Bài giảng Cơ sở kỹ thuật điện 2 - Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến - Nguyễn Việt Sơn

Cơ sở kỹ thuật điện 2 1 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2 Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến. I. Khái niệm chung. II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). III. Phương pháp sai phân liên tiếp. IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân). V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn. Bài tập: 2, 3, 7, 13 + bài thêm. Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến I. Khái niệm chung 2 Mạch phi tuyến (quy luật, tính chất) Hệ phương trình vi tích phân phi tuyến Luật  Mạch phi tuyến được mô tả bởi những hệ phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian.  Quá trình quá độ của hệ thống nghiệm đúng hệ phương trình mới, khởi đầu từ thời điểm t = 0+. t = t0: Thay đổi kết cấu thông số của mạch Mạch phi tuyến mới (Quy luật, tính chất mới) Hệ phương trình vi tích phân phi tuyến mới Luật K K  Động tác đóng mở kết thúc một quá trình cũ và khởi đầu một quá trình quá độ hiện hành. t Quá trình cũ Quá trình mới 0 - + Quá trình quá độ Quá trình mới xác lập Thời gian quá độ Cơ sở kỹ thuật điện 2 3 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2 Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến. I. Khái niệm chung. II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). III. Phương pháp sai phân liên tiếp. IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân). V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn. Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). 4  Nội dung: Được sử dụng để giải các bài toán quá độ của mạch phi tuyến (tính phi tuyến ít) có phương trình mô tả dạng: f(x, x’, x’’, , t) = μ.φ(x, x’, ) (*) trong đó: f(x, x’, x’’, ) là những số hạng tuyến tính. μ.φ(x, x’, ) là số hạng phi tuyến (ít  đủ nhỏ so với số hạng tuyến tính).  Phương pháp:  Tìm nghiệm của phương trình tuyến tính cốt yếu: f(x, x’, x’’, , t) = 0  x0(t).  Đặt nghiệm của phương trình (*) dưới dạng các hàm hiệu chỉnh (số hàm hiệu chỉnh được đặt tùy theo độ chính xác yêu cầu): x(t) = x0(t) + μ.x1(t) + μ 2.x2(t) +  Thay vào phương trình (*) và cân bằng theo bậc của μ để tìm các hàm hiệu chỉnh. Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). 5 Ví dụ 4.1: Dùng phương pháp nhiễu loạn tính dòng quá độ với 1 hàm hiệu chỉnh trong cuộn dây lõi thép đóng vào nguồn áp E = 24V, biết đặc tính cuộn dây: ψ(i) = 2.i – 3,75.i3, R = 50Ω. E = 24V Ψ(i) R=50Ω 250. . 24 2. ' 50. 24 11,25. . ' (*) ( 11,25) i i i i i i i t               Lập phương trình mạch:  Đặt nghiệm gần đúng với 1 hàm hiệu chỉnh: i(t) = i0(t) + μ.i1(t)  ' ' 0 1 2 2 2 2 0 1 0 1 ' . . 2. . . i i i i i i i i          Thay vào (*): ' ' 2 2 2 ' ' 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ' ' 2 ' 2 3 0 0 1 1 0 0 2. 2. . 50. 50. . 24 .( . 2. . . )( . ) (2. 50. 24) .(2. 50. . ) .(...) .(...) 0 i i i i i i i i i i i i i i i i                            Cân bằng theo bậc của μ: ' 0 02. 50. 24 0i i    μ bậc 1: ' 2 ' 1 1 0 02. 50. . 0i i i i    μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến) Giải: Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). 6 E = 24V Ψ(i) R=50Ω  Xét phương trình tuyến tính suy biến:  Sơ kiện: i(0) = 0; Nghiệm xác lập: i = 24/50 = 0,48(A) 2 2 . 2. . 0 0 ' . 0 .(1 2. ) . . t t t o i I e e i I e            Tra bảng Ảnh - Gốc (dùng công thức Hevixaide): ' 0 02. 50. 24 0i i   ' 2 ' 1 1 0 02. 50. . 