Tài liệu ôn thi cao học - Môn: Xác suất

ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 1 Các nội dung chính: - Công thức xác suất có điều kiện đơn giản ( mối liên hệ với công thức nhân xác suất) – tổng quát - Công thức xác suất đầy đủ - Bayes - Dãy phép thử Bernoulli 3.4 Công thức xác suất có điều kiện * Công thức nhân xác suất Trường hợp 1: A, B độc lập Hai biến cố độc lập với nhau nếu việc biến cố này xảy ra không cho ta biết thêm bất cứ thông tin gì về khả năng xảy ra của biến cố kia. Ví dụ: * Tung xúc sắc hai lần. Biến cố có mặt nhị ở lần một và mặt nhị ở lần hai là độc lập với nhau. * Biến cố trời mưa và biến cố tai nạn giao thông trên đường. Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì xác xuất A và B cùng xảy ra bằng tích số của xác suất A xảy ra và xác suất B xảy ra. P(A và B) = P(A)*P(B) Ví dụ 46: Ví dụ 11: Một nhóm gồm 3 sinh viên KTDN, 7 sinh viên QTKD và 15 sinh viên HTTT; một nhóm khác gồm 10 sinh viên KTDN, 6 sinh viên QTKD và 9 sinh viên HTTT. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi nhóm ra một người. Tính xác suất để lấy ra hai người cùng chuyên ngành Ví dụ 11-1: Một siêu thị lắp 4 chuông báo cháy họat động độc lập với nhau. Xác suất để khi có cháy mỗi chuông kêu là 0,9. Tìm xác suất để có chuông kêu khi cháy Ví dụ 11-2: Ví dụ: Một hộp chứa đựng 5 quả cầu màu xanh, 3 quả cầu màu đen, 7 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để: a) Cả hai đều là màu đỏ b) Cả hai đều có màu giống nhau. * Công thức xác suất có điều kiện đơn giản Xác suất biến cố A với điều kiện là biến cố B đã xảy ra được tính bằng công thức: P(A B)P(A / B) P(B) ∩ = Ví dụ: Hộp có 7 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 viên bi ( lấy không hòan lại) a) Tính xác suất lấy được viên bi trắng ở lần 1. b) Tính xác suất lấy được viên bi trắng ở lần 2, biết rằng lần 1 đã lấy được viên bi trắng. Ví dụ 48: Ví dụ: Bảng số liệu về trình độ học vấn, giới tính của 26.293 người được thể hiện trong bảng sau: ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 2 ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 3 Trình độ học vấn Chưa hết cấp I(C0) Hết cấp I CI Hết cấp II C2 Hết cấp III C3 Tổng số Nam 2338 3297 3685 3312 12632 Nữ 4252 3366 3272 2771 13661 Tổng 6590 6663 6957 6083 26293 Hỏi có phải nữ giới thường ít học lên cao hơn so với nam giới hay không? * Bảng xác suất không điều kiện ( theo tỷ lệ so với tổng số) Trình độ học vấn Chưa hết cấp I(C0) Hết cấp I CI Hết cấp II C2 Hết cấp III C3 Tổng số Nam 0.089 0.125 0.140 0.126 0.480 Nữ 0.162 0.128 0.124 0.105 0.520 Tổng 0.251 0.253 0.265 0.231 1 * Bảng xác suất có điều kiện theo giới tính Trình độ học vấn Chưa hết cấp I(C0) Hết cấp I CI Hết cấp II C2 Hết cấp III C3 Tổng số Nam 0.185 0.261 0.292 0.262 1.000 Nữ 0.311 0.246 0.240 0.203 1.000 Tổng * Xác suất một người học hết cấp 3 với điều kiện là nam giới: P(C3|M) = P(C3 và M)/P(M) = 0,126/0,480 = 0,262 * Xác suất một người học hết cấp 3 với điều kiện là nữ giới: P(C3|F) = P(C3 và F)/P(F) = 0,105/0,520 = 0,203 * Cách giải khác: Sơ đồ cây là một công cụ hữu ích để thể hiện xác suất có điều kiện và được sử dụng rộng rãi trong các mô hình ra quyết định. Quay lại với ví dụ về trình độ học vấn và giới tích. Nếu chọn ngẫu nhiên một người từ 18 tuổi trở lên, người đó có thể rơi vào một trong bốn nhóm sau:
Nam giới và học hết cấp 3
Nam giới và chưa học hết cấp 3
Nữ giới và học hết cấp 3 ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 4
