Bài giảng môn Đại số tuyến tính

ĐL. Nếu C là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’ thì C là mtr khả nghịch và C-1 là mtr chuyển cơ sở từ B’ sang B. c. Công thức Nếu C là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’ thì     / B B v C v hay    / 1 B B v C v   §6: Cơ sở và số chiều VD. Trong không gian ,cho các vectơ 4 1 2 3 (2;3;1), (1;2;1), (1;1;1), (9;14;6)v v v u    a)Xác định mtr chuyển cơ sở từ E sang b) Xác định mtr chuyển cơ sở từ B sang E c) Kiểm tra 1 2 3 {v ,v ,v }B      E B u C u  §6: Cơ sở và số chiều 1 2 3(1, 2,3), ( 1,1,0), (2,1,1), (4,6, 3)f f f x      CMR: hệ vector là cơ sở của , tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở F. 3 Trong KGVT cho các vector 1 2 3{ , , }F f f f 3 Bài tập:  §6: Cơ sở và số chiều 1 2 3(1, 2,3), ( 1,1,0), (2,1, )f f f m    Tìm m để hệ vector là cơ sở của 3 Trong KGVT cho các vector 1 2 3{ , , }F f f f 3 Bài tập:  §6: Cơ sở và số chiều 1 2 3(1,0,2), ( 1,1,0), (0,1,1), (4,7, )f f f x m     Tìm m để x là tổ hợp tuyến tính của hệ vector 3 Trong KGVT cho các vector 1 2 3{ , , }F f f f Bài tập:  §4: Cơ sở của không gian con 4.1. Hạng của hệ vectơ 4.1.1. Định nghĩa. Cho S={v1, v2,, vm} trong không gian vecto V. Ta gọi hạng của S, kí hiệu r(S) là số tối đa các vecto độc lập tuyến tính của hệ đó. * NX: +) r(S) ≤ m +) r(S) = m S độc lập tuyến tính  §6: Cơ sở của không gian con 4.1.2. Cách tìm hạng của hệ vectơ trong không gian hữu hạn chiều Cho S={v1, v2,, vm} trong không gian vecto V. Giả sử B là một cơ sở của V và ta có i B i i in (v ) (a ,a ,...,a ), i ,m   1 2 1 Đặt A=[aij]. Khi đó, ta có r(S)= r(A)  §4: Cơ sở của không gian con Ví dụ 1. Trong không gian R4, tìm hạng của hệ vecto sau: { v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) } Ví dụ 2. Trong không gian P3[x], tìm hạng của hệ vecto sau: { p1=1+2x - 3x2 +x3, p2 =2- x +x2 - x3 , p3=3+x - 2x2 , p4=1+x +x2 +x3 }  §4: Cơ sở của không gian con 4.1.3. Không gian con sinh bởi hệ vectơ a.Định lý. Số chiều của không gian con W sinh bởi hệ vectơ S bằng hạng của hệ vectơ đó. dimW = dimspan(S) = r(S)  §4: Cơ sở của không gian con b. Bài toán xác định số chiều và một cơ sở của không gian sinh bởi hệ vectơ Cho hệ vecto S và W=span(S). + dimW = r(S)=r. + Tìm r vec tơ trong hệ S sao cho chúng độc lập tuyến tính. Khi đó, r vec tơ đó lập thành một cơ sở của W.  §4: Cơ sở của không gian con Ví dụ 1. Trong không gian R4, tìm số chiều và một cơ sở của không gian con W= span{v1, v2, v3} với v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) Ví dụ 2. Trong không gian P3[x], tìm số chiều và một cơ sở của không gian con W=span{p1, p2, p3, p4} với p1=1+2x - 3x2 +x3, p2 =2- x +x2 - x3 , p3=3+x - 2x2 , p4=1+x +x2 +x3  Một số đề thi Câu 1.(K51) (i) Trong không gian P2[x], cho các vectơ 2 2 2 1 2 3 41 , 2 , 3 2 , 11 6 11         v x v x v x x v x x Chứng minh rằng B={v1,v2,v3} lập thành một cơ sở của P2[x]. Xác định tọa độ của vecto v đối với cơ sở B. (Đề III) (ii) Câu hỏi tương tự với 2 2 2 1 2 3 41 , 2 , 2 , 5 3 9          v x v x x v x x v x x (Đề IV)  Một số đề thi Câu 2.(K54) (i) Trong không gian P2[x], cho các vectơ 2 2 1 2 2 2 3 4 1 , 3 , 2 , 2 5 4             v x x v x x v x x v x x Gọi V1=Span{v1,v2}, V2=Span{v3,v4}. Xác định một cơ sở của (Đề I) (ii) Câu hỏi tương tự với (Đề II) 1 2V V 2 2 1 2 2 2 3 4 1 , 2 , 4 2 , 1 2              v x x v x x v x x v x x  Một số đề thi Câu 3. Trong không gian P3[x], cho các vectơ 2 3 3 1 21 2 3 , 2 2 ,      v x x x v x x 2 3 2 3 3 43 2 4 , 5 2 7      v x x v x x x Đặt V1=span(v1,v2), V2 =span(v3,v4). a) Tìm cơ sở và số chiều của V1+V2. b) Vectơ v=1+x+x2 +x3 có thuộc V1+V2 hay không? (Hè 2009) CHƯƠNG 4 7/11/2014 1THS. NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK  §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa. a.Định nghĩa. Cho V và W là 2 KGVT trên trường K. Ánh xạ f :V→W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn 2 tính chất: (i ) f (u v) f (u) f (v) (ii ) f (ku) kf (u)     với    u,v V, k K + Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi là toán tử tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V.  §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH b. Các ví dụ. VD1. Ánh xạ không là ánh xạ tuyến tính. VD2. Ánh xạ đồng nhất NX: Ta có thể gộp (i) và (ii) thành (iii ) f (ku lv) kf (u) lf (v)      u,v V, k ,l Kvới W Wf : V , f (v) , v V      V V Id : V V v Id (v) v là một toán tử tuyến tính.  §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD3. Ánh xạ đạo hàm là ánh xạ tuyến tính.   [x] [x] p n n D : P P D( p) p' 1  Thật vậy, với ta có ( . . ) ( . . ) ' . ' . ' ( ) ( )D k f l g k f l g k f l g kD f lD g       , [x], k,lnf g P    §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD4. Ánh xạ là ánh xạ tuyến tính.     f : f (x ,x ,x ) (x x ,x x ) 3 2 1 2 3 1 2 2 3 2    §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Thật vậy, với ta có 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 ( ) ( , , ) (( ) 2( ),( ) ( )) (( 2 ) ( 2 ),( ) ( )) ( 2 , ) ( 2 , ) ( ) ( ) f x y f x y x y x y x y x y x y x y x x y y x x y y x x x x y y y y f x f y                            3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ) ,x x x x y y y y k      1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 ( ) ( , , ) ( 2 , ) ( ( 2 ), ( )) ( 2 , ) ( ) f kx f kx kx kx kx kx kx kx k x x k x x k x x x x kf x             §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD5. Với A là một ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ là ánh xạ tuyến tính.   AX n p m p f : M (K ) M (K ) X  1.2. Các phép toán a. ĐL1. Cho các ánh xạ tuyến tính f,g: V→W. Khi đó, các ánh xạ ψ,φ: V→W xác định bởi ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), φ(x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∈K,x∈V. cũng là ánh xạ tuyến tính. b. ĐL2. Cho các ánh xạ tuyến tính giữa các K-kgvt f: V→W, g: W→U. Khi đó, các ánh xạ h:V→U, h(x)=g(f(x)) hợp thành của f và g cũng là ánh xạ tuyến tính. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  §1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu. a.Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V→W gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng cấu với nhau, kí hiệu: b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên trường K đều đẳng cấu với Kn . V W  §1. Ánh xạ tuyến tính 1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính. Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V→W giữa các không gian vectơ. - Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi - Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi 1 W WKer(f)={v V|f(v)= }=f ({ })   Im(f)={f(u)|u V}=f(V)  §1: Ánh xạ tuyến tính Mđ 1. Ker(f) là không gian con của V Im(f) là không gian con của W. c/m:. Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f) hay rank(f), là số chiều của Im(f) r(f) = dimIm(f) Mđ 2. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và V=span(S) thì f(V)=span(f(S)). c/m: .  §1: Ánh xạ tuyến tính Mđ 3. Axtt f: V→W là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={θ} c/m:. Mđ 4. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và dimV=n thì dimIm(f) + dimKer(f) = dimV=n c/m: . Hq. Hai không gian hữu hạn chiều trên trường K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng bằng nhau  §1: Ánh xạ tuyến tính VD 1. Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi 3 3:f   1 2 3 1 2 2 3 1 2 3( , , ) ( 2 , , )f x x x x x x x x x x     a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính. b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và Ker(f ) §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vec tơ hữu hạn chiều f: V→W. G/s BV = {v1, v2, ,vm} và BW= {u1, u2,, un } lần lượt là cơ sở của V và W (dimV=m, dimW=n). Ma trận A có cột j là ma trận tọa độ của vectơ f(vj) đối với cơ sở BW gọi là ma trận của ánh xạ f đối với cặp cơ sở BV và BW: W W W1 2[f(v )] [f(v )] ... [f(v )]B B m BA      §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính NX: 1 2 1 2[ ... ]A=[ ( ) ( ) ... ( )]n mu u u f v f v f v i) A là ma trận cỡ nxm. ii) MĐ 1. r(A)=r(f)=dimIm(f)  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD1. Cho ánh xạ tuyến tính xđ bởi   f (x ,x ,x ) (x x ,x x ) 1 2 3 1 2 2 3 2 a)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở chính tắc. b)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở B={v1=(1;0;0), v2=(1;1;2), v3=(1;2;3)} và B’={u1=(1;0), u2=(1;1)}  f : 3 2  VD2. Tìm ma trận của ánh xạ D:P3[x] →P2[x], D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2, x3} và E’={1, x , x2}  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD 3. Cho ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là f : P [x] P [x] 3 2 b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf          1 3 4 5 2 4 0 1 3 5 1 2 A a) Xác định   2 3f (a bx cx dx )  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.2 Công thức tọa độ. Cho f: V →W là ánh xạ tuyến tính có ma trận A đối với cặp cơ sở BV và BW. Khi đó, với mọi vecto , ta có W [ ( )] [ ] VB Bf u A u VD1. Cho ánh xạ tuyến tính Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 3 2: [ ]f P x 1 0 1 2 1 2 3 2 1 A          u V  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD2. (Đề 1_ Hè 2009) Cho toán tử tuyến tính thỏa mãn: (1;2;0) ( 1;4;7), (0;1;2) ( 1;3;7), (1;1;1) (0;4;6)    f f f 3 3: f   a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 b) Tìm vecto sao cho f (v) = (-1;7;13) 3v  VD3. (Đề 2_ Hè 2009) Tương tự VD2 với (1;2;0) (1;5;5), (0;1;2) (1;4;5), (1;1;1) (0;4;6)  f f f  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Cho BV và BW tương ứng là cơ sở của các kgvt V và W, dim V=n, dimW=m. Khi đó, ta có tương ứng 1-1 giữa mỗi ánh xạ tuyến tính f: V →W với tập các ma trận cỡ mxn.  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính ĐL1: Nếu f, g: V →W là các ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cặp cơ sở BV và BW lần lượt là A và B thì ma trận của các ánh xạ f+g và λ f đối với cặp cơ sở BV và BW tương ứng là: A+B và λA. ĐL2. Nếu f: V →W , g: W →U là các ánh xạ tuyến tính, f có ma trận A đối với cặp cơ sở BV và BW và g có ma trận B đối với cặp cơ sở BW và BU thì ma trận của các ánh xạ gof đối với cặp cơ sở BV và BU là BA. 2.1.3. Ma trận của ánh xạ tổng và ánh xạ tích  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.4 Ma trận của toán tử tuyến tính theo một cơ sở. 2.4.1. Đ/n. Cho toán tử tuyến tính f: V→V trên không gian n chiều V và B là một cơ sở của V. Ma trận của f đối với cặp cơ sở B , B gọi là ma trận của toán tử f đối với cơ sở B. NX. Nếu và A là ma trận của f đối với cơ sở B thì 1 2B { , ,..., }nv v v 1 2 1 2[f ( ) f ( ) f ( )] [ ]n nv v v v v v A   §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.4.2 Mệnh đề. Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian véc tơ V. α={v1,v2,,vn} và α’={u1,u2,,un} là 2 cơ sở của V. G/s mtr chuyển cơ sở từ α sang α’ là C, mtr của f đối với cơ sở α và α’ lần lượt là A và B. Khi đó B=C-1AC C/m:.  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD1. Cho toán tử tuyến tính xđ bởi     f (x ,x ,x ) (x x ,x x x ,x x ) 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 2 2 a) Tìm mtr của f đối với cơ sở chính tắc b) Tìm mtr của f đ/v 3 3:f        B { 1;0;0 , 1;1;0 , 1;1;1 } VD2. Cho toán tử tuyến tính có ma trận A đối với cơ sở 3 3:f        B { 1;1;1 , 1;1;2 , 1;2;3 } Tính f(6;9;14) biết 1 0 1 1 1 2 2 2 1 A           §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.4.3 Đ/n. Hai ma trận A và B gọi là đồng dạng, kí hiệu là A~B, nếu tồn tại ma trận khả nghịch C sao cho B=C-1AC. NX: (i) Các ma trận của một toán tử tuyến tính f trên không gian vectơ V theo hai cơ sở của V đồng dạng với nhau. (ii) Quan hệ đồng dạng của hai ma trận là quan hệ tương đương. (iii) A và B đồng dạng thì detA = detB  Một số đề thi Bài 1. Cho toán tử tuyến tính thỏa mãn: [x] [x]f : P P 2 2 f ( x x ) x x , f ( x ) x , f ( x x ) x x              2 2 2 2 2 2 1 3 5 3 2 10 8 2 3 2 5 4 Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. (Đề 1_K52)  Một số đề thi Bài 2. Cho toán tử tuyến tính xác định bởi [x] [x]f : P P 2 5 a) Tìm ma trận của f đối với các cơ sở cơ sở và cơ sở chính tắc E của , trong đó (Đề 1-8/2010) f ( p(x )) x p(x ) p'(x ) 2 [x]P 5 {p ,p ,p ,p }B  1 2 3 4 p =1+x , p =2+3x +x , p =3x-x , p x 3 2 3 2 1 2 3 4 1 b) Tìm f ( x )7 3 2 p =1+x , p =1+2x+3x , p =3+5x 2 1 2 3 Bài 2’. Tương tự bài 2, với (Đề 2-8/2010) [x] [x],f : P P 2 5 f ( p(x )) x p(x ) p'(x ) 3 {p ,p ,p }B  1 2 3 với  Một số đề thi Bài 3. Cho toán tử tuyến tính có ma trận theo cơ sở là [x] [x]f : P P 2 2 Xác định một cơ sở và số chiều của Kerf theo m. (Đề 1_K53) B { x, x, x }   21 1 A m          2 2 1 1 3 1 2 2  Một số đề thi Bài 4. Cho toán tử tuyến tính thỏa mãn [x] [x]f : P P2 2 a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}. f có là toàn ánh không? b) G/s . Xác định m để (Đề 3_K56) u mx (m )x    21 3 f (a bx cx ) (a b c) ( a b c)x ( a b c)x          2 22 4 2 3 7 3 7 Imfu Bài 4’. Tương tự bài 4, với f (a bx cx ) (a b c) ( a b c)x ( a b c)x           2 22 3 3 5 4 2 9 u mx ( m )x    21 3 7 (Đề 4_K56) Đ/s: m=5/2 Đ/s: m=0  Một số đề thi Bài 5. Cho toán tử tuyến tính thỏa mãn [x] [x]f : P P2 2 a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}. b) G/s . Xác định a, b để (Đề 1-K55) u x bx   23 8 f ( x ) x x ; f ( x x ) x (a )x ; f ( x ) x (a )x                2 2 2 2 2 2 4 11 2 1 4 10 3 1 2 5 1 Imfu Bài 5’. Tương tự bài 5, với (Đề 2-K55) Đ/s: hoặc f (x ) x x ; f ( x x ) x (a )x ; f (x x ) x (a )x ;u x bx                  2 2 2 2 2 2 1 2 7 5 1 10 5 5 8 8 1 2 a  5 (a,b) ( ; ) 5 3 Đ/s: hoặc a  5 (a,b) ( ; ) 5 1  Một số đề thi Bài 6. Cho toán tử tuyến tính có ma trận theo cơ sở chính tắc của là f : 4 4  1/ Xác định số chiều của Im(f). Tìm một cơ sở của Ker(f). 2/ Cho Đặt . Xác định số chiều và một cơ sở của W và f(W). (Đề 1_K51) 4  A             1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 v ( ; ; ; ),v ( ; ; ; ),v ( ; ; ; )     1 2 3 2 0 2 1 3 2 1 0 1 2 1 1 W span(v ,v ,v ) 1 2 3  Một số đề thi Bài 7. Cho toán tử tuyến tính có ma trận theo cơ sở chính tắc của là f : 4 4  1/ Xác định số chiều của Im(f). Tìm một cơ sở của Ker(f). 2/ Cho Đặt . Xác định số chiều và một cơ sở của W và f(W). (Đề 2-K51) 4  A            2 1 1 1 1 1 0 1 5 3 2 3 3 2 1 2 v ( ; ; ; ),v ( ; ; ; ),v ( ; ; ; )    1 2 3 0 1 0 1 1 1 1 1 2 0 1 0 W span(v ,v ,v ) 1 2 3 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG 3.1. Trị riêng và vectơ riêng 3.1.1 Đ/n1. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V. Không gian con V’ V được gọi là kg con bất biến đối với toán tử f nếu f(V’) V’   VD1. Với một toán tử tuyến tính bất kì f trên kgvt V bao giờ cũng có hai kg con bất biến là V và {θ}.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG 3.1.2 Đ/n2. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V trên trường K. Phần tử λ∈ K gọi là (giá) trị riêng của f nếu tồn tại vec tơ x ∈V (x ≠θ) sao cho f(x)= λ x. Khi đó, x gọi là vec tơ riêng của f ứng với trị riêng λ. VD2. Khi đó λ =2 là một trị riêng của f vì với x=(1;-1), ta có f(x)=f(1;-1)=(2;-2) =2(1;-1)=2x 2 2 1 2 1 2 1 2: , ( , ) (3 , 3 )f f x x x x x x      §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG Mđ1. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương (i) λ là trị riêng của f (ii) (f- λ.IdV) không là đơn ánh trong đó IdV là ánh xạ đồng nhất trên V. (c/m: ) ĐL 1. Các vec tơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau đôi một của một toán tử tuyến tính là độc lập tuyến tính.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG Mđ 2. Cho f là một toán tử tuyến tính f trên K- kgvt V. Khi đó, với mọi λ∈K, tập V λ ={v|f(v)= λ v} là một kg con bất biến của f và không gian này khác {θ} khi và chỉ khi λ là một trị riêng của f . (C/m:..) NX: Nếu λ là một trị riêng của f thì V λ là tập tất cả các vec tơ riêng của f ứng với λ và vectơ không. Đ/n3. Nếu λ là một trị riêng của f thì Vλ (Vλ(f)) gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng λ.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG 3.2.Bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. 3.2.1. Phương trình đặc trưng. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt n chều V và có mtr A đối với cơ sở B={v1, v2,, vn}. Gọi v là một vec tơ riêng ứng với trị riêng λ và tọa độ của v đối với B là (v)B=(x1, x2,, xn). Khi đó, ta có [f(v)]B=A[v]B và f(v)= λ v.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG f ( ) [ ] [v] [v] [ ] 0 ( )[v] 0 B B B B B v v v A A v A E             Vì [v]B≠0 nên det(A- λ E)=0. Ta có Đ/n 1: Cho ma trận A vuông cấp n và λ là một số. Nếu tồn vec tơ cột x ≠0 sao cho (A -λ E)x =0 thì λ gọi là trị riêng của A và x gọi là vec tơ riêng của A. Rõ ràng, λ là trị riêng của A det(A- λ E)=0.   §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG NX. Nếu λ là trị riêng, v là vec tơ riêng của của f khi và chỉ khi λ là trị riêng, [v]B là vec tơ riêng của của A và ngược lại. Đ/n2. Đa thức det(A- λE) (bậc n đối với biến λ) gọi là đa thức đặc trưng của f và cũng gọi là đa thức đặc trưng của A. NX: Nghiệm của đa thức đặc trưng là các trị riêng của f và ngược lại.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG Định lí. Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính f không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của V. (c/m:) NX. Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đa thức đặc trưng.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG 3.2.2 Thuật toán tìm trị riêng và vec tơ riêng của toán tử tuyến tính. B1: Tìm mtr A của f đ/v một cơ sở nào đó của V. (thông thường ta chọn cơ sở chính tắc) B2. Tìm đa thức đặc trưng của f: det(A-λE) . B3. Giải pt det(A-λE)=0. Nghiệm của pt λ1, λ2, ,λn là các trị riêng của f. B4. Với mỗi trị riêng λi , giải hệ (A- λiE)x=0. Nghiệm khác không của hệ là tọa độ các vec tơ riêng ứng với trị riêng λi.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG VD1. Tìm trị riêng và vec tơ riêng của toán tử tuyến tính xác định bởi 2 2:f   1 2 1 2 1 2( , ) (6 4 ; 3 )f x x x x x x    VD2. Tìm trị riêng và vectơ riêng của toán tử tuyến tính xác định bởi 2 2: [ ] [ ]f P x P x 2 0 1 2 0 1 2 2 1 2 0 2 ( ) (5 6 2 ) ( 8 ) ( 2 ) f a a x a x a a a a a x a a x           §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 4.1 Ma trận chéo hóa được. 4.1.1. Đ/n. Ma trận đồng dạng với ma trận chéo được gọi là ma trận chéo hóa được. Với A là một ma trận vuông cho trước, quá trình làm chéo hóa A là quá trình tìm ma trận không suy biến T sao cho T-1AT là ma trận chéo. Khi đó, mtr T gọi là ma trận làm chéo hóa A.  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN VD. 1 1 5 2 2 1 2 / 5 1 / 5, ,2 8 1 2 1 / 5 2 / 5 4 0 0 9 A T T TAT                                A là mtr chéo hóa được và T là mtr làm chéo hóa A  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN ?1. Tiêu chuẩn để một ma trận chéo hóa được? ?2. Nếu A chéo hóa được, hãy tìm ma trận T làm chéo hóa A. ?3. Ma trận T có duy nhất không?  