Luận văn Nghiên cứu tính chất linh hóa tử của Modun Artin

. ⊆ Nn ⊆ . . . c¸c m«®un con cña M . Theo ®Þnh nghÜa, tån t¹i sè nguyªn d­¬ng n0 sao cho N-dimR(Nk+1/Nk) = −1 < 0, víi mäi k > n0. Do ®ã, Nk+1 = Nk, víi mäi n > n0 hay d·y trªn lµ dõng, nghÜa lµM lµ R-m«®un Noether. ChiÒu Noether cho m«®un Artin cã nhiÒu tÝnh chÊt theo mét nghÜa nµo ®ã ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh. Ta ®· biÕt r»ng ®èi víi mçi m«®un h÷u h¹n sinh M th× dimM = 0 nÕu vµ chØ nÕu M 6= 0 vµ `R(M) < ∞. Tõ §Þnh nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu Noether. Bæ ®Ò 1.3.3. (i) N-dimRA = 0 nÕu vµ chØ nÕu A 6= 0 vµ `R(A) <∞. Trong tr­êng hîp nµy AttRA = {m}. H¬n n÷a, nÕu 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un Artin th× N-dimRA = max{N-dimRA′,N-dimRA′′}. (ii) N-dimRA 6 dimR/AnnRA = max{dimR/p : p ∈ AttRA} vµ tån t¹i m«®un Artin A sao cho N-dimRA < dimR/AnnRA. (iii) N-dimR̂A = dim R̂/AnnR̂A = max{dim R̂/p̂ : p̂ ∈ AttR̂A}. (iv) Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng vµ A lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un Artin vµ ta cã N-dimRA = N-dimR̂A. ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt N-dimA thay cho N-dimRA hoÆc N-dimR̂A. §· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Artin A th«ng qua chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 11 Artin ®­îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh ®· ®­îc ®­a ra (xem [5], [7], [14],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau ®­îc R. N. Roberts [14, §Þnh lý 6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh tùa ®Þa ph­¬ng vµ sau ®ã ®­îc NguyÔn Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú. MÖnh ®Ò 1.3.4. `R(0 :A J n A) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ N-dimA = deg(`(0 :A J n A)) = inf{t : ∃x1, . . . , xt ∈ JA sao cho `(0 :A (x1, . . . , xt)R) <∞}. MÖnh ®Ò 1.3.4 cho phÐp ta ®­a ra kh¸i niÖm hÖ béi, sè béi, hÖ tham sè cña mét m«®un Artin A (xem [4]). Nh¾c l¹i r»ng mét hÖ x = (x1, . . . , xt) c¸c phÇn tö trong m sao cho `(0 :A (x1, . . . , xt)R) <∞ ®­îc gäi lµ mét hÖ béi cñaA. Tr­êng hîp t = 0 th× ta hiÓu `R(A) <∞.Vµ khi t = N-dimA = d th× hÖ x = (x1, . . . , xd) ®­îc gäi lµ hÖ tham sè cña A. Mét phÇn tö x ∈ m ®­îc gäi lµ phÇn tö tham sè cña A nÕu vµ chØ nÕu N-dim(0 :A x) = N-dimA−1. §èi víi mçi m«®un Artin A, sè béi ®­îc ®Þnh nghÜa th«ng qua ®a thøc Hilbert-Samuel nh­ sau. Gi¶ sö dimR = d. Cho q lµ i®ªan cña R sao cho `R(0 :A q) < ∞. Khi ®ã hµm ®é dµi `R(0 :A qn+1) lu«n lµ ®a thøc theo n bËc N-dimA víi hÖ sè h÷u tû khi n 0. Theo Bæ ®Ò 1.3.3 (ii), ta cã N-dimA 6 dimA = dimR/AnnRA 6 dimR. V× thÕ, ta cã thÓ biÓu diÔn ®a thøc nµy d­íi d¹ng `R(0 :A q n+1) = e′(q;A) d! nd + ®a thøc cã bËc nhá h¬n d, n 0, trong ®ã e′(q;A) lµ mét sè nguyªn kh«ng ©m. Nh­ vËy, nÕu N-dimA = d th× e′(q;A) > 0 vµ nÕu N-dimA < d th× e′(q;A) = 0. Khi N-dimA = d ta gäi e′(q;A) lµ sè béi cña A øng víi i®ªan q. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 12 Trong [4], C­êng-Nhµn ®· ®Þnh nghÜa sè béi h×nh thøc øng víi mét hÖ béi cña A b»ng quy n¹p vµ hä ®· chØ ra r»ng khi i®ªan q sinh bëi mét hÖ tham sè cña A vµ N-dimA = dimR = d th× ®Þnh nghÜa nµy t­¬ng ®­¬ng víi ®Þnh nghÜa sè béi th«ng qua ®a thøc Hilbert-Samuel ë trªn. MÖnh ®Ò sau trong [4] cho ta mét sè tÝnh chÊt cña hÖ béi vµ sè béi cho m«®un Artin. MÖnh ®Ò 1.3.5. Cho x = (x1, . . . , xt) lµ mét hÖ béi cña A vµ n1, . . . , nt lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng. §Æt x(n) = (xn11 , . . . , x nt t ). Khi ®ã ta cã c¸c tÝnh chÊt sau. (i) `(0 :A x(n)R) 6 n1 . . . nt`(0 :A xR) vµ e′ ( x(n);A ) = n1 . . . nte ′(x;A). (ii) Cho d·y khíp c¸c R-m«®un Artin 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0. Khi ®ã x lµ mét hÖ béi cña A nÕu vµ chØ nÕu x lµ mét hÖ béi cña A′ vµ A′′ vµ ta cã e′(x;A) = e′(x;A′) + e′(x;A′′). (iii) Ta lu«n cã 0 6 e′(x;A) 6 `(0 :A xR). H¬n n÷a e′(x;A) > 0 nÕu vµ chØ nÕu t = d = N-dimA. 1.4 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Tr­íc hÕt, ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cña mét m«®un tuú ý. §Þnh nghÜa 1.4.1. Cho I lµ mét i®ªan cña vµnh Noether R vµ M lµ mét R-m«®un. M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø i cña M øng víi i®ªan I , ký hiÖu lµ H iI(M) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi H iI(M) = R i(ΓI(M)), trong ®ã Ri(ΓI(M)) lµ m«®un dÉn suÊt ph¶i thø i cña hµm tö I-xo¾n ΓI() øng víiM . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 13 Cho 0 −→ L f−→ M g−→ N −→ 0 lµ mét d·y khíp c¸c R−m«®un. Khi ®ã, do tÝnh chÊt δ-hµm tö ®èi ®ång ®iÒu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng, ta cã d·y khíp dµi 0 −→ H0I (L) H0I (f)−→ H0I (M) H0I (g)−→ H0I (N) −→ H1I (L) H1I (f)−→ H1I (M) H1I (g)−→ H1I (N) −→ . . . −→ H iI(L) HiI(f)−→ H iI(M) HiI(g)−→ H iI(N) −→ H i+1I (L) −→ . . . víi mäi i ∈ N. §Þnh lý sau ®©y cña Grothedieck lµ mét kÕt qu¶ ®Ñp ®Ï vÒ tÝnh triÖt tiªu vµ kh«ng triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. §Þnh lý 1.4.2. [1, §Þnh lý 6.1.2, §Þnh lý 6.1.4] (i) Cho M lµ R-m«®un. Khi ®ã, H iI(M) = 0, víi mäi i > dimM. (ii) Gi¶ sö (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng vµM lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh, kh¸c kh«ng vµ chiÒu Krull dimM = d. Khi ®ã Hdm(M) 6= 0. TiÕp theo lµ tÝnh Artin cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. §Þnh lý 1.4.3. [1, §Þnh lý 7.1.3, §Þnh lý 7.1.6] (i) Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã, R-m«®un H im(M) lµ Artin víi mäi i ∈ N0. (ii) Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, I lµ mét i®ªan bÊt k× cña R, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh, kh¸c kh«ng cã chiÒu Krull dimM = d. Khi ®ã, R-m«®un HdI (M) lµ Artin. C¸c §Þnh lý ®æi c¬ së ph¼ng vµ Nguyªn lý ®Þa ph­¬ng ho¸ n©ng yÕu còng th­êng ®­îc dïng trong luËn v¨n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 14 §Þnh lý 1.4.4. [1, §Þnh lý 4.3.2] Gi¶ sö f : R −→ R′ lµ ®ång cÊu ph¼ng gi÷a c¸c vµnh. Khi ®ã H iI(M)⊗R R′ ∼= H iI(M ⊗R R′). §Þnh lý 1.4.5. [1, §Þnh lý 11.3.8] (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, p ∈ SpecR, dimR/p = t. NÕu víi mçi sè nguyªn i, q ∈ SpecR, q ⊆ p mµ ta cã qRp ∈ AttRp(H ipRp(Mp)) th× q ∈ AttR(H i+tm (M)). KÕt qu¶ sau ®©y cña C­êng-Nhµn cho ta mét cËn trªn cña chiÒu Noether cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. MÖnh ®Ò 1.4.6. [5, §Þnh lý 3.1, §Þnh lý 3.5] (i) Cho t lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ I lµ mét i®ªan cña R. Gi¶ sö r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H iI(M) lµ Artin, víi mäi i = 1, . . . , t. Khi ®ã ta cã N-dimR(H i I(M)) 6 i, víi mäi i = 0, 1, . . . , t. (ii) ChoM lµ m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d vµ I lµ i®ªan cña R sao cho m«®un Artin HdI (M) lµ kh¸c 0. Khi ®ã N-dimR(H d I (M)) = d vµ do ®ã, HdI (M) kh«ng lµ h÷u h¹n sinh nÕu d > 0. MÖnh ®Ò 1.4.7. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, M h÷u h¹n sinh víi chiÒu dimM = d. Khi ®ã AttR(H d m(M)) = {p ∈ AssRM | dimR/p = d}. 1.5 TÝnh catenary phæ dông, tÝnh kh«ng trén lÉn vµ thí h×nh thøc Nh¾c l¹i r»ng vµnh R ®­îc gäi lµ ®¼ng chiÒu nÕu dimR/q = dimR, víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu q ∈ min(AssR) vµ m«®un M ®­îc gäi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 15 lµ ®¼ng chiÒu nÕu dimR/p = dimM víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu p ∈ min(AssM). TiÕt nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña líp vµnh vµ m«®un catenary phæ dông vµ kh«ng trén lÉn. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm sau (xem [10] vµ [12]). §Þnh nghÜa 1.5.1. Cho p ⊂ q lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña R. Mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1, víi mäi i, ®­îc gäi lµ d·y nguyªn tè b·o hoµ gi÷a p vµ q nÕu víi mäi i, kh«ng tån t¹i mét i®ªan nguyªn tè nµo chen gi÷a pi vµ pi+1. §Þnh nghÜa 1.5.2. (i) Vµnh R lµ catenary nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè p, q cña R sao cho p ⊂ q, mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè b¾t ®Çu tõ p vµ kÕt thóc t¹i q ®Òu cã cïng ®é dµi. (ii) Ta nãi r»ng SuppM lµ catenary nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè p, q ∈ SuppM sao cho p ⊂ q, th× mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè b¾t ®Çu tõ p vµ kÕt thóc t¹i q ®Òu cã cïng ®é dµi. Chó ý r»ng nÕu vµnh R lµ ®¼ng chiÒu th× R lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu dimR/p + ht p = dimR, víi mäi i®ªan nguyªn tè p cña R, vµ râ rµng r»ng SuppM lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu R/AnnRM lµ catenary. Do ®ã, trong tr­êng hîp M lµ ®¼ng chiÒu th× SuppM lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu dimR/p + dimMp = dimM , víi mäi p ∈ SuppM. §Þnh nghÜa 1.5.3. Vµnh R ®­îc gäi lµ catenary phæ dông nÕu mäi R-®¹i sè h÷u h¹n sinh ®Òu lµ catenary. Chó ý r»ng nÕu S lµ R-®¹i sè h÷u h¹n sinh, tøc lµ tån t¹i a1, . . . , at ∈ S sao cho S = R[a1, . . . , at] th× cã toµn cÊu vµnh ϕ : R[x1, . . . , xt] −→ S tõ vµnh ®a thøc t biÕn R[x1, . . . , xt] ®Õn S sao cho ϕ(xi) = ai, víi mäi i = 1, . . . , t. V× thÕ, S ®¼ng cÊu víi vµnh th­¬ng cña vµnh ®a thøc. V× vµnh th­¬ng cña vµnh catenary lµ vµnh catenary nªn suy ra vµnh R lµ catenary phæ dông nÕu vµ chØ nÕu mäi vµnh ®a thøc víi hÖ sè trªn R ®Òu lµ catenary. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 16 §Þnh nghÜa 1.5.4. (Xem [12]) Vµnh R ®­îc gäi lµ kh«ng trén lÉn (unmixed) nÕu dim(R̂/p̂) = dimR víi mäi i®ªan nguyªn tè p̂ ∈ Ass R̂ vµ vµnh R ®­îc gäi lµ tùa kh«ng trén lÉn (quasi-unmixed) nÕu R̂ lµ ®¼ng chiÒu, tøc lµ dim R̂/p̂ = dim R̂ víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu p̂ ∈ Ass R̂. Sau ®©y lµ mét sè kÕt qu¶ vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh catenary phæ dông vµ tùa kh«ng trén lÉn. Bæ ®Ò 1.5.5. [10, §Þnh lý 31.6] Cho (R,m) lµ vµnh Noether ®Þa ph­¬ng tùa kh«ng trén lÉn. Khi ®ã (i) Rp lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi p ∈ SpecR. (ii) Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã R/I lµ ®¼ng chiÒu khi vµ chØ khi R/I lµ tùa kh«ng trén lÉn. (iii) R lµ vµnh catenary phæ dông. Bæ ®Ò 1.5.6. [10, §Þnh lý 31.7] C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng (i) Vµnh R/p lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi p ∈ SpecR, nghÜa lµ dim R̂/p̂ = dimR/p, víi mäi p̂ ∈ min Ass R̂/pR̂. (ii) Vµnh R lµ catenary phæ dông. (iii) Vµnh R[x] lµ catenary. §Ó ®i ®Õn kh¸i niÖm vµnh thí vµ thí h×nh thøc cña vµnh, tr­íc hÕt ta cÇn nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un ph¼ng nh­ sau. Mét R-m«®un N ®­îc gäi lµ ph¼ng nÕu víi mçi d·y khíp 0 −→ L′ −→ L −→ L′′ −→ 0 c¸c R-m«®un, d·y c¶m sinh 0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 17 lµ khíp. Mét R-m«®un N ®­îc gäi lµ ph¼ng hoµn toµn nÕu d·y 0 −→ L′ −→ L −→ L′′ −→ 0 c¸c R-m«®un khíp khi vµ chØ khi d·y c¶m sinh 0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0 lµ khíp. Cho ϕ : R −→ S lµ mét ®ång cÊu vµnh vµ L lµ S-m«®un. Khi ®ã L cã cÊu tróc lµ R-m«®un víi tÝch v« h­íng ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau: víi r ∈ R vµ y ∈ L, ry = ϕ(r)y. §ång cÊu vµnh ϕ : R −→ S ®­îc gäi lµ ®ång cÊu ph¼ng (ph¼ng hoµn toµn) nÕu vµnh S (xÐt nh­ R-m«®un) lµ R-m«®un ph¼ng (ph¼ng hoµn toµn). Chó ý r»ng nÕu (R,m) vµ (S, n) lµ c¸c vµnh ®Þa ph­¬ng vµ ϕ : R −→ S lµ c¸c ®ång cÊu ®Þa ph­¬ng (tøc lµ ϕ(m) ⊆ n) th× ϕ lµ ®ång cÊu ph¼ng nÕu vµ chØ nÕu nã ph¼ng hoµn toµn. §Þnh nghÜa 1.5.7. Cho ϕ : R −→ S lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh Noether ®Þa ph­¬ng. Víi mçi p ∈ SpecR, ta gäi vµnh S ⊗R R/p lµ vµnh thí cña ϕ øng víi p. Gi¶ sö f : R −→ R̂ lµ ®ång cÊu chÝnh t¾c. Khi ®ã víi mçi p ∈ SpecR, tån t¹i p̂ ∈ Spec R̂ sao cho p̂ ∩ R = p. §ång cÊu f c¶m sinh ra ®ång cÊu ph¼ng ψ : Rp −→ R̂p̂. Khi ®ã vµnh thí R̂p̂ ⊗Rp (Rp/pRp) cña ψ øng víi p ®­îc gäi lµ thí h×nh thøc cña R trªn p. MÖnh ®Ò 1.5.8. [10, §Þnh lý 15.1] ϕ : R −→ S lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh Noether vµ P ∈ SpecS. §Æt p = ϕ−1(P ) := P ∩R. Khi ®ã (i) htP 6 ht p + dim ( SP ⊗Rp (Rp/pRp) ) . (ii) NÕu ϕ lµ ®ång cÊu ph¼ng th× bÊt ®¼ng thøc trªn trë thµnh ®¼ng thøc. Chó ý r»ng víi mçi i®ªan I cña R th× ®Çy ®ñ cña vµnh R/I lµ R̂/IR̂. V× thÕ nÕu p ∈ SpecR sao cho p ⊇ I th× thí h×nh thøc cña R/I trªn p còng chÝnh lµ thí h×nh thøc cña R trªn p, víi p lµ ¶nh cña p trong R/I . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 18 Ch­¬ng 2 TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh ®Þa ph­¬ng vµ c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Trong toµn bé ch­¬ng nµy, ta lu«n gi¶ thiÕt (R,m) lµ vµnh Noether ®Þa ph­¬ng víi i®ªan tèi ®¹i duy nhÊt lµ m, A lµ R-m«®un Artin,M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi chiÒu Krull dimRM = d. Ch­¬ng nµy nghiªn cøu ®­a ra mét ®Æc tr­ng cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) vµ trong tr­êng hîp nµy, nh­ mét hÖ qu¶ ta cã thÓ më réng ®­îc c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [2]. H¬n n÷a, c¸c kÕt qu¶ thu ®­îc khi nghiªn cøu tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa phu¬ng H im(M) cßn cho phÐp ta thu ®­îc nh÷ng tÝnh chÊt ®Ñp nh­ lµ tÝnh catenary phæ dông cña vµnh R/AnnRM vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh R/p, víi p ∈ SuppRM . 