Bài giảng Cơ học lý thuyết - Trương Tích Thiện
Bài tập 12. Cho một đĩa có dạng hình quạt đồng chất, đặc, dày
điều, bán kính R, góc chắn ở tâm là 2 ,đứng yên ở thời điểm
đầu với góc nghiêng là 0 (góc hợp bởi phương thẳng đứng và
trục đối xứng của đĩa) có khối lượng m. Đĩa tựa không ma sát
với mặt phẳng ngang cố định.
a) Phân ơch chuyển động của đĩa và tâm O đĩa
b) Xác định vị trí của khối tâm C đĩa.
c) Xác định phương trình quỹ đạo của khối tâm C đĩa nếu
chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
d) Tính động năng của đĩa và tổng công các tải tác động
lên đĩa.
e) Tìm vận tốc góc của đĩa và gia tốc góc của đĩa.
a) Phân ơch chuyển động của đĩa:
Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với
tâm vận tốc tức thời không phải là điểm Ɵếp xúc I.
Phân ơch chuyển động của tâm O đĩa:
b). Do đĩa hình quạt có một trục đối xứng nên khối tâm C của
đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này.
Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng
song song đoạn thẳng cố định và cách đường thẳng cố định
một đoạn bằng bán kính của đĩa. Do đó, vận tốc và gia tốc
của tâm O nằm trên đường thẳng này.
469 trang |
Chia sẻ: hachi492 | Ngày: 06/01/2022 | Lượt xem: 366 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Cơ học lý thuyết - Trương Tích Thiện, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Hình II.4.2
0h
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Áp dụng định lý biến thiên động năng:
1 0
hê hêT T
0
hêT
A
ban ñaàu heä ñöùng yeân
= 0
2 2. . . .sin .P r Pr
g
M
Đạo hàm 2 vế theo thời gian t:
2. 2. . . .sin .P r P r
g
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
22. .
P.r.sin
g
P r
M-
0
. .sin
. .
2. .
P r
a r g
P r
M
Điều kiện của để vành lăn lên:M
0 . .sin 0
. .sin
P r
P r
chieàu ñaõ choïn laø ñuùng
M
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
c.
Sử dụng nguyên lý D’Alembert.
Tác động thêm lên vành 2 thành phần cơ bản của hệ lực quán
ơnh đặt tại O.
Vector chính của hệ lực quán ơnh.
.qt OR ma
. .sin
. . .
2 .
qt O
qt O gg
R a
Pr
R ma
r
P
P
M
. .sin
2qt
P r
R
r
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Moment chính của hệ lực quán ơnh đối với tâm O.
.qtO OM J
2
2
. .sin
. . . .
2 .
qt
O
qt
O O
M
Prr gJ
rg
PM
P
M
1
2
qt
OM P.r.sin M-
Khảo sát sự cân bằng của vành:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
.sin 0 1
cos 0 2
jx qt mst
jy
F P R F
F N P
Giải hệ (1), (2) ta thu được:
.cos 3N P
.sin
. .sin
.sin
2
mst qtF P R
PrP
r
M
4
2mst
P.r.sin
F
r
M+
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
d. Điều kiện để vành lăn không trượt:
. 5mst msgh tF F f N
Thay (3), (4) vào 2 vế của (5) ta nhận được:
. .sin
2 . .cost
P rf
P r
M
. .sin
. .cos
2 t
Pr f P
r
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 5.
Cho 1 cơ hệ gồm 2 vật có khối lượng M1 và M2 có liên kết và chịu
tải như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt ƥnh giữa 2 vật là ft, bỏ qua
ma sát giữa vật có khối lượng M2 với sàn cố định. Ban đầu khi
chưa chịu tác dụng của hệ lực F hệ cân bằng. Tìm điều kiện của
giá trị lực F để hai vật cùng chuyển động tịnh Ɵến thẳng theo
phương ngang như nhau (không trượt đối với nhau).
F
tf 1M
2M
Hình II.5
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Gọi lần lượt là gia tốc của C1, C2, C.
1 2
, ,C C Ca a a
Bài giải
Gọi C1, C2, C lần lượt là khối tâm của vật 1, vật 2 và của toàn
hệ.
Vì vật 1 không bị trượt đối với vật 2 nên:
1 2C C C
a a a a
Khảo sát chuyển động
của toàn hệ.
Hệ ngoại lực tác động
lên hệ:
21 , , ,FP NP
Hình II.5.1
F
tf 1
M
2M
1c
2c
c
N
a
1P
2P
x
y
O
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Dùng định lý chuyển động khối tâm cho hệ.
4
1 2
1
. 1ec j
j
Ma F P P F N
Hệ ngoại lực tác động lên vật 1:
.Ma F
1 2
2
F F
a
M M M
Ta khảo sát chuyển động của vật 1 (có lợi hơn khảo sát vật 2 vì
vật 1 có ít ngoại lực tác động hơn so với vật 2).
1 1, ,mstFP N
Dùng định lý chuyển động
khối tâm cho vật 1:
Chiếu (1) lên trục x:
1M
1c
1N
1P
mstF
x
y
O
Hình II.5.2
a
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
1
3
1 1 1
1
. 3eC j mst
j
M a F P F N
Chiếu (3) lên 2 trục x,y:
1: . 4mstOx M a F
1 1: 0 5Oy P N
Thay (2) vào (4), ta có:
1
1 2
. 6mst
M
F F
M M
Từ (5) ta ơnh đựơc:
1 1 1. 7N P M g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Điều kiện để vật (1) không trượt trên vật (2):
1. 8mst msgh tF F f N
Thay (6), (7) vào (8):
1
1
1 2
. . .t
M
F f M g
M M
1 2 .tF f M M g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 6. Cho một đĩa tròn,đặc, đồng chất có bán kính R và khối
lượng , bị đẩy lăn không trượt trên mặt nghiêng với vận tốc
ban đầu của tâm A đĩa ở chân dốc là . Biết mặt nghiêng cố
định nghiêng một góc đối với phương ngang và chiều dài
mặt nghiêng là . Cho biết: bán kính R,
a) Hãy phân tích chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. Tìm mối
quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và tâm A đĩa.
b) Tính động năng cho đĩa và tổng công tác động lên đĩa.
c) Tính vận tốc và gia tốc của tâm A đĩa. Cho nhận xét hai kết
quả này.
d) Tìm điều kiện về giá trị để đĩa có thể lăn lên được hết dốc.
e) Xác định các thành phần phản lực tại điểm tiếp xúc I.
f) Tìm điều kiện của góc nghiêng để đĩa lăn không trượt trên
mặt nghiêng.
m
0
Av
0
Av
0, , , , , .A tm v f f đ
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
g. Cho :
g1. phân ơch lại chuyển động của đĩa. Xác định và
chọn các tọa độ suy rộng.
g2. xác định các lực suy rộng tương ứng
g3. thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho
hệ.
3 ttg f
hêdof
Hình II.6
,
,
A As v
I
A
R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
a).
Phân ơch chuyển động của đĩa:
Bài sửa
Hình II.6.1
, A A
,A As v
Al
I
A
x
qtR
mstF (vì vật lăn không trượt)
A
qt
AM
P
Aa
N
y
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Do đó:
Quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và chuyển động
của tâm A đĩa khi đĩa lăn không trượt:
Đĩa chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng cố định. Đây
là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận
tốc tức thời là điểm Ɵếp xúc I.
AA
v
R
Phân ơch chuyển động của khối tâm A đĩa: tâm A đĩa chuyển
động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng song song với
mặt nghiêng cố định và cách mặt nghiêng ấy một khoảng
bằng bán kính đĩa.
A
; A A A Av a
A
A
s
R
AA
a
R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b.
Động năng của hệ:
Tổng công các tải:
2 2
2
2 2
2
2
1 1
2 2
1 1 1
2 2 2
3
4
hê
A A A A
A
A
A
T m v J
vP P
v R
g g R
P
v
g
mstA A P A F A N
0 :mstA F
vì vật không trượt.
0 :A N
vì vuông góc và điểm I đứng yên tức thời.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
c. Vận tốc của tâm A:
Dùng định lý biến thiên động năng:
. .sin ;A AA A P P h P s
độ cao hướng
lên công âm
1 0
hê hêT T A
22 03 3 sin
4 4
const
A A A
P P
v v P s
g g
20 4 .sin
3A A A
v v g s
Đạo hàm 2 vế theo thời gian t:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
d. Điều kiện tối thiểu của vAO để đĩa lăn hết dốc:
e. Xác định các thành phần phản lực:
3 1 2 sin
4
A A Av a vg
2 2. .sin
.sin 0 0
3 3.
AA A
a g
a g
R R
Tâm A chuyển động thẳng, chậm dần và đĩa lăn chậm dần.
0 / tai
A A
v m s s
20 4 .sin . 0
3
Av g
0 02 3 2 3. .sin . .sin
3 3
A Av g v g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Theo nguyên lý D’Alembert, ta sẽ bổ sung vào đĩa hai thành phần
cơ bản của hệ lực quán ơnh:
thì đĩa sẽ ở trong trạng thái cân bằng.
qt
qt
A
R
M
.qt A AR m a
(do ơnh độ lớn nên bỏ (-))
2
. . .sin ;
3
qt A AR m a P
.qtA A AM J
2 2
2
1 1 1
.sin . .sin
2 3 3
qt A
A
aP P
M R P Rg
g
R
Rg
Viết các phương trình cân bằng:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
.sin 0 ms qttjxF P RF
.cos 0 jyF P N
Giải hệ , :
.cosN P
.sin
2
.sin .sin
3
1
.sin 0
3
mst qt
mst
F P R
P P
F P
f. Điều kiện của để đĩa lăn không trượt:
. msgm t thsF fF N
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Thay , vào :
1
.sin . .cos
3 t
P f P
tan 3 tf
g.
g1.
Do nên đĩa vừa lăn vừa trượt trên dốc. Đây cũng là
trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận
tốc tức thời không phải là điểm Ɵếp xúc I.
3 ttg f
Bậc tự do của hệ: 2hdof Ë
Chọn 2 tọa độ suy rộng: . (hình 3.1),x
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.6.2
I
A
msđF
P
x
N
g2.
Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng
:
1 xQ Q
1q x
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:
1 20, 0qq x
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tổng công khả dĩ của các tải:
;
. .
.sin . .
.sin .
0
cos
sin .cos
msđ
msđ
A A P A F
P h F x
P x f
A
N x
P f P x
N
A x
N
P f
đ
đ
đ
(đĩa chỉ trượt mà không lăn vì ) 0
hx
A Hình II.6.3
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Lực suy rộng:
Hình II.6.4
0
I
A
msđF
P
0x
N
0 :N
vì khi chiếu lên
phương trượt phương
của lực nâng N vuông
góc so với phương
trượt.
1 sin c
sin co
o
s .
sx
A
f P
x
Q Q
f M g
đ
đ
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Lực suy rộng:
(đĩa quay quanh tâm A cố định hay đĩa trượt không lăn)
Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng2Q Q
2q
. . .
msđ
msđ I
A P A NA A F
F s f N r
đ
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:
1 20 , 0q x q
Tổng công khả dĩ của các tải:
. . .cos .A f P r đ
2 . . .cos
A
Q Q f P r
đ
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
g3. Dùng phương trình Lagrange 2:
2 . . . .cosQ Q f M g r đ
Hình II.6.5
, 1,2i
i i
d T T
Q i
dt q q
0
.Is r
A
msđF
P
0x
N
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Xác định động năng hệ:
2 2
2 2 2
1 1
.
2 2
1 1 1
. .
2 2 2
hê
A AT M v J
M x M r
1
0
T T
q x
(không có x chỉ có đạo hàm của x)
1
.
d T d T
M x
dt q dt x
2
0
T T
q
(không có )
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
22
1
. .
2
d T d T
M r
dt q dt
Do đó:
2
. sin cos .
1
. . . .cos .
