Bài giảng Điều khiển tự động - Nguyễn Thu Hà

1; ; ;I cI cT T T   − − −= = = 2 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) (1 ) h I h k T s G s R s S s s T s + = = + Phương pháp tối ưu đối xứng 1)Điều khiển đối tượng tích phân− quán tính bậc nhất • Nếu đối tượng là khâu tích phân − quán tính bậc nhất thì bộ điều khiển tối ưu đối xứng sẽ là bộ điều khiển PI với các tham số xác định như sau: Xác định a từ độ quá điều chỉnh h cần có của hệ kín theo hoặc tự chọn a>1 từ yêu cầu chất lượng đề ra. Giá trị a đuợc chọn càng lớn, độ quá điều chỉnh càng nhỏ. Nếu a1, hệ kín sẽ không ổn định. Tính TI theo công thức TI = aT1 Tính kp theo công thức 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 29 1 1 pk kT a = 2 exp exp 41 D a h aD        = − = −   −−    Ví dụ • Xác định tham số tối ưu đối xứng cho bộ điều khiển PI. Xét đối tượng tích phân−quán tính bậc nhất mô tả bởi: • Chọn bộ điều khiển PI để điều khiển theo nguyên tắc tối ưu đối xứng: ta sẽ có các tham số sau được chọn theo công thức trên: • Khi a = 2 ; kp = 1,18 ; TI =0,6 • Khi a = 4; kp =0,83 ;TI = 1,2 • Khi a = 9; kp =0,56 ;TI = 2,7 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 30 2 ( ) (1 0,3 ) S s s s = + 1 2; 0,3k T= = (1 )1 ( ) 1 p I p I I k T s R s k T s T s +  = + =    Ví dụ 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 31 Phương pháp tối ưu đối xứng 2) Điều khiển đối tượng tích phân− quán tính bậc hai • Nếu đối tượng là khâu tích phân − quán tính bậc hai thì bộ điều khiển tối ưu đối xứng sẽ là bộ điều khiển PID với các tham số xác định như sau: Chọn TA = T1 Xác định 16>a>1 từ độ quá điều chỉnh h cần có của hệ kín, hoặc chọn a>1 từ yêu cầu chất lượng đề ra. Hệ kín không có dao động khi a  16. Hệ kín sẽ không ổn định với a  1. Tính TB = aT2 Từ đó suy ra TI = TA+ TB và TD = 𝑇𝐴𝑇𝐵 𝑇𝐼 . Tính ෠𝑘p = 1 𝑘𝑇2 𝑎 rồi suy ra kp = ෠𝑘 p 𝑇𝐼 𝑇𝐵 . 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 32 (1 )(1 )1 ( ) 1 p A B p D I I k T s T s R s k T s T s T s + +  = + + =    Ví dụ • Thiết kế bộ điều khiển PID tối ưu đối xứng • Xét đối tượng tích phân − quán tính bậc hai: 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 33 : Từ : k = 2; T1 = 3; T2 = 5 ta có với a = 8: TA = T1 = 3 TB = aT2 = 8*5 = 40 TI = TA+TB = 43 TD = 𝑇𝐴𝑇𝐵 𝑇𝐼 = 𝑇𝐴𝑇𝐵 𝑇𝐼 = 3∗40 43 = 2,8 ෠𝑘p = 1 𝑘𝑇2 𝑎 = 1 2∗5∗ 8 = 0,035 rồi suy ra kp = ෠𝑘 p 𝑇𝐼 𝑇𝐵 = 0,035∗43 40 = 0,04 Vậy : kp =0,04 ;TI = 43 ; TD = 2,8 cho bộ điều khiển PID. Phương pháp tối ưu đối xứng • Giảm độ quá điều chỉnh bằng bộ tiền xử lý 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 34 + Nếu đối tượng là khâu tích phân - quán tính bậc nhất thì: a) Chọn bộ điều khiển PI với kp = 1 2𝑘𝑇1 ; TI = 4T1 b) Chọn bộ tiền xử lý M(s) = 1 1+4𝑇1𝑠 + Nếu đối tượng là khâu tích phân - quán tính bậc hai thì: a) Chọn bộ điều khiển PID với kp = TI 8𝑘𝑇2 2 ; TI = T1+ 4T2 ; TD = 4T1T2 T1+ 4T2 b) Chọn bộ tiền xử lý M(s) = 1 1+4𝑇2𝑠 Ví dụ • Thiết kế bộ điều khiển PID tối ưu đối xứng • Xét đối tượng tích phân − quán tính bậc hai: 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 35 : Từ : k = 2; T1 = 3; T2 = 5 ta có với a = 4: TI = T1+4T2 = 23 TD = 4𝑇1𝑇2 T1+4T2 = 3∗20 23 = 2,6 kp = TI 8𝑘𝑇2 2 = 23 8∗2∗25 = 0,0575 Vậy : kp =0,0575 ;TI = 23 ; TD = 2,6 cho bộ điều khiển PID. Phương pháp gán thời gian xác lập và độ quá điều chỉnh 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 36 1. Đối tượng là khâu quán tính bậc nhất S(s) = 𝑘 1+𝑇𝑠 (1 )1 ( ) 1 p I p I I k T s R s k T s T s +  = + =    Bộ điều khiển 5% ln 20 I p T T T k kT = = 𝑆 𝑠 = 𝑘 1 + 𝑇1𝑠 1 + 𝑇2𝑠 2. Đối tượng là khâu quán tính bậc hai Bộ điều khiển (1 )(1 )1 ( ) 1 p A B p D I I k T s T s R s k T s T s T s + +  = + + =    1 2 1 2 D 1 2 1 2 5% ;T ( ) ln 20 I p TT T T T T T T T k kT = + = + + = 05/05/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 37 20/02/2021 1 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ưu khuyết điểm của điều khiển thông thường * Ưu điểm: • Có tính hệ thống, cơ sở toán học rõ ràng, chặt ché. • Đảm bảo hệ thống ổn định và bền vững ( về lý thuyết) * Khuyết điểm: • Cần mô hình toán học của đối tượng để thiết kế được bộ điều khiển • Cần hiểu biết sâu về kỹ thuật điều khiển mới thiết kế được bộ điều khiển • Thường không hiệu quả khi điều khiển hệ phi tuyến • Không sử dụng được kinh nghiệm của con người ( trong nhiều trường hợp kinh nghiệm của con người đóng vai trò quan trọng) 20/02/2021 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 2 Tại sao phải điều khiển thông minh • Yêu cầu đạt được chất lượng điều khiển ngày càng tăng cao. • Yêu cầu điều khiển các hệ thống động phức tạp ngày càng tăng. • Yêu cầu điều khiển trong điều kiện gia tang các yếu tố bất định. → Các yêu cầu trên không những không thể đáp ứng được trọn vẹn nếu dùng lý thuyết điều khiển thông thường sẵn có. Đây chính là động lực cho ra đời lý thuyết điều khiển mới: Lý thuyết điều khiển thông minh 20/02/2021 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3 Các phương pháp điều khiển thông minh 20/02/2021 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 4 Thuật toán này có các bước cơ bản sau: . 1. Chọn ngẫu nhiên 𝑝𝑖 0 , 𝑖 =1,2,,N phần tử ban đầu, gọi là cá thể khởi tạo, và ký hiệu tập các cá thể đó là thế hệ khởi tạo (initial generation) G(0) , gán k=0. 2. Gán cho mỗi cá thể 𝑝𝑖 𝑘 , một chỉ số xác suất 𝜋𝑖 được tính từ giá trị hàm mục tiêu tại đó: 𝜋𝑖=1-J(𝑝𝑖)/ ҧ𝐽 Với ҧ𝐽= 1 𝑁 σ𝑗=1 𝑁 J(𝑝𝑗) 5 3. Nếu điều kiện kết thúc thuật toán được thỏa mãn thì chọn cá thể có 𝜋𝑖 lớn nhất làm nghiệm. Ngược lại thì chuyển sang bước 4. 4. Sao chép G(k) vào tập trung gian I(k) theo tỷ lệ xác suất của từng cá thể. 5. Tiến hành việc lai ghép từng cặp cá thể được chọn ngẫu nhiên trong I (k ) bằng cách nếu cặp cá thể của cặp đó có xác suất lớn i  c thì hoán đổi nửa dưới trong dãy nhị phân biểu diễn giá trị của cặp hai cá thể đó. Những cặp có xác suất nhỏ i  m thì đổi giá trị bit 0,1 trong dãy nhị phân của cá thể đó (đột biến). Hai giá trị c , m được cho trước. 