Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 6: Giải thuật sắp xếp

CHƯƠNG 6 GIẢI THUẬT SẮP XẾP GV. Ngô Công Thắng Bộ môn Công nghệ phần mềm Khoa Công nghệ thông tin Website: dse.vnua.edu.vn/ncthang Email: ncthang@vnua.edu.vn Chương 6: Giải thuật sắp xếp 1. Sắp xếp chọn (Selection Sort) 2. Sắp xếp chèn (Insert Sort) 3. Sắp xếp nổi bọt (Bubble Sort) 4. Sắp xếp nhanh (Quick Sort) 5. Sắp xếp vun đống (Heap Sort) 6. Sắp xếp hòa nhập (Merge Sort) Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.2 1. Sắp xếp chọn (Selection Sort) 1.1. Phương pháp • Giả sử cần sắp xếp tăng dần một dãy khoá a1, a2,..., an. • Ý tưởng của thuật toán như sau: – Chọn phần tử có khoá nhỏ nhất . – Đổi chỗ nó với phần tử a1. – Sau đó lặp lại thao tác trên với n-1 phần tử còn lại, rồi lại lặp lại như trên với n-2 phần tử còn lại,..., cho tới khi chỉ còn 1 phần tử. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.3 1.1. Phương pháp (tiếp) • Ví dụ: Cho dãy khoá ban đầu là: 6, 10, 1, 8, 9 với n=5. i=1 1, 10, 6, 8, 9 i=2 1, 6, 10, 8, 9 i=3 1, 6, 8, 10, 9 i=4 1, 6, 8, 9, 10 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.4 1.1. Phương pháp (tiếp) Procedure Selection_sort(a,n); For i:= 1 to n-1 Do Begin {Tìm phần tử nhỏ nhất ở vị trí k } k:=i; For j:=i+1 To n Do If a[j] < a[k] then k:=j {Đổi chỗ phần tử nhỏ nhất k cho phần tử i} If k ≠ i then a[k]«a[i]; End Return Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.5 2.2. Đánh giá giải thuật Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 • Với giải thuật trình bày ở trên thì phép toán tích cực là phép so sánh (a[j]<a[k]). • Gọi C là số lượng phép so sánh, C được tính như sau: Ở lượt thứ i (i=1, 2, , n-1), để tìm khoá nhỏ nhất cần n-i phép so sánh. Số lượng phép so sánh này không phụ thuộc vào tình trạng ban đầu của dãy khoá. Do đó ta có: • Vậy, độ phức tạp tính toán là O(n2) 6.6 2. Sắp xếp chèn (Insert Sort) 2.1. Phương pháp • Phương pháp này được những người chơi bài hay dùng. • Giả sử cần sắp xếp tăng dần dãy khoá a1, a2,..., an. Ý tưởng thuật toán như sau: – Các phần tử được chia thành dãy đích: a1,..., ai-1 (kết quả) và dãy nguồn ai,..., an. – Bắt đầu với i=2, ở mỗi bước phần tử thứ i của dãy nguồn được lấy ra và chèn vào vị trí thích hợp trong dãy đích sao cho dãy đích vẫn tăng dần. Sau đó i tăng lên 1 và lặp lại. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.7 2.1. Phương pháp • Ví dụ: Cho dãy khoá 6, 10, 1, 7, 4 với n=5 (dãy số có 5 phần tử). Dãy đích Dãy nguồn 6 10, 1, 7, 4 i=2 6, 10 1, 7, 4 i=3 1, 6, 10 7, 4 i=4 1, 6, 7, 10 4 i=5 1, 4, 6, 7, 10 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.8 Thủ tục chèn Procedure Insert_sort(a,n) 1) a[0]:=-¥ 2) For i:=2 to n Do Begin tg:=a[i]; j:=i-1; While tg<a[j] Do Begin a[j+1]:=a[j]; j:=j-1; End; a[j+1]:=tg; {đưa tg vào đúng vi trí} End; Return Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.9 2.2. Đánh giá thuật toán • Phép toán tích cực trong thuật toán này là phép so sánh (tg<a[j]). Số phép toán so sánh C được tính như sau: – Trường hợp thuận lợi nhất là dãy khoá a1, a2,..., an đã được sắp, như vậy mỗi lần chỉ cần 1 phép so sánh. Do vậy Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.10 2.2. Đánh giá thuật toán • Trường hợp xấu nhất nếu dãy khoá sắp theo thứ tự ngược với thứ tự sắp xếp thì ở lượt i cần có: C= (i-1) phép so sánh. Do vậy • Trường hợp trung bình: Giả sử mọi giá trị khoá đều xuất hiện đồng khả năng thì trung bình phép so sánh ở lượt thứ i là Ci = i/2, do đó số phép so sánh trung bình của giải thuật này là: • O(n2) Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.11 3. Sắp xếp nổi bọt (Bubble Sort) 3.1. Phương pháp • Giả sử cần sắp xếp tăng dần dãy khoá a1, a2,..., an. Ý tưởng thuật toán như sau: – Đổi chỗ các phần tử liền kề nhau theo thứ tự tăng dần, lần thứ nhất số nhỏ nhất của dãy được đẩy lên vị trí đầu tiên (gọi là phần tử được sắp). – Tiếp tục đổi chỗ các phần tử liền kề của dãy chưa sắp, lần thứ 2 ta được số nhỏ nhất của dãy chưa sắp được đưa lên đầu dãy chưa sắp. – Cứ tiếp tục làm tương tự như trên cho đến khi dãy chỉ còn 1 phần tử. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.12 3.1. Phương pháp (tiếp) • Ví dụ: Cho dãy khoá ban đầu là: 6, 3, 7, 10, 1, 8 với n=6. 6, 3, 7, 10, 1, 8 i=1 1, 6, 3, 7, 10, 8 i=2 1, 3, 6, 7, 8, 10 i=3 1, 3, 6, 7, 8, 10 i=4 1, 3, 6, 7, 8, 10 i=5 1, 3, 6, 7, 8, 10 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.13 Thủ tục sắp xếp nổi bọt Procedure Bubble_sort(a,n) For i:= 1 to n-1 Do For j:= n downto i+1 Do If a[j]<a[j-1] then a[j] a[j-1]; Return Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.14 3.2. Đánh giá thuật toán • Giải thuật này tương tự như giải thuật sắp xếp bằng cách chọn trực tiếp (mục 1), do đó có: • Nhận xét: Với 3 phương pháp sắp xếp trên, nếu n vừa và nhỏ thì phương pháp chèn trực tiếp (insert sort) tỏ ra tốt hơn, nếu với n lớn thì cả 3 phương pháp đều có cấp O(n2), đây là một chi phí thời gian khá cao. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.15 4. Sắp xếp nhanh (Quick Sort) 4.1. Phương pháp • Sắp xếp nhanh (quick sort) còn được sắp xếp phân đoạn (partition sort). • Ý tưởng thuật toán: – Chọn ngẫu nhiên một phần tử x. – Duyệt từ bên trái mảng cho tới khi có một phần tử ai>=x – Sau đó duyệt từ bên phải mảng cho tới khi có một phần tử aj=<x – Đổi chỗ ai và aj – Tiếp tục duyệt và đổi chỗ cho tới khi 2 phía gặp nhau. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.16 4.1. Phương pháp (tiếp) • Kết quả mảng được chia thành 2 phần: bên trái là các phần tử < x, bên phải là các phần tử > x. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.17 Thủ tục sắp xếp nhanh Procedure Q_sort(L,R); 1) If L>=R then return; 2) i:=L; j:=R ; k:=(L+R) div 2; 3) x:=a[k]; 4) Repeat While a[i] <x Do i:=i+1; While a[j] >x Do j:=j-1; If i<j then a[i] « a[j] Until i=j 5) Call Q_sort(L,j-1); { Thực hiện trên nửa <x } 6) Call Q_sort(j+1,R); { Thực hiện trên nửa >x } Return Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.18 4.2. Đánh giá • Người ta đã chứng minh được thời gian trung bình thực hiện giải thuật là: Ttb= O(nlog2n) • Như vậy, với n khá lớn Quick sort có hiệu lực hơn 3 thuật giải trên. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.19 5. Sắp xếp vun đống (Heap Sort) 5.1. Phương pháp • Một cây nhị phân có chiều cao h được gọi là đống khi: – Là cây nhị phân hoàn chỉnh mà các nút lá ở mức h- 1 phải nằm phía bên trái. – Khoá ở nút cha bao giờ cũng lớn hơn khoá ở nút con. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.20 5. Sắp xếp vun đống (Heap Sort) 5.1. Phương pháp • Thuật toán sắp xếp vun đống chia làm 2 giai đoạn. • Giai đoạn 1: Tạo đống. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.21 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.22 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.23 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.24 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.25 - Lặp lại các bước tương tự cho các cây còn lại. Cuối cùng ta thu được dãy đã sắp là s=(11, 23, 42, 58, 65, 74) * Giải thuật vun đống: - Một lá coi như cây con là một đống. - Thuật toán tiến hành từ đáy lên: Chuyển đổi thành đống cho một cây con mà cây con trái và cây con phải của gốc đã là một đống. Cây nhị phân hoàn chỉnh có n nút thì với chỉ số [n/2] trở lên có thể là nút cha: [n/2], [n/2 ]-1, . . . , 1. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.26 a) Thủ tục vun đống: Chỉnh lý cây nhị phân con hoàn chỉnh gốc i trên cây nhị phân có n nút để trở thành “đống” với điều kiện cây con trái và cây con phải có gốc là 2i và 2i+1 đã là đống. Procedure ADJUST(i,n) 1. { Khởi đầu } Key:=K[i]; j:=2*i; 2. { Chọn con ứng với khoá lớn nhất trong 2 con của i } While j<=n Do Begin If (j<n) and (K[j]<K[j+1]) then j:=j+1; Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.27 a) Thủ tục vun đống: 3. { So sánh khoá cha với khoá lớn nhất } If Key > K[j] then Begin K[j/2]:=Key; Return; End; K[j/2]:=K[j]; j:=2*j; End; {Kết thúc while} 4. { Đưa Key vào vị trí của nó } K[j/2]:=Key; 5. Return; Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.28 b) Thủ tục sắp xếp vun đống: Procedure Heap_Sort(K,n) 1. { Tạo đống ban đầu } For i:=[n/2] Downto 1 Do Call ADJUST(i,n) 2. { Sắp xếp } For i:= n-1 Downto 1 Do Begin tg:=K[1]; K[1]:=K[i+1]; K[i+1]:=tg; Call ADJUST(1,i); End; 3. Return 5.2. Đánh giá Thời gian thực hiện trung bình của giải thuật này là O(nlog2n).Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.29 6. Sắp xếp kiểu hoà nhập ( MERGE SORT) 6.1. Phép hoà nhập 2 đường Thực hiện hợp nhất các bản ghi của 2 bảng đã được sắp xếp thành 1 bảng được sắp. a) Phương pháp: So sánh 2 khoá nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất của 2 bảng) để đưa vào miền sắp xếp. Quá trình cứ tiếp tục cho tới khi 2 bảng đã cạn. b) Giải thuật: Bảng 1: (xb, ..., xm ) Bảng 2: (xm+1, ..., xn ) Bảng sắp: (zb, ..., zn) Ví dụ: Bảng 1: (3, 5, 10, 16 ) Bảng 2: (1, 4, 15 ) Bảng sắp: (1, 3, 4, 5, 10, 15, 16)Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.30 * Thủ tục như sau: Procedure MERGE(X,b,m,n,Z); 1. i:=k:=b; j:=m+1; 2. While (i<=m) and (j<=n) Do Begin If x[i]<=x[j] then Begin Z[k]:=x[i]; i:=i+1; End Else Begin z[k]:=x[j]; j:=j+1; End; k:=k+1; End;Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.31 * Thủ tục như sau: 3. { Một trong 2 bảng con đã cạn } If i>m then (zk, ..., zn):= (xj, ..., xn) Else (zk, ..., zn):= (xi, ..., xm) 4. Return Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.32 6.2. Sắp xếp kiểu hòa nhập trực tiếp (Straight two way merge ) * Bảng con đã được sắp gọi là một mạch ( run). * Mỗi bản ghi coi như 1 mạch có độ dài ( kích thước ) là 1. Nếu hoà nhập 2 bảng như vậy ta được 1 mạch mới có độ dài =2. Hoà nhập 2 mạch có độ dài là 2 ta được một mạch có độ dài là 4, ... * Thủ tục MPASS thực hiện một bước của sắp xếp hoà nhập. Nó hòa nhập từng cặp mạch kề cận nhau, có độ dài L, từ bảng X sang bảng Y, n là số lượng khoá ( bản ghi ) trong X. Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.33 Procedure MPASS(X,Y,n,L) 1. i:=1; 2. Hoà nhập cặp mạch có độ dài L } While i<= n-(2L-1) Do Begin Call MERGE(X,i,i+L-1,i+2L-1, Y) i:=i+2L; End; 3. { Hoà nhập cặp mạch còn lại cuối cùng với tổng độ dài <2L} If i+L-1 <n then Call MERGE(X,i,i+L-1,n,Y) Else (yi, ..., yn):= (xi, ..., xn); 4. Return Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.34 Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.35 6.3. Đánh giá Thời gian thực hiện trung bình của giải thuật là: Ttb = O(nlog2n) * Nhận xét chung: - Với n nhỏ có thể dùng các phương pháp: chọn trực tiếp, chèn trực tiếp, đổi chỗ trực tiếp. - Với n lớn: Nếu dãy khoá không sắp dùng Quick sort, nếu dãy khoá có sắp dùng Heap sort.Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.36