Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2, Phần 3: Ma trận. Định thức, hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Hải Sơn

1Bài 3 1AX XB A B  2 §3: Ma trận nghịch đảo )0(.1 1   abab aa bx 1 .AX B X A B   Xét phương trình: a x = b. Ta có: Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào? 1A 3 §3: Ma trận nghịch đảo bax bax baaxa bxa 1 1 11 1        1 1 1 1 A X B A A X A B I X A B X A B            Ta để ý: Phải chăng ?1 IAA  4 §3: Ma trận nghịch đảo 3.1 Định nghĩa. a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1. Như vậy, A.A-1 = A-1A=En AB=BA=En 5 §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: (1) Ma trận đơn vị En khả nghịch và (En)-1=En (2) Ma trận không không khả nghịch vì  A A A. . ,      6 §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: 7 §3: Ma trận nghịch đảo b. Tính chất: Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và     1 1 1 1 1 1 1 i) 1(ii) (iii) ( ) ( AB B A kA A k A A           8 §3: Ma trận nghịch đảo c. Ma trận phụ hợp Cho là ma trận vuông cấp n. Ma trận phụ hợp của A, kí hiệu là PA ,được định nghĩa như sau: ij[ ]A a 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ...             n n A n n nn A A A A A AP A A A trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A. 9 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 1 2 3 2 4 0 4 5 7 A          11A  28 12A  14 13A  -6 21A  -29 22A  -5 23A  13 31A  -12 32A  -6 33A  8 11 21 31 12 22 32 13 23 33 A A A A P A A A A A A                    10 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 2 0 0 5 1 0 3 4 1 A          11A  -1 12A  5 13A  17 21A  0 22A  -2 23A  -8 31A  0 32A  0 33A  2 11 21 31 12 22 32 13 23 33 A A A A P A A A A A A                    11 §3: Ma trận nghịch đảo 3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo a. Sử dụng phần phụ đại số Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì A AP .A A.P det A.E  trong đó, PA là ma trận phụ hợp của ma trận A. 12 §3: Ma trận nghịch đảo 1 2 3 28 29 12 2 4 0 14 5 6 4 5 7 6 13 8 AAP                        38 0 0 0 38 0 0 0 38          Ví dụ: 1 0 0 38 0 1 0 0 0 1          13 §3: Ma trận nghịch đảo Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là detA ≠0 . Khi đó, 1 1 AA Pdet A   14 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: 1 28 29 12 1 14 5 6 38 6 13 8 A            15 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3 0 1 4 0 0 1 A          det( ) 1A   1 2 5 0 1 4 0 0 1          1 2 5 0 1 4 0 0 1          AP  1A  16 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6 1 4A        det( ) 2A  4 6 1 2      1 2 2 34 61 11 22             AP  1A  17 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 12 5 2 5 2 51 1 2 1 2 1 2det                       A A A Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2 A a b d bA Pc d c a              18 §3: Ma trận nghịch đảo b. Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0. -Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, được ma trận [A|E] -Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển ma trận [A|E] về dạng [E|B] -Khi đó B=A-1 19  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3 0 1 4 1 2 2          A 20  Lời giải:   1 2 3 1 0 0 | 0 1 4 0 1 0 1 2 2 0 0 1          A E 3 1( 1) 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0 1            h h 2 3 1 3 4 3 1 2 0 2 0 3 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1             h h h h 1 2( 2) 1 0 0 6 2 5 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1              h h 3 ( 1) 1 0 0 6 2 5 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1             h 1 A   21 §3: Ma trận nghịch đảo Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) AX = B 2) XA = B 3) AXB = C 4) AX + kB = C 22 §3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: -1 1 -1 -1 1) AX=B A AX=A X=A      B X A E B B 1 1 1 1 2)           XA B XAA BA X X A BA E B 1A B 23 §3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: -1 -1 -1 -1 1 1 1 3) AXB=C A AXB=A XBB =A X A B CB C C       1 1 1 ( 4 ( ) ( ) ) ) AX kB C AX C kB A AX A C kB X A C kB               24 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 2 3 1 5 0 1 4 0 4 0 0 1 2 3 X                   Phương trình có dạng: AX=B 1X A BTa có: 25 §3: Ma trận nghịch đảo 1 2 5 1 5 0 1 4 0 4 0 0 1 2 3 X                     9 18 8 16 2 3            Vậy 26 §3: Ma trận nghịch đảo 1 3 1 1 2 322 4 2 0 0 5X                     2XA B C   Ví dụ 2: Tìm ma trận X thỏa mãn: Phương trình có dạng 1( 2 )X C B A   27 §3: Ma trận nghịch đảo  Ta có 1( 2 )X C B A  1 4 3 0 11 ; 22 1 4 52 A C B                0 1 4 3 0 1 4 31 1( )4 5 2 1 4 5 2 12 2 X                                Với nên 1 2 17 2 12 11 1326 172               28 §3: Ma trận nghịch đảo 2 4 2 7 4 8 3 5 1 3 2 0X                  AXB C  Ví dụ 3. Tìm ma trận X thỏa mãn: Phương trình có dạng 1 1X A CB   29 §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trìnhsau: 2 6 3 2 1 4 3 5 5 x y z x y z x y z             1 2 1 6 3 1 2 1 4 3 5 5 x y z                                1 2 1 X           1AX B X A B   30 §3: Ma trận nghịch đảo 2 3(5 )  tA A X A  Bài tập: 1. Cho ma trận và đa thức Tính f(A). Tìm ma trận X thỏa mãn 2 1 A 5 3        2 f(x) x 5x 1   (Đề thi K55 – Đề 1 – Đề 3) 2. Cho các ma trận 1 2 3 7 7 1 2 1 0 A 0 1 2 ,B 2 3 8 ,C 1 1 3 1 3 0 0 4 5 0 1 4                                   a) Tính det(B-2C) và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có) b) Tìm ma trận X thỏa mãn 2X(AB 2AC) (B 2C)  