Toán cao cấp - Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến

Bài 30: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất ngắn hạn là Q L  50 Cho biết giá 1 đơn vị sản phẩm là 40 ngàn VNĐ và giá tiền công một lao động là 50 ngàn VNĐ. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. Bài 31: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là   1200 . Q P D Tổng chi phí để đạt mức sản lượng Q là C Q Q Q     0, 25 30,625 1528, 5 20000. 3 2 a) Hãy tìm mức sản lượng và giá bán để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. b) Giả sử hiện nay năng lực doanh nghiệp chỉ cho phép sản xuất tối đa 72 đơn vị sản phẩm. Hãy xác định mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Bài 32: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là   2 148 . Q P D 3 Hàm chi phí biên tế là MC Q Q    3 6 132. 2 Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. Bài 33: Một nhà sản xuất bán 1000 chiếc TV màn hình phẳng/tuần với giá 450$/chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy nếu người mua được giảm 10$/chiếc thì số lượng TV bán được sẽ tăng lên thêm 100 chiếc/tuần. a) Tìm hàm cầu. b) Công ty cần đưa ra mức giảm giá là bao nhiêu để tối đa hóa doanh thu? c) Nếu hàm chi phí hàng tuần là C Q   68000 150 thì nhà sản xuất cần đưa ra mức giảm giá là bao nhiêu để tối đa hóa lợi nhuận? Bài 34: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là   2640 . Q P D Tổng chi phí để đạt mức sản lượng Q là C Q Q    2 1000 100. a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để thu được của xí nghiệp nhiều thuế nhất. b) Nếu ta muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 300 đơn vị sản phẩm thì ta có thể định mức thuế tổng trên một đơn vị sản phẩm tối đa là bao nhiêu. Bài 35: Một công ty độc quyền nhập khẩu một loại hàng. Hàm cung và hàm cầu của loại hàng trên khi chưa có hàng nhập là Q P S    200 và Q P D   4200 (P là đơn giá). Giá bán một đơn vị hàng đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế) là P  1600 đơn vị tiền. a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị hàng nhập để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất của công ty. b) Nếu muốn đơn giá bán loại hàng trên tại thị trường nội địa không thấp hơn 990 thì mức thuế nhập khẩu ít nhất là bao nhiêu? Bài 36: Một công ty độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Hàm cung và hàm cầu của mặt hàng tại thị trường nội địa là Q P S    20 và Q P D   400 (P là đơn giá). Giá bán một đơn vị hàng đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế) là P  310 đơn vị tiền. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị hàng để thu được từ công ty nhiều thuế nhất.

pdf16 trang | Chia sẻ: honghp95 | Ngày: 04/12/2020 | Lượt xem: 180 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Toán cao cấp - Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
15/10/2018 1 LOG O Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến §2. Đạo hàm và vi phân cấp cao §3. Ứng dụng trong toán học §4. Ứng dụng trong kinh tế 2 §1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến 3 I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu , được tính bởi 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x     0 0( ) ( )y x f x  nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. 0( )f x 4 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số 2ln(1 ) khi 0 ( ) 0 khi 0 x x f x x x        tại 0 0.x  Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x      Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x       5 Định lý 1.5: 0 0 0( ) ( ) ( )f x L f x f x L         Ví dụ 1.2: Xét sự khả vi của hàm số 1 , 1, ( ) (1 )(2 ), 1        x x f x x x x tại 0 1.x 6 Định lý 1.6: f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 2( ) khi 0 ( ) khi 0       xe x x x f x m x có đạo hàm tại 0 0.x  15/10/2018 2 7 Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn): Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b]. -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a,b). -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có đạo hàm trên (a,b) và có tại mọi điểm x thuộc (a,b). II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: 8 