Bài giảng Phép tính vi phân của hàm số

CHÖÔNG 3 PHEÙP TÍNH VI PHAÂN CUÛA HAØM SOÁ §3.1. KHAÙI NIEÄM ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN 1. ÑAÏO HAØM Cho haøm soá :f D vaø x laø ñieåm trong cuûa D, nghóa laø coù laân caän ( , )V x x cuûa x chöùa trong D. Neáu tæ soá ( ) ( )f s f x s x coù giôùi haïn khi s x thì giaù trò cuûa giôùi haïn naøy ñöôïc goïi laø ñaïo haøm cuûa f taïi x vaø ñöôïc kyù hieäu laø ( )f x , nghóa laø, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim . hs x f s f x f x h f x f x s x h Ta cuõng hay vieát ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h f x f s f x vaø ( ) ,x s x x h x do ñoù 0 ( ) ( ) lim . x f x f x x Neáu ñaët ( )y f x thì ( )f x coøn ñöôïc kyù hieäu laø dy dx hoaëc x D y . Neáu hai giôùi haïn sau ñaây toàn taïi 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) lim vaø lim s x s x f s f x f s f x k k s x s x thì hai giaù trò k1 vaø k2 laàn löôït ñöôïc goïi laø ñaïo haøm beân traùi vaø ñaïo haøm beân phaûi cuûa f taïi x. Dó nhieân raèng f coù ñaïo haøm taïi x khi vaø chæ khi f coù ñaïo haøm hai beân taïi x, ñoàng thôøi giaù trò ñaïo haøm hai beân baèng nhau. Tröôøng hôïp moïi ñieåm thuoäc D ñeàu laø ñieåm trong cuûa D thì ta noùi D laø taäp hôïp môû trong , vaø luùc ñoù neáu f coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm x thuoäc D thì ta coù ñaïo haøm baäc nhaát : ( ), f D x f x vaø khi haøm soá f cuõng coù ñaïo haøm thì ta coù ñaïo haøm baäc hai cuûa f laø : ( ) ( ) ( ), f D x f x f x luùc ñoù ( )f x cuõng ñöôïc vieát laø 2 2 d y dx hoaëc 2 x D y (neáu ñaët ( )y f x ). Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 2 Toång quaùt, ta coù ñònh nghóa ñaïo haøm baäc n cuûa f theo kieåu qui naïp 1 ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) hoaëc hoaëc ( ). n n n n n n x x xn n d y d d y f x f x D y D D y dxx x 2. YÙ NGHÓA ÑAÏO HAØM & ÑÒNH NGHÓA SÖÏ KHAÛ VI Giaû söû haøm soá :f D coù ñaïo haøm taïi x. a) Khaùi nieäm tieáp tuyeán Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá f, nghóa laø 2 ( ) ; ( )C x f x x D . Xeùt caùc ñieåm thuoäc (C) laø ; ( )M x f x vaø ; ( )M s f s thì tæ soá ( ) ( )f s f x s x laø heä soá goùc caùt tuyeán MM’ cuûa ñöôøng cong (C), töùc laø giaù trò tan cuûa goùc löôïng giaùc hôïp bôûi tia Ox vôùi tia MM’: Theo ñònh nghóa ñaïo haøm, khi s x thì M’ tieán veà M treân (C), heä soá goùc cuûa caùt tuyeán MM’ tieán veà moät giaù trò giôùi haïn k, cuõng coù nghóa laø caùt tuyeán MM’ di chuyeån ñeán moät vò trí giôùi haïn Mt maø ta goïi laø tieáp tuyeán taïi M cuûa (C). Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán chính laø ( ).k f x Giaù trò ( )k f x cuõng noùi leân ñoä doác cuûa (C) taïi M, hoaëc ñoä bieán f(s) f(x) M’ M t x s x O y Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 3 thieân cuûa haøm soá f taïi x. Do ñoù, tieáp tuyeán Mt cuûa (C) taïi ñieåm ; ( ) M M M x f x coù phöông trình laø ( ) : ( ) ( ).