Bà giảng Xử lý tín hiệu nâng cao - Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z

Xử lý tín hiệu nâng cao -Advanced signal processing- Chương 3 Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z Phép biến đổi Z
Phép biển đổi Z hai phía ∑ +∞ −∞= − == n nznxnxZTzX )()]([)(  Z là một biến phức  miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z: tập hợp các giá trị của Z để cho X(z) hội tụ. Miền hội tụ
Ví dụ: xét tính hội tụ của dãy anu(n) với a ≠ 0. az z z a zazX n nn − =      == ∑∑ ∞∞ −)(  Hội tụ khi |a/z| |a| 00 Miền hội tụ r=a Mặt phẳng Z Re[z] Điểm cực, điểm không
Điểm cực (pole): là điểm mà tại đó X(z)=∞
Điểm không (zero): là điểm mà tại đó X(z)=0 Như vậy nếu ta biểu diễn X(z) dưới dạng phân số thì:  các điểm cực là nghiệm của đa thức mẫu số  các điểm không là nghiệm của đa thức tử số. Điểm cực, điểm không
Biến đổi Z dạng hữu tỉ  Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG  Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào đó  chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm zero-pole Điểm cực, điểm không
Các cách biểu diễn biến đổi Z dạng hữu tỉ:  Dạng mũ âm:  Dạng mũ dương: M k 1 M k 0 1 M k 0 N1 N k0 1 N k k 0 b zb b z ... b zN(z)X(z) D(z) a a z ... a z a z − − − = − − − = + + + = = = + + + ∑ ∑ M M 11 Mb bz z ...−+ + +  Dạng zero & pole: N M0 0 0 N N 1 N10 0 0 b b bN(z)X(z) z aaD(z) a z z ... a a − − = = + + + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) M k 1 2 MN M N M k 1 N 1 2 N k k 1 z z z z z z ... z z X(z) Gz Gz z p z p ... z p z p − − = = − − − − = = − − − − ∏ ∏ 0 0 bG a = Độ gợi (gain) Điểm cực, điểm không
Trong matlab ta sử dụng hàm:  tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không,  zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z Hàm tf2zp
[Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) tìm các điểm cực, điểm không và độ gợn: (z z1)(z z2)...(z zn)H(s) K (z p1)(z p2)...(z pn) − − − = − − −  num và den: là các hệ số của H(z)  z: là vector chứa các điểm không  p: là vector chứa các điểm cực  k: là độ gợn Điểm cực, điểm không
Trong matlab ta sử dụng hàm:  tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không,  zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z
Ví dụ a= [1,2,3]; 1.5 b=[4,5,6]; [z,p,k]=tf2zp(b,a) zplane(b,a) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part I m a g i n a r y P a r t Hàm zp2tf
[NUM,DEN] = ZP2TF(Z,P,K) hình thành hàm truyền đạt  num và den: là các hệ số của H(z)  z: là vector chứa các điểm không  p: là vector chứa các điểm cực  k: là độ gợn ( ) ( ) NUM s H(s) DEN s = Điểm cực, điểm không
Ví dụ: Tìm dạng hữu tỉ và vẽ giản đồ zero-pole cho X(z):  Zeros: Zk=0.8ej2pik/M , k=1..M  Poles: M pole tại 0 1 M=8; a=0.8; -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 8 Real Part I m a g i n a r y P a r t p=zeros(M,1); z=zeros(M,1); for k=1:M, z(k,1)=a*exp((j*2*pi*k)/M); end; [num,den]=zp2tf(z,p,1); disp(num); disp(den); zplane(z,p); Một số hàm liên quan
abs, angle: trả về các hàm thể hiện Mođun và Agumen của một số phức
real, imag: trả về các hàm thể hiện phần thực và phần ảo của một số phức
residuez: trả về các điểm cực và các hệ số tương ứng với các điểm cực đó trong phân tích một hàm phân thức hữu tỷ ở miền Z thành các thành phần là các hàm phân thức đơn giản, ngược lại nếu đầu vào là danh sách các điểm cực và các hệ số, hàm residuez sẽ trả về hàm phân thức hữu tỷ ở miền Z
poly: xây dựng một đa thức từ danh sách các nghiệm của nó
ztrans: trả về biến đổi Z của một hàm số được định nghĩa theo công thức của một biểu tượng (symbol) Một số hàm liên quan
iztrans: hàm ngược lại của hàm ztrans
zplane: thể hiện phân bố điểm cực và điểm không của một hàm phân thức hữu tỷ lên mặt phẳng Z
freqz: trả về đáp ứng tần số của một hệ thống tại một số hữu hạn các điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị khi biết hàm truyền đạt của nó
clock: trả về thời gian thực hiện tại
etime: trả về thời gian tính bằng giây giữa 2 thời điểm Ví dụ
Tìm biến đổi z của dãy bằng các cách:  Tính dựa trên định nghĩa  Kiểm tra lại bằng hàm ztrans trong Matlab.
