Algorit và tham số trong dạy - Học chủ đề phương trình ở trường THPT - Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

có chứa tham số, NXB Giáo dục. 36. Hoàng Kỳ (2001), Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục. 37. Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học toán - phần 1, NXB Giáo dục. 38. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) (1994), Phương pháp dạy học toán - phần 2, Dạy học những nội dung cơ bản, NXB Giáo dục. 39. Ngô Thúc Lanh (chủ biên) (2000), Đại số 12, NXB Giáo dục. 40. Ngô Thúc Lanh (1996), Tìm hiểu giải tích phổ thông, NXB Giáo dục. 41. Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. 42. Trần Văn Minh (chủ biên) (2002), Đại số tuyến tính, NXB Giao thông vận tải. 43. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2003), Đại số 10 - Sách giáo khoa thí điểm Ban khoa học tự nhiên - Bộ 1, NXB Giáo dục. 44. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2003), Đại số 10 - Ban khoa học tự nhiên - Bộ 1, NXB Giáo dục. 45. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên thí điểm ban khoa hoc tự nhiên Đại số 10 - Bộ 1, NXB Giáo dục, Hà Nội. 46. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên thí điểm ban khoa hoc tự nhiên Đại số và Giải tích 11 - Bộ 1, NXB Giáo dục, Hà Nội. 47. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2005), Sách giáo viên thí điểm ban khoa hoc tự nhiên Giải tích 12 - Bộ 1, NXB Giáo dục, Hà Nội. 48. Tài liệu hướng dẫn sử dụng sách giáo khoa toán THPT CLHN năm 2000, NXB Giáo dục. 49. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1999), Số 6 (264). 50. Tạp chí Nghiên cứu giáo dục (2000), Số 12. 51. Vũ Dương Thụy (chủ biên) (1998), Thực hành giải toán (sách Cao đẳng sư phạm), NXB Giáo dục. 52. Lê Văn Tiến, Lý thuyết nhân chủng học – Bài giảng trong chương trình thạc sĩ Didactic toán, Đại học sư phạm Tp. HCM. 53. Lê Văn Tiến, Lý thuyết tình huống – Bài giảng trong chương trình thạc sĩ Didactic toán, Đại học sư phạm Tp. HCM. 54. Ngô Việt Trung (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 55. Vũ Tuấn (chủ biên) (2003), Bài tập Đại số 10 - Sách giáo khoa thí điểm Ban khoa học tự nhiên - Bộ 2, NXBGD. 56. Trần Vui (chủ biên) (2005), Một số xu hướng đổi mới trong dạy học toán ở trường THPT, Giáo trình bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kì III, NXB Giáo dục. Dịch sang tiếng Việt 57. Howard Eves (Trần Tất Thắng dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử toán học, NXB Khoa học kỹ thuật. 58. Jean Pierre Kahane - Claude Castella - Alain Mercier - Philippe Clarou – IREM Grenoble (1997), Một số kinh nghiệm giảng dạy toán ở Pháp, NXB Giáo dục. 59. X.M.Nikolxki (chủ biên) (2002), Từ điển bách khoa phổ thông toán học - tập 1, NXB Giáo dục. 60. X.M.Nikolxki (chủ biên) (2002), Từ điển bách khoa phổ thông toán học - tập 2, NXB Giáo dục. Tiếng Anh 61. Bittinger - Keedy - Ellenbogen, Intermediate Algebra concepts and Applications. Fourth edition. 62. Marvin L. Bittinger - Judith A. Beecher, College Algebra, Second edition. Tiếng Pháp 63. Alain Bouvier - Michel George - Francois Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF. 64. Collection terracher, Maths Seconde, Hachette Éducation. 65. Gisèle Chapiron - Michel Mante - René Mulet-Marquis - Catherine Pérotin (1999), Collection Triangle Mathématiques 3è, Édition Hatier. 66. Jean - Luc Chabert và các tác giả, Histoire d’Algorithmes, Édition Belin. 67. Lê Văn Tiến (2001), Étude didactique de liens entre fonctions et équations dans l’enseignement des mathématiques au lycée en France et au Vietnam. Thèse, Université Joseph Fourier – Grenoble 1. 68. Nguyễn Chí Thành (2002), La notion d’algorithme dans l’enseignement des mathématiques au lycée – Comment l’émergence des notions de boucle et de variable en Informatique s’articule à des connaissances en Mathématiques? Mémoire DEA, Université Joseph Fourier – Grenoble 1. 69. Odile Schneider (1979), Le passage des équations numériques aux équations paramétriques en classe de seconde, Mémoire DEA, Université d’Aix-Marseille. PHỤ LỤC Phụ lục 1. Sự tiến triển của khái niệm algorit trong toán học 1 Phụ lục 2. Mối liên hệ giữa algorit, phương pháp tính và máy tính điện tử 5 Phụ lục 3. Phương trình và dạy - học giải phương trình 6 Phụ lục 4. Các phương pháp gián tiếp để giải hệ phương trình tuyến tính 10 Phụ lục 5. Phiếu tham khảo ý kiến giáo viên 21 Phụ lục 6. Bộ câu hỏi điều tra dành cho học sinh 24 Phụ lục 7. Một số bài làm của học sinh 27 Phụ lục 1 SỰ TIẾN TRIỂN CỦA KHÁI NIỆM ALGORIT TRONG TOÁN HỌC Vì phạm vi tác động của algorit bao trùm hầu hết các lĩnh vực khác nhau của toán học như Số học, Hình học, Đại số, Giải tích, nên ở đây, chúng tôi chỉ có thể nêu những nét khái quát nhất về lịch sử hình thành và tiến triển của khái niệm algorit qua ba giai đoạn chính sau : 1. Giai đoạn ngầm ẩn : Giai đoạn Hy Lạp cổ đại đến thế kỉ 12 Thật