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2 ( . ) . ( ) ( . ) . . . . k u k u u v u v u v u v u v u u v u v v v                    2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó  ( ) ( ). ( )  y x u x y u x 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có ( ), ( )u u x v v x  9 Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) arctany x b) 2(arcsin )y x c) 2arctan ln 1  x x xy e e e d) 32( 1)  xy x Ví dụ 1.5: Nếu , trong đó  ( ) ( )F x f g x ( 2) 8, f ( 2) 4,  f (5) 3, f (5) 2, g (5) 6. g Tìm (5).F III. Vi phân cấp một: 10 Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là ( ) ( )df x f x dx dy y dx hay Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số 2 .xy e 11 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì 1) ( ) .d u v du dv   2) ( . ) . .d k u k du 3) ( . ) .d u v vdu udv  2 4) .u vdu udvd v v        Ví dụ 1.7. Tính 3) ( )xa d x e 3) ( )xb d x e 3 ) x xc d e       12 §2. Đạo hàm và vi phân cấp cao 15/10/2018 3 I. Đạo hàm cấp cao: 13 Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) là Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là y  ( ) ( )y f x f x     ( ) ( ) ( 1)( ) ( )n n ny f x f x      Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba, cấp bốn, cấp n của hàm số , .kxy e k const  14 Định lý 2.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó ( ) ( ) ( ) 0 ( . ) n n k k n k n k u v C u v    Ví dụ 2.3. Tính của hàm số 2 2 .xy x e (20)y Ví dụ 2.2. Cho hàm số Chứng minh sin .y x x 2( sin ) 0.    xy y x xy II. Vi phân cấp cao: 15 Định nghĩa 2.3. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là  1 ( )n n n nd y d d y y dx  Ví dụ 2.4. Cho Tính 3(2 3) . y x 2 3, , .dy d y d y 16 §3. Ứng dụng trong toán học I. Quy tắc L’Hospital khử các dạng vô định: 17 Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) hay và tồn tại thì 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x     0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x      0 ( ) lim ( )x x f x g x   0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( )x x x x f x f x g x g x     18 Chú ý 3.2.  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. 0 0 hoặc .   15/10/2018 4 19 Ví dụ 3.1. Tính các giới hạn sau 2 3 22 5 6 )lim 2x x x a x x x      2 20 2 4 )lim 9 3x x b x     30 sin )lim   x x x c x 2 ) lim 3  xx x x d e 2 3 ln ) lim x x e x   0 ) lim sin .ln x f x x 0 1 1 1 )lim t an2 sin     x g x x x cot 0 ) lim(1 sin4 )   x x h x II. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân: 20 ( ) ( ) ( )( )  f x f a f a x aPhép xấp xỉ (*) được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến của f tại a. Hàm tuyến tính ( ) ( ) ( )( )  L x f a f a x a được gọi là tuyến tính hóa của f tại a. 3,98.Ví dụ 3.2: Tính gần đúng giá trị của 21 Đặt . Từ (*), ta có   x x a ( ) ( ) ( )    f a x f a f a x ( ) ( ) ( )    f a x f a f a x ( )  y f a x y là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm một lượng là x 22 Ví dụ 3.3: Để chuẩn bị cho việc lát gạch nền nhà hình vuông, thầy Hiếu đo chiều dài một cạnh được kết quả là 100m. Giả sử, phép đo của thầy có độ chính xác trong phạm vi mm (sai số cho phép). a) Ước tính sai số diện tích nền nhà theo sai số cho phép nói trên. So sánh kết quả đó với sai số thực sự. b) Nếu mỗi viên gạch có diện tích 1 m2 và một hộp gồm 12 viên gạch có giá là 24$ thì thầy Hiếu nên dự trù chi phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo lót đủ gạch cho nền nhà? 6 23 §4. Ứng dụng trong kinh tế I. Trung bình của hàm: 24 Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với nhau y = f(x). Tỉ số được gọi là trung bình của y. ( )  f x Ay x Ví dụ 4.1: Xét hàm tổng doanh thu R = P.Q. Khi đó là doanh thu trung bình. .   P Q AR P Q Ví dụ 4.2: Xét hàm tổng chi phí C = C(Q). Khi đó là chi phí trung bình.( ) C Q AC Q 15/10/2018 5 II. Tốc độ biến thiên: 25 Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với nhau y = f(x). Nếu x biến thiên từ x1 đến x2 thì độ thay đổi của x là và độ thay đổi tương ứng của y là Tỉ số được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương ứng với x. 2 1  x x x 2 1( ) ( )  y f x f x 2 1 2 1 ( ) ( )    f x f xy x x x 26 Tốc độ thay đổi (tức thời) của y tương ứng với x tại x = x1 là 2 1 2 1 10 2 1 ( ) ( ) lim lim ( )        x x x f x f xy f x x x x Ví dụ 4.3: Cho D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới đây biểu thị các giá trị xấp xỉ của hàm này bằng cách cung cấp các con số ước tính vào cuối năm, đơn vị tính là tỷ USD, từ năm 1980 đến năm 2005. 