2
r
M M
M M r
x f g
f g
đ
đ
sin cos
2 cos .
x f g
f g
r
đ
đ
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 7. Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết bán kính r, P, = const, Q,
ròng rọc là vành tròn đồng chất. Dây mềm, nhẹ, không giãn,
không trượt trên ròng rọc, luôn căng. Ban đầu hệ đứng yên.
a) Hãy phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Thiết
lập quan hệ động học giữa các vật.
b) Xác định động năng cho toàn hệ và tổng công của các tải tác
động lên hệ.
c) Xác định gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B.
d) Tính lực căng dây nối vật A.
e) Tìm điều kiện của moment để nhánh dây nối vật A bị
chùng. Xác định lại gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc
B.
M
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.7
a) Phân ơch chuyển động:
Vật A: chuyển động tịnh Ɵến thẳng đứng, nhanh dần, có chiều
hướng xuống.
, ,B B B
, ,A A As v a
M
A
P
Q
B
r
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Ròng rọc B: chuyển động quay nhanh dần, cùng chiều kim
đồng hồ quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi
qua tâm B cố định (tâm B cố định).
Thiết lập quan hệ động học giữa các vật:
.
.
.
A B
A B
A B
s r
v r
a r
b).
hê A BT T T
Vật A chuyển động tịnh Ɵến: 2
1
2A A
P
T v
g
Vật B chuyển động quay: 2
1
2B B B
T J
Động năng của hệ:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
(JB là moment quán ơnh của vật B đối với trục cố định thẳng góc
với mặt phẳng hình vẽ qua B)
2
B
Q
J r
g
2 2 2
2 2 2
1 1
2 2
1 1
. .
2 2
hê
A B
A A A
P Q
T v r
g g
P v Q v P Q v
g g
( ) ( )A A A P
M
Với: B( ) ;AA sr
M
M M. ( ) A AA P Ph Ps
Tổng công các tải:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B:
AA P sr
M
Áp dụng định lý biến thiên động năng:
1 0
hê hêT T A
21
2 A A
P Q v P s
g r
M
Đạo hàm 2 vế
theo t: 1 2 .
2 A A A
P Q v a P v
g r
M
. 0A
P
ra g
P Q
M
c).
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Gia tốc góc của ròng rọc:
d) Xác định lực căng dây.
Áp dụng nguyên lý D’Alembert khảo sát sự cân bằng của vật A:
A
B
Pa r g
r P Q r
M
.Aqt A AR m a
A
qt
P PP r rR g P
g P Q P Q
M M A
P
y
AT
A
qtR
Hình II.7.1
Aa
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Phương trình cân bằng:
Chiếu lên trục y:
Sau khi bổ sung vào thì vật A cân bằng.A
qtR
0Aqt A AR T P
0Ajy A qtF T R P
A
A qt
A
P
rT P R P P
P Q
Q
rT P
P Q
M
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e) Điều kiện để dây không bị chùng (dây căng):
Khi dây bị chùng:
Gia tốc vật A:
Gia tốc góc ròng rọc B:
0 0 .AT Q Q rr
M
M
Vậy điều kiện để dây bị chùng: .Q rM
Aa g
2.B
g
Q r
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 8. Cho cơ hệ đứng yên ở thời điểm ban đầu như hình vẽ.
Ròng rọc B là một đĩa tròn, đặc và đồng chất. Hệ số ma sát trượt
ƥnh và động giữa vật A và mặt phẳng ngang cố định là và . Cho
biết: Dây mềm, nhẹ, không giãn, luôn
căng, không trượt trên ròng rọc.
a) Tìm điều kiện của góc để A trượt được trên mặt nghiêng.
b) Cho , dây luôn căng.
b1) Phân ơch chuyển động các vật rắn trong hệ. Tìm mối quan
hệ về động học giữa các vật.
b2) Tính động năng cho toàn hệ và tổng công tác động lên hệ.
b3) Xác định gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B
b4) Tính lực căng dây
b5) Tìm điều kiện của để dây nối vật A bị chùng. Xác định lại
gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B.
, , , , , .tr P Q const f f M , đtf fđ
ttg f
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
a) Điều kiện để vật A không trượt (A cân bằng và dây chùng):
M
P
Q
B
r
A
Hình II.8
Khảo sát sự cân bằng của vật A:
Tự do hóa vật A:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
- Viết các phương trình cân bằng:
.sin 0 1jx mstF F P
.cos 0 2jy AF N P
- Giải hệ (1), (2):
.sin 3mstF P
Hình II.8.1
P
x
y
AN
mstF
A
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Điều kiện để vật A không trượt:
Thay (3) và (4) vào 2 vế của (5), ta có:
.cos 4AN P
. 5mst msgh t AF F f N
.sin . .costP f P
6ttg f
Điều kiện để vật A trượt:
7ttg f
b1. Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ:
b) Vì nên vật A trượt được trên mặt nghiêng.ttg f
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.8.2
M
P
Q
B
r
A
B
B
B
As
Av
Aa
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Ròng rọc B quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hồ quanh
tâm B cố định.
Quan hệ động học:
Vật A tịnh Ɵến thẳng, nhanh dần theo phương của mặt
nghiêng và với chiều hướng xuống.
; ;A A AB B B
s v a
r r r
b2. Động năng của hệ:
hê A BT T T
2 2
2
2 2 2
2
1
2 2
1 1 1
.
2 2 2 4
A
A A A
B A
B B A
P
T m v v
g
vQ Q
T J r v
g r g
Với:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tổng công các tải:
21
2 2
hê
A
Q
T P v
g
msđA A FA PA
M
. .sinA AA P P h P s
. B AA sr
M
M M
cos .
msđ msd A A A AA F F s f N s f P sđ đ
Với:
sin cos
AA P f sr
M
đ
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b3. Áp dụng định lý biến thiên động năng:
1 0
hê hêT T A
21 sin cos
2 2
A A
Q
P v P f s
g r
M
đ
1 2 sin cos
2 2
A A A
Q
P v a P f v
g r
M
đ
sin cos
2
A
P f
ra g
Q
P
M
đ
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b4. Khảo sát chuyển động của vật A:
sin cos
2
A
B
P fa r g
Qr
P r
M
đ
Ta có:
.msđ AF f N đ
Hình II.8.3
P
x
y
AN
msđF
A
AT
Aa
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật A:
Chiếu (8) lên hai phương x, y
4
1
. 8eA A j A A msđ
j
m a F P N T F
. .sin
9
0 cos
A A msđA
A
m FTa
N
P
P
cos 10AN P
.sin .
sin cos
sin cos
2
A msđ A AT P F m a
P f
P r
P f P g
Qg P
đ
đ
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
sin cos
sin cos
2
A
P P f
r
T P f
Q
P
đ
đ
M
b5. Điều kiện để dây căng:
sin cos
2
11
2
A
Q
P f
r
T
Q
P
đ
M
0AT
sin cos 0
2
Q
f
r
đ
M
. sin cos
2
Q r
f đM
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Điều kiện để dây chùng:
. sin cos
2
Q r
f M đ
Xác định lại và :Aa B
sin cosAa f g đ
2
2
.B
g
Q r
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 9. Cho cơ hệ như hình vẽ:
a). Hệ có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay không? Tại
sao?
b). Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần
phản lực tại ngàm A.
A B
q const
Hình II.9
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa
a. (Tự giải)
Tính bậc tự do của hệ: Dofhệ
Số vật rắn: n=1 (thanh thẳng nằm ngang)
Tổng ràng buộc của các liên kết:
3lkR (ngàm phẳng)
Do đó bậc tự do của hệ:
3
3.1 3 0
lk
hDof n R
Ë
Vì dofhệ ≤ 0 nên hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Xác định thành phần phản lực HA :
Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh Ɵến thẳng
theo phương ngang:
b). Liên kết có một ràng buộc được gọi là liên kết đơn (ví dụ:
khớp bản lề trượt, liên kết thanh). Liên kết ngàm phẳng có 3
ràng buộc sẽ được xem là tương đương với 3 liên kết đơn.
Để xác định các thành phần phản lực của liên kết ngàm ta
giải phóng lần lượt từng liên kết đơn và xem các thành phần
phản lực xuất hiện như là lực hoạt động bổ sung.
A B
q
AH
x
Hình II.9.1
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tính tổng công khả dĩ:
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:
Xác định phản lực NA :
Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh Ɵến thẳng
theo phương đứng.
Cho hệ một di chuyển khả dĩ . x
A A
A
A A A q H
H
AH
x
0 0AA H
Cho hệ một di chuyển khả dĩ . y
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:
Tính tổng công khả dĩ:
Hình II.9.2
A B
qA
N
0y
.
A A
A
A A N A q N y ql y
N ql y
0 0 0A AA N ql N ql
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động quay quanh tâm
A.
Xác định thành phần phản lực MA :
Cho hệ một di chuyển khả dĩ .
Hình II.9.3
A
B
q
AM
x
. y x
dx
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tính tổng công khả dĩ:
AA M AA q
Ta có:
A AA M M
0 0
2 2
0
. . . .
. .
2 2
A q q dx y q dx x
x q
q
2
2
A
q
A M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:
2 2
0 0 0
2 2
A A
q q
A M M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 10. Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các
thành phần phản lực sau:
Hình II.10.1
Hình II.10.2
A
B
q P q
2 M q
2
C
a)
q
A C
M
B
b)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tính tổng công khả dĩ:
a). Xác định thành phần phản lực HA :
Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh Ɵến theo
phương ngang:
Cho hệ di chuyển khả dĩ : x
( ) ( )
A AA q A P A MA A H A H
Hình II.10.3
A
B
q
P q
MC
x
AH
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
+ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:
- Xác định thành phần phản lực NB :
.A AA A H H x
0 0AA H
+ Cho hệ một di chuyển khả dĩ :
Hình II.10.4
A B
q
P q
M
C
BN
By Cy
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tính tổng công khả dĩ:
Xác định thành phần phản lực NA :
Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh Ɵến theo
phương đứng:
2
2
.(2 . ) 2 . .(3 . ) .
(2 2 ).
B
B
B
A A N A q A P A M
N q P M
N q
20 2 2 0 BA N q
BN q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.10.5
A B
q P q
M
2
C
AN
du
u
y
Ay
Cy
Cho hệ một di chuyển khả dĩ :
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tổng công khả dĩ:
AA P AAA MNA q
2
Ay tg
2 . Ay
. .2 .
A A A AA N N y N
. y u
22 2 2
0 0 0
. . . . . .
2
u
A q y q du q u du q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Thế vào :
22 . A q q
. Cy
2. . . .
CA P P y q q
2. . A M M q
2 2.2 . 2 . . 0 AA N q q M
2 AN q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b).
Xác định các thành phần phản lực HA :
Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh Ɵến theo
phương ngang:
Hình II.10.6
q
A
C
M
B
AH x
Cho hệ một di chuyển khả dĩ : x
Tổng công khả dĩ: .A AA A H A q H x
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
0 0AA H
Giải phóng liên kết NA :
Hình II.10.7
Ay
A
C
2
M
B
x
dx
By
AV
Cho hệ 1 di chuyển khả dĩ :
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tổng công khả dĩ :
Ta có:
A AA VA A q M
. 0 y x y x
2
0 0 0
2
. . . . . .
2
2
x
A q y q dx q x x dx q
q
2. . AA M M q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Giải phóng liên kết VC :
2 . Ay
.
.2
A A A
A
A V V y
V
2 21.2 . 0
2
AA V q q
2 21
12
2 4
A
q q
V q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.10.8
q
A
C
M
B
u
du
Cy
CV
By
2 u
.y u
2 2
. . . .
A q y q du u q du
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
22 2 2
2
4
. . .
2 2 2
3
2
u
A q q q q
q
2. . A M M q
2 . Cy
.2 .
C C C
C
A V V y
V
CA A q A M A V
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
22 2
3
2 .
2
3
.2
2
C
C
A q V
q q V
2 23
52
2 4
C
q q
V q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 11. Cho một cơ hệ gồm có hình lăng trụ A Ɵết diện tam giác
vuông và ống trụ tròn, đồng chất, không đáy B. Vật A có khối lượng
m1 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cố định. Vật B có bán
kính r, khối lượng m2 lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A
(hình chiếu đứng của trục ống trụ tròn là B). Lăng trụ A chịu tác động
của lực F như hình vẽ. Cho biết: m1, m2, F, , r.
a) Hãy phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định bậc
tự do của hệ và chọn các tọa độ suy rộng cho hệ.
b) Viết biểu thức xác định vận tốc tuyệt đối của tâm B và ơnh độ lớn
của vector vận tốc tuyệt đối này.
c) Xác định động năng cho toàn hệ và các lực suy rộng tương ứng.
d) Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ. Cho
biết khả năng của mình có giải được hệ phương trình vi phân này
không? Nếu giải được hãy xác định gia tốc của lăng trụ A và gia
tốc góc của ống trụ B.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
a) Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ
Vật lăn trụ A có chuyển động tịnh Ɵến thẳng theo phương
ngang.
