Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3, Phần 1: Không gian vecto - Nguyễn Hải Sơn

1CHƯƠNG 3  §1: Không gian vector Hiệu trưởng Trưởng phòng Đào tạo Trưởng phòng hành chính Trưởng phòng Tài vụ Trưởng phòng nghiên cứu Khoa học Cơ cấu tổ chức của trường đại học  §1 : Không gian vector Giám đốc Trưởng phòng kinh doanh Trưởng phòng hành chính Trưởng phòng tài vụ Trưởng phòng kế hoạch Cơ cấu tổ chức của công ty  §1 : Không gian vector  § 1: Không gian vector  § 1 : Không gian vector  § 1 : Không gian vector  § 1 : Không gian vector  § 1 : Không gian vector  § 1 : Không gian vector  § 1 : Không gian vector  § 1 : Không gian vector 1.1. Khái niệm. 1.1.1. Định nghĩa. Cho tập V khác rỗng và một trường số K, cùng hai phép toán: " " :V V V (u,v) u v     - Phép nhân với vô hướng " ." : K V V (k,v) kv    - phép cộng:  § 1 : Không gian vector Bộ ba (V;+;.) gọi là một không gian vecto (KGVT) trên K hay một K-không gian vecto nếu thỏa mãn 8 tiên đề:  §1: Không gian vector  §1: Không gian vector 1.1.2. Ví dụ VD1: Tập các số thực R là một R - không gian vecto với - véc tơ không là số 0 - vecto đối của u là số đối (-u)  §1: Không gian vector VD2.  §1: Không gian vector VD3.  §1: Không gian vector Tổng quát  (x ;x ;...;x )|xn n i ,i ,n  1 2 1  với hai phép toán: n n n n " " : (x ;x ; ...; x ) ( y ; y ; ...; y ) (x y ;x y ; ...; x y )       1 2 1 2 1 1 2 2 n n " ." : k(x ; x ; ...; x ) (kx ;kx ;...;kx ) 1 2 1 2 là một R-kgvt với vecto không θ=(0;0;;0) và vecto đối của v= (x1, x2,, xn) là (-v)=(-x1,- x2,, -xn)  §1: Không gian vector VD4.  §1: Không gian vector VD5  §1: Không gian vector VD6. Không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất Xét tập nghiệm của hệ AX=0: V={X∈Rn| AX=0} Với phép toán cộng và nhân với vô hướng của Rn, ta có V là một không gian véctơ với vec tơ không là nghiệm tầm thường (0;0;;0)  §1: Không gian vectơ -Vectơ không θ là duy nhất. -Vectơ đối (-v) của vectơ v là duy nhất. - Ta có v v          0 1.1.3. Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ Cho V là một K-kgvt. Khi đó ta luôn có  §2: Không gian vectơ con 2.1. Không gian con. a. Định nghĩa. Cho không gian vectơ (V,+,.). Một tập con W khác rỗng của V gọi là không gian con của V nếu (W,+,.) là một không gian vectơ.  §2: Không gian vectơ con b. Định lý. Tập con khác rỗng W của không gian vecto V là không gian con của V nếu W đóng kín đối với hai phép toán của V, tức là: W W W W i ) x , y : x y ii ) x , k K : kx          Chú ý: Các điều kiện (i) và (ii) tương đương với W Wx, y , k ,l K : kx ly       §2: Không gian vectơ con Để chứng minh một tập con W của không gian vecto V là không gian con của V ta cần chỉ ra: (i) (ii) W đóng kín đối với hai phép toán của V:          W W W W x, y : x y x , k K : kx  W ( W) Chú ý: -Mọi không gian con đều chứa vectơ không. -Một kgvt V bất kì luôn có 2 không gian con tầm thường là {θ} và V.  §2: Không gian vectơ con Thật vậy, rõ ràng W W( ; )    0 0 Mặt khác, ta có W, kx (a, ), y (b, )     0 0  W W x y (a b, ) kx (ka, )       0 0 Từ đó, ta có điều phải chứng minh.  §2: Không gian vectơ con  §2: Không gian vectơ con W W,   và  §2: Không gian vectơ con = 0  §2: Không gian vectơ con = 0  §2: Không gian vectơ con 3. Tập nghiệm của hệ AX=0 là một không gian con của . n Chứng minh.  §2: Không gian vectơ con  Bài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là không gian vectơ con của các không gian vectơ tương ứng không?  2 2( ) [ ] / 0M x t at bt c P t a b c         3( , , ) / 2 3 0U x y z R x y z      2( , ) / 2 1W x y R x y     |  tnN A M A A  2.2. Tổ hợp tuyến tính-Hệ sinh. a.Định nghĩa Cho hệ vectơ S={v1, v2,,vn} trong không gian vectơ V. Vectơ với gọi là một tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói v được biểu diễn tuyến tính qua v1, v2,,vn . n n v c v c v ... c v    1 1 2 2 i c , i ,n  1 §2: Không gian vectơ con  VD1: Cho     x ( ; ), x ( ; ), x ( ; ) 1 2 1 2 3 1 5 3 Ta có 2.(1;-2)+(3;1)=(5;-3) hay  x x x 1 2 2 Vậy x là tổ hợp tuyến tính của hệ hay x được biểu diễn tuyến tính qua . {x , x } 1 2 x , x 1 2 §2: Không gian vectơ con  §2:Không gian vectơ con  §2: Không gian vectơ con  Nhận xét: §2: Không gian vectơ con  §2: Không gian vectơ con b. Định nghĩa. Cho hệ vectơ S={v1, v2,, vm} trong không gian vectơ V. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S gọi là bao tuyến tính của hệ S, kí hiệu là span(S) hoặc span(v1, v2,, vm) c. Định lý. W= span(v1, v2,, vm) là một không gian con của không gian vectơ V. Hơn nữa, nó là không gian con nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa {v1, v2,, vm}. Chứng minh:  §2: Không gian vectơ con d. Hệ sinh tức là n V span(x ,x ,...,x ) 1 2 - Khi đó, ta cũng nói là V được sinh bởi { } n x ,x ,..., x 1 2 - Hệ vectơ gọi là hệ sinh của không gian V nếu { } n x , x , ..., x 1 2       n n x V : x x x ... x   1 1 2 2  §2: Không gian vectơ con Thật vậy,   x , x (a , b )2 Khi đó,     x (a; b ) a( ; ) b( ; ) a.e b.e 1 2 1 0 0 1  §2: Không gian vectơ con Thật vậy,   x , x (a , b )2 Khi đó,    x (a; b ) a( ; ) b( ; ) .( ; )1 0 0 1 0 2 5  §2: Không gian vectơ con Thật vậy,   x , x (a , b, c )3 Khi đó,   a( , , ) b( , , ) c( , , ) (a , b, c )1 0 0 0 1 0 0 0 1