Bài giảng Học máy - Bài 4: Máy vectơ hỗ trợ - Nguyễn Nhật Quang

Học Máy (IT 4862) ễ hậNguy n N t Quang quangnn-fit@mail.hut.edu.vn Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Công nghệ thông tin và truyền thông Năm học 2011-2012 Nội d ô hung m n ọc: „ Giới thiệu chung „ Đánh giá hiệu năng hệ thống học máy „ Các phương pháp học dựa trên xác suất „ Các phương pháp học có giám sát „ Máy vectơ hỗ trợ (Support vector machine) „ Các phương pháp học không giám sát L ộ tᄠọc c ng c „ Học tăng cường 2 Học Máy – IT 4862 Máy vectơ hỗ trợ - Giới thiệu (1) „ Máy vectơ hỗ trợ (Support vector machine - SVM) được đề cử bởi V Vapnik và các đồng nghiệp của ông vào . những năm 1970s ở Nga, và sau đó đã trở nên nổi tiếng và phổ biến vào những năm 1990s „ SVM là một phương pháp phân lớp tuyến tính (linear classifier), với mục đích xác định một siêu phẳng (hyperplane) để phân tách hai lớp của dữ liệu ví dụ: – lớp các ví dụ có nhãn dương (positive) và lớp các ví dụ có nhãn âm (negative) „ Các hàm nhân (kernel functions), cũng được gọi là các hàm biến đổi (transformation functions), được dùng cho các trường hợp phân lớp phi tuyến 3Học Máy – IT 4862 Máy vectơ hỗ trợ - Giới thiệu (2) „ SVM có một nền tảng lý thuyết chặt chẽ – dựa trên nhiều định lý toán học „ SVM là một phương pháp tốt (phù hợp) đối với những bài toán phân lớp có không gian biểu diễn thuộc tính lớn – các đối tượng cần phân lớp được biểu diễn bởi một tập rất lớn các thuộc tính ế ế ố„ SVM đã được bi t đ n là một trong s các phương pháp phân lớp tốt nhất đối với các bài toán phân lớp văn bản (text/document classification) 4Học Máy – IT 4862 Máy vectơ hỗ trợ - Giới thiệu (3) „ Các vectơ được ký hiệu bởi các chữ đậm nét! Biể diễ tậ á í d h ấ l ệ (t i i l )„ u n p r c c v ụ u n uy n ra n ng examp es {(x1, y1), (x2, y2), , (xr, yr)}, ‰ xi là một vectơ đầu vào được biểu diễn trong không gian X ⊆ Rn ‰ yi là một nhãn lớp (giá trị đầu ra), yi ∈ {1,-1} ‰ yi=1: lớp dương (positive); yi=-1: lớp âm (negative) „ Đối với một ví dụ xi: ⎩⎨ ⎧ <+〉⋅〈− ≥+〉⋅〈= 01 01 bnêu bnêu y i i i xw xw [Eq.1] „ SVM xác định một hàm phân tách tuyến tính f(x) = 〈w ⋅ x〉 + b ố ố [Eq.2] ‰ w là vectơ trọng s các thuộc tính; b là một giá trị s thực 5Học Máy – IT 4862 Mặt siêu phẳng phân tách „ Mặt siêu phẳng phân tách các ví dụ huấn luyện lớp dương và các ví dụ huấn luyện lớp âm: 〈w x〉 + b = 0 ⋅ „ Còn được gọi là ranh giới (bề mặt) quyết định Tồn tại nhiều mặt siêu phẳng phân tách Chọn cái nào?