Bài giảng Các vấn đề về khoảng cách trong không gian

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau (tt) Bài tập có hướng dẫn giải Bài 1. Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 .a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Lời giải: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M AG BC  Chóp S.ABC đều, gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên  SG ABC SG BC   , từ đó suy ra  BC SAG . Trong SAM kẻ  MN SA N SA MN BC    . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Ta có: 2 .SAMS SGMAMN SA SA   2 2 2 2 9 3 39 4 2 a a MA AC MC a     2 22 3 3 AG AM a SG SA AG a       3 3 . . 3 32 2 4 a a SG MA a MN SA a     Bài 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và 2.SA a . Đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC. Lời giải: BÀI GIẢNG 03. CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN (Phần IV) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Ta có ( ) SA BC BC SAB AB BC       tại B. Dựng ( )BH SM H SM  . Ta thấy: BH BC . Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC. Ta tính BH như sau: 1 222 . . 3 3 32 2 SBM a BH BM BH a S BH SM SABM BH aSA S a          Bài 3. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 3 . 3 a OB  Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho .SB a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. Lời giải: Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Dễ chứng minh được  BD SAC (vì ,BD AC BD SO  ) Trong mp(SAC) kẻ  OI SA I SA   OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Ta có: 2 26 2 3 3 3 a a SO OA SA SO OA      2 . 3 3 SOAS SOOA aOI SA SA     Bài 4. Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD. Lời giải: Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta thấy ngay ABC ABD  nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay ICD cân tại I. Nên ta có IJ CD . CM tương tự ta có: IJ AB vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IJ 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 IC ID DC CB AC AB DB DA AB DC c b a b c a a b c a                     Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. ( ), 3SA ABCD SA a  . Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng: 1. AD;SC 2. BC;SA 3. AB;SO 4. CD;SO 5. AD;SB Lời giải: 1. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Vì  , do ( ) ( ) , ( )BC AB BC SA SA ABCD BC SAB BC AH AH SB AH SBC          Do   3 AD / /BC SBC / /AD ( , ) ( , ( )) 2 a d AD SC d A SBC AH     (vì ( )AH SBC ) 2. , ( ; ) .AB SA AB BC d BC SA AB a     3. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC. Ta có / / ( ) / / ( ; ) ( ,( ))NP AB SO SNP AB d AB SO d A SNP    . Vẽ ' , / / , ( ) ( ) ' ' ( ) ( , ) ( , ( )) '. AN SN NP CD CD SAD NP SAD AN NP AN SNP d AB SO d A SNP AN            Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 13 39 ( , ) ' ' 3 3 a d AB SO AN AN SA AN a       4. Hạ: 39 ' '/ / ' ' ' ' ' ( , ) ' ' 3 a DD SN DD AN DND ANN DD AN d CD SO DD AN           5. 3 / / ( ) / / ( , ) ( , ( )) 2 a AD BC SBC AD d AD SB d A SBC AH     Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’. Lời giải: Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có:            ' ' , ' , ' , ' 3 ', ' AHD AHC D CK AD CK mp AHD C mp AHD V C mp AHD S     Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được 3 ' ' ' ' 1 . . 3 12 AHC D HC D a V AD S  Xét tam giác AHD có: 2 2 5' ' ; 2 2 a DH DC HC AD a    2 2 3 2 a AH AD HD   2 ' 1 3 1 3 os ' sin ' . ' . ' .sin ' 2 40 10 AD H a c AD H AD H S D AD H AD H          Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD’ là:      ' ' 3 , ' , ' 3 AHD AHC DV aCK AD CK mp AHD S    Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Lời giải: Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Gọi P là trung điểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song song với mặt phẳng (SAC). Mặt khác, BD  (SAC) nên BD  MN. Vì MN // (SAC) nên         1 1 2 d MN;AC d N; SAC • B; SAC = BD= 2 4 4 a d  Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn