Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ - Huỳnh Quang Vũ

= 0, z = 0, x+2y+ z = 2, định hướng ra ngoài. Tính tích phân ∬ S ®F · d ®S. (g) Cho khối E xác định bởi điều kiện x2 + y2 ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2. Gọi S là mặt biên của E , định hướng ra ngoài. Cho F(x, y, z) = (2x,3y,4z). Tính thông lượng của F qua S. (h) Tính tích phân của trường (x, y, z− 2y) trên mặt (s cos t, s sin t, t), 0 ≤ s ≤ 2, 0 ≤ t ≤ 2pi. Hãy vẽ mặt này (bằng máy tính). 2.4.7. Cho mặt elliptic paraboloid z = ( x 3 )2 + ( y 4 )2 , z ≤ 5. (a) Bằng cách đổi biến x3 = r cosθ, y 4 = r sinθ đưa ra một phương trình tham số của mặt. (b) Tính xấp xỉ diện tích của mặt này. 2.4.8. Cho S là mặt z = xy với 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 3. Tính tích phân mặt∬ S xyz dS ra số thập phân. 2.4.9. Mặt helocoid có phương trình tham số ϕ(r, θ) = (r cosθ,r sinθ, θ), 1 < r < 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi. Vẽ mặt này. Giả sử một vật có hình dạng một mặt helocoid có mật độ khối lượng tỉ lệ với khoảng cách tới trục, cụ thể ρ(x, y, z) = r . Hãy tính khối lượng của vật này. 2.4.10. Trên bề mặt Quả đất, tọa độ kinh tuyến và vĩ tuyến có liên hệ chặt chẽ với tọa độ cầu. Đặt hệ trục tọa độ Oxyz với O ở tâm Quả đất, trục Oz đi qua Cực Bắc, và phần tư đường tròn từ tia Oz sang tia Ox đi qua Greenwich, nước Anh. Giả sử một điểm có tọa độ là ϕ◦ vĩ độ Bắc và λ◦ kinh độ Đông, khi đó tọa độ cầu của điểm đó là φ = (90−ϕ)◦ và θ = λ◦ (tuy nhiên nhớ là trong tọa độ cầu góc cần được đo bằng radian). Thành phố Hồ Chí Minh nằm trong vùng từ 10◦10′ tới 10◦38′ vĩ độ Bắc và 106◦22′ tới 106◦54′ kinh độ Đông (1′ = 1/60◦). Tính diện tích của vùng này. Bán kính của Quả đất là 6378 km. 2.4.11. X Cho v = (y2, x2, z2+2y) là trường vectơ vận tốc (đơn vị centimeter/giây) của một dòng chất lỏng trong R3. Hãy tính tốc độ chất lỏng đi qua mặt cầu đơn vị tâm tại gốc tọa độ (tức là thể tích chất lỏng đi qua mặt trong một đơn vị thời gian). 2.4.12 (định luật Gauss về điện trường). Gọi E là điện trường gây bởi điện tích q tại điểm O. Lấy quả cầu B(O,R) tâm O, định hướng ra ngoài. Dùng định luật Coulomb (2.2.7), hãy tính tích phân và chứng tỏ ∬ ∂B(O,R) E · d ®S = q0 . Vậy thông lượng của điện trường qua một mặt cầu tâm tại vị trí của điện tích tỉ lệ với điện tích (xem dạng tổng quát hơn ở mục 2.7). 2.4.13. Giá trị trung bình của hàm f trên mặt S được định nghĩa bằng 1 |S | ∬ S f dS. Nhiệt độ trên một mái vòm hình nửa mặt cầu bán kính 20 mét tỉ lệ với cao độ, cụ thể nhiệt độ tại điểm (x, y, z) trên mặt cầu x2 + y2 + (z−50)2 = 202 là T(x, y, z) = 12 z. Hãy tính nhiệt độ trung bình trên mái vòm này. 2.4.14 (diện tích mặt tròn xoay). Giả sử f (x) dương, trơn trên [a,b]. Hãy tính diện tích của mặt tròn xoay nhận được bằng cách xoay đồ thị y = f (x) quanh trục x. 2.4.15. Tính diện tích mặt ellipsoid x 2 a2 + y2 b2 + z 2 c2 = 1. 