2.1 TÝnh chÊt linh ho¸ tö TÝnh chÊt linh ho¸ tö (th­êng ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt (∗)) ®­îc giíi thiÖu bëi N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn [5]. Nh¾c l¹i r»ng ®èi víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M ta xÐt mét tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Gi¶ sö p lµ i®ªan nguyªn tè cña R chøa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 19 AnnRM . Khi ®ã p ∈ SuppRM vµ do ®ã Mp 6= 0. Theo Bæ ®Ò Nakayama ta suy ra (M/pM)p = Mp/pMp 6= 0. Do ®ã p ∈ Supp(M/pM), nghÜa lµ p ⊇ AnnR(M/pM). V× vËy ta lu«n cã tÝnh chÊt AnnR(M/pM) = p, víi mäi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnRM . Mét c©u hái tù nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ liÖu cã mét tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ vËy cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. C©u tr¶ lêi cho c©u hái nµy nh×n chung lµ phñ ®Þnh (xem [5, VÝ dô 4.3]), vµ ë ®ã, hä ®· giíi thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cña c©u hái trªn nh­ sau. §Þnh nghÜa 2.1.1. [5, §Þnh nghÜa 4.2] Ký hiÖu V (AnnRA) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnRA. Ta nãi r»ng A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) nÕu AnnR(0 :A p) = p,∀p ∈ V (AnnRA). (∗) Râ rµng r»ng, khi vµnhR lµ ®Çy ®ñ th× theo ®èi ngÉu Matlis, mäiR-m«®un Artin A ®Òu tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Líp m«®un Artin tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) cã nhiÒu tÝnh chÊt "tèt", ®Æc biÖt liªn quan chÆt chÏ ®Õn chiÒu Noether cña mét m«®un Artin. Nh¾c l¹i r»ng chiÒu Krull cña m«®un ArtinA, ký hiÖu bëi dimRA, lµ chiÒu Krull cña vµnh R/AnnRA. Theo I. G. Macdonald [8], mäi m«®un Artin ®Òu cã biÓu diÔn thø cÊp vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu chøa AnnRA còng chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttRA nªn dimRA chÝnh lµ cËn trªn cña c¸c sè dimR/p khi p ch¹y kh¾p tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt dimRA = max{dimR/p | p ∈ AttRA}. Theo Bæ ®Ò 1.3.3, (ii), ta cã N-dimA 6 dimA.MÖnh ®Ò sau ®©y chØ ra r»ng tÝnh chÊt (∗) lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 20 MÖnh ®Ò 2.1.2. [5, MÖnh ®Ò 4.5] NÕu A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) th× ta cã ®¼ng thøc N-dimRA = dimRA. Gi¶ sö r»ng dimRM = d. N. T. C­êng, N. T. Dung vµ L. T. Nhµn [3] tiÕp tôc nghiªn cøu tÝnh chÊt (∗) cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt: m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt Hdm(M) cña m«®un h÷u h¹n sinhM vµ mét sè øng dông cña nã. V×M lµ m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh Noether nªn M lµ m«®un Noether, do ®ã tËp c¸c m«®un con cña M lu«n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tèi ®¹i. V× thÕ ta cã thÓ chøng minh ®­îc r»ng m«®un con lín nhÊt cña M cã chiÒu thùc sù nhá h¬n d lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. Ký hiÖu UM(0) lµ m«®un con lín nhÊt cña M cã chiÒu thùc sù nhá h¬n d. KÕt qu¶ sau ®©y cho ta c¸ch tÝnh m«®un con UM(0) th«ng qua ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un 0 cñaM . Bæ ®Ò 2.1.3. NÕu 0 = ⋂ p∈AssM N(p) lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0 cñaM , trong ®ã N(p) lµ p−nguyªn s¬ th× UM(0) = ⋂ p∈AssM,dimR/p=d N(p). Tõ bæ ®Ò trªn, ta cã thÓ tÝnh ®­îc tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un M/UM(0) th«ng qua tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cñaM nh­ sau. Ass(M/UM(0)) = {p ∈ AssM : dimR/p = d}. Râ rµng r»ng c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®unM/UM(0) ®Òu cã chiÒu nh­ nhau, v× thÕ Supp(M/UM(0)) = ⋃ p∈AssM, dimR/p=d V (p). §iÒu nµy dÉn ®Õn kh¸i niÖm sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 21 §Þnh nghÜa 2.1.4. TËp Supp(M/UM(0)) ®­îc gäi lµ gi¸ kh«ng trén lÉn cña M vµ ®­îc ký hiÖu bëi UsuppM. Tõ ®Þnh nghÜa trªn vµ v× AttRH d m(M) = {q ∈ AssM : dimR/q = d}, h¬n n÷a theo MÖnh ®Ò 1.2.2, (i), tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu chøa AnnRH d m(M) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu (theo quan hÖ bao hµm) cña tËp AttRH d m(M) nªn ta cã kÕt qu¶ sau. Bæ ®Ò 2.1.5. [3, Bæ ®Ò 3.2] Cho p ∈ SuppM . Khi ®ã p ∈ UsuppM nÕu vµ chØ nÕu p ⊇ AnnR(Hdm(M). §Æc biÖt UsuppM = V (AnnRH d m(M)) = ⋃ p∈AssR M,dimR/p=d Var(p). Nh­ ®· nh¾c ë tiÕt tr­íc, SuppM lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu vµnh R/AnnRM lµ catenary vµ nÕu M lµ ®¼ng chiÒu th× SuppM lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu dimR/p+dimMp = d, víi mäi p ∈ SuppM. §Æc biÖt, theo ®Þnh nghÜa ta lu«n cã dimR/p = d víi mäi p ∈ Ass(M/UM(0)), nªn gi¸ kh«ng trén lÉn UsuppM = Supp(M/UM(0)) cñaM lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu dimR/p + dimMp = d, víi mäi p ∈ UsuppM. Mét kÕt qu¶ thó vÞ trong [3] ®· chØ ra r»ng mÆc dï ta cã ®¼ng thøc N-dimHdm(M) = dim ( R/AnnRH d m(M) ) nh­ng nh×n chung Hdm(M) kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗), vµ mét ®iÒu ®¸ng ng¹c nhiªn lµ ®iÒu kiÖn ®Ó m«®un Hdm(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) l¹i liªn quan ®Õn mét tÝnh chÊt quan träng: TÝnh catenary cña gi¸ kh«ng trén lÉn cña m«®unM . §Þnh lý 2.1.6. [3, §Þnh lý 4.1] C¸c mÖnh ®Ò d­íi ®©y lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) UsuppM lµ catenary. (ii) Hdm(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 22 Chøng minh. (i) ⇒ (ii). Cho p ∈ Var(AnnR(Hdm(M))). V× UsuppM lµ catenary nªn dimR/p + dimMp = d. Do ®ã theo [3, Bæ ®Ò 4.3] ta cã Ann(0 :Hdm(M) p) = p. V× vËy H d m(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). (ii) ⇒ (i). §Ó chøng minh UsuppM lµ catenary, ta chØ cÇn chøng minh dimR/p + dimMp = d víi mäi p ∈ UsuppM. Gi¶ sö p ∈ UsuppM . NÕu p = m th× râ rµng dimR/m + dimMm = 0 + dimM = d. Do ®ã ta gi¶ thiÕt p 6= m. §Æt dimR/p = d − r. Ta cÇn chøng minh dimMp = r. V× p ⊇ AnnR(M/UM(0)) nªn Rad Ann ( M/UM(0)/p(M/UM(0)) ) = Rad(AnnR(M/UM(0)) + p) = p. Do ®ã ta cã dim ( M/UM(0)/p(M/UM(0)) ) = dimR/p = d− r. V× thÕ tån t¹i mét phÇn hÖ tham sè (x1, ..., xr) cñaM/UM(0) trong p. Râ rµng phÇn hÖ tham sè nµy lµ tèi ®¹i trong p, tøc lµ kh«ng tån t¹i mét phÇn tö y ∈ p ®Ó (x1, ..., xr, y) lµ phÇn hÖ tham sè cñaM/UM(0). V× p ∈ UsuppM nªn tån t¹i i®ªan nguyªn tè p̂ ∈ UsuppR̂ M̂ sao cho p̂∩R = p.