khó nói chính xác tư tưởng algorit có từ khi nào vì điều đó còn phụ thuộc vào nguồn tài liệu và quan điểm của mỗi người, nhưng một điều chắc chắn rằng, algorit đã tồn tại và được sử dụng trước cả khi xuất hiện thuật ngữ mô tả nó một cách rõ ràng. Algorit được biết đến như những qui tắc xác định và phổ dụng. Nó có thể là các thủ tục liên quan đến luật pháp hay toán học như ở thời Babylon ; nó cũng có thể là các phương thức ghi nhớ như ở thời Hy lạp ; là các qui tắc ngôn ngữ mà các nhà văn phạm Roma sử dụng hay các công thức về y học, nấu ăn, ... Như vậy, ở giai đoạn Hy lạp cổ đại, khái niệm algorit được dùng và được hiểu một cách trực giác. Nó có cơ chế protomathématique. (1) 2. Giai đoạn bán tường minh : Từ thế kỉ 12 đến cuối thế kỉ 19 Khoảng thế kỉ 12, tác phẩm Hisâb aljabr w’al-muquâbalah của Al-Khowârizmi đến được châu Âu qua bản dịch La tinh. Từ đó, thuật ngữ algorisme, algorismus hay algorithmus được dùng để chỉ các qui tắc thực hiện các phép tính số học trên các số thập phân. Đến năm 1857, người ta tìm thấy bản dịch sang tiếng La tinh cuốn sách bàn về cách dùng các chữ Hindu của Al-Khowârizmi và nó bắt đầu như sau : “Algoritmi đã nói ”. Xuất phát từ từ algorithmi – cách phiên âm sang tiếng La tinh tên của Al-Khowârizmi, thuật ngữ algorit ra đời. Lúc này, người ta gọi algorit là hệ đếm thập phân theo vị trí và nghệ thuật tính toán trong hệ ấy, bởi vì chính nhờ bản dịch sang tiếng La tinh (thế kỉ thứ 12) công trình của Al-Khowârizmi mà châu Âu mới biết đến hệ đếm theo vị trí. Như vậy, cho tới giai đoạn này, khái niệm algorit vẫn được dùng và được hiểu một cách trực giác. Nó có cơ chế paramathématique. (2) (1) chưa có tên và chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học (2) có tên nhưng chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học 3. Giai đoạn tường minh : Từ thế kỉ 20 đến nay Như đã đề cập, gắn liền với sự phát triển của toán học, khái niệm algorit trước thế kỉ 20 được dùng và được hiểu một cách trực giác : khả năng giải bài toán “ở dạng tổng quát” bao giờ cũng bao hàm về thực chất nắm được một algorit nào đó. Và như vậy, nhiều algorit được thực hiện trước khi khái niệm algorit được xác định một cách rõ ràng. Đến đầu thế kỉ 20, trong toán học xuất hiện một số bài toán mà việc có algorit để giải chúng là rất đáng nghi ngờ. Người ta đặt vấn đề : liệu có thể chứng minh là không có algorit để giải bài toán đó hay không. Nếu như khái niệm trực giác về algorit là đủ dùng khi ta chứng minh việc có algorit cụ thể nào đó, thì ngược lại, nó không thể là cơ sở cho việc chứng minh không có algorit để giải bài toán này hay bài toán khác. Muốn chứng minh không có algorit, thì trước hết cần có một định nghĩa chính xác cho khái niệm này. Vào ngày 8 tháng 8 năm 1900 tại Đại hội toán học Quốc tế ở Paris, David Hilbert – nhà toán học nổi tiếng người Đức đã phát biểu 23 bài toán khó, nhằm kêu gọi giới toán học của thế kỷ 20 cùng tập trung nỗ lực để giải quyết. Bài toán thứ 10 trong số các bài toán trên được Hilbert phát biểu như sau : “Cho phương trình Điôphăng với số ẩn tùy ý và các hệ số nguyên tùy ý. Hãy chỉ ra phương pháp cho phép sau một số hữu hạn thao tác có thể xác định được rằng phương trình đã cho có nghiệm nguyên hay không.” Như vậy, vấn đề đặt ra là xây dựng một algorit để nhận biết mỗi phương trình Điôphăng tùy ý xem nó có nghiệm nguyên hay không. Với một số trường hợp riêng, algorit nhận biết nghiệm nguyên của phương trình Điôphăng đã được xây dựng nhưng algorit cho trường hợp tổng quát vẫn chưa tìm được. (1) Vào khoảng những năm đầu của thập kỉ 30, Gôdel, Kleene, Church, Turing và Post đã đưa ra một số định nghĩa nhằm chính xác hóa khái niệm algorit. Sau đó, nhiều tác giả khác tiếp tục đưa ra một số định nghĩa khác về algorit. Các định nghĩa đó nói chung đều tương đương nhau, tuy mỗi định nghĩa có một số thuận lợi riêng, thích hợp với việc nghiên cứu một lớp vấn đề nào đó. Có thể mô tả một số hình thức cho algorit như sau : – Máy Turing (1936) – Máy Post (1936) – Hàm đệ qui (Gôdel 1931, Church 1936, Kleene 1936) – Algorit chuẩn Marcov (1954) – Văn phạm Chomsky kiểu O (1959) (1) Cuối cùng, vào năm 1969, nhà toán học trẻ người Nga là Iu. Matiasievich đã chứng minh rằng sẽ không bao giờ tìm được algorit với chức năng tìm được nghiệm nguyên của phương trình Điôphăng tùy ý. – Hầu hết các ngôn ngữ lập trình (từ 1950 đến nay) Chẳng hạn dưới đây là định nghĩa về máy Turing. Máy Turing (1) Máy Turing là một khái niệm toán học nhằm chính xác hóa khái niệm algorit. Mọi quá trình algorit bất kỳ, xét đến cùng, đều là một trình tự thực hiện một số phép biến đổi cơ sở nào đó. Trong mô hình máy Turing, ta chỉ dùng một loại phép biến đổi cơ sở vô cùng đơn giản, đó là việc thay thế một ký hiệu này bằng một ký hiệu khác. Khái niệm máy Turing có ưu việt ở chỗ nó mô tả một cách khoa học, trên cơ sở phân tích tỉ mỉ các quá trình algorit nói chung, vì