Nữ giới và học hết cấp 3 * Quy tắc nhân xác suất tổng quát - Trường hợp 2 biến cố A, B P(A B) P(A / B)*P(B) P(A B) P(B / A)*P(A) ∩ = ∩ = - Trường hợp 3 biến cố A, B, C P(A B C) P(A)*P(B / A)*P(C / AB)∩ ∩ = Ví dụ: Hai lá bài được lấy ngẫu nhiên lần lượt từ một bộ bài gồm 52 lá a) Tính xác suất lá thứ hai cũng là quân cơ biết rằng đã lấy được quân cơ ở lần 1 b) Tính xác suất cả hai lần đều lấy được quân cơ biết rằng đã lấy được quân cơ ở lần 1. Ví dụ 12: Một chiếc hộp chứa 3 lá bài may mắn và 2 lá bài xui xẻo. Người chơi A chọn 1 lá bài và sau đó người chơi B chọn 1 lá bài (không hòan lại). Tính xác suất trong các trường hợp sau: a) P(A may mắn) b) P(B may mắn/ A may mắn) c) P(B may mắn/ A xui xẻo) d) P( B may mắn và A may mắn) e) Liệt kê các trường hợp trong không gian mẫu f) P( B may mắn) g) P(A may mắn/B may mắn) Ví dụ 13: Làm lại Ví dụ 12 nhưng với Người chơi A chọn 1 lá bài xem rồi trả lại và sau đó người chơi B chọn 1 lá bài Ví dụ 14: Một cái túi có 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ. Một đứa con trai lấy lần lượt ra 2 quả cầu ( lấy không hòan lại) . Tính xác suất để a) P( cả 2 màu xanh) b) P( 1 xanh và 1 đỏ) ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 5 c) P( ít nhất 1 xanh) d) P( cả 2 đỏ) Ví dụ 14-1: Cũng với yêu cầu như bài Ví dụ 14 nhưng có hòan lại. Ví dụ 15: Tỉ lệ cha mắt đen, con mắt đen là 0,06; cha mắt đen, con mắt xanh là 0,079; cha mắt xanh, con mắt xanh là 0,089; cha mắt xanh, con mắt xanh là 0,772. Tìm xác suất để a) Gặp con mắt xanh biết rằng cha mắt xanh b) Gặp con mắt không đen biết rằng cha mắt đen Ví dụ 16: Một gia đình có 2 đứa con. Nếu biết có ít nhất một đứa là con trai. Xác suất gia đình đó có 2 đứa con trai là bao nhiêu biết rằng có một đứa là con trai ? Với P(trai)=1/2 Ví dụ 17: Hai người A, B cùng đến khám bệnh. Khả năng chỉ một người bị bệnh là 0,38. Tìm khả năng bị bệnh của người A biết rằng khả năng bị bệnh của người B là 0.8 * Công thức xác suất đầy đủ - Bayes * Họ đầy đủ 1 2 nA , A ,...,A gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu chúng xung khắc đôi một và hợp nhau là một biến cố chắc chắn, nghĩa là : n i j i i 1 A A , i j; A = ∩ ≠ ∅ ∀ ≠ = Ω∪ Ví dụ 18: a) Tung một con xúc xắc A=bc mặt 1,2 xh B=bc mặt 3,4 xh C=bc mặt 4,5,6 xh D=bc mặt 5,6 xh E=bc mặt 5 xh b) Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3 viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu. T=bc được viên phấn T Đ=bc được viên phấn Đ X=bc được viên phấn X c) Hộp phấn có: 5 viên phấn trắng, 3 viên phấn Xanh. Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu. A=bc được 2 viên phấn T B=bc được 2 viên phấn X C=bc được 1 viên phấn X. Ví dụ 52 G.29 * Công thức xác suất đầy đủ ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 6 Nếu họ các biến cố 1 2 nA ,A ,...,A là một họ đầy đủ và B là một biến cố liên quan tới phép thử thì xác suất để biến cố B xảy ra được tính theo công thức: n 1 1 2 2 n n i i i 1 P(B) P(A )*P(B / A ) P(A )*P(B / A ) ... P(A )P(B / A ) P(A )P(B / A ) = = + + + =∑ Ví dụ 19: a) Hộp có 5 bi T, 4 bi X. Lấy lần lượt 2 bi (lấy ngẫu nhiên không hoàn lại). Tính xác suất lần 2 lấy đưọc bi X? b) Xí nghiệp bút bi Thiên long có 3 phân xưởng sản xuất. PX1: sản xuất 50% sp của toàn XN ; PX2: 30% ; PX3: 20%. .Tỷ lệ phế phẩm tính trên số sp do từng PX sản xuất là: 1%, 2%, 3%. Một sinh viên mua 1 cây bút bi Thiên long. Tính xác suất mua phải cây viết xấu? c) Hộp có 4 bi T, 5 bi X. Lấy lần lượt ngẫu nhiên (không hòan lại) 3 bi từ hộp ra. Tính xác suất lần 3 lấy được bi T ?. Ví dụ 20: Quỹ Tín