Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 4: Cây (Tree)

CHƯƠNG 4: CÂY (TREE) GV. Ngô Công Thắng Bộ môn Công nghệ phần mềm Khoa Công nghệ thông tin Website: dse.hua.edu.vn/ncthang Email: ncthang@vnua.edu.vn Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Chương 4: Cây (Tree) 1. Định nghĩa và khái niệm 2. Cây nhị phân 3. Cây tổng quát 4. Ứng dụng 4.2 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 1. Định nghĩa và khái niệm 1.1. Định nghĩa cây (tree) l Cây là một tập hợp hữu hạn các nút, trong đó có một nút đặc biệt gọi là gốc (root). Giữa các nút có một quan hệ phân cấp gọi là quan hệ cha con. l Một cây không có nút nào gọi là cây rỗng (null tree). l Các ví dụ về cây 4.3 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 1: Mục lục của một chương được biểu diễn dạng cây Chương 6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 4.4 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 2: Biểu thức số học được biểu diễn dạng cây x+y*(z-t)+u/v 4.5 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 3: Các tập bao nhau được biểu diễn dạng cây l Có các tập bao nhau A, B, C, D, E, F 4.6 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 1.2. Các khái niệm l Gốc (Root): Gốc là nút đặc biệt không có nút cha. Ví dụ 3: A là gốc. A là cha của B, E, F. B, E, F là con của A. B, E, F cũng là gốc của các cây con của A l Cấp (Degree): Số con của một nút gọi là cấp của nút đó. Ví dụ 3: A có cấp là 3. E, F có cấp là 0. B có cấp là 2. 4.7 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 1.2. Các khái niệm (tiếp) l Lá (Leaf): Nút có cấp bằng không gọi là lá hay nút tận cùng. Ví dụ 3: C,D,E,F là lá. l Nút nhánh (Branch Node): Nút không là lá được gọi là nút nhánh hay nút trong. Ví dụ 3: B là nút nhánh. l Mức (Level): Gốc cây có mức là 1. Nếu nút cha có mức là i thì nút con có mức là i+1. Ví dụ 3: A có mức là 1. B, E, F có mức là 2. C, D có mức là 3. 4.8 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 1.2. Các khái niệm (tiếp) l Chiều cao của cây (Height) hay chiều sâu của cây (Depth): Là số mức lớn nhất của nút có trên cây. Ví dụ 1: Cây có chiều cao là 3 Ví dụ 2: Cây có chiều cao là 5 Ví dụ 3: Cây có chiều cao là 3 l Đường đi (Path): Nếu n1, n2, ..., nk là các dãy nút mà ni là cha của ni+1 (1£i<k) thì dãy đó gọi là đường đi từ n1 đến nk. Độ dài của đường đi bằng số nút trừ đi 1. . Ví dụ 3: Đường đi từ A đến C cố độ dài là 3-1=2. Đường đi từ A đến E cố độ dài là 2-1=1. 4.9 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 1.2. Các khái niệm (tiếp) l Nếu thứ tự các cây con của một nút được coi trọng thì cây đang xét là cây có thứ tự, ngược lại là cây không có thứ tự. l Thường thì thứ tự các cây con của một nút được đặt từ trái sang phải. 4.10 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 1.2. Các khái niệm (tiếp) l Đối với cây, ngoài quan hệ cha con, người ta còn mở rộng phỏng theo quan hệ trong gia tộc. l Rừng (Forest): Nếu có một tập hữu hạn các cây phân biệt thì ta gọi tập đó là rừng. l Nếu bỏ nút gốc của một cây thì ta sẽ có một rừng. 4.11 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2. Cây nhị phân 2.1. Định nghĩa và tính chất 2.1.1. Định nghĩa cây nhị phân l Cây nhị phân là dạng đặc biệt của cấu trúc cây, mọi nút trên cây chỉ có tối đa là 2 con. l Đối với cây con của một nút người ta phân biệt cây con trái và cây con phải. Như vậy cây nhị phân là cây có thứ tự. 4.12 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 1: Hai cây sau đây là khác nhau 4.13 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 2: Cây nhị phân suy biến có dạng một danh sách tuyến tính Cây lệch trái Cây lệch phải 4.14 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 2: Cây nhị phân suy biến có dạng một danh sách tuyến tính (tiếp) Cây zíc zắc 4.15 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.1.1. Định nghĩa cây nhị phân (tiếp) l Cây nhị phân hoàn chỉnh: Là cây nhị phân mà các nút nhánh ở các mức đều có hai nút con. 4.16 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.1.1. Định nghĩa cây nhị phân (tiếp) l Cây nhị phân đầy đủ: Là cây nhị phân mà các nút ở mọi mức của nút nhánh đều có hai con. Cây nhị phân đầy đủ là trường hợp đặc biệt của cây nhị phân hoàn chỉnh. 