Bài giảng Cơ học kỹ thuật - Chương 2: Động lực học cơ hệ. Công, năng lượng - Nguyễn Quang Hoàng

Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME CHAPTER Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC Engineering Mechanics: KINETICS Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ học ứng dụng Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -2- Nội dung I. CÔNG CỦA LỰC VÀ CÔNG CỦA NGẪU LỰC II. ĐỘNG NĂNG VÀ ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG III. LỰC BẢO TOÀN, THẾ NĂNG. ĐỊNH LÝ BẢO TOÀN CƠ NĂNG IV. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI 2 Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -3- I. CÔNG CỦA LỰC VÀ CÔNG CỦA NGẪU LỰC 1. Công của lực 2. Công của ngẫu lực 3. Công của một số lực thường gặp 4. Công suất và hiệu suất Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -4- 1. Công của lực cosd A F dr Fds      Công là đặc trưng tác dụng của lực theo di chuyển. d A F vdt Fv dtcos     x x y y z z x y z F F e F e Fe dr dxe dye dze               Đơn vị của công là Jun, ký hiệu là J. Đơn vị này có thể gọi là Niutơn mét, ký hiệu là N.m. Công nguyên tố của lực F trong di chuyển dr: Trong hệ trục tọa độ Đề - các dr vdt  F  r dr+  dr  a M N x e  z e  y e  x z y O r  x y z d A F dr F dx F dy Fdz         Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -5- 1. Công của lực Công của lực trong di chuyển hữu hạn   N N M M r s MN r s N x y zM A F dr F ds F dx F dy Fdz cos             Trường hợp Fcos = const. MN A F scos  F M N s F  r dr+  dr  a M N x e  z e  y e  x z y O r  d A F dr     Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -6- 2. Công của ngẫu lực A B A B d A F dr F dr F v dt F v dt                B A v v u d dt             a b c b c a F u u F( ) ( ) ( ) ( )                     A A A A dA F v dt F v u dt F v dt F v dt F u dt F u dt u F dt ( ) ( ) ( ) ( )                                       Công của ngẫu lực tác dụng lên vật rắn z z if M A M = const   A B u  w F  F ¢ B r  A r  M F F( , )   A A A A F v dt F v dt F v dt F v dt 0                A dA u F d m F d M d ( ) ( )                Công của ngẫu lực tác dụng lên vật rắn quay quanh trục z cố định z dA M d M d     e  dj z M Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -7- 3. Tính công của một số lực thường gặp G  x y z x y O z M0 M1 Công của trọng lực   0 1 0 1 1 01 1 1, 1, 0, 0,1 1 1, 0, 1, 0, ( ) , ( ) , | | n n k k k C k k kk kM M n n C k k C k kk k C C C CM M A G z z Gz G z G G Gz G z Gz G z A G z z Gh h z z                         0 0 0 0 1 1 1 1 ( , , ) ( , , )M x y z M x y z z G Ge d A G dr Gdz         Công thức trên cho thấy công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt lực mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối của đường di chuyển. Công của trọng lực tác dụng lên cơ hệ bằng tổng công trọng lực tác dụng lên các chất điểm thuộc hệ   M M r z M M r z M M A G dr Gdz G z z h z z A Gh 11 0 1 00 0 1 1 0 1 0 ( ) | |,                Khi lực di chuyển: Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -8- 3. Tính công của một số lực thường gặp N M r dh N Mr d A F dr kr dr A kr dr k r r2 2 1 ( ) 2                      F Mr  N r  x y z O M N Cũng như công của trọng lực, công của lực đàn hồi tuyến tính cũng chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc quỹ đạo điểm đặt lực. Công của lực đàn hồi tuyến tính , dh F kr k const    M N if r A kr k2 2 1 1 0 2 2       N r  độ dãn (hoặc nén) của lò xo tính từ vị trí cân bằng k l0 s s s A ksds ks 2 0 0 1 2- = - = -ò dh F ks   dh M k  k A k d k 2 0 0 1 2 j j j j j- = - = -ò Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -9- 3. Tính công của một số lực thường gặp x y z O A B u  w F  B A A d A F dr F v u dt F dr u F dt ( ) ( ) ( )                      B Av v u d dt             ( ) ( )a b c b c a         Công của lực tác dụng lên vật rắn Vật tịnh tiến (B, C thuộc vật) A là điểm bất kỳ thuộc vật B C d A F dr F dr       Vật quay quanh trục cố định O z d A F dr F r dt r F dt m F d m F d ( ) ( ) ( ) ( )                           Vật là tấm CĐSP u   ( ) A A d A F dr m F d      z if M m F A M ( ) = const     e  dj F  B r  O dr vdt rdt    A A d A F dr m F d( )         Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -10- 3. Tính công của một số lực thường gặp Công của lực ma sát trượt (if N = const) ms ms ms ms d A F vdt F vdt F ds F N d A Nds A Ns                      v Fms s N Công của lực ma sát trượt luôn âm. Công của lực ma sát khi vật lăn không trượt: 0 ms I ms ms d A F v dt d A m dt m d            Công của lực ma sát Công của ngẫu lực ma sát lăn P N Fms mms I F 0 I v  ds d ds R/  Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -11- 3. Tính công của một số lực thường gặp Công của các nội lực trong cơ hệ: M r  N r  21F 12F  u  O N M M r  N r  21F 12F  u  O N M  u e M Nd A F dr F dr21 12        Nếu khoảng cách giữa hai điểm M và N thuộc hệ có thể thay đổi, chẳng hạn có một lò xo nối hai điểm này, khi đó du  0 và nội lực sẽ sinh công. Như vậy, có thể kết luận là nội lực có thể sinh công hoặc không sinh công tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Trường hợp hai điểm M và N thuộc một vật rắn, khoảng cách giữa hai điểm không đổi, khi đó du = 0 và nội lực không sinh công.N M N M u u u N M u r r u dr dr du du d ue due dt u due d u d dt dr dr due d u ( ) ,                                         M M u u u u d A F dr F dr due d u F due F d u F due u F d d A F due F du 21 12 12 12 12 12 12 12 ( ) ( ) ( )                                            Liên kết dây căng không dãn và tại các khớp trơn nhẵn (không ma sát): nội lực không sinh công. Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -12- 4. Công suất và hiệu suất Công suất của máy được đo bởi khả năng sinh công hay cung cấp năng lượng trong một đơn vị thời gian. Công suất là công do lực sinh ra trong một đơn vị thời gian, ký hiệu công suất là P, theo định nghĩa: cos cos [W=J/s] dA P F v Fv F s dt         power output energy output power input energy input     Đơn vị của công là Oát (Watt), ký hiệu là W, (1 W = 1 J/s). Hiệu suất cơ học của máy được định nghĩa là tỷ lệ của công suất hữu ích tạo ra bởi máy và công suất đầu vào cung cấp cho máy. dA M d P M dt dt [W=J/s]      Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -13- II. ĐỘNG NĂNG VÀ ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 1. Động năng của cơ hệ 2. Định lý động năng 3. Ví dụ áp dụng Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -14- 1. Động năng của cơ hệ m O ( )r t  v  Động năng của chất điểm 2 21 1 , 0 2 2 T mv mv T   2 2[kg m / s ] N m J    Động năng của vật rắn C A P O0 vdm w C s  r  O r  u  s  B A A A A A T v dm v s v s dm v v dm v s dm s s dm 21 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 w w w w w = = + ´ ⋅ + ´ = ⋅ + ⋅ ´ + ´ ⋅ ´ ò ò ò ò ò              AB T v dm v v s2 1 , 2 w= = + ´ò     C sdm ms udm, 0= =ò ò   CA C T mv u u dm21 1 ( ) ( )2 2 w wº  = + ´ ⋅ ´ò    Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -15- 1. Động năng của cơ hệ Động năng của vật rắn phẳng A B I s dm2= ò uw ^  2 2 2( ) ( ) , A A A k s s s s v v vw w w w w= ^  ´ ⋅ ´ = ⋅ =       A C dm v C v  u  w C s  s  B B A A C A T v dm v vdm mv mv s I 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) 2 2 w w = = ⋅ = + ⋅ ´ + ò ò     Nếu chọn điểm A trùng với khối tâm C của vật, khi đó sC = 0 C C T mv I2 2 1 1 2 2 w= + C B I u dm2= ò Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -16- 1. Động năng của cơ hệ 2 21 1 2 2B T v dm mv= =ò  Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến 0w = z e   A e  v  r  h dm Động năng của vật rắn quay quanh trục cố định z v h hw q= =  ( ) zB B z B T v dm h dm I I h dm 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 w w= = = = ò ò ò  Động năng của cơ hệ gồm nhiều vật rắn Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng của các vật thuộc hệ. Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -17- 2. Định lý động năng / đối với chất điểm dT P F v dt = = ⋅  Định lý 1. Đạo hàm theo thời gian động năng của chất điểm bằng công suất của lực tác dụng lên chất điểm: Chứng minh: Xuất phát từ tiên đề 2 Newton 21 1( ) ( ) ( ) 2 2 d d d d v mv mv v mv T dt dt dt dt ⋅ = ⋅ = =     dT F vdt F dr d A¢= ⋅ = ⋅ =   r r T T A mv mv F dr 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 , 2 2- - = - = ⋅ò     d d mv F v mv F v dt dt ( ) ( )=  ⋅ = ⋅     Định lý 2. (dạng vi phân) Định lý 3. (dạng hữu hạn) 1 1 2 2 T A T-+ = m O r  v  F  (1) (2) (3) (4) Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -18- 2. Định lý động năng / đối với cơ hệ Định lý 4. Đạo hàm theo thời gian động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của các nội lực và ngoại lực tác dụng lên cơ hệ: kx ky kz e kF  i kF  x y z mk O m1 k v  e i k k k k k kk k k dT F v F v F v dt = ⋅ = ⋅ + ⋅å å å     21( ) 2 e i k k k k k k k k k d m v F v F v dt = ⋅ + ⋅å å å    21( ) 2 e i k k k k k k d m v F v F v dt = ⋅ + ⋅    Chứng minh. Đối với một chất điểm Mk thuộc cơ hệ Lấy tổng hai vế với tất cả các chất điểm thuộc hệ (1) (2) Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -19- 2. Định lý động năng / đối với cơ hệ kx ky kz e kF  i kF  x y z mk O m1 k v  ( ) ( )e i e i k k k k k k k k k k dT F v dt F v dt d A F d A F¢ ¢= ⋅ + ⋅ = +å å å å     Định lý 5. (dạng vi phân) Định lý 6. (dạng hữu hạn) e i k k k k k k dT F v F v dt = ⋅ + ⋅å å   2 1 1 2 1 2 ( ) ( )e i k k k k T T A F A F- -- = +å å  Lưu ý • Định lý động năng dạng hữu hạn cho ta quan hệ giữa vận tốc và dịch chuyển. • Khi áp dụng định lý động năng cần phân loại lực thành lực sinh công và lực không sinh công. e i k k k k T A F A F T 1 1 2 1 2 2 ( ) ( )- -+ + =å å  (1) (2) (3) hoặc Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -20- 3. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Mô hình thang máy như trên hình. Mô men động cơ M1 = const tác dụng làm hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên. Cho biết các thông số hệ: r1, I1, r, r2, I2, m, mC, g. Xác định: - vận tốc Cabin A theo góc quay động cơ 1. - gia tốc Cabin A - Công suất động cơ khi cabin A có vận tốc v và gia tốc a hướng lên. Lời giải Phân tích chuyển động: Các lực sinh công: 2 1 r1 A r r2 B 1 m mC M1 I2 I1 h P PC 1 , , C M P P   Tính động năng hệ khi Cabin A có vận tốc v đi lên Tính tổng công các lực khi trục 1 quay được góc 1. 1 = 0 , h = 0 Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -21- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 1. Động học 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 , / , / / / / / C A v v v v r r r vr r r hr r r hr r r h r r r w w w w q q q = = = = =  =  =  =   Tính động năng hệ khi Cabin A có vận tốc v đi lên 2 1 r1 A r r2 B 1 m mC M1 I2 I1 h v vC 2 P PC 1 2 A C T T T T T= + + + T I 21 1 1 1 2 w= A C C C T I T mv T m v2 2 2 2 2 2 1 1 1 , , 2 2 2 w= = = C tg T I I mv mv m v2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 w w= + + + = tg C m m m I r r r I r2 2 1 2 1 2 ( / ) (1 / )= + + + Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -22- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 1. Động học 1 2 1 1 2 1 1 1 2 / / /vr r r hr r r h r r rw