Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2, Phần 5: Ma trận. Định thức, hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Hải Sơn

1BÀI 5 2 §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.1 Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính. 5.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng: n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... (*) ... ... trong đó aij là hệ số của pt thứ i của ẩn xj , bi là hệ số tự do của phương trình thứ i, xj là các ẩn số (i=1,..,m, j=1,..,n). 3 §5: Hệ phương trình tuyến tính - Nếu bi = 0 với mọi i=1,2,,m thì hệ được gọi là hệ tuyến tính thuần nhất. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 2 3 4 0 3 8 5 3 2 4 2 7 9 x x x x x x x x x x x x x x x                     Ví dụ Hệ 4 phương trình 4 ẩn Là hệ không thuần nhất 4 §5: Hệ phương trình tuyến tính ij m n A a  [ ]+ Ma trận gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình (*). + Ma trận gọi là ma trận hệ số tự do của hệ phương trình (*). m b b b ... b             1 2 + Ma trận gọi là ma trận ẩn số của hệ phương trình (*). n x x x ... x             1 2 5 §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ví dụ: Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 2 2 3 4 0 3 8 5 3 2 4 2 7 9 2 3 5 1 2 1 2 3 4 0, ,3 8 5 3 2 0 4 2 7 9                                                           x x x x x x x x x x x x x x x x xA b x x x 6 §5: Hệ phương trình tuyến tính   b sA A A | b Ma trận bổ sung của hệ (*):  Ví dụ: Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 2 3 5 1 2 2 3 4 0 1 2 3 4 0 [A|b]3 8 5 3 2 3 8 5 3 2 0 4 2 7 94 2 7 9                                        bs x x x x x x x x A Ax x x x x x x Nhận xét: Các hệ số của phương trình thứ i là các phần tử ở hàng thứ i của Abs và ngược lại. 7 §5: Hệ phương trình tuyến tính Với các kí hiệu đó, hệ (*) được đưa về dạng Ax b (**) gọi là dạng ma trận của hệ (*).  Ví dụ: 2 7 1 9 3 1 4 0 5 9 2 5                               x y z 2 7 9 3 4 0 5 9 2 5            x y z x y z x y z 8 §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.2. Hệ Cramer Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến được gọi là hệ Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 9 5.2 Hệ Crame Định lý: Mọi hệ Cramer n pt đều có nghiệm duy nhất (x1, x2, ,xn) được xác định bởi công thức j j D x D  10 5.2 Hệ Crame 11 5.2 Hệ Crame Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 12 5.2 Hệ Crame 13 5.2 Hệ Crame 14 5.2 Hệ Crame 15 5.2 Hệ Crame  Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 5 3 2 1 x x x x x x x x x            1 1 2 2 1 3 3 2 1 D     1 1 1 2 5 1 3 1 2 1 D     2 1 1 2 2 5 3 3 1 1 D   3 1 1 1 2 1 5 3 2 1 D    = -19 = -29 = -9 = -8 16 5.2 Hệ Crame 1 1 2 2 3 3 19 8 29 8 9 8 Dx D Dx D Dx D          17 §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.3.1. Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ. Đổi chỗ hai PT của hệ. Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ. 0  0  1 2 3 2 2 5 x y z x y z x y z            3 2 2 4 2 1 1 2 3 2 0             pt x y z x y z x y z 2 3 1 2 3 2 2 4 2 10             pt pt x y z x y z x y z 5.3. Giải hệ phương trình bằng PP Gauss 18 5. Giải hệ PT bằng PP Gauss  Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng. 1 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 5           A 1 2 3 2 2 5            x y z x y z x y z 2 ( 2) 1 3 ( 1) 1 1 3 5 0 3 4             pt pt pt pt x y z y z y 3 2 1 3 4 3 5 0          pt pt x y z y y z 2 1 3 1 ( 2) ( 1) 1 1 1 1 0 3 5 0 0 3 0 4              h h h h 3 2 1 1 1 1 0 3 0 4 0 3 5 0          h h VD 19 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 5.3.2. Định lí Kronecker-Capelli a. ĐL: Cho hệ phương trình Ax=b Hệ có nghiệm r(A) r(A)  Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có + hệ vô nghiệmr(A) r(A)  + hệ có nghiệm duy nhất r(A) r(A) n   + hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số r(A) r(A) r n    20 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Xét hệ phương trình tổng quát sau: Chứng minh. Giả sử A có hạng là r 21 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Ta có ma trận bổ sung tương ứng 22 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 111 12 1 1 222 2 2 1 '' ' ... ' ... ' '0 ' ... ' ... ' ...... ... ... ... ... ... ' '0 0 ... ' ... ' 0 0 ... 0 ... 0 .... .. .. .. .. .. 0 0 ... 0 ... 0                       r n r n rr r r n r n ba a a a ba a a A ba a b b Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng: 23 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Khi đó ta có:  Nếu thì tồn tại ít nhất một trong các br+1, br+2 , ,bn khác 0 nên hệ pt vô nghiệm.  Nếu thì hệ là hệ Cramer, nên có nghiệm duy nhất.  Nếu thì chuyển các ẩn xr+1, xr+2, , xn sang vế phải ta được hệ: r(A) r(A) r(A) r(A) n  r(A) r(A) r n   n r r r n n n r r r n n r r rr r r r r r r n n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x                                11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1, 21 1 22 2 2 2 2, 1 1 2, 1 1 2 2 , 1 1 , ' ' ... ' ' ... ' ' ' ... ' ' ... ' ... ' ' ... ' ' ... ' 24 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Ta gán cho các ẩn xr+1, xr+2, , xn các giá trị cụ thể ta sẽ được một hệ Cramer với r ẩn x1,,xr. Do đó, trong trường hợp này hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số. n r r r n n n r r r n n r r rr r r r r r r n n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x                                11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1, 21 1 22 2 2 2 2, 1 1 2, 1 1 2 2 , 1 1 , ' ' ... ' ' ... ' ' ' ... ' ' ... ' ... ' ' ... ' ' ... ' Các ẩn x1,,xr gọi là các ẩn cơ sở (cơ bản), còn xr+1, xr+2, , xn gọi là các ẩn tự do hay ẩn phụ (tham số). 