Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Động học - Nguyễn Quang Hoàng

             AX  AY  BY  BX BX BY  DX D Y  Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -26- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Tính xác định tĩnh Hệ xác định tĩnh Hệ không xác định tĩnh (do nhiều liên kết hơn cần thiết, = siêu tĩnh) 1200 N A 1200 N A B A 1200 N B C 3 m 1200 N 981 N Ay Ax By Cy 3 m 1200 N 981 N Ay Ax MA By Cy 1200 N A C B (3pt, 3 ẩn) (3pt, 5 ẩn) (3pt, 4 ẩn) Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -27- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Tính xác định tĩnh 200 N BA O O 100 N A B C C 100 N A B Hệ không xác định tĩnh do bố trí liên kết. 0, ( ) 0ky O kF m F     ( ) 0O km F   0kxF  10 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -28- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN 1. Điều kiện cân bằng và PTCB 2. Các loại liên kết không gian/ Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Trình tự giải và ví dụ Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -29- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương trình cân bằng của hệ lực không gian z F4 F1 F2 F3 y O x Cj 0, ( ) 0, O k O O k j R F M m F C O                1 2 1 ( , ,..., , ,..., ) ( , ) 0 n m O O F F F C C R M        0, 0, 0, 0, 0, 0 kx ky kz Ox Oy Oz F F F M M M             Hệ lực không gian tổng quát (6 pt, tối đa 6 ẩn) Hệ lực không gian đồng qui (3pt) Hệ lực ngẫu lực không gian (3pt) Tất cả các lực song song trục z (3pt) Tất cả các lực cắt trục y (5pt) 0 kx ky kz F F F      0 Ox Oy Oz M M M      0 kz Ox Oy F M M      0 kx ky kz Ox Oz F F F M M          Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -30- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương trình cân bằng của hệ lực không gian Dạng hệ lực Hình vẽ Số PT CB Các PT cân bằng Hệ lực tổng quát 6 Hệ lực đồng qui 3 z F1 F2 F3 yO x Cj z F1 F2 F3 yO x 0, 0, 0 0, 0, 0 kx ky kz Ox Oy Oz F F F M M M             0, 0, 0 kx ky kz F F F       11 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -31- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương trình cân bằng của hệ lực không gian Dạng hệ lực Hình vẽ Số PT CB Các PT cân bằng Hệ ngẫu lực 3 Hệ lực song song 3 z C1 C2 C4 yO x C3 z F1 F2 F3 yO x 0, 0, 0 Ox Oy Oz M M M       0 0, 0, kz Ox Oy F M M       Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -32- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương trình cân bằng của hệ lực không gian Dạng hệ lực Hình vẽ Số PT CB Các PT cân bằng Tất cả các lực cắt trục y 5 z F1 F2 F3 yO x 0, 0, 0 0, 0 kx ky kz Ox Oz F F F M M           Lưu ý: số ẩn tối đa không được lớn hơn số phương trình cân bằng. Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -33- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các loại liên kết không gian Dạng liên kết Lực liên kết Số ẩn, hướng của lực liên kết, chuyển động bị hạn chế 1. Dây căng Một ẩn. Lực căng dây nằm dọc dây, hướng ra ngoài vật, đã biết phương chiều của phản lực liên kết. Chỉ dịch chuyển theo phương làm căng dây bị hạn chế. 2. Tựa trơn nhẵn Một ẩn. Phản lực liên kết vuông góc mặt tựa – hướng vào vật, đã biết phương chiều. Chỉ dịch chuyển theo phương vuông góc mặt tựa bị hạn chế. 3. Con lăn Một ẩn. Phản lực liên kết vuông góc mặt tựa – hướng vào vật, đã biết phương chiều. Chỉ dịch chuyển theo phương vuông góc mặt tựa bị hạn chế. T N N 12 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -34- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các loại liên kết không gian 4. Bản lề cầu (cối) Ba ẩn. Phản lực liên kết gồm ba thành phần lực vuông góc với nhau. Ba dịch chuyển quay không bị hạn chế. 5. Bản lề trụ dài Bốn ẩn. Phản lực liên kết gồm 2 thành phần lực và 2 thành phần mô men. Dịch chuyển dọc trục y và quay quanh trục y không bị hạn chế.X Mz Z Mx YX Z Y Z X Y Z X Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -35- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các loại liên kết không gian 6. Rãnh trượt dài chữ nhật Năm ẩn. Phản lực liên kết gồm 2 thành phần lực và 3 thành phần mô men. Cho phép vật dịch chuyển dọc trục y. 7. Ổ đỡ dài chặn Năm ẩn. Phản lực liên kết gồm 3 thành phần lực và 2 thành phần mô men. Cho phép vật quay quanh trục y. Liên kết dọc trục y là liên kết một phía. 8. Bản lề trụ ngắn kép Năm ẩn. Phản lực liên kết gồm 3 thành phần lực và 2 thành phần mô men. Cho phép vật quay quanh trục y. X Mz Z My YX Mx Mz Z Y Mz Z Mx X Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -36- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các loại liên kết không gian 9. Bản lề trụ ngắn (ổ đỡ ngắn) Hai ẩn. Phản lực liên kết gồm 2 thành phần lực. Dịch chuyển dọc trục z và quay quanh trục ba trục không bị hạn chế do chiều dài ổ không đáng kể. 10. Ngàm không gian Sáu ẩn. Phản lực liên kết gồm 3 thành phần lực và 3 thành phần mô men. Vật thể không có khả năng di chuyển. MxX Y Z Mz My X Y 13 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -37- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trình tự giải  Đưa vào hệ trục tọa độ  Vẽ sơ đồ giải phóng liên kết. Cần nắm rõ các loại liên kết.  Nếu liên kết cản trở dịch chuyển của vật theo hướng nào đó xác định, phản lực liên kết sẽ có hướng ngược lại.  Nếu dịch chuyển xoay quanh một trục bị cản trở, sẽ có phản ngẫu lực quanh trục đó.  Liệt kê hệ lực tác dụng lên vật (tất cả các lực, kể cả lực liên kết).  Viết các phương trình cân bằng.  Nếu số phản lực liên kết nhiều hơn số phương trình cân bằng, bài toán là không xác định tĩnh. Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -38- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ  P x O y z A B C K   Hãy xác định ứng lực trong các thanh và chỉ rõ thanh chịu kéo hay nén.  