2.4.16. Tính diện tích mặt nón cân với đáy là hình tròn bán kính R và chiều cao h. 2.4. TÍCH PHÂN MẶT 85 2.4.17. Không cần tính, hãy cho biết giá trị của tích phân∬ x2+y2+z2=1 x dS. 2.4.18. Cho S là mặt cầu tâm 0 bán kính R. Hãy tính ∬ S x2 dS mà không cần tham số hóa. Có thể làm theo ý sau đây: (a) Chứng tỏ, mà không cần tính, rằng ∬ S x2 dS = ∬ S y2 dS = ∬ S z2 dS. (b) Tính ∬ S (x2+ y2+ z2) dS mà không cần tham số hóa. 2.4.19. Hãy tính ∬ S (x, y, z) · d ®S trong đó S là mặt cầu tâm 0 bán kính R định hướng ra ngoài, mà không tham số hóa, tức là hãy tính nhẩm! 86 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ 2.5 Công thức Stokes Định nghĩa. Cho F = (P,Q,R) là trường theo ba biến (x, y, z) trên R3 thì curlF = ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z , ∂P ∂z − ∂R ∂x , ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) . Dưới dạng kí hiệu hình thức, với ∇ = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) , thì curlF = ∇×F . Trường curlF còn được gọi là trường xoay của trường F. Toán tử curl3 còn được kí hiệu là rot (rotation – xoay). Dạng chính của công thức Stokes được dùng trong môn học này là∫ ∂S F · d®s = ∬ S curlF · d ®S. v u x z y r S D ∂S ∂D Trong công thức này biên ∂S cần được định hướng tương thích với định hướng của S. Một cách miêu tả trực quan cho định hướng trên biên ∂S là khi đi dọc theo biên theo chiều đã định, thân người hướng theo chiều pháp tuyến đã chọn của S thì mặt S phải nằm bên tay trái. Một cách miêu tả khác là: đặt lòng bàn tay phải hướng theo chiều của biên thì ngón tay cái chỉ chiều của pháp tuyến của mặt. Công thức Stokes là một phát triển của công thức Green lên không gian ba chiều. Thực vậy, nếu S là miền phẳng và F là một trường phẳng trên S thì F(x, y, z) = (P(x, y),Q(x, y),0). Công thức Stokes trở thành∫ ∂S Pdx+Qdy = ∬ S (0,0,Qx −Py) · d ®S = ∬ S (0,0,Qx −Py) · k dS = ∬ S (Qx −Py) dS = ∬ S (Qx −Py) dxdy, chính là công thức Green. Công thức Stokes còn có thể được viết ở dạng tọa độ:∫ ∂S Pdx+Qdy+Rdz = ∬ S (Ry −Qz) dydz+ (Pz −Rx) dzdx+ (Qx −Py) dxdy. 3trong tiếng Anh curl có nghĩa là xoắn, cuộn, quăn, . . . 2.5. CÔNG THỨC STOKES 87 Tuy chúng ta sẽ không dùng dạng trên trong môn này nhưng nó thể hiện rõ hơn sự tương tự của công thức Stokes với công thức Green. Dưới đây là một phát biểu chính xác mà ta có thể chứng minh được: 2.5.1 Định lý (công thức Stokes). Cho miền phẳng D có biên ∂D là vết của đường γ có hướng tương thích với D và giả sử công thức Green có thể áp dụng được cho D. Cho mặt r trơn cấp hai trên một tập mở chứa D. Gọi ∂r = r ◦ γ là đường biên của r . Cho trường F trơn trên một tập mở chứa vết của r . Khi