„ . [Liu, 2006] 6Học Máy – IT 4862 Mặt siêu phẳng có lề cực đại „ SVM lựa chọn mặt siêu phẳng phân tách có lề (margin) lớn nhất „ Lý thuyết học máy đã chỉ ra rằng một mặt siêu phẳng phân tách như thế sẽ tối thiểu hóa giới hạn lỗi (phân lớp) mắc phải [Liu, 2006] 7Học Máy – IT 4862 SVM – Dữ liệu phân tách được tuyến tính „ Giả sử rằng tập dữ liệu (tập các ví dụ huấn luyện) có thể phân tách được một cách tuyến tính „ Xét một ví dụ của lớp dương (x+,1) và một ví dụ của lớp âm (x-,-1) gần nhất đối với siêu phẳng phân tách H0 (+b=0) „ Định nghĩa 2 siêu phẳng lề song song với nhau ‰ H+ đi qua x+, và song song với H0 H đi q a à song song ới H‰ - u x-, v v 0 H+: +b = 1 H +b 1 [Eq.3]-: w⋅x- = - sao cho: +b ≥ 1, nếu yi = 1 +b ≤ -1, nếu yi = -1 8Học Máy – IT 4862 Tính toán mức lề (1) „ Mức lề (margin) là khoảng cách giữa 2 siêu phẳng lề H+ và H Trong hình vẽ nêu trên:-. ‰ d+ là khoảng cách giữa H+ và H0 ‰ d- là khoảng cách giữa H- và H0 ‰ (d+ + d−) là mức lề „ Theo lý thuyết đại số vectơ, khoảng cách (trực giao) từ ột điể đế ặt iê hẳ (〈 〉 b 0) làm m xi n m s u p ng w ⋅ x + = : |||| || xw bi +〉⋅〈 [Eq.4] trong đó ||w|| là độ dài của w: w 222|||| www +++=>⋅<= www [Eq.5]21 ... n 9Học Máy – IT 4862 Tính toán mức lề (2) „ Tính toán d+ – khoảng cách từ x+ đến (〈w ⋅ x〉 + b = 0) Áp d ng các biể thức [Eq 3 4]‰ ụ u . - : |||| 1 |||| |1| |||| || www xw ==+〉⋅〈= + + bd [Eq.6] „ Tính toán d- – khoảng cách từ x- đến (〈w ⋅ x〉 + b = 0) ‰ Áp dụng các biểu thức [Eq.3-4]: Tí h t á ứ lề |||| 1 |||| |1| |||| || www xw =−=+〉⋅〈= − − bd [Eq.7] „ n o n m c |||| 2 w =+= −+ ddmargin [Eq.8] 10Học Máy – IT 4862 Học SVM – Cực đại hóa mức lề Định nghĩa (Linear SVM – Trường hợp phân tách được) Tậ ồ í d h ấ l ệ ó thể hâ tá h t ế tí h„ p g m r v ụ u n uy n c p n c uy n n D = {(x1,y1), (x2,y2), , (xr,yr)} ằ ề„ SVM học một phân lớp nh m cực đại hóa mức l „ Tương đương với việc giải quyết bài toán tối ưu bậc hai sau đây ‰ Tìm w và b sao cho: đạt cực đại ‰ Với điều kiện: 2 w =margin với mọi ví dụ huấn luyện xi (i=1..r)⎩⎨ ⎧ =−≤+〉⋅〈 =≥+〉⋅〈 ; -1ynêu ,1 1ynêu ,1 i i b b i i xw xw 11Học Máy – IT 4862 Cực đại hóa mức lề – Bài toán tối ưu „ Học SVM tương đương với giải quyết bài toán cực tiểu hóa có ràng buộc sau đây Cực tiểu hóa: 〉⋅〈 2 ww [Eq.9] Với điều kiện: ⎩⎨ ⎧ −=−≤+〉⋅〈 =≥+〉⋅〈 1,1 1,1 ii ii yifb yifb xw xw „tương đương với Cực tiểu hóa: 〉⋅〈 ww [Eq 10] Với điều kiện: riby ii 1.. ,1)( 2 =∀≥+〉⋅〈 xw . 12Học Máy – IT 4862 Lý thuyết tối ưu có ràng buộc (1) „ Bài toán cực tiểu hóa có ràng buộc đẳng thức: Cực tiểu hóa f(x) với điều kiện g(x)=0, „ Điều kiện cần để x0 là một lời giải: ⎧ ∂ với α là một hệ số nhân (multiplier) Lagrange ( ) ; 0 0 ⎪⎩ ⎪⎨ = =+∂ = )g( )αg)f( x (xx x 0xx „ Trong trường hợp có nhiều ràng buộc đẳng thức gi(x)=0 (i=1..r), cần một hệ số nhân Lagrange cho mỗi ràng buộc: với αi là một hệ số nhân Lagrange ; 0 0 1⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ == ∑ )( )(gα)f( r i ii xxx 0xx =gi x 13Học Máy – IT 4862 Lý thuyết tối ưu có ràng buộc (2) „ Bài toán cực tiểu hóa có các ràng buộc bất đẳng thức: Cực tiểu hóa f(x) với các điều kiện g (x)≤0, i „ Điều kiện cần để x0 là một lời giải: với αi ≥ 0; 0 0 1⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ == ∑ )( )(gα)f( r i ii xxx 0xx „ Hàm gi x được gọi là hàm Lagrange ∑ = += r i ii )(gα)f(L 1 xx 14Học Máy – IT 4862 Giải bài toán cực tiểu hóa có ràng buộc „ Biểu thức Lagrange ]1)([ 2 1),,( 1 −+〉⋅〈−〉⋅〈= ∑ = bybL i r i iiP xwwwαw α [Eq.11] trong đó αi (≥0) là các hệ số nhân Lagrange „ Lý thuyết tối ưu chỉ ra rằng một lời giải tối ưu cho [Eq.11] phải thỏa mãn các điều kiện nhất định được gọi là các , điều kiện Karush-Kuhn-Tucker – là các điều kiện cần (nhưng không phải là các điều kiện đủ) „ Các điều kiện Karush-Kuhn-Tucker đóng vai trò trung tâm trong cả lý thuyết và ứng dụng của lĩnh vực tối ưu có ràng buộc 15Học Máy – IT 4862 Tập điều kiện Karush-Kuhn-Tucker 0 1 =−=∂ ∂ ∑ = ixww r i ii P yαL [Eq.12] 0 1 =−=∂ ∂ ∑ = r i ii P yα b L [Eq.13] ( ) )1(01b ∀ [E 14] , ..riyi =≥−+⋅ ii xxw q. 0≥iα [Eq.15]( )( ) 01 =−+⋅ byα xw [Eq 16] „ [Eq.14] chính là tập các ràng buộc ban đầu „ Điều kiện bổ sung [Eq.16] chỉ ra rằng chỉ những ví dụ (điểm dữ liệu) ii i . thuộc các mặt siêu phẳng lề (H+ và H-) mới có αi>0 – bởi vì với những ví đụ đó thì yi(〈w⋅xi〉+b)-1=0 →Những ví dụ (điểm dữ liệu) này được gọi là các vectơ hỗ trợ! ố„ Đ i với các ví dụ khác (không phải là các vectơ hỗ trợ) thì αi=0 16Học Máy – IT 4862 Giải bài toán cực tiểu hóa có ràng buộc „ Trong trường hợp tổng quát, các điều kiện Karush-Kuhn- Tucker là cần đối với một lời giải tối ưu nhưng chưa đủ , „ Tuy nhiên, đối với bài toán cực tiểu hóa đang xét có hàm mục tiêu lồi (convex) và các ràng buộc tuyến tính, thì các điề kiệ K h K h T k là ầ à đủ đối ới ột lờiu n arus - u n- uc er c n v v m giải tối ưu „ Giải quyết bài toán tối ưu này vẫn là một nhiệm vụ khó khăn – do sự tồn tại của các ràng buộc bất đẳng thức! „ Phương pháp Lagrange giải quyết bài toán tối ưu hàm lồi ẫ ế ể ố ẫ ốd n đ n một bi u thức đ i ng u (dual) của bài toán t i ưu → Dễ giải quyết hơn so với biểu thức cần tối ưu ban đầu (primal) 17Học Máy – IT 4862 Biểu thức đối ngẫu „ Để thu được biểu thức đối ngẫu từ biểu thức ban đầu: →Gán giá trị bằng 0 đối với các đạo hàm bộ phận của biểu thức Lagrange trong [Eq.11] đối với các biến ban đầu (w và b) →Sau đó, áp dụng các quan hệ thu được đối với biểu thức Lagrange ể ể‰ Tức là: áp dụng các bi u thức [Eq.12-13] vào bi u thức Lagrange ban đầu ([Eq.11]) để loại bỏ các biến ban đầu (w và b) „ Biểu thức đối ngẫu L D 〉⋅〈−= ∑∑ == ji r ji jiji r i iD yyL xxα 1,1 2 1)( ααα [Eq.17] „ Cả hai biểu thức LP và LD đều là các biểu thức Lagrange ‰ Dựa trên cùng một hàm một tiêu – nhưng với các ràng buộc khác nhau Lời iải tì đ bằ á h tiể hó L h ặ đ i hó L‰ g m ược, ng c c cực u a P o c cực ạ a D 18Học Máy – IT 4862 Bài toán tối ưu đối ngẫu Cực đại hóa: 〉⋅〈−=∑ ∑ = = yyL r i r ji jijiiD 2 1)( 1 1 ααα ji xxα [Eq.18] Với điều kiện: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∀≥ =∑ = i y r i ii 10 0 1 , α ƒ Đối với hàm mục tiêu là hàm lồi và các ràng buộc tuyến tính, giá trị cực đại của LD xảy ra tại cùng các giá trị của w, b và αi giúp đạt được = ri ..,α giá trị cực tiểu của LP ƒ Giải quyết biểu thức [Eq.18], ta thu được các hệ số nhân Lagrange αi (các hệ số αi này sẽ được dùng để tính w và b) ƒ Giải quyết biểu thức [Eq.18] cần đến các phương pháp số học (để giải quyết bài toán tối ưu hàm lồi bậc hai có các ràng buộc tuyến tính) →Chi tiết các phương pháp này nằm ngoài phạm vi của bài giảng! 