Tính toán cột chịu nén lệch tâm xiên bằng phương pháp gần đúng, kết hợp với biểu đồ tương tác theo TCVN 5574:2012

QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 62 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 TÍNH TOÁN CỘT CHỊU NÉN LỆCH TÂM XIÊN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG, KẾT HỢP VỚI BIỂU ĐỒ TƯƠNG TÁC THEO TCVN 5574:2012 ThS. NGUYỄN THỊ NGỌC LOAN Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Tóm tắt: Bài báo giới thiệu phương pháp xác định khả năng chịu lực của cột chịu nén lệch tâm xiên sử dụng phương trình tải trọng nghịch đảo và phương trình đường viền tải trọng, được giới thiệu bởi Boris Bresler, kết hợp với các họ biểu đồ tương tác được xây dựng theo TCVN 5574:2012. 1. Giới thiệu Cột chịu nén lệch tâm xiên là cột chịu đồng thời một lực nén dọc trục N, và mô men uốn theo hai phương Mx, My lấy đối với các trục chính của tiết diện. Hình 1 biểu thị tiết diện cột chịu nén lệch tâm xiên. Hình 1. Tiết diện cột chịu nén lệch tâm xiên Có nhiều phương pháp gần đúng được sử dụng để thiết kế cột. Trong số đó, có phương pháp cộng tác dụng, được giới thiệu bởi Moran, cốt thép được tính riêng với  , xN M và  , yN M , sau đó cộng kết quả lại, chi tiết trong [1]. Phương pháp quy đổi lệch tâm xiên về lệch tâm phẳng được giới thiệu trong [2]. Phương pháp tải trọng nghịch đảo và phương pháp đường viền tải trọng, được giới thiệu bởi Bresler, dựa trên ý tưởng về mặt phá hoại [3]. Dựa vào nghiên cứu của Bresler về mặt phá hoại, đã có nhiều tác giả phát triển các công thức gần đúng để xác định khả năng chịu lực của cột, trong đó có Parme và cộng sự [4], Mavichak và Furlong [5], Hsu [6]. Các đồ thị để áp dụng các phương trình của Bresler hay của Parme được trình bày trong [7]. Một phương pháp gần đúng khác được giới thiệu bởi Row và Paulay [8], là sử dụng trực tiếp biểu đồ tương tác cho tiết diện chữ nhật chịu nén lệch tâm xiên. Mỗi biểu đồ chứa bốn góc phần tư, mỗi góc phần tư ứng với một góc đặt tải. Khi góc đặt tải thực tế, arctan( )x y M h M b   , không trùng với góc đặt tải trong biểu đồ thì phải nội suy. Trong bài báo này, các tác giả sử dụng công thức tải trọng nghịch đảo và công thức đường viền tải trọng của Bresler, kết hợp với họ biểu đồ tương tác được xây dựng cho tiết diện chịu nén lệch tâm phẳng, phù hợp với TCVN 5574:2012 [9], để xác định hay kiểm tra khả năng chịu lực của cột chịu nén lệch tâm xiên. Bresler [3] đã làm các thí nghiệm để kiểm chứng công thức, và thấy rằng lực dọc giới hạn được tính theo công thức khá sát với các kết quả thí nghiệm, sai số tối đa là 9,4%, và sai số trung bình là 3,3%. 2. Phương pháp 2.1 Mặt phá hoại và các phương pháp biểu diễn xấp xỉ Lực nén giới hạn Nu tác dụng lên cột với các độ lệch tâm exvà ey phụ thuộc chủ yếu vào kích thước tiết diện cột, đặc trưng cơ học của vật liệu, số lượng và cách bố trí cốt thép trong tiết diện, ngoài ra nó cũng phụ thuộc vào chiều dày lớp bê tông bảo vệ, loại và cách bố trí cốt đai. Việc thành lập công thức giải tích để xác định lực dọc giới hạn của cột, phụ thuộc vào các tham số nêu trên là khá phức tạp, do sự phức tạp của việc xác định vị trí trục trung hòa. Biểu diễn toán học của lực dọc giới hạn được giả thiết là một hàm tạo nên một mặt phá hoại  1 , ,u x yS N e e , hình 2. Mặt  