( ) M M M Mt y f x f x x x . b) Khaùi nieäm vaän toác töùc thôøi Trong cô hoïc, giaû söû moät ñoäng töû chuyeån ñoäng thaúng treân truïc x’Ox sao cho taïi thôøi ñieåm x, ñoäng töû ôû vò trí M ñònh bôûi ( ).OM f x Taïi thôøi ñieåm x + h, ñoäng töû ôû vò trí M’ ñònh bôûi ( ).OM f x h Vaäy trong khoaûng thôøi gian h, ñoäng töû di chuyeån ñöôïc quaõng ñöôøng coù ñoä daøi ñaïi soá laø ( ) ( )MM f x h f x vaø vaän toác trung bình cuûa ñoäng töû trong khoaûng thôøi gian ñoù laø ( ) ( )f x h f x h . Khi h tieán veà 0, vaän toác trung bình tieán veà moät giaù trò giôùi haïn ( )f x maø ta goïi laø vaän toác töùc thôøi cuûa ñoäng töû taïi thôøi ñieåm x. c) Khaùi nieäm khaû vi vaø vi phaân Neáu ta ñaët ( ) ( ) ( ) ( ) f x h f x h f x h thì ta coù ( ) 0h khi 0,h ñoàng thôøi ( ) ( ) ( ). . ( )f x h f x f x h h h (1) Töø ñaúng thöùc (1), ta coù khaùi nieäm khaû vi sau ñaây Ñònh nghóa. Haøm soá f ñöôïc goïi laø khaû vi taïi x, vôùi x laø ñieåm trong cuûa taäp xaùc ñònh D, coù nghóa laø toàn taïi haøm soá : ( , ) vaø moät soá thöïc kx thoûa hai ñieàu sau: (i) ( , ),h x h D (ii) 0 lim ( ) 0 h h vaø ( , ), ( ) ( ) . . ( ). x h f x h f x k h h h Deã thaáy raèng f khaû vi taïi x töông ñöông vôùi f coù ñaïo haøm taïi x. Hôn nöõa, khi f khaû vi taïi x thì soá kx trong (ii) cuõng laø ( ).f x Ñaúng thöùc (1) coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( ),f s f x f x s x s x s x Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 4 trong ñoù ( ) 0s x khi .s x Neáu kyù hieäu ,x s x ñöôïc goïi laø soá gia cuûa x, vaø kyù hieäu ( ) ( ),y f s f x ñöôïc goïi laø soá gia cuûa ( )y f x thì ñaúng thöùc treân ñöôïc vieát laïi nhö sau ( ). . ( ).y f x x x x Khi soá gia x “raát laø nhoû” thì ta thaáy ( ). ,y f x x vaø yù nghóa cuûa söï xaáp xæ naøy ñöôïc kyù hieäu bôûi ñaúng thöùc ( )dy f x dx , kyù hieäu dy ñöôïc goïi laø vi phaân cuûa haøm soá ( )y f x taïi x. Ñaúng thöùc ( )dy f x dx cuõng giaûi thích cho yù nghóa cuûa kyù hieäu dy dx ñeå chæ ñaïo haøm cuûa ( )y f x taïi ñieåm x, noùi caùch khaùc 0 lim ( ). x dy y f x dx x Baøi taäp 1. Duøng ñònh nghóa ñaïo haøm, chöùng minh raèng a) Neáu 2( ) thì ( ) 2 ;f x x f x x b) Neáu 3 2( ) thì ( ) 3 ;f x x f x x c) Neáu 1 ( ) thì ( ) (vôùi 0); 2 f x x f x x x d) Neáu 3 3 2 1 ( ) thì ( ) (vôùi 0). 3 f x x f x x x 2. Söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm vaø chaáp nhaän keát quaû 0 sin lim 1, u u u haõy chöùng minh ñaïo haøm cuûa sin laø cos; ñaïo haøm cuûa cos laø sin . 3. Khaûo saùt ñaïo haøm beân traùi vaø beân phaûi taïi x = 2 cuûa haøm soá f ñònh bôûi ( ) 2 3.f x x 4. Khaûo saùt ñaïo haøm beân traùi vaø beân phaûi taïi x = 1 cuûa haøm soá f ñònh bôûi 2 ( ) 2 1 .f x x x x Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 5 5. Khaûo saùt söï khaû vi taïi x = 0 cuûa haøm soá :f ñònh bôûi 1 sin khi 0, ( ) 0 khi 0. x x f x x x 6. Cho haøm soá :f ñònh bôûi 2 1 sin khi 0, ( ) 0 khi 0. x x f x x x Chöùng minh f coù ñaïo haøm taïi x = 0 vaø tính ( ).f x 7. Cho haøm soá :f ñònh bôûi 3 1 sin khi 0, ( ) 0 khi 0. x x f x x x Chöùng minh f coù ñaïo haøm caáp hai taïi x = 0. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 6 §3.2. COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM CUÛA CAÙC HAØM SÔ CAÁP CÔ BAÛN 1. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA PHEÙP TÍNH ÑAÏO HAØM Vieäc chöùng minh caùc meänh ñeà sau ñaây daønh cho sinh vieân nhö laø baøi taäp. Meänh ñeà 3.2.1. Neáu haøm soá f khaû vi (coù ñaïo haøm) taïi x thì f lieân tuïc taïi x. Meänh ñeà 3.2.2. Cho , :f g D laø hai haøm soá khaû vi taïi .x D Ta coù caùc haøm soá , ( )f g f vaø f.g laø caùc haøm khaû vi taïi x vaø (i) ( ) ( ) ( ) ( ),f g x f x g x (ii) ( ) ( ) ( ),f x f x (iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).fg x f x g x f x g x Hôn nöõa, khi ( ) 0g x thì haøm soá 1 g xaùc ñònh treân moät laân caän cuûa x vaø laø haøm khaû vi taïi x vôùi 2 1 ( ) ( ) , ( ) g x x g g x heä quaû laø 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f f x g x f x g x x g g x Meänh ñeà 3.2.3 [Ñaïo haøm cuûa haøm hôïp] Xeùt caùc haøm soá 1 2 . f g D D Neáu f khaû vi taïi 1 x D vaø g khaû vi taïi 2 ( )y f x D thì haøm hôïp ( )g f g f khaû vi taïi x vaø ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ).g f x g y f x g f x f x Meänh ñeà 3.2.4 [Ñaïo haøm cuûa haøm ngöôïc] Cho :f D laø moät ñôn aùnh. Neáu f khaû vi taïi x D vaø ( ) 0f x thì haøm ngöôïc 1 : ( )f f D khaû vi taïi ( ) ( )y f x f D vaø 1 1 1 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) f y f x f f y Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 7 2. COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM CUÛA CAÙC HAØM SÔ CAÁP CÔ BAÛN Söû duïng giôùi haïn cuûa caùc haøm sô caáp cô baûn trong chöông tröôùc vaø caùc meänh ñeà ôû muïc treân, sinh vieân coù theå chöùng minh keát quaû sau f(x) f ’(x) 1) , x e x x e 2) ln , 0x x 1 x 3) , 0 vaø x x 1 x 4) , vôùi 0 1xa a . ln x a a 5) log , 0 1, 0 a x a x 1 .lnx a 6) sin , x x cos x 7) cos , x x sin x 8) tan , vôùi , 2 x x k k 2 2 1 1 tan cos x x 9) cot , vôùi , x x k k 2 2 1 (1 cot ) sin x x 10) arcsin , vôùi 1 1x x 2 1 1 x 11) arccos , vôùi 1 1x x 2 1 1 x 12) arctan , vôùi x x 2 1 1 x 13) arccot , vôùi x x 2 1 1 x Baøi taäp 1. Chöùng minh caùc meänh ñeà töø 3.2.1 ñeán 3.2.4. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 8 2. Söû duïng giôùi haïn cuûa caùc haøm sô caáp cô baûn, haõy chöùng minh coâng thöùc ñaïo haøm cuûa caùc haøm sô caáp cô baûn. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 9 §3.3. CAÙC ÑÒNH LYÙ SOÁ GIA HÖÕU HAÏN Sinh vieân thöïc haønh chöùng minh caùc meänh ñeà sau coù söï höôùng daãn treân lôùp: 1. CAÙC ÑÒNH LYÙ SOÁ GIA HÖÕU HAÏN Ñònh lyù 3.3.1 [ñònh lyù Fermat]. Neáu :f D khaû vi taïi x D vaø ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi x, nghóa laø giaù trò f(x) hoaëc laø lôùn nhaát; hoaëc laø nhoû nhaát treân moät laân caän naøo ñoù cuûa x, thì ( ) 0.f x Ghi chuù. Baát kyø moät giaù trò x thoûa ( ) 0f x ñöôïc goïi laø ñieåm döøng cuûa haøm soá f. Ñònh lyù 3.3.2 [ñònh lyù Roll]. Cho haøm soá : [ , ]f a b lieân