P x O y z A B C K   S2 S1 S3 1 2 1 2 3 3 cos 45 cos 45 0 sin 45 sin 45 sin 45 0 cos 45 0 kx ky kz F S S F S S S F P S                      3 1 1 2 2 2, 2. S P S S P     1 2 3 ( , , , ) 0P S S S     Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -39- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ A B C x y z 2 m 1 m2 m 2 m F2, 300 NF1, 400 N D Tấm tam giác vuông trọng lượng không đáng kể được giữ ngang nhờ hai con lăn B, C và dây đứng AD. Hãy xác định phản lực tại B, C và lực căng dây. Hướng dẫn 1 2 2 1 0 ( ) 3 2 0 ( ) 2 4 0 kz B C x k C y k B F N N T F F m F N F m F F N                      NB NC T 1 2 ( , , , , ) 0 B C F F T N N     // z 2 1 1 2 2 / 3 .. / 2 .. .. C B B C N F N F T F F N N           14 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -40- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ C y M C z x B A a b c Q r R Hãy xác định mô men M để giữ hệ cân bằng, sau đó xác định phản lực tại hai ổ đỡ A và B. Cho biết trọng lượng Q, và các kích thước a,b,c, và r. Bỏ qua trọng lượng trục tời. Hướng dẫn ( , , , , , ) 0 A A B B Q M X Z X Z       XA ZA XB ZB 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 kx A B kz A B x k B y k z k B F X X F Z Z Q m F a b Z a Q m F r Q M m F a b X                               0, 0 , B A B A M Qr X X aQ bQ Z Z a b a b       Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -41- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ A D C B x yz E   a b P F Tấm chữ nhật cạnh a và b, có trọng lượng P được giữ ngang bởi bản lề cầu A, bản lề trụ ngắn B và dây DE. Lực F thẳng đứng tác dụng tại C. Xác định các lực liên kết tại A, B và lực căng dây DE. HD ( , , , , , , , ) 0 A A A B B P F X Y Z X Y T         ZA YA XA T XB ZB 1 2 1 2 sin sin 0 sin cos 0 cos 0 ( ) 0 ( ) cos 0 ( ) sin cos 0 kx A B ky A kz A B x k B y k z k B F X X T F Y T F Z Z T P F m F a Z a P a F m F b F b P b T m F b T a X                                                  .., .. .., .. .., .. B B A A A T Z X X Y Z       sin sin , sin cos , cos x y z T T T T T T T            Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -42- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME HỆ THANH 1. Mở đầu và Các giả thiết 2. Tính xác định tĩnh của hệ thanh 3. Xây dựng hệ thanh tĩnh định 4. Phương pháp cân bằng nút 5. Các thanh không chịu lực 6. Phương pháp mặt cắt 15 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -43- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Mở đầu Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -44- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Mở đầu A B C D E FG 1 2 6 10 3 4 5 7 8 9 11 Các phần tử thanh: 1,2, ..., 11 Các nút: A, B, ..., G Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -45- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các giả thiết 1. Các phần tử thanh được nối với nhau bằng các bản lề trơn tại hai đầu thanh. Trường hợp các thanh được nối với nhau bằng bu lông hoặc hàn cứng mà trục của các thanh tại cùng mối nối đồng qui thì ta cũng thay thế gần đúng bằng các khớp nối bản lề trơn. Các khớp nối bản lề trơn này được gọi là các nút 2. Các tải trọng chỉ đặt vào các nút, nơi các thanh gặp nhau. Nếu kể đến trọng lượng phần tử thì ta chia tải trọng về hai đầu thanh. Đây là sự lý tưởng hóa bài toán để nó giải được bằng những phương pháp đơn giản. Hệ thanh không trọng lượng nối với nhau bằng các bản lề trơn. Khi đó các phần tử thanh sẽ là những phần tử hai lực (thanh chỉ chịu lực dọc – kéo hoặc nén) TT CC (a) chịu kéo (b) Chịu nén 16 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -46- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Hệ thanh xác định tĩnh và không xác định tĩnh • Để xác định lực trong mỗi thanh, ta có thể vẽ sơ đồ giải phóng liên kết cho các nút của hệ thanh. • Hệ lực cho mỗi nút là hệ lực đồng qui, do đó ta viết được 2 PTCB cho mỗi nút của giàn phẳng. • VD hệ bên có 7 nút, do đó có 7·2 = 14 PTCB cho 14 ẩn (gồm 11 lực thanh và 3 lực tại các gối đỡ). Một giàn được gọi là xác định tĩnh nếu tất cả các lực thanh và lực gối đỡ có thể được xác định từ các điều kiện cân bằng. Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -47- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Hệ thanh xác định tĩnh và không xác định tĩnh Hệ thanh không xác định tĩnh Thừa liên kết ngoài (extra support) B D C A P Thừa liên kết trong (extra member) B D C A P B D C A P Hệ sẽ sụp đổ khi tác dụng lực B D C A P B D C A P Hệ thanh xác định tĩnh Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -48- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Hệ thanh xác định tĩnh và không xác định tĩnh Phương pháp xây dựng hệ thanh xác định tĩnh 1. Xây dựng hệ thanh từ cấu trúc có bản 2. Ghép nối hai hệ thanh (lưu ý khi ghép nối) 3. Thay thế 01 thanh nối bằng 01 thanh khác 17 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -49- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp cân bằng nút Hệ lực tác dụng tại mỗi nút là hệ lực đồng qui. Đối với hệ thanh phẳng, mỗi nút viết được 2 PTCB 0, 0x yF F    B P SBC SBA C SCA SCD SBC B D C A P D ND SCD SAD Đối với hệ như trên hình, bắt đầu từ nút B -- > nút C -- > nút D. Nội dung phương pháp: • Giả sử các thanh chịu kéo. • Tưởng tượng cắt các thanh nối với một khớp (nút), • Bắt đầu với khớp có hai lực thanh chưa biết. • Có thể phải xác định phản lực gối đỡ trước khi áp dụng phương pháp cân bằng nút. Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -50- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp cân bằng nút a. Xác định phản lực liên kết tại gối đỡ A D 600 N 3 m 3 m 4 m CB 400 N A D 600 N 3 m 3 m 4 m CB 400 N Cx Cy Ay Ví dụ: Xác định lực trong các thanh của hệ giàn và chỉ ra thanh chịu kéo hay nén. Gối đỡ cố định C và gối đỡ di động A • Khảo sát cả hệ như một vật rắn. • Ba phương trình cân bằng 600 0, 6 400 3 600 4 0, 600 400 0, 600N, 600N, 200N x x C y y y y x y F C M A F C A C C                       Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -51- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp cân bằng nút A D 600 N 3 m 3 m 4 m CB 400 N Cx Cy Ay b. Phân tích cân bằng của các khớp 600 N FAB FAD A (c) 4 3 • Tưởng tượng cắt các thanh nối với một khớp, • Giả sử các thanh chịu kéo. • Bắt đầu với khớp có hai thanh chưa biết lực: • Khớp (nút) A • Khớp (nút) D • Khớp (nút) C hoặc B 600 N FDCFDB D (d) 4 3 450 N 600 N C (e) FCB 200 N 200 N 18 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -52- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp cân bằng nút 600 N FAB FAD A 4 3 Nút A 600 N FDCFDB D 4 3 450 N 4 5 3 5 600+ 0 750 + 0 450 y AB AB x AB AD AD F F F F F F F             Nút D 3 5 4 5 600 450 0, 250N 0, 200N x DB DB y DC DB DC F F F F F F F               A D 600 N CB 600 N 600 N 400 N 200 N 600 N C FCB 200 N 200 N Nút C 600N 0 600N 200N 200N 0, (for checking) x CB CB y F F F F             FDC Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -53- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các thanh không chịu lực (zero-force members) 1 2 0S S  1 2 F  1S F 2 0S  1 2 1 3S S 2 0S  31 2 a) Nếu hai thanh không thẳng hàng tại một khớp, đồng thời tại khớp đó không có ngoại lực tác dụng  ứng lực trong hai thanh này bằng không. b) Nếu hai thanh không thẳng hàng tại một khớp, ngoại lực tác dụng lên khớp nằm trên phương của một thanh  ứng lực trong thanh kia phải bằng không. c) Tại nút có ba thanh gặp nhau, có hai thanh thẳng hàng và không có tải trọng đặt lên nút đó thì lực trong thanh thứ ba phải bằng không. Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn, nếu chúng ta có thể chỉ ra được các thanh không chịu lực mà không cần tính toán. Sau đây là qui tắc xác định thanh không chịu lực. Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -54- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các thanh không chịu lực (zero-force members) A P B C D EF  (a) (a) A P B C D E  (b) x FDE y FDCFDA D x FCD y FCBFCA C (c) (d) A P B E x y A FAB FAF D  FDC FDE x y Hãy chỉ ra các thanh không chịu lực trong các hệ giàn sau: Phân tích nút A và D Phân tích nút C và D 19 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -55- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các thanh không chịu lực (zero-force members) Các thanh không chịu lực có vai trò làm tăng tính ổn định của hệ giàn, và có thể sẽ chịu lực khi tải trọng thay đổi. Chúng ta có thể tháo bỏ các thanh không chịu lực được không? A P B C D EF  Hãy chỉ ra các thanh không chịu lực trong các hệ giàn sau. Áp dụng phương pháp cân bằng nút cho phép xác định được lực trong tất cả các thanh của hệ giàn. Trong nhiều trường hợp ta chỉ cần tính lực trong một số thanh mà không phải tất cả các thanh. Trong trường hợp này phương pháp mặt cắt trình bày trong phần sau sẽ có ưu điểm hơn phương pháp cân bằng nút. A P B C D E Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -56- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp mặt cắt Nội dung phương pháp • Tưởng tượng tạo ra mặt cắt khép kín cắt qua các thanh cần xác định lực – cô lập một phần của hệ thanh. Đối với hệ thanh phẳng – mặt cắt đi qua tối đa 3 thanh (không đồng qui, không song song). • Giả sử các thanh này chịu kéo. • Trước khi cô lập một phần hệ thanh, có thể cần phải xác định phản lực gối đỡ tùy theo hệ. • Viết 03 phương trình cân bằng cho việc xác định lực trong ba thanh. 0, 0, 0 x y O F F M      F A B 1 2 4 5 6 8 9 11 10 C 3 7 F A B 1 2 4 5 6 8 9 11 10 C 3 7 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -57- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp mặt cắt F A B 1 2 4 5 6 8 9 11 10 C a a a a 3 7 I I Sử dụng mặt cắt I-I: F 2 4 5 6 8 9 11 10 C a a 3 7 I I S2 S3 S4 Ví dụ. Xác định lực trong các thanh 2, 3, và 4. Hoặc trong các thanh 6, 7, và 8. 2 3 4 ( , , , ) 0F S S S    Hệ lực cân bằng F 6 8 9 11 10 C 7 S8 S7 S6 6 7 8 ( , , , ) 0F S S S    Hệ lực cân bằng Sử dụng mặt cắt II-II: 20 Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -58- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp mặt cắt A B C D G E 4 m 4 m 4 m 3 m F2, 1200 N F1, 400 N A B C D G E F2, 1200 N F1, 400 N XA YA ND Hãy xác định ứng lực trong các thanh GE, GC, BC và cho biết các thanh chịu kéo hay nén. HD 1 2 ( , , , , ) 0 A A D F F X Y N      , , A A D X Y N Trước hết phải xác định phản lực liên kết tại các gối đỡ A và D. Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -59- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phương pháp mặt cắt A B (c) G SGE 400 N 300 N SGC SBC C Áp dụng pp mặt cắt 400 0, 1200 8 400 3 12 0, 1200 0, x A A D y A D F X M N F Y N                   ND A B C D G E 4 m 4 m 4 m 3 m F2, 1200 N F1, 400 N XA YA 400N, 900N, 300N A D A X N Y    3 5 300 4 400 3+ 3 0 800N 300 8+ 3 0 800N 300 0 500N G BC BC C GE GE y GC GC M S S M S S F S S                         ( , , , , ) 0 A A GE GC BC X Y S S S      1 2 ( , , , , ) 0 A A D F F X Y N     Cả hệ Chương 3. Cân bằng của vật rắn - -60- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Tóm tắt nội dung chương 3.1 Cân bằng của vật rắn phẳng 1. Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng 2. Các loại liên kết phẳng / Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Phần tử hai lực và phần tử ba lực 4. Cân bằng của hệ vật rắn phẳng 5. Tính xác định tĩnh 3.2 Cân bằng của vật rắn không gian 1. Điều kiện cân bằng và phương tình cân bằng 2. Các loại liên kết không gian/ Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Các ví dụ 3.3 Phân tích hệ thanh 1. Các giả thiết 2. Phương pháp cân bằng nút 3. Phương pháp mặt cắt 1Chương 4. Ma sát – Friction Chương 4 Cơ học kỹ thuật: TĨNH HỌC Engineering Mechanics: STATICS Ma sát Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ học ứng dụng Chương 4. Ma sát – Friction -2- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME CÁC NỘI DUNG 1. Mở đầu và phân loại ma sát 2. Ma sát trượt khô – Ma sát Coulomb 3. Ma sát lăn 4. Nêm 5. Ma sát trong vít me-đai ốc ren chữ nhật 6. Ma sát giữa dây đai và đai – Công thức Euler: Bộ truyền đai, phanh đai Chương 4. Ma sát – Friction -3- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 1. Mở đầu về ma sát 2Chương 4. Ma sát – Friction -4- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 1. Mở đầu về ma sát Chương 4. Ma sát – Friction -5- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 1. Mở đầu về ma sát Chúng ta sẽ quan sát một số trường hợp sau: Khi lực đẩy P < P0, vật không chuyển động. W Bánh xe không lăn khi lực đẩy P nhỏ (P.h < M0) P h Dây đai không trượt khi hai lực kéo khác nhau ít T1  T2 đai Câu hỏi: lực nào đã cản trở chuyển động hoặc xu thế chuyển động của vật khảo sát? Khi <0, vật không trượt xuống Trả lời: Lực ma sát. Ma sát là hiện tượng xuất hiện những lực và ngẫu lực có tác dụng cản trở các chuyển động hoặc các xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt của nhau.  W Chương 4. Ma sát – Friction -6- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 1. Mở đầu về ma sát Câu hỏi: Hướng của lực ma sát như thế nào ? Lực ma sát tác dụng theo phương tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc giữa hai vật, có hướng cản trở chuyển động hoặc xu hướng chuyển động giữa hai vật tại điểm tiếp xúc. W N F  W N F (W, P, N, F) = 0 Vật đứng yên, nên hệ lực tác dụng lên vật là hệ lực cân bằng. (W, N, F) = 0 Đẩy lực P > P0, vật sẽ chuyển động Nếu >0, vật sẽ trượt xuống Câu hỏi: Độ lớn của lực ma sát như thế nào? Lực ma sát bị giới hạn về cường độ và sẽ không thể ngăn cản chuyển động nếu lực tác dụng đủ lớn. Nếu tăng lực đẩy (hoặc tăng góc nghiêng ), chuyện gì xảy ra? 3Chương 4. Ma sát – Friction -7- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Phân loại ma sát 1. Ma sát khô và ma sát ướt (nhớt) [Dry and fluid friction] 2. Ma sát tĩnh và ma sát động [Static and kinetic friction] 3. Ma sát trượt và ma sát lăn [Slipping and rolling friction] W P h  W Chương 4. Ma sát – Friction -8- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 2. Lý thuyết về ma sát khô - Theory of Dry Friction or Coulomb Theory of Friction 1max 2max max 1 2 .. k s k F F F N N N     Nhắc lại thí nghiệm do Coulomb (1736–1806) thực hiện. Chừng nào lực đẩy P nhỏ hơn giá trị tới hạn P0, vật vẫn đứng cân bằng, tức Fs = P. Lực ma sát đạt giá trị max Fsmax = P0 khi P = P0. Thay đổi giá trị tải trọng W, ghi lại thành bảng các giá trị W, N, P0 Hệ số ma sát trượt tĩnh, phụ thuộc vật liệu, bề mặt tiếp xúc của hai vật. Định luật Coulomb: 0ms s F P N  k Wk Nk=Wk Fkmax=P0 1 2 .. s W N P Fms Chương 4. Ma sát – Friction -9- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 2. Lý thuyết về ma sát khô - Theory of Dry Friction or Coulomb Theory of Friction k k F N k – hệ số ma sát trượt động Lực ma sát sẽ thế nào khi vật chuyển động ? W N v Fk PSử dụng xấp xỉ Thông thường k < s và ( ) k k v  45o Fk Fs F F=P P No motion Motion P0 . 4Chương 4. Ma sát – Friction -10- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Góc ma sát / Nón ma sát : Angle of static friction / Cone of static friction Xét vật chịu lực P và W nhưng vẫn đứng yên 0 ( , , , ) 0 and s s s W P N F F F N      s R N F    maxtan s  W N Fs P R  tan / s F N Đặt Khi vật cân bằng, ta có max   Góc max được gọi là “góc ma sát”. Nếu quay lực đẩy P0 một vòng quanh trục pháp tuyến, đường của phản lực toàn phần R sẽ tạo ra một nón - “nón ma sát tĩnh”. Nón có góc ở đỉnh 2max. Khi vật cân bằng phản lực toàn phần R phải nằm trong nón ma sát. W N Fs P0 Rmax  Chương 4. Ma sát – Friction -11- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ Vật nặng trọng lượng G đặt trên mặt nghiêng (góc nghiêng α, hệ số ma sát trượt tĩnh μ0) chịu lực kéo F. Xác định khoảng giá trị của F để duy trì sự cân bằng của vật. Lời giải Ta không biết xu thế chuyển động của vật, nên cần xét 02 trường hợp: 1) vật có xu hướng trượt lên, 2) vật có xu hướng trượt xuống. Trường hợp 1. Khi lực F đủ lớn, vật có xu hướng trượt lên. Chiều của lực ma sát H hướng xuống: 0 0tan  Chương 4. Ma sát – Friction -12- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ Trường hợp 2. Khi lực F đủ nhỏ, vật có xu hướng trượt xuống. Chiều của lực ma sát H hướng lên: Kết hợp hai trường hợp, ta nhận được dải giá trị của F để giữ vật cân bằng: 0 0tan  Có một dải giá trị của lực tác dụng giữ hệ cân bằng. 5Chương 4. Ma sát – Friction -13- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ  W S Vật nặng trọng lượng W đặt trên mặt nghiêng (góc nghiêng α, hệ số ma sát trượt tĩnh μs) chịu lực ngang S. Xác định giá trị lớn nhất của S để duy trì sự cân bằng của vật.  W S NF Lời giải. Giả sử vật sắp trượt lên với lực Smax, nên lực ma sát hướng xuống. cos sin 0 sin cos 0 S F N W F N             tan s F N N   tan cos sin 0 (tan cos sin ) tan sin cos 0 cos tan sin S N N S N W W N N N                         tan cos sin sin( ) tan( ) cos tan sin cos( ) S W W W                  Lưu ý 0 , 90o   cos( ) 0 90o       Điều gì xảy ra nếu lực đẩy ngang S rất lớn, nhưng vật không thể đi lên được. Hiện tượng tự hãm. Chương 4. Ma sát – Friction -14- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 3. Ma sát lăn – (rolling friction) 1max 2max max 1 2 .. k s k m m m k N N N     Quan sát “thí nghiệm”: Chừng nào Bánh xe vẫn cân bằng (không trượt, không lăn). k Pk Nk=Pk m0 = mlmax 1 2 .. hệ số ma sát lăn tĩnh có thứ nguyên chiều dài (m, cm, mm,..), phụ thuộc vật liệu hai vật.s k Q P h 0 0 & s Q P N Qh m   Lực tại chỗ tiếp xúc như