19Học Máy – IT 4862 Tính các giá trị w* và b* „ Gọi SV là tập các vectơ hỗ trợ ‰ SV là tập con của tập r các ví dụ huấn luyện ban đầu →αi>0 đối với các vectơ hỗ trợ xi →αi=0 đối với các vectơ không phải là vectơ hỗ trợ xi ể ể„ Sử dụng bi u thức [Eq.12], ta có th tính được giá trị w* bởi vì ∀xi ∉ SV: αi=0; 1 ∑∑ == SV ii r i ii yy xxw* ii αα „ Sử dụng biểu thức [Eq.16] và (bất kỳ) một vectơ hỗ trợ xk, ta có ‰ αk(yk(+b*)-1)=0 ∈= ix ‰ Nhớ rằng αk>0 đối với mọi vectơ hỗ trợ xk ‰ Vì vậy: (yk(+b*)-1)=0 ‰ Từ đây, ta tính được giá trị b*= yk- 20Học Máy – IT 4862 Ranh giới quyết định phân lớp „ Ranh giới quyết định phân lớp được xác định bởi siêu phẳng: 0=+〉⋅〈=+〉⋅〈= ∑ b*yαb*)f( ii i xxx*wx [Eq.19] „ Đối với một ví dụ cần phân lớp z, cần tính giá trị: ∈SVix ⎞⎛ →Nếu biểu thức [Eq 20] trả về giá trị 1 thì ví dụ z được phân vào lớp ⎟⎟⎠⎜ ⎜ ⎝ +〉⋅〈=+〉⋅〈 ∑ ∈SV ii b*yαsignb*)sign( ix i zxz*w [Eq.20] . , có nhãn dương (positive); ngược lại, được phân vào lớp có nhãn âm (negative) „ Việc phân lớp này: ‰ Chỉ phụ thuộc vào các vectơ hỗ trợ ‰ Chỉ cần giá trị tích vô hướng (tích trong) của 2 vectơ (chứ không cần biết giá trị của 2 vectơ đấy) 21Học Máy – IT 4862 Linear SVM: Không phân tách được(1) „ Phương pháp SVM trong trường hợp các ví dụ phân lớp tuyến tính nhưng không thể phân tách được? ‰ Trường hợp phân lớp tuyến tính và phân tách được là lý tưởng (ít xảy ra) ‰ Tập dữ liệu có thể chứa nhiễu, lỗi (vd: một số ví dụ được gán nhãn lớp sai) „ Đối với trường hợp phân tách được, bài toán tối ưu: 〉〈Cực tiểu hóa: Với điều kiện: riby ii ...,2,1,,1)( 2 =≥+〉⋅〈 ⋅ xw ww „ Nếu tập dữ liệu chứa nhiễu, các điều kiện có thể không được thỏa mãn Khô tì đ lời iải ( * à b*)! → ng m ược g w v 22Học Máy – IT 4862 Linear SVM: Không phân tách được (2) Hai ví dụ nhiều xa và xb được gán nhãn lớp sai [Liu, 2006] 23Học Máy – IT 4862 Nới lỏng các điều kiện „ Để làm việc với các dữ liệu chứa nhiễu, cần nới lỏng các điều kiện lề (margin constraints) bằng cách sử dụng các biến slack ξi (≥ 0) 〈w⋅xi〉+b ≥ 1−ξiđối với các ví dụ có giá trị yi = 1 ố〈w⋅xi〉+b ≤ −1+ξi đ i với các ví dụ có giá trị yi = -1 „ Đối với một ví dụ nhiễu/lỗi: ξi >1 „ (Σiξi) là giới hạn trên của lỗi của các ví dụ huấn luyện „ Các điều kiện mới đối với trường hợp (phân lớp tuyến tính) ểkhông th phân tách được: yi(〈w⋅xi〉+b) ≥ 1−ξi, ∀i =1..r ξ 0 ∀i 1i ≥ , = ..r 24Học Máy – IT 4862 Tích hợp lỗi trong hàm mục tiêu „ Cần phải tích hợp lỗi trong hàm tối ưu mục tiêu Bằ á h á iá t ị hi hí ( t) h á lỗi à tí h„ ng c c g n g r c p cos c o c c , v c hợp chi phí này