1 , ,u x yS N e e có thể được biểu diễn xấp xỉ như mặt 2 1 , ,x y u S e e N       , hình 3, hay mặt  3 , ,u x yS N M M , hình 4. QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 63 Hình 2. Mặt phá hoại  1 , ,u x yS N e e Hình 3. Mặt phá hoại 2 1 , ,x y u S e e N       Hình 4. Mặt phá hoại  3 , ,u x yS N M M Phương pháp tải trọng nghịch đảo: Phương pháp này được xây dựng dựa vào mặt S2, và được biểu diễn xấp xỉ như phương trình (1). Chi tiết của việc biểu diễn xấp xỉ xem trong [3] uoyoxou NNNN 1111  (1) trong đó, uN - giá trị gần đúng của lực nén giới hạn của cột chịu nén lệch tâm xiên, với các độ lệch tâm là , x ye e . 0xN - lực nén giới hạn của cột chịu nén lệch tâm phẳng, với độ lệch tâm là xe . 0yN - lực nén giới hạn của cột chịu nén lệch tâm phẳng, với độ lệch tâm là ye . 0uN - lực nén giới hạn của cột chịu nén đúng tâm. Phương pháp đường viền tải trọng: Phương pháp này được xây dựng dựa vào mặt S3, và được biểu diễn như phương trình (2). Chi tiết của việc biểu diễn xấp xỉ xem trong [3]. 21 1yx xo yo MM M M              (2) trong đó: , x yM M lần lượt là mô men thiết kế lấy đối với trục x và trục y, 0 0, x yM M lần lượt là mô men giới hạn khi lực dọc chỉ đặt lệch tâm theo phương y, và theo phương x. Các số mũ 1 2,   phụ thuộc vào kích thước mặt cắt ngang, diện tích và cách bố trí cốt thép, cường độ của vật liệu, và được xác định bằng thực nghiệm. Bresler gợi ý lấy 1 2    , khi đó, đường tương tác được thể hiện trong hình 5. Trong thiết kế thực hành, có thể lấy 1,5  cho tiết diện chữ nhật, 1,5 2,0   cho tiết diện vuông. Hình 5. Đường tương tác để xác định hệ số 2.2 Họ biểu đồ tương tác theo TCVN 5574:2012 Hình 6 biểu thị cột chịu nén lệch tâm phẳng, cốt thép đặt theo chu vi. Từ hình 6, viết phương trình cân bằng lực lên phương trục cột, và phương trình cân bằng mô men với trục cột, lần lượt được u b si siN R bx A  (3) 0 2 2u u b si si si h x M N e R bx A z          (4) trong đó, uN - lực nén giới hạn, uM - mô men giới hạn trong mặt phẳng chứa cạnh h,  - hệ số kể đến ảnh hưởng của uốn dọc, bR - cường độ chịu nén tính toán của bê tông. Các kí hiệu còn lại xem trên hình 6. Ứng suất trong lớp cốt thép thứ i, si được tính theo công thức thực nghiệm (5), như dưới đây. Ta thấy rằng, ứng suất si phụ thuộc vào hai tham số cơ bản, là cường độ chịu nén tính toán của bê tông bR , và chiều cao vùng nén quy đổi x , (tương ứng là vị trí trục trung hòa). QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 64 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 , 1 1 1,1 sc u si i             (5) 0 i i x h   (6) trong đó: , 500sc u  (MPa), 0,85 0,008 bR   , 0ih là khoảng cách từ trọng tâm lớp thép thứ i đến mép chịu nén AB, xem trên hình 6. Hình 6. Cột chịu nén lệch tâm phẳng, cốt thép đặt theo chu vi Trong phương trình (5), nếu 0si  thì lớp cốt thép thứ i chịu nén, nếu 0si  thì lớp cốt thép thứ i chịu kéo. Trong mọi trường hợp, ứng suất trong cốt thép phải thỏa mãn điều kiện sc si sR R  , với ,sc sR R lần lượt là cường độ chịu nén tính toán và cường độ chịu kéo tính toán của cốt thép. Chi tiết của các phương trình (3) đến (6) xem trong [9]. Phương trình (3) đến (6) là bốn phương trình cơ bản được sử dụng để xây dựng các họ biểu đồ tương tác. Thông thường, các họ biểu đồ được xây dựng không phụ thuộc vào kích thước tiết diện, mà phụ thuộc vào cường độ tính toán của vật liệu, , ,b s scR R R , hàm lượng cốt thép dọc t , khoảng cách từ trọng tâm cốt thép đến mép tiết diệna h . Ví dụ, áp các phương trình (3) đến (6) cho tiết diện có 12 thanh cốt dọc (trên mỗi cạnh có 4 thanh), hình 7, ta được các phương trình để xây dựng họ biểu đồ tương tác như sau:    1 2 1 1 1 3 6 u b t sc s t s s N a R R bh h                (7)    1 22 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 18 2 u b sc s t s s t M a a a a R R bh h h h h                                           (8) 0 1 1 01 01 0,85 0,0081 500 3 ; 1 0,85 0,008 11 31 11,1 b s b h Rx a h R a hh h a h a h                       (9) QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 65         0 2 2 02 02 1 0,85 0,0083 500 ; 1 0,85 0,008 12 1 2 31 1,1 2 1 2 b s b a hh Rx R a hh h a h a h                        (10) Hình 7. Tiết diện có 12 thanh cốt dọc Trong hình 7, ứng suất trong cốt thép 'sA luôn đạt scR , ứng suất trong cốt thép sA có thể là ứng suất kéo hay ứng suất nén, và có thể đạt giới hạn chảy hay không, phụ thuộc vào giá trị  cho trước. Nếu R  thì s sR  , nếu R  thì s được tính theo công thức (11) cho bê tông không lớn hơn B30, hoặc công thức (5), cho bê tông lớn hơn B30, và phải thỏa mãn điều kiện sc s sR R   02 2 1 1s sR x h R        (11) Từ các phương trình (7) và (8), chọn trước , , , b s scR R R a h và cho  chạy trong khoảng [0, 1], cho t stA bh  chạy trong khoảng [0,5%, 6%] ta sẽ vẽ được họ biểu đồ tương tác không phụ thuộc vào kích thước tiết diện ngang, với trục đứng là u N bh , và trục ngang là 2 uM bh . 3. Ví dụ Tính toán cốt dọc cho cột của khung siêu tĩnh chịu nén lệch tâm xiên. Biết kích thước tiết diện là 300 500mm . Độ lệch tâm ngẫu nhiên theo phương x là 15axe mm , theo phương y là 10aye mm . Lực nén tính toán N = 1500kN, mômen uốn tính toán theo hai phương lần lượt là 200 xM kNm , 100 yM kNm . Bê tông B25 có 14,5 bR MPa , hệ số điều kiện làm việc của bê tông, 1b  , cốt thép nhóm CIII có 365 s scR R MPa  . Hệ số kể đến ảnh hưởng của uốn dọc 1,0x y   . Chiều dày lớp bê tông bảo vệ 0 20 c mm . Lời giải: Chọn trước cốt thép chịu lực 12 18 có 23052 , 2,03%stst t A A mm bh    , bố trí như hình 8, mỗi cạnh có bốn thanh thép, sau đó kiểm tra tiết diện đã chọn theo phương pháp tải trọng nghịch đảo và phương pháp đường viền tải trọng. Họ biểu đồ tương tác cho tiết diện 12 thanh, ứng với 0,06 a h  và 0,1 a h  được xây dựng theo TCVN 5574, và được thể hiện trên hình 9 và hình 10. Từ các họ biểu đồ này, ta tra được 0 0,x yN N để thay vào phương trình (1), hoặc 0 0,x yM M để thay vào phương trình (2). Hình 8. Tiết diện cột cho ví dụ QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 66 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 Hình 9. Họ biểu đồ tương tác, a/h=0,06 Hình 10. Họ biểu đồ tương tác, a/h=0,1 3.1 Kiểm tra cột theo phương pháp tải trọng nghịch đảo Lực dọc giới hạn của cột chịu nén đúng tâm, 0uN 0 14,5 300 500 365 3052 3288u b sc stN R bh R A kN        Lực dọc giới hạn của cột chịu nén lệch tâm theo phương x, 0xN 1 200 1000 133 1500 x x M e mm N     0 1max( , ) 133x x axe e e mm  6 2 2 200 10 2,67 300 500 xM bh     Từ biểu đồ hình 9, tra được 0 15x N bh  0 15 300 500 2250xN kN     Lực dọc