Bài giảng Đồ họa hiện thực ảo - Bài 4, Phần 1: Các phép biến đổi đồ họa - Lê Tấn Hưng

(c) SE/FIT/HUT 2002 1 Bài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ Affine Transformations Le Tan Hung Email: hunglt@it-hut.edu.vn I KHái niệm cơ bản II Các phép biến đổi III Hệ tọa độ đồng nhất (c) SE/FIT/HUT 2002 2 Mô hình hoá - Modelling „ mô hình - model : „ Modeling - Mô hình hoá „ Thực thể cơ sở - primitives „ như circles, lines polygons hay cubes „ Cảnh - A scene „ mô hình hoá cảnh - Scene Modeling object A scene with several instances of the object (c) SE/FIT/HUT 2002 Ví dụ „ At each frame of the animation, the object is transformed, in this case by a rotation. It could also be transformed by changing its size (scaling), or its shape (deforming), or its location (translation). „ Further animation effects can be achieved by not changing the object, but the way it is viewed (i.e. the window to viewport transformation) at each frame (e.g. by zooming). (c) SE/FIT/HUT 2002 4 Phép biến đổi - Transformations „ Trong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: modeling, rendering, displaying „ Với Modeling: „ Phép biến đổi - Transformation „ Biến đổi mô hình hoá - Modeling transformations „ Biến đổi tạo góc nhìn - Viewing transformations „ Biến đổi tạo Hoạt cảnh - Animation modeling coordinate Modeling transformation Viewing transformation world coordinate viewing coordinate (eye coordinate) (c) SE/FIT/HUT 2002 5 Transformations - Modeling world (c) SE/FIT/HUT 2002 6 Viewing Transformations - Viewing „ Viewing „ Transformations - Viewing „ Trong phép biến đổi này : „ Một mô hình có thể quan sát trên các góc cạnh khác nhau (e.g. faraway, near, looking down, looking up) WORLD OBJECT CAMERA (c) SE/FIT/HUT 2002 7 Phép biến đổi Affine Affine Transformations? „ Phép biến đổi Affine „ Ví dụ: phép biến đổi tọa độ với chỉ 2 điểm đầu cuối của đoạn thẳng tạo thành 2 điểm mới mà khi nối chúng với nhau tạo thành đoạn thẳng mới. „ Các điểm nằm trên đoạn thẳng sẽ có kết quả là điểm nằm trên đoạn thẳng mới với cùng phép biến đổi thông qua phép nội suy. (c) SE/FIT/HUT 2002 Phân loại - Transformations „ Có 2 cách nhìn trên phép biến đổi „ Object Transformation: „ Coordinate Transformation „ Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng về bản chất tương đồng nhau 1,1 .4, 2 Example: OBJECT TRANSFORMATION (1,1) (1,1) Example: COORDINATE TRANSFORMATION (c) SE/FIT/HUT 2002 9 Modeling Transformations Transform objects/points Transform coordinate system (c) SE/FIT/HUT 2002 2D Object Transformations „ A 2D object transformation alters each point P into a new point Q using a specific formula or algorithm. „ It therefore alters the co-ordinates of P (Px,Py) into new values which specify point Q (Qx,Qy) „ This can be expressed using some function T, that maps co-ordinate pairs into co-ordinate pairs: (c) SE/FIT/HUT 2002 Matrix Representation „ If affine transformation T maps P onto Q, then Q is related to P as follows: „ „ „ where a, b, c, d, tx and ty are all constants, and ad = bc „ This gives rise to the following matrix representation: „ i.e.    +       =    y x y x y x t t P P dc ba Q Q (c) SE/FIT/HUT 2002 12 Các phép biến đổi hình học hai chiều „ Phương pháp biểu diễn đối tượng P = [ x y ] „ Phép biến đổi vị trí điểm „ Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽ đúng trên toàn bộ đối tượng   = dc ba T y x z pM pW (c) SE/FIT/HUT 2002 13 Phép biến đổi „ Phép bất biến „ Phép biến đổi tỉ lệ - Scaling „ A scaling changes the size of an object with two scale factors, Sx and Sy „ Phép biến dạng „ A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x or in the y direction xz y (c) SE/FIT/HUT 2002 14 Phép quay- Rotation y ( x, y ) xα ρθ ρ ( x’, y’ ) (c) SE/FIT/HUT 2002 15 Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi Affine Transformations „ Preservation of lines: „ Affine transformations map lines to lines; „ Preservation of parallelism „ Preservation of proportional distances „ Affine transformations change volume by | Det(M) |; (c) SE/FIT/HUT 2002 Kết hợp các phép biến đổi Composition of Affine Transforms „ Any affine transformation can be decomposed into elementary transformations. „ Mọi phép biến đổi phức tạp đều có thể tạo thành từ các phép biến đổi cơ sở như: „ Dịch chuyển - Translation „ Tỉ lệ - Scaling „ Quay- Rotation „ Biến dạng - Shearing (c) SE/FIT/HUT 2002 Affine transformations preserve affine combinations „ It is rare that we want to perform just one elementary transformation. „ Usually an application requires that we build a complex transformation out of several elementary ones „ e.g. translate an object, rotate it, and scale it, all in one move „ These individual transformations combine into one overall transformation „ This is called the composition of transformations. „ The composition of two or more affine transformations is also an affine transformation (c) SE/FIT/HUT 2002 18 Thuộc tính „ Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo thành phép biến đổi cho đối tượng „ We have defined each transformation by their effects on single points „ In practice these will be applied to multiple points to transfer entire scenes or objects made up of many defining points T (c) SE/FIT/HUT 2002 Điểm gốc - Pivotal points Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling „ The simple versions of rotation and scaling have been based around the origin. „ This means that when we rotate or scale, the object will also move, with respect to the origin „ Translate all points through (-c1,-c2) „ Rotate all points about the origin by „ Translate all points back through (c1,c2) (c1,c2) (0,0) (c) SE/FIT/HUT 2002 Pivotal points „ Often we wish to rotate or scale with respect to some pivotal point, not the origin „ Most significantly, we often wish to rotate or scale an object about its centre, or midpoint „ In this way, the object’s location does not change „ To do this, we relate the rotation or scaling about the pivotal point V, to an elementary rotation or scaling about the origin „ We first translate all points so that V coincides with the origin „ We then rotate or about the origin „ then all points are translated back, so that V is restored to its original location (c) SE/FIT/HUT 2002 Hệ toạ độ đồng nhất „ Vấn đề gặp phải: „ An affine transformation is composed of a linear transformation followed by a translation „ Unfortunately, the translation portion is not a matrix multiplication but must instead be added as an extra term, or vector „ What we need is a “trick”, so that translations can be represented in matrix multiplication form „ This then means that they can be easily composed with other transformations, by simply multiplying the matrices together (c) SE/FIT/HUT 2002 22 Tọa độ đồng nhất Homogeneous Transform „ x' = ax + by + n „ y' = bx + dy + m „ Phương pháp biểu diễn mở rộng thông qua tọa độ đồng nhất của các vector vị trí „ Với ứng dụng của phép chiếu hình học mà ở đó tọa độ điểm được mô tả dưới ma trận [ x* y* h] „ với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là một số thực tuỳ ý (c) SE/FIT/HUT 2002 23 Ưu điểm của Hệ tọa độ đồng nhất Homogeneous Transform „ Ðưa ra cái nhìn hợp nhất của các phép biến đổi dưới phép nhân ma trận, hỗ trợ cho việc xử lý bằng cả phần cứng và phần mềm „ Kết hợp các các phép biến đổi tạo thành ma trận tích đơn giản duy nhất. Tránh nhầm lẫn về thứ tự của các phép nhân khi sử dụng. „ Order matters: AB is generally not the same as BA „ Cho phép kết hợp với cả các phép biến đổi đặc biệt không tuyến tính khác(non-affine) như: „ Phép chiếu phối cảnh - Perspective projections! „ Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v (c) SE/FIT/HUT 2002 24 Phép biến đổi với tọa độ đồng nhất „ Ma trận biến đổi đồng nhất „ Phép tịnh tiến         = 1 0 0 ][ nm dc ba T ]1[ 1 010 001 ]1[]1''[ nymx nm yxyx ++=         = (tx, ty, tz) (c) SE/FIT/HUT 2002 25 Phép tỉ lệ ]12.1.[ 100 020 001 ]1[]1''[ SySxS S yxyx =         = (c) SE/FIT/HUT 2002 26 Phép quay y ( x, y ) xα ρθ ρ ( x’, y’ ) ]1cos.sin.sin.cos.[ φφφφ yxyx +−= (c) SE/FIT/HUT 2002 27 Phép biến đổi tổng hợp (c) SE/FIT/HUT 2002 28 Phép chuyển đổi (c) SE/FIT/HUT 2002 29 Windows and Viewports „ Mapping involves scaling and translation (moving). „ Both the world window and viewport can be any aligned rectangle. „ Usually the viewport is set to take up the entire screen window. (c) SE/FIT/HUT 2002 30 Phép biến đổi theo ma trận „ Ma trận chuyển vị theo Window „ Ma trận biến đổi tỉ lệ „ Ma trận chuyển vị theo tọa độ viewport           − −= 100 0 minmax minmax0 00 Xwmin-Xwmax Xvmin-Xvmax ]1[ YwYw YvYvS (c) SE/FIT/HUT 2002 31 Ma trận biến đổi tổng hợp của phép chuyển đổi tọa độ           − −−− − −= = 1 minmax minmaxminmin Xwmin-Xwmax Xvmin-Xvmaxminmin 0 minmax minmax0 00 Xwmin-Xwmax Xvmin-Xvmax ][ ]2[]1[]1[][ YwYw YvYvYwYvXwXv YwYw YvYvT TxSxTT (c) SE/FIT/HUT 2002 Coordinate Transforms (c) SE/FIT/HUT 2002 33 Coordinate Transforms (1,1) u’ v’ (1,1) u v x y Object defined in Local Coordinate System Object after transformation in Global Coordinate System (c) SE/FIT/HUT 2002 34 x y x y Identity as a Coordinate Transform P 100 010 001 Q         = (1,1) u v (1,1) u’ v’ (c) SE/FIT/HUT 2002 35 x y Translation x y P 100 10 01 Q         = ty tx (1,1) u v (1+tx,1+ty) u’ v’         =                 11 0 0 ty tx ty tx 100 10 01         + =                 1 1 1 0 1 ty tx ty tx 100 10 01         +=                 1 1 1 1 0 ty tx ty tx 100 10 01 origin (c) SE/FIT/HUT 2002 36 x y Rotation x y P 100 0 0 Q         − = θθ θθ cossin sincos (1,1) u v u’ v’         = 1 sin cos θ θ v        − = 1 cos sin θ θ u         = 1 0 0 O (c) SE/FIT/HUT 2002 37 x y Scaling x y P 100 0 0 Q         = sy sx 0 0 (1,1) u v (sx*1,sy*1) u v         = 1 0 0 O         = 1 0 syu         = 1 0 sx v (c) SE/FIT/HUT 2002 38 Composite Transformations         −− +−− = 100 sin)cos1(cossin sin)cos1(sincos 11 11 θθθθ θθθθ xy yx M x y x y (1,1) u v u’ v ’         −− +− 1 sin)cos1( sin)cos1( 11 11 θθ θθ yy yx         −−+ +−+ 1 sin)cos1(sin sin)cos1(cos 11 11 θθθ θθθ yy yx         −−+ +−+− 1 sin)cos1(cos sin)cos1(sin 11 11 θθθ θθθ yy yx O = v = u = (c) SE/FIT/HUT 2002 39 Modeling Transformations „ To make full use of the computational optimisation made possible by composite transforms, we only want to apply the transformations to points at the very end „ i.e. the transformation operation (multiplying point p by transform matrix is the very last thing we do in the modelling phase) Specify points in local coords Specify Transformations (composite if necessary) Send to Pipeline (c) SE/FIT/HUT 2002 40 + + =This of course shouldn’t mean all objects need to share the same transformations (c) SE/FIT/HUT 2002 41 + = + transform +transform + transform Obviously we want something more versatile