đó: ∫ ∂r F · d®s = ∬ r curlF · d ®S. Chứng minh. Chứng minh dưới đây tuy chứa những biểu thức dài dòng nhưng chỉ gồm những tính toán trực tiếp và việc áp dụng công thức Green. Viết F = (P,Q,R) và (x, y, z) = r(u,v). Viết γ(t) = (u(t),v(t)), a ≤ t ≤ b, một tham số hóa theo định hướng dương của ∂D. Ta được (trong vài biểu thức dưới đây biến được lược bỏ cho gọn hơn):∫ ∂r F · d®s = ∫ b a F(r(u(t),v(t)) · d dt r(u(t),v(t)) dt = ∫ b a F(r(u(t),v(t)) · (ruu′+ rvv′) dt = ∫ b a [P(x, y, z)(xuu′+ xvv′)+Q(x, y, z)(yuu′+ yvv′)+ +R(x, y, z)(zuu′+ zvv′)] dt = ∫ b a [(P(x, y, z)xu +Q(x, y, z)yu +R(x, y, z)zu)u′+ (P(x, y, z)xv + +Q(x, y, z)yv +R(x, y, z)zv)v′] dt = ∫ γ (Pxu +Qyu +Rzu) du+ (Pxv +Qyv +Rzv) dv. Bây giờ áp dụng công thức Green cho D ta được tích phân trên bằng∬ D [ ∂ ∂u (Pxv +Qyv +Rzv)− ∂ ∂v (Pxu +Qyu +Rzu) ] dudv. Tính các đạo hàm hàm hợp, chẳng hạn (Pxv)u = ( Px xu +Pyyu +Pz zu ) xv +Pxuv, và đơn giản hóa, dùng tính trơn cấp hai của r , ta được tích phân trên bằng ∬ D [(Ry −Qz)(yuzv − zuyv)+ (Pz −Rx)(zuxv − xuzv)+ + (Qx −Py)(xuyv − xvyu)] dudv = ∬ D [curl(P,Q,R) · (ru × rv)] dudv = ∬ r curlF · d ®S.  Ta có thể phát biểu một hệ quả độc lập với tham số hóa, là dạng thường gặp trong môn học này, sử dụng các khái niệm đã được đưa ra ở 2.4.4: Định lý. Giả sử S là vết của một mặt xác định trên tập đóng bị chặn, có biên là vết của một đường chính qui từng khúc, trên đó công thức Green áp dụng được. Giả sử mặt này là đơn, chính qui, hơn 88 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ nữa trơn cấp hai trên tập mở chứa miền xác định. Giả sử S và ∂S có định hướng tương thích. Cho trường F trơn trên một tập mở chứa S. Khi đó∫ ∂S F · d®s = ∬ S curlF · d ®S. Chứng minh. Lấy r là mặt đơn, chính qui trên miền phẳng đóng bị chận D với vết S, đại diện cho định hướng của S. Khi biên ∂D của miền xác định D của r là vết của đường γ chính qui từng khúc thì ∂D có độ đo không, xem 2.3.24. Theo 2.4.5 thì tích phân ∬ r curlF · d ®S không phụ thuộc vào cách chọn r . Đường r ◦ γ cũng chính qui từng khúc, xem 2.5.14, do đó theo 2.1.4 tích phân∫ r◦γ F · d®s không phụ thuộc vào cách chọn γ. Mặt S = r(D) và biên ∂S = r(∂D) có định hướng tương thích có nghĩa là γ có hướng tương thích với D theo công thức Green, định hướng của S được cho bởi r , và định hướng của ∂S được cho bởi đường r ◦ γ. Bây giờ 2.5.1 cho hai vế bằng nhau.  