§Æt M̂1 = M̂/UM̂(0). V× (x1, ..., xr) lµ phÇn hÖ tham sè cñaM/UM(0) nªn nã còng lµ phÇn hÖ tham sè cña m«®un ®Çy ®ñ m-adic ̂M/UM(0) cña M/UM(0). V× M̂1 lµ m«®un th­¬ng cña m«®un ̂M/UM(0) vµ dim M̂1 = dim ̂M/UM(0) nªn ta cã thÓ kiÓm tra ®­îc (x1, ..., xr) còng lµ phÇn hÖ tham sè cña M̂1. Chó ý r»ng p̂ ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 ) . V× thÕ p̂ ⊇ p̂1 víi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu p̂1 ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 ) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 23 V× xr lµ phÇn tö tham sè cña M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 nªn xr tr¸nh tÊt c¶ c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cã chiÒu cao nhÊt cña M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1. V× thÕ theo [3, Bæ ®Ò 4.2] ta suy ra xr /∈ p̂1. §Æt p1 = p̂1 ∩ R. Khi ®ã xr /∈ p1. V× xr ∈ p nªn ta cã p ⊃ p1 vµ p 6= p1. LËp luËn t­¬ng tù, tån t¹i i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu p̂2 ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−2)M̂1 ) . sao cho p̂1 ⊇ p̂2. §Æt p2 = p̂2 ∩ R̂. Khi ®ã, l¹i theo [3, Bæ ®Ò 4.2] ta cã xr−1 ∈ p1 \ p2. Do ®ã p1 ⊃ p2 vµ p1 6= p2. TiÕp tôc qu¸ tr×nh trªn, sau r b­íc ta nhËn ®­îc mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè chøa AnnRM p ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr sao cho pi 6= pi+1 víi mäi i = 1, . . . , r − 1. V× thÕ dimMp = r. 2.2 TÝnh chÊt linh ho¸ tö vµ béi cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Nh­ ®· ®Ò cËp ë tiÕt tr­íc, tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh catenary cña gi¸ kh«ng trén lÉn cña m«®un M . Nh­ng cÇn chó ý r»ng, ngay c¶ khi vµnh R lµ catenary th× tÝnh chÊt (∗) kh«ng nhÊt thiÕt tho¶ m·n cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp i < d. TiÕt nµy dµnh ®Ó nghiªn cøu ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó víi mçi sè nguyªn i, c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗), qua ®ã nhËn ®­îc tÝnh ®ãng cña tËp gi¶ support PsuppiR(M) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [2], ®ång thêi còng më réng ®­îc c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña c¸c m«®un H im(M). Tr­íc hÕt ta cã ®Þnh nghÜa sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 24 §Þnh nghÜa 2.2.1. [2] TËp {p ∈ SpecR : H i−dim(R/p)pRp (Mp) 6= 0} ®­îc gäi lµ tËp gi¶ support thø i cña M , ký hiÖu lµ PsuppiR(M). Gi¶ chiÒu thø i cñaM , ký hiÖu bëi psdi(M), ®­îc ®Þnh nghÜa bëi psdi(M) = sup{dimR/p : p ∈ PsuppiRM}. Cho (R,m) lµ vµnh th­¬ng cña vµnh Gorenstein (S, n) víi dimS = r. Khi ®ã ¸nh x¹ f : S −→ R lµ toµn cÊu vµ R-m«®un M cã cÊu tróc lµ S-m«®un th«ng qua ®ång cÊu f. Do ®ã ta cã S-m«®un ExtiS(M,S) vµ v× thÕ ExtiS(M,S) còng cã cÊu tróc lµ R-m«®un. Ký hiÖu E = E(R/m) lµ bao néi x¹ cña tr­êng thÆng d­ R/m. Khi ®ã ta lu«n cã R-m«®un HomR(Ext i S(M,S), E) = D(Ext i S(M,S)). §Æt K iM = Ext r−i S (M,S) ∀i = 0, 1, . . . , dimM. Theo [1, §Þnh lý 11.2.6] ta cã ®¼ng cÊu H im(M) ∼= Hom(K iM , E),∀i = 0, 1, . . . , dimM vµ ®¼ng cÊu trªn ®­îc gäi lµ c«ng thøc ®èi ngÉu ®Þa ph­¬ng, m«®un KdimMM ®­îc gäi lµ m«®un chÝnh t¾c cñaM vµ ký hiÖu lµ KM . V× vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ lµ vµnh th­¬ng cña vµnh chÝnh quy nªn ¸p dông c«ng thøc ®èi ngÉu ®Þa ph­¬ng, ta sÏ chøng minh r»ng nÕu trªn vµnh ®Çy ®ñ R̂ th× tËp gi¶ support thø i cñaM còng chÝnh lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè chøa linh ho¸ tö cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø i cñaM . Bæ ®Ò 2.2.2. Víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinhM ta cã Psuppi R̂ M̂ = Var(AnnR̂(H i m(M))). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 25 Chøng minh. Cho p ∈ Spec(R). Khi ®ã (Rp, pRp) còng lµ vµnh ®Þa ph­¬ng. V× R̂ lµ vµnh ®Çy ®ñ nªn f : R̂ −→ R lµ toµn cÊu, do ®ã f ′ : R̂p̂ −→ Rp còng lµ toµn cÊu cho bëi f ′(r̂/ŝ) = f(r̂)/f(ŝ), víi mäi r̂ ∈ R̂, ŝ ∈ R̂ \ p̂ vµ dim R̂p̂ = dim R̂− dim(R̂/p̂). L¹i v× víi mäi i ∈ Z, ta cã ®¼ng cÊu gi÷a c¸c Rp-m«®un (K i M̂ )p̂ = (Ext dim R̂−i R̂ (M̂, R̂))p̂ ∼= Extdim R̂−i R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂) nªn theo c«ng thøc ®èi ngÉu ®Þa ph­¬ng vµ c«ng thøc vÒ chiÒu ë trªn ta cã H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= HomRp ( Ext dim R̂p̂−i+dim(R̂/p̂) R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂), ERp(Rp/pRp) ) ∼= HomRp ( Extdim R̂−i R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂), ERp(Rp/pRp) ) ∼= HomRp ( (K i M̂ )p̂, ERp(Rp/pRp) ) . V× thÕ, H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0 khi vµ chØ khi (K iM̂)p̂ 6= 0. Suy ra ta cã p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂ khi vµ chØ khi p̂ ∈ SuppR̂(K iM̂). Do K iM̂ lµ m«®un h÷u h¹n sinh vµ ¸p dông ®¼ng cÊu gi÷a c¸c R̂-m«®un H i mR̂ (M̂) ∼= H im(M), ta cã Psuppi R̂ M̂ = SuppR̂(K i M̂ ) = Var(AnnR̂K i M̂ ) = Var(AnnR̂H i mR̂ (M̂)) = Var(AnnR̂H i m(M)). Do ®ã ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. §Þnh lý sau lµ kÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng, cho ta mèi quan hÖ gi÷a tÝnh chÊt (∗) cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi tËp gi¶ support cña m«®un M . §Þnh lý 2.2.3. Cho i > 0 lµ mét sè nguyªn. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) C¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 26 (ii) Var(AnnR(H i m(M))) = Psupp i RM. H¬n n÷a, nÕu (i) vµ (ii) tho¶ m·n th× ta cã psdi(M) = psdi(M̂) = N-dimR(H i m(M)) vµ {p ∈ PsuppiRM : dimR/p = psdiM} = {p̂ ∩R : p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂, dim(R̂/p̂) = psdi M̂}. Chøng minh. Cho sè nguyªn i ≥ 0. (i) ⇒ (ii). Gi¶ sö H im(M) tháa m·n tÝnh chÊt (∗). Cho p ∈ PsuppiR(M). Theo ®Þnh nghÜa, ta cã H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. Theo MÖnh ®Ò 1.2.2, (i), tån t¹i i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt qRp ∈ AttRp(H i−dim(R/p)pRp (Mp)), víi q ⊆ p. Khi ®ã, q tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña Nguyªn lý ®Þa ph­¬ng ho¸ n©ng yÕu cña Brodmann-Sharp trong §Þnh lý 1.4.5 nªn ta cã q ∈ AttR(H im(M)). V× thÕ p ⊇ q ⊇ AnnR(H im(M)) suy ra PsuppiRM ⊆ Var(AnnR(H im(M))). Ng­îc l¹i, lÊy p ∈ Var(AnnR(H im(M))). Theo gi¶ thiÕt H im(M) tháa m·n tÝnh chÊt (∗) nªn AnnR(0 :Him(M) p) = p. §iÒu nµy kÐo theo min Var(AnnR(0 :Him(M) p)) = {p}. Do ®ã, nÕu lÊy q ⊇ AnnR(0 :Him(M) p) th× q ⊇ p. KÕt hîp víi gi¶ thiÕt H im(M) tháa m·n tÝnh chÊt (∗), ta cã AnnR(0 :0: Him(M) p q) = AnnR(0 :Him(M) q) = q. V× thÕ, 0 :Him(M) p còng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Theo MÖnh ®Ò 2.1.2, ta cã dimR/p = dim(R/AnnR(0 :Him(M) p)) = N-dim(0 :Him(M) p) = dim ( R̂/AnnR̂(0 :Him(M) p) ) = max{dim(R̂/p̂) : p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p)}. V× vËy, tån t¹i i®ªan p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p) sao cho dim(R̂/p̂) = dimR/p. Chó ý r»ng nÕu p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p) th× p̂ ∈ Var(AnnR̂(H im(M))) vµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 27 p̂ ∩ R ⊇ p. H¬n n÷a, v× dim(R̂/p̂) = dimR/p nªn p̂ lµ i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña pR̂. Theo Bæ ®Ò 2.2.2, ta cã p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂ , nghÜa lµ H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0. V× p̂ lµ i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña pR̂ vµ dim(R̂/p̂) = dimR/p nªn theo §Þnh lý ®æi c¬ së ph¼ng 1.4.4, ta cã H i−dim(R/p) pRp (Mp)⊗ R̂p̂ ∼= H i−dim(R̂/p̂)p̂R̂p̂ (Mp ⊗ R̂p̂) ∼= H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0. Do ®ã H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0, tøc lµ p ∈ PsuppiR(M). V× vËy Var(AnnR(H i m(M))) ⊆ PsuppiR(M). (ii) ⇒ (i). Gi¶ sö r»ng Var(AnnR(H im(M))) = PsuppiR(M). LÊy tuú ý mét i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR(H im(M)). Khi ®ã p ∈ PsuppiR(M), tøc lµ H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. V× dimR/p = dim R̂/pR̂ nªn tån t¹i i®ªan p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) sao cho dim R̂/p̂ = dimR/p. Khi ®ã p̂ ∩ R = p vµ p̂ lµ i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña pR̂. V× ¸nh x¹ c¶m sinh Rp −→ R̂p̂ lµ ®ång cÊu ph¼ng hoµn toµn nªn theo §Þnh lý chuyÓn c¬ së ph¼ng 1.4.4, ta cã H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= H i−dim(R/p)pRp (Mp)⊗ R̂p̂ 6= 0. V× thÕ p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) = Var(AnnR̂(H i m(M))). Ta l¹i cã H i m(M) xem nh­ R̂-m«®un Artin lu«n tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) theo [5, Bæ ®Ò 4.4] nªn AnnR̂(0 :Him(M) p̂) = p̂. Do ®ã ta cã p ⊆ AnnR(0 :Him(M) p) ⊆ AnnR̂(0 :Him(M) p̂) ∩R = p̂ ∩R = p. Suy ra AnnR(0 :Him(M) p) = p hay H i m(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Cuèi cïng, gi¶ sö r»ng ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii) tho¶ m·n. Theo (ii) ta cã psdiM = dim ( R/Ann(H im(M)) ) . V× thÕ, theo MÖnh ®Ò 1.3.3, (iii), ta cã psdi(M) = N-dimR(H i m(M)) = dim ( R̂/AnnR̂(H i m(M)) ) = psdi(M̂). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 28 §Æt N-dimR(H i m(M)) = s. Cho p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s. Khi ®ã p ∈ Var(AnnR(H im(M))) theo (ii). B»ng lý luËn t­¬ng tù nh­ trong phÇn (i)⇒(ii), tån t¹i p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) = Var(AnnR̂(H i m(M))) sao cho p̂ ∩R = p vµ dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. Ng­îc l¹i, lÊy p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) sao cho dim(R̂/p̂) = s. Khi ®ã ta cã p̂ ∈ Var(AnnR̂(H im(M))). NÕu ®Æt p̂ ∩ R = p th× theo (ii) ta ®­îc p ∈ Var(AnnR(H im(M))) = PsuppiRM . H¬n n÷a, s = dim(R̂/p̂) 6 dim(R̂/pR̂) = dimR/p 6 s. V× thÕ dimR/p = s vµ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Tõ §Þnh lý 2.2.3 ta cã c¸c hÖ qu¶ sau. HÖ qu¶ 2.2.4. NÕu vµnh R/AnnRM lµ catenary phæ dông vµ c¸c thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th× H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i 6 d. Chøng minh. V× vµnh R/AnnRM lµ catenary phæ dông vµ c¸c thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay nªn ta cã Var(AnnR(H i m(M))) = Psupp iM víi mäi i 6 d theo [2, MÖnh ®Ò 2.5]. Do ®ã ¸p dông §Þnh lý 2.2.3, (ii)⇒(i), ta cã H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i 6 d. Gi¶ sö dimM = dimR = d. Nh¾c l¹i r»ng víi mçi m«®un h÷u h¹n sinh M trªn vµnh ®Þa ph­¬ng (R,m) vµ i®ªan q cña R sao cho `R(M/qM) <∞, hµm ®é dµi `R(M/q n+1M) lu«n lµ ®a thøc theo n vµ cã bËc dimM víi hÖ sè h÷u tû khi n 0. Ta cã thÓ biÓu diÔn ®a thøc nµy d­íi d¹ng `R(M/q n+1M) = e(q;M) d! nd + ®a thøc cã bËc nhá h¬n d, khi n  0, trong ®ã e(q;M) lµ sè nguyªn d­¬ng. §a thøc trªn ®­îc gäi lµ ®a thøc Hilbert - Samuel vµ e(q;M) ®­îc gäi lµ sè béi cñaM øng víi i®ªan Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 29 q. Mét trong nh÷ng tÝnh chÊt quan träng cña sè béi lµ c«ng thøc liªn kÕt víi béi nh­ sau (xem [10, §Þnh lý 14.7]). e(q;M) = ∑ p∈minAssM dim(R/p)=d `Rp(Mp)e(q;R/p) víi q lµ ¶nh cña q trong R/p.Mét suy nghÜ ®èi ngÉu lµ liÖu r»ng cã mét c«ng thøc t­¬ng tù nh­ vËy cho m«®un Artin hay kh«ng, nghÜa lµ cã thÓ thiÕt lËp ®­îc mét c«ng thøc liªn kÕt víi béi cho mét m«®un Artin bÊt kú hay kh«ng. MÆc dï nhiÒu tÝnh chÊt cña sè béi cho m«®un Artin ®· ®­îc ®­a ra trong [4], nh­ng rÊt tiÕc lµ c«ng thøc trªn l¹i ch­a thÓ cã ®­îc, v× c¸c kh¸i niÖm "®èi ®Þa ph­¬ng ho¸" cho m«®un Artin ®· biÕt ch­a tho¶ m·n ®­îc yªu cÇu lµ ®èi ®Þa ph­¬ng ho¸ t¹i p cña m«®un Artin A cã ®é dµi h÷u h¹n, khi p ch¹y trªn mét tËp h÷u h¹n nµo ®ã. N¨m 2002, Brodmann vµ Sharp [2] ®· chøng minh r»ng nÕu vµnh R lµ catenary phæ dông vµ c¸c thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th× tÊt c¶ c¸c tËp gi¶ support cña M ®Òu ®ãng. Víi kÕt qu¶ nµy, hä ®· x©y dùng ®­îc c«ng thøc liªn kÕt víi béi cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H im(M) øng víi mäi i®ªan m-nguyªn s¬ q nh­ sau. e′(q, H im(M)) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=psdi(M) `Rp(H i−dim(R/p) pRp (Mp))e(q, R/p). ë ®©y, víi kÕt qu¶ cña §Þnh lý 2.2.3 ta cã thÓ më réng c«ng thøc liªn kÕt víi béi nh­ trªn cña hä mµ chØ cÇn ®iÒu kiÖn c¸c m«®un H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i 6 d. HÖ qu¶ 2.2.5. Cho i > 0 lµ mét sè nguyªn vµ N-dim(H im(M)) = s. Víi mçi p ∈ PsuppiRM, ®Æt T (p) = {p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) : dim R̂/p̂ = dimR/p, p̂ ∩R = p}. Gi¶ sö H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 30 (i) PsuppiR(M) lµ tËp ®ãng. (ii) NÕu p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s th× T (p) 6= ∅, `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) kh¸c kh«ng, h÷u h¹n vµ `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) = `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))`R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂) víi mçi p̂ ∈ T (p). (iii) Cho q lµ i®ªan m-nguyªn s¬ cña R. Gi¶ sö H im(M) 6= 0. Khi ®ã sè béi e′(q, H im(M)) cña H i m(M) øng víi i®ªan q tho¶ m·n e′(q, H im(M)) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=psdi(M) `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))e(q, R/p). Chøng minh. (i). Theo §Þnh lý 2.2.3, PsuppiR(M) = Var(AnnR(H i m(M))) nªn hiÓn nhiªn nã lµ tËp ®ãng. (ii). ¸p dông §Þnh lý 2.2.3 vµ b»ng lý luËn t­¬ng tù nh­ trong [2, §Þnh lý 2.4, (i)], ta cã thÓ chøng minh kh¼ng ®Þnh (ii) nh­ sau. LÊy p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s = N-dim(H im(M)). V× R −→ R̂ lµ ®ång cÊu ph¼ng nªn ¸nh x¹ c¶m sinh Spec R̂ −→ SpecR lµ toµn cÊu. Do ®ã, v× p ∈ PsuppiR(M) ⊆ SpecR nªn lu«n tån t¹i p̂ ∈ Spec R̂ sao cho p̂∩R = p. Ta cÇn chøng minh p̂ ∈ T (p), tøc chøng minh p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) vµ dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. ThËt vËy, v× H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) nªn theo §Þnh lý 2.2.3 ta cã p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) vµ v× dim(R/p) = s = N-dimH im(M) = psd i(M) nªn p lµ phÇn tö cùc tiÓu cña PsuppiR(M). Gäi p̂1 lµ phÇn tö cùc tiÓu cña Psuppi R̂ (M̂) sao cho p̂1 ⊆ p̂. Theo §Þnh lý 2.2.3, p̂1 ∩ R ∈ PsuppiR(M). V× p̂ ⊇ p̂1 nªn p̂1 ∩ R ⊆ p̂ ∩ R = p. Do tÝnh cùc tiÓu cña p nªn suy ra p̂1∩R = p. V× thÕ p̂1 ⊇ pR̂.MÆt kh¸c, do p̂ lµ i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 31 pR̂ nªn suy ra p̂1 = p̂. V× vËy, p̂ lµ phÇn tö cùc tiÓu cña Psupp i R̂ (M̂). §iÒu nµy suy ra dim(R̂/p̂) = dimR/p = s, nghÜa lµ p̂ ∈ T (p) hay T (p) 6= ∅. B©y giê, ta chøng minh `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) kh¸c kh«ng