6. Sao chép I(k) vào G(k +1) . Gán k= k +1 và quay về 2. Giải thuật di truyền - GA Chọn tham số tối ưu cho bộ điều khiển PID Nguyên tắc chung Đối tượng điều khiển PID kp,TI ,TD Tối ưu hóa e u yr 6 Xác định được vector tham số p = (kp ,TI ,TD ) T cho bộ điều khiển PID để hệ kín bám ổn định theo được tín hiệu mẫu. Nguyên tắc xác định này là phải cực tiểu được sai lệch bám: J(p)=׬0 𝑇 𝑒2 𝑝, 𝑡 𝑑𝑡 𝑝∈𝑃 min hoặc J(p)=׬0 𝑇 𝑒 𝑝, 𝑡 𝑑𝑡 𝑝∈𝑃 min Giá trị của sai lệch bám e(p,t ) , bên cạnh việc điều khiển phụ thuộc vào đặc tính động học của đối tượng, còn phụ thuộc vào bộ điều khiển. Khó khăn chính là nằm ở việc xác định được công thức tường minh cho hàm mục tiêu J (p) . Chọn tham số tối ưu cho bộ điều khiển PID (tiếp) Ví dụ 1: Ứng dụng GA chọn tham số PI b0s+b1 s+ 5 Đối tượng điều khiển giả định có hàm truyền: = a0s 2 +a1s+a2 s 2 + 3s+ 5 p s s Bộ điều khiển là PI với hàm truyền: C(s) =k + ki = kps+ ki Sử dụng GA để xác định tham số tối ưu 0  kp ,ki được kết quả sau: Tham số PI: kp = 16.3451, ki =26.4433 − Giá trị hàm mục tiêu: J min =0.0077 − Đồ thị hàm quá độ hệ kín: 7 S(s) = Chọn tham số tối ưu cho bộ điều khiển PID (tiếp) 8 Ví dụ 1: Ứng dụng GA chọn tham số PI (tiếp) runPI_GA.m clc; [x fval] = ga(@PI_GA,2,-diag([1 1]),zeros(2,1)); kp=x(1);ki=x(2); b0=1; b1=5; a0=1; a1=3; a2=5; S = tf([b0 b1],[a0 a1 a2]); C = tf([kp ki],[1 0]); G = feedback(S*C,1); step(G); PI_GA.m function fitness = PI_GA(x) kp=x(1); ki=x(2); b0=1; b1=5; a0=1;a1=3; a2=5; S=tf([b0 b1],[a0 a1 a2]); C=tf([kp ki],[1 0]); G=feedback(S*C,1); [y t]=step(G); n=length(y); dt=t(end)/(n-1); fitness = 0; for j=1:n-1; fitness = fitness + dt*abs(1-y(j,1)); end Ví dụ 2: Ứng dụng GA chọn tham số PID Sử dụng GA để xác định tham số tối ưu được kết quả sau: b0s+b1 s+ 5 Đối tượng điều khiển giả định có hàm truyền: = a0s 3 +a1s 2 +a2s+a3 s 3 + 3s2 + 2s+1 k s s kds 2 + kps+ kiBộ điều khiển là PI với hàm truyền: C(s) =kp + i+ kds = 0  kp,ki,kd − PID: kp = 0.0002, ki = 9.2378, kd = 17.0572 − Hàm mục tiêu: J min = 0.0047 − Hàm quá độ hệ kín: 9 Chọn tham số tối ưu cho bộ điều khiển PID (tiếp) S(s) = 10 Ví dụ 2: Ứng dụng GA chọn tham số PID (tiếp) runPID_GA_mod.m clc; [x fval] = ga(@PID_GA_mod,3,-diag([1 1 1]),zeros(3,1)); kp=x(1);ki=x(2);kd=x(3); b0=1; b1=5; a0=1;a1=3; a2=2; a3=1; S=tf([b0 b1],[a0 a1 a2 a3]); C = tf([kd kp ki],[1 0]); G = feedback(S*C,1); step(G); PID_GA_mod.m function fitness = PID_GA_mod(x) kp=x(1); ki=x(2); kd=x(3); b0=1; b1=5; a0=1;a1=3; a2=2; a3=1; S=tf([b0 b1],[a0 a1 a2 a3]); C=tf([kd kp ki],[1 0]); G=feedback(S*C,1); [y t]=step(G); n=length(y); dt=t(end)/(n-1); fitness = 0; for j=1:n-1; fitness = fitness + dt*abs(1- y(j,1)); end Chọn tham số tối ưu cho bộ điều khiển PID (tiếp) 19/02/2020 1 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Nội dung 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 2 3.1. Mô tả hệ thống trong không gian trạng thái Phương trình trạng thái Quan hệ giữa mô hình trạng thái và hàm truyền Quỹ đạo trạng thái 3.2. Phân tích hệ thống trong không gian trạng thái Tính ổn định Tính điều khiển được Tính quan sát được 3.3. Thiết kế bộ điều khiển Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực Bộ quan sát trạng thái Bộ điều khiển phản hồi đầu ra 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3 3.1. Mô tả hệ thống trong không gian trạng thái 3.1.1. Phương trình trạng thái Định nghĩa 3.1: Các biến trạng thái là các biến mang thông tin về các trạng thái bên trong của hệ thống, phản ánh các diễn biến, quá trình xảy ra trong hệ. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 4 + Khái niệm biến trạng thái Các biến trạng thái có thể bao gồm cả biến ra. Đã là biến ra thì phải đo được, nhưng biến trạng thái không phải lúc nào cũng đo được mà có thể tính toán thông qua các tín hiệu đo khác. Ví dụ : Bài tóan điều khiển vận tốc xe Biến trạng thái: quãng đường y(t), vận tốc ሶ𝑦(t). Biến ra: vận tốc ሶ𝑦(t). Biến vào: lực tác động u(t). 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 5 Xét một hệ thống với cấu trúc cho như hình vẽ và: m tín hiệu vào u1(t), u2(t),um(t) , được viết chung thành vector 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑚 r tín hiệu ra y1(t), y2(t),yr(t) , viết chung lại thành vector 𝑦 𝑡 ∈ 𝑅𝑟 ; n biến trạng thái x1(t), x2(t),xn(t) , viết chung lại thành 𝑥 𝑡 ∈ 𝑅𝑛 Hệ thống kỹ thuật x1, x2,xn u1(t) ⋮ um(t) y1(t) ⋮ yr(t) ⋮⋮ 3.1.1. Phương trình trạng thái Mô hình trạng thái là loại mô hình toán học có dạng: ቐ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = A𝑥 + B𝑢 𝑦 = C𝑥 + 𝐷𝑢 trong đó: Ma trận ARnn là ma trận hệ thống. Ma trận BRnm là ma trận điều khiển. Hai ma trận CRrn và DRrm là các ma trận đầu ra. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 6 Hệ tuyến tính cũng mô tả được bằng phương trình trạng thái ở một trong ba dạng cơ bản sau: 3.1.1. Phương trình trạng thái • Mô hình trạng thái tham số hằng khi các ma trận A, B, C, D đều là ma trận hằng • Mô hình trạng thái tham số phụ thuộc t, có phần tử các ma trận A, B, C, D là hàm số phụ thuộc thời gian: • Mô hình trạng thái tham số rải, có phần tử các ma trận A,B,C,D là hàm số phụ thuộc biến không gian (phụ thuộc vector tham số v): 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 7 ቐ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = A(𝑡)𝑥 + B(𝑡)𝑢 𝑦 = C(t)𝑥 + 𝐷(𝑡)𝑢 ቐ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = A(𝑣)𝑥 + B(𝑣)𝑢 𝑦 = C(v)𝑥 + 𝐷(𝑣)𝑢 3.1.1. Phương trình trạng thái + Ưu điểm của hệ phương trình trạng thái: • Cho phép mô tả hệ thống mà không cần điều kiện đầu bằng 0. • Cho phép mô tả các hệ MIMO đơn giản hơn so với dạng hàm truyền đạt. • Cho phép khảo sát các biến trạng thái cần quan tâm bên trong hệ thống chứ không phải đầu vào và đầu ra, vì thế giúp ta hiểu rõ và sâu hơn về các đặc tính của hệ. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 8 3.1.1. Phương trình trạng thái Ví dụ • Ví dụ 1: Động cơ một chiều: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 9 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 10 Ví dụ 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 11 Ví dụ 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 12 Ví dụ • Ví dụ 2: Cho hệ cơ gồm một lò xo có hệ số b, một vật với khối lượng m và bộ suy giảm tốc có hệ số d được nối với nhau như hình vẽ. Gọi u(t) là tín hiệu vào được định nghĩa là lực bên ngoài tác động lên vật và tín hiệu ra y(t) là quãng đường mà vật đi được. Ký hiệu: x1(t) = y(t) và 𝑥2 𝑡 = 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥1(𝑡) 𝑑𝑡 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 13 là hai biến trạng thái của hệ, cũng như Fc, Fm, Fd là những lực của lò xo, vật và bộ suy giảm tốc sinh ra khi vật chuyển động. Ví dụ 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 14 2 2 1 2 ( ) ( ) , c m d y t dx F by t bx F m m dtdt = = = = và 2 ( ) d dy t F a ax dt = = 2 1 2c m d dx F F F bx m ax u dt + + = + + = Suy ra 2 1 2 1dx b a x x u dt m m m = − − + 1 1 1 1 0 1 0 (1 , 0) dx x u dt m b m a m y x x − − −       = +       − −      = = và từ đó là mô hình trạng thái: Khi đó ta được Ví dụ 3.1.2. Quan hệ giữa mô hình trạng thái và hàm truyền Một hệ thống tuyến tính SISO cùng được mô tả bởi phương trình trạng thái và hàm truyền G(s). Vậy thì giữa hai mô hình này phải có những mối liên hệ với nhau. Xác định hàm truyền từ mô hình trạng thái; Xác định mô hình trạng thái từ hàm truyền; Xác định bậc tương đối của hàm truyền từ mô hình trạng thái. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 15 3.1.2. Quan hệ giữa mô hình trạng thái và hàm truyền 1) Xác định hàm truyền từ mô hình trạng thái Cho đối tượng được mô tả bởi mô hình trạng thái tham số hằng : 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 16 d x Ax Bu dt y C x Du  = +   = + Khi đó hàm truyền đạt được tính theo công thức: G(s) = C(sI−A)−1B+D Ví dụ • Cho hệ SISO với hai biến trạng thái được mô tả bởi: Tìm hàm truyền đạt. Ta có hàm truyền đạt: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 17   2 1 1 0 3 2 2 1 d x x u dt y x −     = +          =     1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 1 0 3 2 3 1 11 6 2 1 0 2 2( 2)( 3) 5 6 G s C s s s s s I s B s A s s − − = − = − − −       −    − −    = =   −− − − +    2)Xác định mô hình trạng thái chuẩn điều khiển từ hàm truyền • Xét hệ SISO có hàm truyền: (*) • Gọi U(s) là ảnh Laplace của u(t), Y(s) là ảnh của y(t) thì từ hàm truyền đã cho ta có: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 18 G(s) = 0 1 1 0 1 1 n n n n n b b s b s a a s a s s−− + + + + + + + = ( ) ( ) B s A s 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n b b s b s U s sU s s U s Y s U s b b b A s A s A s A s + + + = = + + + Đặt n biến trạng thái x1(t), , xn(t), ghép chung lại thành có ảnh Laplace X1(s) = )( )( sA sU , X2(s) = )( )( sA ssU ,  , Xn(s) = 1 ( ) ( ) ns U s A s − x = 1 n x x           19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 19 Sẽ được sX1(s) = X2(s)  dt dx1 = x2 sX2(s) = X3(s)  dt dx2 = x3  sXn−1(s) = Xn(s)  1ndx dt − = xn 1 ( ) ( ) ( ) U s X s A s =  10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 n n n n n n U a X a sX a s X s X a X a X a X sX − − − = + + + + = + + + +  0 1 1 2 1 n n n dx a x a x a x u dt −+ + + + =  0 1 1 2 1 n n n dx a x a x a x u dt −= − − − − + Cũng như: dx dt = 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 na a a a −           − − − −  x + 0 0 1              u Suy ra: 2)Xác định mô hình trạng thái chuẩn điều khiển từ hàm truyền 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 20 Mặt khác, từ: 0 1 1 2 1 n n n nY b X b X b X sb X−= + + + + còn có: ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ( ) n n n n n n n n n n dx t y b x b x b x b dt b a b x b a b x b a b x b u − − − = + + + + = − + − + + − + Định nghĩa 3.2: Hệ SISO vói hàm truyền đạt (*) có mô hình trạng thái chuẩn điều khiển như sau: ( ) 0 1 2 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 , , n B n n n n n C dx x u dt a a a a A y b a b b a b x b u − − −               = +            − − − −       = − − +   2)Xác định mô hình trạng thái chuẩn điều khiển từ hàm truyền ( ) 0 0 1 1 1 2 1 1( ) )x + (n n n n n n ny b a b x b a b b a b x b u− −= − + − + − + 3) Xác định mô hình trạng thái chuẩn quan sát từ hàm truyền 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 21 Định nghĩa 3.3: Hệ SISO vói hàm truyền đạt 3.12 có mô hình trạng thái chuẩn quan sát như sau: ( ) 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 , , 0 , 1 n n n n Bn n C a a b a b dx a x u dt b a b a y x b u − − −  −     − −       = − +      −       −   = +   Ví dụ • Hãy xác định hệ phương trình trạng thái theo chuẩn quan sát khi biết hàm truyền đạt G(s) = 3+𝑠 4+5𝑠+ 𝑠2 Ta có a0 = 4; a1 = 5; b0 = 3 ; b1 =1 hay 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 22 ( ) 0 0 1 1 0 1 0 , 1 T a bdx x u a bdt b y x c  −    = +     −       =    ( ) 0 4 3 1 5 1 0 , 1 T dx x u dt b y x c  −    = +     −       =    4) Xác định bậc tương đối của hàm truyền từ mô hình trạng thái • Xét hệ SISO có hàm truyền hợp thức chặt: (**) Bậc tương đối của nó được hiểu là hiệu r = n-m1 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 23 Định nghĩa 3.4: Bậc tương đối của hệ SISO có hàm truyền (**) được xác định từ mô hình trạng thái tương ứng của nó bằng công thức sau: 0 khi 0 2 0 khi 1 k k rCA B k r =   − =   = − 0 1 0 1 ( ) , m m n n b b s b s G s m n a a s a s + + + =  + + + Ví dụ • Cho hệ SISO với hai biến trạng thái được mô tả bởi: Xác định bậc tương đối Ta có hàm truyền: G(s) = 6 𝑠2−5𝑠+6 Như vậy, ta thấy hệ có bậc tương đối là r = 2. Giá trị này cũng có thể trực tiếp tính được từ mô hình trạng thái như sau: Xét k=0 k=1 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 24   2 1 1 0 3 2 2 1 d x x u dt y x −     = +          =   2 1 1 2 1 8 0 0 3 2 CAB −    = =           1 2 1 0 2 CB −  = =    Do đó r = k+1 = 2 3.1.3. Quỹ đạo trạng thái 1) Khái niệm • Quỹ đạo trạng thái được hiểu là nghiệm của hệ phương trình vi phân: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = Ax+Bu trong mô hình trạng thái với một kích thích u(t) và trạng thái đầu x(0) = x0 cho trước. Tập hợp của tất cả các quỹ đạo trạng thái của hệ thống được gọi là không gian trạng thái. • Nếu u(t) = 0 và x(0)  0 thì quỹ đạo trạng thái được gọi là tự do. • Nếu u(t)  0 và x(0) = 0 thì quỹ đạo trạng thái được gọi là cưỡng bức. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 25 2) Ma trận hàm mũ + Ý nghĩa: Dùng để tìm quỹ đạo trạng thái của hệ. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 26 Định nghĩa 3.5: Với một ma trận A  Rnxn cho trước, ma trận hàm mũ tương ứng với A được định nghĩa bởi: 0 ( ) ! k At k At e k  = =  + Các tính chất của ma trận hàm mũ: o a) và o b) o c) o d) eAt=L−1{(sI−A)−1} 1 2 2 1 1 2( )A A A A A tt t t t te e e e e += = ( )A A At t t te e e I− −= = A A A t t tde Ae e A dt = = Nếu A là ma trận đường chéo A = diag(ai) thì eAt= diag ( eai t). ▪ Sử dụng toán tử Laplace eAt=L−1{(sI−A)−1}. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 27 + Cách xác định hàm eAt 2) Ma trận hàm mũ Ví dụ- toán tử Laplace Ví dụ 1: Xác định ma trận hàm mũ bằng toán tử Laplace Với thì Theo phép biến đổi Laplace: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 28 2 1 0 3 A   =     1 1 1 1 1 2 3 2 1 3 2 1 3 11 {( ) } { } { } 0 3 0 2( 2)( 3) 1 1 2 ( 2)( 3) { } 1 0 0 3 At t t t t s s e sI A s ss s e e es s s e s − − − − − − − − −    = − = =    − −− −         −− − −   = =       −  3) Tìm quỹ đạo trạng thái Định lý 3.4: Nghiệm của phương trình trạng thái tham số hằng được tính: Định lý 3.5: Khi hệ thống được mô tả bởi mô hình trạng thái tham số hằng thì nó sẽ có: a) Quá trình tự do: b) Quá trình cưỡng bức : 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 29 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t At A t t At A t x t e x e Bu d y t C e x e Bu d Du       − −  = +     = + +        0 ( ) At t y t Ce x= 0 ( ) ( ) ( ) t A c t y t C e Bu d Du   −= + Ví dụ • Xác định quỹ đạo trạng thái có tham số không phụ thuộc thời gian • Hãy xác định y(t) khi hệ được kích thích bởi u(t) = 1(t) từ trạng thái đầu x0 = 0 cho hệ thống SISO có hai biến trạng thái được mô tả bởi: Hệ có ma trận: Khi đó: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 30 1 2 1 0 , 0 1 1 d x x u y x dt −    =  +  =    −    2 1 0 ; ; (1 0) 0 1 1 A B C −    = = =    −    1 1 1 1 1 1 2 1 0 2 2 ( 2)( 1) ( ) 0 1 ( 2)( 1) 1 0 1 s s s s s s s s s sI A s − − +       + − +  + + +   = = =  +  + +    +  − 1 1 2 2 {( ) } 0 t t t At t e e e L sI Ae e − − − − − −  −  =     = − Ví dụ • Vậy 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 31 ( ) 2( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 ( ) 0 0 ( ) 1( ) 10 1 2 2 2 1 t t t t t t tt t t t t t t t t t e e e e e x t d d e e e e e e e e              − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −   −   −   =  =              − − +   = =        −     y(t) = 2 1 −e − t + 2 2 te− 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 1 3.2. Phân tích hệ thống trong không gian trạng thái Nội dung 1. Tính ổn định của hệ thống 2. Tính điều khiển được của hệ thống tại một điểm trạng thái cho trước. 3. Tính quan sát được của hệ thống tại một điểm trạng thái cho trước. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 2 3.2.1. Tính ổn định Định lý 3.6: Hệ không có trạng thái thừa, sẽ ổn định BIBO khi và chỉ khi ma trận A có tất cả các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo, tức là khi và chỉ khi: là đa thức Hurwitz. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3 + Khái niệm ổn định BIBO Từ quan hệ giữa mô hình trạng thái không có trạng thái thừa và ma trận hàm truyền G(s) của hệ thống: 1 ( ) ( ) ( ) det( ) adjsI A G s C sI A B D C B D sI A − − = − + = + − ( ) det( )p s sI A= − Dùng các tiêu chuẩn ổn định đại số để kiểm tra tính ổn định của p(s) + Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov - Hàm Lyapunov Định nghĩa 3.6: Hệ được gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng xe nếu sau một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi điểm cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về được lân cận điểm cân bằng đó. Nếu hệ tiến tới xe thì nó được gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại xe 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 4 Điểm cân bằng là điểm thỏa mãn: dx dt = Ax = 0 Định lý 3.8: Hệ ổn định BIBO khi và chỉ khi nó ổn định tiệm cận Lyapunov, tức là khi và chỉ khi các quỹ đạo trạng thái tự do có hướng tiến về gốc tọa độ và kết thúc tại đó. 3.2.2. Phân tích tính điều khiển được + Tại sao lại cần phải hiểu biết về tính điều khiển được • Nhiệm vụ chính của điều khiển là tìm được tín hiệu điều khiển mang lại cho hệ thống một chất lượng mong muốn, tức là phải tìm được một tín hiệu thỏa mãn chất lượng đề ra trong số các tín hiệu có khả năng đưa hệ thống từ một điểm trạng thái ban đầu x0 (tùy ý) tới được điểm trạng thái đích xT. • Nếu tồn tại một tín hiệu điều khiển làm được việc đó thì ta nói hệ thống điều khiển được tại điểm trạng thái x0 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 5 + Khái niệm điều khiển được hoàn toàn • Chú ý: Nếu hệ tuyến tính đã điều khiển được thì nó cũng điều khiển được hoàn toàn, nghĩa là luôn tồn tại một tín hiệu điều khiển u(t) đưa hệ từ x0 (tùy ý) tới được xT (tùy ý) trong khoảng thời gian hữu hạn. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 6  Định nghĩa 3.7: Một hệ thống tuyến tính, liên tục được gọi là điều khiển được nếu tồn tại ít nhất một tín hiệu điều khiển đưa được nó từ một điểm trạng thái ban đầu x0 (tùy ý) về được gốc tọa độ 0 trong khoảng thời gian hữu hạn. Định lý 3.11 (Kalman): Cần và đủ để hệ tuyến tính không có trạng thái thừa điều khiển được là: +Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được • Trong MATLAB: P = ctrb(A,B) → rank(P). 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 7 Định lý 3.10 (Hautus): Cần và đủ để hệ tuyến tính không có trạng thái thừa điều khiển được là: Rank(sI−A, B) = n với mọi sC 2 1Rank( , , , , )nB AB A B A B n− = Ví dụ 4 (Áp dụng tiêu chuẩn Hautus) Cho hệ thống có mô hình: Suy ra: • Như vậy nếu s=a thì: và do đó hệ không điều khiển được. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 8 1 2 0 0 0 1 xad x u xbdt BA      =  +          0 0 Rank( , ) Rank 0 1 s a sI A B s b −  − =   −  Rank( , ) 1 2sI A B− =  Ví dụ 4 (Áp dụng tiêu chuẩn Kalman) Cho hệ thống có mô hình: Ta có: Vậy: Rank(B, AB) = Rank < 2 và do đó hệ không điều khiển được. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 9 1 2 0 0 0 1 xad x u xbdt BA      =  +          0 0 1 b       0 0 0 0 1 a AB b b BA      = =          Ví dụ 5 Cho hệ thống có mô hình: Ta có: Do đó: det(P)0 suy ra rank(P)=3 vậy hệ thống là điều khiển được 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 10 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 d x x u dt a a a BA        =  +        − − −    ( ) 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 ; 1 ; 1 B AB A B a a a a          = = = −          − −      ( ) 2 2 2 2 1 0 0 1 0 1 1 P a a a a     = −   − −  3.2.3. Phân tích tính quan sát được + Tại sao cần tính quan sát được • Sau khi biết hệ có thể điều khiển được → xác định được x0 để từ đó bộ điều khiển có thể tạo ra tín hiệu điều khiển thích hợp đưa hệ từ x0 về xT. • Công việc xác định điểm trạng thái x0 có thể được tiến hành bằng cách đo trực tiếp (nhờ cảm biến) nhưng cũng có khi phải tính toán. • Điểm trạng thái x0 của một hệ là quan sát được nếu ta xác định được nó thông qua việc đo các tín hiệu vào/ ra trong một khoảng thời gian hữu hạn. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 11 + Khái niệm quan sát được 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 12 Định nghĩa 3.8: Một hệ thống có tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) được gọi là: a) Quan sát được tại thời điểm t0, nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn T> t0 để điểm trạng thái x(t0) = x0 xác định được một cách chính xác thông qua vector các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t0,T]. b) Quan sát được hoàn toàn tại thời điểm t0, nếu với mọi T> t0 , điểm trạng thái x(t0) = x0 luôn xác định được một cách chính xác từ vector các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t0,T]. +Các tiêu chuẩn xét tính quan sát được Trong MATLAB: Q = obsv(A,C) → rank(Q). 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 13  Định lý 3.12: Cho hệ tham số hằng không có trạng thái thừa. Các phát biểu sau là tương đương: a) Hệ quan sát được. b) với mọi s, và I là ma trận đơn vị (Hautus 1969). c) (Kalman, 1961). Rank sI A n C −  =    1 Rank n C CA n CA −       =        Ví dụ 5 Cho đối tượng có mô hình trạng thái trong đó Hãy kiểm tra tính điều khiển được nhờ tiêu chuẩn Kalman a) Hãy kiểm tra tính quan sát được của đối tượng nhờ tiêu chuẩn Hautus. Giải: a) Tính điều khiển được Ta có: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 14 1 1 2 1 1 0 1 0 1 ; 1 4 3 0 dx x u y x dt −        = + =       −    1 2 3 x x x x     =      1 2 1 1 0 1 0 ; 1 ; (1 0 0); 1 4 3 0 A C −        = = =       −    B Ví dụ 5 Tính các ma trận: Suy ra : Rank(P)=3 vây hệ thống là điều khiển được 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 15 2 1 2 1 1 3 1 2 1 3 8 0 1 0 . 1 1 ; 0 1 0 1 1 ; 1 4 3 0 3 1 4 3 3 10 AB A − −                      = = = =                     − − − − −           B 2 1 3 8 ( ) 1 1 1 0 3 10 P B AB A B     = =   − −  Dùng Matlab • Dùng Matlab để tính các ma trận, lập trình trên mfile A=[1 2 -1;0 1 0;1 -4 3]; B=[1;1;0]; C=[1 0 0]; D=A*B E=A*A*B P=[B D E] rank(P) • Dùng trực tiếp câu lệnh để tính P = ctrb(A,B) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 16 Ví dụ 5 b) Tính quan sát được theo Hautus với mọi s Vậy hệ thống là không quan sát được 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 17 0 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 4 3 1 4 3 s s sI A s s s s − − −            − = − = −           − − −      1 2 1 0 1 0 2 1 4 3 1 0 0 s sI A rank s C s     − − −   = − =     − −      Ví dụ 4 Cho đối tượng có mô hình trạng thái trong đó a) Hãy kiểm tra tính điều khiển được nhờ tiêu chuẩn Hautus b) Hãy kiểm tra tính quan sát được của đối tượng nhờ tiêu chuẩn Kalman. Giải: a) Tính điều khiển được theo Hautus Ta có: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 18 3 1 0 1 1 2 1 4 0 ; 1 0 3 1 dx x u y x dt −        = − + =       −    1 2 3 x x x x     =      1 0 1 1 2 1 4 ; 0 ; (0 0 1); 1 0 3 1 A C −        = − = =       −    B Ví dụ 4 với mọi s Vậy hệ thống là điều khiển được b) Tính quan sát theo Kalman Tính toán các ma trận Ta có ->hệ thống không quan sát được 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 19 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 4 2 1 4 0 0 1 0 3 1 0 3 s s sI A s s s s − −            − = − − = − −           − −      ( ) 1 0 1 1 , 2 1 4 0 3 1 0 3 1 s rank sI A B s s − − −    − = − − =   −  ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 . 2 1 4 1 0 3 ; 1 0 3 2 1 4 4 0 8 ; 1 0 3 1 0 3 CA CA         = − = − = − − = −       − −    2 0 0 1 1 0 3 2 4 0 8 C rank CA CA         = − =         −   Dùng Matlab • Dùng Matlab tính các ma trận, dùng trên m file A=[1 0 1;2 1 -4;-1 0 3]; B=[-1;0;1]; C=[0 0 1]; D=C*A E=C*A*A Q=[C ;D; E] rank(P) • Dùng trực tiếp câu lệnh để tính Q=obsv(A,C) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 20 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 1 3.3. Thiết kế bộ điều khiển Nội dung • Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực • Bộ quan sát trạng thái • Bộ điều khiển phản hồi đầu ra 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 2 3.3.1. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực +Đặt vấn đề: ▪ Xác định ma trận hàm truyền G(s) của hệ từ mô hình trạng thái thì các điểm cực của hệ chính là giá trị riêng của ma trận A. ▪ Chất lượng hệ thống lại phụ thuộc nhiều vào vị trí của các điểm cực trong mặt phẳng phức. → Vì vậy, để chất lượng hệ thống điều khiển như mong muốn, ta tìm cách can thiệp (thiết kế bộ điều khiển) sao cho các điểm cực của hệ kín ở vị trí tương ứng với chất lượng điều khiển mong muốn. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3 +Các phương pháp thiết kế o + Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái: ❑Phương pháp trực tiếp. ❑Phương pháp Ackermann. o + Thiết kế theo nguyên tắc phản hồi tín hiệu ra 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 4 Tư tưởng thiết kế của hai phương pháp • Giả sử các điểm cực mong muốn là s1, , sn • Phản hồi trạng thái Phản hồi tín hiệu đầu ra 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 5 ( ) ( ) d x Ax Bu Ax B w Rx A BR x Bw dt = + = + − = − + ( ) 1 2det ( ) ( )( ) ( )nsI A BR s s s s s s− − = − − − Phải giải phương trình để có R Điều kiện: Chỉ cần hệ điều khiển được ( ) ( )d x Ax Bu Ax B w R y A BRC x Bw dt = + = + − = − + Tìm ma trận R thỏa mãn ( ) 1 2det ( ) ( )( ) ( )nsI A BRC s s s s s s− − = − − − Tính điều khiển được chưa đủ 1. Phương pháp trực tiếp 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 6 = Đơn giản , xét hệ một vào một ra (1) Tìm bộ điều khiển R = [r1,., rn] trực tiếp từ phương trình (2) Cách làm: Khai triển hai vế của phương trình (2) thành các đa thức bậc n. Cân bằng hệ số các đa thức. Giải hệ n phương trình thu được tìm r1,........., rn. ; ,nxn n d x Ax Bu A R B R dt = +   ( ) 1 2det ( ) ( )( ) ( )nsI A BR s s s s s s− − = − − − Ví dụ 1 Cho đối tượng có mô hình trạng thái trong đó Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ kín nhận các giá trị cho trước s1=-1; s2=-2 làm điểm cực. Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái R = (r1 , r2) sao cho det(sI-A+BR) = (s+1)(s+2) = s2+3s+2 Ta co Cân bằng hệ số ta có hệ Vậy bộ điều khiển R=(1 5) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 7 1 0 1 0 ; 1 2 1 dx x u y x dt     = + =    −    1 2 x x x   =    ( )1 2 2 1 1 2 11 0 det( ) det det ( 2 ) 1 1 21 2 1 ss sI A BR r r s s r r r s rs   −−      − + = + = = − + + +        + − +−       2 2 1 1 2 3 5 1 2 1 r r r r − = =    + = =  Ví dụ 2 • Xét đối tượng SISO có mô hình trạng thái: • Hãy thiết kế bộ điều khiển để hệ kín nhận được chọn ứng điểm cực và Giải: Bộ điều khiển R=(r1,r2,r3), khi đó hệ kín có đa thức đặc tính 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 8 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 3 1 d x x u dt         = +       −    0 13, 4s s= − = − 3 5s = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 0 0 0 1 0 0 det( ) det 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 1 1 0 det 0 1 ( 3 ) 2 1 1 3 2 1 (1) 1 2 3 s sI A BR s r r r s s s s s s r r r s r s r s r r r s r               − + = − +             −       −    = − = − + + − + + = + − + − + +   + − − +  • Với các điểm cực mong muốn ta có: Cân bằng hệ số của (1) và (2) ta có hệ phương trình 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 9 2 3 1 2 3( )( )( ) ( 3)( 4)( 5) 60 47 12 (2)s s s s s s s s s s s s− − − = + + + = + + + Vậy bộ điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là: R = (59 , 49 , 15) 1 1 2 2 3 3 1 60 59 2 47 49 3 12 15 r r r r r r + = =    − = −  =   − = =  Ví dụ 3 Cho đối tượng có mô hình trạng thái trong đó Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ kín nhận các giá trị cho trước s1=s2=-1 và s3=-2 làm điểm cực. Giải: • Tìm bộ điều khiển R = 𝑟1 𝑟2 𝑟3 sao cho 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 10 1 2 1 1 0 1 0 1 1 4 3 0 dx x u dt −        = +       −    y=x1 1 2 3 x x x x     =      Ta có Suy ra: Khai triển rồi đồng nhất hệ số -> quá dài Nhược điểm của phương pháp: • Không chỉ ra cách tìm R một cách tổng quát. • Không phải lúc nào cũng giải được dễ dàng hệ n phương trình thu được 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 11 ( ) ( )1 2 3 0 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 4 3 0 s sI A BR s r r r s −            − + = − +           −      ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 0 1 0 1 0 4 3 0 0 0 0 4 3 s r r r s r r r sI A BR s r r r r s r r s s − − − + −            − + = − + = − +           − −      ( ) 1 2 3 1 2 1 3 1det ( 1 )( 1 )( 3) 4 ( 1 ) ( 2) ( 3) 4sI A BR s r s r s r s r r r s r r− + = − + − + − − − + − − − + 1 2 3 1 2 1 3 1( 1 )( 1 )( 3) 4 ( 1 ) ( 2) ( 3) 4 ( 1)( 1)( 2)s r s r s r s r r r s r r s s s− + − + − − − + − − − + = + + + 2. Phương pháp Ackermann 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 12 = + Mô hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển Chỉ áp dụng cho đối tượng một tín hiệu vào. Xét đối tượng chỉ có một đầu vào u được mô tả bởi mô hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển (3) Như vậy, đối tượng có đa thức đặc tính theo công thức là: (4) với nghiệm là các điểm cực của đối tượng. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái R phải tìm là: R = (r1, r2,  , rn) 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1n dx x u dt a a a a bA −            = +          − − − −    1 0 1 1det( ) n n nsI A a a s a s s − −− = + + + + Khi đó hệ kín sẽ có mô hình: (5) với đa thức đặc tính: (6) Để hệ kín nhận các điểm s1, s2, , sn là các điểm cực thì Suy ra 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 13 ( )1 2 2 0 1 2 1 0 1 1 2 2 3 1 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 , , , 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n dx A bR x bw dt r r r x w a a a a a r a r a r a r − − = − +                     = − +                  − − − −         =   − + − + − + − +  0 0 1 x w       +       ( ) 10 1 1 2 1det ( ( ) ( ) ( ) n n n nsI A bR a r a r s a r s s − −− − = + + + + + + + . ( ) 1 2 ~ ~ ~ 1 1 10 1 1 2 1 1 det ( ( )( )......( ) ( ) ( ) ( ) ...... n n n n n o nn n sI A bR s s s s s s a r a r s a r s s a a s a s s− −−− − − = − − − + + + + + + + = + + + ~ 1 1, 1,2, ,ii ir a a i n− −= − = Ví dụ 4 • Xét đối tượng SISO có mô hình trạng thái: • Hãy thiết kế bộ điều khiển để hệ kín nhận được chọn ứng điểm cực và Giải: • Hệ này ở dạng chuẩn điều khiển nên từ mô hình ta có ngay: với 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 14 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 3 1 d x x u dt         = +       −    2 3 0 1 2det( )sI A a a s a s s− = + + + 0 1 21, 2, 3a a a= = − = − 0 13, 4s s= − = − 3 5s = − • Với các điểm cực mong muốn ta có: Ta có: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 15 2 3 1 2 3( )( )( ) ( 3)( 4)( 5) 60 47 12s s s s s s s s s s s s− − − = + + + = + + + Vậy bộ điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là: R = (60−1 , 47+2 , 12+3) = (59 , 49 , 15) ~ ~ ~ 2160; 47; 12oa a a= = = +Mô hình không ở dạng chuẩn điều khiển • Tìm một phép đổi biến  sao cho với nó, đối tượng ban đầu được chuyển về dạng chuẩn điều khiển. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 16 d x Ax Bu dt = + z S x= 1x S z−=  Định lý 3.13. Nếu hệ là điều khiển được thì phép đổi biến với: trong đó sT là vector hàng cuối cùng của ma trận: (B , AB ,  , An−1B)−1 sẽ chuyển nó về dạng chuẩn điều khiển z S x= 1 T T T n s s A S s A −       =         • với là các hệ số của đa thức đặc tính: áp dụng được thuật toán đã biết để thiết kế bộ điều khiển Rz phản hồi trạng thái z cho nó, tức là: với các hệ số được xác định từ: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 17 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 n d z SAS z Sbu z u dt a a a a − −           = + = +            − − − −  1 0 1 1det( ) n n nsI A a a s a s s − −− = + + + + 0 1 1, , , na a a − ~ ~ ~ 0 1 10 1 1( , ,......, )nz nR a a a a a a− −= − − − ~ ~ ~ 1 11 2 1( )( )......( ) ...... n n o nns s s s s s a a s a s s − −− − − = + + + ~ ia • Cuối cùng bộ điều khiển phản hồi trạng thái là Vì: (Cayley−Hamilton) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 18 ( ) ~ ~ ~ 0 1 1 0 1 1 1 ~ ~1 1 1 0 0 0 ~1 0 ( , ,......, ) T T n z n T n n n n T T Ti i i i i i i i i i n T Ti n i i s s A R R S a a a a a a s A a a s A a s A a s A a s A s A − − − − − − = = = − =      = = − − −       = − = −   = + 1 0 n n i i i A a A − = = − Ví dụ 5 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 dx x u dt         = − +       −    19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 19 Cho đối tượng 1 2 3 1s s s= = = −Thiết kế bộ điều khiển để hệ kín nhận được các điểm cực Giải Trước hết phải chuyển về mô hình điều khiển chuẩn Đối tượng này có Vậy ( ) 2 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 ; 0 1 1 1 3 0 0 2 1 2 0 0 2 2 4 0 0 1 2 2 1 0 1 3 3 1 0 1 2 4 1 0 0 AB A B B AB A B − −                     = − = = − = −                   − − − −                  = − =       −    ( )1 0 0Ts = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 ; 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 3 0 0 2 T T T s A s A s A         = − = = − = −       − −        = − − = −   −  19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 20  Để gán các điểm cực 1 2 3 1s s s= = = − 3 2 3 1 2 3( )( )( ) ( 1) 1 3 3s s s s s s s s s s− − − = + = + + + ~ ~ ~ 0 1 21, 3a a a= = = Ta sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái R tìm theo ~1 0 n T Ti n i i R a s A s A − = = + 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ 0 ~ 1 ~ 2 2 3 1 0 0 ; 3 0 1 0 0 3 0 ; 3 0 1 1 0 3 3 0 1 3 T T T T a s a s A a s A s A = = = = − = − = − Vậy bộ điều khiển R là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ 2 3 0 1 2 1 0 0 0 3 0 0 3 3 0 1 3 ; 1 1 0 T T T TR a s a s A a s A s A R = + + + = + + − + − = Ví dụ 6 Cho đối tượng có mô hình trạng thái trong đó a) Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ kín nhận các giá trị cho trước s1=s2=-1 và s3=-2 làm điểm cực. b) Hãy viết hàm truyền đạt của hệ kín bao gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được ở câu a. Từ đó chỉ ra rằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái đó đã không làm thay đổi được bậc tương đối của đối tượng. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 22 1 2 1 1 0 1 0 1 1 4 3 0 dx x u dt −        = +       −    y=x1 1 2 3 x x x x     =      19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 23 Giải a. Trước hết phải chuyển về mô hình điều khiển chuẩn Đối tượng này có Vậy ( ) 2 1 1 2 1 2 1 1 3 0 1 0 3 8 0 1 0 1 1 ; 0 1 1 1 1 1 4 3 0 3 0 0 2 3 10 1 3 8 7 6 5 1 1 1 10 10 7 0 3 10 3 3 2 AB A B B AB A B − − −                    = = = − =                   − − − − −          −        = = − −       − − −    ( )3 3 2Ts = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 1 1 2 1 3 3 2 0 1 0 5 5 3 ; 5 5 3 0 1 0 8 7 4 1 4 3 1 4 3 1 2 1 8 7 4 0 1 0 12 7 4 1 4 3 T T T s A s A s A − −        = − = − = − = −       − −    −    = − = −   −  19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 24  Để gán các điểm cực 1 2 31; 2s s s= = − = − 2 2 3 1 2 3( )( )( ) ( 1) ( 2) 2 5 4s s s s s s s s s s s− − − = + + = + + + ~ ~ ~ 0 1 22, 5; 4a a a= = = Ta sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái R tìm theo ~1 0 n T Ti n i i R a s A s A − = = + 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ 0 ~ 1 ~ 2 2 3 2 3 3 2 6 6 4 ; 5 5 5 3 25 25 15 ; 4 8 7 4 32 28 16 12 7 4 T T T T a s a s A a s A s A = − = − = − = − = − = − = − Vậy bộ điều khiển R là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ 2 3 0 1 2 6 6 4 25 25 15 32 28 16 12 7 4 ; 75 -66 39 T T T TR a s a s A a s A s A R = + + + = − + − + − + − → = 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 26 b. Sơ đồ hệ thống khi có bộ điều khiển R ( ) ( ) d x Ax Bu Ax B w Rx A BR x Bw dt y Cx  = + = + − = − +   = Ta có bậc tương đối của đối tượng là kiểm tra CAkB ≠ 0 với k= 0,1,. Với k=0 ta có: Vậy bậc tương đối của đối tượng là bằng 1 Để kiểm tra bậc tương đối r khi có bộ điều khiển R ta tìm k để C(A-BR)kB ≠ 0 với k= 0,1,. Suy ra r-1 = k Với k = 0 ta có: Vậy k= 0 suy ra r=1 ; như vậy khi mắc thêm bộ điều khiển R không làm thay đổi Bậc tương đối của đối tượng ( ) 1 1 0 0 1 1 0 0 CB     = =       ( ) 1 1 0 0 1 1 0 0 CB     = =       + Ưu nhược điểm của phương pháp Ackermann • Ưu điểm: – Đơn giản. – Chỉ ra cách tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái R một cách tổng quát. • Nhược điểm: – Chỉ áp dụng được cho các hệ có một đầu vào 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 27 A=[1 2 -1;0 1 0;1 -4 3]; B=[1;1;0]; C=[1,0,0]; D = 0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); Gd=tf(num,den) R=[75,-66,39]; Q= A-B*R [num,den]=ss2tf(Q,B,C,D); Gk=tf(num,den) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 28 Sử dụng Matlab xác định hàm truyền đạt khi biết hệ phương trình trạng thái 3.3.2. Bộ quan sát trạng thái Tại sao cần quan sát trạng thái? • Không phải lúc nào cũng đo được tất cả các trạng thái của hệ.Hơn nữa, nếu có thể thì chi phí rất đắt. Ví dụ: công suất không đo được trực tiếp mà phải thông qua dòng điện và điện áp. • Số biến trạng thái đo được thì ít nhưng thuật toán điều khiển cần tới giá trị của nhiều biến trạng thái. =) cần tới bộ quan sát trạng thái tính toán, xấp xỉ các biến trạng thái không đo được. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 29 + Bộ quan sát Luenberger 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 30 1. Tư tưởng thiết kế Xét đối tượng hợp thức chặt với mô hình trạng thái: dx Ax Bu dt y Cx Du  = +   = +  thiết kế bộ quan sát trạng thái Luenberger là sử dụng khâu có mô hình: (1) Làm bộ quan sát để có z  x ít nhất trong khoảng thời gian đủ ngắn T hay ||e(t)|| =||x(t)−z(t)||  0 với tT (2) Nhiệm vụ xác định L trong (1) để có được (2) ( ) dz Az Bu L y Cz Du dt = + + − − • Trước hết ta lập sai lệch : e(t) = x(t)−z(t) • Mô hình e: có nghiệm e(t) = e(A-LC)te(0) Từ đó suy ra e(t) →0  A-LC là bền Giá trị riêng của A-LC càng xa trục ảo về bên trái thì e(t) →0 càng nhanh. 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 31 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) de d x z A x z L y Cz Du dt dt A x z L Cx Du Cz Du A LC e − = = − − − − = − − + − − = − - Cho trước s1, s2,, sn đủ xa về phía trái trục ảo - Tìm L từ phương trình det(sI-(A-LC)) = (s-s1)(s-s2)(s-sn) đúng với s - So sánh việc tìm L sao cho A-LC nhận các điểm cho trước làm điểm cực thì cũng tương đương với việc tìm LT để (A-LC)T nhận các điểm cho trước làm điểm cực. - Do đó việc tìm L chính là bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái LT cho đối tượng đối ngẫu 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 32 ൞ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝐴𝑇𝑥 + 𝐶𝑇𝑢 𝑦 = 𝐵𝑇𝑥 2. Thuật toán Ví dụ • Cho đối tượng • Hãy xác định bộ quan sát trạng thái Luenberger để tính xấp xỉ z=x trạng thái của đối tượng với hai điểm cực cho trước 1 = 2 = -10 Giải: • Chuyển về mô hình đối tượng đối ngẫu ta có 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 33 ൞ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 1 −3 −5 𝑥 + 0 1 𝑢 𝑦 = 1 0 𝑥 ൞ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 −3 1 −5 𝑥 + 1 0 𝑢 𝑦 = 0 1 𝑥 • Khi đó bài toán trở thành thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái R cho đối tượng đối ngẫu. • Để hệ kín nhận 1 = 2 = -10 làm điểm cực thì det ( sI-AT+CTR)=(s+10)2 Cân bằng các hệ số ta có hệ: ቊ 𝑟1 + 5 = 20 5𝑟1 + 𝑟2 + 3 = 100 ⟺ ቊ 𝑟1 = 15 𝑟2 = 22 Vậy R=(15 , 22) suy ra bộ quan sát L=RT= 15 22 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 34 Det 𝑠 + 𝑟1 𝑟2 + 3 −1 𝑠 + 5 =(𝑠 + 𝑟1 ) 𝑠 + 5 + 𝑟2 + 3 = 𝑠 2+ 𝑟1 + 5 𝑠 + 5𝑟1 + 𝑟2 + 3 = 𝑠2 + 20𝑠 + 100 Ví dụ Tại sao cần bộ điều khiển phản hồi đầu ra? • Dùng bộ điều khiển phản hồi trạng thái thì cần phải đo tín hiệu trạng thái> Tuy nhiên trong thực tế nhiều trạng thái không đo được. Còn tín hiệu đầu ra luôn đo được. • Đó là bài toán tìm bộ điều khiển R phản hồi đầu ra cho đối tượng: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 35 3.3.3. Bộ điều khiển phản hồi đầu ra dx Ax Bu dt y Cx  = +   =  ( ) dx A BR x Bw dt y Cx  = − +   =  trong đó ARnn, BRnm, CRrn sao cho hệ kín thu được với mô hình: có được các điểm cực là những giá trị cho trước.1, , ns s 3.3.3. Bộ điều khiển phản hồi đầu ra • Sử dụng thêm bộ quan sát trạng thái cùng với bộ điều khiển phản hồi trạng thái để có điều khiển phản hồi đầu ra. • Sơ đồ cấu trúc 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 36 • Sử dụng bộ quan sát Luenberger ta có sơ đồ cấu trúc 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 37 Thường chọn giá trị riêng của A-LC xa trục ảo hơn rất nhiều so với giá trị riêng A-BR +Nguyên lý tách • Mô hình trạng thái của hệ kín • Hệ kín là ổn định khi và chỉ khi A -BR và A -LC ổn định • Đa thức đặc tính của hệ kín: Ak(s) = det(sI-(A-BR)).det(sI-(A-LC)) • Ở hệ tuyến tính việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra có thể tách thành hai bài toán riêng: thiết kế bộ quan sát trạng thái L và thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái R 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 38