trong hàm mục tiêu mới: Cực tiểu hóa: 〉〈 r trong đó C (>0) là tham số xác định mức độ chi phí (penalty ∑ = +⋅ i k iC 1 )( 2 ξww degree) đối với các lỗi → Giá trị C càng lớn, thì mức độ chi phí càng cao đối với các lỗi „ k =1 thường được sử dụng ‰ Lý do (ưu điểm): Thu được biểu thức đối ngẫu (dual formulation) đơn giản hơn – không chứa ξi và các hệ số nhân Lagrange của chúng 25Học Máy – IT 4862 Bài toán tối ưu mới +〉⋅〈 ∑2 C r iξww [Eq.21]Cực tiểu hóa: ⎩⎨ ⎧ =∀≥ =∀−≥+〉⋅〈 = 10 1.. ,1)( 1 ri riby iii i ξ ξxwVới điều kiện: „ Bài toán tối ưu mới này được gọi là Soft-margin SVM .. ,i „ Biểu thức tối ưu Lagrange: ∑∑∑ −+−+〉⋅〈−+〉⋅〈= rrr byCL ]1)([1 ξμξαξ xwww [Eq.22] trong đó αi (≥0) và μi (≥0) là các hệ số nhân Lagrange === i iiii i ii i iP 1112 26Học Máy – IT 4862 Tập điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (1) ∑∂ rPL 0 [Eq 23] = =−=∂ i ii y1 ixww α ∂ . 0 1 =−=∂ ∑= r i ii P y b L α [Eq.24] riCL iiP ..1 ,0 =∀=−−=∂ ∂ μαξ [Eq.25]i 27Học Máy – IT 4862 Tập điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (2) ( ) riby ii ..1 ,01 =∀≥+−+〉⋅〈 ξixw [Eq.26] 0≥iξ [Eq.27] 0≥iα 0≥μ [Eq.28] [Eq 29]i ( )( ) 01 =+−+〉⋅〈 iii by ξα ixw . [Eq.30] 0=iiξμ [Eq.31] 28Học Máy – IT 4862 Chuyển về biểu thức đối ngẫu „ Giống như với trường hợp dữ liệu có thể phân tách được, chúng ta chuyển biểu thức Lagrange từ dạng ban đầu (primal formulation) về dạng đối ngẫu (dual formulation) ‰ Gán giá trị bằng 0 cho các đạo hàm bộ phận của biểu thức Lagrange ([Eq.22]) đối với các biến ban đầu (w, b, ξi) ‰ Thay thế các kết quả thu được vào biểu thức Lagrange ban đầu ế ể ể ế→Sử dụng các k t quả của các bi u thức [Eq.23-25] đ thay th vào trong biểu thức Lagrange ban đầu [Eq.22] Từ biể thứ [E 25] t ó C 0„ u c q. , a c : - αi - μi = , ‰ và bởi vì: μi ≥0, ‰ nên ta suy ra điều kiện: α ≤C i 29Học Máy – IT 4862 Biểu thức đối ngẫu 〉⋅〈−=∑ ∑21)( yyL r r jijiiD ααα ji xxαCực đại hóa: ⎪⎨ ⎧ =∑ = = 0 1 1, y r ii i ji α [Eq.32]Với điều kiện: ⎪⎩ =∀≤≤ = ..1 ,0 1 riCi i α „ Quan trọng: ξi và các hệ số nhân Lagrange của chúng (μi) không xuất hiện trong biểu thức đối ngẫu → Hàm mục tiêu giống hệt như đối với bài toán phân lớp tuyến tính phân tách được (separable linear classification)! „ Khác biệt duy nhất là tập các ràng buộc mới: αi ≤C 30Học Máy – IT 4862 Tìm lời giải cho các biến ban đầu „ Bài toán đối ngẫu [Eq.32] được giải quyết bằng các phương pháp số học (để giải quyết bài toán tối ưu hàm lồi bậc hai có ếcác ràng buộc tuy n tính) „ Các giá trị (hệ số nhân Lagrange) αi lời giải được sử dụng để tính toán w* và b* ‰ w* được xác định sử dụng biểu thức [Eq.23] ‰ b* được xác định sử dụng các điều kiện bổ sung Karush-Kuhn- ấ ề ếTucker trong [Eq.30-31] nhưng, có v n đ : ξi chưa bi t! „ Để tính được b* ‰ Từ [Eq.25] và [Eq.31], ta suy ra được: ξi=0 nếu αi<C ‰ Vì vậy, ta có thể sử dụng một ví dụ học xk thỏa mãn điều kiện (0<αk<C) và [Eq.30] (với ξk =0) để