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 4.1.2. Tiêu chuẩn để một ma trận chéo hóa được. ĐL Điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được là ma trận đó có đủ n vec tơ riêng độc lập tuyến tính. C/m: Hq Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt thì nó chéo hóa được  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 4.2. Thuật toán chéo hóa ma trận Bước 1. Giải pt đặc trưng det(A-λE)=0. Nếu pt có đủ n nghiệm và g/s trong tập đó chỉ có k nghiệm phân biệt λ1, λ2,, λk thì chuyển sang bước 2. Bước 2. Giải các hệ pt (A-λiE)X=0 (i=1,2,,k). Nếu không tìm đủ n nghiệm độc lập tuyến tính thi A không chéo hóa được. Trong trường hợp tìm được đủ n nghiệm độc lập tuyến tính u1, u2,, un thì ta thực hiện bước 3.  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN Bước 3. Lập ma trận T có các cột là u1, u2,, un và T chính là ma trận làm chéo hóa A. Bước 4. Ma trận T-1AT là ma trận chéo có các phần tử chéo là các trị riêng tương ứng với các vec tơ riêng u1, u2,, un  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN VD. Đưa ma trận A về dạng chéo. 3 1 1 2 0 0 ) 1 3 1 ) 1 1 3 1 1 3 1 4 5 a A b A                     §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 4.3. Bài toán tìm cơ sở để ma trận của một toán tử tuyến tính là ma trận chéo. Cho toán tử tuyến tính f:V→V. Hãy tìm một cơ sở B của V để ma trận của f theo cơ sở đó có dạng chéo.  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN Bước 1. Chọn một cơ sở E tùy ý của V (thường là cơ sở chính tắc nếu có). Tìm ma trận A của f đối với E. Bước 2. Chéo hóa ma trận A. Nếu A không chéo hóa được thì không tồn tại cơ sở B thỏa mãn điều kiện đầu bài. Nếu A chéo hóa được chuyển sang bước 3. Bước 3. G/s T là ma trận làm chéo hóa A. Xét cơ sở B của V sao cho T là ma trận chuyển cơ sở từ E sang B. Khi đó, ma trận của f đối với cơ sở B là T-1AT có dạng chéo.  MỘT SỐ ĐỀ THI VD1. (Câu III-Đề III-K55)  MỘT SỐ ĐỀ THI VD2. (Câu III-Đề IV-K55)  MỘT SỐ ĐỀ THI VD3. (Đề I-K53) VD3’. Tương tự VD3 với A m          3 1 1 2 2 1 2 1 B { ; x;( x ) }   21 1 1 m  2 (Đề II-K53)  Một số đề thi VD4. Cho toán tử tuyến tính thỏa mãn [x] [x]f : P P2 2 a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}. b) Tìm cơ sở của P2[x] để với cơ sở đó ma trận của f có dạng chéo. Xác định dạng chéo đó. (Đề 1-K52) f ( x x ) x x ; f ( x ) x ; f ( x x ) x x              2 2 2 2 2 2 1 3 5 3 2 10 8 2 3 2 5 4 VD4’. Tương tự VD4 với f ( x x ) x x ; f ( x ) x; f (x x ) x x            2 2 2 2 2 1 2 2 4 5 2 4 3 5 9 (Đề 2-K52) 1CHƯƠNG V 7/13/2014 ThS. NGUYỄN HẢI SƠN §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa. Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV→R gọi là một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn các t/c sau: (i) (ii) (iii) (iv) 1 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ; )x x y x y x y      ( ; ) ( ; )x y x y    1 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ; )x y y x y x y      ( ; ) ( ; )x y x y    với 1 2 1 2, , , , , ,x x x y y y V    §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại. VD1. Ánh xạ φ: RxR → R xác định bởi φ(x,y)=x.y là một dạng song tuyến tính. VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 là một dạng song tuyến tính với u=(x1 , y1), v=(x2 , y2).  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V → R với V là một R- kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V. VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính trên V thì ánh xạ φ : VxV → R xác định bởi φ(u,v)=f(u).g(v) là một dạng song tuyến tính.  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi là một dạng song tuyến tính.   11 2 2 1 3( , ) 2 4 yx y x x y             Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V → R gọi là đối xứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V. VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các dạng song tuyến tính đối xứng.  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính. a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính trên V. Gọi B={e1, e2,, en} là một cơ sở của V. Đặt φ(ei,ej)=aij với i,j=1,,n. Khi đó, ma trận A=[aij] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B. VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 → R xđ bởi φ(u,v)=x1.x2+y1y2 với u=(x1 , y1), v=(x2 , y2). Viết ma trận của đối với cơ sở chính tắc của R2 và B={v1=(1;1),v2=(1;2)}.  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH b. Biểu thức tọa độ. Cho x=x1e1+x2e2++xnen và y=y1e1+y2e2++ynen. Khi đó. ij , 1 , 1 ( , ) ( , ) [x] [ ] n n t i j i j i j B B i j i j x y x y e e a x y A y         ( , ) [x] [ ]tB Bx y A y   §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH c. Công thức đổi tọa độ G/s B’={v1, v2,, vn} là cơ sở khác của V và T là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’. Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’. Ta có B ' B ' ' ' [x] [x] , [y] [y] ( , ) [x] '[y] B B t B B T T x y A     Suy ra    ' ' ' ' ( , ) [x] [y] [x] [y] [x] ( )[y] tt B B B B t t B B x y A T A T T AT      §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Do đó ' ' ' '[x] ( )[y] [x] '[y]t t tB B B BT AT A ' tA T AT  ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn. Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối với một cơ sở bất kì. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.1 Định nghĩa a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R- kgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho. - Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở B nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó theo một cơ sở B. Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối xứng.  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm. Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x). + φ(x,x) gọi là xác định dương nếu + φ(x,x) gọi là xác định âm nếu - Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm thì nó gọi là không xác định dấu. ( ; ) 0,x x x     ( ; ) 0,x x x     - Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương. Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận A đối với cơ sở B của V. Ta có     , 1 ( , ) nt ij i jB B i j x x x A x a x x     Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc 2 2 2 11 1 22 2( , ) ... nn nx x a x a x a x      §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2 2 2 11 1 22 2( , ) ... nn nx x a x a x a x     NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi 0,iia i  0,iia i   §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG → Bài toán: “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc” hay “Tìm một cơ sở của V để ma trận của dạng toàn phương có dạng chéo”  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2. Rút gọn dạng toàn phương Có 3 phương pháp ◆ Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) ◆ Phương pháp Jacobi ◆ Phương pháp chéo hóa trực giao  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. a) b) 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3( ) 2 3 4x x x x x x x x      1 2 2 3 3 1( )x x x x x x x     §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2.2 Phương pháp Jacobi Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[aij ] đối với một cơ sở {e1, e2,, en } nào đó của V. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a aA a a a                     §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG Nếu A có các định thức con chính 0, 1,k k n   11 12 1 21 22 2 1 2 k k k k k kk a a a a a a a a a          thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở đó dạng toàn phương có dạng chính tắc. 2 2 211 1 2 1 2 1( ) ... n n n x y y y         §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG •Tiêu chuẩn Sylvester Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A theo một cơ sở nào đó của V. + ω(x) xác định dương khi và chỉ khi Δk>0 với mọi k =1,2,,n. + ω(x) xác định âm khi và chỉ khi (-1)kΔk>0 với mọi k =1,2,,n.  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG VD 1. Xác định dấu của dạng toàn phương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 5 4 8 4x x x x x x x x x x       2 2 2 1 1 2 2 3( ) 2 3 4x x x x x x      a) b) VD 2. Xác định a để các dạng toàn phương sau xác định dương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3( ) 5 4 2x x x ax x x x x      2 2 1 2 1 2 2 3( ) 2 2 2x x ax x x x x     a) b)  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG •Định luật quán tính Với một dạng toàn phương cho trước, số các số hạng mang dấu dương và số các số hạng mang dấu âm của các dạng chính tắc của nó không thay đổi, không phụ thuộc vào phép biến đổi không suy biến, hay nói cách khác không phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở. §3:KHÔNG GIAN EUCLIDE  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.1 Tích vô hướng và không gian Euclide. Đ/n: Cho V là R-không gian vectơ, ánh xạ (i) (ii) (iii) (iv) .,. : ( , ) , V V R x y x y    gọi là một tích vô hướng nếu thỏa mãn , 0, .x x x V   , , , ,x y y x x y V   , , , , ,x y x y x y V      1 2 1 2 1 2, , , , , ,x x y x y x y x x y V     Dấu “=” chỉ xảy ra khi x=θ.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE -Không gian vectơ thực V hữu hạn chiều trên đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian Euclide. NX. Tích vô hướng trong kgvt V thực chất là một dạng song tuyến tính đối xứng φ(x,y)= trên V sao cho φ(x,x) là một dạng toàn phương xác định dương. VD1. Không gian các vectơ trong cùng một mặt phẳng, hoặc trong không gian với tích vô hướng đã học là một không gian Euclide.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD2. Trong Rn, ta có các dạng sau là tích vô hướng. NX. Trên một không gian có thể có nhiều tích vô hướng khác nhau và ứng với mỗi tích vô hướng đó ta có một kiểu không gian Euclide. (i) (ii) (iii) Với x=(x1,x2,,xn) và y=(y1,y2 ,,yn)∈Rn. 1 1 2 2, ... n nx y x y x y x y    1 1 2 2, 2 ... n nx y x y x y nx y    1 1 1 2 2 2, ... n n nx y a x y a x y a x y    trong đó, các 0, 1,ia i n   (TVH thông thường)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD3. Trong kg Pn[x], chứng minh dạng sau là một tích vô hướng. 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx    với mọi . , P [ ]np q x  VD4. Trong kg C[a;b], chứng minh dạng sau là một tích vô hướng. , ( ) ( ) b a f g f x g x dx với mọi , [ ; ]f g C a b   §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.2 Độ dài của vectơ. a.Đ/n. G/s E là một R-kgvt đã được trang bị tích vô hướng . Khi đó với mỗi x∈E, thì ||x|| được xác định bởi gọi là độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x. 1 2, ,x x x x x     VD: Trong Rn với tích vô hướng thông thường ta có 2 2 2 1 2 ... nx x x x     §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b. Bất đẳng thức Cauchy-Schawarz. Cho E là một R-kgvt đã được trang bị TVH . Khi đó, với mọi x,y E ta có , .x y x y   VD: Trong Rn với tích vô hướng thông thường, ta có bđt sau 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ... ) ( ... )( ... ) n n n n x y x y x y x x x y y y            (bđt Bunhiacopxki)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.3 Góc giữa hai vectơ và hệ vecto trực giao. a.Đ/n. Cho hai vectơ x và y trong kgvt E với tích vô hướng . - Nếu x, y khác vecto không thì góc giữa hai vectơ x và y được xác định bởi  ,( , ) arccos . x yx y x y    - Nếu một trong hai vectơ x, y là vectơ không thì góc giữa hai vectơ x và y là tùy ý.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b. Hệ vectơ trực giao - Hai vectơ x, y trong kgvt E với tích vô hướng gọi là trực giao nếu =0. Kí hiệu x⊥y. VD1. Trong R3 với tích vô hướng thông thường, xét các vectơ x=(1;-1;2), y=(1;1;0), z=(0;0;2). Xét tính trực giao của các vectơ trên  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD2. Trong P2[x] với tích vô hướng 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx    Khi đó, u=1+x2 và v = x là trực giao  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Đ/n - Hệ vectơ {v1,v2,,vn} gọi là hệ trực giao nếu , 0, i jv v i j    -Hệ vectơ {v1,v2,,vn} gọi là hệ trực chuẩn nếu 0 khi , 1 khi i j i jv v i j       §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD1. Trong không gian Rn, với tích vô hướng thông thường, cơ sở chính tắc E là một hệ trực chuẩn. VD2. Trong P2[x] với tích vô hướng 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx    Tìm một hệ gồm 3 véctơ trực chuẩn đối với tích vô hướng trên.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b. Hai không gian con trực giao Trong kgvt E với tích vô hướng , cho vectơ x và hai kg con W, V. (i) x gọi là trực giao với W, kí hiệu: x ⊥ W nếu y, Wx y   (ii) V gọi là trực giao với W, kí hiệu: V ⊥ W nếu y, , Wx x V y    (iii) V gọi là phần bù trực giao với W, kí hiệu: W⊥ nếu { | , }TV W x E x y y W       §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.4 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. a.ĐL. Trong kgvt E với tích vô hướng , mọi hệ vectơ trực giao là hệ độc lập tuyến tính. c/m: b.Đ/n. Trong kgvt E với tích vô hướng , cơ sở B gọi là cơ sở trực giao (tương ứng cơ sở trực chuẩn) nếu nó là hệ trực giao (hệ trực chuẩn) VD. Trong kg Euclide Rn với tích vô hướng thông thường thì cơ sở chính tắc chính là cơ sở trực chuẩn  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài toán đặt ra: Cho kg Euclide E. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của E. TRỰC CHUẨN HÓA MỘT HỆ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.4 Thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Smith. G/s {v1, v2,, vn} là một hệ vectơ độc lập tuyến tính của kgvt E với tích vô hướng . Quá trình trực chuẩn hóa hệ véctơ trên gồm 2 bước: Bước 1. Trực giao hóa. Bước 2. Trực chuẩn hóa.  3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith Bước 1. Trực giao hóa. Đặt 1 1u v 1 2 1 2 2 2 1 ,u v uu v u     1 2 1 ,k i k k k i i i u vu v u u       1 2 1 ,n i n n n i i i u vu v u u        3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith ĐL. Hệ {u1, u2,, un} có tính chất (i) Là một hệ trực giao. (ii) span(u1, u2,, uk )= span(v1, v2,, vk), với k=1,,n C/m:...  3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith Bước 2. Trực chuẩn hóa. Đặt , 1,ii i ue i nu  Khi đó, ta được hệ {e1,e2,,en} là một hệ trực chuẩn. T/v: , 0 khi , , 1 khi . j i ji i j i j i j u u u i jue e i ju u u u           3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith VD1. Trong không gian R3, với tích vô hướng thông thường, hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn {e1,e2,e3} từ cơ sở B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;2);v3=(1;2;3)} VD2. Câu hỏi như VD1 với B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;0);v3=(1;0;0)} VD3. Câu hỏi như VD1 với tích vô hướng. 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ),( , , ) 2 3x x x y y y x y x y x y     3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith VD4. Trong không gian P2[x], với tích vô hướng hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn {e1,e2,e3} từ cơ sở E={1; x; x2} 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx     §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.5.Công thức tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn Trong kg Euclide (E, ), cho cơ sở trực chuẩn B={e1, e2,, en }. Khi đó, với mọi vectơ x và y thuộc E, ta có 1 1 2 2( ) , , ... , n ni x x e e x e e x e e         tức là 1 2( ) ( , , , ,..., , )B nx x e x e x e       1 ( ) < , [x] .[y]= n t B i i i ii x y x y    1 2 1 2( ) ( , ,..., ),( ) ( , ,..., )B n B nx x x x y y y y ở đó  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Ví dụ. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường, có một cơ sở trực chuẩn là 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2; ; , ; ;0 ; ; ; 3 3 3 2 2 6 6 6 B e e e                     Cho v=(1;2;-3). Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.6. Hình chiếu của một vectơ lên một kg vecto Đ/n. Trong kg Euclide (E, ), cho không gian con W và vectơ v. Hình chiếu của v lên W là một vec tơ của W, kí hiệu là chW(v), được xác định bởi ĐL. Trong kg Euclide (E, ), cho kg con W và vectơ x. G/s B={e1, e2,, em} là cơ sở trực chuẩn của W. Khi đó, hình chiếu của vecto v lên kg W là  W ( ) Wv ch v  W 1 1 2 2( ) , , ... , m mch v v e e v e e v e e          §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD1. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường. Giả sử H là không gian các nghiệm của phương trình x1+x2-x3=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. Tìm tọa độ của vectơ u=(1;2;3) thuộc H đối với cơ sở vừa tìm được ở trên. VD2. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường. Giả sử H là không gian các nghiệm của phương trình x1 -x2-x3=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. Tìm tọa độ của vectơ u=(4;1;3) thuộc H đối với cơ sở vừa tìm được ở trên. (Đề II-K56) ( Đề I-K56)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD3. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường. Cho các vecto u1=(1;2;3), u2=(-4;5;1), u3=(-2;9;7), u =(4;-1;-3). Đặt H=span{u1,u2,u3}. Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ u lên không gian con H. VD4. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường. Cho các vecto v1=(1;-2;3), v2=(3;-7;10), v3=(-1;3;-4), v =(1;3;1). Đặt H=span{v1,v2,v3}. Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ v lên không gian con H. ( Đề IV-K55) ( Đề III-K55)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD5. Trong không gian R3 với tích vô hướng cho A là không gian nghiệm của phương trình 2x1+2x2-x3=0 và vecto v =(2;2;1). 1) Tìm một cơ sở trực chuẩn của A. 2) Tìm vectơ w∈A sao cho w v và (Đề III-K55) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2  x x x y y y x y x y x y w 45 1 2w (2;1;6),w ( 2; 1; 6)    Đ/s:  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD6. Trong không gian R3 với tích vô hướng cho B là không gian nghiệm của phương trình 2x1+x2-2x3=0 và vecto v =(2;2;1). 1) Tìm một cơ sở trực chuẩn của B. 2) Tìm vectơ w∈B sao cho wv và (Đề IV-K55) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2x x x y y y x y x y x y   w 3 3 Đ/s:  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD7. Trong không gian R3 với tích vô hướng cho hệ và Tìm hình chiếu của vecto x lên không gian con W=span(B) và phân tích x=u+v với u∈W, v trực giao với u. (Đề I-K53) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2  x x x y y y x y x y x y Đ/s: 1 2{e =(1;-1;1),e =(1;1;1)}B (2;1; 1) x 1 1 3 3;1; , ;0; 2 2 2 2              u v §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO  §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 4.1 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu: ( ), ( ) , , ,f x f y x y x y E     Tính chất.   ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( , ) i f x x ii f x f y x y    §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 4.2.ĐL. Toán tử tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn. 4.3.Đ/n Ma trận A được gọi là ma trận trực giao nếu At = A-1 hay AtA=E 4.4. ĐL Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là phép biến đổ trực giao nếu ma trận của nó theo một cơ sở trực chuẩn nào đó là ma trận trực giao.  §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO Hệ quả. Ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể xem là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn này sang cơ sở trực chuẩn khác. VD. cos sin sin cosA          §5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG  §5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.1 Đn. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E gọi là toán tử đối xứng nếu ( ), , ( )f x y x f y   5.2 ĐL. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là toán tử đối xứng nếu ma trận của nó đối với một cơ sở trực chuẩn là đối xứng.  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.3 ĐL. Nếu A là ma trận đối xứng thì A có các tính chất dưới đây. (i) Mọi giá trị riêng của A đều là thực (ii) Pt đặc trưng có đủ n nghiệm (kể cả bội) (iii) Các vecto riêng ứng với các trị riêng khác nhau trực giao với nhau. (iv) A chéo hóa được.  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.3 Đ/n. Mtr A gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại mtr trực giao T sao cho TtAT là mtr chéo. 5.4 ĐL. Mtr A chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi A là mtr đối xứng.  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.5. Thuật toán chéo hóa trực giao mtr đối xứng A Bc 1. Tìm các trị riêng λ1, λ2,, λk của A tương ứng có các bội d1, d2,, dk với d1+d2++ dk=n. Bc2. Với mỗi trị riêng λi, ta tìm một cơ sở trực chuẩn của kg riêng bằng thuật toán Gram-Smith. Khi đó, ta sẽ có một cơ sở trực chuẩn là các vectơ riêng của A. Bc3. Lập mtr T có các cột là các vectơ trong các cơ sở trực chuẩn, ta được T là mtr trực giao, làm chéo hóa A. ( )iP A  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG VD 1. Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa các mtr sau 5 2) 2 8 3 1 1 ) A 1 3 1 1 1 3 a A b                (Đề IV-K49)  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG VD 2. Cho ma trận i) Tìm mtr trực giao P và ma trận chéo D sao cho 0 1 2 A 1 0 2 2 2 3          (Đề IV-K54) 1 P AP D 10Aii) Tính Đ/s: Các GTR là -5, 1, 1  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa trực giao G/s A, A’ tương ứng là mtr của dạng toàn phương φ với cơ sở trực chuẩn E và B. Nếu T là ma trận chuyển cơ sở từ E sang B thì T là ma trận trực giao và A’=TtAT. Nếu A’ có dạng chéo thì với cơ sở B, φ có dạng chính tắc.  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG Step 2: Chéo hóa trực giao ma trận A. Step 3: Giả sử T là ma trận trực giao làm chéo hóa A. Khi đó [y]=T[x], ta có có dạng chéo. Thuật toán: Cho dạng toàn phương Step 1: Xác định ma trận A của dạng toàn phương. 1 2 3( ) ( , , )  x x x x 1 2 3( ) ( , , )  y y y y  §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG Đưa các dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa trực giao 2 3 1 2 1 3 2 35 4 6 6q x x x x x x x     (Đề I-K55)(i) (Đề I-K55)(ii) 23 1 2 1 3 2 34 2 6 6   q x x x x x x x (Đề III-K56) (iii) 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 33 3 6 4 2 2     q x x x x x x x x x (Đề IV-K56) (iv) 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 32 2 3 2 4 4     q x x x x x x x x x §6: KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE  §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 6.1 Định nghĩa. G/s E là một kg Euclide n- chiều trên trường số thực. Đ/n. Tập U được gọi là không gian hình học Euclide n chiều tựa trên E nếu mỗi cặp (M, N)∈UxU tương ứng với một véctơ của E, kí hiệu là thỏa mãn 2 tiên đề sau: MN  , M,N,P UMN NP MP       (i) (ii) Với mỗi M ∈U và tồn tại duy nhất N ∈U để MN a  a E   §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Khi U là không gian hình học Euclide thì các phần tử của U được gọi là các điểm. VD1. - Mặt phẳng hình học thông thường là một không gian hình học Euclide hai chiều. - Không gian hình học thông thường là một không gian hình học Euclide ba chiều. VD2. Với mỗi M(x1;x2;;xn), N(y1;y2;;yn) ∈Rn ta cho tương ứng với vectơ Khi đó, Rn là một kg hình học Euclide. 1 1 2 2( , ,..., ) nn nMN y x y x y x        §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Đ/n 2. U là một kg hình học Euclide tựa trên E, G là một điểm của U; {f1, f2,,fn} là một cơ sở trực chuẩn của E thì bộ [G,(f1, f2,,fn)] được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn của U với gốc tọa độ G. Khi đó, với mỗi điểm M của U, tọa độ của véc tơ đối với cơ sở trực chuẩn trên gọi là tọa độ của M theo hệ tọa độ [G,(f1, f2,,fn)] . GM   §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Ví dụ. 1.Hệ tọa độ Đề các Oxy trong mặt phẳng. 2. Hệ tọa độ Đề các Oxyz trong không gian.  §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 6.2 Siêu phẳng và đường thẳng. Đ/n 1. Cho kg Euclide U tựa trên E. Tập con 1 2 1 1 2 2{ ( , ,..., ) | ... }n n nP M x x x U a x a x a x b      với gọi là một siêu phẳng của U. 1 2( , ,..., ) (0;0;...;0)na a a  Khi đó, gọi là phương trình của P. 1 1 2 2 ... n na x a x a x b    Ví dụ. Đường thẳng trong mặt phẳng, mặt phẳng trong không gian.  §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Đn 2. Đường thẳng D của không gian Euclide U là tập con của U có dạng 0 1 1 1 0 2 2 2 1 2 0 M(x ,x ,..., x ) ...n n n n x x a t x x a tD x x a t                     với 1 2( , ,..., ) (0;0;...;0)na a a   §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 6.3 Mặt bậc hai. Đ/n 1. Tập con S trong kg hình học Euclide n chiều U tựa trên E được gọi là một mặt bậc hai, nếu với mỗi hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f1, f2,,fn)] của U thì 1 2 ij , 1 1 ( , ,..., ) | ' 0 n n n i j i i i j i S M x x x U a x x b x c               trong đó không đồng thời bằng 0 và b1, b2, , bn, c là các hằng số xác định. ij'a  §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE VD1.