vµ h÷u h¹n. ThËt vËy, theo §Þnh lý cÊu tróc Cohen, R̂ lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh ®Þa ph­¬ng chÝnh quy nªn ¸p dông kÕt qu¶ cña Brodmann-Sharp [2, §Þnh lý 2.4, (i)], ta cã p̂ lµ phÇn tö cùc tiÓu cña Psuppi R̂ (M̂) khi vµ chØ khi `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) kh¸c kh«ng vµ h÷u h¹n. V× dim(R̂/p̂) = dim(R/p) vµ Rad(pRpR̂p̂) = p̂R̂p̂ nªn tõ §Þnh lý chuyÓn c¬ së ph¼ng cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng, ta cã H i−dim(R/p) pRp (Mp)⊗Rp R̂p̂ ∼= H i−dim(R̂/p̂)p̂R̂p̂ (Mp ⊗Rp R̂p̂) ∼= H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂). Trong tr­êng hîp nµy, v× ®ång cÊu c¶m sinh Rp −→ R̂p̂ lµ hoµn toµn ph¼ng nªn `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) kh¸c kh«ng vµ h÷u h¹n t­¬ng ®­¬ng víi `Rp(H i−dim(R/p) pRp (Mp)) kh¸c kh«ng vµ h÷u h¹n vµ ta cã `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) = `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))`R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂) víi mçi p̂ ∈ T (p). (iii). Tr­íc hÕt, theo §Þnh lý 2.2.3 vµ víi lËp luËn nh­ trong (ii), ta cã víi mçi p ∈ PsuppiRM sao cho dim(R/p) = s lu«n tån t¹i p̂ ∈ PsuppiR̂(M̂) sao cho p̂ ∩R = p vµ dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. Do ®ã,⋃ p∈PsuppiR(M) dim(R/p)=s T (p) = {p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) : dim(R̂/p̂) = s}. H¬n n÷a, nÕu p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s th× ta chøng minh ®­îc ®¼ng thøc sau T (p) = {p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) : dim(R̂/p̂) = s}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 32 ThËt vËy, lÊy p̂ ∈ T (p). Khi ®ã p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂), dim(R̂/p̂) = s, p̂∩R = p. V× dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s nªn p̂ lµ i®ªan tèi thiÓu cña pR̂, tøc lµ p̂ ∈ min Var(pR̂), suy ra p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂). Ng­îc l¹i, lÊy p̂ thuéc tËp hîp bªn vÕ ph¶i. Khi ®ã, dim(R̂/p̂) = s = dim(R/p) vµ p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂). V× thÕ, theo [10, §Þnh lý 23.2] ta suy ra p̂∩R = p. MÆt kh¸c, v× p ∈ PsuppiRM nªn H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. Theo §Þnh lý chuyÓn c¬ së ph¼ng 1.4.4 ta cã H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= H i−dim(R/p)pRp (Mp)⊗ R̂p̂ 6= 0, suy ra p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂), tøc lµ p̂ ∈ T (p). V× vËy, ta cã e′(q;H im(M)) (1) = e′(qR̂;H im̂(M̂)) (2) = ∑ p̂∈Psuppi R̂ (M̂) dim R̂/p̂=s `R̂p̂(H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂))e(qR̂, R̂/p̂) (3) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s ( `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) ∑ p̂∈T (p) `R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂)e(qR̂, R̂/p̂) ) (4) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s ( `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) ∑ p̂∈Ass(R̂/pR̂) dimR/p̂=s `R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂)e(qR̂, R̂/p̂) ) (5) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))e(qR̂, R̂/pR̂) (6) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))e(q, R/p). Trong ®ã, c¸c ®¼ng thøc trªn ®­îc gi¶i thÝch nh­ sau. §¼ng thøc (1) cã ®­îc lµ do e′(q, H im(M)) vµ e ′(qR̂,H im̂(M̂)) ®Òu lµ hÖ sè cao nhÊt cña c¸c ®a thøc Hilbert `R(0 :Him(M) q nR) = `R̂(0 :Hi m̂ (M̂) q nR̂). §¼ng thøc (2) lµ do ¸p dông c«ng thøc liªn kÕt víi béi [2, §Þnh lý 2.4] cña Brodmann vµ Sharp cho m«®un Artin H im̂(M̂) trªn vµnh R̂. Theo chøng minh ë phÇn ®Çu cña (iii) ta ®· m« t¶ ®­îc hîp cña c¸c tËp T (p) chÝnh lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 33 p ∈ Psuppi R̂ (M̂) sao cho dim(R̂/p̂) = s. Thªm n÷a, theo (ii), ®é dµi cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng trªn vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ R̂p̂ ®­îc tÝnh th«ng qua ®é dµi cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng trªn vµnh ®Þa ph­¬ng Rp. Do ®ã ta cã thÓ t¸ch ®­îc tæng trong ®¼ng thøc (2) thµnh c¸c tæng trong ®¼ng thøc (3). §¼ng thøc (4) lµ do ta thay tËp T (p) b»ng tËp {p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) : dim(R̂/p̂) = s} nh­ ®· chøng minh ë trªn. §¼ng thøc (5) cã ®­îc lµ do ¸p dông c«ng thøc liªn kÕt víi béi [10, §Þnh lý 14.7] cho vµnh R̂/pR̂ øng víi i®ªan qR̂. Cuèi cïng, ®¼ng thøc (6) l¹i do ¸p dông tÝnh chÊt cña sè béi cña m«®un h÷u h¹n sinh, ta cã e(q, R/p) = e(qR̂, R̂/pR̂) v× ®Òu lµ hÖ sè cao nhÊt cña c¸c ®a thøc Hilbert `R(R/p/q n) = `R(R̂/pR̂/q nR̂), víi n 0. Nh­ ®· ®Ò cËp ë §Þnh lý 2.1.6 cña tiÕt tr­íc, N. T. Cuêng, N. T. Dung vµ L. T. Nhµn [3] ®· ®Æc tr­ng tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt Hdm(M) th«ng qua tÝnh catenary cña gi¸ kh«ng trén lÉn UsuppM cña m«®unM . Mét hÖ qu¶ tiÕp theo ®­îc suy ra tõ §Þnh lý 2.2.3 cïng víi c¸c kÕt qu¶ trong [3] vµ [2] nh­ sau. HÖ qu¶ 2.2.6. Cho q lµ i®ªan m-nguyªn s¬ cña R. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) PsuppdR(M) lµ tËp ®ãng. (ii) UsuppM lµ catenary, nghÜa lµ vµnh R/AnnR(H d m(M)) lµ catenary. (iii) Hdm(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). (iv) Var(AnnR(H d m(M))) = Psupp d R(M). H¬n n÷a, nÕu c¸c ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n th× UsuppM = PsuppdRM vµ e′(q, Hdm(M)) = ∑ p∈PsuppdR(M) dimR/p=d `Rp(H 0 pRp (Mp))e(q, R/p). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 34 Chøng minh. Theo §Þnh lÝ 2.1.6 ta cã (ii)⇔ (iii), vµ theo §Þnh lÝ 2.2.3 ta cã (iii) ⇔ (iv). MÆt kh¸c theo HÖ qu¶ 2.2.5 ta cã (iii) ⇒ (i). Nh­ vËy ta chØ cÇn chøng minh (i)⇒ (ii). Gi¶ sö ng­îc l¹i, vµnh R/AnnR(Hdm(M)) kh«ng catenary. Do R/AnnR(H d m(M)) lµ mét vµnh ®¼ng chiÒu cã chiÒu d nªn theo McAdam vµ Ratliff [11], tån t¹i i®ªan nguyªn tè p ⊇ Ann(Hdm(M)) sao cho dim(R/p) + ht(p/AnnR(H d m(M))) < d. Ta kh¼ng ®Þnh r»ng dim(R/p) + dim(Mp) < d. ThËt vËy, nÕu gi¶ sö ng­îc l¹i th× sÏ ph¶i tån t¹i i®ªan nguyªn tè q sao cho AnnRM ⊆ q ⊆ p vµ dim(R/p) + ht(p/q) = d. V× thÕ dim(R/q) = d vµ do ®ã q ∈ AssM . V× vËy q ∈ AttR(Hdm(M)) suy ra q ⊇ Ann(Hdm(M)). §iÒu nµy dÉn ®Õn dim(R/p) + ht(p/AnnR(H d m(M))) = d v« lý. VËy kh¼ng ®Þnh ®­îc chøng minh. Tõ kh¼ng ®Þnh trªn, ta cã dim(Mp) < d − dim(R/p), ®iÒu nµy suy ra Hd−dim(R/p)pRp (Mp) = 0, t­¬ng ®­¬ng víi p /∈ PsuppdR(M). LÊy p1 ∈ min Var(AnnR(Hdm(M))) sao cho p1 ⊆ p. Khi ®ã p1 ∈ AttR(Hdm(M)) vµ do ®ã p1 ∈ AssM vµ dim(R/p1) = d. Suy raH d−dim(R/p1) p1Rp1 (Mp1) 6= 0, nghÜa lµ p1 ∈ PsuppdR(M). Do ®ã PsuppdR(M) kh«ng lµ tËp ®ãng, ®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt cña (i). VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. H¬n n÷a, nÕu c¸c ®iÒu kiÖn t­¬ng ®­¬ng trong hÖ qu¶ nµy ®­îc tho¶ m·n th× do Hdm(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) nªn ¸p dông HÖ qu¶ 2.2.5, (iii) ta cã ngay c«ng thøc liªn kÕt víi béi cho m«®un Hdm(M). Theo §Þnh lý 2.2.3, nÕuH im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) th× tËpPsuppiR(M) lµ tËp ®ãng. §iÒu ng­îc l¹i theo HÖ qu¶ 2.2.6 chØ ®óng cho tr­êng hîp i = d vµ nh×n chung kh«ng ®óng cho tr­êng hîp i < d. Ta xÐt vÝ dô sau. VÝ dô 2.2.7. Cho (R,m) lµ miÒn nguyªn Noether ®Þa ph­¬ng ®­îc x©y dùng bëi D. Ferrand vµ M. Raynaud [17] (xem thªm M. Nagata [12]) sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 35 dimR = 2 vµ dim R̂/q̂ = 1, víi q̂ ∈ Ass R̂. V× R lµ miÒn nguyªn nªn H0I (R) = 0 víi mäi i®ªan I cña R. Do ®ã ta cã Psupp0(R) = {p ∈ SpecR : H0−dimR/ppRp (Rp) 6= 0} = ∅, Psupp1(R) = {p ∈ SpecR : H1−dimR/ppRp (Rp) 6= 0} = {m}, vµ theo HÖ qu¶ 2.2.6 Psupp2(R) = Usupp(R) = Var(AnnR(H 2 m(R))) = SpecR. Râ rµng r»ng tÊt c¶ c¸c tËp trªn ®Òu lµ tËp ®ãng, nh­ng theo [5] th× H1m(R) kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). 