tính toán b* ‰ Đến đây, việc tính toán b* tương tự như với trường hợp phân lớp tuyến tính phân tách được! 31Học Máy – IT 4862 Các đặc điểm quan trọng „ Từ các biểu thức [Eq.25-31], ta có thể suy ra các kết luận sau: ( ) 0 và,1thì0Nêu ii =≥+〉⋅〈= ξα byi ixw ( ) ( ) 0 và,1thìNêu 0 và,1thì0Nêu ii ii ><+〉⋅〈= ==+〉⋅〈<< ξα ξα byC byC i i i i xw xw [Eq.33] „ Biểu thức [Eq.33] thể hiện một đặc điểm rất quan trọng của SVM ‰ Lời giải được xác định dựa trên rất ít (sparse) các giá trị αi „ Rất nhiều ví dụ học nằm ngoài khoảng lề (margin area) và chúng có giá , trị αi bằng 0 „ Các ví dụ nằm trên lề (yi(〈w⋅xi〉+b)=1 – chính là các vectơ hỗ trợ), thì có giá trị αi khác không (0<αi<C) „ Các ví dụ nằm trong khoảng lề (yi(〈w⋅xi〉+b)<1 – là các ví dụ nhiễu/lỗi), thì có giá trị αi khác không (αi=C) ‰ Nếu không có đặc điểm thưa thớt (sparsity) này, thì phương pháp SVM không thể hiệu quả đối với các tập dữ liệu lớn 32Học Máy – IT 4862 Ranh giới quyết định phân lớp „ Ranh giới quyết định phân lớp chính là siêu phẳng: ** 〉〈〉〈 ∑ bb r →Rất nhiều ví dụ học xi có giá trị αi bằng 0! (chính là đặc 0 1 =+⋅=+⋅ = y i iii xxx*w α điểm thưa thớt – sparsity – của phương pháp SVM) „ Đối với một ví dụ cần phân loại z, nó được phân loại bởi: sign(〈w*⋅z〉+b*) „ Cần xác định giá trị phù hợp của tham số C (trong hàm tối ưu mục tiêu) → Thường được xác định bằng cách sử dụng một tập dữ liêu tối ưu (validation set) 33Học Máy – IT 4862 Linear SVM – Tổng kết „ Sự phân lớp dựa vào siêu phẳng phân tách ẳ„ Siêu ph ng phân tách được xác định dựa trên tập các vectơ hỗ trợ „ Chỉ đối với các vectơ hỗ trợ thì hệ số nhân Lagrange của , chúng khác 0 ‰ Đối với các ví dụ huấn luyện khác (không phải là các vectơ hỗ trợ) thì hệ số nhân Lagrange của chúng bằng 0, „ Việc xác định các vectơ hỗ trợ (trong số các ví dụ huấn luyện) đòi hỏi phải giải quyết bài toán tối ưu bậc hai „ Trong biểu thức đối ngẫu (LD) và trong biểu thức biểu diễn siêu phẳng phân tách, các ví dụ huấn luyện chỉ xuất hiện bên trong các tích vô hướng (inner/dot-products) của các vectơ 34Học Máy – IT 4862 SVM phân lớp phi tuyến – Non-linear SVM „ Lưu ý: Các công thức trong phương pháp SVM đòi hỏi tập dữ liệu phải có thể phân lớp tuyến tính (có/không nhiễu) „ Trong nhiều bài toán thực tế, thì các tập dữ liệu có thể là phân lớp phi tuyến (non-linearly separable) „ Phương pháp phân loại SVM phi tuyến (Non-linear SVM): ‰ Bước 1. Chuyển đổi không gian biểu diễn đầu vào ban đầu sang một không gian khác (thường có số chiều lớn hơn nhiều) → Dữ liệu được biểu diễn trong không gian mới (đã chuyển đổi) có thể phân lớp tuyến tính (linearly separable) ‰ Bước 2. Áp dụng lại các công thức và các bước như trong phương pháp phân lớp SVM tuyến tính „ Không gian biểu diễn ban đầu: Không gian đầu vào (input space) „ Không gian biểu diễn sau khi chuyển đổi: Không gian đặc trưng (f t )ea ure space 35Học Máy – IT 4862 Chuyển