Giải:  Theo định nghĩa ta có: ( ) 2 ( )nx n u n= ( ) ( ). 2 n zX z x n z z ∞ − = = − ∑  X(z) trong Matlab bằng hàm ztrans • Trước hết, định nghĩa biến n bằng câu lệnh syms: % Tim bien doi z syms n positive x=2.^n; ztrans(x) n=−∞ Một số tính chất của biến đổi Z
Tính tuyến tính: );()()]()([ 22112211 zXazXanxanxaZ +=+ 21 : xx ROCROCROC ∩ Một số tính chất của biến đổi Z
Dịch mẫu – tính chất trễ: 0 0[ ( )] ( );nZ x n n z X z−− = Tính chất của biến đổi Z
Dịch mẫu – tính chất trễ:  Nếu: Thì: ( ) ( ) ( )ZT x xx n X z , ROC X z : R z R− +←→ < <   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kZTy n x n k Y z z X z ROC X z \ 0, k 0 − = − ←→ =  >    ( )ROC Y z : ROC X z \ , k 0    ∞ <    Tính chất của biến đổi Z
Dịch tần số - Co giãn trong miền Z: ( ) ( ) ( ) x xZT ROC X z :x n X z , R z R− +< < ← →   ( ) ( ) ( )1 xn xZT ROC X z : a R z a Ra x n X a z ,− − +⇒ < <  ← → Tính chất của biến đổi Z
Biến số đảo - Đảo thời gian:  Ý nghĩa: ( ) ( ) ( )ZT x xx n X z , ROC X z : R z R− +←→ < <   ( ) ( ) ( )1 1ZT x x 1 1 x n X z , ROC X z : z R R − − + −   − ←→ < < ⇒ • ROC[X(z)] là nghịch đảo của ROC[X(z-1)] • Nếu z0 ∈ ROC[X(z)] thì 1/z0 ∈ ROC[X(z-1)] Tính chất của biến đổi Z  Phần thực: ( ) ( ) ( ) ( ) ZT * * *ZT x n X z x n X z ←→ ←→
Dãy liên hợp phức: ( ) ( ) ( )* *ZT 1Re x n X z X z2  ←→ +     : xROC ROC  Phần ảo: ( ) ( ) ( )* *ZT 1Im x n X z X z2j  ←→ −     Một số tính chất của biến đổi Z
Tích của hai dãy: )/()( 2 1)]()([ 12121 C dvvvzXvXjnxnxZ = ∫ − pi 21 : xx ROCROCROC ∩ Một số tính chất của biến đổi Z
Tích chập: 21 : )()()](*)([ 2121 xx ROCROCROC zXzXnxnxZ ∩ = Ví dụ
Ví dụ:  X1(z)=2+3z-1+4z-2  X2(z)=3+4z-1+5z-2+6z-3  Cần tính X3=X1X2 => X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5
Ngoài ra chúng ta cũng có thể sử dụng phép nhân chập.  x1(n)={2,3,4} và x2(n)={3,4,5,6} Ví dụ
Ta sử dụng matlab để tính nhân chập: x1=[2,3,4]; x2=[3,4,5,6]; x3=conv(x1,x2) x3 = 6 17 34 43 38 24
Như vậy X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5 Biến đổi Z của một số dãy cơ bản 1||)( 1)( 11 1 znu zn ROCTransformSequence z > ∀ − − δ ||||)1( ||||)( 1||)1( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bznub aznua znu bz n az n z <−−− > <−−− − − − − − − Biến đổi Z của một số dãy cơ bản ||||)cos(1)(]cos[ ||||)cos2(1 )sin()(]sin[ 1 0 0 221 0 1 0 0 az zwa nunwa az zazwa zwa nunwa ROCTransformSequence n n > − > +− − −− − ||||)1()1( ||||)1()( )cos2(1 21 1 21 1 221 0 bz bz bz nunb az az az nuna zazwa n n < − −−− > − +− − − − − −− Biến đổi Z ngược
Định nghĩa: ∫ −− == C n dzzzXjzXZnx 11 )( 2 1)]([)( pi Các phương pháp
Tính trực tiếp tích phân sử dụng phương pháp thặng dư
Phương pháp triển khai thành lỹ thừa theo Z hoặc Z-1
Phương pháp triển khai thành tổng các phân thức tối giản Biến đổi Z ngược
Phương pháp thặng dư: ∑∫ = −− == k ZZ n c n pk ZZXsdZZZXjnx ]|)([Re)(2 1)( 11 pi  Zpk là các cực  Res: thặng dư Biến đổi Z ngược