vậy, ngoài các giá trị lý thuyết trừu tượng, nó còn là cơ sở cho việc nghiên cứu các quá trình tính toán. Sau khi xuất hiện các máy tính điện tử (MTĐT) (khoảng năm 1946), máy Turing trở thành một mô hình toán học thuận tiện cho các máy tính thực tế. Trên cơ sở mô hình đó, người ta có thể nghiên cứu lý thuyết chung về các quá trình tính toán. Điểm khác nhau căn bản giữa máy Turing và MTĐT trong thực tế là tiềm năng vô hạn của bộ nhớ của máy Turing so với bộ nhớ hữu hạn của MTĐT. Như vậy, máy Turing không tồn tại về mặt vật lý vì nó có bộ nhớ vô hạn, nhưng cũng chính do đặc điểm này mà ta thấy máy Turing mạnh hơn bất cứ MTĐT nào. Thông qua máy Turing, chúng ta có thể chứng minh sự tồn tại hoặc không một algorit giải bài toán nào đó. Với việc một số định nghĩa nhằm chính xác hóa khái niệm algorit, lịch sử algorit chuyển sang lịch sử của một lĩnh vực khoa học mới : algorithmique (khoa học nghiên cứu algorit). Nói cách khác, nghiên cứu algorit thực sự trở thành một lý thuyết. Lý thuyết algorit quan tâm đến những vấn đề sau : – Những bài toán nào giải được bằng algorit, những bài toán nào không giải được bằng algorit. – Tối ưu hóa algorit : thay những algorit chưa tốt bằng những algorit tốt hơn. – Triển khai algorit : Xây dựng những ngôn ngữ thực hiện trên máy tính để mã hóa algorit, nói cách khác là viết algorit dưới dạng máy tính điện tử hiểu được và dĩ nhiên là sau đó máy tính phải thực hiện algorit để xác định kết quả cần tìm. Hướng nghiên cứu thứ hai thuộc phạm vi của lĩnh vực phân tích algorit : đánh giá định lượng mức độ phức tạp của algorit. Hướng nghiên cứu thứ ba thường được xếp vào khoa học lập trình. Cũng sau khi chính xác hóa khái niệm algorit, người ta thấy rằng còn khá nhiều vấn đề về algorit chưa được giải quyết trong toán học. Một trong các vấn đề đó đòi hỏi tìm được phương pháp chung để giải hàng loạt các bài toán cùng dạng. Những vấn đề tương tự xuất hiện trong nhiều ngành toán học khác nhau qua các thời kỳ phát triển của chúng, tuy nhiên (1) Phần này viết dựa theo [32, tr.68 - 69]. nhiều vấn đề cho đến nay vẫn còn chưa giải quyết xong. Việc sử dụng ý tưởng và các phương pháp của logic toán học, sau khi khái niệm algorit đã được chính xác hóa, cho phép chứng minh rằng, thông thường không tồn tại các algorit đang tìm kiếm ấy. Trong trường hợp này, vấn đề algorit được xem xét gọi là không giải được. Các vấn đề algorit không giải được xuất hiện khá nhiều trong các ngành toán học truyền thống như đại số, logic, lí thuyết số, tôpô logic v.v Như vậy, quan niệm của các nhà toán học về algorit đã thay đổi. Bây giờ, vấn đề algorit được hiểu là câu hỏi : tồn tại hay không algorit để giải một loạt các bài toán cùng loại và tìm ra algorit này khi nó tồn tại. Việc nghiên cứu vấn đề algorit trong một ngành toán học nào đó thường đi kèm với ý tưởng và các phương pháp của logic toán học trong ngành đó, từ đó dẫn đến việc giải quyết các vấn đề khác không còn tính chất đặc trưng của algorit nữa. (1) (1) Phần này viết dựa theo [60, tr.220]. Phụ lục 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ALGORIT, PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÀ MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Về mối liên hệ giữa các đối tượng này, dưới đây chúng tôi xin được trích dẫn nguyên văn kết quả nghiên cứu của tác giả Lê Văn Tiến được in trên tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số 12/2000, trang 24 : “Nhiều bài toán của toán học, của các khoa học khác hay của thực tế đòi hỏi tìm ra kết quả bằng số. Rất thông thường người ta chỉ tính được các giá trị gần đúng của kết quả nhờ vào phương pháp tính. Việc cụ thể hóa các phương pháp tính dẫn đến hình thành các thuật toán (algorithme). Trước đây người ta phải dừng lại ở việc mô tả các thuật toán vì thiếu công cụ thực hiện. Việc phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã khắc phục khó khăn này. Về nguyên tắc, ta có thể sử dụng trực tiếp MTĐT (máy tính bỏ túi hay máy vi tính) để thực hiện từng bước của một thuật toán. Tuy nhiên, để tiết kiệm thời gian, ta thường tự động hóa việc thực hiện này. Điều đó đòi hỏi phải viết các thuật toán liên quan trong một ngôn ngữ hoàn toàn hình thức hóa để máy có thể hiểu được, mà ta gọi là “chương trình”. Công việc thiết lập chương trình gọi là “lập trình” (programmation). Như vậy hình thành nên một tổng thể : Phương pháp tính → Thuật toán → Chương trình Lập trình Tư duy thuật toán  Tiếp cận Tin học Quả thực, việc nghiên cứu (Phương pháp tính → Thuật toán → Chương trình), một mặt góp phần hình thành nên một yếu tố quan trọng của học vấn phổ thông (tư duy thuật toán), mặt khác cho phép làm quen với các phương pháp lập trình, với MTĐT. Điều đó cho phép tiếp cần dần với tin học. Để làm rõ logic nội tại của tổ chức Phương pháp tính → Thuật toán → Chương trình, giải gần đúng phương trình là một trong những vùng đất phong phú cần khai thác. Giải gần