Giáo trình Giải tích 1 - Nguyễn Xuân Thảo

ân  Đặt vấn đề  Các quy luật của tự nhiên không diễn ra đơn lẻ mà gồm nhiều quá trình đan xen nhau  Hệ phương trình vi phân tuyến tính giải quyết nhiều bài toán nêu trên, chẳng hạn như : 1/ Ví dụ 1. Xét hệ hai khối lượng và hai lò xo như trong Hình 1, với một lực tác động từ bên ngoài ( )f t bên phải khối lượng 2m . Ta kí hiệu ( )x t là hàm vị trí (sang phải) của khối lượng 1m từ trạng thái cân bằng (khi hệ bất động và cân bằng với ( ) 0f t ) và ( )y t là vị trí của khối lượng 2m từ trạng thái tĩnh của nó.  Có mô hình toán là          1 1 2 2 2 " ( ) " ( ) ( ) m x k x k y x m y k y x f t 2/ Ví dụ 2. Xét hai thùng nước muối được nối với nhau như trong Hình 2. Thùng 1 chứa x(t) pounds muối trong 100 gallon của nước biển và thùng 2 chứa ( )y t pounds muối trong 200 gallon (gal = 4,54 lit ở Anh và = 3,78 lít ở Mỹ) nước biển. Nước biển trong mỗi thùng được giữ nguyên bởi các vòi bơm và nước biển thùng này sang thùng khác với tốc độ chỉ ra trên Hình 2. Thêm nữa nước nguyên chất chảy vào thùng 1 với tốc độ 20gal/phút và nước muối trong thùng 2 chảy ra với tốc độ 20gal/phút  Có mô hình toán là            3 1 10 20 3 3 10 20 x x y y x y 3/ Ví dụ 3. Xét mạch điện như trong Hình 3, ở đó 1I (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua cảm biến L và 2I (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua điện trở 2R . Dòng điện chạy qua điện trở 1R là  1 2I I I theo hướng đã chỉ. Hình 1. Hệ khối lượng và lò xo trong Ví dụ 1 Hình 2. Hai thùng nước biển trong Ví dụ 2 Hình 3. Mạng điện trong Ví dụ 3 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 79  Có mô hình toán là           1 1 2 1 2 2 25 25 50 2 3 5 0 dI I I dt dI dI I dt dt 1. Đại cương  Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có dạng               1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ) n n n n n y f x y y y y f x y y y y f x y y y (1)  Định lí 1. Giả sử các hàm 1 2( , , , , )i nf x y y y và các đạo hàm riêng   1 2( , , , , )i n j f x y y y y liên tục trên   1nD . Cho 0 0 00 1 2( , , , , )nx y y y D , khi đó  0( )U x để (1) có nghiệm duy nhất thoả mãn các điều kiện  00( ) , 1,i iy x y i n Định nghĩa. Ta bảo 1( , , )ny y , ở đó  1 2( , , , , )i i ny x c c c là nghiệm tổng quát của hệ (1)   thoả mãn hệ (1)  1 2, , , nc c c   0 0 00 1 2( , , , , )nx y y y thoả mãn định lí 1    0i ic c sao cho các hàm số  0 0 01 2( , , , , )i i ny x c c c thoả mãn điều kiện   0 0, 1,i ix xy y i n Nghiệm riêng của (1) nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho , 1,ic i n các giá trị xác định 2. Cách giải  Phương trình vi phân cấp n :      1( , , , , )n ny f x y y y luôn đưa về hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1: Đặt  1y y , có               1 2 2 3 1 1 2( , , , , ) n n n n y y y y y y y f x y y y Ngược lại, hệ PTVP chuẩn tắc luôn đưa về phương trình cấp cao bằng cách khử những hàm số chưa biết từ các phương trình của hệ, được gọi là phương pháp khử PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 80 Ví dụ 1. a)        5 4 4 5 y y z z y z b)         y y z z y z x c)        2 2 yy z yz d)      y z z y e)       y z z y (      1 2 2 1 cos sin cos sin y C x C x z C x C x ) f)           5 3 y y z z y z (               1 2 2 1 1 2 ( cos sin ) 1 ( 2 )cos ( 2 )sin 5 x x y e C x C x z e C C x C C x ) g)         3y y z z y z (          2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) x x y C C C x e z C x C e ) Giải a)  Từ phương trình thứ nhất     5 4y y z  Thay   4 5z y z vào phương trình 1 có    5 16 20y y y z  Từ phương trình 1    1( 5 ) 4 z y y , thay vào ta có    10 9 0y y  Nghiệm tổng quát   91 2 x xy c e c e     91 29 x xy c e c e , thay vào phương trình đầu có    91 2 x xz c e c e c) +)   22zz z +)   1 2 1 z C x C +)   1 2 1 2 2 ( ) C y C x C 3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số a) Định nghĩa                        1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n dy a y a y a y dx dy a y a y a y dx dy a y a y a y dx (1) ở đó ija b) Cách giải. Để đơn giản ta xét hệ         1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 dy a y a y dx dy a y a y dx (2)  Giải phương trình đặc trưng      11 12 21 22 0 a a a a (3)  Nếu (3) có 2 nghiệm thực phân biệt  1 2,  (2) có nghiệm tổng quát là 1 2( , )y y ở đó PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 81  1 1 11 2 12y c y c y ;  2 1 21 2 22y c y c y ở đó  111 11 xy p e ,  121 21 xy p e ,  212 12 xy p e ,  222 22 xy p e , 1 2( , )k kp p là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  , 1, 2k k Ví dụ 1. Giải các hệ sau a)        2 4 3 y y z z y z b)        5 2 y y z z y z c)        3 y y z z y z Giải a) Cách 1. Phương pháp khử:      2y y z với   4 3z y z và   1( ) 2 z y y          4 5 0 1 ( ) 2 y y y z y y           5 1 2 5 1 22 x x x x y C e C e z C e C e Cách 2. Phương pháp toán tử Hệ      1 2 1 3 4 2 ( ) ( ) L x L y f t L x L y f t , ở đó iL là các toán tử tuyến tính 1 2 1 2 3 4 2 4 ( ) ( ) L L f t L x L L f t L ; 1 2 1 1 3 4 3 2 ( ) ( ) L L L f t y L L L f t         ( 1) 2 0 4 (3 ) 0 D y z y D z ,  dD dx  Ta có    1 2 4 3 D D        2( 1)(3 ) 8 4 5D D D D  Hệ             4 5 0 4 5 0 y y y z z z  Phương trình đặc trưng    2 4 5 0k k    1 21, 5k k  Ta có   51 2 x xy c e c e ;   53 4 x xz c e c e  Thay ,y z vào phương trình 1 ta có    0 2y y z        5 5 51 2 1 2 3 4.5 2( ) x x x x x xc e c e c e c e c e c e       51 3 2 4(2 2 ) ( 4 2 ) , x xc c e c c e x        1 3 2 4 2 2 0 4 2 0 c c c c      3 1 4 22 c c c c  Nghiệm tổng quát ( , )y z , ở đó   51 2 x xy c e c e ;    51 22 x xz c e c e Cách 3.       1 2 0 4 3     2 4 5 0     1 25, 1   1 5 :        11 21 11 21 (1 5) 2 0 4 (3 5) 0 p p p p   11 214 2 0p p Chọn  11 211, 2p p PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 82    2 1:                 12 22 12 22 1 1 2 0 4 3 1 0 p p p p   12 222 2 0p p Chọn   12 221, 1p p  Hệ nghiệm cơ bản là  51 xy e ;  51 2 xz e ; 2 xy e ;  2 xz e  Nghiệm tổng quát:  ;y z , ở đó  51 2x xy c e c e ;  51 22 x xz c e c e Ví dụ 2 (K53) a)         2 3 4 dx x y dt dy x y dt (        5 1 2 5 1 23 t t t t x C e C e y C e C e hoặc         5 1 2 5 1 2 1 3 t t t t x C e C e y C e C e ) b)         3 3 dx x y dt dy x y dt (       1 2 1 2 ( cos3 sin3 ) ( sin3 cos3 ) t t x e C t C t y e C t C t hoặc       1 2 1 2 ( cos3 sin3 ) ( sin3 cos3 ) t t y e C t C t x e C t C t ) Chú ý. Phương pháp toán tử giải được hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số HAVE A GOOD UNDERSTANDING! PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 83 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 12 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE §1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược  Phép biến đổi Laplace  Tính chất của phép biến đổi Laplace  Phép biến đổi Laplace ngược 1. Đặt vấn đề  Thường gặp trong thực tế các phương trình vi phân     ( )mx cx kx F t ;      1 ( )LI RI I E t C tương ứng với hệ thống giảm sóc và chuỗi mạch RLC,  F t và  E t nói chung là gián đoạn, khi đó phương pháp như đã biết khá bất tiện. Có hay không phương pháp tiện lợi hơn?  Phép biến đổi Laplace:      f t s F sL biến phương trình vi phân với ẩn hàm  f t thành một phương trình đại số với ẩn hàm  F s - có lời giải được tìm ra dễ hơn nhiều. Chẳng hạn như đối với phương trình vi phân cấp cao           11 1n n n ny a y a y a y f x , với điều kiện ban đầu nhận được công thức nghiệm tường minh biểu diễn qua tích chập Laplace.  Giải một lớp phương trình vi phân cấp cao với hệ số hàm số (điều này không thể làm được với các phương pháp đã biết), chẳng hạn         4 1 2 2 1 0xy x y x y  Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao                         1 1 1 1 n n k k k n n n nk k n k n y a y f x y a y f x  Giải một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hàm số. 2. Phép biến đổi Laplace  Định nghĩa:           0 ( ) ,stF s f t s e f t dtL ở đó  ,s f t  Nhận xét. Phép biến đổi Laplace xác định với  ,s f t . Nhưng trong chương này ta chỉ cần sử dụng  ,s f t Ví dụ 1. Tính   1 sL PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 84                       00 1 1 1 limst st bs b e dt e e s s s  1 s ,  0s  Không tồn tại   1 sL khi  0s . Ví dụ 2.    , 0atf t e t . Tính   ,ate aL .                       ( ) 00 0 lim b s a t at st at s a t b e e s e e dt e dt s a L         1lim 1 s a b b e s a   1 s a , nếu s a  Phân kì khi s a Ví dụ 3. Cho     , 1af t t a . Tính   f tL và   ,nt nL        0 a st at s e t dtL .  Đặt    uu st t s ,  dudt s có           1 1 0 1 ( 1) , 0a u aa a at e u du s s s L (2.1)      1 ! , 0n n nt s s L 3. Tính chất của phép biến đổi Laplace Định lý 1. Tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace Cho  , là hằng số và     f t sL và    g t sL , khi đó       f t g t sL           ,f t s g t s sL L Chứng minh. +)                0 stf g s e f t g t dtL +)          0 lim b st b e f t g t dt +)            0 0 lim lim b b st st b b e f t dt e g t dt +)            0 0 st ste f t dt e g t dt +)      f gL L . Ví dụ 4. Tính   32 23 4t tL PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 85  Ta có        1 2                       5 3 3 31 2 2 2 2                 3 1 3 1 1 31 . . 2 2 2 2 2 4         3 32 22 23 4 3 4t t t tL L L Sử dụng (2.1) ta có       2 3 3 3 2! , 0t s s s L             3 2 5 5 2 2 5 32 4. t s s L                3 2 2 3 5 2 5 2! 23 4 3. 4t t s s L   3 5 6 3 s s Ví dụ 5. Tính        cosh , sinh , cos , sinkt kt kt ktL L L L          cosh 2 kt kte ektL L      1 2 kt kte eL L  Theo ví dụ 2 có         1 1 1cosh 2 kt s k s k L    2 2 , 0s s k s k  Tương tự    2 2 sinh kkt s k L ,   0s k        0 cos cosstkt s e kt dtL      2 2 0 sin cos ste k kt s kt s k  2 2 s s k (hoặc         cos 2 ikt ikte ektL L       1 1 1 2 s ik s ik   2 2 , 0s s s k )  Tương tự     2 2 sin , 0kkt s s k L Ví dụ 6. Tính  2 23 2sin 3te tL   2 23 2sin 3te tL    23 1 cos6te tL         23 1 cos6te tL L L      2 3 1 2 36 s s s s        3 2 3 144 72 , 2 ( 2)( 36) s s s s s s PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 86 4. Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa. Nếu      F s f t sL thì ta gọi  f t là biến đổi Laplace ngược của  F s và viết      1f t F sL Ví dụ 7 a.         1 2 2 cos , 0 s kt s s k L ; b.          1 2 2 cosh , 0 s kt s k s k L  f t  F s 1 1 s (  0s ) t 2 1 s (  0s )   0nt n 1 ! n n s (  0s )  ( 1)at a    1 ( 1) a a s (  0s ),       1 0 s ts t e dt ( Re 0s ) ate  1 s a ( s a ) coskt 2 2 s s k (  0s ) sinkt 2 2 k s k (  0s ) coshkt 2 2 s s k ( s k ) sinhkt 2 2 k s k ( s k )  u t a ase s (  0s ), a>0 Bảng 4. 1. 2. Bảng các phép biến đổi Laplace c.   1 54 4.5 tesL +)    54 4 5 te s L +)   54 teL +)   1 54 45 tesL d.        1 3 4 2 1 3 t s L +)    34 4 2 2 3! 1. 3! 3 t s s L +)   313 tL +)      1 34 2 1 3 t s L PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 87 Nhận xét. Phép biến đổi ngược Laplace có tính chất tuyến tính. Thật vậy, ta có +)         F G f gL L    f gL +)        1 1F GL L L +) Từ đó và từ định nghĩa có             1 1 1F G F GL L L . Định nghĩa. Hàm số  f t được gọi là liên tục từng khúc trên  ;a b nếu như   f t liên tục trên mỗi khoảng nhỏ (ở đó  ;a b được chia thành hữu hạn khoảng nhỏ)   f t có giới hạn hữu hạn khi t tiến tới hai điểm biên của mỗi đoạn này. Hình 4.1.3. Đồ thị của hàm liên tục từng khúc. Các dấu chấm chỉ ra các giá trị mà hàm số gián đoạn Hình 4.1.4. Đồ thị của hàm đơn vị bậc thang Ví dụ 8. Tính    , 0au t aL ,           0 1 .a t a u t u t a t a                      0 ( ) lim bst st st a a b t aa e u t e u t dt e dt s L        1. lim sa sb b e e s     , 0, 0 ase s a s Định nghĩa. Hàm f được gọi là bậc mũ khi  t nếu tồn tại các hằng số không âm , ,M c T sao cho     ,ctf t Me t T Định lý 2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace Nếu hàm f liên tục từng khúc với  0t và là bậc mũ khi  t thì tồn tại      ,f t s s cL . PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 88 Chứng minh. +) Từ giả thiết f là bậc mũ khi t      , 0ctf t Me t +) Ta có   0 b ste f t dt      0 0 . b b st st cte f t dt e Me dt       0 , b s c t MM e dt s c s c . +) Cho  b có              0 ,st MF s e f t dt F s s c s c . Từ đó, khi cho  s , ta có Hệ quả. Nếu  f t thỏa mãn giả thiết của Định lý 2 thì  lim ( ) 0 s F s Chú ý.  Một hàm hữu tỉ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) là ảnh của phép biến đổi Laplace  Định lí 2 không là điều kiện cần, ví dụ: Hàm  1( )f t t không liên tục từng khúc tại  0t và là bậc mũ khi  t , nhưng ở ví dụ 3 có            1 2 1 2 1 2t s s L . Định lý 3. Sự duy nhất của biến đổi Laplace nghịch đảo Giả sử rằng các hàm    ,f t g t thỏa mãn giả thiết của Định lý 2 để tồn tại      F s f t sL ,      G s g t sL . Nếu    F s G s ,  s c thì có    f t g t tại t mà cả hai hàm liên tục. Ví dụ 9. Dùng bảng tính biến đổi Laplace của các hàm số sau a)  2( ) cosf t t b) ( ) sin2 cos3f t t t c)  2( ) cosh 3f t t d)   2( ) (2 )f t t e) ( ) tf t te f)   3( ) 2 tf t t e Ví dụ 10. Dùng bảng tính biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau a)  3 2( )F s s b)   2( ) 3 F s s c)  2 4 2( ) 4 sF s s d)   2 5 2( ) 9 sF s s e)   1 5( ) 3 sF s s e f (K60)  3 1( )F s s s (  ( ) 1 oscf t t ) Chú ý  Hai hàm liên tục từng khúc, là bậc mũ và bằng nhau qua phép biến đổi Laplace chỉ có thể khác nhau tại những điểm gián đoạn cô lập. Điều này không quan trọng trong hầu hết các ứng dụng thực tế.  Phép biến đổi Laplace có một lịch sử khá thú vị: Xuất hiện đầu tiên trong nghiên cứu của Euler, mang tên nhà toán học Pháp Laplace (1749-1827) - người đã dùng PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 89 tích phân trong lý thuyết xác xuất của mình, nhưng việc vận dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân lại không thuộc về Laplace mà thuộc về kĩ sư người Anh Oliver Heaviside (1850-1925). HAVE A GOOD UNDERSTANDING! PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 90 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 13 §2. Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu  Phép biến đổi của đạo hàm  Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu  Hệ phương trình vi phân tuyến tính  Những kĩ thuật biến đổi bổ sung 1. Đặt vấn đề  Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng    ( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t cx t f t với điều kiện      0 00 , 0x x x x  So sánh với các phương pháp giải đã học  Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính 2. Phép biến đổi của đạo hàm Định lý 1. Cho  f t liên tục và trơn từng khúc với  0t và là bậc mũ khi  t (tức tồn tại hằng số không âm ,c M và T thoả mãn:  ( ) ,ctf t Me t T (2.1) Khi đó tồn tại   f tL với s c và có           0f t s f t fL L      0sF s f Chứng minh. +)               0 0 st stf s e f t dt e df tL +)         0 0 st ste f t s e f t dt Do    ,ctf t Me t T    0tste f t khi s c +) Từ Định lí 2 (bài 1)      0 ste f t dt hội tụ với s c +) Từ đó ta có           0f s s f s fL L Định nghĩa. Hàm f được gọi là trơn từng khúc trên  ;a b  nó khả vi trên  ;a b trừ ra hữu hạn điểm và  f t liên tục từng khúc trên  ;a b 3. Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Hệ quả. Phép biến đổi của đạo hàm bậc cao Giả sử rằng các hàm số    1, , , nf f f liên tục và trơn từng khúc với  0t và là bậc mũ khi t . Khi đó tồn tại     nf tL với s c và có                      1 2 10 0 0n n n n nf t s f t s f s f fL L                1 2 10 0 0n n n ns F s s f s f f PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 91 Ví dụ 1. Sử dụng Định lí 1, chứng minh rằng a)         1 ! , 1,2,3,n at n n t e n s a L Chứng minh bằng qui nạp +) n = 1:    atf t te     at atf t ate e           10sF s f aF s s a        2 1 F s s a +) n = k:        1 !k at k kt e s a L +)       1 1k at k atkt e t e s a L L       1 1 ! . k k k s a s a         2 1 ! k k s a b)    2 2 2sinh skt kt s k L +) f(t) = t.sinhkt  f(0) = 0 và có +) f'(t) = sinhkt + kt coshkt, f'(0) = 0 f''(t) = 2kcoshkt + k2t sinhkt +)            2 22 cosh sin 0 0k kt k t kt s f t sf fL L +)         2 2 2 2 2 s k k F s s F s s k , ở đó     sinhF s t ktL +)       22 2 2ks F s s k Hình 4. 2. 4. Sử dụng biến đổi Laplace để giải một phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu. Ví dụ 2. Giải phương trình a)    6 0x x x với điều kiện      0 2, 0 1x x  Ta có:        2x t sX sL             2 0 0x t s X x sx xL    2 2 1s X s s PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 92  Thay vào phương trình đã cho có             2 2 1 2 6 0s X s s sX s X s         2 6 2 3 0s s X s s           2 2 3 2 3 3 1 7 1( ) . . ( 3)( 2) 5 3 5 26 s sX s s s s ss s .  Do   1 1 ates aL nên có  3 23 7( ) 5 5t tx t e e là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu. Ví dụ 3. Giải bài toán giá trị ban đầu a)        4 sin3 , 0 0 0x x t x x Bài toán này gắn liền với quá trình chuyển động của một hệ vật – lò xo với tác động của lực bên ngoài) Hình 4. 2. 2. Hệ vật – lò xo thỏa mãn bài toán điều kiện đầu trong Ví dụ 2. Điều kiện đầu của vật là vị trí cân bằng của nó.  Từ điều kiện ban đầu có:               2 20 0x t s X s sx x s X sL  Từ bảng 4.1.2 có    2 2 3sin3 3 t s L .  Thay vào ta có       2 2 34 9 s X s X s s     2 2 3 ( 9)( 4) X s s s      2 2( 4) ( 9) As B Cs D s s  Đồng nhất ta có      3 30, , 5 5 A C B D , do đó      2 2 3 2 1 3. . 10 54 9 X s s s  Do       2 2 2 2 3sin2 , sin3 4 3 t t s s L L nên ta có   3 1( ) sin2 sin3 10 5 x t t t . b)        9 0, 0 3, 0 4x x x x (     43cos3 sin3 3 x t t t ) c)           8 15 0, 0 2, 0 3x x x x x (      3 51 7 3 2 t tx t e e ) d)        4 cos , 0 0, 0 0x x t x x (      1 cos cos2 3 x t t t ) e)        9 1, 0 0, 0 0x x x x (      1 1 cos3 9 x t t ) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 93 Nhận xét. Như vậy phương pháp biến đổi Laplace cho lời giải trực tiếp tìm nghiệm của bài toán giá trị ban đầu mà không cần phân biệt đó là phương trình vi phân thuần nhất hay là không thuần nhất. 4. Hệ phương trình vi phân tuyến tính  Phép biến đổi Laplace có khả năng biến đổi hệ phương trình vi phân tuyến tính thành một hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4. a) Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính          2 6 2 , 2 2 40sin3 x x y y x y t với điều kiện ban đầu            0 0 0 0 0x x y y  Đây là bài toán giá trị ban đầu xác định hàm dịch chuyển  x t và  y t của hệ hai vật thể được chỉ ra trong Hình 4.2.5, giả sử rằng lực    40sin3f t t là tác động bất ngờ tới vật thể thứ hai tại thời điểm t = 0 khi cả hai vật thể đang ở trạng thái tĩnh tại vị trí cân bằng của chúng. Hình 4. 2. 5. Hệ vật thể thỏa mãn điều kiện đầu trong Ví dụ 3. Cả hai vật thể đang ở vị trí cân bằng.  Từ điều kiện ban đầu có               2 20 0x t s X s s x x s X sL  Tương tự       2y t s Y sL  Do    2 3sin3 9 t s L , thay vào hệ phương trình có hệ phương trình sau:           2 2 2 2 ( ) 6 ( ) 2 ( ) 120( ) 2 ( ) 2 ( ) 9 s X s X s Y s s Y s X s Y s s             2 2 2 ( 3) ( ) ( ) 0 1202 ( ) ( 2) ( ) 9 s X s Y s X s s Y s s        2 2 ( 3) 1 2 ( 2) s s   2 2( 1)( 4)s s      1 2 2 0 1 120 2 9 s s  2 120 9s ;      2 2 2 3 0 120 2 9 s s     2 2 120 3 9 s s  Do đó      2 2 2 120 ( 4)( 9)( 1) X s s s s      2 2 2 5 8 3 1 4 9s s s  Do đó     5sin 4sin2 sin3x t t t t  Tương tự có        2 2 2 2 120( 3) ( 4)( 9)( 1) s Y s s s s      2 2 2 10 8 18 ( 1) 4 9s s s  nên có     10 sin 4sin2 6sin3y t t t t PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 94 Hình 4. 2. 6. Các hàm định vị  x t và  y t trong Ví dụ 3 a). b)                 2 0, 0 0 0, 0 1 x y x x x y y y Tác động toán tử Laplace, sử dụng điều kiện ban đầu có                         2 1 0 1 0 sX s sY s X s sX s sY s Y s                       1 2 2 1 1 s X s sY s sX s s Y s Giải hệ 2 phương trình tuyến tính cấp 1 ta có +)          2 22 2 2 1/ 3 . 33 1 1/ 3 X s s s        2 sinh 3 3 tL             2 2 22 3 1 1/ 3 3 1 1/ 3 1/ 3 s s s Y s s s s     22 1 1/ 3 . 3 1/ 3s             1 cosh sinh 3 3 3 t t L L +)     2 sinh 3 3 tx t ,     1cosh sinh 3 3 3 t ty t c)              2 , 0 0 0t x x y y x e x y (                2 22 13 , 6 9 9 t t t t t tx t e e te y t e e te ) d)                        2 4 0, 0 0 0 2 0, 0 0 1 x x y x y y x y x y (             1 12 3sin2 , 2 3sin2 4 8 x t t t y t t t ) e (K55) 1/                 3 0, 0 0 0, 0 2 x y x x x y y y (       3sinh , 2cosh sinh 2 2 2 t t tx t y t ) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 95 2/                  3 0, 0 0 0, 0 2 x y x x x y y y (       3 2 sin , 2cos 2 sin 2 2 2 t t tx t y t ) f (K56) 1)            3 2 2 3 sin 3 x x y y x y t ,            0 0 0 0 0x x y y 2)            2 2 3 sin 3 3 x x y t y x y ,            0 0 0 0 0x x y y g (K58)             3 , (0) 0 (0) 2 2 , (0) 0, (0) 1 x x y x x y x y y y ,             1( ) (2sin sin2 ) 6 1 ( ) (sin2 4sin ) 6 x t t t y t t t 5. Những kỹ thuật biến đổi bổ sung Ví dụ 5. Chứng minh rằng       2 1atte s a L  Đặt    atf t te thì có      0 0, at atf f t e ate . Do đó có             at at ate ate f t s f t s teL L L L  Do phép biến đổi tuyến tính nên có:       at at ate a te s teL L L  Do đó           2 1atat ete s a s a L L (Do     1ate s a L ) Ví dụ 6. Tìm  sint ktL Đặt    sinf t t kt thì có          0 0, sin cos , 0 0f f t kt kt kt f      22 cos sinf t k kt k t kt  Mặt khác        2f t s f tL L ,    2 2 cos skt s k L nên có       2 2 2 2 2 sin sinks k t kt s t kt s k L L  Do đó    2 2 2 2 sin ( ) ks t kt s k L Định lí 2. Phép biến đổi của tích phân Nếu  f t liên tục từng khúc với  0t và là bậc mũ khi  t thì                 0 1 ( ) t F s f d f t s s L L với s c PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 96 hay là:       1 0 ( ) t F s f d s L      1 0 t F dL Chứng minh. +) f liên tục từng khúc        0 t g t f d liên tục, trơn từng khúc với  0t và có          0 0 t t cg t f d M e d    1ct ctM Me e C C   g t là hàm bậc mũ khi t +) Sử dụng định lí 1 ta có              0f t g t s g t gL L L +) Do   0 0g nên ta có                    0 1 t f d g t f t s L L L Ví dụ 6. Tìm nghịch đảo của phép biến đổi Laplace của  2 1 ( ) ( ) G s s s a  Ta có                1 1 1 1 ( ) s a s s a s L L     1 0 1 t d s a L      0 1 1 t a ate d e a  Từ đó và tiếp tục có                1 1 2 1 1 ( ) s s a ss s a L L          1 0 1 t d s s a L     0 1 1 t ae d a               20 1 1 1 ( 1) t a ate e at a a a . HAVE A GOOD UNDERSTANDING! PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 97 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 14 §3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản  Quy tắc phân thức đơn giản  Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai 1. Mở đầu. Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có nghiệm là biến đổi Laplace nghịch đảo của hàm hữu tỉ  ( )( ) ( ) P sR s Q s Cần đưa ra kĩ thuật cho phép tính  1 ( )R sL được thuận lợi. 2. quy tắc phân thức đơn giản a) Quy tắc 1. Phân thức đơn giản tuyến tính Nếu ( )Q s có   ns a thì  R s có các số hạng sau             1 2 2 ... , , 1, n in A A A A i n s a s a s a b) Quy tắc 2. Phân thức đơn giản bậc hai Nếu  Q s có    2 2 ns a b thì  R s có dạng                            1 1 2 2 2 22 2 22 2 ... n n n A s B A s B A s B s a b s a b s a b ở đó  , , 1,i iA B i n Định lí 1. Biến đổi trên trục s Nếu  ( ) ( )F s f tL tồn tại với s c , thì tồn tại  ( )ate f tL với  s a c và có      ( ) ( )ate f t F s a f t s a   L L . Hay tương đương với      1 1( ) ( )at atF s a e f t e F s t   L L Chứng minh. Ta có            0 s a tF s a e f t dt         0 st ate e f t dt     ,ate f t s a cL Từ kết quả này và từ bảng 4.1.2 có  f t  F s at ne t      1 ! ,n n s a s a (2.1) cos( )ate kt      2 2 , s a s a s a k (2.2) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 98 sin( )ate kt     2 2 , k s a s a k (2.3) Ví dụ 1. Tìm phép biến đổi Laplace ngược của a)     2 3 2 1 ( ) 2 8 s R s s s s                2 1 2 4 2 4 s A B CR s s s s s s s         2 1 ( 2)( 4) ( 4) ( 2)s A s s Bs s Cs s .  Thay  0s ,  2s , và  4s ta có  8 1A , 12 5B , 24 17C    1 8 A ;  5 12 B ,  17 24 C          1 1 5 1 17 1. . . , 8 12 2 24 4 R s s s s        1 2 41 5 17 . 8 12 24 t tR s e eL b (K54) 1)       2 4 2 2 5 4 s sF s s s (        1 2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2 3 f t t t t t ) 2)       2 4 2 2 3 2 s sF s s s (        2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2f t t t t t ) c (K60) 1)     2( 3) 4 sF s s (     3 3 3cos 2 sin 2 2 t tf t e t e t ) 2) Tính   2( ) ( )tL e t s (    3 2 1 2 2 2 ( 1)s s s , s>2) 3) Tính      3 sin( ) ( ) 4 tL e t s (     2 2 1 1 3[ ] ( 3) 1 ( 3) 12 s s s , s>3) Ví dụ 2. Giải bài toán giá trị ban đầu     24 4y y y t ;  (0) (0) 0.y y  Tác động phép biến đổi Laplace ta có   2 3 2( ) 4 ( ) 4 ( ) .s Y s sY s Y s s            3 2 3 2 2 2 ( ) 2( 2) 2 A B C D E Y s s ss s s s s  Đồng nhất các hệ số ta có         3 2 2 3 31 1 1 8 82 2 4( ) 22 Y s s ss s s       2 2 2 1 1 3 1 3( ) 4 2 8 4 8 t ty t t t te e . PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 99 Ví dụ 3. Xét một hệ con lắc lò xo với  1 2 m ,  17k ,  3c đơn vị (mét, kilôgam, giây). ( )x t là khoảng dịch chuyển của khối lượng m từ vị trí cân bằng của nó. Nếu khối lượng được đặt ở vị trí (0) 3x , '(0) 1x . Tìm ( )x t là hàm của dao động tự do tắt dần. Hình 4.3.1. Hệ khối lượng-lò xo và vật cản của Ví dụ 1  Ta có phương trình vi phân tương ứng với bài toán là:     1 3 17 0 2 x x x với điều kiện ban đầu (0) 3x ;  (0) 1x  Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế, chú ý   0 0L ta có          2 ( ) 3 1 6 ( ) 3 34 ( ) 0s X s s sX s X s                2 2 2 3 19 3 5 ( ) 3. 2 6 34 3 25 3 25 s s X s s s s s  Sử dụng (2.2), (2.3) có   3( ) 3cos5 2sin5tx t e t t Hình 4.3.2. Hàm vị trí ( )x t trong Ví dụ 1. Từ hình ta thấy đồ thị của dao động tắt dần. Ví dụ 4. a) Xét hệ con lắc lò xo - giảm xóc như trong Ví dụ 3, tuy nhiên với điều kiện  (0) (0) 0x x và với một lực tác động bên ngoài ( ) 15sin2F t t . Tìm chuyển động tức thời và ổn định của khối lượng đó.  Ta cần giải bài toán với giá trị ban đầu   " 6 ' 34 30sin2x x x t ;  (0) '(0) 0x x .  Tác động phép biến đổi Laplace vào ta có     2 2 60( ) 6 ( ) 34 ( ) 4 s X s sX s X s s                     2 22 2 60 44 ( 3) 25 3 25 As B Cs DX s ss s s .  Đồng nhất ta có   10 29 A ,  50 29 B ,   10 29 C D . Vì vậy, PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 100                                   2 2 2 2 1 10 50 10 10 1 10 25.2 10( 3) 4.5 . 29 294 43 25 3 25 s s s sX s s ss s  Do đó        35 2( ) 2cos2 5sin2 5cos5 2sin5 29 29 tx t t t e t t . b)                3 6 0, 0 0, 0 0 1x x x x x x +)                 3 21 1 6 0s X s s s X s sX s +)     3 2 2 6 sX s s s s          1 5 1 6 15 3 2s s s +)          3 21 5 1 6 15 t te eL L L     2 31 6 515 t te eL +)      2 31 6 5 15 t tx t e e c)          6 8 2, 0 0 0x x x x x (      2 41 1 2 4 t tx t e e d)          4 8 , 0 0 0tx x x e x x (         2 1 2 2cos2 sin2 10 t tx t e e t t ) e)                  4 30, 0 1, 0 0 0 0x x x x x x (      1 cosh cos 2 x t t t ) f)                     4 313 36 0, 0 0 0, 0 2, 0 13x x x x x x x (     1 1sin2 sin3 2 3 x t t t ) g)                    4 2 32 , 0 0 0 0 0tx x x e x x x x (            2 1 2 10 2 cos 5 14 sin 50 tx t e t t t t ) h)           6 18 cos2 , 0 1, 0 1x x x t x x (         3 1 1489cos3 307sin3 7cos2 6sin2 510 170 tx t e t t t t ) I (K54) 1)                3 12 0, 0 0, 0 0 1x x x x x x (      3 4 1 5 1 6 21 14 t tx t e e ) 2)                3 20 0, 0 0, 0 0 1x x x x x x (      4 5 1 1 1 10 6 15 t tx t e e ) k (K55) 1/          4 3 4 0, 0 0 0 0, 0 1x x x x x x x          ( 2 2 1 1 1sin 5 20 20 t tt e e   ) 2/          4 8 9 0, 0 0 0 0, 0 1x x x x x x x          ( 3 31 1 1sin 10 60 60 t tt e e   ) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 101 l (K56) 1/             6 44 4 sinh2 , 0 0, 0, 5kx x x x t x k . . .. . .       sinh2 sin2 sinh sin 20 15 t t t t 2/             6 44 4 sin2 , 0 0, 0, 5kx x x x t x k ,       sinh2 sin2 sinh sin 20 15 t t t t m (K58)           4 4 0 (0) 0 0 (0), (0) 1.x x x x x x ( 1 sin sinh2 2 t t ) n (K60) 1)             3 2 (0) 0 0 (0)tx x x x e x x x (   2 1 1 1 1 3 12 2 4 t t t te e te e ) 2)            4 (3)8 9 0 (0) 0 0 , (0) (0) 1x x x x x x x (  os1 31 1 sin3 10 10 30 t te c t ) 3)             3 5 28 34 0 (0) 0 0 , (0) 1x x x x x x x (   3 3os51 1 4 sin5 41 41 205 t t te te c e t ) 3. Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai Hay dùng hai phép biến đổi Laplace ngược của hàm phân thức đơn giản trong trường hợp phân tích lặp bậc hai (nhận được khi sử dụng kỹ thuật như ở Ví dụ 5, Bài 13)              1 22 2 1 sin 2 s t kt ks k L ;               1 2 32 2 1 1 (sin cos ) 2 kt kt kt ks k L Ví dụ 5. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán với giá trị ban đầu   20 0 sinx x F t  ;  (0) 0 (0)x x  Tác động phép biến đổi Laplace vào có    2 2 0 0 2 2( ) ( ) F s X s X s s           0 2 2 2 2 0 ( ) F X s s s             0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1F s s      ,  0   tìm được  x t  Nếu  0  ta có     0 0 22 2 0 ( ) F X s s   , khi đó   0 0 0 02 0 ( ) sin cos 2 F x t t t t    PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 102 Hình 4.3.4. Nghiệm cộng hưởng trong (18) với 0 1 2  và 0 1F , cùng với đường bao của nó   ( )x C t Ví dụ 6. Giải bài toán với giá trị ban đầu     4 2 " 4 ty y y te ;    (3)(0) '(0) "(0) (0) 0y y y y .  Có    2( ) ( )y t s Y sL ,    4 4( ) ( )y t s Y sL ,       2 1 1 tte s L .  Tác động phép biến đổi Laplace vào có         4 2 2 4 2 1 ( ) 1 s s Y s s .   2 2 2 2 2 22 4 ( ) 1( 1) ( 1) ( 1) 11 A B Cs D E s FY s ss s s ss             Dùng hệ số bất định có               2 2 22 1 2 2 2 1 1 11 1 s s Y s s ss s  Do đó      ( ) ( 2) 1 sin 2costy t t e t t t . HAVE A GOOD UNDERSTANDING! PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 103 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 15 §4. Đạo hàm, Tích phân, và tích các phép biến đổi Tích chập của hai hàm Vi phân của phép biến đổi Tích phân của phép biến đổi 1. Mở đầu  Phép biến đổi Laplace của nghiệm của một phương trình vi phân đôi khi là tích của các biến đổi của hai hàm đã biết.  Chẳng hạn, xét bài toán với giá trị ban đầu  " cosx x t ;  (0) '(0) 0x x ,  Tác động phép biến đổi Laplace ta có:             2 20 0 1 ss X s sx x X s s        2 2 1( ) . cos . sin 1 1 sX s t t s s L L .  Mặt khác ta có               2 2 2 22 1 1 2 1 cos .sin sin2 . 2 2 2 4 1 s t t t s s s L L .  Do đó      cos sin cos . sint t t tL L L  Rõ ràng rằng, để giải được bài toán trên, ta cần tìm hàm  h t sao cho        cos . sinh t t tL L L 2. Tích chập của hai hàm Định nghĩa. Tích chập đối với phép biến đổi Laplace của hai hàm ,f g liên tục từng khúc được định nghĩa với như sau:       0 ( )( ) ( ) ( ) , 0 t f g t f g t d t  Tích chập là giao hoán Ví dụ 1 a) Tính    cos sint t  Ta có          0 cos sin cos sin( ) t t t t d      0 1 sin sin(2 ) 2 t t t d           0 1 1 sin cos(2 ) 2 2 t t t         1 1 1 sin cos cos 2 2 2 t t t t  1 sin 2 t t . b)  att e (   2 1ate at a ) c) 2 cost t (  2 sint t ) Định lí 1.  Giả sử    ,f t g t liên tục từng khúc với  0t   f t ,  g t bị chặn bởi ctMe khi  t , các số ,M c không âm. Khi đó ta có       ( ) ( ) ( ) . ( )f t g t f t g tL L L và    1 ( ). ( ) ( ) ( )F s G s f t g tL Chứng minh.  Có    0 ( ) ( )suG s e g u du          ( ) ( ) u t s te g t dt PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 104  Do đó ( )G s      0 ( )s ste e g t dt  Với    0g u khi  0u , có            0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s sF s G s G s e f d e f G s d                     0 0 ( ) ( )s s ste f e e g t dt d                  0 0 ( ) ( ) .ste f g t dt d  Từ giả thiết đã cho đổi thứ tự lấy tích phân có                  0 0 ( ) ( ) ( ) ( )stF s G s e f g t d dt                 0 0 ( ) ( ) t ste f g t d dt      0 ( ) ( ) ,ste f t g t dt  Do đó   ( ) ( ) ( ) ( )F s G s f t g tL . Ví dụ 2 a) Cho    sin2f t t ,    tg t e . Tính               1 2 2 1 4s s L  Ta có    2 2sin2 4 t s L ,     1 1 te s L                       1 2 0 2 sin2 sin2 1 4 t t tt e e d s s L                      00 sin2 sin2 2cos2 5 tt t t ee e d e                 1 sin2 2cos2 2 5 5 t t ee t t     2 1 2sin2 cos2 5 5 5 te t t b)          1 2 1 4s s L (  1 1 cos2 4 t ) c)          1 2 2 2 1 s s k L (  3 sinkt kt k ) d)           1 2 1 4 5s s s L (     2 1 1 2sin cos 5 te t t ) 3. Vi phân của phép biến đổi PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 105 Định lí 2. Giả sử ( )f t liên tục từng khúc với  0t , | ( ) | ctf t Me khi  t , các số ,M c không âm thì có    ( ) '( ),tf t F s s cL (3.1)        1 11( ) ( ) '( )f t F s F s t L L (3.2) Tổng quát ta có     ( )( ) ( 1) ( ), 1,2,3,...n n nt f t F s nL (3.3) Chứng minh. +) Từ giả thiết      0 ste f t dt hội tụ tuyệt đối, đều và     ste f t s liên tục, s c +) Do đó               0 0 st std dF s e f t dt e f t dt ds ds +)            0 ste tf t dt tf tL +) Ta chứng minh (3.3) bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy,  1n : ta đã có      tf t F sL Giả sử đúng n k , tức có          1 kk kt f t F sL Ta chứng minh đúng với  1n k , thật vậy       1 .k kt f t t t f tL L     kd t f t ds L         1 k kd F s ds         1 11 k kF s Ví dụ 1 a) Tìm  2 sint ktL .  Từ (3.3) ta có          2 2 2 2 2 2sin ( 1) d k t kt ds s k L   2 2 2 2. d k ds s k                2 3 2 32 2 2 2 2 6 2d ks ks k ds s k s k b)  2 cos2t tL (      3 32 2 24 , 0 4 s s s s ) c)   2sintte tL (             2 22 2 2 3 6 7 , 0 1 2 5 s s s s s s ) d)         2 0, 0 0,tx t x x x +) Tác động phép biến đổi Laplace và sử dụng định lí 2 ta có +)               0d dtx x sX s x ds ds L L ,                    2x 0 0 s d dt x s X s s x x d ds L L +) Thay vào phương trình ta có                  2 0 2 0d ds X s x sX s sX s X s ds ds PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 106 +)        1 4 0s s X s sX s , là phương trình vi phân phân li biến số, có nghiệm là       41 A X s s , A  0 +)    3 tx t Ct e , C  0 e)      3 1 3 0tx t x x (    2 3 , 0tx t Ct e C ) f)      2 1 2 0tx t x x (         2 21 , 0t tx t C t e te C ) g (K55) 1/         1 0. 0 0tx t x x x (    2 , 0tx t ct e c ) 2/         2 0. 0 0tx t x x x (    3 , 0tx t ct e c ) h (K57) , (0) 0x  (    2 3 , 0tx t ct e c ) i (K60) , (0) 0x  (    4 4 , 0 4! tCx t t e C ) Ví dụ 2 a) Tìm            1 1 1tan s L .  Do đạo hàm của       1 1tan s là hàm hữu tỉ, từ (3.2) ta có                   1 1 1 11 1 1tan tan d s t ds s L L                        2 1 1 2 2 1 1/ 1 1 1 ( sin ) 1 (1/ ) 1 s t t t ts s L L             1 1 1 sintan t s t L . b)        2 1 2 1 ln 4 s s L (  2 cos2 cost t t ) c)    1 1 3tan 2sL ( 2 sin3te t t ) 4. Tích phân của phép biến đổi Định lí 3. Cho ( )f t liên tục từng khúc đối với  0t ,     0 lim t f t t , | ( ) | ctf t Me khi t , các số ,M c không âm thì có            ( ) ( ) , s f t F d s c t L (4.1)                   1 1( ) ( ) ( ) s f t F s t F dL L (4.2) Chứng minh. (3 1) 3 0tx t x x     (4 3) 4 0tx t x x     PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 107 +) Từ giả thiết      0 ste f t dt hội tụ tuyệt đối và đều, s c +) Ta có                      0 t s s F d e f t dt d +) Từ đó đổi thứ tự tích phân ta có                      0 t s s F d e f t d dt          0 t s e f t dt t +)             0 st f t f te dt t t L Ví dụ 1 a) Tìm      sinht t L .  