đổi không gian biểu diễn (1) „ Ý tưởng cơ bản là việc ánh xạ (chuyển đổi) biểu diễn dữ liệ từ khô i b đầ X ột khô i khá Fu ng g an an u sang m ng g an c bằng cách áp dụng một hàm ánh xạ phi tuyến φ :φ FX → )(xx φa „ Trong không gian đã chuyển đổi, tập các ví dụ học ban đầu {(x1, y1), (x2, y2), , (xr, yr)} được biểu diễn (ánh xạ) t ứương ng: {(φ(x1), y1), (φ(x2), y2), , (φ(xr), yr)} 36Học Máy – IT 4862 Chuyển đổi không gian biểu diễn (2) [Liu, 2006] • Trong ví dụ này, không gian sau chuyển đổi vẫn là có số chiều bằng không gian ban đầu (2 chiều) • Nhưng thông thường, số chiều của không gian sau chuyển đổi (feature space) lớn hơn (nhiều) số chiều của không gian ầ ( )ban đ u input space 37Học Máy – IT 4862 Non-linear SVM – Bài toán tối ưu „ Sau quá trình chuyển đổi không gian biểu diễn, bài toán tối ưu: +〉⋅〈= ∑ CL r iP ξwwCực tiểu hóa: ( ) ⎩⎨ ⎧ =∀≥ =∀−≥+〉⋅〈 = ..1 ,0 ..1 ,1)( 2 1 ri riby i ii i ξ ξφ ixw [Eq.34] Với điều kiện: „ Bài toán (tối ưu) đối ngẫu: )()( 2 1 〉⋅〈−= ∑∑ yyL r jijir iD φφααα ji xxCực đại hóa: 10 0 1 1,1 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∀≤≤ =∑ = == riC y r i ii jii α α [Eq.35] Với điều kiện: „ Ranh giới quyết định phân lớp là siêu phẳng phân tách: .. ,i 0)*)()(*)()( =+〉⋅〈=+〉⋅〈= ∑r bybf zxz*wz φφαφ [Eq 36] 1=i ii i . 38Học Máy – IT 4862 Chuyển đổi không gian – Ví dụ „ Xét không gian biểu diễn ban đầu có 2 chiều, và chúng ta h hà á h từ khô i b đầ (2 D)c ọn m n xạ ng g an an u - sang không gian mới (3-D) như sau: )2()( 22 „ Xét ví dụ học (x=(2 3) y=-1) trong không gian ban đầu ,, , 212121 xxxxxx a , , (2-D) „ Trong không gian sau chuyển đổi (3-D) thì ví dụ học này , được biểu diễn như sau: (φ(x)=(4, 9, 8.49), y=-1) 39Học Máy – IT 4862 Chuyển đổi không gian – Trở ngại „ Việc chuyển đổi không gian một cách trực tiếp có thể gặp vấn đề về số chiều không gian quá lớn (curse of dimensionality) „ Ngay cả với một không gian ban đầu có số chiều không lớn, một hàm chuyển đổi (ánh xạ) thích hợp có thể trả về một khô i ới ó ố hiề ất lớng g an m c s c u r n → “thích hợp” ở đây mang ý nghĩa là hàm chuyển đổi cho phép xác định không gian mới mà trong đó tập dữ liệu có thể phân lớp tuyến tính „ Vấn đề: Chi phí tính toán quá lớn đối với việc chuyển đổi khô i t tiếng g an rực p „ Rất may, việc chuyển đổi không gian trực tiếp là không cần thiết 40Học Máy – IT 4862 Các hàm nhân – Kernel functions „ Trong biểu thức đối ngẫu ([Eq.35]) và trong biểu thức siêu phẳng phân tách ([Eq.36]): ‰ Việc xác định trực tiếp (cụ thể) giá trị φ(x) và φ(z) là không cần thiết ‰ Chỉ cần tính giá trị tích vô hướng vectơ 〈φ(x)⋅φ(z)〉 Việc chuyển đổi không gian trực tiếp là không cần thiết!→ „ Nếu có thể tính được tích vô hướng vectơ 〈φ(x)⋅φ(z)〉 trực tiếp từ các vectơ x và z, thì không cần phải xác định (không cần biết): ‰ vectơ đặc trưng (trong không gian sau chuyển đổi) φ(x), và ‰ hàm chuyển đổi (ánh xạ) φ „ Trong phương pháp SVM, mục tiêu này đạt được thông qua việc sử dụng các hàm nhân (kernel functions), được ký hiệu là K K(x z) = 〈φ(x)⋅φ(z)〉 [Eq 37], . 