đúng phương trình dẫn tới những thuật toán lặp, những chương trình dành cho MTĐT rất thú vị.” Phụ lục 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ DẠY - HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vì nội dung của luận văn đề cập đến “các đối tượng algorit và tham số trong dạy học vấn đề phương trình ở trường THPT” nên thiết nghĩ để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi cần phải tìm hiểu xem ở trường phổ thông, khái niệm phương trình được định nghĩa ra sao và dạy học giải phương trình cần được tiến hành như thế nào. 1. Khái niệm phương trình Trong nhà trường phổ thông, khái niệm phương trình được nhìn ở cả hai phương diện : phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa. “Phương diện cú pháp (syntaxic) của toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải. Phương diện ngữ nghĩa (semantic) của toán học là mặt xem xét nội dung của những mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học.” [38, tr.80] 1.1. Phương diện cú pháp Theo quan điểm “cú pháp”, phương trình được xem như một dãy kí hiệu có một dạng nhất định, và từ đó có khả năng nghiên cứu được cấu trúc của dãy kí hiệu trừu xuất khỏi những nội dung cụ thể. “Phương trình là hai biểu thức nối với nhau bởi dấu = ; trong các biểu thức đó có một hoặc nhiều biến, gọi là ẩn.” [59, tr.295] 1.2. Phương diện ngữ nghĩa Khái niệm phương trình còn có thể được hiểu theo phương diện “ngữ nghĩa”. Phương diện này coi phương trình như một hàm mệnh đề (1). Chẳng hạn, trong trường số phức C, phương trình được định nghĩa như sau : “Cho hai hàm số n biến phức  x1 ,  x2 , , xn  là f( x1 ,  x2 , , n  xn ) và g( x1 ,  x2 , , xn ). Ta gọi tập hợp n số phức x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ C là một điểm trong không gian phức n chiều  C n . Khi đó các hàm số f( x ,  x , ,  x ) và g( x ,  x , , x ) 1 2 n 1 2 n (1) Cần chú ý rằng nếu triệt để tuân theo quan điểm cú pháp thì không thể nói phương trình là một hàm mệnh đề mà chỉ có thể nói phương trình biểu thị một hàm mệnh đề. được xem là các hàm một biến f(x), g(x) trong C n . Giả sử f(x) có miền xác định là D1 ⊂ C n , g(x) có miền xác định là D2 ⊂ C n . Ta định nghĩa phương trình f(x) = g(x) (1) là ký hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) là bằng nhau.” Ta gọi x là ẩn của phương trình (1) ; nếu coi f và g là hàm của n biến  x1 ,  x2 , , xn trong không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn x1 , x2 , , xn . Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số gọi là miền xác định của phương trình (1), đó là tập S = D1 ∩ D2. [] Thay cho trường C, ta có thể lấy một trường số K bất kỳ (có thể là Q, R) làm trường cơ sở [].” [36, tr.92] Hay một định nghĩa đơn giản hơn : “Giả sử cho y = f(x) và y = g(x) là các hàm số mà giao hai miền xác định của chúng là M. Ta gọi hàm mệnh đề “Số trị của f(x) và g(x) bằng nhau” xác định trên M là một phương trình và kí hiệu là f(x) = g(x). Tập M được gọi là miền xác định của phương trình đó.” [38, tr.61] 2. Dạy học giải phương trình (1) Tương ứng với hai quan điểm về phương trình, dạy học giải phương trình ở trường phổ thông cũng chú ý đến cả phương diện cú pháp lẫn phương diện ngữ nghĩa và giải quyết một cách hợp lí mối quan hệ giữa hai phương diện đó. 2.1. Phương diện cú pháp Nói chung, phương diện cú pháp được chú trọng trong dạy học giải phương trình có cách giải tổng quát thông qua việc xem xét cấu trúc của dãy kí hiệu biểu thị phương trình và qua sự làm việc một cách hình thức với dãy kí hiệu đó. Như thế, theo quan điểm cú pháp, phương trình sẽ được giải nhờ một algorit hay nhờ một công thức nào đó. Theo [38, tr.85], để rèn luyện cho học sinh cách suy nghĩ về mặt cú pháp, “ người thầy giáo cần tập luyện cho học sinh không chỉ quan tâm tới những phương trình trực tiếp có dạng trên mà còn tận dụng những cơ hội giải những phương trình có thể đưa về các dạng trên nhờ những phép biến đổi thực hiện trên dãy kí hiệu biểu thị phương trình. Trong những trường hợp này, người thầy giáo nên yêu cầu họ xét cấu trúc của dãy kí hiệu biểu thị phương trình để đề xuất những (1) Phần này viết chủ yếu dựa theo [38]. phép biến đổi thích hợp và xác định mục tiêu biến đổi là đưa phương trình về dạng nào []”. “Những phép biến đổi thích hợp” ở đây có thể hiểu là : phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp hệ số bất định, v.v Như thế, việc giải phương trình bằng các phương pháp đại số cũng có thể xem là một trường hợp của việc giải nó theo phương diện cú pháp. 2.2. Phương diện ngữ nghĩa Nhiều công trình nghiên cứu đã vạch rõ rằng trong việc dạy học phương trình, ban đầu cần chú trọng chủ yếu là phương diện ngữ nghĩa, càng về sau càng tăng cường thêm những yếu tố về mặt cú pháp nhưng không bao giờ được lãng quên mặt ngữ nghĩa. “ để chống lại việc nắm kiến thức một cách hình thức và máy móc, thỉnh thoảng cũng nên quay lại phương diện ngữ nghĩa của