27 a) Tìm mức tăng trưởng trung bình của nợ quốc gia (i) từ năm 1985 đến 1990. (ii) từ năm 1990 đến 1995. b) Ước tính mức tăng trưởng tức thời của nợ quốc gia vào năm 1990 bằng cách lấy trung bình của hai tốc độ biến thiên trung bình. Đơn vị tính của nó là gì? Giải thích ý nghĩa của kết quả đó. II. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm: 28 Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến số kinh tế (x là biến đầu vào, y là biến đầu ra). Gọi 0 .x D Gọi là lượng thay đổi của y tại mức x = x0 khi biến x tăng thêm 1 đơn vị từ x0 lên x0 + 1. Khi đó, được gọi là giá trị cận biên (Marginal value) hay biên tế của biến y tại mức x0. y Trong kinh tế, ta thường quan tâm đến sự biến thiên của y như thế nào tại một mức khi x tăng lên 1 đơn vị từ lên . 0x x 0x 0 1x y 4.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal value): 0 0( 1) ( )   y f x f x 29 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim    x x f x f x f x x x Từ định nghĩa ta đặt và , ta có 0  x x x 0( ) ( )  y f x f x 0 0 ( ) lim     x y f x x 0( ).   y f x x Khi thì . Nghĩa là, là xấp xỉ của giá trị cận biên của y tại mức x0. 1 x 0( ) y f x 0( )f x 30 0 .x D Hàm số được gọi là hàm biên tế (hàm cận biên) của biến y. ( )My f x Giá trị được gọi là biên tế (giá trị cận biên) của hàm số f(x) tại điểm x0. 0 0( ) ( )My x f x Như vậy, cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến số kinh tế, gọi 15/10/2018 6 31 4.2. Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1 đơn vị, từ x0 lên x0 + 1. Cụ thể, ta có 0( )My x 0( ) 0 My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị, từ x0 lên 0( )My x đơn vị. 0( ) 0 My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị, từ x0 lên 0( )My x đơn vị. khoảng khoảng x0 + 1 thì y sẽ tăng x0 + 1 thì y sẽ giảm 32 Khi xét từng hàm kinh tế cụ thể, biên tế sẽ có tên gọi tương ứng: Nếu hàm tổng chi phí C = C(Q), trong đó Q là mức sản lượng thì hàm chi phí biên là C’(Q). Chi phí biên là chi phí xấp xỉ của một đơn vị sản phẩm được tăng thêm. Nếu hàm tổng doanh thu R = R(Q), trong đó Q là mức sản lượng thì hàm doanh thu biên là R’(Q). Doanh thu biên là xấp xỉ của lượng doanh thu gia tăng khi bán thêm một đơn vị sản phẩm. Nếu hàm tổng doanh thu R = R(L), trong đó L là lượng lao động thì hàm sản phẩm doanh thu biên là R’(L). Sản phẩm doanh thu biên là xấp xỉ của lượng doanh thu gia tăng khi thuê thêm một đơn vị lao động. 33 Nếu hàm sản xuất Q = Q(L), trong đó L là lượng lao động thì hàm sản phẩm hiện vật biên là Q’(L). Sản phẩm hiện vật biên là xấp xỉ của lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi tăng thêm một đơn vị lao động. Nếu hàm tiêu dùng C = C(Y), trong đó Y là mức thu nhập thì hàm xu hướng tiêu dùng biên là C’(Y). Xu hướng tiêu dùng biên là xấp xỉ của lượng tiêu dùng khi thu nhập tăng thêm một đơn vị. Hơn nữa, hàm xu hướng tiết kiệm biên là S’(Y) = 1 - C’(Y). Xu hướng tiết kiệm biên là xấp xỉ của lượng tiết kiệm khi thu nhập tăng thêm một đơn vị. 34 Ví dụ 4.4: Giả sử chi phí trung bình AC để sản suất một đơn vị sản phẩm là 2 10,0001 0,02 5 500 , ( 0)    AC Q Q Q Q a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm chi phí biên tại mức sản lượng Q = 50 đơn vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. c) Hãy ước tính chi phí để sản xuất sản phẩm thứ 51. So sánh ước tính đó với chi phí thực sự của nó. d) Nếu sản lượng tăng thêm 1/3 đơn vị sản phẩm từ Q = 50 thì chi phí sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị tiền? 35 Ví dụ 4.5: Cho hàm tiêu dùng theo thu nhập Y như dưới đây Hãy xác định xu hướng tiêu dùng biên và xu hướng tiết kiệm biên khi Y = 100. 35(2 3) . 10    Y C Y Ví dụ 4.6: Giả sử hàm sản xuất Q (khối lượng sản phẩm) của một doanh nghiệp cho bởi trong đó L > 0 là số công nhân. Hãy ước tính sản phẩm hiện vật biên khi thêm 1 công nhân nếu doanh nghiệp đang có 100 công nhân. ( ) 5 , Q Q L L 36 Ví dụ 4.7: Nhu cầu tiêu thụ D của một loại sản phẩm phụ thuộc vào giá P của sản phẩm đó. Giả sử rằng, giá P phụ thuộc vào thời gian t. Cho biết nhu cầu tiêu thụ sản phẩm này giảm 5000 pounds khi giá tăng 1$ mỗi pound, và giá mỗi pound sản phẩm này tăng 0,05$ mỗi tuần. Hỏi lượng cầu giảm bao nhiêu pounds mỗi tuần? Ví dụ 4.8: Gọi C là hàm chi phí, Q là mức sản lượng và P là giá bán. Biết rằng P.Q = 100 và chi phí biên khi Q = 200 là 0,01 (đơn vị tiền). Tính khi Q = 200. dC dP 15/10/2018 7 37 4.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối: Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có -Độ thay đổi (tăng, giảm) tuyệt đối của biến x tại x0 là 0  x x x Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x. -Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là 0 100%   x x Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x. 38 Ví dụ 4.9: Một căn hộ có giá cũ là 200 triệu đồng. Nếu tăng giá lên 201 triệu đồng thì độ tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ tăng tương đối là bao nhiêu? Ví dụ 4.10: Một chiếc điện thoại Samsung có giá cũ là 4 triệu đồng. Nếu tăng giá lên 5 triệu đồng thì độ tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ tăng tương đối là bao nhiêu? 39 4.4. Độ co dãn: -Để đo mức độ phản ứng của biến y khi biến x thay đổi, người ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn. -Độ co dãn của đại lượng y theo đại lượng x là tỉ số giữa độ thay đổi tương đối của y và độ thay đổi tương đối của x, ký hiệu là  yx Ta có % . %         yx y y y xy xx x y x Từ đó, với khá bé, ta cóx 0 lim . ( ).         yx x y x x y x x y y 40 Ví dụ 4.11: Một nhà kinh tế học đã ước lượng rằng khi giá thuốc tăng 10% thì sẽ gây ra sự sụt giảm về nhu cầu thuốc lá của những người trung niên là 12%. a) Tìm độ co dãn của nhu cầu thuốc lá theo giá thuốc lá. b) Nếu chính phủ muốn giảm nhu cầu thuốc lá đến 20% thì chính phủ cần tăng giá thuốc lá lên bao nhiêu phần trăm? 41 Hệ số co dãn của biến y theo biến x tại x0 là 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )   yx x x y x y x 4.6. Ý nghĩa của hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ độ thay đổi tương đối của biến y tại x = x0 khi biến x tăng tương đối lên 1% (từ x0 lên x0+1%x0=1,01x0). Cụ thể, ta có 0( )yx x 0( ) 0 yx x có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x tăng 1% thì y sẽ tăng 0( )%. yx x có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x tăng 1% thì y sẽ giảm 0( )%. yx x 0( ) 0 yx x 4.5. Hệ số co dãn: 42 Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:  Nếu thì hàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàm số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm co dãn.  Nếu thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0 Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn (điểm co dãn đơn vị).  Nếu thì hàm f được gọi là không co dãn tại x0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không co dãn. 0( ) 1 yx x 0( ) 1 yx x 0( ) 1 yx x 15/10/2018 8 43 Ví dụ 4.12: Cho hàm cầu a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P = 200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. b) Tại mức giá P = 100, nếu giá tăng 2% thì sự thay đổi xấp xỉ của cầu là bao nhiêu phần trăm? c) Khi giá giảm 4% thì lượng cầu tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm tại mức giá P = 100. d) Khi lượng cầu tăng 6% thì mức giá tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm tại mức giá P = 100. e) Tìm mức giá P để hàm cầu đẳng co dãn. 600 2 . Q P V. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế: 44 5.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất: Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Gọi P: đơn giá. QD = QD(P): hàm cầu. Q = Q(P): hàm sản lượng. C = C(Q): hàm tổng chi phí. R = P.Q: doanh thu. : lợi nhuận (trước thuế).R C   45 Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu trong kinh tế mà thực chất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến số. Chẳng hạn: -Tìm mức P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa. lập hàm R(P) hoặc R(Q). -Tìm mức Q để chi phí C đạt tối thiểu. lập hàm C(Q). -Tìm mức Q để lợi nhuận đạt tối đa. lập hàm  Chú ý 5.1: Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm ( ).DQ Q P     ( ).Q 46 Ví dụ 5.1: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá của 1 đơn vị sản phẩm trên thị trường là P = 130 đơn vị tiền. Tổng chi phí để doanh nghiệp sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm (Q > 1) là đơn vị tiền. Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. 3 21 10 20 3    C Q Q Q Ví dụ 5.2: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = 300-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. 3 219 333 10.   C Q Q Q 47 Ví dụ 5.3: Hàm chi phí của một nhà máy được cho bởi trong đó C là tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm. Với mức sản lượng là bao nhiêu thì chi phí trung bình tính trên mỗi đơn vị sản phẩm là thấp nhất? Khi đó, chi phí trung bình tối thiểu bằng bao nhiêu? 2 3 400, 4    Q C Q Ví dụ 5.4: Công ty truyền hình cáp Vista hiện có 100.000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm 0,25$ cước thuê bao thì công ty có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu được tối đa, công ty cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu, và có bao nhiêu thuê bao ở mức cước này? 48 5.2. Bài toán thuế doanh thu: Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Gọi t: mức thuế doanh thu trên một đơn vị sản phẩm. T=t.Q: tổng số thuế doanh thu. : lợi nhuận sau thuế. Hãy tìm mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất. t R C T    Phương pháp: Bước 1: Viết hàm lợi nhuận sau thuế Bước 2: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN. Bước 3: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế t để T đạt GTLN. ( ), 0.t Q Q  t 15/10/2018 9 49 Ví dụ 5.5: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = 800-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là Các nhà làm thuế sẽ áp mức thuế doanh thu t trên một đơn vị sản phẩm là bao nhiêu để tổng số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất? 2 200 100.  C Q Q Bước 4: Kiểm tra sự phù hợp bằng cách với t tìm được, ta tính T, Q, R, C, , P. Nếu tất cả các kết quả đều > 0 thì kết quả t tìm được là phù hợp. t 50 5.3. Bài toán thuế nhập khẩu: Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt hàng. Gọi QS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập về từ thị trường quốc tế. số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp phải chi ra để mua ở thị trường quốc tế = giá bán ở thị trường quốc tế + chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế). t: mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm :P 0 P t P 51 P: giá bán một đơn vị hàng của doanh nghiệp ra thị trường nội địa sau khi nhập hàng. Hãy tìm mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị hàng để tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng nhập khẩu của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). 0  P t P P Phương pháp: Bước 1 (Tìm P0): Trước khi nhập khẩu, các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng .S DQ Q  52 Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là t R C T    . . . .PQ PQ t Q   Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN. Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế t để T đạt GTLN. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).S D D SQ Q P Q P Q Q P Q P P P Q       ( )t QBước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế hoặc ): Sau khi nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung là Q + QS (P). Khi đó: ( )t P t Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện 0  P t P P 53 Ví dụ 5.6: Một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các nhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Để mua mặt hàng này ở thị trường quốc tế thì doanh nghiệp phải chi ra một số tiền là 1600 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (chưa tính thuế). Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất ? 54 5.4. Bài toán thuế xuất khẩu: Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Gọi QS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trường nội địa. số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp thu được khi bán mặt hàng ở thị trường quốc tế (giá bán một đơn vị hàng trên thị trường quốc tế của doanh nghiệp trừ đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế)). t: mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm :P 0 P t P 15/10/2018 10 55 P: giá mua một đơn vị hàng từ thị trường nội địa để xuất khẩu. Hãy tìm mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). 0   P P P t Phương pháp: Bước 1 (Tìm P0): Trước khi doanh nghiệp mua hàng, các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng .S DQ Q  56 Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là t R C T    . . . .PQ PQ t Q   Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN. Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế t để T đạt GTLN. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).D S S DQ Q P Q P Q Q P Q P P P Q       ( )t QBước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế hoặc ): Khi doanh nghiệp mua hàng, thị trường nội địa có lượng cầu là Q + QD . Khi đó: ( )t P t Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện 0   P P P t 57 Ví dụ 5.7: Một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các nhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Nếu xuất mặt hàng này ra nước ngoài thì doanh nghiệp sẽ thu về 3200 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (trừ chi phí xuất khẩu nhưng chưa trừ thuế). Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất? Bài tập Toán Cao cấp C1 11 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 1: Các hàm số sau có khả vi tại 0x x không? a) 2sin , 1 ( ) 1 0, 1       x x f x x x , 0 1x . b) 2( ) 4 f x x , 0 2x . c) 2 7, 3, ( ) 16 , 3       x x f x x x , 0 3x . Bài 2: Cho hàm số 4 2 cos , 0, ( ) 3, 0.        mxe x x f x x m x a) Tìm m để hàm số f(x) liên tục trên  . b) Với các giá trị m vừa tìm được ở trên, hàm số f(x) có tồn tại (0)f hay không? Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau 1) arcsin  x y x . 2) ln(arcsin 5 )y x . 3) 2 4 2 arcsin 1   x y x . 4) 2 sin 1 sin ln . cos cos    x x y x x 5) (sin ) , xy x với sin 0.x 6) ,  xxy x x với 0.x 7) ln (ln ) x xy x x với 1.x 8) 2 2.(2 1) 1    x x y x . Bài 4: Cho 1 , 0, .  y x yx e x x e Chứng minh rằng 2 ln (1 ln )   dy x dx x . Bài 5: 1) Chứng minh 2 arcsin 1   x y x thỏa mãn đẳng thức 2(1 ) 1.  x y xy 2) Chứng minh ln , 0 y x x x thỏa mãn đẳng thức 2. . , , 0.      x y y y x x x 3) Chứng minh sin(ln ) cos(ln ) y x x thỏa mãn đẳng thức 2 0.   x y xy y Bài 6: Cho   ( ) 3 4 ( )F x f f f x , trong đó (0) 0f và (0) 2. f Tìm (0).F Bài 7: a) Tìm đạo hàm cấp n của 2 1 ( ) f x x . b) Cho . xy xe Tìm ( ) ( ).ny x c) Cho sin . xy e x Tính (2017) (0).y d) Cho 2 1 .   x y x Tính (2018) (1).y Bài 8: 1) Cho sinxy e . Tìm dy . 2) Cho 2 2 1 x y x    . Tìm dy tại điểm x = 1. 3) Cho (ln 1)y x x  Tính 2d y . Bài tập Toán Cao cấp C1 12 Bài 9: Tính các giới hạn sau 1) 2 22 4 lim . 3 2   x x x x 2) 0 1 1 lim . 3 2 9    x x x 3) 2 1 1 ln lim .    xx x x e e 4) 0 2 lim . sin      x x x e e x x x 5) 3 2 1 1 lim . ln 1     x x x x x x 6) 3 0 1 lim . tan x x e x 7) 0 tan lim . 1 cos x x x x 8) 20 cos 2 cos lim . sin  x x x x 9) 2 2 2 2 20 sin cos lim . sin  x x x x x x 10)    73 0 cos cos arcsin(3 ) 5 arctan(4 ) lim . sin .arcsin(2 ).arctan(5 )   x x x x x x x x 11) ln(1 ) lim . 1   x x e x 12) 2 3lim .(ln )x x x 13) 3 lim .  xx x e 14) 2 lim   x xx xe x e Bài 10: Tính các giới hạn sau 1) 0 1 lim cot .      x x x 2) 2 20 1 1 lim sin     x x x . 3) 0 1 1 lim 1    xx x e . 4)    0 2 1 1 lim ln 1ln 1          x xx x . 5) 1 0 lim ln .    x x e x 6) 1 lim 1 .        x x x e 7) 1 lim ln tan . 2        x x x 8) 1 lim ( 1)   x x x . 9) tan 0 lim (sin )  x x x 10) 1 1 1 lim   x x x . 11) 1 0 lim( ) .   x x x x e 12) tan 2 1 lim tan . 4          x x x Bài 11: Tính gần đúng giá trị của a) (1,2) (1)f f nếu (1) 4 f . b) 4(1,999) . c) 1 4,002 . d)  5ln 32,005 1 . e) arctan(1,004) 1,004 . Bài 12: Để sơn trang trí cho bốn bức tường hình vuông của một căn phòng, một người thợ sơn đã đo chiều dài một cạnh của bức tường được kết quả là 10 ft với sai số cho phép là 0, 25 ft. a) Hãy ước tính sai số diện tích của bốn bức tường theo sai số cho phép nói trên. b) Nếu một thùng sơn có thể sơn được 12 ft2 có giá 9$ thì người thợ sơn cần dự trù kinh phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo sơn phủ hết 4 bức tường? Bài 13: Số lượng N thuê bao điện thoại di động tại Mỹ (đvt: triệu đồng) được biểu thị trong bảng. (Cho các con số ước tính vào giữa năm) t 1996 1998 2000 2002 2004 2006 N 44 69 109 141 182 233 Bài tập Toán Cao cấp C1 13 a) Tìm mức tăng trưởng trung bình của điện thoại di động i) Từ 2002 đến 2006. ii) Từ 2002 đến 2004. iii) Từ 2000 đến 2002. b) Ước tính mức tăng trưởng tức thời vào năm 2002 bằng cách lấy trung bình của hai tốc độ biến thiên trung bình. Đơn vị tính của nó là gì? Bài 14: Cho hàm doanh thu   21200R Q Q . a) Tìm hàm doanh thu biên. b) Tại  590Q đơn vị, khi Q tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị? c) Tính doanh thu biên tại mức sản lượng  610Q đơn vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Bài 15: Cho hàm chi phí 2 3( ) 1200 12 0,1 0,0005   C Q Q Q Q . a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm '(200)C và giải thích ý nghĩa của nó. Nó dự báo điều gì? c) So sánh '(200)C với chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 201. Bài 16: Quan hệ giữa số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe buýt như sau  10000 125Q P . Tìm doanh thu biên khi  30, 42P P . Bài 17: Cho hàm tiết kiệm 2 8 2 Y Y S Y     , trong đó hàm tiết kiệm quốc gia S và tổng thu nhập quốc gia Y có đơn vị là tỷ USD. Hãy tìm xu hướng tiêu dùng biên và xu hướng tiết kiệm biên khi tổng thu nhập quốc gia là 150 tỷ USD. Bài 18: Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là 2100 20P Q   . a) Tìm tốc độ thay đổi của P theo Q. b) Tìm độ thay đổi tương đối của P theo Q. c) Tìm giá trị cận biên của doanh thu. Bài 19: Chi phí hàng tháng C (đơn vị: USD) để sản xuất ra x (cái) ghế cho bởi phương trình 3 20,001 0,07 19 700C x x x    . Hiện tại, có 25 cái ghế được sản xuất hàng tháng. a) Chi phí hàng tháng hiện tại là bao nhiêu? b) Chi phí hàng tháng tăng thêm bao nhiêu khi sản xuất 26 cái ghế? c) Chi phí biên là bao nhiêu khi x = 25? d) Sử dụng chi phí biên để ước tính sự khác biệt về chi phí giữa việc sản xuất 25 cái ghế và 27 cái ghế mỗi tháng? e) Sử dụng kết quả câu d để dự đoán cho C(27). Bài 20: Một hãng sản xuất quyết định sử dụng L lượng lao động để sản xuất Q đơn vị sản phẩm trong mỗi ngày, trong đó 2 2 10 19 L Q L   . Cho biết hàm cầu là 900 9 P Q   . a) Tìm doanh thu biên khi L = 12. b) Tìm sản phẩm doanh thu biên khi L = 12. Bài tập Toán Cao cấp C1 14 Bài 21: Giá trứng bán sỉ (cent/tá) được cho bởi công thức 2 55 ( 1) P Q   , trong đó Q là lượng cung trứng (chục nghìn tá). Giả sử lượng cung vào ngày 1/7/1986 là Q = 2,1 và kể từ đó lượng cung này giảm với tốc độ 0,03 mỗi tháng. Hỏi giá trứng tăng với tốc độ bao nhiêu? Bài 22: Cho hàm cầu 2 60 900Q P P   . a) Tìm độ co dãn của hàm cầu. b) Khi giá tăng 1% thì lượng cầu tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? c) Khi giá tăng 2% thì lượng cầu tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? d) Khi giá giảm 4% thì lượng cầu tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? e) Khi lượng cầu giảm 9% thì mức giá tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? Bài 23: Hàm cầu của một loại hàng theo giá có phương trình 50 2Q P  . a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 5, P = 12,5 và P = 14. Giải thích ý nghĩa các kết quả nhận được. b) Tìm tất cả các mức giá P để hệ số co dãn bé hơn 1. Bài 24: Một công ty sản xuất và độc quyền tiêu thụ một loại sản phẩm với hàm cầu cho bởi Q = 3000 – 10P (tính bằng số lượng sản phẩm), P được tính bằng USD. Giả sử chi phí bình quân là AC = 0,1Q + 50. a) Xác định hệ số co dãn của cầu theo giá và phân tích trạng thái của điểm ứng với P = 200. b) Xác định doanh thu cận biên, chi phí cận biên và hệ số co dãn của doanh thu theo sản lượng cầu Q. Áp dụng cụ thể tại mức Q = 500 và giải thích ý nghĩa các giá trị thu được. c) Xác định lợi nhuận cận biên và hệ số co dãn của lợi nhuận theo Q. Áp dụng cụ thể tại mức Q = 500 và giải thích ý nghĩa các giá trị thu được và phân tích trạng thái điểm tương ứng. Bài 25: Cho hàm tổng chi phí để sản xuất một loại sản phẩm   2 500 2000 .C Q Q Q a) Tìm hàm chi phí biên tế. b) Xác định mức sản lượng Q để chi phí trung bình nhỏ nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình tại mức sản lượng trên. Bài 26: Số vé Q bán được của một hãng xe buýt liên hệ với giá vé P là  10000 125Q P . a) Tìm mức giá P0 để doanh thu đạt tối đa và tìm doanh thu khi đó. b) Tính lượng vé bán được ở mức giá P0. Bài 27: Q là lượng dự trữ của một cửa hàng và chi phí dự trữ lượng hàng đó như sau    4860 15 750000C Q Q . Tìm mức dự trữ Q để chi phí là tối thiểu. Bài 28: Cho hàm doanh thu và hàm chi phí theo sản lượng hàng hóa Q của một doanh nghiệp lần lượt là 2 3 21400 7, 5 , 6 140 750.R Q Q C Q Q Q      Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. Bài tập Toán Cao cấp C1 15 Bài 29: Một loại sản phẩm độc quyền có hàm cầu và hàm chi phí trung bình lần lượt là 80 42 4 , 2 .P Q C Q     Hãy tìm mức giá làm tối đa lợi nhuận. Bài 30: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất ngắn hạn là  50Q L Cho biết giá 1 đơn vị sản phẩm là 40 ngàn VNĐ và giá tiền công một lao động là 50 ngàn VNĐ. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. Bài 31: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là  1200 .DQ P Tổng chi phí để đạt mức sản lượng Q là    3 20, 25 30,625 1528, 5 20000.C Q Q Q a) Hãy tìm mức sản lượng và giá bán để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. b) Giả sử hiện nay năng lực doanh nghiệp chỉ cho phép sản xuất tối đa 72 đơn vị sản phẩm. Hãy xác định mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Bài 32: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là   2 148 . 3D Q P Hàm chi phí biên tế là   23 6 132.MC Q Q Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. Bài 33: Một nhà sản xuất bán 1000 chiếc TV màn hình phẳng/tuần với giá 450$/chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy nếu người mua được giảm 10$/chiếc thì số lượng TV bán được sẽ tăng lên thêm 100 chiếc/tuần. a) Tìm hàm cầu. b) Công ty cần đưa ra mức giảm giá là bao nhiêu để tối đa hóa doanh thu? c) Nếu hàm chi phí hàng tuần là 68000 150C Q  thì nhà sản xuất cần đưa ra mức giảm giá là bao nhiêu để tối đa hóa lợi nhuận? Bài 34: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là  2640 .DQ P Tổng chi phí để đạt mức sản lượng Q là    2 1000 100.C Q Q a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để thu được của xí nghiệp nhiều thuế nhất. b) Nếu ta muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 300 đơn vị sản phẩm thì ta có thể định mức thuế tổng trên một đơn vị sản phẩm tối đa là bao nhiêu. Bài 35: Một công ty độc quyền nhập khẩu một loại hàng. Hàm cung và hàm cầu của loại hàng trên khi chưa có hàng nhập là   200SQ P và 4200DQ P  (P là đơn giá). Giá bán một đơn vị hàng đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế) là 1600P  đơn vị tiền. a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị hàng nhập để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất của công ty. b) Nếu muốn đơn giá bán loại hàng trên tại thị trường nội địa không thấp hơn 990 thì mức thuế nhập khẩu ít nhất là bao nhiêu? Bài 36: Một công ty độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Hàm cung và hàm cầu của mặt hàng tại thị trường nội địa là   20SQ P và  400DQ P (P là đơn giá). Giá bán một đơn vị hàng đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế) là  310P đơn vị tiền. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị hàng để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. 16 BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) 1 ( ) 0C   ( )C const 2 1( ) .x x    1( ) . .u u u    ( )const  3 2 1 1 x x        2 1 u u u        4 1 ( ) 2 x x   ( ) 2 u u u   5 ( ) .ln , ( : x xa a a a hằng > 0) ( ) .(ln ).u ua a a u  6 ( )x xe e  ( ) .u ue e u  7 1 (log ) , (0 1) .ln    a x ax a (log ) .lna u u u a   8 1 (ln )x x   (ln ) u u u   9 (sin ) cosx x  (sin ) (cos ).u u u  10 (cos ) sinx x   (cos ) (sin ).u u u   11 22 1 (tan ) 1 tan cos x x x     2 2 (tan ) (1 tan ). cos u u u u u     12 22 1 (cot ) (1 cot ) sin x x x      2 2 (cot ) (1 cot ). sin u u u u u      13 2 1 (arcsin ) 1 x x    2 (arcsin ) 1 u u u    14 2 1 (arccos ) 1 x x    2 (arccos ) 1 u u u    15 2 1 (arc tan ) 1 x x    2 (arc tan ) 1 u u u    16 2 1 (arccot ) 1 x x    2 (arccot ) 1 u u u   

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftoan_cao_cap_chuong_3_sv_3557_2104581.pdf
Tài liệu liên quan