tuïc treân [a, b] vaø khaû vi treân (a, b) vaø ( ) ( )f a f b thì toàn taïi ( , )c a b sao cho ( ) 0.f c Ñònh lyù 3.3.3 [ñònh lyù Cauchy]. Cho hai haøm soá lieân tuïc , : [ , ]f g a b . Neáu f, g khaû vi treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi ( , )c a b sao cho ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ),g b g a f c f b f a g c vaø khi ( ) ( ) vaø ( , ), ( ) 0g b g a x a b g x thì ñaúng thöùc treân ñöôïc vieát thaønh daïng ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c Ñònh lyù 3.3.4 [ñònh lyù Lagrange-Giaù trò trung bình]. Cho haøm soá lieân tuïc : [ , ] .f a b Neáu f khaû vi treân (a, b) thì toàn taïi ( , )c a b sao cho ( ) ( ) ( ). ( ).f b f a b a f c 2. ÖÙNG DUÏNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ Töø ñònh lyù giaù trò trung bình cuûa Lagrange 3.3.4, ta coù meänh ñeà sau nhö laø moät heä quaû tröïc tieáp Meänh ñeà 3.3.5. Cho haøm soá khaû vi : ( , )f a b vôùi ,a b . Khi ñoù Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 10 (i) Neáu ( , ), ( ) 0x a b f x , thì f laø haøm soá ñoàng bieán. (ii) Neáu ( , ), ( ) 0x a b f x , thì f laø haøm soá nghòch bieán. (iii) Neáu ( , ), ( ) 0,x a b f x thì f laø haøm haèng. Meänh ñeà 3.3.5 ôû treân keát hôïp vôùi ñaïo haøm baäc hai cuûa f cuõng cho ta moät tieâu chuaån ñeå kieåm tra f coù ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi moät ñieåm döøng hay khoâng, cuï theå laø Meänh ñeà 3.3.6. Cho : ( , )f a b coù ñaïo haøm baäc hai treân (a, b). (i) Neáu ( ) 0 vaø ( ) 0f x f x thì f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi x. (ii) Neáu ( ) 0 vaø ( ) 0f x f x thì f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi x. Chöùng minh. Ta chöùng minh (ii), phaàn (i) töông töï. Theo ñònh nghóa veà tính khaû vi taïi x cuûa haøm soá f , ta coù laân caän V cuûa x sao cho , ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( )t V f t f x f x t x t x t vôùi lim ( ) 0. t x t Vôùi t thuoäc laân caän V1 cuûa x ñuû nhoû (yù noùi t ñuû gaàn x) thì ( ) ( ) 0,f x t vaø 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.t V f t f x t x f x t t x Maët khaùc, ( ) 0f x neân ta coù hai ñieàu sau 1 , neáu thì ( ) 0,t V t x f t 1 , neáu thì ( ) 0.t V t x f t Töø hai ñieàu treân vaø aùp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm soá f, vôùi moïi giaù trò s thuoäc V1, toàn taïi moät soá t naèm giöõa s vaø x sao cho ( ) ( ) ( )( ) 0,f s f x f t s x nghóa laø f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi x. Keát thuùc chöùng minh.  Meänh ñeà 3.3.5 vaø 3.3.6 laø cô sôû cho vieäc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá maø sinh vieân ñaõ laøm quen ôû trung hoïc phoå thoâng. Baøi taäp 1. Cho 1 , ( , ).u v C a b Giaû söû raèng haøm soá u v uv khoâng trieät tieâu treân (a, b). Chöùng minh raèng giöõa hai nghieäm x1 < x2 cuûa phöông Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 11 trình ( ) 0u x (neáu coù nghieäm), coù ít nhaát moät nghieäm cuûa phöông trình ( ) 0.v x 2. Chöùng minh raèng neáu 0 11 0 1 2 n n a aa a n n thì phöông trình aån x: 1 0 1 1 0 n n n n a x a x a x a coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (0, 1). 