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn, các đường cônic là một mặt bậc 2: (C) (x-a)2 + (y-b)2 = R2 VD2.Trong không gian Oxyz, mặt cầu là một mặt bậc 2: (C) (x-a)2 + (y-b)2 +(z-c)2 = R2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 1, ( ) 1, ( ) x y x yE H P y ax a b a b       §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE NX. Nếu đặt thì A=[aij ] là một ma trận đối xứng và ij 1 ( ' ' ) 2ij ji a a a  ij , 1 1 1 ' [x] [ ] n n n t i j i i i i i j i i a x x b x c A x b x c            §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Bài toán đặt ra. Cho S là một mặt bậc hai trong kg Euclide n chiều U tựa trên E. G/s trong một hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f1,f2,,fn)], S có pt: 1 [x] [ ] 0 n t i i i A x b x c     Ta cần tìm một hệ tọa độ mới trong U để trong hệ tọa độ đó pt của S là 2 1 1 0 r n i i i i i i r x c x d         được gọi là dạng chính tắc của S. §7:ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC TRONG KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE.  §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 7.1.Đưa phương trình bậc hai về dạng chính tắc. Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học Euclide U, có phương trình trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e1,e2,,en)]. [x] [ ] ( )t tA x c A A  Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới gốc G để trong hệ đó S có phương trình dạng chính tắc 2 1 r i i i x c     §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Lời giải cho bài toán. G/s T là mtr trực giao làm chéo hóa A. Khi đó 1 2 0 0 0 0 0 0 ... t n T AT                  [ ]=T[ ]x yĐặt thì S có pt: 1 2 2 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 [ ] [ ] 0 0 ... t t t n t i i i n x A x y T AT y y y x                      Hệ tọa độ trực chuẩn mới của U để S có dạng chính tắc là [G,(f1;f2;;fn)] với [f1 f2 fn]=[e1 e2 en]T §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn [O,(e1;e2;e3)], đường cong S có phương trình Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1( ) 2 2 2 2 2 2 5S x x x x x x x x x       Nhận xét. Nếu chỉ để nhận dạng mặt bậc hai thì chỉ việc dùng các phép biến đổi không suy biến, chẳng hạn phương pháp Lagrange và Jacobi. Nhưng như thế, thực chất nó đã bị biến dạng (elip thành đường tròn, hình cầu thành elipsoid,). Trong thực tế đôi khi người ta không chỉ quan tâm đến dạng của mặt mà còn kích cỡ của nó, nên người ta phải dùng đến phép biến đổi trực giao để đưa nó về dạng chính tắc. §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 7.2.Đưa mặt bậc hai về dạng chính tắc trong không gian hình học Euclide. Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học Euclide U, có phương trình trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e1,e2,,en)]. 1 [ ] [ ] 0 n t i i i x A x b x c     Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới để trong hệ đó S có dạng chính tắc.  §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Bước 1: Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa A. Tìm hệ tọa độ [G;(f1;f2;;fn)] tương ứng với T và phép biến đổi như trong mục 7.1 Khi đó, pt của (S) sẽ là [ ]=T[ ]x y 2 1 1 2 0 ( 0, 1, ) r n i i i i i i i y c y c i r            Bước 2: Rút gọn 2 2 1 1 1 2 0 r n r i i i i i i i i r ii i c cy c y c                    §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Bước 3: Chọn điểm I∈U có tọa độ là trong hệ tọa độ [G,(f1;f2;;fn)]. Khi đó, trong hệ tọa độ [I,(f1;f2;;fn)], S có pt chính tắc 1 2 1 2 , ,..., ,0,...,0r r c c c         2 2 1 1 1 ' 2 ' 0 r n r i i i i i i i r i i cy c y c              §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn [O,(e1;e2;e3)], đường cong S có phương trình Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 5 S x x x x x x x x x x x x           §8: PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG  §8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một đường bậc 2 (C) về dạng chính tắc, bao gồm các dạng sau đây: Dạng 1. (elip) Dạng 2. (hypecbol) Dạng 3. (parabol) 2 2 2 2 1 x y a b   2 2 2 2 1 x y a b   2 2x py  §8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 4. (cặp đường thẳng cắt nhau) Dạng 5. (một điểm) Dạng 6. (cặp đường thẳng song song) 2 2 2 2 0 x y a b   2 2 1 x a  2 2 2 2 0 x y a b   Dạng 7. (cặp đường thẳng trùng nhau) 2 2 0 x a  Dạng 8. (elip ảo) Dạng 9. (cặp đường thẳng ảo song song) 2 2 2 2 1 x y a b    2 2 1 x a   §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một mặt bậc 2 (S) về dạng chính tắc, bao gồm các dạng sau đây: Dạng 1. (elipsoid) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c     §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 2. (hypecboloid- một tầng) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c     §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 3. (hypecboloid- hai tầng) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c      §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 4. (Paraboloid- eliptic) 2 2 2 2 x yz a b    §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 5. (Paraboloid- hypecbolic) 2 2 2 2 x yz a b   Mặt yên ngựa  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 6. (các mặt trụ) 2 2 2 2 1 x y a b  - Trụ eliptic 2 2 0 x py a  - Trụ parabolic 2 2 2 2 1 x y a b  - Trụ hypecbolic 2 2 2 2 0 x y a b  - Nhị diện  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 7. (Mặt nón) 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c     §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 8. (cặp mặt phẳng song song) Dạng 9. (cặp mặt phẳng trùng nhau) 2 2 1 x a  2 2 0 x a   §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 10. (Các dạng ảo) a) Elipsoid ảo 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c     2 2 1 x a   b) Trụ elipsoid ảo c) Các mặt phẳng ảo song song 2 2 2 2 1 x y a b     §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Ví dụ 1. Nhận dạng các đường bậc hai sau a) 2 21 2 1 2 1 1x x x x x    b) 21 1 2 22 3 0x x x x   Ví dụ 2. Nhận dạng các mặt bậc hai sau a) 2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 12 3 10x x x x x x x x x      b) 2 21 2 1 2 3 1 22 3 4 0x x x x x x x       §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI VD3. Trong xét tích vô hướng thông thường, cho dạng toàn phương 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3( ; ; ) 4 3    x x x x x x x x i) Tìm một cơ sở trực chuẩn của để dạng toàn phương có dạng chính tắc. ii) Xác định tên của mặt bậc hai sau 1 2 3( ; ; ) 1 x x x 3 3 (Đề 3-K52)