2.3 TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng trén lÉn ë ch­¬ng tr­íc, ta ®· nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt cña vµnh catenary phæ dông vµ thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Trong tiÕt nµy, chóng ta sÏ kh¶o s¸t tÝnh chÊt (∗) cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H im(M) cã cÊp i < d, qua ®ã thu l¹i ®­îc mét sè kÕt qu¶ vÒ tÝnh catenary phæ dông cña vµnh ®Þa ph­¬ng. §Þnh lÝ d­íi ®©y lµ mét trong nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh cña phÇn nµy. §Þnh lý 2.3.1. Gi¶ sö r»ng H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i < d. Khi ®ã vµnh R/p lµ kh«ng trén lÉn víi mäi p ∈ AssM vµ vµnh R/AnnRM lµ catenary phæ dông. Chøng minh. LÊy p ∈ AssRM vµ gi¶ sö R/p lµ trén lÉn. Khi ®ã theo §Þnh nghÜa 1.5.4, tån t¹i p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) vµ sè nguyªn k < d sao cho dim(R̂/p̂) = k < dim(R/p). V× ®ång cÊu tù nhiªn R −→ R̂ lµ ph¼ng nªn theo [10, §Þnh lý 23.2, (ii)], ta cã Ass M̂ = ⋃ q∈AssM Ass(R̂/qR̂). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 36 V× thÕ p̂ ∈ Ass M̂. Theo [2, HÖ qu¶ 11.3.3], ta cã (Ass M̂)k ⊆ AttR̂(Hkm(M)), trong ®ã ta ký hiÖu tËp (Ass M̂)k = {p̂ ∈ Ass M̂ : dim(R̂/p̂) = k}. V× vËy tõ dim(R̂/p̂) = k suy ra p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)), kÐo theo p̂ ⊇ AnnR̂(Hkm(M)). Do ®ã theo Bæ ®Ò 1.3.3, (iii) ta cã N-dim(Hkm(M)) = dim(R̂/AnnR̂(H k m(M))) > dim(R̂/p̂) = k. Chó ý r»ng theo MÖnh ®Ò 1.4.6, (i), ta l¹i cã N-dim(Hkm(M)) 6 k. §iÒu nµy suy ra N-dim(Hkm(M)) = k. Theo c«ng thøc vÒ chiÒu Noether trong MÖnh ®Ò 1.3.4, tån t¹i mét d·y phÇn tö x1, . . . , xk ∈ m sao cho ®é dµi cña m«®un 0 :Hkm(M) (x1, . . . , xk)R lµ h÷u h¹n. §Æt I = (x1, . . . , xk)R. V× k < dim(R/p) nªn ta cã ht ( (I + p)/p ) 6 k < dim(R/p). V× thÕ ph¶i tån t¹i i®ªan nguyªn tè q chøa I + p sao cho q 6= m. §iÒu nµy kÐo theo AnnR(0 :Hkm(M) q) lµ m−nguyªn s¬, v× vËy AnnR(0 :Hkm(M) q) 6= q. MÆt kh¸c, v× p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) nªn theo [10, §Þnh lý 23.2, (i)], ta cã p̂ ∩ R = p. L¹i v× p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)) nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.3,(i) ta cã p ∈ AttR(Hkm(M)). Suy ra q ⊇ p ⊇ AnnR(Hkm(M)). §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt lµ H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i < d. Do ®ã ®iÒu gi¶ sö lµ v« lý, tøc R/p lµ kh«ng trén lÉn víi mäi p ∈ AssM . PhÇn cßn l¹i cña ®Þnh lý lµ chøng minh R/AnnRM lµ vµnh catenary phæ dông. §Ó chøng minh ®iÒu nµy, theo Bæ ®Ò 1.5.6 (i)⇔ (ii), ta cÇn ph¶i chøng minh vµnh R/p lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnRM. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 37 ThËt vËy, lÊy p ∈ Var(AnnRM). Khi ®ã tån t¹i q ∈ min(AssM) sao cho q ⊆ p. Theo kh¼ng ®Þnh ®Çu tiªn cña ®Þnh lý, ta cã R/q lµ kh«ng trén lÉn. V× R/p lµ ®¼ng chiÒu nªn theo Bæ ®Ò 1.5.5, (ii), ta cã R/p ∼= (R/q)/(p/q) lµ tùa kh«ng trén lÉn. §Þnh lý trªn cho ta ngay mét hÖ qu¶ sau ®©y. HÖ qu¶ 2.3.2. Gi¶ sö r»ng H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i < d. Khi ®ã Hdm(M) còng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Chøng minh. Chó ý r»ng vµnh R/AnnR(H d m(M)) lµ vµnh th­¬ng cña vµnh R/AnnR(M). V× H i m(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i < d nªn vµnh R/AnnRM lµ catenary phæ dông theo §Þnh lý 2.3.1. V× vµnh th­¬ng cña mét vµnh catenary l¹i lµ vµnh catenary nªn vµnh R/AnnR(H d m(M)) lµ vµnh catenary. L¹i v× Var(AnnR(H d m(M))) = UsuppRM nªn ta l¹i cã tËp gi¸ kh«ng trén lÉn UsuppRM còng lµ catenary. V× vËy, H d m(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) theo §Þnh lý 2.1.6. Theo HÖ qu¶ 2.2.4, nÕu R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña nã lµ Cohen-Macaulay th× H im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i. Tuy nhiªn, nÕu thiÕu mét trong hai gi¶ thiÕt ®ã th× ®iÒu nµy kh«ng cßn ®óng n÷a. Ta xÐt vÝ dô sau. VÝ dô 2.3.3. Tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph­¬ng (R,m) sao cho tån t¹i chØ sè i < dimR ®ÓH im(R) kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) nh­ng hoÆcR lµ catenary phæ dông hoÆc tÊt c¶ c¸c thí h×nh thøc cña R lµ Cohen-Macaulay. Chøng minh. Cho (R,m) lµ miÒn nguyªn ®Þa ph­¬ng Noether, catenary phæ dông vµ cã chiÒu dimR > 3 sao cho R̂ cã mét i®ªan nguyªn tè nhóng (xem [1, VÝ dô 3.1]). Theo §Þnh lý 2.3.1, tån t¹i i < dimR sao cho H im(R) kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) vµ R cã vµnh thí h×nh thøc kh«ng Cohen- Macaulay. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 38 Trong [12], M. Nagata ®· ®­a ra mét c©u hái nh­ sau: Cho (R,m) lµ miÒn nguyªn Noether ®Þa ph­¬ng vµ p ∈ SpecR, nÕu gi¶ söR lµ kh«ng trén lÉn th× R/p cã lµ kh«ng trén lÉn kh«ng? Brodmann vµ Rotthaus [BR] ®· x©y dùng mét miÒn nguyªn Noether ®Þa ph­¬ng (R,m) chiÒu 3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn R̂ lµ miÒn nguyªn vµ R̂/pR̂ cã mét i®ªan nguyªn tè nhóng víi p ∈ SpecR. §iÒu nµy ®· ®­a ra c©u tr¶ lêi phñ ®Þnh cho c©u hái cña Nagata. Víi miÒn nguyªn nµy ta cã thÓ kiÓm tra m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H2m(R) kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). V× vËy ®iÒu kh¼ng ®Þnh ng­îc l¹i cña §Þnh lý 2.3.1 lµ kh«ng ®óng. KÕt qu¶ d­íi ®©y sÏ ®­a ra mét tiªu chuÈn cho tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh R/p víi i®ªan nguyªn tè p ∈ SuppM . §Þnh lý 2.3.4. Gi¶ sö r»ngM lµ kh«ng trén lÉn vµH im(M) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i < d. Khi ®ã vµnh R/p lµ kh«ng trén lÉn víi mäi p ∈ SuppM sao cho dim(R/p) > d− 1. Chøng minh. Tr­íc hÕt, ta chøng minh kh¼ng ®Þnh sau. NÕu i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)) vµ dim(R̂/p̂) = k th× p̂ ∈ AssR̂(M̂). ThËt vËy, v× R̂ lµ vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ nªn b»ng lý luËn t­¬ng tù nh­ trong chøng minh Bæ ®Ò 2.2.2 