0i i i i    Phương trình đặc trưng: 2.p + 50 = 0  p = -25  Nghiệm là : i0(t) = 0,48.(1 – e -25.t) (A) = I0.(1 – e -α.t) (A)   Xét phương trình μ bậc 1:  Thay vào ta có: ' 3 . 2. . 3. . 1 1 02. 50. . .( 2. ) t t ti i I e e e          Chuyển sang miền ảnh Laplace: 3 1 0 1 2 1 2( ). ( ) . .( ) 2. 3. p I p I p p p             3 0 1 2 . 1 2 1 ( ) . 2 ( ) ( 2. ).( ) ( 3. ).( ) I I p p p p p p                    25. 50. 75. 1( ) 0,0555. (25. 1,5). 2. 0,5. t t ti t t e e e         Vậy nghiệm của bài toán là: 25. 25. 50. 75.( ) 0,48.(1 ) 0,625. (25. 1,5). 2. 0,5.t t t ti t e t e e e           Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). 7 Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq 3 (α>0) 3 0 1 ' 0q q Rq C     Lập phương trình: uC + uR = 0  Đặt nghiệm với 1 hàm hiệu chỉnh: q(t) = q0(t) + μ.q1(t) ' ' 0 1' .q q q    Thay vào (*):      3' '0 1 0 1 0 1 0 1 R q q q q q q C          Cân bằng theo bậc của μ: ' 0 0 0 1 2. . 0q q C    μ bậc 1: ' 3 1 1 0 0 1 .R q q q C    μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến): C R Giải: 3 3 0 1 ' (*)Rq q q q C       Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). 8 Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq 3 (α>0)  Xét phương trình tuyến tính suy biến:  Phương trình đặc trưng: 0 0 1 1 0Rp p C RC         Xét phương trình μ bậc 1: ' 0 0 0 1 2 0q q C   C R Giải: 0 tq Ae   td  Nghiệm quá độ: 0 0 0 tq q q Ae    qd xl td Sơ kiện q(0) = Q0 0 0. tq Q e  qd 3 ' 30 1 1 tQq q e R    3 0 1 1 ( ) ( ) 3 Q p Q p R p      3 0 1( ) ( 3 )( ) Q Q p R p p      Laplace Hevixaide   3 30 1( ) 2 t tQq t e e R       3 3 ' ' 0 0 0 0 0 1 0' . 2 2 t t tC Q C Qq q q Q e e e              Cơ sở kỹ thuật điện 2 9 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2 Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến. I. Khái niệm chung. II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). III. Phương pháp sai phân liên tiếp. IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân). V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn. Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến III. Phương pháp sai phân liên tiếp 10  Là phương pháp gần đúng tính bằng số dùng sai phân hóa để giải bài toán vi tích phân thời gian của các hệ thống phi tuyến và tuyến tính.  Chia trục thời gian t thành những bước h = Δt. t0 = 0 ; t1 = Δt ; t2 = 2.Δt ; ; tk = k.Δt Δt t  Sai phân hóa: 1k kx xdx x dt t h     2 2 1 2 2 2.k k kx x xd x dt h     Sai phân hóa hệ phương trình mạch bằng những biểu thức sai phân  thu được một hệ sai phân liên hệ trị xk ở các bước thời gian liên tiếp  biết xk  tính được giá trị xk+1  Sai phân hóa là thay thế gần đúng những vi phân của biến thời gian t của ẩn x bằng những vi phân của chúng.  Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng và dùng phương pháp số để tìm dần từng bước nghiệm gần đúng: Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến IV. Phương pháp sai phân liên tiếp 11 Ví dụ 4.3: Dùng phương pháp sai phân tính dòng quá độ khi đóng nguồn hằng E = 24V vào mạch gồm cuộn dây có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3, mắc nối tiếp với điện trở R = 60Ω. 260. . 24 60. (1,75 8,4. ). ' 24 i i i i i i t           1 2 (24 60. ). 1,75 8,4. k k k k i h i i i       E = 24V Ψ(i) R=60Ω  Lập phương trình mạch:  Sai phân hóa phương trình mạch: 2 160. (1,75 8,4. ). 24k kk k i i i i h      Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến: 1 1 1,75. ' 60 24 1,75. 60 0 34,3 0,03 .3. 