những quy tắc, chẳng hạn yêu cầu học sinh giải thích cơ sở của những quy tắc đó.” [38, tr.83] “ ngay cả khi học sinh đã học những phép biến đổi phương trình, nhiều công thức và thuật giải để giải nhiều dạng phương trình, người thầy giáo cũng không được sao lãng phương diện ngữ nghĩa, trái lại cần khéo léo kết hợp cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp.” [38, tr.85 - tr.86] Một trong những cách giúp học sinh quan tâm đến phương diện ngữ nghĩa chính là giải phương trình bằng đồ thị. “ theo chương trình hiện hành, ta cần chú ý yêu cầu học sinh giải phương trình và hệ phương trình bằng đồ thị. Nhờ vậy họ sẽ được tập luyện xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào khi cho biết giá trị ra đối với tập hợp số thực và tập hợp điểm trên mặt phẳng.” [38, tr.139] Nhận định về phương pháp đồ thị, tác giả Phan Huy Khải cho rằng : “Phương pháp này dựa trên những yếu tố hình học, đồ thị của hàm số tiềm ẩn trong các bài toán đưa ra (nhưng nhìn chung, chúng không được thể hiện một cách tường minh, hoặc phải sau các phép biến đổi mới phát hiện ra chúng) ” [35, tr.3] Tất nhiên, cũng như các phương pháp giải khác, phương pháp đồ thị không phải là thích hợp cho mọi phương trình, bất phương trình chứa tham số, nhưng đặc điểm của phương pháp này là một khi đã có một cách nhìn “hình học” thì lời giải của bài toán sẽ đơn giản, sáng sủa hơn. Một cách khác giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn phương diện ngữ nghĩa chính là nhận biết được mối liên hệ giữa phương trình và hàm số. “ cần tận dụng những cơ hội thích hợp cho học sinh giải phương trình [] dựa vào việc khảo sát hàm số.” [38, tr.139] Trên đây là hai trong số những cách giúp học sinh rèn luyện tư duy ngữ nghĩa khi giải phương trình. Hai cách đó có thể được gọi chung là phương pháp giải tích. Tóm lại, trong dạy – học phương trình, cần chú trọng thích đáng cả phương diện ngữ nghĩa lẫn phương diện cú pháp và giải quyết một cách hợp lí mối quan hệ giữa hai phương diện đó. “Việc chú trọng về phương diện ngữ nghĩa sẽ làm cho học sinh hiểu về phương trình một cách sâu sắc, khắc phục được những hiểu biết hình thức và máy móc. Mặt khác, việc chú trọng về phương diện cú pháp sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh kĩ năng và kĩ xảo trong việc giải phương trình.” [38, tr.87] Phụ lục 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (Các nội dung dưới đây được viết dựa theo [13] và [31].) Xét hệ phương trình tuyến tính : ⎪ ⎧a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = b1 ⎪a21 x1 + a22 x2 + .... + a2 n xn = b2 ⎨ ⎪.............  (1) an1 x1 + an 2 x2 + .... + ann xn = bn ij Đặt A = (a  ) i , j =1,n  là ma trận hệ số, B ∈ Rn  là vectơ hệ số tự do cho trước, X ∈ Rn là vectơ cột phải tìm, thì hệ (1) viết được ở dạng : AX = B (2) 1. PHƯƠNG PHÁP CHOLESKY (PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ) Xét lại hệ phương trình : AX = B Giả sử ma trận A có thể biểu diễn được ở dạng : A = BC (3) ⎛ b 0 " 0 ⎞ ⎜ 11 ⎟ ⎜ b21 b22 " 0 ⎟ trong đó B = ⎜ " ⎜ ⎜ ⎝ bn1  " bn 2 " " ⎟ ⎟ ⎟ b " nn ⎠ là ma trận tam giác dưới, còn C là ma trận tam giác trên : ⎛ c c " c ⎞ ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ 0 c22 " c2 n ⎟ C = ⎜ 0 ⎜ 0 " c ⎟ 3n ⎟ ⎜ " " ⎝ ⎜ 0 0 " " ⎟ c ⎟ " nn ⎠ Khi đó có : B = AX = BCX = BY với Y = CX Vậy hệ (2) được phân rã thành 2 hệ dạng tam giác sau đây : ⎧BY = B ⎨ ⎩CX = Y Vấn đề giải hệ trên rất đơn giản, đầu tiên là giải hệ : BY = B Và sau đó với Y vừa tìm được, ta giải hệ : CX = Y Có thể thấy rằng, nếu như ta có : 11 a ≠ 0,  a11  a12  ≠ 0, ...., a11 a21 a12 a22 " a1n " a2 n ≠ 0 a21 a22 " " " " an1 an 2 " ann thì ma trận A luôn có thể biểu diễn được ở dạng (3). Thật vậy, xét hệ phương trình : min(i , j ) ∑ bik ckj = aij (i, j = 1,2,....., n) k =1 Trong (4) nếu i = j = 1 thì có b11 .c11 = a11 Nếu như đã biết c11 thì sẽ có b11 , từ điều kiện a11 ≠ 0 Bây giờ xét i = 2, j = 1 và i = 1, j = 2 thì có : ⎧b21 .c11 = a21 ⎨ ⎩b11 .c12 = a12  ta có b11 .c11 ≠ 0  (4) Vì b11 ≠ 0 , và c11 ≠ 0 nên xác định được b21 , c12 . Bây giờ xét i = j = 2 thì có : b21 .c12 + b22 .c22 = a22 Nếu biết c22 thì từ đó có b22 : Kiểm tra trực tiếp thấy rằng : a11 a21 a12 a22  = b11  c11  b22  c22  ≠ 0 ⇒ b  22 .c22 ≠ 0 Quá trình lập luận tiếp tục sẽ xác định được tất cả các ẩn còn lại trong hệ (4) 2. PHƯƠNG PHÁP CĂN BẬC HAI (Phương pháp này là trường hợp riêng của phương pháp Cholesky) Trong mục này ta xét riêng trường hợp A là ma trận đối xứng (nghĩa là A = A’), khi đó ta có : A = B.B’ với B là ma trận tam giác dưới, B’ là ma trận chuyển vị của B, còn hệ (2) được phân rã thành hệ dạng : ⎧BY = B ⎨ ⎩B' X = Y Thực hiện phép nhân B.B’ và đồng nhất các phần tử tương ứng trong đẳng thức : A = B.B’ 2 2 2 thì ta có : ⎪⎧b1i + b2i + .... + bii ⎨ = aii b1i b1 j + b2i b2 j + ... + bii bij = aij (i < j) Giải hệ phương trình trên ta có : b11 = a11 b1 j a1 j = b11  ( j > 1) bii =  aii  i −1 − ∑ k =1  2 bki  (1 < i ≤ n) bij i −1 aij − ∑ bki bkj = k =1 bii  (i < j) bij = 0 Chú ý rằng ta lấy : ⎛ b khi i > j ⎞  ⎛ b b  " b ⎞ ⎜ 11 ⎟ ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ b12 ⎟ ' ⎜ 0 b22 " b2 n ⎟ B = ⎜ " ⎜ ⎜ ⎝ b1n  0 " 0 b22 " 0 " b2 n " " ⎟ , ⎟ ⎟ b " nn ⎠ B = ⎜ " ⎜ ⎜ ⎝ 0 " " " ⎟ b ⎟ ⎟ 0 " nn ⎠ Sau đó với tính chất đặc thù của hệ tam giác trên và hệ tam giác dưới, dùng phép thế ngược ta sẽ có được nghiệm của hệ phương trình phải tìm, cụ thể là : 1 i y = b1 , y = 1 ⎛ ⎜ bi i −1 − ∑  bki y k ⎞ ⎟ (i > 1) b11 1 ⎛ i b i bii ⎝ n ∑ ik k =1 ⎠ ⎞ y k n b x = ⎜ y ii ⎝ − b k =i +1 x ⎟ (i < n), x = n ⎠ nn Chú ý : Khối lượng tính toán của phương pháp này cỡ n 3 phép tính nhân chia. Hệ phương trình AX = B với A là đối xứng thường gặp trong những bài toán xử lý số liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu. Ví dụ : Giải hệ phương trình AX = B nhờ phương pháp phân rã trong đó ⎛ 1 2 1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 5 1⎟ , B = ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 3⎠  a12 ⎝1⎠ 2 Vì b11 = a11 = 1 = 1 , b12 =  b11 = = 2 1 b13 = a13 b11 = 1 = 1 , 1  b22 =  = 1 2 a − b 22 12 b23 = 1 b22  (a23  − b12  23 b13 ) = 1 − 2 = −1 1 b33 =  13 a33 − (b 2 + b 2 ) = 1 nên hệ trên đưa về hai hệ sau : ⎧ 1.y1 = 1 ⎪ ⎧ y1 = 1 ⎪ ⎨ 2.y1 + 1.y 2 = 1 với nghiệm ⎨ y 2 = −1 ⎪ ⎪ ⎩1.y1 + (−1) y 2 + 1.y3 = 1 ⎩ y3 = −1 ⎧1.x1 + 2.x2 + 1.x3 = 1 ⎧x1 = 6 ⎨ và hệ ⎪ ⎪  1.x2 − 1.x3 = −1  x với nghiệm ⎪ = −2 ⎨ 2 ⎪ ⎩ 1.x3 = −1 ⎩x3 = −1 3. PHƯƠNG PHÁP TRỰC GIAO Xét lại hệ phương trình : AX = B với ma trận hệ số A không suy biến. Viết lại phương trình (2) ở dạng : ⎧ n ⎪∑ aij x j − bi = 0 ⎨ j =1 ⎪ ⎩i = 1, n n Kí hiệu ai = (ai1 , ai 2 ,....., ain ,−bi ), i = 1, n , ta có hệ n vectơ {ai }i =1 . Nếu thêm vectơ ai +1 = (0,....,0, 1) thì có hệ ( n + 1 ) véctơ {ai }i =1 trong đó ai ∈ R n +1 , ∀i = 1, n + 1 . Xét quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt cho hệ {a }n +1 , ta thu được : n +1 i i =1 ⎪u ⎧ = a , v = u1 1 1 1 ⎪ ⎨ u1 k −1  (6) ⎪u = a − ∑ (a , v )v , v = u k  , k = 2,..., (n + 1) k k u i =1 k i i k k 1 n +1 Bây giờ xét u n +1 = (t1 , t 2 ,...., t n +1 ) . Giả sử t n +1 = 0 , theo tính chất dãy {ui }i =  rút ra u n +1 trực giao với mọi vectơ ai , i = 1, n ⎧ n  ; vậy ta có : ⎪∑ aij t j = 0 ⎨ j =1 (7) ⎪ ⎩i = 1, n Mặt khác, theo giả thiết A là ma trận không suy biến nên từ (7) rút ra t1 = t 2 = ... = t n = 0 , vậy có u n +1 = (0,0,....,0) , vô lý, nghĩa là t n +1 ≠ 0 Vì u n +1 trực giao với mọi ai (i = 1, n); nên có : ⎧(u n +1 , ai ) = 0 ⎨ ⎩i = 1, n hay khai triển ra ta có : ∑ ⎧ n ⎪ aij t j − bi t n +1 = 0 ⎨ j =1 ⎪ ⎩i = 1, n ⎧ n ⎪∑ a ⎛ t ⎜ j ij ⎜ ⎞ = ⎟ ⎟ bi Chú ý rằng t n +1 ≠ 0 , nên : ⎨ j =1 ⎪ ⎝ t n +1 ⎠ (8) ⎩i = 1, n t ) Hệ thức (8) chứng tỏ rằng trình (1). x = ( x j n j =1 với x j = j t n +1 , j = 1, n , là nghiệm của hệ phương Nhận xét : Phương pháp trực giao hoá tương đối đơn giản, dễ lập trình trên máy tính, khối lượng tính toán ít (cỡ n 3 phép tính). 4. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN Trong R n , người ta thường xét ba chuẩn quen thuộc sau : x = max x ∞ 1≤i ≤ n i n x 1 = ∑ xi i =1 1 ⎛ n ⎞ 2 i ∑ x = ⎜ x 2 ⎟ 2 Khi đó với ma trận  A = (a ⎝ i =1 ) ⎠ ∈ R nxn  sẽ có các chuẩn tương ứng : ij i , j =1,n n A = max ∑ a ji ∞ 1≤i ≤ n  j =1 n A 1 = max ∑ aij 1≤ j ≤n i =1 A 2 = ë1 ( ë1 là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A’.A ). Để giải hệ phương trình AX = B (2) nhờ phương pháp lặp đơn, người ta biến đổi (2) về dạng : X = BX + G ( 10) k Sau đó với x (0) ∈ R n , ta thiết lập dãy {x ( k ) }  bằng cách đặt : ⎧ X ( k +1) = BX ( k ) + G ⎨ ⎩k ≥ 0 k Với một số điều kiện về ma trận B, dãy {x ( k ) }  hội tụ đến nghiệm  (11) x * của hệ (2). Phương pháp lặp xác lặp theo hệ thức (11) để giải hệ phương trình (2) được gọi là phương pháp lặp đơn. Các định lí cơ bản Định lí 1 Nếu  k B < 1 thì với mọi x (0) ∈ R n , dãy {x ( k ) }  xác định bởi (11) hội tụ đến nghiệm duy nhất  x * của hệ phương trình (2), hơn nữa ta có : k Chứng minh  x ( k ) − x * B ≤ 1 − B  x (1) − x (0 ) . Xét toán tử T : R n → R n được xác định bởi TX = BX + G. Khi ấy TX − TX ' ≤ B X − X ' , ∀X , X '∈ R n , điều này chứng tỏ rằng T là toán tử co, áp dụng nguyên lí ánh xạ co ta có điều phải chứng minh. Chú ý 1) Trong không gian R n  thì mọi chuẩn là tương đương cho nên nếu phép lặp (11) hội tụ với một chuẩn nào đó thì nó cũng hội tụ với các chuẩn khác. 2) Vấn đề đưa hệ phương trình (2) về dạng (10) với ma trận B thỏa mãn điều kiện B < 1 là không tầm thường. Nói chung, với mỗi ma trận A cụ thể phải có một kĩ thuật tương ứng kèm theo. Định lí dưới đây cho ta một vài trường hợp điển hình. Định lí 2 Giả sử ma trận  ij A = (a n  ) i , j =1,n  thỏa mãn một trong hai điều kiện sau : a) ∑ aij i ≠ j =1 n b) ∑ aij j ≠i =1 < aii , < a jj , ∀i = 1, n ∀j = 1, n Khi đó luôn có thể đưa được hệ phương trình (2) về dạng (10) với điều kiện B < 1. Chứng minh a. Giả