víi chó ý r»ng dim R̂p̂ = dim R̂− dim(R̂/p̂) = dim R̂− k, ¸p dông ®èi ngÉu Matlis trong MÖnh ®Ò 1.2.3, (ii) vµ Nguyªn lý n©ng ®Þa ph­¬ng [2, §Þnh lý 11.3.2] cho i®ªan p̂ vµ i = 0, ta cã p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M))⇔ p̂R̂p̂ ∈ AttR̂p̂ ( H0 p̂R̂p̂ (M̂p̂) ) ⇔ p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extdim R̂−k R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂) ) ⇔ p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( (Extdim R̂−k R̂ (M̂, R̂))p̂ ) ⇔ p̂ ∈ AssR̂ ( Extdim R̂−k R̂ (M̂, R̂) ) ⇒ p̂ ∈ AssR̂ M̂. B©y giê, ta chøng minh ®Þnh lý. Theo gi¶ thiÕt M lµ kh«ng trén lÉn, nghÜa lµ dim(R/p) = d víi mäi p ∈ AssM . LÊy p ∈ SuppM tháa m·n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 39 dim(R/p) > d − 1. NÕu dim(R/p) = d th× p ∈ AssM vµ do ®ã R/p lµ kh«ng trén lÉn theo §Þnh lý 2.3.1. Cho dim(R/p) = d− 1. Gi¶ sö R/p lµ trén lÉn, khi ®ã tån t¹i p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) sao cho dim(R̂/p̂) = k < dim(R/p) = d− 1. V×M lµ kh«ng trén lÉn nªn mäi i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cñaM ®Òu cã chiÒu d, do ®ã tõ dim(R/p) = d− 1 suy ra ph¶i tån t¹i phÇn tö x ∈ p tr¸nh tÊt c¶ c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cñaM , tøc lµ x lµ phÇn töM - chÝnh quy. Ta cã dim(M/xM) = d− 1 = dim(R/p). Suy ra p ∈ min(Ass(M/xM)). Theo [10, §Þnh lý 23.2, (ii)] ta cã AssR̂(M̂/xM̂) = ⋃ q∈AssR(M/xM) Ass(R̂/qR̂). Do ®ã p̂ ∈ AssR̂(M̂/xM̂), kÕt hîp ®iÒu kiÖn dim(R̂/p̂) = k ta cã p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M/xM)) theo [2, HÖ qu¶ 11.3.3]. MÆt kh¸c tõ d·y khíp ng¾n 0 −→M x−→M −→M/xM −→ 0 ta cã d·y khíp 0 −→ Hkm(M)/xHkm(M) −→ Hkm(M/xM) −→ 0 :Hk+1m (M) x −→ 0. Khi ®ã theo MÖnh ®Ò 1.2.2, (ii) ta cã AttR̂(H k m(M/xM)) ⊆ AttR̂ ( Hkm(M)/xH k m(M) )∪AttR̂(0 :Hk+1m (M) x). NÕu p̂ ∈ AttR̂ ( Hkm(M)/xH k m(M) ) th× p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)). V× vËy theo kh¼ng ®Þnh ë trªn ta cã p̂ ∈ Ass M̂ . Do ®ã p = p̂ ∩ R ∈ AssM , mµ dim(R/p) = d − 1, m©u thuÉn víi M lµ kh«ng trén lÉn. Nh­ vËy ta cã p̂ ∈ AttR̂(0 :Hk+1m (M) x). Suy ra p̂ ∈ Var(AnnR̂(Hk+1m (M))). Khi ®ã ta cã N-dimR(H k+1 m (M)) > dim(R̂/p̂) = k theo Bæ ®Ò 1.3.3. MÆt kh¸c l¹i cã N-dimR(H k+1 m (M)) 6 k + 1 theo MÖnh ®Ò 1.4.6, (i). VËy k 6 N-dimR(Hk+1m (M)) 6 k + 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 40 NÕu N-dimR(H k+1 m (M)) = k + 1 th× theo Bæ ®Ò 1.3.3 tån t¹i i®ªan nguyªn tè q̂ ∈ AttR̂(Hk+1m (M)) sao cho dim(R̂/q̂) = k + 1. V× vËy l¹i theo kh¼ng ®Þnh trªn, q̂ ∈ Ass M̂ . V×M lµ kh«ng trén lÉn nªn dim(R̂/q̂) = d 6= k + 1, m©u thuÉn. VËy N-dimR(H k+1 m (M)) = k. MÆt kh¸c v× dim(R̂/p̂) = k vµ p̂ ∈ Var(AnnR̂(Hk+1m (M))) nªn p̂ ∈ min AttR̂(Hk+1m (M)). Theo MÖnh ®Ò 1.2.3 ta cã p = p̂ ∩R ∈ AttR(Hk+1m (M)). Do ®ã dim(R/AnnR(H k+1 m (M))) > dim(R/p) = d−1 > k = N-dimR(Hk+1m (M)). §iÒu nµy cã nghÜa Hk+1m (M) kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) theo MÖnh ®Ò 2.1.2, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt H im(M) tháa m·n tÝnh chÊt (∗) víi mäi i < d. VËy R/p lµ kh«ng trén lÉn víi mäi p ∈ SuppM vµ dim(R/p) > d− 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 41 KÕt luËn Tãm l¹i, trong luËn v¨n nµy chóng t«i ®· tr×nh bµy l¹i vµ chøng minh chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ trong bµi b¸o "On the unmixedness and universal catenaricity of rings and local cohomology modules " cña L. T. Nhµn vµ T. N. An ë t¹p chÝ §¹i sè n¨m 2008 vµ mét phÇn bµi b¸o cña N. T. C­êng, N. T. Dung vµ L. T. Nhµn "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module" trªn t¹p chÝ Communication in Algebra n¨m 2007. KÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n gåm c¸c néi dung sau. 1. HÖ thèng l¹i mét sè tÝnh chÊt cña m«®un Artin cã liªn quan ®Õn néi dung cña luËn v¨n: cÊu tróc, chiÒu, béi cña m«®un Artin; ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng, mét sè tÝnh chÊt cña vµnh thí h×nh thøc, vµnh catenary, catenary phæ dông. 2. Giíi thiÖu tÝnh chÊt (∗) (tÝnh chÊt linh ho¸ tö) cña m«®un Artin vµ chøng minh ®Æc tr­ng tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng trén lÉn UsuppM th«ng qua tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt. 3. §Æc tr­ng ®­îc tÝnh chÊt (∗) cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng H im(M), qua ®ã thu ®­îc tÝnh ®ãng cña tËp gi¶ support Psupp i R(M) vµ më réng ®­îc c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp. 4. Còng th«ng qua tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa phu¬ng H im(M), ®Æc tr­ng tÝnh chÊt catenary phæ dông cña vµnh R/AnnRM vµ tÝnh chÊt kh«ng trén lÉn cña vµnh R/p, víi p ∈ SuppRM . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 42 Tµi liÖu tham kh¶o [1] Brodmann, M. and R. Y. Sharp (1998), "Local Cohomology: An Alge- braic Introduction with Geometric Applications", Cambridge University Press, Cambridge. [2] Brodmann, M. and R. Y. Sharp (2002), "On the dimension and multiplic- ity of local cohomology modules", Nagoya Math. J, 167, pp. 217-233. [3] N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2007), "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module", Communication in Algebra, 35(5), pp. 1691-1701. [4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (1999), "Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules", East-West J. Math, 1 (2), pp. 179-196. [5] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On the Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J. Math, 30 (2), pp. 121-130. [6] Kirby, D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2), 24 (2), pp. 47-57. [7] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2), 41 (2), pp. 419-429. [8] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica, 11, pp. 23-43. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 43 [9] Matlis, E. (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific J. Math., 8, pp. 511-528. [10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer- sity press. [11] McAdam, S. and L. J. Ratliff (1977), "Semi-local taut rings", Indiana Univ. Math. J, 26, pp. 73-79. [12] Nagata, M. (1962), "Local ring", Interscience, New York. [13] L. T. Nhan and T. N. An (2008), "On the unmixedness and universal catenaricity of rings and local cohomology modules", J. Algebra, 321, pp. 303-311. [14] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2), 26, pp. 269-273. [15] Sharp, R. Y. (1989), "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour", Commutative Algebra, Math. Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, pp. 443-465. [16] Sharp, R. Y. (1990), "Steps in commutative algebra", Cambridge Uni- versity Press. [17] Ferrand, D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local Noetherian", Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com