Hình II.11.1
x
A
F
r
BIv
2P
1P
N I
B
Đường trung tuyến
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Ống trụ tròn B thực hiện đồng thời 2 chuyển động: tịnh Ɵến
cùng với lăng trụ A và lăn không trượt trên mặt nghiêng của
lăng trụ A. Chuyển động tổng hợp của ống trụ tròn B là
chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải
là điểm Ɵếp xúc I.
Bậc tự do của hệ:
Hai tọa độ suy rộng của hệ được chọn là:
b). Phân ơch chuyển động phức hợp của tâm B:
2hDof Ë
Vì ta cần dùng 2 thông số độc lập và mới xác định được vị
trí của toàn hệ.
x
1 2,q x q
Chuyển động kéo theo: tịnh Ɵến cùng lăng trụ A.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặt nghiêng
của lăng trụ A (tâm quay tức thời là điểm I).
Dùng định lý hợp vận tốc của điểm:
B
e
B
a
B
rv vv
Tính độ lớn vector vận tốc
tuyệt đối điểm B:
Hình II.11.2
BIv
I
B
A
av
B
av
(khi tổng 2 góc bằng thì cos
góc này bằng - cos góc kia).
*
B B
B B A
B A BI
a a
r
a a
I
ev v v v
v v
v
v
Với:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
c). Động năng hệ:
Ah Bê TT T
Công thức lượng trong tam giác thường:
2 2 2
2 2
2 cos
2 cos
B A BI A BI
a a a
A BI A BI
a a
v v v v v
v v v v
Mà: ; . . A BIav x v r r
2 2 2 2. 2 .cos . .Bav x r r x
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 21 11 1. .2 2
A A
aT m v m xVới:
2 221 1 .2 2
B B
a BT m v J
Ta có: 22. ;BJ m r
2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
1 1
2 cos . . .
2 2
1
2 . 2 cos . .
2
BT m x r r x m r
m x r r x
2 2 21 2 2 2
1
. . . . .cos . .
2
hêT m m x m r m r x
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:
Xác định lực suy rộng :1 xQ Q
Hình II.11.3
A
F
0
r
BIv
2P
1P
N
I
2C B
0 x
A
av
1 20 ; 0q x q
(đĩa không quay nên toàn hệ là một vật duy nhất: m = m1 +m2)!
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Tổng công khả dĩ:
1 2A PA AN
A F
A P A F
. A F x
(P1, P2 không thay đổi độ cao; phương N vuông góc phương
chuyển động).
1 x
A
Q Q F
x
Xác định lực suy rộng :2Q Q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:
Tổng công khả dĩ:
Hình II.11.4
B
I
Bs
Bh
1
2
0 ;
0
q x
q
.sin
. .sin
B Bh s
r
21
2 2.
B
A P A NA A P
m
A
P g
F
A h
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
d) Dùng phương trình Lagrange 2:
2
2
.
. . .sin .
BA m g h
m g r
2 2 . .sin
A
Q Q m g r
, 1, 2i
i i
d T T
Q i
dt q q
1
0
T T
q x
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Đây là hệ phương trình vi phân cấp 2 cực kỳ dễ giải. Cách giải
được trình bày chi Ɵết:
1 2 2
1
. .cos
d T d T
m m x m r
dt q dt x
2
0
T T
q
22 2
2
. .cos 2
d T d T
m r x m r
dt q dt
1 2 2
2
2 2 2
. .cos
. .cos 2 . .sin
m m x m r F
m r x m r m g r
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Đặt 1 2;X x X
Nghiệm:
2
1
1 2 2
2
2
1 2
2
1
2
2
2 2
. .cos
.sin 2
. .cos
cos 2
2 . . .sin .cos
2 .c
1
2 sin 2
2
2 co
os
s
F m r
g r
X x
m m m r
r
r F m g r
r m m m
F m
c
r
g
m m m
onst
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
1 2
2
1 2 2
1 2
2
1 2 2
.sin .cos
2
cos .sin
. .
cos
cos
cos 2
m m F
g
X
m m g F
m m m
m m
c
m
r
r
r
onst
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 12. Cho một đĩa có dạng hình quạt đồng chất, đặc, dày
điều, bán kính R, góc chắn ở tâm là 2 ,đứng yên ở thời điểm
đầu với góc nghiêng là 0 (góc hợp bởi phương thẳng đứng và
trục đối xứng của đĩa) có khối lượng m. Đĩa tựa không ma sát
với mặt phẳng ngang cố định.
a) Phân ơch chuyển động của đĩa và tâm O đĩa
b) Xác định vị trí của khối tâm C đĩa.
c) Xác định phương trình quỹ đạo của khối tâm C đĩa nếu
chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
d) Tính động năng của đĩa và tổng công các tải tác động
lên đĩa.
e) Tìm vận tốc góc của đĩa và gia tốc góc của đĩa.
xy
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
0C
O
c
u
t
R
N
0
P
2
x
y
I
Hình II.12
0Cho: , , ,m R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa
a) Phân ơch chuyển động của đĩa:
Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với
tâm vận tốc tức thời không phải là điểm Ɵếp xúc I.
Phân ơch chuyển động của tâm O đĩa:
b). Do đĩa hình quạt có một trục đối xứng nên khối tâm C của
đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này.
Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng
song song đoạn thẳng cố định và cách đường thẳng cố định
một đoạn bằng bán kính của đĩa. Do đó, vận tốc và gia tốc
của tâm O nằm trên đường thẳng này.
O
0 0 0 0;
v
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Khảo sát một diện ơch vi phân k thuộc đĩa như hình vẽ:
Dựng hệ trục tọa độ vuông góc mới gắn liền với đĩa sao cho
trục trùng trục đối xứng của đĩa.
Out
u
0ct
O
r
dr
kdA
K
ku u
d
Hình II.12.1
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Gọi: A
là khối lượng riêng đĩa.
là diện ơch đĩa.
Ta có: 2 :A R rad
2
;
m m
A R
.cosku r
.kdA dr r d
2k k
m
m dA dr rd
R
(vật phẳng (kg/m2); vật dày (kg/m3)
(uk: tọa độ u của điểm K).
(mk: khối lượng của diện ơch dAk ).
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Áp dụng công thức định nghĩa của khối tâm:
21
2
1
cos . .
k k
k
c
A
m u
m
u r dr d
m m R
2
2
0
3
2
0
3
2
1
cos .
1
sin
3
1
2sin
3
R
c
R
u r dr d
R
r
R
R
R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
c). Khảo sát chuyển động của đĩa:
2
sin
3c
R
u
Dùng định lý chuyển động khối tâm:
Hệ ngoại lực tác động lên đĩa :,P N
2
1
1ec j
j
ma F P N
2. 0 0c cm x x m s
Chiếu (1) lên trục x:
0 ;c cx const x m s (vận tốc lúc đầu bằng 0)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
d). Động năng đĩa: (đĩa là hình tròn đặc đồng chất).
0c cx const x m
Vậy phương trình chuyển động của khối tâm C là: 0 ;cx
đường thẳng ; c y ; .c cv y a y
2 21 1 .
2 2c c
T mv J
Ta có: ( là góc hợp bởi trục u và trục Oy).:
2 20 0 .c cJ J m OC J mu
Theo định nghĩa:
2 2
0 2
1
. . .k
k A
m
J m OK r dr d r
R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
3
0 2
0
4
2
0
4
2
4
2
4
R
R
m
J r dr d
R
m r
R
m R
R
2
0
1
2
J mR (giống công thức hình quạt)
2
2
2c c
R
J m u
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
A A P A N
Tâm vận tốc tức thời của đĩa: P
Tổng công các tải:
P C
0v
u
y
O
cv
Hình II.12.2
.sin
sinc
PC OC
u
Do đó:
. .sin .c cv PC u
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
sin .
2 4
1 1
sin
2 2
c
c
T m u mR
m u R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
0A N
Với:
0
. cA P P h
mg HC HC
Hình II.12.3
P
C
0
y
O
0C
0O H
0
ch
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
0 0 0
0
.cos .cos
. cos cosc
A P mg OC O C
mg u
e) Dùng định lý biến thiên động năng:
1 0
hê hêT T A
2 2 2 2 0 2
1 1
sin . cos cos ;
2 2c c
m u R mg u
Vận tốc góc của đĩa:
0
2 2 2
2 . cos cos
1
sin
2
3c
c
g u
u R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Gia tốc góc của đĩa:
Đạo hàm 2 vế (2) theo thời gian t:
2 2 2 2 21 1 1sin cos . sin .
2
. sin .
2
22
2c c
c
u u R
g u
2
2 2 2
sin cos .
1
sin
2
c c
c
u u g
u R
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 13. (Chưa sửa).
Cho một thanh thẳng mảnh, đồng chất, Ɵết diện điều, khối
lượng m và chiều dài 2 tựa không ma sát trên mặt phẳng
ngang cố định. Ban đầu thanh đứng yên với góc nghiêng 0.
a. Hãy phân ơch chuyển động của thanh AB. Tìm
phương trình quỹ đạo của điểm A, của khối tâm C và
điểm B.
b. Tính động năng của thanh và tổng công các tải tác
động lên thanh.
c. Xác định vận tốc góc của thanh và gia tốc góc của
nó.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
AB
0
0C
Hình II.13
0: , 2 ,mCho
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 14.
Cho cơ hệ như hình vẽ (Hình II.14).
A
B
2r
1r
1O
2O
2P
1P
M
Hình II.14
Cho r1, r2, P1, P2, .
Dây có các ơnh chất sau đây:
mềm, nhẹ, không giãn, không
trượt trên các vật và luôn căng.
Bỏ qua ma sát tại khớp bản lề O1
và xem nhánh dây AB luôn có
phương thẳng đứng. Ròng rọc O1
là đĩa tròn đặc, đồng chất và ròng
rọc O2 là vành tròn đồng chất.
a. Xác định bậc tự do của hệ.
Chọn các hệ tọa độ suy rộng
cho hệ.
constM
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b. Phân ơch chuyển động cho các vật rắn trong hệ. Phân ơch
chuyển động phức hợp của tâm O2. Viết biểu thức ơnh vận
tốc tuyệt đối cho điểm này.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng
đã chọn.
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Cho
biết khả năng có thể giải hệ phương trình này không? Tại sao?
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa
a.
Dofhệ = +2
Chọn 2 tọa độ
suy rộng:
q1 1;
q2 2
A
B
2r
1r
1O
2O
y
2P
1P
1
M
2
Hình II.14.1
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b.
Phân ơch chuyển động các vật.
Ròng rọc O1:
Chuyển động quay quanh tâm O1 cố định.
Ròng rọc O2:
Chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là
điểm Ɵếp xúc A.
Phân ơch chuyển động phức hợp của tâm O2.
Chuyển động kéo theo:
Tịnh Ɵến thẳng đứng cùng với dây.
Chuyển động tương đối:
Quay quanh tâm vận tốc tức thời A đối với dây.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Viết biểu thức ơnh: (Hình II.14.2)
2 2 2O O O
a e rv v v
A
B
2r
1r
1O
2O
y
2P
1P
1
B
av
A
av
M
2
2O
rv
Hình II.14.2
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
22
2
2 2
2 2
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
. .
.
O
eO A
e a O A B
e a a
O O
r rO O A
r O
r
v y
v v
v v v r r
v AO hay v y
v v
v r r
Vôùi :
2 2 2 2
1 1 2 2
2
. .
ve
O O O O
a a e r
ctor
v v v v r r
chæ khi
c.
Động năng toàn hệ:
1 2O OT T T heä
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
12
2 21
1 1 1
2 22
2 2 2
1
2 2
. .