10 | | 10 i i p p s h ms p                24 0,4( ) 60 xli A  Nghiệm xác lập:  Bảng kết quả: t(ms) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 i(A) 0 0,14 0,24 0,32 0,37 0,4 0,4 0,4 0,4 Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến IV. Phương pháp sai phân liên tiếp 12 Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3. Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Biến đổi mạch:  Đạo hàm 2 vế của phương trình: 1 2 12 1 2 17,14 R R R R R     12 2 1 2 22,86 E E R V R R     Lập phương trình mạch: 12 12R L Cu u u E    212 12 12 1 1 . 1,75 8,4 di di R i idt R i i idt E i dt C dt C             0'')4,875,1()'(8,16' 2212  C i iiiiiR 0 10 '')4,875,1()'(8,16'14,17 4 22   i iiiii Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến IV. Phương pháp sai phân liên tiếp 13 Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3. Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Sai phân hóa:  Tính sơ kiện: i0 = i(0) = 0 ; uC(0) = 0 0 10 2 )4,875,1()(8,1614,17 42 122211         kkkk k kk k kk i h iii i h ii i h ii )4,875,1(10 )(10.8,16)(10.14,17 2 24 2 1 4 1 42 12 k kkkkkk kkk i iiiiihih iii          )0(')0( )0( )0(' 1 101 hiii h ii h ii i      217,14 (0) [1,75 8,4 (0)] '(0) (0) 22,86Ci i i u     Phương trình mạch ở chế độ mới:  212 121,75 8,4 '( ) ( )CR i i i t u t E    '(0) 13,06( / )i A s  1 (0) '(0) 13.06i i hi h    Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến IV. Phương pháp sai phân liên tiếp 14 Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3. Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Phương trình sai phân: t(ms) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i(A) 0 0,0131 0,0260 0,0387 0,0513 0,0635 0,0754 0,0869 0,0979 0,1084 )4,875,1(10 )(10.8,16)(10.14,17 2 24 2 1 4 1 42 12 k kkkkkk kkk i iiiiihih iii          0 1 0 13.06 i i h   Bảng kết quả: Cơ sở kỹ thuật điện 2 15 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2 Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến. I. Khái niệm chung. II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). III. Phương pháp sai phân liên tiếp. IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân). V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn. Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm 16  Nội dung:  Phương pháp biên pha biến thiên chậm (phương pháp biến thiên hệ số tích phân) thường được dùng để xét bài toán mạch phi tuyến Kirhoff cấp 2 với chế độ tự dao động phi tuyến: 0 0 0( ) ( ). os[ ( )] ( ).cos ( )sinx t A t c t t B t t C t t        Với những dao động gần với điều hòa, các cặp A(t), θ(t) hay B(t), C(t) sẽ biến thiên chậm: và đủ nhỏ  gia tốc và lũy thừa của tốc độ rất nhỏ, có thể bỏ qua. .( ) ( ) dA t A t dt  .( ) ( ) d t t dt   .. . 2 0 . . ( , ) 0x x f x x     Nghiệm của phương trình xét có tính dao động, nhưng do tính chất phi tuyến nên dao động rất gần với điều hòa  được biểu diễn toán học bằng các hàm điều hòa có biên độ và góc pha biến thiên. Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm 17  Nội dung:  Do nghiệm của bài toán rất gần với điều hòa  có thể coi nghiệm x(t) chuyển dần từ nghiệm dao động điều hòa x0(t) của phương trình dao động tuyến tính suy biến: x0(t) = A0.cos(ω0t + θ0) . . 0 0 0 0 0 ( ) ( ) .cos ( ) ( ).cos ( ) t t x t A A t dt t t dt A t t                      . . . 0.cos .( ).sinx A A      Bỏ qua những số hạng nhỏ . 0. .sinx A   .. .. . . .. . . . 2 0 0 0.cos .( ).sin . .sin ( ). .sin ( ) . .cosx A A A A A                   .. . . 