25 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 5.3.3. Phương pháp Gauss Hệ Ax=b  Abs=[A|b] Bđsc theo hàng B bs=[B|c] (bậc thang) Khi đó: + r(A)=r(B), r(Abs)=r(Bbs) + Ax b Bx c   26 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 27 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 2 1 4 1 5 1 2 4 h h h h h h    2 3h h                 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 7 3 2 3 0 8 2 5 2 0 1 2 0 2 h h h h h h                    3 2 4 2 5 2 7 8 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 10 5 10 0 0 10 3 10 0 0 3 1 3 28 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss                 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 10 5 10 0 0 10 3 10 0 0 3 1 3 h h                 3 5 3 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 10 3 10 0 0 3 1 3 h h h ( )h                   4 3 5 3 10 3 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 17 0 0 0 0 5 0 h h                5 4 17 5 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 bs r(A ) r(A)   4 Hệ có nghiệm duy nhất 29 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Hệ tương đương với x x x x x x x x x x              1 2 3 4 2 3 4 3 4 4 2 0 1 2 1 17 0 x x x x        1 2 3 4 1 0 1 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;0;1;0)                1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 30 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 31 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 32 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang: ...bsA   33 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 34 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 35 §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 36 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss VD3. Giải hệ phương trình: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 7 3 4 2            x x x x x x x x x (K55-đề 1) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 0 2 7 2 2 8 4 3               x x x x x x x x x x x ax b VD4: Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo tham số a, b (Đề 2-K53) 37 5.4. Hệ PTTT thuần nhất 5.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 38 §5: Hệ PTTT thuần nhất 39 §5: Hệ PTTT thuần nhất 40 §5: Hệ PTTT thuần nhất 11 12 1 21 22 2 1 2 .. 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. 0 n nbs m m mn a a a a a a A a a a              Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung 41 §5: Hệ PTTT thuần nhất  Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:  Hệ có nghiệm duy nhất Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình  Hệ có vô số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình 42 §5: Hệ PTTT thuần nhất Tóm lại: Hệ thuần nhất n ẩn - chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi r(A)=n - có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A)≠n. VD1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường. 43 §5: Hệ PTTT thuần nhất Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A)<3. 44 §5: Hệ PTTT thuần nhất 1 2 1 0 3 1 0 0 2 A m         2 ( ) 3m r A    Cách 1. Ta có: Biến đổi sơ cấp Do đó với Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường 2m   45 §5: Hệ PTTT thuần nhất Cách 2. Vì r(A)<3  detA=0 nên 1 2 1 det( ) 2 1 3 1 1 A m      (3 6) 0m   2m   46 MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 1. Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 8 3 2 4 4 3 14                   x x x x x x x x x x x b x x x ax với a, b là tham số a) Giải phương trình với a=4, b=-5 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô nghiệm. (Đề 1-K52) (Đ/s: a) (3;1;-2;1) b) a=10, b≠-11) 47 MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 2. Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + 5 2 2 - 3 10 2 +x 2 3 4 2 11                 x x x ax x x x x x x x b x x x x với a, b là tham số a) Giải phương trình với a=1, b=3 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô số nghiệm. (Đề 2-K52) (Đ/s: a) (2;-1;1;3) b) a=-1, b=-9) 48 MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 3. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo a và b 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 - 4 4 3 5 2 7 2 3 -3             x x x x x x x x x x ax x b (Đề 1-K53) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 5 2 7 - 2 2 8 4 3              x x x x x x x x x x x ax b (Đề 2-K53) i) ii) 49 MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 4. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 2 2 2 3 5 2 3 2 2 2 6 7 13 10                       x x x x x x x x x x x x x x x x (Đề 3-K54) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 2 4 =3 2 1 2 4 4 6 6                    x x x x x x x x x x x x x x x x (Đề 4-K54) i) ii) 50 MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 4. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 2 2 2 3 5 2 3 2 2 2 6 7 13 10                       x x x x x x x x x x x x x x x x (Đề 3-K54) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 2 4 =3 2 1 2 4 4 6 6                    x x x x x x x x x x x x x x x x (Đề 4-K54) i) ii) 51 MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 5. Tìm giá trị của tham số thực a để hệ có nghiệm duy nhất 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 ( 1) 5             x x x x ax x x ax a x (Đề 3-K51) (Đề 4-K51) i) ii) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 5 3 5 ( 2) 7             x x x x ax ax x x a x 52 MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 6. Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 6 16 0 7 17 3 = 0 4 10 + = 0 2 2 4 3 0                   x x x x x x x x x x x x x x x x (Đề 2-hè 2010) i) ii) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 0 4 7 2 0 9 3 14 + 0 4 3 3 0                    x x x x x x x x x x x x x x x x (Đề 1-hè 2010) a) Giải hệ khi λ=1 b) Với giá trị nào của λ thì số chiều của không gian nghiệm bằng 2?