4.17 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.1.2. Tính chất l Số lượng tối đa các nút ở mức i trên 1 cây nhị phân là 2(i-1) (i³1). l Số lượng tối đa các nút trên 1 cây nhị phân có chiều cao h là 2h – 1. 4.18 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.2. Lưu trữ cây nhị phân 2.2.1. Lưu trữ kế tiếp l Với cây nhị phân đầy đủ, ta đánh số các nút từ 1 trở đi, từ trái qua phải, hết mức này đến mức khác. l Dùng mảng V lưu trữ cây nhị phân, nút thứ i của cây được lưu trữ ở ô nhớ V[i]. Ví dụ: 4.19 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.2.1. Lưu trữ kế tiếp (tiếp) l Với cách lưu trữ bằng mảng, khi biết địa chỉ của nút cha sẽ tính được địa chỉ của nút con và ngược lại. Nếu nút cha là i thì con trái là 2i và con phải là 2i+1. Nếu nút con là I thì nút cha là [i/2]. l Nếu cây không đầy đủ ta phải thêm các nút trống vào để đươc cây nhị phân đầy đủ, sau đó lưu trữ cây đầy đủ đã tạo ra. 4.20 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 4.21 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.2.2. Lưu trữ bằng danh sách liên kết l Trong cách lưu trữ này, mỗi nút ứng với một phần tử nhớ có quy cách dưới đây. l Để truy nhập vào các nút trong cây nhị phân cần có một con trỏ T trỏ vào nút gốc của cây đó. l Người ta quy ước: Nếu cây rỗng thì T = F 4.22 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ 4.23 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.3. Các phép toán duyệt cây nhị phân l Phép xử lý các nút trên cây (gọi chung là phép thăm - visit) là cách thăm tất cả các nút của cây một cách hệ thống, sao cho mỗi nút chỉ được thăm một lần. l Một nút có 2 con, ta có 3 cách duyệt, các cách duyệt được định nghĩa đệ quy như sau: l Cách 1: Duyệt theo thứ tự trước (preorder traversal) l Thăm gốc lDuyệt cây con trái theo thứ tự trước lDuyệt cây con phải theo thứ tự trước 4.24 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.3. Duyệt cây nhị phân (tiếp) l Cách 2: Duyệt theo thứ tự giữa (inorder traversal) l Duyệt cây con trái theo thứ tự giữa l Thăm gốc l Duyệt cây con phải theo thứ tự giữa l Cách 3: Duyệt theo thứ tự sau ( postorder traversal) l Duyệt cây con trái theo thứ tự sau l Duyệt cây con phải theo thứ tự sau l Thăm gốc 4.25 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ với cây nhị phân sau: l Duyệt theo thứ tự trước: A B D E C F G l Duyệt theo thứ tự giữa: D B E A F C G l Duyệt theo thứ tự sau: D E B F G C A 4.26 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 2.3. Duyệt cây nhị phân (tiếp) l Các thủ tục duyệt cây nhị phân đều được viết ở dạng đệ qui. l Giả sử cây nhị phân lưu trữ bằng danh sách liên kết, T là con trỏ trỏ tới gốc, phép thăm là in giá trị trường Infor của nút đó. 4.27 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Duyệt cây theo thứ tự trước: Procedure Preorder(T) If T = f then Return Else Begin Write(Infor(T)) Call Preorder(Lptr(T)) Call Preorder(Rptr(T)) End; Return 4.28 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Duyệt cây theo thứ tự giữa: Procedure Inorder(T) If T = f then Begin Return End Else Begin Call Inorder(Lptr(T)) Write(Infor(T)) Call Inorder(Rptr(T)) End; Return 4.29 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Duyệt cây theo thứ tự sau: Procedure Postorder(T) If T = f then Begin Return End Else Begin Call Postorder(Lptr(T)) Call Postorder(Rptr(T)) Write(Infor(T)) End; Return 4.30 Bài tập l Bài 1: l Xây dựng cây nhị phân biểu diễn biểu thức: (a+b/c)*(d-e*f) l Vẽ sơ đồ lưu trữ cây nhị phân biểu diễn biểu thức ở dạng lưu trữ kế tiếp, lưu trữ liên kết. l Cho biết thứ tự các nút khi duyệt cây nhị phân đó theo 3 cách. Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 4.31 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Bài tập (tiếp) Bài 2. Cho cây nhị phân dưới đây. Hãy l Vẽ sơ đồ lưu trữ cây nhị phân ở dạng lưu trữ kế tiếp và lưu trữ liên kết l Cho biết thứ tự các nút khi duyệt cây nhị phân đó theo 3 cách. 4.32 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 3. Cây tổng quát l Cây tổng quát là cây có cấp m nào đó. l Nếu biểu diễn cây tổng quát bằng danh sách liên kết thì một nút có bao nhiêu nhánh sẽ có bấy nhiêu trường liên kết, cách biểu diễn này phức tạp. Nếu biểu diễn cây bằng mảng thì quá trình xử lý cũng rất phức tạp. l Để đơn giản ta biểu diễn cây tổng quát bằng cây nhị phân. Ta nhận thấy với bất kỳ nút nào trên cây tổng quát nếu có thì chỉ có: l Một nút con cực trái (con cả) l Một nút em kề cận phải 4.33 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 3. Cây tổng quát l Khi chuyển sang cây nhị phân tương đương, mỗi nút có con trái là con cực trái, con phải là em kề cận phải. l Mỗi nút của cây tổng quát có có qui cách như sau: 4.34 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ: Cây tổng quát Cây nhị phân tương đương 4.35 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 3. Cây tổng quát l Sau khi chuyển thành cây nhị phân tương đương ta có thể lưu trữ cây tổng quát bằng danh sách liên kết. l Duyệt cây tổng quát sử dụng các phép duyệt cây nhị phân tương đương. 4.36 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 4. Ứng dụng 4.1. Cây biểu diễn biểu thức l Biểu thức số học với các phép toán 2 ngôi như + - * / có thể biểu diễn bởi cây nhị phân có các nút với quy cách như sau: 4.37 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 4.1. Cây biểu diễn biểu thức (tiếp) l Nếu không phải nút lá thì giá trị của TYPE sẽ là 1, 2, 3, 4, 5 ứng với các phép +, - , *, /, q (đổi dấu). l Nếu là nút lá thì TYPE có giá trị là 0 để chỉ biến hoặc hằng tương ứng với nút đó, còn RPTR trỏ tới địa chỉ trong bảng ký hiệu của biến hoặc hằng và LPTL = Null. l Ta kí hiệu Value(F) là giá trị ô F l E là con trỏ trỏ tới gốc cây. l F là con trỏ phụ. 4.38 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Ví dụ: Biểu diễn biểu thức a*b+c/2 bằng cây nhị phân sau: 4.39 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 4.2. Định giá trị biểu thức l Thuật giải định giá trị biểu thức biểu diễn bởi cây nhị phân có gốc E. Thuật giải này được viết dưới dạng đệ quy: Function EVAL(E) Case TYPE(E)=0: Begin F:=RPTR(E) Return(Value(F)) End TYPE(E)=1: Return ( EVAL(LPTR(E))+EVAL(RPTR(E))) TYPE(E)=2: Return ( EVAL(LPTR(E))-EVAL(RPTR(E))) TYPE(E)=3: Return ( EVAL(LPTR(E))*EVAL(RPTR(E))) TYPE(E)=4: Return ( EVAL(LPTR(E))/EVAL(RPTR(E))) TYPE(E)=5: Return ( - EVAL(RPTR(E))) Else Return(00) End case Return 4.40 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 4.3. Xác định 2 biểu thức tương đương l Cho 2 cây nhị phân biểu diễn biểu thức trỏ bởi A, B. Hàm xác định 2 biểu thức tương đương Similar cho giá trị True nếu 2 biểu thức tương đương, ngược lại cho giá trị False. 4.41 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 Hàm Similar Function Similar(A,B) Bước 1 { Kiểm tra loại gốc cây} If TYPE(A)# TYPE(B) then Return(False) Bước 2 { Kiểm tra tính tương đương } Case TYPE(A)=0 : If Value(RPTR(A)) # Value(RPTR(B)) then Return(False) Else Return(True) TYPE(A)=1 OR TYPE(A)=3 : { Phép + hoặc * } Begin Return (Similar( LPTR(A), LPTR(B)) AND Similar(RPTR(A), RPTR(B)) OR Similar( LPTR(A), RPTR(B)) AND Similar(RPTR(A), LPTR(B))) TYPE(A)=2 OR TYPE(A)=4 : { Phép - hoặc / } Begin Return (Similar( LPTR(A), LPTR(B)) AND Similar(RPTR(A), RPTR(B))) TYPE(A)=5 : { Phép đảo dấu } Return (Similar(RPTR(A), RPTR(B))) End Case Retun 4.42 Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 04 BTVN l Xây dựng cây nhị phân biểu diễn biểu thức sau: a/b - c*d l Viết giả mã tính giá trị của biểu thức trên. 4.43