c kh«ng c1 vµ c2 sao cho: 1 /1 1 1 z np h c e    ; 2 /2 2 2 1 z np c e h      (2.27) Cuèi cïng, tõ (2.20), chóng ta ®•îc (2.3). HÖ qu¶ 1: Cho ph•¬ng tr×nh vi ph©n: 3 4 '' 2 3 ,f f f cos z   cã ®óng 3 nghiÖm nguyªn:       1 2 3 2 . 1 3 cos sin . 2 2 1 3 cos sin . 2 2 f z cosz f z z z f z z z        2.4.5. §Þnh lý 3: Gi¶ sö 2n  lµ sè nguyªn d•¬ng, cho p1, p2 lµ hµm nhá cña e z, vµ  1,2i i  lµ sè d•¬ng tháa m·n   2 11 0n n    . NÕu 1 2   lµ sè v« tû, th× Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 ph•¬ng tr×nh vi ph©n (2.1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn, trong ®ã P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc  n-1. Chøng minh: NÕu f lµ nghiÖm nguyªn siªu viÖt cña (2.1), th× do ®Þnh lý 1, tån t¹i hµm nhá  cña f sao cho (2.2) cè ®Þnh. Vµ nh• vËy     ,1 / ,N r f S r f  , i,e,  lµ hµm nhá ngo¹i lÖ cña f . C«ng thøc (2.2) chøng tá sù tån t¹i 2 hµm nhá 1 2,  cña f sao cho ' 1 2f f   . B»ng phÐp thÕ c«ng thøc trong (2.1), chóng ta thÊy 1 1 z p e  lµ ®a thøc ®èi víi f cã bËc k<n . Do bæ ®Ò 2, tån t¹i 2 hµm nhá 1,a  cña f sao cho:   11 1 . k za f p e  (2.28) V× vËy, 1 lµ hµm nhá ngo¹i lÖ cña f . V× hµm nguyªn siªu viÖt kh«ng thÓ cã 2 hµm nhá ngo¹i lÖ, chóng ta suy ra 1  . Tõ (2.2) vµ c«ng thøc trªn, chóng ta ®•îc:  1 2 2 1 . k n n k z n p a e p    (2.29) VÕ ph¶i cña c«ng thøc trªn lµ hµm nhá cña f , vµ còng lµ hµm nhá cña ez . Tõ ®ã chóng ta ®•îc 1 2 0n k   . Ngoµi ra , 1 2/  lµ sè h÷u tû, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. §©y lµ ®iÒu ph¶i chøng minh cña ®Þnh lý 3. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 KÕt luËn LuËn v¨n tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt Nevanlinna vµ mét sè kÕt qu¶ gÇn ®©y vÒ viÖc ¸p dông lý thuyÕt nµy ®Ó nghiªn cøu tÝnh chÊt nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh vi ph©n phøc. 1.Tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt Nevanlinna vµ mét sè vÝ dô øng dông. 2.Tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ gÇn ®©y vÒ viÖc ¸p dông lý thuyÕt Nevanlinna ®Ó nghiªn cøu tÝnh chÊt nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh vi ph©n phøc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Tµi liÖu tham kh¶o TiÕng ViÖt 1. Hµ Huy Kho¸i ,bµi gi¶ng lý thuyÕt Nevanlinna. TiÕng Anh 2. S. Bank, I. Laine, On the growth of meromorphic solutions of linear and algebraic differential equations, Math.Scand. 40 (1977) 119 - 126. 3. J. Clunie, On integral and meromorphic functions, J. London Math. Soc.37 (1962) 17 - 27. 4. w. Hayman, Meromorphic Functions, Clarendon Press, Oxford, 1964. 5. J. Heittokangas, R. Korhonen, I. Laine, On meromorphic solutions of certain nonlinear differential equations, Bull. Austral. Math. Soc.66 (2) (2002) 331 - 343. 6. P - C . Hu, P.Li, C - C . Yang Unicihg of meromorphic Maping Klumer Accdamic Publisher 2003. 7. G. Jank, L. Volkmann, Einfuhrung in die Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen mit Anwendungen auf Differentialgleichungen, Birkhauser Verlag, Basel, 1985. 8. I. Laine, Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, Stud. Math., vol. 15, Walter de Gruyter, Berlin, 1993. 9. P. Li, Entire solutions of certain type of differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 344 (2008) 253 - 259. 10. P. Li, C.-C.Yang, On the non-existence of entire solutions of certain type of nonlinear differential equations, J.Math. Anal. Appl. 320 (2006) 827 - 835. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 11. P. Li, W- J. Wang, Entire funtion that share a small funtion with its derivative, J. Math. Anal. Appl. 328 (2007) 743 - 751. 12. C.C. Yang, On entire solutions of a certain type of nonlinear differential equations, Bull. Austral. Math. Soc. 64 (3) (2001) 377 - 380. 13. C.C. Yang, P. Li, On the transcendental solutions of a certain type of nonlinear differential equations, Arch. Math. 82 (2004) 442 - 448. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 Môc lôc Më §Çu ............................................................................................................ 1 Ch•¬ng I. C¬ së lý thuyÕt Nevanlinna ................................................................. 3 1.1. Hµm ph©n h×nh ......................................................................................... 3 1.2. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt ............................................................................. 4 1.2.1. C«ng thøc Poisson-Jensen .................................................................. 4 1.2.2. Hµm ®Æc tr•ng ................................................................................. 10 1.2.2.1. Mét sè kh¸i niÖm ...................................................................... 10 1.2.2.2. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr•ng ........................................... 13 1.2.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cña Nevanlinna ........................................... 14 1.2.4. §Þnh lý Cartan vÒ ®ång nhÊt thøc vµ tÝnh låi .................................... 20 1.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai ............................................................................. 23 1.3.1. Giíi thiÖu ......................................................................................... 23 1.3.2. BÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n ........................................................................ 23 1.3.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna ............................................. 31 1.3.4. Quan hÖ sè khuyÕt ........................................................................... 31 1.4. Mét sè øng dông cña c¸c ®Þnh lý c¬ b¶n ................................................. 36 1.4.1. C¸c vÝ dô .......................................................................................... 36 1.4.2. §Þnh lý 5 ®iÓm cña Nevanlinna ........................................................ 38 Ch•¬ng II. NghiÖm toµn côc cña ph•¬ng tr×nh vi ph©n ...................................... 42 2.1. Giíi thiÖu ................................................................................................ 42 2.2. §Þnh nghÜa hµm nhá ............................................................................... 43 2.3. Mét sè bæ ®Ò ........................................................................................... 43 2.3.1. Bæ ®Ò 1 ............................................................................................ 43 2.3.2. Bæ ®Ò 2 ............................................................................................ 43 2.3.3. Bæ ®Ò 3 ............................................................................................. 43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 2.4. C¸c ®Þnh lý ............................................................................................. 43 2.4.1. §Þnh lý A ......................................................................................... 44 2.4.2. §Þnh lý B ......................................................................................... 44 2.4.3. §Þnh lý 1 ......................................................................................... 44 2.4.4. §Þnh lý 2 .......................................................................................... 48 2.4.5. §Þnh lý 3 .......................................................................................... 52 KÕt luËn ....................................................................................................... 54 Tµi liÖu tham kh¶o ................................................................................. 55