Ví dụ. Cho F(x, y, z)= (x2, y3, z4). ChoC là đường tam giác với các đỉnh (1,2,3), (2,0,−1), (4,3,1), định hướng theo thứ tự đó. Ta tính ∫ C F · d®s. Có thể tính trực tiếp hoặc dùng phương pháp trường bảo toàn, nhưng bây giờ ta có thêm một công cụ là công thức Stokes. Đường tam giác C bao hình tam giác S với định hướng sinh bởi C. Áp dụng công thức Stokes: ∫ C F · d®s = ∬ S curlF · d ®S. Ở đây curlF = 0. Vậy tích phân trên bằng 0. Ví dụ. Cho F(x, y, z) = (xy, yz, zx). Gọi C là giao của mặt phẳng x+ y+ z = 1 với mặt trụ x2+ y2 = 1, định hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống. Ta tính I = ∫ C F · d®s bằng hai cách: tính trực tiếp, và dùng công thức Stokes. (a) Tính trực tiếp: Ta lấy một tham số hóa của đường C là C(t) = (cos t, sin t,1− cos t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi, ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống. Tính trực tiếp I: I = ∫ C F(C(t)) ·C ′(t) dt = ∫ 2pi 0 (cos t sin t, sin t(1− cos t − sin t)+ (1− cos t − sin t)cos t) · ·(−sin t,cos t, sin t − cos t) dt = −pi. (b) Dùng công thức Stokes: Trước hết tính được curlF(x, y, z) = (−y,−z,−x). Tham số hóa mặt S bao bởi C bởi r(x, y) = (x, y,1− x− y), x2+ y2 ≤ 1. Tham số hóa này có vectơ pháp tuyến tương ứng là rx ×ry(x, y) = (1,1,1), hướng lên, do đó phù hợp với định hướng cần thiết trong công thức Stokes. Bây giờ: I = ∬ S curlF · d ®S = ∬ x2+y2≤1 curlF(x, y) · (rx × ry(x, y)) dxdy = ∬ x2+y2≤1 (−y,−(1− x− y),−x) · (1,1,1) dxdy = −pi. Điều kiện để trường ba chiều là bảo toàn 2.5.2 Mệnh đề (curlgrad = 0). Nếu f là hàm thực có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên một tập mở thì trên đó curl(∇ f ) = 0. 2.5. CÔNG THỨC STOKES 89 Dùng kí hiệu hình thức thì ∇×(∇ f ) = 0. Chứng minh. Tương tự như trường hợp hai chiều, tính trực tiếp ta được4 curl∇ f = ( fzy − fyz, fxz − fzx, fyx − fxy) = 0.  Hệ quả (điều kiện cần để trường ba chiều là bảo toàn). Nếu F là trường trơn bảo toàn trên một tập mở thì curlF = 0 trên đó. Nói cách khác điều kiện sau phải được thỏa: Ry = Qz Pz = Rx Qx = Py . Ta có thể dùng kết quả này để chứng tỏ một trường là không bảo toàn bằng cách chỉ ra rằng curl của nó khác 0. Ví dụ. Trường F(x, y, z) = (y, x, y) có bảo toàn trên R3 hay không? Trường F trơn cấp một trên R3. Nếu F là bảo toàn thì phải có curlF = 0. Nhưng trong trường hợp này curlF = (1,0,0) , 0, vậy F không bảo toàn. Bằng cách chứng minh tương tự ở 2.3.1 nhưng thay công thức Green bởi công thức Stokes ta được: 2.5.3 Mệnh đề (bổ đề Poincaré ba chiều). Nếu F trơn trên một miền mở hình sao trong R3 và curlF = 0 thì F là bảo toàn trên đó. Bài tập 2.5.4. Trường sau có bảo toàn hay không? (a) F(x, y, z) = (y, x, y). (b) F(x, y, z) = (2xex2, z sin y2, z3). 2.5.5. Cho S là mặt z = x2 + y2 với z ≤ 1, định hướng lên trên. Tính lưu lượng của trường ®F(x, y, z) = (3y,−xz, yz2) trên S (tức là ∬ S curl ®F · d ®S) bằng hai cách: (a) Tính trực tiếp. (b) Dùng công thức Stokes. 