thế nào? Q P N Fms h ml ( , , , , ) 0 ms l P N Q F m     Chương 4. Ma sát – Friction -15- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 3. Ma sát lăn – (rolling friction) Định luật ma sát lăn tĩnh: Ngẫu lực ma sát lăn xuất hiện khi có xu hướng lăn tương đối, có chiều ngược với chiều của xu hướng lăn và có giá trị bị chặn trên l m kN£ Q P N Fms h ml Tại sao xuất hiện ma sát lăn: - thực tế giữa hai vật có một vùng tiếp xúc chứ không phải tiếp xúc điểm - Khi có lực Q tác dụng, vùng tiếp xúc, phân bố lực trên vùng tiếp xúc mất tính đối xứng. 6Chương 4. Ma sát – Friction -16- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 3. Ma sát lăn – (rolling friction) Q P N Fms R M ml Ví dụ: Trên mặt phẳng nằm ngang có bánh xe đồng chất tâm O bán kính R, trọng lượng P chịu tác dụng của ngẫu lực M và lực Q như hình vẽ. Biết hệ số ma sát trượt tĩnh là , hệ số ma sát lăn tĩnh k. Xác định trị số của mômen M và của lực Q để bánh xe có thể đứng cân bằng. Chương 4. Ma sát – Friction -17- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 3. Ma sát lăn – (rolling friction) 0 0 ( ) 0 kx ms ky I k l F Q F F N P m F M m QR å = - = å = - = å =- + - = , ms l F N Q P m kN M QR kP m m£  £ £  + £ &Q P M kP QRm£ £ - Từ đây ta suy ra điều kiện để bánh xe còn đứng cân bằng là: ( , , , , , ) 0 ms l P Q N F M m º    , , ms l F Q N P m M QR = = = + Q P N Fms R M ml I Khi các lực/mô men tác dụng còn nhỏ, bánh xe cân bằng: PTCB Chương 4. Ma sát – Friction -18- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các lưu ý khi giải bài toán cân bằng có ma sát Bài toán cân bằng khi có ma sát là phức tạp: • Định luật Coulomb viết dạng bất phương trình. Chúng ta có thể sử dụng dấu bằng trong trường hợp tới hạn (sắp trượt). • Chiều của lực ma sát đôi khi là chưa biết. Cần thiết phải giả sử xu hướng trượt tại điểm tiếp xúc. • Bài toán có thể có ma sát tại một điểm tựa, có ma sát tại nhiều điểm tựa. • Các điểm tựa có ma sát có thể xảy ra trượt đồng thời hoặc không đồng thời. • Điều kiện cân bằng không chỉ thỏa mãn các phương trình cân bằng mà còn phải thỏa mãn các điều kiện về định luật về ma sát. • Giải bài toán với các giả sử khác nhau, kiểm tra kết quả có thỏa mãn với giả sử đó. 0.3A  0.4 B   A B  P 0.3A  0.5C  A C B Q P P ms s F N 7Chương 4. Ma sát – Friction -19- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xu hướng trượt tại các điểm xảy ra đồng thời 0.3A AF N 0.4B BF N 100 N NA FA  FB NB Xu hướng trượt xảy ra đồng thời: Xét trường hợp tới hạn 0.3A  0.4 B   A B  P - Xu hướng trượt xảy ra đồng thời tại hai điểm tựa A và B, - Chiều của xu hướng trượt đã biết biết chiều của lực ma sát. - Xét trường hợp tới hạn và sử dụng dấu bằng (F = s N). Viết 3 PTCB và 2 PT về ma sát để tìm: min, NA, FA, NB, FB ? ms s F N Chương 4. Ma sát – Friction -20- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xu hướng trượt tại các điểm (không chắc xảy ra đồng thời) 0.3A  0.5C  A C B Q P P A C 100 N By Bx NA Bx By 100 N FA FC Q NC - Không biết xu hướng trượt xảy ra tại 1 hay 2 điểm. - Không biết hướng của xu hướng trượt.  Cần phải giả sử cho từng trường hợp, giải tìm nghiệm, kiểm tra các điều kiện về ma sát (có thể phải làm hết tất cả các trường hợp). [Có 4 trường hợp xảy ra đối với bài toán cho trên hình] Chương 4. Ma sát – Friction -21- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ Thang là thanh đồng chất dài L trọng lượng P, một đầu đặt trên nền ngang và một đầu dựa vào tường đứng. Xác định góc nghiêng lớn nhất của thang đối với tường đứng để thang có thể đứng được, nếu biết tường nhẵn trơn và hệ số ma sát trượt tĩnh giữa thang và nền là . A B   P 8Chương 4. Ma sát – Friction -22- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Ví dụ Xét thang ở trạng thái sắp trượt xuống, khi đó góc nghiêng đạt giá trị lớn nhất. A B  NB NA FA  P ( , , , ) 0 A A B P N F N     1 2 : 0 : 0 ( ) : sin cos 0 kx B A ky A A k B F N F F N P m F Pl N l           A A F N 1 1 2 2 , tan , tan A B A B N P N P F N P     1 max tan 2 tan (2 ) arctan(2 ).        Ở trạng thái sắp trượt ta có quan hệ Chương 4. Ma sát – Friction -23- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 4. Nêm (Wedge) Nêm làm một dụng cụ đơn giản nhưng khá hiệu dụng, thường dùng để tạo ra lực lớn hơn nhiều so với lực tác dụng, lực này gần như vuông góc với lực tác dụng. Tham số của nêm gồm góc đỉnh nêm và hệ số ma sát (liên quan đến vật mà nó tiếp xúc). Khi chế ra nêm cần phải chú ý đến điều kiện tự hãm.  Impending motion W P Chương 4. Ma sát – Friction -24- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 4. Nêm (Wedge) Khi bỏ lực P, nêm là phần tử 2 lực, hai lực này phải nằm trên đường thẳng, tức  = β. Cân bằng chỉ xảy ra khi  ≤ s. Kết luận, nêm là tự hãm nếu β ≤ s. neu 2 sin( ) 1, tuc ( ) nho s s R P          - góc giữa phản lực toàn phần R và trục pháp tuyến n. Trường hợp tới hạn  =s , với s = atan(μs) là góc ma sát. 1 2 sin( ) s R P    ( , , ) 0P R R R N F          9Chương 4. Ma sát – Friction -25- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 5. Lực ma sát trong bộ truyền vít me – đai ốc (ren vuông) Frictional Force in Square Threaded Screws M W r h Chương 4. Ma sát – Friction -26- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 5. Lực ma sát trong bộ truyền vít me – đai ốc (ren vuông) M W r h Yêu cầu đối với cơ cấu ép (hay hệ thống kích): 1. Với mô men tác dụng M nhỏ nhưng tạo ra được lực ép W lớn 2. Vít me được giữ đứng yên khi không tác dụng mô men, M = 0, (tự hãm) W W Phân tích lực ở đây tương tự như trường hợp vật trên mặt nghiêng. tan 2 p r   p = bước ren Chương 4. Ma sát – Friction -27- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 5. Lực ma sát trong bộ truyền vít me – đai ốc (ren vuông) sin( ) 0 cos( ) 0 S R R W             /S M r  S W F R N  