X(z) cũng có thể biểu diễn: 11 2 1 1 1 1 2 ( )( ) ... (1) (2) ...( ) 1 1 1 n n rr rB zX z k k z A z p z p z p z − − − − = = + + + + + − − −
Trong Matlab sử dụng hàm:  [r,p,k]=residuez(b,a) và  [b,a]=residuez(r,p,k) residuez
hàm [r p k] = residuez (b, a) để xác định các hệ số trong việc phân rã H(z).  b và a là các hệ số của H(z)  p: là vector chứa các điểm cực  k: là chứa hằng residuez
Ví dụ: b = [0 0 1 ] a = [ 1 -6 11 -6 ] [ r p k ] = residuez (b, a)  Ta thu được: • r = 0.5000, –1.0000, 0.5000 • p = 3.0000, 2.0000, 1.0000 • k = [ ]  Khi đó: Ví dụ
Xét:  Có thể biểu diễn: 143 )( 2 +−= zz z zX 21 1 21 1 43 0 43 )( −− − −− − +− + = +− = zz z zz z zX  Sử dụng Matlab b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a) r = 0.5000 -0.5000 p = 1.0000 0.3333 k = [] 1 1 1 1 2 2( ) 11 1 3 X z z z − − ⇒ = − − − Ví dụ (tiếp)
Từ biểu thức: 1 1 3 11 2 1 1 2 1 )( − − − − − = zz zX
Ta có: )( 3 1 2 1)( 2 1)( nununx n       −= Ví dụ
Quay lại cách biểu diễn trước bằng hàm residuez [b,a]=residuez(r,p,k) Sử dụng Matlab r=[0.5; -0.5] p=[1;1/3] k=[] [b,a]=residuez(r,p,k) Thu được: 1 2 1 2 10 3( ) 4 1 3 4 11 3 3 z zX z z zz z − − − + ⇒ = = − + − + b = 0 0.3333 a = 1.0000 -1.3333 0.3333 Bài tập 1
Cho Tìm biến đổi z ngược bằng hai cách:  Khai triển thành phân thức tối giản 2 2( ) 2 7 3 zX z z z + = − +  Kiểm tra lại bằng hàm iztrans trong Matlab % Tim bien doi z nguoc syms z f = (z+2)/(2*z^2-7*z+3); iztrans(f) Bài tập 2
Sử dụng lệnh residuez của Matlab, tính các điểm cực, thặng dư tại các điểm cực của ở bài BT1. Từ đó hãy viết dạng tổng các hàm phân thức đơn giản của X(z) và so sánh với kết quả ở bài 2 2( ) 2 7 3 zX z z z + = − + BT1. % Tinh thang du va diem cuc b=[0 1 2]; a=[2 -7 3]; [r,p,k]=residuez(b,a) % [b,a]=residuez(r,p,k;) Bài tập
Cho hàm  Viết chương trình Matlab sử dụng lệnh residuez 1 1 2 2( ) (1 2 )(1 )X z z z− −= − − để tìm biến đổi z ngược của X(z). • (gợi ý: sử dụng hàm poly để xây dựng đa thức từ danh sách các nghiệm). Hàm truyền đạt
Là tỷ số biến đổi Z của tín hiệu vào và tín hiệu ra: )( )()( zX zY zH =
H(z) là biến đổi Z của đáp ứng xung h(n) )]([)( nhZzH = Hàm truyền đạt (tiếp)
Phương trình sai phân
Biểu diễn H(z) ∑∑ == −=− M r r N k k rnxbknya 00 )()( ∑ ∑ = − = − == N k k k M r r r za zb zX zY zH 0 0 )( )()( Hàm truyền đạt (tiếp)
Hệ không đệ quy 0 0 )( )()( a zb zX zY zH M r r r∑ = − ==
Trong trường hợp ao=1 ∑ = − = M r r r zbzH 0 )( Hàm truyền đạt (tiếp)
Biểu diễn bằng các điểm cực và điểm không )( )( )( 10 k N i M iMN pz zz zbzH −Π −Π = = =− bo được gọi là hệ số chuẩn hóa 1k Bài tập
Cho hai hệ thống sau: ( ) 0,6 ( 1) 0,08 ( 2) 2 ( )y n y n y n x n= − − − + ( ) 0,7 ( 1) 0,1 ( 2) ( ) 0,5 ( 2)y n y n y n x n x n= − − − + − −  a. Tính hàm truyền đạt H(z) của mỗi hệ thống.  b. Sử dụng lệnh zplane để biểu diễn các điểm cực, điểm không của hàm truyền đạt và xét tính ổn định của từng hệ thống.  c. Viết chương trình tìm đáp ứng xung của hệ thống. (gợi ý: sử dụng lệnh residuez)