giới hạn của cột chịu nén lệch tâm theo phương y, 0yN 1 100 1000 66,7 1500 y y M e mm N     0 1max( , ) 66,7y y aye e e mm  6 2 2 100 10 2,22 500 300 yM hb     Từ biểu đồ hình 10 30 0,1 300 a h       , tra được 0 16y N bh  0 16 500 300 2400yN kN     Kiểm tra theo phương trình tải trọng nghịch đảo, phương trình (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 2250 2400 3288 1795u xo yo uoN N N N        0 1795 1500yN kN N    . Cột an toàn 3.2 Kiểm tra cột theo phương pháp đường viền tải trọng 31500 10 10 300 500 N bh     Tính mômen giới hạn theo phương x, 0xM Tra biểu đồ hình 9, với 10 N bh  , 0,0203t  và 0,06 a h  ta được 0 2 4x M bh  QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 67 2 0 4 300 500 300xM kNm     Tính mômen giới hạn theo phương y, 0yM Tra biểu đồ hình 10, với 10 N bh  , 0,0203t  và 0,1 a h  ta được 0 2 3,6y M hb  2 0 3,6 500 300 162yM kNm     Kiểm tra theo phương trình đường viền tải trọng, phương trình (2). Từ hình 5, có 200 100 0,67; 0,62 300 162 yx xo yo MM M M     , vậy 1,6  1,6 1,6 200 100 0,98 1,0 300 162 yx xo yo MM M M                           . Cột an toàn. 4. Kết luận Bài báo đã trình bày cách áp dụng phương pháp tải trọng nghịch đảo và phương pháp đường viền tải trọng cho việc tính toán lực nén giới hạn cũng như kiểm tra khả năng chịu lực của cột chịu nén lệch tâm xiên theo TCVN 5574:2012. Việc áp dụng này khá đơn giản. Trong bài toán thiết kế cột chịu nén lệch tâm xiên, thường tiết diện và cốt thép được chọn và thử dần đến khi nó thoả mãn khả năng chịu lực. Cách xây dựng họ biểu đồ tương tác phù hợp với TCVN 5574:2012 cũng đã được trình bày. Các họ biểu đồ được xây dựng khá đơn giản, không phụ thuộc vào kích thước tiết diện ngang, mà phụ thuộc vào tỉ số cốt thép t , cường độ tính toán của vật liệu, , ,b s scR R R , và khoảng cách từ trọng tâm cốt thép đến mép tiết diện,a h . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R. Park and T. Paulay (1975). Reinforced concrete structures. New York. [2] BS 8110-1:2005. Structural use of concrete, Part 1: Code of practice for design and construction. [3] B. Bresler (1960). Design Criteria for Reinforced Columns under Axial Load and Biaxial Bending. Journal of the American concrete institute. [4] Parme A. L., Nieves J. M., Gouwens A. (sept. 1966). Capacity of Reinforced Rectangular Columns Subject to Biaxial Bending. ACI Journal, Proceedings V.63, No. 9, pp. 911-923. [5] V. Mavichak and R.W.Furlong (1976). Strength and stiffness of RC columns under biaxial bending. Texas State 5 Department of Highways and Public Transportation; Transportation Planning Division. [6] T. Hsu (1988). Analysis and Design of Square and Rectangular Columns by Equation of Failure Surface. ACI Structural Journal. [7] ACI 340R-97. ACI Design Handbook, Design of Structural Reinforced Concrete Elements in Accordance with the Strength Design Method of ACI 318-97. [8] Row D. G., Paulay T.(September 1973). Biaxial flexural and axial load interaction in short rectangular reinforced concrete columns. Bulletin of the N.Z. Society for Earthquake Engineering, Vol. 6, No. 3. [9] TCVN 5574:2012 (2012), Tiêu chuẩn thiết kế kết cấu bê tông cốt thép, Nhà Xuất bản Xây dựng, Hà Nội. Ngày nhận bài:13/6/2016. Ngày nhận bài sửa lần cuối:19/9/2016.