sử điều kiện a) được thỏa mãn, khi đó ta viết lại (2) ở dạng : ⎧ n ⎪aii xi + ∑ aij x j = bi ⎨ ⎪ ⎩i = 1, n i ≠ j =1 ⎧ n ⎛ a ⎞ b ⎜ ⎪xi = − ∑ ⎜ ij ⎟ x + ⎟ j  i Từ đó có : ⎨ i ≠ j =1⎝ aii ⎠ ⎪ aii ⎩i = 1, n Vậy ta đã đưa hệ (2) về hệ phương trình tương đương với nó, ở đó : ⎛ a a a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎜ 0 − 12 ⎜ a11 − 13 a11 " − 1n ⎟ a a11 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ a11 ⎟ ⎜ a21 a23 a2 n ⎟ ⎜ b2 ⎟ a B = ⎜ − ⎜ 22 0 − a22 " − ⎟ , ⎟ ⎟ 22 ⎟ G = ⎜ a ⎜ ⎟ 22 ⎟ ⎜ " " " " " ⎟ ⎜ # ⎟ − ⎜ an1 ⎜ − an 2 − an 3 " 0 ⎜ = bn ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ann ann ann ⎠ ⎝ ann ⎠ Từ điều kiện a) rút ra rằng :  ⎛ n a ⎞ 1≤ j ≤ n ⎜ a 1 ∑ ⎟ B = max⎜ = ij ⎟ < ∞ i ≠i =1 ⎝ ii ⎠ b. Giả sử điều kiện b) được thỏa mãn ta viết lại hệ phương trình (2) ở dạng : ⎧ n ⎪aii xi + ∑ aij x j = bi Đặt  zi = aii xi  thì có hệ : ⎨ ⎪ ⎩i = 1, n i ≠ j =1 ⎧ n ⎛ a ⎞ ⎜ = ij ⎟ ⎪zi = − ∑ ⎜ a ⎟ z j + bi ⎨ i ≠ j =1⎝ ⎪ jj ⎠ i = 1, n Vậy ta có hệ phương trình : Z = BZ + b (12) Ở đó : ⎛ a a a ⎞ ⎜ 0 − 12 ⎜ a22 − 13 a33 " − 1n ⎟ ann ⎟  ⎛ b1 ⎞ ⎜ a21 a23 a2 n ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ b ⎟ B = ⎜ − a 0 − " − ⎟ , ⎟ a a b = ⎜ ⎟ ⎜ 11 33 nn ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ " " " " " ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − an1 ⎝ ⎜ a11 − an 2 a22 − an3 " 0 ⎠ a33 ⎟ ⎝ bn ⎠ Từ điều kiện ta có :  ⎜ ∑ a ⎛ n a ⎞ ⎜ = ij ⎟ B = max 1 1≤ j ≤ n ⎝ j ≠ i =1 jj ⎟ < 1 ⎠ Tóm lại, ta có hệ phương trình : Z = BZ + b với B < 1 1  ⎜ ⎛ z * z *  ⎟ z * ⎞ Chú ý rằng nếu Z * = (z * ,...., z * ) là nghiệm của hệ (12) thì X * = ⎜ 1 , 2 ,...., n ⎟ là 1 n nghiệm của hệ phương trình (2). ⎝ a11 a22 ann ⎠ Ví dụ : Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp lặp đơn : ⎧10 x1 + 2x2 + x3 = 10 ⎪ ⎪ ⎨x1 + 10x2 + 2 x3 = 12 ⎩x1 + x2 + 10x3 = 8 Dễ thấy hệ phương trình này thỏa mãn điều kiện a) ở trong định lí 3.6.2. Ta đưa hệ về dạng : ⎧x1 = ⎪ ⎨x2 = −0,1x1 ⎪ − 0,2x2 − 0,1x3 + 1 − 0,2 x3 + 1,2 ⎩x3 = −0,1x1 − 0,1x2 + 0,8 Với xấp xỉ ban đầu x (0) = (0, 0, 0) , ta thu đuợc kết quả thể hiện qua bảng sau đây : k x1 x2 x3 1 1 1,2 0,8 2 0,68 0,94 0,58 3 0,754 1,016 0,638 4 0,733 0,997 0,623 5 0,7383 1,0021 0,6270 6 0,73688 1,00077 0,62596 7 0,737250 1,00112 0,626235 Có thể thấy nghiệm đúng của hệ này là : = * ⎛ 707 X ⎜ ; ⎝ 955 956 ; 955 598 ⎞ ⎟ và 955 ⎠  X (7 ) là tương đối chính xác. 5. PHƯƠNG PHÁP SEIDEL Trong mục này ta tiếp tục nghiên cứu vấn đề giải hệ phương trình AX = B (2). Giả sử hệ (2) được đưa về dạng : X = BX + G (13) Giả sử rằng đã có các xấp xỉ  x (0) ,  x (1) , .,  x ( k −1) thì lúc đó x ( k ) = (x ( k ) , x ( k ) ,...., x ( k ) ) được xác định bởi : ⎧ n 1 2 n ⎪x ( k ) = ∑ b x ( k −1) + g 1 1 j j 1 ⎪ j =1 ⎪ i −1 n ⎨x ( k ) = ∑ b x ( k ) + ∑ b x ( k −1) + g (14) i ij j ⎪ j =1 ij j i j =i ⎪ ⎪i = 2, n ⎪⎩ Dãy {x ( k ) } xây dựng theo hệ thức (14) để giải hệ phương trình (2) được gọi là dãy xấp xỉ xây dựng theo thuật toán Seidel hoặc theo phương pháp Seidel. ⎛ n ⎞ Định lí : Nếu B = max ∑ bij < 1 thì dãy {x } xây dựng bởi hệ thức (14) hội tụ ∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1≤i ≤ n ⎝ j =1 ⎠ ( k ) đến nghiệm duy nhất của hệ phương trình (2). Chứng minh Theo định lí 3.6.1 thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất x * , nghĩa là : ⎧ * n * ⎪xi ⎨ ⎪ = ∑ bij x j = g i j =1  (15) ⎩i = 1, n Lấy (14) trừ đi (15) từng phương trình ta thu được : i =1 n x ( k +1) − x * = ∑ b (x ( k +1) − x * ) + ∑ b (x ( k ) − x * ) Từ đó ta có : i i ij j j =1 j ij j j j =i x ( k +1) i  * − xi i =1 x = ∑ bij  ( k +1) j  * − x j n x + ∑ bij  ( k ) j  * − x j  (16) i −1 Ta đặt : ∑ bij j =1  = â i ,  n ∑ bij j =i j =1 = ã i , chú ý đến j =i ∞ x = max xi 1≤i ≤ n  , ta có : x ( k +1) − x * ≤  x ( k +1) − x * +  x ( k ) − x * Gọi i0  i là chỉ số mà : i â i ã (17) i ∞ ∞ x ( k +1) − x * = max x ( k +1) − x * = x ( k +1) − x * i0 Từ (6) ta thu được : i0 1≤i ≤ n i i ∞ . ∞ ( k +1) * x ( k +1) − x * ã i i0 0  ∞ ( k ) ≤ â i0 ∞ * x ( k +1) − x * + ã i0 x ( k ) − x * . ∞ Vậy : x − x ≤ (1 − â ) x − x ∞ ã i Đặt v = max ( 0 ) thì sẽ có : 1 − â i 0  x ( k +1) − x * ã i  ≤ v x ( k ) − x * ∞ ∞  (18) i Mặt khác dễ thấy : (â i + ã i ) − (1 − â ) ≥ 0 , từ đó có : ∞ B = max(â i + ã i ) ≥ v , nên v < 1, do đó hệ thức (7) dẫn đến i  lim x k →∞  ( k )  = x *  , nghĩa là dãy {x ( k ) } xây dựng theo phương pháp Seidel hội tụ đến nghiệm duy nhất x * . Nhận xét 1) Tốc độ hội tụ của phương pháp lặp đơn đối với hệ phương trình (2) là : x ( k +1) − x * ≤ B . x ( k ) − x * Mặt khác, tốc độ hội tụ của phương pháp Seidel là : x ( k +1) − x * ≤ v. x ( k ) − x * với v < B 2) Nếu viết lại hệ (2) ở dạng : X = (B1 + B2 ) X + G , trong đó : ⎛ b b " b ⎞ ⎛ 0 0 " 0 ⎞ ⎛ b b " b ⎞ ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ b21 b22 " b2 n ⎟ B ⎜ b21 0 " 0 ⎟ , = ⎜ 0 b22 " b2 n ⎟ B = ⎜ " ⎜ ⎜ ⎝ bn1  " bn 2 " " ⎟ , ⎟ ⎟ b " nn ⎠ 1 = ⎜ " ⎜ ⎜ ⎝ bn1  " 0 bn 