O
O
P
J m r r
g
P
J m r r
g
Ta coù :
1
1
2 2 21
1 1 1
1
. . .
2 4
O O
P
J r
g
Vôùi : T
2 2
2
2 2
2 2
2 2 22 2
1 1 2 2 2 2
1 1
.
2 2
1 1
. . . .
2 2
O O
a OT m v J
P P
r r r
g g
2 2 2 2 22 2 2
1 1 1 2 1 2 2 2. . . . . . . .2
O P P PT r r r r
g g g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 2 2 21 2 2
2 1 1 1 2 1 2 2 2
1
. . . . . . . .
2 2
P P P
T P r r r r
g g g
heä
d.
Nhận xét:
Hệ sẽ có 2 lực suy rộng Q1, Q2 ứng với 2 tọa độ suy rộng đã chọn.
Xác định lực suy rộng Q1:
Chọn 1 di chuyển khả dĩ đặc biệt cho hệ.
1 20 ; 0
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2
1 1 2 2
1 2
1 2
1 1
: . .
.
.
O
aTa có v r r
r r
dt dt
r
Tính tổng công khả dĩ:
2A A A P
M
21 2
. . OA P s M
22 1
1.
OO
a
s
à: r
dt dt
M v
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 1 1
.Os r
2 1 1. .A P r Vaäy : M
Lực suy rộng Q1:
1 2 1
1
.
A
Q P r
M
Tính lực suy rộng Q2:
Chọn một di chuyển khả dĩ dặc biệt cho hệ:
1 20 ; 0
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2
1 1 2 2
1 2 2
1 2 2
: . .
. . .
O
aTa có v r r
r r r
dt dt dt
22 OO
a
s
v
dt
Maø :
2 2 2
.Os r
Tổng công khả dĩ:
2
2
2 2 2 2. . .O
A A P
P s P r
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Lực suy rộng Q2:
2 2 2
2
.
A
Q P r
1 2 1
2 2 2
.
.
P r
Q P r
Vaäy : Q M
e.
Dùng phương trình Lagrange 2 (đối với hệ khi mất cân bằng):
, 1, 2i
i i
d T T
Q i
dt q q
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
21 2
2 1 1 1 2 2
1 1
1
. . . . .
2
A B
d T T P P
P r r r
q g g
d
dt dt
.. ..
1 1
0
T T
q
(Vì Thệ không phụ thuộc 1).
22 2
1 2 1 2 2
2 2
2
. . . . .
B C
T T Pd d P
r r r
qt d g gd t
.. ..
2 2
0
T T
q
(Vì Thệ không phụ thuộc 2).
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
21
2 1
2
1 2
22
2
1
2
. .
2.
.
P
A P r const
g
P
B r r const
g
P
C r const
g
Ñaët :
1 2 2 1
1 2 2 2
. . .
. . .
A B r D
B C P r E
P
M+
1 1 2 2; X Ñaët : X
1 2
1 2
. .
. .
A X B X D
B X C X E
Thay các kết quả vào phương trình Lagrange 2, ta có:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
1 2
2
1
2 2
. .
.
. .
.
X const
X cons
CD BE
A C B
A E BD
A C B
t
(ròng rọc 1 quay nhanh dần đều)
(ròng rọc 2 quay nhanh dần đều)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 15.
Cho một cơ hệ như hình vẽ (Hình II.15).
Hình II.15
A
C
B
P
Q
Ir
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
A là đĩa tròn đặc, đồng chất có bán kính r và trọng lượng Q. AB là
thanh thẳng, mảnh, đồng chất, Ɵết diện đều, dài , trọng lượng
P. Cho r, , P, Q, , đĩa A lăn không trượt trên mặt
phẳng ngang cố định.
Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lề A.
a. Xác định bậc tự do cho hệ và các tọa độ suy rộng cho hệ.
b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân ơch
chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh AB. Viết
biểu thức ơnh vector vận tốc tuyệt đối cho điểm C này.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng
đã chọn cho hệ.
constM
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ.
Bài sửa
a.
Dofhệ = 2 (để biết chuyển động của hệ cần phải biết chuyển động
của 2 vật hoặc nếu ta giữ cố định cả 2 vật thì hệ mới đứng yên
được)
b.
Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ:
(Hình II.15.1)
Chọn 2 tọa độ suy rộng: q1 1; q2 2
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.15.1
A
C
B
P
Q
Ir
M
2
1
x
AAav
C
ev
C
av
C
rv
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Thanh thẳng AB:
Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với TVTTT là
điểm chưa xác định.
Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với tâm vận
tốc tức thời (TVTTT) là điểm Ɵếp xúc I.
Phân ơch chuyển động phức hợp của khối tâm C của thanh
AB.
Chuyển động kéo theo : tịnh Ɵến cùng với tâm A.
Quỹ đạo tâm A là đường thẳng . AA a Av
Đĩa tròn A:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A.
Viết biểu thức ơnh:
c. Động năng toàn hệ:
C C C
a e rv v v
2 2 2
2
2
2
1 2 2 1 2
2 cos
. . . .cos . .
2
C A C A C
a a r a rv v v v v
r r
A ABT T T heä
C CA
rv v AC
Do đó:
C A
e av v
Do đó:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 21 1 .
2 2
A A
A a A AT m v J Vôùi :
1
2 2
1
; . .
1
. .
2 2
A
A a
A A
A
Ta
Q
m v r
g
Q
J m r r
g
coù :
2 2 2 2
1 1
2 2
1
. .
2 4
3
.
4
A Q QT r r
g g
Q
r
g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 21 1 .
2 2
AB C
AB a C ABT m v J
2
2 2
;
1
. .
12 12
AB AB
C AB
Ta
P
m
g
P
J m
g
coù :
2 2 2 2
1 2 2 1 2. . . .cos . .2 6 2
AB P P PT r r
g g g
2 2 2 2
1 2 2 1 2
1 3
. . . .cos . .
2 2 6 2
P P
T P Q r r
g g g
heäVaäy :
d.
Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q1 1 .
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0
Tổng công khả dĩ của các tải:
1
A A
M
M.
1
1
A
Q
M
Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2 2 .