2.5.6. Cho S là mặt z = 9− x2− y2 với z ≥ 0, định hướng lên trên. (a) Cho trường F(x, y, z)= (2z− y, x+ z,3x−2y). Tính trực tiếp lưu lượng của F trên S, tức∬ S curlF ·d ®S. (b) Dùng công thức Stokes tính ∬ S curlF · d ®S. 2.5.7. Cho C là đường giao của mặt 4x2 + 4y2 + z2 = 40 và mặt z = 2 được định hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống. Tìm ∫ C ®F · d®s với ®F(x, y, z) = (y,2yz+ 1, xz4 + cos(2z+ 1)) bằng cách tính trực tiếp và bằng cách dùng công thức Stokes. 2.5.8. Cho F(x, y, z) = (xy, yz, zx). Gọi C là giao của mặt phẳng x + y+ z = 1 với mặt trụ x2 + y2 = 1, định hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống. Đặt I = ∫ C F · d®s. (a) Tìm một tham số hóa của đường C. 4 Chú ý qui ước về kí hiệu: ∂2 f ∂x∂y = fyx . 90 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ (b) Tính trực tiếp I. (c) Tính curlF. (d) Dùng công thức Stokes, tính I. 2.5.9. Cho f và g là hai hàm thực trơn cấp hai trên R3. (a) Chứng tỏ curl( f∇g) = ∇ f ×∇g. (b) Tính tích phân ∫ C f∇ f · d®s trong đó C(t) = (cos t, sin t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi. 2.5.10. Trong R3 cho S1 là nửa mặt cầu trên x2+ y2+ z2 = 1, z ≥ 0; cho S2 là mặt paraboloid z = 1− x2− y2, z ≥ 0, cả hai được định hướng lên trên. (a) Vẽ hai mặt này trên cùng một hệ tọa độ. (b) Cho F là một trường trơn trên R3. Chứng tỏ ∬ S1 curlF · d ®S =∬ S2 curlF · d ®S. (c) Hãy tổng quát hóa. 2.5.11. X Nếu S là mặt cầu thì ∬ S curlF · d ®S = 0. 2.5.12. Cho ®v ∈ R3 là một vectơ cố định. Cho S là một mặt mà trên đó công thức Stokes có thể áp dụng được. Hãy chứng minh: ∫ ∂S (®v× ®r) · d®s = 2 ∬ S ®v · ®n dS, trong đó ®r là vectơ vị trí, tức ®r(x, y, z) = (x, y, z). 2.5.13. (a) Chứng minh đẳng thức a×(b× c) = (a · c)b−(a · b)c. (b) Từ đó chứng minh curl(curlF) = ∇(divF)−∆F . Ở đây ∆F được hiểu là toán tử Laplace ∆ = ∇ ·∇ = ∂2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 tác động vào từng thành phần của F. 2.5.14. Chứng tỏ nếu γ là một đường chính qui trên mặt phẳng và r là một mặt chính qui xác định trên vết của γ thì r ◦γ là một đường chính qui trong R3. 2.5.15. * Chứng minh bổ đề Poincaré 3-chiều (2.5.3). 2.5.16 (cảm ứng điện từ). Định luật Faraday phát biểu rằng khi thông lượng từ trường qua một mặt giới hạn bởi một mạch kín thay đổi thì trong mạch xuất hiện dòng điện cảm ứng. Chính xác hơn, gọi ®E là điện trường, ®B là từ trường, S là một mặt với biên là đường ∂S được định hướng tương thích như trong công thức Stokes, thì ∫ ∂S ®E · d®s = − d dt ∬ S ®B · d ®S. Giả sử một nguồn năng lượng cơ học như sức nước hay sức gió làm quay một trục với vận tốc ω vòng/đơn vị thời gian. Một vòng dây phẳng được gắn vào trục này, được đặt trong một từ trường cố định ®B. Gọi A là diện tích của hình phẳng bao bởi vòng dây. Đại lượng ∫ ∂S ®E · d®s thường được kí hiệu là em f . Chứng tỏ em f = −A| ®B |2piω sin(2piωt). Vậy trong vòng dây xuất hiện một dòng điện xoay chiều. Đây là một nguyên lý cơ sở của máy phát điện. 2.6. CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 