Giáo trình Giải tích 1 - Chương 1: Dãy số

TÀI LIỆU MÔN GIẢI TÍCH 1 LÝ THUYẾT CHƢƠNG 1: DÃY SỐ 1.1 Một số định nghĩa về dãy số thực Định nghĩa 1.1: Cho N* = { 1,2,3,...} là tập hợp các số tự nhiên. Một ánh xạ f : N* → R được gọi là một dãy số thực. Nếu đặt xn = f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng: x1, x2, x3,..., xn ,... Phần tử xn được gọi là số hạng thứ n của dãy số. Dãy số được kí hiệu là ( )n nx . Định nghĩa 1.2: Dãy số ( )n nx được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi n ta có 1 1( )n n n nx x x x   . Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Dãy số ( )n nx được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi n ta có xn ≤ M. Dãy số ( )n nx được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi n ta có xn ≥ M. Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. Dãy số xn được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu xn+k = xn với mọi n ∈ N. Dãy số tuần hoàn với chu kỳ k gọi là dãy hằng. Định nghĩa 1.3: Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn a khi n dẫn đến vô cùng nếu nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và ϵ) sao cho với mọi n > N0 ta có nx a nhỏ hơn ϵ. lim n n x a    ϵ > 0 ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 nx a < ϵ Ta nói dãy số ( )n nx dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M) sao cho với mọi n > N0 ta có nx lớn hơn M. lim n n x    ∀M > 0 ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 nx > M. Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng là dãy phân kỳ. 1.2 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn dãy số Định lý 1.1: (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ). Nếu ( )n nx , (y )n n là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số (xn + yn)n , (xn − yn)n, (xnyn)n và (xn /yn)n cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a – b, a.b, a/b. (Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn và b khác 0). Định lý 1.2: (Định lý kẹp). Cho 3 dãy số ( )n nx , (y )n n , (z )n n trong đó xn và zn có cùng giới hạn hữu hạn l, và N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn. Khi đó yn cũng có giới hạn là 1. Định lý 1.3: (Dãy đơn điệu). Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. Định lý 1.4: (Bolzano Veierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ. Định lý 1.5: ( Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy ( )n nx được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ϵ > 0 ∃N0 ∈ N: ∀m, n > N0 m nx x < ϵ. Dãy số ( )n nx có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 1 1.3 Các quy tắc để tìm giới hạn dãy số 1.3.1 Các giới hạn cơ bản 1. 0 0 sin lim lim 1 t t t tgt t t    2. 0 0 1 ln(1 ) lim lim 1 t t t e t t t      3. 20 1 cos 1 lim 2t t t   4. 0 (1 ) 1 lim a t t a t    5. lim 0 p tt t e  , ∀p 6. ln lim 0 p t t t  , α > 0, ∀p 1.3.2 Quy tắc L’Hospital Cho x0 ∈ R hoặc x0 = ±∞. f, g có đạo hàm liên tục thỏa mãn: 0 0 lim ( ) lim x x x x f x    g(x) = 0 hoặc 0 0 lim ( ) lim x x x x f x    g(x) = ±∞ Giả sử tồn tại 0 '( ) lim '( )x x f x A g x  . Khi đó 0 ( ) lim ( )x x f x A g x  1.3.3 Giới hạn dạng:   0 ( ) lim ( ) g x x x f x  1. Giả sử 0 lim ( ) a x x f x   (a > 0); 0 lim x x g(x) = b (a,b hữu hạn) thì   0 ( ) lim ( ) g x x x f x  = a b 2. Tìm   0 v( ) lim u( ) x x x x  . Đặt y u v thì lny = v.lnu Nếu 0 0 lim ln lim ( ) ln ( ) x x x x y v x u x a     thì   0 v( ) lim u( ) x x x x  = ae . 3.   0 ( ) lim ( ) g x x x f x  có dạng 1 . Khi đó:     ( ) 0 0 0 ( ( ) 1) g(x) 1 lim ( ) 1( ) ( ) 1lim ( ) lim 1 ( ( ) 1) g x x x f x f xg x f x x x x x f x f x e                 Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2