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 > 0.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 2. sin2CA A P P h P
2 2
2
.sin
2
A
Q P
1
2 2.sin2
Q
Q P
Vaäy :
M
2
0C
2
C
A
2
Ch
P
Hình II.15.2
Tổng công khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e.
Phương trình Lagrange 2:
1
1 1
d T T
Q
dt
2
2 2
d T T
Q
dt
2
1 2 2
1
1 2
. . .cos .
3 2
T P
P Q r r
g g
Vôùi :
2 2
1 2 2 2 2
1
1 2
. . . . sin . cos .
3 2
d T P
P Q r r
dt g g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
10
T
2
2 2 1
2
. . . cos .
3 2
T P P
r
g g
2 2 2 1 2 2 1
2
. . sin . . cos .
3 2
d T P P
r
dt g g
2 1 2
2
. .sin . .
2
T P
r
g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 21 2 2 2 21 3 . . .cos . . . sin .2 2 2
P P
P Q r r r
g g g
Vaäy : M
2
2 1 2 2. .cos . . .sin2 3 2
P P
r P
g g
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 16. Cho
a. Xác định bậc tự do cho hệ và chọn tọa độ suy rộng cho hệ.
b. Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định vận
tốc góc của ròng rọc kép 3 và vận tốc tuyệt đối của vật A.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng cho hệ.
e. Viết hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Giải hệ
phương trình này.
1 2 31 2 3 1 2 2 1 3 3
, , , , , , , , , 2 2 2 .A O O Om m m m J J J R r R r r M M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Các nhánh dây trong hệ có
các ơnh chất: mềm, nhẹ,
không giãn, không trượt
trên các vật và luôn căng. Bỏ
qua ma sát ở các khớp bản
lề. (Hình II.16)
Hình II.16
1O
1r
3R
3r
2R
2O
3O
A
1M
B D
EC
2M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa
a. Dofhệ = +2. vì ta cần dùng 2 thông số độc lập 1 và 2 mới xác
định được vị trí của toàn hệ.
Chọn 2 tọa độ suy rộng q1 1 ; q2 2
b.
Phân ơch chuyển động các vật:
Ròng rọc 1: quay quanh tâm O1 cố định.
Ròng rọc 2: quay quanh tâm O2 cố định.
Ròng rọc kép 3: chuyển động song phẳng.
Vật A tịnh tiến thẳng đứng.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.16.1
1O
1r
3R
3r
2R
2O
3O
A
1M
21 D
av
E
av
C
av
B
av
B D
E
C
2M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Xác định 3:
Ta có: C B
a a
E D
a a
v v
v v
1 1 1
2 2 2
. .
. 2 .
B
a
D
a
v r r
v R r
Maø :
Xác định tâm vận tốc tức thời ròng rọc 3:
(Hình II.16.2)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Vận tốc góc của ròng rọc 3:
1 23 1 2
. 2 . 1
2
3 3
C E C E
a a a av v v v r r
PC PE PC PE r
Xác định vận tốc vật A:
Hình II.16.2
3O
E
av
C
av
EC
P
3O
av
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Vận tốc tâm O3:
3
3 3.
O
av PO
1 1
3 1 2
1 2
. 3
.
1 22
3
C
av r r
Ta coù : PC =
1 21
3 3
1 2 1 2
23
2 2
PO PC O C r r r
3 1 2
2
.
3
O
av r Vaäy :
Do dây không giãn nên:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
3
3
3 1 2
1 2
1
2
3
2
3
OA
a a
OA
a a
v v
v v r
c.
Tính động năng hệ:
1 2 3 AT T T T T heä
1 1
1 2 2
1 1
1 1
.
2 2O O
T J J Vôùi :
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 2
2 2 2
2 2
1 1
. .
2 2O O
T J J
3
3
3
3 3 3
23 2
3 3
2 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
3 1 3 2 3 1 2
1 1
.
2 2
1 4 1 1
2 . . 4. 4 .
2 9 2 9
1 2 2
4 . . . 2. . . .
18 9 9
O
a O
O
O O O
T m v J
m r J
m r J m r J J m r
2 2 2 21 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 4
. 2 .
2 2 9
2 2 4
. . . . . . .
9 9 9
A A
A a A
A A A
T m v m r
m r m r m r
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
1 3
3
3
2
2 2
2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
3
3
1 4 4 4
.
2
1 4 1 4
. .
2 9
9
2
2
9 9
9
9
9
.
O O A
O O
O A
A
C
B
A
J m r J
J m m r
J m m r
m
JT r
r
heä
d.
Tính lực suy rộng Q1:
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0
Tính A : 1 3 AA A A P A P
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
1 3 1
2
.
3 A
A gr m m
M
3
1 1 1
3 3 3 3
.
. . . O
A
P P h m g s
Vôùi :
M M
33 1 21 2
2 2
3 3
OO
a
s
v r r
dt dt dt
Ta coù :
3
3 3 1
1
2
. . .
3
2
. . . . . .
3A A A A O A
A P m gr
A P P s m g s m gr
Do ñoù :
3 1 2 1
2 2
.
3 3O
s r r
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
1 1 3
1
2
.
3 A
A
Q m m gr
M
Tính lực suy rộng Q2:
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 >0
Tính A :
2 3 AA A A P A P
M
3
2 2 2
3 3 3 3
.
. . . O
A
A P P h m g s
Vôùi :
M M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
33 1 21 2
2 2
3 3
OO
a
s
v r r
dt dt dt
Ta coù :
3 1 2 2
2 2
.
3 3O
s r r
3
3 3 2
2
2
. .
3
2
. . . . . .
3A A A A O A
A P m gr
A P P s m g s m gr
Do ñoù :
2 2 3
2
2
.
3 A
A
Q m m gr
M
2 3 2
2
.
3 A
A gr m m
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e. Viết hệ phương trình vi phân cho hệ bằng cách dùng phương
trình Lagrange 2:
1 2
1
2 . C
d T
dt
A
1 2
2
2
T
C
d
dt
B
1 2
0
T T
1 2 1 3
1 2 2 3
2
2 .
3
2
. 2 . .
3
A
A
m m gr
m mB
A C
grC
Vaäy :
M
M
, 1,2i
i i
d T T
Q i
dt
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_co_hoc_ly_thuyet_truong_tich_thien.pdf