2 0 0 02. . .sin ( 2. . ). .cosx A A         Bỏ qua những số hạng nhỏ  Nghiệm x(t) của bài toán sẽ có dạng:  Vậy ta có: Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm 18 Ví dụ 4.5: Cho phương trình Vanderpol (*) Sơ kiện x(0) = X0 và  Phân tích phương trình: . (0) 0x  .. . 2.(1 ). 0x x x x    .. . 2.(1 ). 0x x x x    tuyến tính phi tuyến  Xét phương trình tuyến tính:  đa thức đặc trưng p2 + 1 = 0  p = ± j .. 0x x   Nghiệm: x0(t) = A0.cos(t + φ0)  dx0/dt = -A0.sin(t + φ0) Xét tại t = 0:  x0(t) = X0.cos(t) 0 0 0 0 0 .cos 0 .sin X A A        Nghiệm của phương trình (*) là: . . 0 0 0 ( ) .cos ( ).cos ( ) t t x t X Adt t dt A t t                   Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm 19 Ví dụ 4.5:  Thay vào phương trình (*): . . 2 22. .sin (1 2. ). . os . os .(1 .cos ). .sin 0A Ac Ac A A             3 3. . . . 2. .sin 2. . . os . .sin sin .sin 2 4 4 A A A Ac A                Biến đổi lượng giác:  Cân bằng các điều hòa cùng cấp: 33 .. . . 1 .. .2. . 2 44 2. . 0 0 do A 0 AA A AA A A                          3 0 0 1 . ( ) . cos 2 4 t A x t X A dt t                Vậy nghiệm là: Cơ sở kỹ thuật điện 2 20 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2 Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến. I. Khái niệm chung. II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). III. Phương pháp sai phân liên tiếp. IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân). V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn. Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn  Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn là phương pháp tìm cách thay thế từng đoạn đặc tính làm việc của một phần tử phi tuyến bằng nhiều đoạn thẳng tuyến tính 21 i u(i) i1 i2 i5 i4 i3 0  Quá trình tuyến tính đoạn đặc tính làm việc phải đảm bảo sai số giữa đường cong phi tuyến và đường thẳng tuyến tính luôn nhỏ hơn sai số yêu cầu: δk < γy.c δk  Sau khi tuyến tính hóa, trong mỗi khoảng tuyến tính hóa, mạch phi tuyến được xét như một mạch tuyến tính. I Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn Ví dụ 4.6: Cho mạch điện phi tuyến. Tại t = 0, khóa mở ra. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn, tính dòng qua cuộn dây phi tuyến trong quá trình quá độ. Biết E1 = 12V (một chiều), R1 = 5Ω, R2 = 8Ω, cuộn dây phi tuyến có đặc tính cho theo bảng. 22 Giải: I Ψ(I) 0 2 3 I 0 1 3  Sơ kiện: 1 1 ( 0) 2,4  L E i A R  Tại thời điểm bắt đầu quá độ, điểm làm việc của cuộn dây thuộc đoạn i ϵ [1, 3]  cuộn dây có giá trị tương đương cuộn dây tuyến tính: 3 2 0,5 3 1        dL H I  Khi đó dòng điện trên cuộn dây phi tuyến là: 3 3 16( ) ( 0). 2,4.    d R t L t L Li t i e e Cơ sở kỹ thuật điện 2 Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn Ví dụ 4.6: Cho mạch điện phi tuyến. Tại t = 0, khóa mở ra. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn, tính dòng qua cuộn dây phi tuyến trong quá trình quá độ. Biết E1 = 12V (một chiều), R1 = 5Ω, R2 = 8Ω, cuộn dây phi tuyến có đặc tính cho theo bảng. 23 Giải:  Thời điểm dòng điện cuộn dây giảm về I = 1(A): 1 ln(1/ 2,4) 0,0547( ) 16    t s  Khi đó, điểm làm việc của cuộn dây thuộc đoạn i ϵ [0, 1]  cuộn dây có giá trị tương đương cuộn dây tuyến tính: 2 2 1      dL H I  Khi đó dòng điện trên cuộn dây phi tuyến là: 3 3 ( 0,0547) 4( 0,0547)( ) ( 0).      d R t L t L Li t i e e  Tổng hợp nghiệm:   3 16 4 0,0547 2,4 0 ( ) 2,4 0 0,0547 0,0547            t L t khi t i t e khi t e khi t