3. Giaû söû phöông trình 1 0 1 1 0 n n n a x a x a x coù nghieäm 0 0.x Chöùng minh phöông trình sau coù nghieäm döông nhoû hôn x0: 1 2 0 1 1 ( 1) 0. n n n na x n a x a 4. Cho *( ) 1 (1 ), vôùi , .m nf x x x m n Chöùng minh raèng phöông ( ) 0f x coù ít nhaát moät nghieäm 0 (0,1).x 5. Chöùng minh raèng phöông trình 0 n x px q coù a) toái ña hai nghieäm neáu n chaün; b) toái ña ba nghieäm neáu n leû. 6. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau a) ln (vôùi 0 ) a b a a b b a a b b ; b) 1 1( ) ( ) (vôùi 0, 1);n n n nny x y x y nx x y x y n c) 15 1 4 (vôùi 15); 8 x x x d) 1 1 1 (vôùi 1, 0); 22 1 x x x x x x e) ln(1 ) (vôùi 1, 0); 1 x x x x x x f) 2 2 tan tan (vôùi 0 ); 2cos cos x y x y x y y x y y e) 1 arctan (vôùi 1); 4 2 x x x Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 12 g) 2 arctan (vôùi 0); 1 x x x x x h) 2 sin 1 (vôùi 0 ). 2 x x x 7. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau a) §3.4. ÑÒNH LYÙ TAYLOR VAØ XAÁP XÆ HAØM SOÁ Khi f coù ñaïo haøm tôùi baäc n, thì do meänh ñeà 3.3.1, caùc ñaïo haøm baäc thaáp hôn (vôùi qui öôùc (0) f f ) cuõng lieân tuïc. Neáu f coù ñaïo haøm caáp n treân D vaø ( )n f laø haøm soá lieân tuïc treân D thì ta noùi f thuoäc lôùp C n treân D, kyù hieäu laø ( ). n f C D 1. ÑÒNH LYÙ KHAI TRIEÅN HAØM SOÁ THAØNH ÑA THÖÙC Ñònh lyù 3.4.1 [ñònh lyù Taylor vôùi dö soá Lagrange]. Cho 1 ( ) n a f C V vôùi Va laø moät laân caän cuûa a. Khi ñoù, vôùi moïi x thuoäc Va, ta coù khai trieån sau ñaây ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ), ! kn k n k f a f x x a R x k (T) trong ñoù ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x a n vaø  laø moät giaù trò naøo ñoù naèm giöõa a vaø x. Ghi chuù. a) Bieåu thöùc Rn(x) ñöôïc goïi laø dö soá Lagrange trong coâng thöùc Taylor. b) Coâng thöùc (T) ñöôïc goïi laø coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa f ñeán baäc n xung quanh ñieåm a. c) Tröôøng hôïp a = 0 thì coâng thöùc (T) ñöôïc goïi laø coâng thöùc khai trieån Mac-Laurin cuûa f ñeán baäc n. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 13 Chöùng minh. Ñaët Q(x) laø bieåu thöùc sao cho ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ! ( 1)! kn k n k f a Q x f x x a x a k n Xeùt haøm soá F ñònh bôûi ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1)! kn k n k f t Q x F t f x x t x t k n thì roõ raøng ( ) ( ).F x F a Sinh vieân töï kieåm chöùng raèng vôùi moïi t thuoäc Va, ta coù ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ! ! n n nf t Q x F t x t x t n n Nhö vaäy F thoûa giaû thieát cuûa ñònh lyù Roll, do ñoù toàn taïi moät giaù trò  naèm giöõa a vaø x sao cho ( ) 0,F suy ra ( 1) ( ) ( ) n Q x f vaø ta keát thuùc chöùng minh.  2. XAÁP XÆ HAØM SOÁ BAÈNG ÑA THÖÙC Ñònh lyù 3.4.2 [Khai trieån Taylor vôùi dö soá Peano]. Cho 1 ( ) n a f C V vôùi Va laø moät laân caän