q q=  =  =  Tính tổng công các lực khi trục 1 quay được góc 1 10 1 1 C A M mgh m ghq q- = - + 10 1 1 2 1 ( ( ) / ) C A M m m gr r rq q- = + - Định lý động năng dạng hữu hạn 10 0 0 , 0T T A Tq-- = = 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2[ ( ) / ]1 ( / / ) 2 C tg C tg M m m gr r r m v M mgr r r m gr r r v m qq + -= - +  = 2 1 r1 A r r2 B 1 m mC M1 I2 I1 h v vC 2 P PC Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -23- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 1. Tính gia tốc Cabin A 2 1 r1 A r r2 B 1 m mC M1 I2 I1 h v P PC tg C d dA T m vv M m m gr r r dt dt 1 1 2 1 [ ( ) / ]q=  = + -  Áp dụng định lý động năng dạng đạo hàm 1 2 1 /vr r rw = 1 1 2 2 1 [ ( ) / ] C tg M m m gr r r r a v m r r + -= = Công suất động cơ khi cabin A có vận tốc v và gia tốc a hướng lên.  dc tg C P dT P m vv M m m gr r r dt 1 1 1 2 1 [( ) / ]q q=  = + -  Áp dụng định lý động năng dạng đạo hàm dc tg C P M m vv m m gr r r 1 1 1 2 1 [( ) / ]w q = = + -  dc tg CP m v m m g v( )é ù= + -ê úë û Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -24- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2. C 1 2  O A 3  M K Ví dụ 2. Cho cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng đứng. Mô men động cơ M = const tác dụng làm hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên. Trục tời 1 là trụ tròn đặc đồng chất khối lượng m1, r1. Con lăn hai tầng 2 có khối lượng m2, bán kính nhỏ r2 và bán kính lớn R2, mô men quán tính đối với trục qua tâm là I2, lăn không trượt trên mặt nghiêng. Vật nặng 3 có khối lượng m3, hệ số ma sát trượt động với mặt nghiêng là . Các dây không trọng lượng, không dãn. Xác định: a) Vận tốc góc của trục tời phụ thuộc vào góc xoay của nó, =() . b) Gia tốc góc của trục tời, gia tốc góc của con lăn, và gia tốc của vật 3. c) Biểu thức vận tốc góc của trục tời theo thời gian 1(t), khi kể đến mô men cản tại ổ trục O tỷlệ vận tốc góc, MC = k . Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -25- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2. C 1 2  O A 3  M G1 G2 G3 F2 F3 N3 N2 YO XO K Lời giải Phân tích chuyển động: Các lực sinh công: 2 3 3 , , ,M G G F    Tính động năng hệ khi trục 1 có vận tốc góc  Tính tổng công các lực khi trục 1 quay được góc . Khi bỏ qua mô men cản ổ trục O: Tính tổng công suất các lực khi trục 1 có vận tốc góc . Khi kể đến mô men cản ổ trục O: Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -26- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2.   tgT m r m r I m r r R r I2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 3 2 1 2 21 1( )[ / ( )]2 2       T T T T 1 2 3 = + + C 1 2  O A 3  M G1 G2 G3 F2 F3 N3 N2 YO XO K Động học Tính động năng hệ khi trục 1 có vận tốc góc  1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 3 , / ( ) [ / ( )] , [ / ( )] , A A C C v r r v R r r R r v r r r R r v v w w w w w w = = = + = + = = + = tg I m r m r I m r r R r2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 2 1 2 2 ( )[ / ( )]     O C T I m r T m v I T m v 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 2 w j w = = = + =  Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -27- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2. tg r r G G G T T A I M R r 2 1 2 2 3 3 0 2 2 [( ) sin cos ]1 2 ( )              2 3 3 3 3 ( sin ) ( sin ) C A M G s G s F s      C 1 2  O A 3  M G1 G2 G3 F2 F3 N3 N2 YO XO K s3 sC Động học Tính tính tổng công của các lực khi trục tời xoay được góc  3 2 1 2 2 [ / ( )] C s s r r R r j= = + tg r r G G G M I R r 1 2 2 3 3 2 2 [( ) sin cos ]2 ( ) ( )              3 3 3 3 , cosF N N Gm b= = 1 2 2 3 3 0 2 2 ( ) sin cos ( ) r r [ G G G ] A M R rj b m b j- æ ö+ + ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷÷ç +è ø Định lý động năng dạng hữu hạn Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -28- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2. tg dT dA P dt dt r r G G G I M R r 1 2 2 3 3 2 2 [( ) sin cos ] ( )                     C 1 2  O A 3  M G1 G2 G3 F2 F3 N3 N2 YO XO K b) Tính gia tốc góc trục tời. Sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm tg M R r r r G G G R r I 2 2 1 2 2 3 3 2 2 ( ) [( ) sin cos ] = const ( )           r r G G G M R r 1 2 2 3 3 2 2 [( ) sin cos ] 0 ( )         Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -29- 3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2. c c r r G G G P M M M k R r r r G G G P C k voi C M R r 1 2 2 3 3 2 2 1 2 2 3 3 2 2 [( ) sin cos ] , ( ) [( ) sin cos ] ( ) , ( )                              c) Khi có mô men cản tại ổ trục tỷ lệ với vận tốc góc. Không thể tính được công hữu hạn. Sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm tg dT dt P I C k/ ( )       tg tg tg tg tg k k t C t C I I C C d d C k k k dt dt C k t C C k I C k I I C k e C e k C e e C * * * * *1 ( ) ln( ) ( ) ( ) 1 ( ) (0) 0 0 ( )                                 tg k t I gh t C C t e t k k ( ) (1 ) lim ( )        tg d C k dt I 1 ( ), (0) 0       Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -30- III. LỰC BẢO TOÀN, THẾ NĂNG. ĐỊNH LÝ BẢO TOÀN CƠ NĂNG 1. Lực bảo toàn - Thế năng 2. Định lý bảo toàn cơ năng 3. Ví dụ áp dụng Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -31- 1. Lực bảo toàn – Thế năng Khi công thực hiện bởi một lực di chuyển chất điểm từ vị trí này sang vị trí khác không phụ thuộc vào đường di chuyển của điểm, thì lực này được gọi là lực bảo toàn hay lực có thế. O F    Đường 1 Đường 2 (1) (1) (0) (0) ( ) x y z A F dr F dx F dy F dz= ⋅ = + +ò ò  Tích phân trên không phụ thuộc đường đi, nếu biểu thức tích phân là vi phân toàn phần của một hàm nào đó, ký hiệu. Hàm (x,y,z) đưa vào ở đây được gọi là hàm thế năng của lực F hay hàm năng lượng thế năng. So sánh vi phân toàn phần của hàm  và (2) x y z d F dx F dy F dz- P = + + (1) (2) d dx dy dz x y z ¶P ¶P ¶PP = + +¶ ¶ ¶ , , x y zF F Fx y z ¶P ¶P ¶P= - = - = -¶ ¶ ¶ Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -32- 1. Lực bảo toàn – Thế năng Nếu lực F là lực bảo toàn hay lực có thế, công của nó được tính thông qua hàm thế năng như sau: (1) (1) (1) (0)(0) (0) ( )dA d A F dr d= - P  = ⋅ = - P = - P - Pò ò  Lưu ý: Thế năng phụ thuộc vào hệ qui chiếu, nhưng độ lệch giữa hai vị trí (0) và (1) thì không phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Ví dụ lực thế. Trong cơ học, thế năng do trọng lực (trọng lượng) hoặc lò xo đàn hồi là rất quan trọng. y W Vg= 0 Vg=+Wy Vg=-Wy -y W k l0 s s  = 0  = ks2/2  = ks2/2 0 g y Wdy Wy mgyP = - = =ò 0 212e s ksds ksP = - =ò O F    Đường 1 Đường 2 Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -33- 1. Lực bảo toàn – Thế năng 0  2 1 0     Thế năng của lò xo xoắn  1  2  k k  lò xo không bị xoắn lò xo không bị xoắn lx M k  lxM k  A k d k 0 21 0 2j j j j j-P = = - =ò A k d k k 0 0 2 21 1 2 12 2 ( ) q q q q q j j -P = = - = = - ò Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -34- 1. Lực bảo toàn – Thế năng Trong trường hợp tổng quát, nếu hệ chịu tác dụng của cả hai loại lực bảo toàn (trọng lực và lực đàn hồi lò xo) thế năng của hệ là tổng thế năng của các lực bảo toàn. g e P = P + P Thế năng của cơ hệ Thế năng của hệ tại vị trí (1) là số đo tổng công thực hiện bởi các lực bảo toàn khi nó di chuyển từ vị trí ‘1’ về vị trí mốc ‘0’: (0) (1) 1 0 (1) (0)k k k k k k A F dr F dr-P = = ⋅ = - ⋅å åò ò   x y z O Ci k m i m kj g Trường lực Trường lực là khoảng không gian vật lý mà khi chất điểm chuyển động trong trường lực chịu tác dụng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó. Trường trọng lực, trường các lực đàn hồi là những ví dụ về trường lực. Trường lực thế là trường lực mà công của lực tác dụng lên chất điểm không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của nó. Lực do trường lực thế tác dụng lên chất điểm đặt trong nó được gọi là lực thế. Trường trọng lực, trường lực đàn hồi tuyến tính là trường lực thế; còn trọng lực, lực đàn hồi tuyến tính là những lực thế. Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -35- 2. Định lý bảo toàn cơ năng Định lý bảo toàn cơ năng: Khi cơ hệ chuyển động trong trường lực thế thì cơ năng của cơ hệ được bảo toàn. Hệ cơ học nghiệm đúng định luật bảo toàn cơ năng được gọi là hệ bảo toàn, còn lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ được gọi là lực bảo toàn. Như vậy, lực thế còn được gọi là lực bảo toàn. Nếu ngoài các lực bảo toàn còn có những lực không bảo toàn, chẳng hạn như lực ma sát, lực cản tác dụng lên cơ hệ thì cơ năng của cơ hệ sẽ biến đổi. Khi đó trong hệ sẽ có sự chuyển hóa cơ năng của cơ hệ khảo sát sang các dạng năng lượng khác như nhiệt năng, Cơ hệ như vậy được gọi là hệ không bảo toàn. (1) (0) 0 1 ( ) ( )e i k k k k T T A F A F A -- = + =å å  x y z O Ci k m i m kj g Giả sử cơ hệ chuyển động trong trường lực thế từ vị trí đầu (0) đến vị trí (1) nào đó. Theo định lý động năng ta có 0 1 (0) (1) A - = P - P (1) (2) (3)0 (0) 1 (1)T T E const+ P = - P = = Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -36- 3. Ví dụ áp dụng O C   mg XO YO IO Ví dụ 1. Một vật quay quanh trục nằm ngang O từ vị trí đầu được xác định bởi góc 0 và vận tốc góc đầu 0. Tìm vận tốc góc của vật quay theo gócquay  của nó. Bỏ qua sức cản của không khí và ma sát tại ổ trục quay. Lời giải Khảo sát cơ hệ là con lắc vật lý. Các lực tác dụng gồm: phản lực XO, YO tại ổ trục quay O không sinh công và trọng lực mg là lực hoạt động có thế. Do đó cơ hệ khảo sát là cơ hệ bảo toàn. O T I mgl const2 0 0 0 0 1 cos 2       O T I mgl2 1 cos 2      O mgl I 2 2 0 0 2 (cos cos )      Thay (2, 3) vào (1), ta giải được: Cơ năng của hệ tại thời điểm đầu: Cơ năng của hệ tại thời điểm bất kỳ: Áp dụng định lý bảo toàn cơ năng 0 0 constT T      (1) (2) (3) Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -37- 3. Ví dụ áp dụng C O  W A B 20 m T Ví dụ 2. Để thử va đập cho mô hình máy bay có khối lượng m = 8000 kg, người ta treo mô hình và nâng nó lên đến vị trí θ = 60°, sau đó thả để nó chuyển động từ trạng thái đứng yên. Xác định vận tốc máy bay khi nó chạm đất ứng với góc θ = 15o. Đồng thời xác định lực căng lớn nhất của cáp treo. Bỏ qua lực cản không khí và kích thước máy bay. Lời giải Bỏ qua kích thước máy bay, nên nó được coi như chất điểm. Các lực tác dụng sau khi thả (cắt dây AC) chỉ còn lại trọng lực W và lực căng cáp treo T. Chỉ có trọng lực sing công, đó là lực bảo toàn. Chọn gốc thế năng của trọng lực là mặt ngang qua O. Để xác định vận tốc máy bay khi chạm đất, ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng 2 2 1 60 2 1 0 800 0 0 cos cos1 0 9.81 20 cos 6 8000 8000 9.81 20 cos 2 5 15 A A B B B B T mmgl mglT v v                      Từ đây tính được vận tốc máy bay khi chạm đất 13.5 m/sBv  Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -38- 3. Ví dụ áp dụng Để xác định lực căng cáp treo, ta viết phương trình chuyển động cho máy bay (coi như điểm). C O  W A B 20 m T Do máy bay chuyển động theo quĩ đạo tròn, áp dụng phương pháp tọa độ tự nhiên, ta có 2 , 2 2 , cos15 cos15 n k n n B B v m ma F a l v v m T g mgT m l l           Từ đây tính được: T = 149 kN. Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -39- Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME -40-