2 " "⎟ B2 ⎟ ⎟ " ⎠ ⎜ " " ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 " " ⎟ ⎟ ⎟ b " nn ⎠ thì có thể viết (14) dưới dạng sau đây : 1 2 X ( k +1) = (E − B ) −2 B  1 X ( k ) + (E − B ) −1 G Như vậy phương pháp Seidel cũng là phương pháp lập đơn được áp dụng cho hệ phương trình khác. Ví dụ : Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel : ⎧8x1 − 3x2 + 2x3 = 20 ⎪ ⎪ ⎨4x1 + 12x2 − x3 = 33 ⎩6x1 + 3x2 + 12x3 = 36 với xấp xỉ ban đầu  x (0) = (0, 0, 0) Các tính toán cho bởi bảng sau : k x ( k ) x ( k ) x ( k ) 0 0 0 0 1 2,5 2,1 1,2 2 2,988 2,023 1,000 3 3,0086 1,9969 0,9965 4 2,99971 1,9979 1,00020 5 2,999871 2,00065 1,000048 1 2 3 Chú ý rằng nghiệm đúng của hệ là x * = (3, 2, 1) , từ đó ta thấy trong trường hợp này, phương pháp Seidel hội tụ tương đối nhanh. Phụ lục 5 PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN Thưa quý Thầy Cô, Chúng tôi đang tiến hành một nghiên cứu nhỏ mà để hoàn thành xin được tham khảo ý kiến của quý Thầy Cô. Mong Thầy Cô giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi dưới đây hoặc đánh dấu chéo vào câu mà Thầy cô muốn chọn. Xin chân thành cám ơn. Câu 1 Thầy Cô nghĩ gì nếu trong tương lai, Bộ Giáo dục và Đào tạo quyết định loại bỏ các chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa tham số ra khỏi chương trình toán ở bậc trung học phổ thông? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Câu 2 Bài toán sau dành cho học sinh lớp 10 : An và Bình cùng giải và biện luận hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer (định thức cấp hai) : (*)  ⎪⎧(m −1) x + (m2 − 1) y = 0 ⎩⎪⎨m(m −1) x + (1 − m2 ) y = 1  (m là tham số) nhưng khi tìm được giá trị của m sao cho D = Dx = Dy = 0, mỗi bạn lại đưa ra kết luận trong trường hợp này như sau : An : “Hệ (*) có vô số nghiệm.” Bình : “Hệ (*) vô nghiệm.” Theo em, bạn nào có lý? Giải thích sự lựa chọn của em. Dưới đây là lời giải thích của hai em học sinh. Lời giải A Ta có :  m −1 D =  m2 −1  = m4 – 1 m(m −1) 1 − m2 0 Dx = m2 −1  = m2 – 1 1 1 − m2 Dy = m −1 0 m(m −1) 1  = m – 1 Bạn Bình nói đúng vì với D = Dx = Dy = 0 thì m = 1. Thế m = 1 vào hệ ⎧0 = 0 phương trình (*), ta được : ⎨ ⎩0 = 1 (Vô lý). Vậy trong trường hợp này, hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải B Trước tiên, ta xét : (m – 1)2 + (m2 – 1)2 = (m – 1)2 [1 + (m + 1)2] khác 0 khi m ≠ 1. [m(m – 1)]2 + (1 – m2 )2 = (m – 1)2 [m2 + (m + 1)2] khác 0 khi m ≠ 1. Tiếp theo, ta tính các định thức D, Dx, Dy (tính như trên). Khi D = Dx = Dy = 0, suy ra m = 1 : mâu thuẫn với điều kiện m ≠ 1. Do đó, trong trường hợp này, hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy bạn Bình nói đúng. Với hai lời giải trên đây, Thầy Cô mong đợi lời giải nào nhất? Xin vui lòng cho biết lí do? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Câu 3 Cho bài toán : Hãy giải hệ phương trình sau bằng nhiều phương pháp khác nhau. ⎧mx + y = m ⎩ ⎨ x + 2 y = 1 Theo Thầy Cô, học sinh lớp 10 có biết giải và biện luận hệ phương trình trên bằng nhiều phương pháp khác nhau hay không? Nếu có thì những phương pháp nào có khả năng được học sinh sử dụng? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Câu 4 Sau khi giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức (quy tắc Cramer), Thầy Cô có yêu cầu học sinh nhìn lại mối liên hệ giữa vị trí tương đối của hai đường thẳng với các trường hợp biện luận theo ba định thức D, Dx, Dy trong quy tắc Cramer hay không? a) Thường xuyên b) Ít khi c) Chưa bao giờ Xin Thầy Cô vui lòng cho biết lí do vì sao. .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Phụ lục 6 BỘ CÂU HỎI ĐIỀU TRA DÀNH CHO HỌC SINH Trường : ................................................. Lớp : .......... Họ và tên : ............................................... ) Lưu ý : Học sinh làm bài ngay trên giấy đã phát và không được dùng bút xóa. Bài 1 (làm việc cá nhân) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) tùy theo giá trị của tham số m : (d1) : mx + (m −1) y = m (d2) : (m + 1) x + (m + 1) y = 2m Lời giải ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... Bài 2 (làm việc theo nhóm) Hãy giải hệ phương trình sau bằng nhiều phương pháp khác nhau. ⎧mx + y = m ⎨  (d1 ) ⎩ x + 2 y = 1 (d2 ) Nhóm thắng cuộc là nhóm có nhiều phương pháp giải nhất. Lời giải ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... Bài 3 (làm việc cá nhân) An và Bình cùng giải và biện luận hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer (định thức cấp hai) : (*)  ⎪⎧(m −1) x + (m2 − 1) y = 0 ⎩⎪⎨m(m −1) x + (1 − m2 ) y = 1  (m là tham số) nhưng khi tìm được giá trị của m sao cho D = Dx = Dy = 0, mỗi bạn lại đưa ra kết luận trong trường hợp này như sau : An : “Hệ (*) có vô số nghiệm.” Bình : “Hệ (*) vô nghiệm.” Theo em, bạn nào có lý? Giải thích sự lựa chọn của em. Lời giải ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... Phụ lục 7 MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH