Bài giảng Đồ hoạ kỹ thuật

ộ xa âm : khi điểm A nằm phía sau П 1 . - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức : + Độ xa dương : A 2 nằm phía dưới trục x + Độ xa âm : A 2 nằm phía trên trục x * Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức là một cặp hình chiếu A 1 , A 2 . Ngược lại cho đồ thức A 1 A 2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian . Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyển Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu x A x A 2 Π 2 a) A A 1 A 2 A x x Π 1 Π 2 b) A 1 b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian , lấy ba mặt phẳng П 1’ П 2 ,П 3 vuông góc với nhau từng đôi một . + Gọi x là giao điểm của П 1 và П 2 (y = П 1 ∩П 2 ) + Gọi y là giao điểm của П 2 và П 3 (y = П 2 ∩П 3 ) + Gọi z là giao điểm của П 1 và П 3 (z = П 1 ∩П 3 ) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П 1 , П 2 và П 3 ta nhận được các hình chiếu A 1 , A 2 và A 3 - Cố định mặt phẳng П 1 , quay mặt phẳng П 2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П 3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a cho đến khi П 2 trùng với П 1 ,П 3 trùng với П 1 . Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu ( Hình 1.2.b) Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu b) A A 1 x A x A 2 a) A 2 Π 2 x A A 1 A x A 3 A 2 A y A z Π 1 Π 3 z y Π 1 Π 3 Π 2 A 3 z y y O A z A y A y O b) Các định nghĩa và tính chất Bổ xung thêm các định nghĩa và tính chất sau : - Mặt phẳng П 3 : mặt phẳng hình chiếu cạnh - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu - A 3 : hình chiếu cạnh của điểm A - Gọi - Trên đồ thức : + A 1 , A x , A 2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng + A 1 , A z , A 3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường dóng nằm ngang . Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu b) A A 1 x A x A 2 a) A 2 Π 2 x A A 1 A x A 3 A 2 A y A z Π 1 Π 3 z y Π 1 Π 3 Π 2 A 3 z y y O A z A y A y O b) Các định nghĩa và tính chất ( tiếp theo ) * Độ xa cạnh của một điểm - Ta có : gọi là độ xa cạnh của điểm A - Quy ước : + Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm phía bên trái П 3 + Độ xa cạnh âm : khi điểm A nằm phía bên phải П 3 . - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức : + Độ xa cạnh dương : A 3 nằm phía bên phải trục x + Độ xa cạnh âm : A 3 nằm phía bên trái trục x Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu b) A A 1 x A x A 2 a) A 2 Π 2 x A A 1 A x A 3 A y A z Π 1 Π 3 z y Π 1 Π 3 Π 2 A 3 z y y O A z A y A y O A 2 2.1.2 Một số định nghĩa khác 2.1.2.1– Góc phần tư - Hai mặt phẳng hình chiếu П 1 , П 2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần , mỗi phần được gọi là một góc phần tư . + Phần không gian phía trước П 1 , trên П 2 được gọi là góc phần tư thứ nhất . (I) + Phần không gian phía sau П 1 , trên П 2 được gọi là góc phần tư thứ hai . (II) + Phần không gian phía sau П 1 , dưới П 2 được gọi là góc phần tư thứ ba . (III) + Phần không gian phía trước П 1 , dưới П 2 được gọi là góc phần tư thứ tư . (IV) Ví dụ : Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV A 2 Π 1 Π 2 ( I ) ( IV ) ( III ) ( II ) x A 2 A 1 Π 2 Π 1 Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV B 2 B 1 C 1 C 2 D 2 D 1 2.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt phẳng phân giác + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1) + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2) Ví dụ : Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV) Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II A 2 Π 1 Π 2 ( I ) ( IV ) ( III ) ( II ) x A 2 A 1 Π 2 Π 1 Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2) (Pg1) (Pg2) B 1 B 2 C 1 =D 2 D 1 =C 2 x A x B x C x D x 2.1.3- Ví dụ : Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán : Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm , tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức . Ví dụ : Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức x(+) A x A 2 A 3 z(+) y(+) O A z A y A y A 1 Δ Δ’ y(+) x(+) B x B 2 B 3 z(+) y(+) O B z B y B y B 1 Δ Δ’ x(+) C x C 1 C 3 z(+) y(+) O C z C y C y C 2 Δ Δ’ x(+) D x D 2 D 3 z(+) y(+) O D z D y D y D 1 Δ Δ’ y(+) x(+) E x =E 2 E 3 z(+) y(+) O E z = E y E 1 Δ Δ’ a) d) c) e) b) y(+) y(+) y(+) B y E y 2.2 - Đường thẳng 2.2.1 Bi ểu diễn đường thẳng Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó . Ví dụ : Cho đồ thức của đường thẳng l ; - l 1 đi qua A 1 B 1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l - l 2 đi qua A 2 B 2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng l Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng A 1 B 1 l 1 l 2 B 2 A 2 B A 1 B 2 Π 1 Π 2 A x A 2 B 1 l 1 l 2 l Chú ý: Nếu từ hình chiếu l 1 và l 2 của đường thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển , khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l 2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng 1- Đường thẳng không song song với Π 3 Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π 3 là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng . Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng A 1 l 1 l 2 A 2 A 1 Π 1 Π 2 A x A 2 l 1 l 2 l x 2- Đường thẳng song song với Π 3 ( đường cạnh ) Vấn đề đặt ra : Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không ? ( Hình 2.11) Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh . Nếu : Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh y x Q 2 P 3 z y Q 3 P 1 O P 2 I 1 I 3 I 2 Q 1 Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng . Nếu : Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh - Qua P 1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P 1 Q 1 một góc α tùy ý ( nên lấy α<90 o ). - Trên t lấy : - Vẽ x Q 2 P 1 P 2 I 1 I 2 I’ 1 Q 1 t α - Nếu thì tỉ số đơn khác nhau - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau 2.2.3- Vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu ( Hình 2.12) - Vết đứng : ký hiệu M, M≡ l ∩ П 1 Þ M 1 Î l 1 , M 2 Î x - Vết bằng : ký hiệu N, N≡ l ∩ П 2 Þ N 1 Î x , N 2 Î l 2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng N 1 M 2 Π 1 Π 2 x N 2 M 1 l 1 l 2 l N 1 l 1 l 2 x M 1 N 2 M 2 Ví dụ : Hãy xác định vết của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13) Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng Giải : * Tìm vết M, N của đường thẳng l: M 2 Î x Þ M 2 ≡ l 2 ∩x Þ M 1 Î l 1 N 1 Î x Þ N 1 ≡ l 1 ∩x Þ N 2 Î l 2 * Xét l đi qua góc phần tư nào ? - Xét A Î MN: A có độ cao dương , độ xa âm Þ A thuộc góc phần tư thứ II Þ l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét B Î MN: B có độ cao âm , độ xa âm ; Þ B thuộc góc phần tư thứ III Þ l đi qua góc phần tư thứ III - Xét C Î MN : C có độ cao dương , độ xa dương ; Þ C thuộc góc phần tư thứ I Þ l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy , đường thẳng l đi qua các góc I, II, III N 1 l 1 l 2 x M 1 N 2 M 2 B 1 B 2 Góc(I ) Góc (II) Góc (III) A 2 A 1 C 2 C 1 2.3- Mặt phẳng 2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng A 1 l 1 l 2 A 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng I 1 b 1 b 2 I 2 a 1 a 2 d 1 d 2 c 1 c 2 a) d) c) b) Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác . Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng 2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhau a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức : các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau , các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng . ( Hình 2.14) Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau I 1 a 1 a 2 I 2 x b 1 b 2 b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra : Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn : l 1 ∩P 1 Q 1 ≡ I 1 l 2 ∩P 2 Q 2 ≡ I 2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không ? ( Hình 2.15) Giải : Ta có : I Î l Þ PQ∩ l Û I Î PQ Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau ( một trong hai đường thẳng là đường cạnh ) x Q 2 P 1 P 2 I 1 I 2 I’ 1 Q 1 t α l 1 l 2 2.3.1.2- Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa : Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào . b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức * Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song . ( Hình 2.16) Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnh a 1 a 2 x b 1 b 2 2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng ( bài toán liên thuộc ) 2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1 Cho mặt phẳng α(a,b ), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó . Biết hình chiếu đứng l 1 , tìm hình chiếu bằng l 2 ( Hình 3.11) Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1 I 1 b 1 b 2 I 2 a 1 1 2 l 1 l 2 1 1 2 1 a 2 2 2 b 1 b 2 I 2 a 1 1 2 l’ 1 l’ 2 2 1 a 2 2 2 a) l 1 cắt cả hai đường a 1 b 1 - Dựa vào các điểm 1 ( 1 1 , 1 2 ); 2 ( 2 1 , 2 2 ) b 1 b 2 I 2 a 1 1 2 l 1 l 2 1 1 a 2 I 1 I 1 1 1 K 2 K 1 b) l 1 đi qua I 1 - Dùng đường thẳng l’ ( l’ 1 , l’ 2 ) K Î l’ → l qua IK c) l 1 song song với một trong hai đường a 1 b 1 - VD: l 1 // b 1 - Dựa vào điểm 1 ( 1 1 ,1 2 ) l 2 đi qua 1 2 , l 2 // b 2 l 1 l 2 Ví dụ 1: Mặt phẳng α( m α , n α ) . Biết l 1 , tìm l 2 ( Hình 3.12) Giải : - Lấy M 1 ≡ l 1 ∩ m α → M 2 Î x - Lấy N 1 ≡ l 1 ∩ x → M 2 Î n α - l 2 qua M 2 và N 2 là đường thẳng cần tìm Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1 M 2 l 1 l 2 M 1 N 1 N 2 m α n α x Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng - Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng ( α ) cho bởi vết 2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b ), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó . Biết hình chiếu đứng K 1 , tìm hình chiếu bằng K 2 . ( Hình 3.13) Giải : - Gắn điểm K vào một đường thẳng l Î ( α ) - Khi đó l 1 qua K 1 . Tìm l 2 ? ( bài toán cơ bản 1) - K 2 Î l 2 ( Điểm thuộc đường thẳng ) Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2 b 1 b 2 I 2 a 1 1 2 l 1 l 2 2 1 a 2 2 2 I 1 1 1 K 2 K 1 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(m α , n α ). Điểm K thuộc (α). Biết K 1 , tìm K 2 ( Hình 3.14) Giải : - Gắn K vào đường thẳng a Î ( α ) → a 1 qua K 1 . Tìm K 2 ? - K 2 Î a 2 Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2 α x a 1 a 2 M 1 M 2 N 1 N 2 x K 1 K 2 Chú ý: Trong hai bài toán cơ bản trên , nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm , tìm hình chiếu đứng của chúng , ta cũng làm tương tự m α n α 2.3.3- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đo ́ với các mặt phẳng hình chiếu Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П 1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П 2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П 3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó . Ví dụ : Mặt phẳng (α) → - Vết đứng : m α - Vết bằng : n α - Vết cạch : p α x Π 1 Π 3 y Π 2 p m n z x z y O m=m 1 p=p 3 n=n 2 m 2 =n 1 =p 2 p 1 Hình 3.2. Vết của mặt phẳng O y m α n α p α α - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó . Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại α x Î x ( Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x ( Hình 3.3c) - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m 1 , m 2 và n 1 ,n 2 ( Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu m α , n α ( Hình 3.3b,c) x m 1 n 2 x m α n α α x x m α n α a) c) b) Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức α x m 2 =n 1 =x Ví dụ : Xác định vết của mặt phẳng α ( a,b ) được cho trên đồ thức , a cắt b tại I. ( Hình 3.4) Hình 3.4. Ví dụ tìm vết của một mặt phẳng α x m α a 2 b 1 a 1 b 2 M’ 1 M 1 M’ 2 M 2 I 1 I 2 N 1 N 2 N’ 1 N’ 2 x Giải : - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b. + Tìm vết đứng M(M 1 ,M 2 ) của đường thẳng a + Tìm vết đứng M’(M’ 1 ,M’ 2 ) của đường thẳng b m α đi qua M 1 , M’ 1 + m α ∩ x ≡ α x + Tìm vết bằng N(N 1 ,N 2 ) của a + Vết bằng n α đi qua α x và N 2 n α Chú ý: Không cần tìm vết bằng N’(N’ 1 ,N’ 2 ) của đường thẳng b vì α x , N 2 , N’ 2 thẳng hàng 2.4- Mặt ( Mặt cong, đa diện ) 2.4.1 Biểu diễn đa diện m ặt cong Để biểu diễn một đa diện , trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó . Ví dụ : - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy . ( Hình 5.1.a) - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b) Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán , ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện , đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện . B 1 A 1 C 1 S 1 A 2 B 2 C 2 S 2 B 1 A 1 C 1 l 1 A 2 B 2 C 2 l 2 Hình 5.1. Biểu diễn đa diện a) b) Trên đồ thức , để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó . Ví dụ : - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón ) - Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh . Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài , ( các đường biên ), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó . O 1 S 1 S 2 O 1 l 1 l 2 O 2 O 2 Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong 2.4.2 Điểm thuộc mặt Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M 1 , N 1 , P 1 , Q 2 , tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó . ( Hình 5.2) Giải : * Tìm M 2 : Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N 1 : Gắn điểm N vào đường thẳng SA * Tìm P 2 : Gắn P vào đường thẳng song song với cạnh đáy của hình chóp . Ví dụ PJ: có P 2 và P’ 2 * Tìm Q 1 , ngược lại : Có thể gắn Q vào đường thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp . Lưu ý có một điểm Q’ 1 thuộc đáy chóp . B 1 A 1 C 1 A 2 C 2 S 1 B 2 E ≡E’ 1 N 1 N 2 J 2 J 1 Q 2 P 2 P 1 M’ 2 M 2 E’ 2 E 2 Q 1 Q’ 1 I 2 I 1 M 1 P’ 2 S 2 Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M 2 , N 2 . P 2 , Q 1 Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ . Biết M 1 , N 1 , P 1 , Q 2 , Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó . ( Hình 5.3) Giải : * Tìm M 2 : Ta gắn điểm M vào đường thẳng t song song với cạch bên của lăng trụ . * Tìm N 2 : Gắn điểm N vào đường thẳng a 1 * Tìm P 2 : Gắn P vào đường thẳng s ( s//a,b ). P Î b Þ P 1 Î b 1 * Tìm Q 1 , ngược lại : gắn Q vào đường thẳng k ( k//a,b ) B 1 A 1 C 1 A 2 B 2 C 2 N 1 N 2 P 2 P 1 P’ 2 M 2 M’ 2 M 1 G 2 G 1 H 1 H 2 Q 2 Q 1 Q’ 1 E 1 ≡E’ 1 E’ 2 E 2 B’ 2 Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M 2 , N 2 . P 2 , Q 1 a 1 b 1 k 1 k’ 1 c 1 t 1 k 2 t’ 2 t 2 s’ 2 ≡ s 1 b 2 c 2 a 2 ≡ s 2 Điểm thuộc mặt cong Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón . Biết M 1 , N 1 , P 1 , Q 2 , tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó . ( Hình 6.2) Giải : - Tìm M 2 : Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N 1 : Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P 2 : Vẽ đường tròn song song đáy chứa điểm P - Tìm Q 1 : Vẽ đường sinh SI chứa Q. Chú ý còn một điểm Q’ 1 ở đáy nón O 1 J 1 S 1 O 2 E 1 ≡E’ 1 N 1 N 2 J 2 K 1 Q 2 P 2 P 1 M’ 2 M 2 E’ 2 E 2 Q 1 Q’ 1 I 2 I 1 M 1 P’ 2 S 2 ≡ Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón . Tìm M 2 , N 2 , P 2 , Q 1 K 2 Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ . Biết M 1 , N 1 , P 2 , Q 2 , tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3) . O 1 J 1 T 1 J 2 T’ 2 N 1 P 2 P 1 M 2 M’ 2 M 1 G 2 G 1 H 1 H 2 Q 2 Q 1 E’ 2 E 2 T 2 Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ . Tìm M 2 , N 2 , P 1 , Q 1 Giải : - Tìm M 2 : qua M 1 vẽ đường sinh a 1 . Chân đường sinh : E 1 , E’ 1 . Trên hình chiếu bằng có E 2 , E’ 2 . Qua E 2 , E’ 2 vẽ các đường sinh a 2 , a’ 2 . M 2 Î a 2 , M’ 2 Î a’ 2 - Tìm N 2 : Gắn N vào đường sinh s. N 1 Î s 1 , N 2 Î s 2 . - Tìm P 1 : Ngược lại cách tìm M 2 - Tìm Q 1 : Qua O 2 vẽ đường thẳng O 2 T 2 O 2 T 2 ^ l 2 . Từ T 1 vẽ đường sinh l 1 Þ Q 1 Î l 1 Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ là hình tròn , ta có thể gắn các điểm vào đường tròn song song đáy trụ N 2 P’ 1 E 1 ≡E’ 1 s 1 s 2 a 1 a’ 2 a 2 k’ 1 k 1 k 2 l 1 l 2 O 2 Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu . Biết M 1 , N 1 , P 1 , tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó . ( Hình 6.4) Giải : - Tìm M 2 : Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П 2 - Tìm N 2 , P 2 : Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu : N 1 Î (u 1 ) Þ N 2 Î (u 2 ) P 1 Î (v 1 ) Þ P 2 Î (v 2 ) * Nếu biếu M 2 , N 2 , P 2 , tìm M 1 , N 1 , P 1 ta làm tương tự . O 1 O 2 N 1 N 2 E 1 P 2 P 1 (u 1 ) M’ 2 M 2 E 2 M 1 P’ 2 (u 2 ) (v 1 ) (v 2 ) Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu . Tìm M 2 , N 2 , P 2 ? 2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt ( đối với mặt phẳng hình chiếu ) 2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu 2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức ( là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu ) a) Đường bằng * Định nghĩa : Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . B A 1 Π 1 A x B 1 B 2 x A 1 B 1 h 1 h A 2 h 1 h 2   * Tính chất : - Hình chiếu đứng h 1 //x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A 2 B 2 =AB - Góc h 2 ,x = h, П 1 = α Hình 2.2. Đường bằng Π 2 A 2 h 2  B 2 b) Đường mặt * Định nghĩa : Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ : CD// П 1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng f 2 //x - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C 1 D 1 =CD - Góc f 1 ,x = f, П 2 = β Hình 2.3. Đường mặt D C 1 Π 1 x D 1 D 2 x C 1 D 1 f 1 f C 2 f 1 f 2 β Π 2 C 2 f 2 β D 2 β C c) Đường cạnh * Định nghĩa : Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 . * Tính chất : - p 1 và p 2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E 3 F 3 =EF - Góc p 3 ,z = p, П 1 = α - Góc p 3 ,y = p, П 2 = β Hình 2.4. Đường cạnh A 2 Π 2 x E F 2 F 1 F 3 E 3 Π 1 Π 3 z y O F α β x F 2 E 3 z y F 3 E 1 y p 1 p p 2 E 2 E 1 A x O F 1 p 1 p 2 E 2 α β p 3 p 3 α β Hình 2.4. Đường cạnh A 2 x F 3 E 3 Π 1 Π 3 z y O F α β x F 2 E 3 z y F 3 E 1 y A x O F 1 p 1 p 2 E2 1 α β p 3 p 3 Π 2 E F 2 F 1 p 1 p p 2 E 2 E 1 Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p 1 , p 2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian . Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt . Ví dụ : Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất . ( Hình 2.4) 2.5.1.2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu ) a) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa : Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . Ví dụ : Mặt phẳng (α)//П 2 * Tính chất : Π 1 x B 1 B 2 x A 1 A 2 C 2 Hình 3.8. Mặt phẳng bằng B A 1 A B 1  Π 2 A 2 C B 2 C 1 m α m α C 1 C 2 Chú ý: (α)//П 2 do đó (α) П 1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng α 1 b) Mặt phẳng mặt * Định nghĩa : Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ : Mặt phẳng ( β )// П 1 * Tính chất : Hình 3.9. Mặt phẳng mặt Π 1 x C 1 C 2 x A 1 A 2 C A 1 C 1 Π 2 A 2 β B 2 A B B 1 C 2 B 1 B 2 n β n β Chú ý: ( β )//П 1 do đó ( β ) П 2 , cho nên ( β ) cũng là mặt phẳng chiếu bằng β 2 c) Mặt phẳng cạnh * Định nghĩa : Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 . Ví dụ : Mặt phẳng (γ)// П 3 * Tính chất : Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh x Π 1 Π 3 y A 3 B 3 z O p 3 Π 2 B C 2 A 1 p B 2 B 1 A A 2 C C 1 C 3 γ m γ n γ m γ n γ x A 2 B 3 y A 3 B 1 O A 1 C 2 E 2 C 3 C 1 y z (γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng Chú ý: 2.5.2.- Các đối tượng chiếu 2.5.2.1Các đường thẳng chiếu a) Đường thẳng chiếu đứng * Định nghĩa : là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ : B A 1 Π 1 A x ≡ B 1 B 2 x A 1 =B 1 A 2 * Tính chất : - Hình chiếu đứng của AB là một điểm A 1 ≡ B 1 - Hình chiếu bằng - A 2 B 2 =AB Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng Π 2 A 2 B 2 b) Đường thẳng chiếu bằng * Định nghĩa : là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . Ví dụ : D C 1 Π 1 C x ≡D 2 D 1 x C 2 D 1 C 1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng của CD là một điểm C 2 ≡ D 2 - Hình chiếu đứng - C 1 D 1 =CD Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng Π 2 C 2 ≡D 2 c) Đường thẳng chiếu cạnh * Định nghĩa : là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 . * Tính chất : - Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E 3 ≡ F 3 - E 2 F 2 //E 1 F 1 //x - E 1 F 1 =E 2 F 2 =EF Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh Π 2 x E F 2 F 1 ≡ F 3 E 3 Π 1 Π 3 z y O F x F 2 E 3 z y ≡ F 3 E 1 E 2 E 1 O F 1 E 2 * Tính chất : - Vết bằng - - m α , x = (α) , П 2 = φ ( Hình 3.5) 2.5.2.2- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu ) a) Mặt phẳng chiếu đứng * Định nghĩa : Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ : Mặt phẳng Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng Π 1 x C 1 C 2 x A 1 A 2 φ C A 1 C 1 m α Π 2 φ A B n α B 1 B 2 B 1 m α n α α x α 1 Chú ý: m α là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên thường thay m α bởi α 1 b) Mặt phẳng chiếu bằng * Định nghĩa : Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . Ví dụ : Mặt phẳng Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng * Tính chất : - Vết đứng - - n β , x = (β) , П 1 = φ ( Hình 3.6) Π 1 x C 1 C 2 x A 1 A 2 C A B h 1 Π 2 A 2 n β φ C 2 B 2 m β B 1 B 2 n β φ m β β x β 2 Chú ý: n β là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay n β bởi β 2 c) Mặt phẳng chiếu cạnh * Định nghĩa : Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 . Ví dụ : Mặt phẳng * Tính chất : x C 3 Π 1 Π 3 z y x A 3 z C 3 A 1 C 1 O B 1 α β p γ A 3 O B 3 α β p γ Π 2 A C B m γ n γ m γ n γ B 3 y y Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh γ 2.5.3- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc 2.5.3.1- Định nghĩa Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng . ( Hình 3.38.a) 2.5.3.2- Định lý Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng . ( Hình 3.38.b) 2.5.3.3- Chuyển sang đồ thức - Dựa vào định lý , ta chọn hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng là đường đồng mức ( đường bằng , đường mặt , đường cạnh ) - Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà cho bởi vết đứng , vết bằng , thì ta dùng hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó . Hình 3.38. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc α β a a l b O l a) b) * Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông ( Hình 2.20) - Cho mặt phẳng П và góc xOy , x’O’y ’ là hình chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П. - Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn : Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông O’ y’ O x’ x y a) П 4- Ví dụ : Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC ), I(I 1 , I 2 ). Tìm hình chiếu vuông góc H(H 1 , H 2 ) của điểm I lên mặt phẳng ( α).(Hình 3.39) Giải : - Vẽ đường bằng Ah (A 1 h 1 , A 2 h 2 ) - Vẽ đường mặt Cf (C 1 f 1 , C 2 f 2 ) - Qua I vẽ l ^ α(ABC ): + Vẽ I 1 l 1 ^ C 1 f 1 + Vẽ I 2 l 2 ^ A 2 h 2 - Tìm H(H 1 , H 2 ) ≡ l ∩ α(ABC ) ( Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ) Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng α(ABC ) h 1 A 1 B 1 A 2 C 2 B 2 C 1 1 1 ≡ φ 1 l 1 I 1 I 2 l 2 g 2 ≡ g 1 h 2 D 1 D 2 E 2 E 1 H 1 H 2 2 1 2 2 1 2 f 1 f 2 Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H 1 , H 2 ) của điểm I lên mặt phẳng (α). Ví dụ 2 : Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I 1 , I 2 ) đến mặt phẳng α(m α , n α ) được cho trên đồ thức . ( Hình 3.40) Giải : - Qua I vẽ đường thẳng l ^ α(m α , n α ) : + Vẽ I 1 l 1 ^ m α + Vẽ I 2 l 2 ^ n α - Tìm H(H 1 , H 2 ) ≡ l ∩ α(m α , n α ) - Tìm độ lớn thật của IH Ta có : H 1 I là độ lớn thật khoảng cách từ I đến α(m α , n α ) x N 1 N 2 M 2 M 1 g 2 H 1 H 2 l 2 m α n α I 1 I 2 Δy ĐLT: IH Δy Hình 3.40. Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I 1 , I 2 ) đến mặt phẳng α(m α , n α ) ≡ φ 1 l 1 ≡ g 1 Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(m α ,n α ). Đường thẳng a(a 1 ,a 2 ). Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α). ( Hình 3.41) Định lý : Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia . Áp dụng : - Trên đường thẳng a lấy điểm I - Vẽ đường thẳng Ib ^ α(m α , n α ) - β(a,b ) là mặt phẳng qua a và β(a,b ) ^ α(m α , n α ) x b 2 m α n α I 1 I 2 b 1 a 2 a 1 Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α) Chương 3 Thay mặt phẳng hình chiếu Các bài toán về lượng Đặt vấn đề : Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán . Dưới đây là một số phương pháp biến đổi . 3.1- Thay mặt phẳng hình chiếu 3.1.1- Thay một mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П 1 thành mặt phẳng П’ 1 Điều kiện : * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu : - Gọi x’ ≡ П’ 1 ∩П 2 là trục hình chiếu mới . - Giả sử điểm A trong hệ thống (П 1 , П 2 ) có hình chiếu là (A 1 , A 2 ). - Chiếu vuông góc điểm A lên П’ 1 ta có hình chiếu A’ 1 . Cố định П 2 xoay П’ 1 quanh trục x’cho đến khi П’ 1 ≡П 2 . ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống (П’ 1 , П 2 ), A’ 1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. * Tính chất : - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’ 1, П 2 ): Gọi A’ x ≡ A’ 1 A 2 ∩ x’ + A’ 1 , A’ x , A 2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’ x A’ 1 =A x A 1 ( Độ cao điểm A không thay đổi ) A 1 x A x A 2 x’ A’ 1 A’ x Π 1 Π 2 Π 2 Π’ 1 Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П 1 thành mặt phẳng П’ 1 a) b) x Π 1 Π 2 A 1 A’ 1 A 2 Π’ 1 A A’ 1 A’ x x’ A x Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A 1 B 1 ,A 2 ,B 2 ). Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П 2 Giải : Dựa vào tính chất của đường mặt AB đã cho ở vị trí bất kỳ . Thay П 1 thành П’ 1 sao cho trong hệ thống mới (П’ 1 , П 2 ) đoạn thẳng AB là đường mặt . Khi đó hình chiếu đứng mới A’ 1 B’ 1 là độ lớn thật của AB và A’ 1 B’ 1 ,x’ = φ là góc giữa AB với П 2 . Để thực hiện : + Chọn x’//A 2 B 2 + Tìm A’ 1 B’ 1 ( dựa vào tính chất ) Chú ý : Độ cao các điểm A’ 1 , B’ 1 A 1 x A x A 2 x’ A’ 1 A’ x Π 1 Π 2 Π 2 Π’ 1 B 1 B 2 B’ 1 B’ x B x φ ĐLT: AB Hình 4.2. Ví dụ : Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П 2 b) Thay mặt phẳng П 2 thành mặt phẳng П’ 2 Điều kiện : Cách xây dựng như thay П 1 thành П’ 1 * Bài toán : Cho điểm A (A 1 ,A 2 ). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П 2 thành П’ 2 biết trước trục x’ là giao của П’ 2 với П 1 . ( Hình 4.3) * Tính chất : - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П 1, П’ 2 ) + A 1 A’ x A’ 2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’ x A’ 2 =A x A 2 A 1 x A x A 2 Π 1 Π 2 x’ A’ 2 A’ x Π 1 Π’ 2 Hình 4.3. Thay mặt phẳng П 2 thành П’ 2 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức . ( Hình 4.4) Giải : Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng . - Thay mặt phẳng П 2 thành П’ 2 sao cho П’ 2 //(ABC) Muốn vậy , chọn trục hình chiếu x’// A 1 B 1 C 1 . Tìm A’ 2 B’ 2 C’ 2 ? - Kết quả ΔA’ 2 B’ 2 C’ 2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC. Π 1 Π 2 C 1 C 2 x A 2 B 2 B 1 A 1 x’ A’ 2 A’ x Π 1 Π’ 2 B’ 2 B’ x C’ 2 C’ x Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC A x B x C x 3.1.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П 1 thành mặt phẳng П’ 1 rồi thay П 2 thành П’ 2 Điều kiện : Bài toán : Cho điểm A (A 1 ,A 2 ). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П 1 thành П’ 1 rồi П 2 thành П’ 2 , biết trước trục x’ là giao của П 2 với П’ 1 , trục x” là giao của П’ 1 với П’ 2 . ( Hình 4.5) Giải : - Tìm A’ 1 : A’ 1 A 2 ^ x’ ; A’ x A’ 1 =A x A 1 - Tìm A’ 2 : A’ 2 A’ 1 ^ x” ; A’ x A” 2 =A x A’ 2 A 1 Hình 4.5. Thay mặt phẳng П 1 thành П’ 1 rồi thay П 2 thành П’ 2 Chú ý: Không được nhầm độ xa A x A 2 với A’ x A 2 A 1 x A x A 2 x’ A’ 1 A’ x Π 1 Π 2 Π 2 Π’ 1 x’’ A’ 2 A” x Π’ 2 Π’ 1 Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A 1 B 1 ,A 2 B 2 ). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới.(Hình 4.6) Giải : Thay П 1 thành П’ 1 để trong hệ thống (П’ 1 ,П 2 ), AB là đường mặt . + Muốn vậy , chọn trục x’//A 2 B 2 . + Tìm A’ 1 B’ 1 ? ( Độ cao điểm A âm ) Thay П 2 thành П’ 2 để trong hệ thống (П’ 1 ,П’ 2 ), AB là đường thẳng chiếu bằng . + Muốn vậy , chọn trục x” ^ A’ 1 B’ 1 . + Tìm A’ 2 B’ 2 ? (A’ 2 ≡B’ 2 vì có độ xa bằng nhau , AB chiếu bằng ) A 1 x A x A 2 x’ A’ x Π 1 Π 2 Π 2 Π’ 1 B 1 B 2 B’ 1 B’ x B x Π’ 1 Π’ 2 x’’ A” x ≡ B” x A’ 2 ≡ B’ 2 Hình 4.6. Ví dụ 3 Độ cao âm A’ 1 b) Thay mặt phẳng П 2 thành mặt phẳng П’ 2 rồi thay П 1 thành П’ 1 Điều kiện : Thực hiện phép thay tương tự như mục a) Bài toán : Cho điểm A (A 1 ,A 2 ). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П 2 thành П’ 2 rồi П 1 thành П’ 1 , biết trước trục x’ là giao của П’ 2 với П 1 , trục x’’ là giao của П’ 1 với П’ 2 . ( Hình 4.7). Giải : Tìm A’ 2 : A 1 A’ 2 ^ x’ ; A’ x A’ 2 =A x A 2 Tìm A’ 1 : A’ 1 A’ 2 ^ x” ; A’’ x A’ 1 =A’ x A 1 A 1 x A x A 2 Π 1 Π 2 x’ A’ 2 A’ x Π 1 Π’ 2 x’’ A’ 1 A’’ x Π’ 1 Π’ 2 Chú ý: Không nhầm độ cao A 1 A’ x với A 1 A x Hình 4.7. Thay mặt phẳng П 2 thành П’ 2 rồi thay П 1 thành П’ 1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng , độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8) Giải : - Thay П 2 thành П’ 2 sao cho trong hệ thống (П 1 , П’ 2 ) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng . Muốn vậy , vẽ đường mặt Af . Chọn trục x’ ^ A 1 f 1 . Tìm A’ 2 B’ 2 C’ 2 ? - Thay П 1 thành П’ 1 sao cho trong hệ thống (П’ 1 , П’ 2 ) thì (ABC) là mặt phẳng mặt . Muốn vậy , chọn trục x’ // A’ 2 B’ 2 C’ 2 . Tìm A’ 1 B’ 1 C’ 1 ? - Ta có A’ 1 B’ 1 C’ 1 là hình dạng , độ lớn thật của tam giác ABC. Π 1 Π 2 C 1 C 2 x A 2 B 1 A 1 A’ 2 A’ x Π’ 2 Π’ 1 B’ 2 B’ x C’ 2 C’ x B 2 C’ 1 A’ 1 B’ 1 x’’ x’ B x C x A x B” x A” x C” x Π’ 2 Π 1 Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABC f 2 f 1 1 1 1 2 Chương 4 Giao của các đối tượng 4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng 4.1.1 Trường hợp đặc biệt a)Mặt phẳng cắt một đối tượng chiếu Nguyên tắc : Đã biết trước một hình chiếu của giao . Hình chiếu đã biết của giao nằm trên trên hình chiếu suy biến của đối tượng chiếu , hình chiếu còn lại tìm bằng bài toán liên thuộc Ví dụ 1 : Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) . Cho l vuông góc với П 1 , mặt phẳng α(a,b ). Giải : - l ^ П 1 Þ K 1 ≡ l 1 - Tìm K 2 đưa về bài toán cơ bản 1 ( điểm thuộc mặt phẳng ) Þ K 2 ≡ l’ 2 ∩l 2 l 2 a 2 l 1 x K 1 ≡ K 2 b 2 a 1 b 1 l’ 1 l’ 2 1 2 2 2 1 1 2 1 Ví dụ 2: Cho α(α 1 ) , β(ABC ) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Giải : - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g 1 ≡ α 1 - Để tìm g 2 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng A 1 B 1 A 2 C 2 B 2 C 1 1 2 1 1 2 1 2 2 g 1 ≡ g 2 α 1 Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(m α , n α ) với mặt trụ chiếu bằng được cho như trên hình 6.8. ( Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 ). Giải : Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp . Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến . + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V. + Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B. + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB. A 1 A 2 U 1 U 2 V 1 V 2 B 1 B 2 O 2 C 2 D 2 X 2 Y 2 X 1 Y 1 1 2 2 2 1 1 2 1 h 1 h 2 f 2 f 1 D 1 C 1 O 1 Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(m α , n α ) với mặt trụ chiếu bằng Hình 6.9. Giao của (α ) với trụ chiếu đứng trong không gian d 2 d 1 m α n α Π 2 n α Π 1 O 2 A B m α U V D O α d x C b- Mặt phẳng chiếu cắt các đối tượng Nguyên tắc chung : Đã biết trước một hình chiếu của giao . Hình chiếu biết trước của giao trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu . Ví dụ 1: Cho α(α 1 ) , β(β 2 ) ( Hình 3.24) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước . Giải : - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g 1 ≡ α 1 - (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g 2 ≡ β 1 β 2 α 1 g 1 g 2 x Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước . Ví dụ 2: Cho α(α 1 ) , β(β 1 ) ( Hình 3.25) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước . Giải : - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g 1 ≡ α 1 - (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g 1 ≡ β 1 - Ta có : g là đường thẳng chiếu đứng : + g 1 ≡ α 1 ∩ β 1 + g 2 ^ x β 1 α 1 g 1 g 2 x Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước . Cho α(α 1 ) , β(β 1 ) S 1 I 1 J 1 A 1 B 1 α 1 A 2 B 2 C 2 D 2 J 2 S 2 Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α 1 ) với mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp : Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường sinh của nón , giao tuyến là elíp (E) - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình chiếu đứng là đoạn A 1 B 1 . - A 2 B 2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng . - Lấy I 1 là trung điểm A 1 B 1 Þ I 2 là trung điểm của A 2 B 2 . I 2 là tâm đối xứng của elíp trên hình chiếu bằng . - C 1 ≡ D 1 , Tìm C 2 D 2 ( bài toán điểm thuộc mặt nón ). C 2 D 2 là trục ngắn của elíp (E). - Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác . Chú ý: S 2 là tiêu điểm của elíp (E 2 ) (E 1 ) X 1 X 2 X’ 2 K 1 K 2 C 1 ≡D 1 ≡ I 2 4.1.2 Trường hợp tổng quát Trường hợp tổng quát ta chưa biết được hình chiếu nào của giao . Muốn tìm giao ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ . a) Đường thẳng cắt mặt phẳng Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Giải : Dùng phương pháp mặt phẳng phụ : + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α) g l K α φ Chú ý: Áp dụng trên đồ thức , ta chọn mặt phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g Bài toán : Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Ví dụ 1: Cho l ( l 1 ,l 2 ), mặt phẳng α(ABC ). Giải : - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm được K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) - Xét cặp điểm đồng tia chiếu ( P 1 l ,P 2 l ) và ( P 1 BC , P 2 BC ): P 1 l Î l 1 ; P 1 BC Î B 1 C 1 ; P 2 l ≡ P 2 BC Trên hình chiếu đứng P 1 l cao hơn P 1 BC Þ trên hình chiếu bằng P 2 l thấy , P 2 BC khuất Þ P 2 l K 2 thấy . - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (1 1 ,1 2 ) (1 1 l ,1 2 l ) Trên hình chiếu bằng : 1 2 xa hơn 1 2 l Þ trên hình chiếu đứng : 1 1 thấy , 1 1 l khuất Þ 1 1 l K 1 khuất . A 1 B 1 A 2 C 2 B 2 C 1 1 2 1 1 2 1 2 2 φ 1 ≡ l 1 K 1 K 2 l 2 g 2 ≡ g 1 ≡ 1 1 l 1 2 l Ví dụ 2: Cho l ( l 1 ,l 2 ), mặt phẳng α(m α ,n α ). ( Hình 3.37) Giải : Dùng phương pháp mặt phẳng phụ : - Lấy (φ) chứa l (φ 1 ≡ l 1 ) - (φ) ∩ (α) ≡ g : g 1 ≡ φ 1 ≡ l 1 - Tìm g 2 ( Bài toán cơ bản 1) - Lấy K 2 ≡ l 2 ∩ g 2 K 1 Î l 1 Þ K(K 1 ,K 2 ) ≡ l ∩ (α) x l 1 N 1 N 2 M 2 M 1 g 2 K 1 K 2 l 2 m α n α Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l 1 ,l 2 ), α(m α ,n α ). Chú ý: Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng (φ 2 ≡ l 2 ) thì ta cũng làm tương tự . φ 1 ≡ ≡ g 1 b) Mặt phẳng cắt mặt phẳng Dùng phương pháp mặt phẳng phụ . ( Hình 3.29) Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau : - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi : k ≡ ( φ)∩(α ) l ≡ ( φ)∩(β ) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi : k’ ≡ ( φ’)∩(α ’) l’ ≡ ( φ’)∩(β ’) J’ ≡ k’∩l ’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β). Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β). Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụ Chú ý: ( φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu . Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k , l’//l α g l β k J φ k’ l’ φ’ J’ Giải : Ví dụ 3: Cho α(a,b ) , β(c,d ), a∩b =I, c//d . Tìm giao của hai mặt phẳng C 2 D 2 x C 1 d 1 d 2 c 2 c 1 D 1 A 1 B 1 E 1 F 1 a 1 b 1 a 2 b 2 A 2 B 2 E 2 F 2 J’ 1 (φ 1 ) (φ’ 1 ) J 1 J 2 J’ 2 Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b ) và β(c,d ) bằng phương pháp mặt phẳng phụ g 1 g 2 k 1 k 2 k’ 1 k’ 2 l 1 l 2 l’ 1 l’ 2 Bái toán : Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước . Ví dụ 4: Cho α(m α ,n α ) , β(m β ,n β ) . ( Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát , chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến . Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó Giải : - Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): + M 1 ≡ m α ∩m β Þ M 2 Î x + N 2 ≡ n α ∩n β Þ N 1 Î x - g 1 đi qua các điểm M 1 và N 1 - g 2 đi qua các điểm M 2 và N 2 Ta có g(g 1 ,g 2 ) ≡ α(m α ,n α ) ∩ β(m β ,n β ) x m α N 1 N 2 M 1 M 2 g 1 g 2 n α m β n β Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước . Cho α(m α ,n α ) , β(m β ,n β ) b) Mặt phẳng cắt đa diên , mặt cong ( Xem sách giáo khoa ) 4.2 Đường thẳng cắt mặt(mặt cong, đa diện ) 4.2.1 Trường hợp đặt biệt Nguyên tắc : Đã biết trước một hình chiếu của giao điểm , tìm hình chiếu còn lại nhờ bài toán điểm thuộc mặt hoặc điểm thuộc đường thẳng . Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l với mặt nón được cho như trên hình 6.10. Giải : - Vì l là đường thẳng chiếu bằng , do đó biết hình chiếu bằng I 2 ≡ K 2 ≡ l 2 - Tìm I 1 , K 1 : Bài toán điểm thuộc mặt nón l 1 O 1 S 1 S 2 O 2 T 1 T’ 1 H 2 ≡ G 2 l 2 H 1 G 1 I 1 K 1 ≡I 2 ≡K 2 A 1 B 1 C 1 B 2 C 2 A 2 K 1 K 2 I 1 I 2 D 2 D 1 Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) với lăng trụ chiếu đứng Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng vẽ . ( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П 1 ) Giải : Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng , do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I 1 , K 1 của giao điểm . Tìm I 2 K 2 : Bài toán điểm thuộc đường thẳng : I 2 , K 2 thuộc l 2 . Chú ý: Nhất thiết các đoạn I 1 K 1 , I 2 K 2 phải khuất . l 1 l 2 4.2.2 Trường hợp tổng quát a)Đường thẳng cắt đa diện Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l ( l 1 ,l 2 ) với hình chóp được cho trên đồ thức . Giải : Giả thiết đường thẳng l ( l 1 ,l 2 ) bất kỳ , đa diện là hình chóp , ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến , do đo phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ : ( Hình 5.10) - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123 - Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho . B 1 A 1 S 1 3 1 J 1 2 1 B 2 C 1 A 2 C 2 1 1 2 2 J 2 1 2 3 2 S 2 ≡ α 1 l 1 l 2 K 1 K 2 I 1 I 2 Chú ý: Mặt phẳng (α) được chọn là mặt phẳng chiếu . α l B A S 3 2 C 1 K I b)Đường thẳng cắt mặt cong * Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát Lập mặt phẳng phụ trợ α(S , k ) Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón tại 2. Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón tại 1. 12 cắt đáy nón tại hai điểm F, J . Nối SF, SJ cắt k tại I và I’. I, I’ là giao điểm cần tìm . * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón quá xa , ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k 1 S 2 K F J I I’ 1 S 2 K F J I I’ R k k α α Lập mặt phẳng phụ trợ α đi qua k và song song với trục của trụ . Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ tại 2. Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục của trụ , cắt mặt phẳng đáy trụ tại 1. 12 cắt đáy nón tại hai điểm F,J . Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt k tại I và I’. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ quá xa , ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k 1 O 2 K F J I I’ a) b) k O k R * Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát ( Hình 6.15 ) α 1 2 K F J I I’ α * Đường thẳng cắt mặt cầu Ví dụ 2: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) được cho như trên hình 6.11. Giải : - Trong bài toán này , chưa biết hình chiếu nào của giao điểm , do đó ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ . - Lấy mặt phẳng φ(φ 2 ) chứa đường f(f 1 , f 2 ), φ(φ 2 ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là đường tròn ( C ): ( C 2 ) ≡ (φ 2 ). - Tìm ( C 1 ). - Ta có : I 1 , K 1 ≡ ( C 1 )∩ f 1 I 2 , K 2 Î f 2 f 1 K 2 I 1 K 1 f 2 O 1 O 2 I 2 ≡ φ 2 ( C 2 ) ( C 1 ) Hình 6.11. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) (S 1 ) (S 2 ) 1 2 1 1 4.3 Giao hai đa diện Ví dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng . ( Hình 5.11) Giải : - Nhận xét : Lăng trụ xuyên qua hình chóp , do đó giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín . - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của hình lăng trụ : 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 . - Tìm hình chiếu bằng : Giải bài toán điểm thuộc mặt của hình chóp . - Để nối và xét thấy khất , ta dùng phương pháp khai triển như hình 5.12 B A S S D E F D C A S S 1 1 5 4 3 2 1’ 5’ 3’ 1’ B 1 A 1 S 1 4 1 2 1 B 2 C 1 A 2 C 2 1 1 =1’ 1 2 2 1 2 3 2 S 2 1’ 2 3 1 ≡3’ 1 3’ 2 4 2 5 1 ≡5’ 1 5 2 5’ 2 D 1 E 1 F 1 D 2 F 2 E 2 (-) Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng ( Hình 5.13) Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu đứng E F C B A C D E 5 6 4 2 4’ 3 1 3’ (-) (-) B 1 A 1 B 2 C 1 A 2 C 2 D 1 E 1 F 1 D 2 E 2 F 2 4’ 1 2 1 4 2 ≡4’ 2 1 2 3 1 1 1 3 2 ≡3’ 2 4 1 6 2 5 1 5 2 3’ 1 6 1 H 2 G 2 H 1 G 1 2 2 4.4- Giao của đa diện với mặt cong Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì vậy , giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2. Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình nón tròn xoay được cho trên hình 6.16. Giải : - Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng , do đó đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón . Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác . - Nhận xét : + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón , do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình nón , do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol : 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón , do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4. S 1 6 1 A 1 ≡A’ 1 B 2 3 2 3’ 2 A 2 S 2 C 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ≡ 3 1 2’ 2 4 1 4 2 6 2 6’ 2 5 2 5’ 2 5 1 B 1 ≡B’ 1 C 1 ≡C’ 1 A’ 2 C’ 2 B’ 2 4.5- Giao của hai mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay ( Hình ) Giải : - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến . - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến , xét các điểm sau : + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ . + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất . + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất . - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm thêm các điểm X, Y... Hình 6.18 Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay S 1 S 2 1 1 4 1 3 1 2 1 3 2 2 2 2’ 2 4 2 3’ 2 1 2 X 1 Y 1 X 2 X’ 2 Y 2 Y’ 2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu ( Hình ) Giải : - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến . - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến , xét các điểm sau : + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất . + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất của trụ . + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất của trụ + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu . Hình 6.19 Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu 6 1 3 1 2 1 7 1 5 1 3 2 2 2 6 2 5 2 7 2 2’ 2 3’ 2 5’ 2 6’ 2 Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó . Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường bậc hai thứ hai . S 1 S 2 1 1 3 1 2 1 3 2 2 2 2’ 2 3’ 2 1 2 Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó . S 1 S 2 6 1 3 1 2 1 7 1 5 1 8 1 3 2 2 2 6 2 5 2 6’ 2 7 2 2’ 2 3’ 2 5’ 2 8 2