cuûa a. Giaû söû f coù ñaïo haøm ñeán baäc n taïi ñieåm a. Khi ñoù, ña thöùc ( ) 0 ( ) ( ) ( ) (vôùi ) ! kn k n a k f a P x x a x V k (T_P) laø moät ña thöùc xaáp xæ toái haûo ñeán baäc n cuûa f xung quanh ñieåm a, theo nghóa ( ) ( ) lim 0. ( ) n nx a f x P x x a Ghi chuù. Ngöôøi ta duøng kyù hieäu o( ) n x a ñeå chæ cho baát kyø haøm soá : a V thoûa tính chaát ( ) lim 0 ( ) nx a x x a . Do ñoù, trong ñònh lyù treân, ta coù theå vieát Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 14 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) o( ) , vôùi . ! kn k n a k f a f x x a x a x V k Ñaïi löôïng o( ) n x a ñöôïc goïi laø dö soá Peano cuûa khai trieån Taylor. Chöùng minh. Tröôøng hôïp 1n , theo ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa f taïi ñieåm a thì 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) 0, x a x a f x P x f x f a f a x a x a nghóa laø ñònh lyù ñuùng khi 1n . Giaû söû ñònh lyù ñuùng vôùi giaù trò 1n . Theo pheùp qui naïp, ta seõ chöùng minh ñònh lyù ñuùng vôùi giaù trò 1n , nghóa laø xeùt haøm soá baát kyø ( ) n a g C V vaø g coù ñaïo haøm caáp 1n taïi ñieåm a, ta chöùng minh 1 1 ( ) ( ) lim 0 ( ) n nt a g t Q t t a vôùi ( )1 1 0 ( ) ( ) ( ) ! kn k n k g a Q t t a k vaø . a t V Thaät vaäy, aùp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm G ñònh bôûi 1 ( ) ( ) ( ) n G t g t Q t , löu yù laø ( ) 0,G a ta coù moät giaù trò x naèm giöõa a vaø t sao cho 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( ), n g t Q t G t G a G x t a suy ra ( )1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( ) ( 1) ! kn k n k g a g t Q t g x x a t a k1 (1) Maët khaùc, haøm soá f g thuoäc lôùp 1 ( ) n a C V vaø f coù ñaïo haøm caáp n taïi ñieåm a. Töø giaû thieát qui naïp, “ñònh lyù ñuùng vôùi n” aùp duïng cho haøm f g , ta coù ( ) ( ) lim 0 ( ) n nx a g x P x x a vôùi ( )1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! kn k n k g a P x x a k1 (2) Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 15 Töø (1) vaø (2) ta suy ra ( )1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0, ( ) ( ) kn k n k n n n n n n t a t a t a g a g x x a g t Q t k t a t a g x P x x a x a t a 1 löu yù trong ñaúng thöùc cuoái cuøng laø do ñònh lyù keïp vaø ( ) 1. ( ) n n x a t a Vaäy ta keát thuùc chöùng minh.  Ñònh lyù 3.4.3 [tính duy nhaát cuûa xaáp xæ toái haûo]. Cho 1 ( ) n a f C V vôùi Va laø moät laân caän cuûa a. Giaû söû f coù ñaïo haøm ñeán baäc n taïi ñieåm a. Khi ñoù, xaáp xæ toái haûo ñeán baäc n cuûa f xung quanh ñieåm a laø duy nhaát, coù nghóa laø neáu 0 ( ) ( ) n k k k Q x a x a (vôùi a x V ) laø ña thöùc thoûa ( ) ( ) lim 0 ( ) nx a f x Q x x a thì ( ) ( ) , 0, . ! k k f a a k n k Chöùng minh. Theo ñònh lyù 3.4.3, ta coù ( ) 0 ( ) ( ) ( ) o( ) , ! kn k n k f a f x x a x a k do ñoù ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 lim lim . !( ) ( ) kn kn n k k x a x a f x Q x f a a kx a x a Töø keát quaû naøy, sinh vieân haõy töï suy ra ( ) ( ) , 0, . ! k k f a a k n k 