A Trục ren có xu hướng đi lên Điều kiện để khối A cân bằng (không xảy ra chuyển động) atan( ) s     max tan( )S W    tan( )M Wr     MW r Giả sử M đủ lớn làm trục vít có xu hướng đi lên. Chiều lực ma sát hướng xuống. Xét cân bằng của khối A ( , , , ) 0W S N F     Các PTCB 10 Chương 4. Ma sát – Friction -28- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 5. Lực ma sát trong bộ truyền vít me – đai ốc (ren vuông) min tan( )S W    tan( )Wr M    MW rsin( ) 0 cos( ) 0 S R R W           /S M r Trục ren có xu hướng đi xuống Giả sử M đủ nhỏ làm trục vít có xu hướng đi xuống. Chiều lực ma sát hướng lên. Xét cân bằng của khối A ( , , , ) 0W S N F     Các PTCB  S’ W R  A Chương 4. Ma sát – Friction -29- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 5. Lực ma sát trong bộ truyền vít me – đai ốc (ren vuông) Kết hợp hai trường hợp: Dải giá trị của M giữ trục vít đứng yên: min max tan( ) tan( )Wr M Wr M M M          r – bán kính trung bình trục vít;  – góc nghiêng ren, tan = p/2r;  – góc ma sát, tan  = s ; p – bước ren. Trường hợp tự hãm Khi bỏ tác dụng của mô men M (S = 0), trục vít phải có khả năng tự hãm (không đi xuống được do W). Phản lực toàn phần R phải nằm trong nón ma sát, tức là    . Trường hợp tới hạn  =  = atan(s). Tự hãm, trường hợp tới hạn θ =   W R  MW r Phân tích các trường hợp tương tự khi đảo chiều mô men M. Chương 4. Ma sát – Friction -30- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 6. Ma sát giữa đai và bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Bài toán: cho biết góc ôm , hệ số ma sát trượt tĩnh , lực T1, cần xác định T2 : 1) để không xảy ra trượt giữa đai và bánh đai (yêu cầu đối với các bộ truyền động đai). 2) để kéo được dây đai trượt về phía của T2.   11 Chương 4. Ma sát – Friction -31- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 6. Ma sát giữa đai và bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Tách xét cân bằng một phân tố nhỏ của dây đai ở trạng thái sắp trượt. Vị trí phân tố và độ dài phân tố xác định bởi (, d). Các lực tác dụng lên phân tố: Viết các PTCB (chiếu trên hai phương tiếp và pháp tuyến) ( )cos( / 2) cos( / 2) 0 ( )sin( / 2) sin( / 2) 0 T dT d T d dN dN T dT d T d              cos( / 2) 1, sin( / 2) / 2 sin( / 2) 0 d d d dT d        Sử dụng các xấp xỉ d 1 2 d1 2 d d ( , , , ) 0T T dT dN dF     dF dN 0 0 dT dN dN Td       Chương 4. Ma sát – Friction -32- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 6. Ma sát giữa đai và bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Tích phân với các cận: T = T1 tại θ = 0 và T = T2 tại θ = β được 2 1 2 1 ,T Te T T  2 1 2 0 1 ln T T TdT d T T       ,dN dT dN Td    Giải hai PTCB cho ta Giải được T2  - hệ số ma sát trượt tĩnh. β – góc ôm tính bằng radian. 1 2 1Te T Te     Để không xảy ra trượt, thì dT dT   2 1 T Te Nếu T1 > T2, kết quả nhận được sẽ là 1 2T Te  Chương 4. Ma sát – Friction -33- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 6. Ma sát giữa đai và bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Ví dụ. Trụ bán kính r chịu tác dụng của mô men Md. Để giữ trụ không quay, người ta dùng lực F tác dụng lên tay đòn nằm ngang. Biết hệ số ma sát tĩnh giữa đai và trụ là μ0. Xác định giá trị nhỏ nhất của F để giữ trụ cân bằng (phanh dung đai). Bỏ qua trọng lượng các vật. - Sơ đồ tách vật như trên hình. - Ở đây không quan tâm đến phản lực gối (ổ) đỡ, chỉ cần phương trình mô men cho hai vật. 12 Chương 4. Ma sát – Friction -34- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 6. Ma sát giữa đai và bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Rõ ràng là, S2 > S1 để giữ được Md. Từ hình vẽ suy ra góc ôm  = π. Đối với trường hợp tới hạn. Do đó Ta nhận được lực nhỏ nhất cần thiết Chương 4. Ma sát – Friction -35- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 6. Ma sát giữa đai và bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Ví dụ. Hai ụ nửa trụ tròn B và C cố định, pulli A quay tự do. Hệ số ma sát giữa đai và hai ụ B & C là μs = 0.25. Lực kéo T thẳng đứng lớn nhất là 500 N. Xác định khối lượng lớn nhất của vật nặng có thể nâng lên được bởi lực T. Lưu ý: cần chuyển đổi góc ôm sang radian T A B C D 45o 45o Quay tự do W = mg 1 2 1 = 2 =  - /4 = 3/4 Chương 4. Ma sát – Friction -36- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 6. Ma sát giữa đai và bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts 500 N B D 135o Xu hướng trượt T1 T2 (b) 0.25[(3/4) ] 2 1 1 : 500 NsT Te Te    1 500N 500N 277.4 N exp{0.25[(3/ 4) ]} 1.80 T    0.25[(3/ 4) ] 2 1 : 277.4 N 153.9 N sT Te We W      2 153.9 N 15.7 kg 9.81m/s W m g    C Xu hướng trượt 277.4 N W=mg 135o (c) T2‘ T1‘ Xét trường hợp tới hạn: đai sắp trượt A 45o 45o Quay tự do T1 T2‘ T1 = T2‘ Đối với ụ B Đối với ụ C Khối lượng lớn nhất có thể nâng 13 Chương 4. Ma sát – Friction -37- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME TỔNG KẾT BÀI HỌC 1. Mở đầu và phân loại ma sát 2. Ma sát trượt khô – Ma sát Coulomb 3. Ma sát lăn 4. Nêm 5. Ma sát trong vít me-đai ốc ren chữ nhật 6. Ma sát giữa dây đai và đai – Công thức Euler: Bộ truyền đai, phanh đai 1Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity Chương 5 Cơ học kỹ thuật: TĨNH HỌC Engineering Mechanics: STATICS Trọng tâm vật rắn Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ học ứng dụng Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -2- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Nội dung • Trọng tâm của hệ chất điểm • Trọng tâm của vật rắn  Công thức xác định  Trọng tâm của các vật rắn đồng chất  Trọng tâm của các vật rắn đồng chất đối xứng  Trọng tâm của các vật ghép • Các công thức Pappus và Guldinus • Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm  Phương pháp vẽ xác định trọng tâm của tấm phẳng dạng chữ L.  Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi.  Phương pháp cân. Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -3- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Mở đầu G ?Qmax ?Wmax A B b c P a 2Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -4- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của hệ chất điểm , ,k k k k k k G G G k k k x W yW zW x y z W W W        Từ điều kiện tương đương về mô men đối với các trục, ta nhận được công thức 1 n k k W W    1 1 ( ) ( ) n n x x k G k k k k m W m W y W yW          Quay hệ cùng với hệ trục tọa độ 90o quanh trục x hoặc y 1 1 ( ) ( ) n n x x k G k k k k m W m W z W W z        1 1 ( ) ( ) n n y y k G k k k k m W m W x W xW        Công thức xác định vị trí trọng tâm G G W1 x O y W2Wn z G x G z G x G z G y G W1 x O y W2 Wn z Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -5- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật rắn: công thức xác định W G = C dW dV x O y z y G y x G x G z z W dW mg    1 ( ) ( ) y G y G m W x W m dW xdW x W xdW              1 1 1 , , G G G x xdW y ydW z zdW W W W        Trọng lượng của vật Vị trí trọng tâm của vật Khi gia tốc trọng trường g = const, trọng tâm G và khối tâm C của vật trùng nhau. Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -6- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của các vật rắn đồng chất 1 1 1 , , G G GV V V x xdV y ydV z zdV V V V        2 3, [m/ s ], [kg/ m ]dW g dm g dV g      const, constg   Trọng tâm của vật thể đồng chất dạng khối (3D) x y z x y z O G dV V Đối với vật thể đồng chất dạng khối 3Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -7- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của các vật rắn đồng chất Đối với vật thể dạng tấm (vỏ) bề dày không đổi (phẳng, cong) Đối với vật thể dạng thanh (dây) diện tích mặt cắt không đổi (phẳng, cong) 2 2 , [m/ s ], [kg/ m ] dW g dm g dA g        Đối với vật thể đồng chất dạng tấm vỏ x y z x y z dA A 1 1 1 , , G G GA A A x xdA y ydA z zdA A A A        1 1 1 , , G G GL L L x xdL y ydL z zdL L L L        x y z dL L x y z Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -8- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của các vật rắn đồng chất 1 1 , C CL L x xds y yds L L     Đối với vật thể dạng thanh (dây) diện tích mặt cắt không đổi (phẳng) 1 1 , C CA A x xdA y ydA A A     Đối với tấm phẳng (2D) CdA O x y y C y x Cx Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -9- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của các vật rắn đồng chất đối xứng 1. Nếu vật rắn có một mặt phẳng (trục hoặc điểm) đối xứng, thì trọng tâm của vật nằm trên mặt phẳng (trục hoặc điểm) đối xứng đó. 2. Nếu vật có một số mặt phẳng (trục) đối xứng, trọng tâm của vật rắn nằm trên giao của các mặt phẳng (trục) đối xứng đó. O x y 4Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -10- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân Ví dụ. Xác định trọng tâm của dây cung tròn bán kính R, góc mở 2α. Lời giải Dựng hệ Oxy, x là trục đối xứng  yC = 0. Chọn phân tố chiều dài dL (xác định bởi , d) Trường hợp nửa đường tròn α = π/2 dL j dj x x O y R A B a a x L O y R A B C , 2dL Rd L Rd R a a j j a - = = =ò cos 1 1 sin cos C x R x xdL R Rd R L L a a j aj j a- = = = =ò ò   2 / C x R Rp= < Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -11- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân x A O  y R  Ví dụ. Xác định trọng tâm của tấm hình quạt bán kính R, góc mở 2α. Lời giải Dựng hệ Oxy, x là trục đối xứng  yC = 0. Chọn phân tố diện tích dA dạng tam giác, (xác định bởi , d) j dj x O y R A dA a x 21 1 2 2 2 3 , cosdA RRd R d x Rj j j= = = 21 2 A dA R Rd R a a j a - = = ⋅ =ò ò 2 1 3 2 2 3 1 1 cos sin C x xdA R RRd A A R a a j j a a - = = = ò ò Trh nửa đĩa tròn, α = π/2 4 / 3Cx R p= Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -12- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân x y x1 y O x2 x y2 = f2(x) y1 = f1(x) dx d A Trọng tâm của tấm phẳng xác định bởi hai hàm y1(x) và y2(x) 1. Xác định miền giới hạn của tấm y1(x) = y2(x)  x1 & x2 2. Chọn phân tố diện tích dạng hình chữ nhật ở vị trí x và có bề rộng dx 3. Tính các tích phân 1 2 1 2 12 [ ( ) ( )] , , [ ( ) ( )]dA f x f x dx x x y f x f x= - = = +  2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 12 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )][ ( ) ( )] x x x x xdA x f x f x dx ydA f x f x f x f x dx ò = - ò = + - ò ò   2 1 2 1 [ ( ) ( )] x x A dA f x f x dx= ò = -ò 1 1 C C x A xdA y A ydA - - = ò = ò   5Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -13- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân y = 9– x2 9 m 3 m x y O x y y = 9– x2 9 m dx x y C O dA 3 Ví dụ: Xác định diện tích và trọng tâm của tấm phẳng cho trên hình bên. HD 2 21 1 2 2 (9 ) , , (9 )dA x dx x x y y x= - = = = -  2 2 1 ( ) 9 , ( ) 0f x x f x= - = 3 2 2 0 (9 ) 18 mA dA x dx= ò = - =ò 3 2 0 3 2 21 20 1 1 (9 ) 1,125 m 1 1 (9 )(9 ) 5, 4 m C C x xdA x x dx A A y ydA x x dx A A                Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -14- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân Ví dụ. Xác định vị trí trọng tâm tấm phẳng rộng 2a cao h, đường bao là parabol. HD. Dựng hệ Oxy, với trục y là trục đối xứng: xC = 0. Chọn phân tố diện tích dA song song trục x, dA = 2x dy. Khoảng cách từ phân tố đến trục x xác định từ phương trình của parabol Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -15- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân 2 2 5 2 0 0 2 4 2 2 5 5 h h a y a y ydA y dy ah h h = = ⋅ =ò ò Cần tính yC theo công thức 2 2 3 0 0 2 4 2 2 2 3 3 h h a y a y A dA xdy dy ah h h = = = = ⋅ =ò ò ò Thay vào công thức tính yC cho ta kết qủa 3 5C ydA y h dA = =òò  C ydA y dA = òò 6Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -16- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật ghép – composite bodies , ,k k k k k k G G G k k k x W yW zW x y z W W W        , , , k k k k W x y z trọng lượng và tọa độ trọng tâm của phần ghép thứ k. Nếu vật rắn được ghép từ nhiều phần, trọng tâm của nó được xác định theo x y z O G1 G2 G3 1. Đối với vật rắn đồng chất: , ,k k k kW V A L 2. Phần khuyết nằm trong vật có thể coi như có trọng lượng âm. 3. Nếu các Gk nằm trên một đường (mặt) thì G nằm trên đường (mặt) đó. Lưu ý: Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -17- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật ghép – composite bodies Vật ghép đồng chất dạng tấm 2D , , k k G k k k G k k k G k x A x A y A y A z A z A       k k W A , , k k k G k k k k k G k k k k k G k k x A x A y A y A z A z A             k k k W A 1 G 2 G i G Vật ghép đồng chất dạng dây (thanh) k k W L , , k k k G k k k k k G k k k k k G k k x L x L y L y L z L z L             , , k k G k k k G k k k G k x L x L y L y L z L z L       k k k W L Vật ghép đồng chất dạng khối 3D , , k k G k k k G k k k G k x V x V yV y V z V z V       k k W V , , k k k G k k k k k G k k k k k G k k x V x V y V y V z V z V             k k k W V Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -18- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật ghép – composite bodies ?, ? k k C k k k C k x A x A y A y A     Trọng tâm của tấm Vi dụ 1. k Area [m2] xk [m] yk [m] xkAk [m3] ykAk [m3] 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? Ak xkAk ykAk 21 2 r / 2a / 2a / 3a1 2 ab / 3a b 2a / 2a / 2a Phần 1. Tam giác Phần 2. Đĩa tròn (trọng lượng âm) Phần 3. Vuônga/2 a/2 a/2 b r y xa/2 + - 7Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -19- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật ghép – composite bodies Ví dụ 2. Một lập phương nhỏ cạnh 2a được cắt bỏ từ lập phương lớn cạnh 4a (Hình a) a) Xác định trọng tâm của phần còn lại. b) Xác định trọng tâm của lập phương lớn, nếu bù chỗ khuyết bằng một lập phương nhỏ làm bằng vật liệu khác có khối lượng riêng 2 = 21. (Hình b). Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -20- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật ghép – composite bodies Trong cả hai trường hợp ta coi vật thể như được ghép từ nhiều vật dạng hôp chữ nhật. a) PA1. Coi vật thể đồng chất được ghép từ 3 vật thể dạng hộp chữ nhật (cùng khối lượng riêng 1). Lập được bảng, tính và nhận được kết quả Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -21- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật ghép – composite bodies a) PA2. Coi vật thể đồng chất được ghép từ 2 lập phương cạnh 4a và cạnh 2a, phần cạnh 2a coi như có trọng lượng âm. Lập được bảng, tính và nhận được kết quả 8Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -22- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Trọng tâm của vật ghép – composite bodies b) Vật thể được ghép từ 2 phần (phần 1 đã biết từ câu a, khối lượng riêng 1 ) và phần 2 là lập phương cạnh 2a, khối lượng riêng 2 = 21 : Lập được bảng, tính và nhận được kết quả, Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -23- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các công thức Pappus và Guldinus Định lý 1. Diện tích của mặt tròn xoay sinh ra bởi đường cong phẳng L quay quanh một trục  đồng phẳng không cắt nó bằng tích chiều dài đường cong với chiều dài đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của đường cong quay quanh trục . 2 2CA y L yL    L C yC x y dL y 2 2 2 2 C dA r dL y dL A dA y dL y L               Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -24- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các công thức Pappus và Guldinus 2 2CV y A yA   Định lý 2. Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay quanh trục đồng phẳng  không cắt nó bằng tích của diện tích hình phẳng và chiều dài đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của hình phẳng quay quanh trục đó.  yC x y dA y C 2 2 2 2 2 C C dV r dA y dA V dV y dA y A r A                 9Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -25- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Các công thức Pappus và Guldinus a a x L O y R A B xC x L O yVí dụ 1. Tính diện tích tang trống z r a a Ví dụ 2. Tính thể tích hình xuyến 2 2, 2 2 C C r r A a V r A rap p= =  = = 1 2 2 , sin sin 2 2 2 4 sin C L R d x R A dL R R R                2/ 2 4A R     Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -26- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm Phương pháp vẽ xác định trọng tâm của tấm phẳng dạng chữ L D E A B C D E A B Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -27- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm Phương pháp đường dọi xác định trọng tâm tấm phẳng AB a) A nb) B B mc) C A n 10 Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -28- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm /x lN P Phương pháp cân đo Sử dụng một cân (hai lần cân) Cân lần 1 (cả vật) xác định P Cân lần 2 (một đầu), xác định N Đo L P N x cân l 2 2 1 2 / / ( ) x lN P lN N N    Sử dụng hai cân (cân 1 lần) Cân hai đầu xác định được N1 và N2, P = N1 + N2 Đo L P x cân 2 l cân 1 N2 N1 Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -29- Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Tóm tắt nội dung • Trọng tâm của hệ chất điểm • Trọng tâm của vật rắn  Công thức xác định  Trọng tâm của các vật rắn đồng chất/đối xứng  Trọng tâm của các vật ghép • Các công thức Pappus và Guldinus  Tính diện tích mặt tròn xoay, tính thể tích hình xuyến • Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm  Phương pháp vẽ xác định trọng tâm của tấm phẳng dạng chữ L.  Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi.  Phương pháp cân.