dụng Cờ đỏ là một tổ chức tín dụng vi mô mà người vay là những người buôn bán nhỏ. Dựa vào kinh nghiệm cho vay qua các năm, quỹ tín dụng cơ đỏ biết rằng những người vay có thể được phân làm hai loại: loại tốt (T) và loại xấu (X). Loại người vay tốt và xấu chiếm tương ứng 70% và 30% số người vay. Đối với một khoản vay, người vay tốt có xác suất vỡ nợ là 10%, trong khi người vay xấu có xác suất vỡ nợ lên tới 40%. Do thông tin không hoàn hảo, khi một khách hành đến quỹ tín dụng xin vay thì quỹ không thể xác định ngay được là người vay thuộc loại nào. a) Hãy tính các xác suất người vay thuộc loại tốt và trả nợ, thuộc loại tốt và vỡ nợ, thuộc loại xấu và trả nợ, thuộc loại xấu và vỡ nợ. b) Khả năng vỡ nợ đối với một khách hàng vay của quỹ tín dụng bằng bao nhiêu? * Công thức xác suất Bayes Ta có thể muốn tính xác suất của biến cố Ai ( i=1..n) với điều kiện biến cố B đã xảy ra, nhưng chỉ có thông tin về xác suất để biến cố Ai xảy ra với điều kiện biến cố B đã xảy ra i i i i P(A *B) P(A )*P(B / A )P(A / B) P(B) P(B)= = Với n 1 1 2 2 n n i i i 1 P(B) P(A )*P(B / A ) P(A )*P(B / A ) ... P(A )P(B / A ) P(A )P(B / A ) = = + + + =∑ Ví dụ 21: Quay lại Ví dụ 19 b) Giả sử sinh viên đã mua được cây viết xấu. Tính xác suất cây viết này do PX1 sản xuất c) Biểt rằng lần 3 đã lấy được bi T. Tính xác suất ở lần 2 lấy được bi T Ví dụ 22: Quay lại Ví dụ 20 c) Bà Tư vừa đến quỹ để hoàn trả đây đủ khoản vay mà bà vay từ tháng trước. Xác suất mà bà Tư thuộc loại người vay tốt bằng bao nhiêu? ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 7 Ví dụ 22-1: Một Cty đang xem xét nên tiến hành nghiên cứu thăm dò thị trường để biết xem thị trường trong tương lai tốt hay không - P(Thị trường Tốt) = 50% - P(Thị trường Xấu) = 50% Cty dự định ký hợp đồng với một Cty tư vấn để tiến hành nghiên cứu thăm dò thị trường. Năng lực của Cty tư vấn được đánh giá như sau: -P (Thăm Dò Tốt / Thị Trường Tốt) = 70% -P (Thăm Dò Xấu / Thị Trường Tốt) = 30% -P (Thăm Dò Xấu / Thị Trường Xấu) = 80% -P (Thăm Dò Tốt / Thị Trường Xấu) = 20% Vấn đề đặt ra: -P (Thị Trường Tốt / Thăm Dò Tốt) = ? -P (Thị Trường Xấu / Thăm Dò Tốt) = ? -P (Thị Trường Xấu / Thăm Dò Xấu) = ? -P (Thị Trường Tốt / Thăm Dò Xấu) = ? Và -P(Thăm Dò Tốt) = ? -P(Thăm Dò Xấu) = ? Ví dụ 57 G33 4. Dãy phép thử Bernoulli * Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1- Mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A và A 2- Dãy phép thử độc lập 3- Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử luôn cố định nghĩa là P(A) = p, q P(A) 1 P(A) 1 p= = − = − * Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n lần trong dãy phép thử Bernoulli là: k k n k k nP C p q − = Ví dụ 23: Một xạ thủ bắn 5 lần độc lập với nhau vào một mục tiêu với xác suất trúng đích trong mỗi lần bắn là 0,8. a) Tính xác suất bắn trúng 3 lần trong 5 lần bắn. b) Tính xác suất bắn trật 3 lần trong 5 lần bắn. Ví dụ 59 G35 Ví dụ 24: ThS Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 8 Ví dụ 25: Trong một đơn vị bầu cử, hai ứng cử viên A và B tranh nhau một ghế. Xác suất một cử tri bỏ phiếu cho A là 0,4 và cho B là 0,6. Các cử tri bỏ phiếu độc lập với nhau.Giả sử 3 cử tri được lựa chọn một cách ngẫu nhiên trong số cử tri tại đơn vị bầu cử. Hãy liệt kê tất cả các kết quả bầu cử có khả năng xảy ra và xác suất tương ứng với mỗi kết quả này. a) Nếu chỉ có đúng 3 cử tri bỏ phiếu trong cuộc bầu cử thì xác suất A thắng cử bằng bao nhiêu?. b) Điều gì xảy ra với xác suất thắng cử của A khi số cử tri tăng dần lên?.