41Học Máy – IT 4862 Hàm nhân – Ví dụ „ Hàm nhân đa thức K(x z) = 〈x⋅z〉d [Eq.38], „ Xét hàm nhân đa thức với bậc d=2, đối với 2 vectơ được biểu diễn trong không gian 2 chiều: x=(x1,x2) và z=(z1,z2) 2 )( 22 2222 2 11 2zx zxzxzxzx zxzx ++= +=〉⋅〈 )2()2( 2222 2222 1 22 11 22 1 1111 zz,z,zxx,x,x 〉⋅〈= „ Ví dụ trên thể hiện hàm nhân 〈x⋅z〉2 là một tích vô hướng của 2 vectơ φ(x) và φ(z) trong không gian sau chuyển đổi ),()()( zxzx K=〉⋅〈= φφ 42Học Máy – IT 4862 Kernel trick „ Diễn giải chi tiết của các bước tính toán trong ví dụ trên chỉ mang mục đích giải thích (minh họa) „ Trong thực tế, ta không cần phải tìm (xác định) hàm ánh xạ φ „ Bởi vì: Ta có thể áp dụng hàm nhân một cách trực tiếp →Thay thế tất cả các giá trị tích vô hướng vectơ 〈φ(x)⋅φ(z)〉 trong [Eq.35-36] bằng một hàm nhân được chọn K(x z) (ví dụ: hàm nhân đa thức 〈x⋅z〉d trong , [Eq.38]) „ Chiến lược này được gọi là kernel trick! 43Học Máy – IT 4862 Kernel function – How to know? „ Làm sao để biết một hàm là hàm nhân hay không – mà không cần thực hiện các bước suy diễn (phân tích) cụ thể như trong ví dụ minh họa? Là để biết ột hà ó hải là ột tí h ô→ m sao m m c p m c v hướng vectơ trong một không gian nào đó? „ Câu hỏi này được trả lời bằng định lý Mercer (Mercer’s theorem) Nằ ài h i ủ bài iả à !→ m ngo p ạm v c a g ng n y 44Học Máy – IT 4862 Các hàm nhân thường dùng „ Đa thức: ( ) NR,dθθ),K( d ∈∈+〉⋅〈= :đó trong;zxzx „ Gaussian RBF (Gaussian radial basis function) 0đót2 2 > −− )K( σ zx „ Xích-ma (Sigmoidal) : rong;= σe,zx ( ) Rβ,λe λ)(),K( λ ∈+=−〉⋅〈= −〉⋅〈− :đó trong;1 1tanh zxzxzx ββ 45Học Máy – IT 4862 Phân lớp bằng SVM – Các vấn đề „ SVM chỉ làm việc với không gian đầu vào là các số thực →Đối với các thuộc tính định danh (nominal), cần chuyển các giá trị định danh thành các giá trị số „ SVM chỉ làm việc (thực hiện phân lớp) với 2 lớp →Đối với các bài toán phân lớp gồm nhiều lớp, cần chuyển thành một tập các bài toán phân lớp gồm 2 lớp, và sau đó giải quyết riêng rẽ từng bài toán 2 lớp này → Ví dụ: chiến lược “one-against-rest” „ Siêu phẳng phân tách (ranh giới quyết định phân lớp) xác định được bởi SVM thường khó hiểu đối với người dùng ‰ Vấn đề (khó giải thích quyết định phân lớp) này càng nghiêm trọng, nếu các hàm nhân (kernel functions) được sử dụng ‰ SVM thường được dùng trong các bài toán ứng dụng mà trong đó việc giải thích hoạt động (quyết định) của hệ thống cho người dùng không ầphải là một yêu c u quan trọng 46Học Máy – IT 4862 Tài liệu tham khảo •B. Liu. Web Data Mining: Exploring Hyperlinks, Contents, and Usage Data. Springer, 2006. •C. J. C. Burges. A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern Recognition. Data Mining and Knowledge Discovery, 2(2): 121-167, 1998. 47Học Máy – IT 4862