Ta có      0 0 sinh coshlim lim 1 1t t t t t                 2 sinh sinh 1 s s t d t d t L L                       1 1 1 1 1ln 2 1 1 2 1 ss d   1 1ln 2 1 s s     sinh 1 1ln2 1t st sL b)  1 cos2ttL (    21 ln 4 ln , 02 s s s ) c)       t te e t L (       ln 1 ln 1 , 1s s s ) Ví dụ 2 a) Tìm            1 22 2 1 s s L .  Từ (4.2) có                            1 12 22 2 2 2 1 1s s t d s L L                        1 1 2 2 1 1 .sinh 1 1s t t t t s L L     sinhf t t t thoả mãn định lí 3. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 108              1 22 2 sinh . 1 s t t s L b)            1 32 1 s s L (   21 sin cos 8 t t t t ) 5. Phép biến đổi của hàm liên tục từng khúc a) Đặt vấn đề  Các mô hình toán học trong hệ cơ học hay hệ điện thường liên quan đến các hàm không liên tục tương ứng với các lực bên ngoài bất ngờ đảo chiều bật hay tắt.  Hàm đơn giản bật, tắt là hàm bậc thang đơn vị tại t a (hàm Heaviside)         0 ( ) 1a t a u t u t a t a có đồ thị như sau Hình 4.5.1. Đồ thị của hàm đơn vị bậc thang b) Phép tịnh tiến trên trục t Định lí 4. Nếu { ( )}f tL tồn tại với s c , thì có        ( ) ( ) ( )as asu t a f t a e F s e fL L (2.1) và             1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),ase F s u t a f t a u t a F t a s c aL L (2.2) Hình 4.5.2. Tịnh tiến của  f t về phía phải a đơn vị PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 109 Chứng minh. +) Ta có              0 as s ae F s e f d +) Đổi biến  t a , ta có        as st a e F s e f t a dt +) Do              0, , t a u t a f t a f t a t a , nên có                    0 as ste F s e u t a f t a dt u t a f t aL . Ví dụ 1. Cho  2 1( ) 2 f t t . Tính           1 3 ase s L  Từ (2.2) có           1 3 ase s L            1 3 1 u t a t a s L       21 2 u t a t a        2 0 1 ( ) 2 t a t a t a Hình 4.5.3. Đồ thị của biến đổi ngược trong Ví dụ 1 Ví dụ 2. Cho     2 0 3 ( ) 3 t g t t t . Tìm   g tL  Do    2g t t nên có   2( ) ( 3)f t t        2 3 22 6 9( ) 6 9F s t t ss sL  Từ định lí có                  3 3 3 2 2 6 9 ( ) ( 3) ( 3) ( )s sg t u t f t e F s e ss s L L Ví dụ 3 a) Tìm  ( )f tL nếu        cos2 0 2 ( ) 0 2 t t f t t PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 110               ( ) 1 2 cos2 cos2 ( 2 )cos2 2f t u t t t u t t  Từ định lí 1 có               2 2 2 (1 ) ( ) cos2 cos2 4 s s s ef t t e t s L L L . b)          1, 1 4 0, 0 1 và 4 t f t t t (      4s se e F s s ) c)         cos , 0 2 0, 2 t t f t t (         2 2 2 1 ss e F s s ) d)        , 0 1 1, 1 t t f t t (     2 1 seF s s ) Ví dụ 4. Một vật nặng 32 lb (1 lb = 450 g) được gắn tự do vào một lò xo bị căng ra 1 ft bởi một lực 4 lb. Khối lượng này ban đầu ở vị trí cân bằng. Bắt đầu tại thời điểm  0t (lần thứ hai), một lực ở bên ngoài ( ) cos2f t t được tác động vào vật này. Tuy nhiên tại thời điểm  2t lực này bị mất đi (đột ngột không liên tục). Sau đó vật này lại tiếp tục chuyển động một cách tự do. Tìm hàm vị trí ( )x t của vật đã cho.  Chuyển về bài toán giá trị ban đầu  " 4 ( )x x f t ;  (0) '(0) 0x x ở đó          cos2 , 0 2 0, 2 t t f t t  Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế ta có      2 2 2 (1 )( 4) ( ) ( ) 4 ss es X s F s s ,          2 2 22 2 ( ) 4 4 ss sX s e s s .  Do              1 22 1 sin2 44 s t t s L ;                    2 1 22 2 ( 2 ). sin2( 2 ) 44 s s te u t t s L  Từ đó ta có                         2 1 1 2222 44 s ss ex t sx L L        1 2sin2 ( 2 ). sin2( 2 ) 4 4 tt t u t t      1 ( 2 ).( 2 ) sin2 4 t u t t t PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 111            1 sin2 , 2 , 4( ) 1 sin2 , 2 . 2 t t t x t t t Ta thấy, vật dao động với tần số   2 và với biên độ tăng tuyến tính đến khi lực được bỏ đi tại thời điểm  2t . Sau đó, vật tiếp tục chuyển động với cùng tần số nhưng với biên độ dao động  2 . Lực ( ) cos2F t t có thể tiếp tục được cộng hưởng, tuy nhiên ta thấy nó bị biến mất ngay lập tức tại thời điểm nó không còn tác động nữa. Ví dụ 5. Giải bài toán giá trị ban đầu            , 0 0 0mx cx kx f t x x a)           1, 0 2 1, 4, 5, 0, 2 t m k c f t t (           2 2x t g t u t g t ,       41 3 4 12 t tg t e e ) b)           , 0 1 1, 1, 0, 0, 1 t t m k c f t t (                1 1 1x t g t u t g t h t ,       sin , 1 cosg t t t h t t ) c (K55) 1/          9 , 0 0 0x x f t x x ,          1, 0 0, t f t t (                1 1 1 cos3 9 x t u t u t t ) 2/          16 , 0 0 0x x f t x x ,          1, 0 0, t f t t (             1 1 1 cos4 16 x t u t t ) d (K57) , (0) 0 (0)x x  (          1 cos 1 cos 1 ( 1)x t t t u t ) Dưới đây là các bảng công thức : ( ),x x f t   1 ( ) 0 f t     0 1t  1t  PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 112 BẢNG 2  f t    f t sL 1  ate f t    f t s aL 2     u t a f t a     L , 0ase f t s a 3  nt f t      1 n n n d f t s ds L 4   f g t        .f t s g t sL L 5  f t t        s f t dL 6    nf t                 1 2 10 0 0n n n ns f t s s f s f fL 7    0 t f d    1 f t s s L BẢNG 3  F s    1 F s tL 1  F s      11 F s t t L 2  F s                1 s t F d tL 3  F s a    1ate F s tL 4  ase F s       1u t a F s t aL 5    F s G s         1 1F s G s tL L 6  F s s      1 0 t F s dL THE END. Thank you and good bye!