91 2.6 Công thức Gauss–Ostrogradsky Định nghĩa. Cho F = (P,Q,R) là trường theo ba biến (x, y, z) trên R3 thì divF = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z . Dưới dạng kí hiệu hình thức thì divF = ∇ · F . Hàm divF còn được gọi là hàm phân tán (divergence) của trường F. Công thức Gauss–Ostrogradsky5 còn được gọi là công thức Divergence. Đây là tổng quát hoá của dạng thông lượng của công thức Green 2.3.3, cho một công thức có dạng∬ ∂E P dydz+Q dzdx+R dxdy = ∭ E ( Px +Qy +Rz ) dxdydz. Dưới đây ta sẽ phát biểu và chứng minh công thức này cho khối đơn giản theo cả ba chiều. Theo mỗi chiều thì khối là miền nằm giữa hai đồ thị. Chẳng hạn theo chiều trục z thì khối là E = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D ⊂ R2, f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y)}, với D đóng, bị chặn, có diện tích. Giả sử thêm rằng trên ∂D thì f = g hoặc f < g. Giả sử các hàm f , g là trơn thì biên ∂E , như đã thảo luận ở 1.4.5, là hội của mặt dưới là {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D} (chính qui, hướng xuống), mặt trên là {(x, y,g(x, y)) | (x, y) ∈ D} (chính qui, hướng lên), ngoài ra nếu trên ∂D mà f < g thì biên còn gồm mặt bên hông là {(x, y, z) | (x, y) ∈ ∂D, f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y)}. Giả sử thêm ∂D là vết của một đường chính qui từng khúc. Ta nói E là một khối đơn giản với biên trơn từng mảnh. Ví dụ. Quả cầu đóng, khối ellipsoid, khối hộp chữ nhật là những khối đơn giản với biên trơn từng mảnh. Định lý (công thức Gauss–Ostrogradsky). Cho trường F trơn trên một tập mở chứa một khối đơn giản E với biên trơn từng mảnh được định hướng ra ngoài. Khi đó:∬ ∂E F · n dS = ∬ ∂E F · d ®S = ∭ E divF dV . Chứng minh. Viết F = P®i+Q®j + R®k. Viết E như là khối đơn theo chiều Oz như là tập hợp những điểm (x, y, z) với f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y) trong đó f ,g là hàm trơn xác định trên miền phẳng D. Ta sẽ chứng tỏ ∬ ∂E R®k · d ®S = ∭ E ∂ ∂z R dV . Tương tự ta chứng minh hai biểu thức tương ứng cho hai chiều còn lại, cộng lại và được đẳng thức phải được chứng minh. Nếu f < g trên ∂D thì ∂E có mặt hông, nhưng tích phân của R®k bằng không trên đó, cơ bản là vì pháp tuyến của mặt hông nằm ngang, do đó vuông góc với trường R®k. Chi tiết đầy đủ phức tạp hơn, được trình bày trong đoạn ngay dưới đây. Biên ∂D trừ ra hữu hạn điểm là chính qui. Tại mỗi điểm (x0, y0) trên ∂D mà tại đó biên là chính qui thì có một tập mở U của R2 sao cho U ∩ ∂D đồng phôi với một khoảng mở (a,b) (xem chứng minh của 2.1.3) và sao cho có  > 0 sao cho (U ∩ ∂D)× (z0− , z0+ ) được chứa trong mặt hông (do tính liên tục của f và g). Phần này của mặt hông như vậy có pháp tuyến. Mặt hông chứa đoạn thẳng (x0, y0, z) với z ∈ (z0− , z0+ ). Đường này có vectơ tiếp xúc là ®k, do đó ®k là một vectơ tiếp xúc của mặt hông, vì thế vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt hông. 5tên Ostrogradsky còn được viết là Ostrogradski 92 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ Như vậy tích phân của R®k trên ∂E bằng tổng tích phân của R®k trên mặt trên và mặt dưới, là các mặt đồ thị, bằng:∬ D R(x, y,g(x, y))®k · (−gx,−gy,1) dA+ + ∬ D R(x, y, f (x, y))®k · ( fx, fy,−1) dA = ∬ D [R(x, y,g(x, y))−R(x, y, f (x, y))] dA. Mặt khác, theo công thức Fubini∭ E Rz dV = ∬ D (∫ g(x,y) f (x,y) Rz dz ) dA = ∬ D (R(x, y,g(x, y)−R(x, y, f (x, y))) dA. Vậy ta được đẳng thức mong muốn.  Ví dụ. Dùng công thức Gauss–Ostrogradsky, ta tính thông lượng của trường F(x, y, z) = (2x + eyz, x2y, yz) qua mặt cầu đơn vị x2+ y2+ z2 = 1 định hướng ra ngoài:∬ x2+y2+z2=1 F · d ®S = ∭ x2+y2+z2≤1 divF(x, y, z) dxdydz = ∭ x2+y2+z2≤1 (2+ x2+ y) dxdydz = 2 4pi 3 + ∫ 1 0 ∫ pi 0 ∫ 2pi 0 (ρsinφcosθ)2ρ2 sinφ dθdφdρ+0 = 8pi 3 + 1 5 · 4 3 · pi = 44pi 15 . Ví dụ. Hãy tính thông lượng của trường F(x, y, z) = (x, y,2−2z) qua mặt S cho bởi z = 1− x2− y2, z ≥ 0, định hướng lên trên, bằng hai cách: (a) tính trực tiếp, và (b) tính thông lượng của F qua một mặt khác và dùng định lý Gauss–Ostrogradsky. (a) Tham số hóa mặt S: r(x, y) = (x, y,1− x2− y2) với x2+ y2 ≤ 1. Có rx × ry(x, y) = (2x,2y,1) hướng lên trên. I = ∬ S F · d ®S = ∬ x2+y2≤1 F(r(x, y)) · (rx × ry)(x, y) dxdy = ∬ x2+y2≤1 (x, y,2−2(1− x2− y2))(2x,2y,1) dxdy = ∬ x2+y2≤1 4(x2+ y2) dxdy = ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 4r2 rdrdθ = 2pi. (b) Gọi S1 là mặt cho bởi x2+ y2 ≤ 1, z = 0, định hướng xuống dưới. Mặt S cùng S1 tạo thành mặt kín S2 bao khối E . Áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky:∬ S F · d ®S+ ∬ S1 F · d ®S = ∬ S2 F · d ®S = ∭ E divF dV = ∭ D 0 dV = 0. Mặt khác ∬ S1 F · d ®S = ∬ S1 F · n dS = ∬ x2+y2≤1 (x, y,2−0) · (0,0,−1) dA = ∬ x2+y2≤1 −2 dA = −2pi. 2.6. CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 93 Do đó ∬ S F · d ®S = 2pi. Tính trực tiếp từ công thức tương tự như ở 2.5.2 ta có kết quả sau: Mệnh đề (divcurl = 0). Nếu F là trường có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên một tập mở thì trên đó div(curlF) = 0. Viết bằng kí hiệu hình thức: ∇ · (∇× F) = 0. Kết quả này cho một điều cần để một trường là trường curl của một trường khác. Ý nghĩa vật lý của div và curl Trước hết ta cần bổ đề sau đây: 2.6.1 Bổ đề. Cho f là một hàm thực khả tích trên một lân cận của điểm p ∈ Rn và liên tục tại p. Gọi B′(p,r) là quả cầu đóng tâm tại p với bán kính r . Khi đó: lim r→0 1 |B′(p,r)| ∫ B′(p,r) f = f (p). Vậy giá trị trung bình của một hàm liên tục quanh một điểm tiến về giới hạn là giá trị của hàm tại điểm đó. Chứng minh. Vì f liên tục tại p nên cho  > 0, với r đủ nhỏ thì với mọi q ∈ B′(p,r) ta có | f (q)− f (p)| ≤  . Từ đó( 1|B′(p,r)| ∫B′(p,r) f ) − f (p)  =  1|B′(p,r)| ∫B′(p,r)[ f (q)− f (p)] ≤ 1|B′(p,r)| ∫ B′(p,r) | f (q)− f (p)| ≤ 1|B′(p,r)| ∫ B′(p,r)  =  .  Áp dụng bổ đề trên cho div ta được divF(p) = lim r→0 1 |B′(p,r)| ∭ B′(p,r) divF dA = lim r→0 1 |B′(p,r)| ∬ ∂B′(p,r) F · n dS. (2.6.2) Tích phân ∬ ∂B′(p,r) F · n dS là thông lượng của trường F ra khỏi mặt cầu ∂B′(p,r). Vậy divF(p) chỉ độ phát tán của trường F trên đơn vị thể tích quanh p. p divF(p) < 0 p divF(p) > 0 FF 94 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ Xét một điểm p. Lấy một mặt phẳng qua p với phương định bởi pháp tuyến n. Xét hình tròn B′(p,r) trên mặt phẳng này với tâm tại p và bán kính r . Ta có: curlF(p) · n = lim r→0 1 |B′(p,r)| ∬ B′(p,r) curlF · n dA = lim r→0 1 |B′(p,r)| ∫ ∂B′(p,r) F · d®s. (2.6.3) Vậy curlF(p) ·n thể hiện lưu lượng ngược chiều kim đồng hồ (độ xoay) của trường F trên phần tử diện tích quanh p trong mặt phẳng qua p vuông góc n. Ta có curlF(p) ·n đạt giá trị lớn nhất khi n cùng phương cùng chiều với curlF(p). Vậy curlF(p) cho phương của mặt phẳng mà trên đó độ xoay của trường quanh p là lớn nhất, chiều của nó được xác định bởi chiều xoay của trường theo qui tắc bàn tay phải. Hơn nữa có thể chứng tỏ là độ lớn của curlF(p) tỉ lệ với tốc độ xoay theo góc của trường quanh p. Nói vắn tắt, curlF(p) chỉ sự xoay của trường F tại điểm p. Từ điều này tích phân ∬ S curlF · d ®S còn được gọi là lưu lượng (circulation) của trường F trên mặt S. p F curlF(p) p F curlF(p) Ta có một miêu tả trực quan cho curlF(p): Tưởng tượng rằng ta thả một cái chong chóng vào trường, cố định nó tại điểm p nhưng để cho nó tự do đổi hướng và tự do xoay. Khi đó hướng ổn định của chong chóng chính là hướng của curlF(p), chiều xoay của nó chính là chiều xoay của trường, còn vận tốc xoay của chong chóng chỉ độ xoay của trường quanh p. Ghi chú. Công thức cho div (2.6.2) và cho curl (2.6.3) cho thấy chúng là những đại lượng vật lý, không phụ thuộc hệ tọa độ. Bài tập 2.6.4. Tiếp tục bài tập 2.2.2 và 2.2.3, xem F như là trường phẳng trong không gian ba chiều. Ước đoán divF tại điểm gốc tọa độ là âm, dương hay bằng không? Hãy miêu tả curlF tại điểm gốc tọa độ. 2.6.5. Tồn tại hay không một trường F khả vi liên tục cấp hai thỏa curlF(x, y, z) = (eyz, sin(xz2), z5)? 2.6.6. Tính: (a) Tiếp tục các bài tập 2.4.6. Nếu mặt S là kín hãy tính tích phân ∬ S ®F · d ®S bằng cách dùng công thức Gauss–Ostrogradsky. (b) Tính thông lượng của trường ®F(x, y, z) = (3x, y2, z2) qua mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 = 1, định hướng ra ngoài. (c) Tính thông lượng của trường F(x, y, z) = (2x + eyz,2xy, y2) qua mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 = 1 định hướng ra ngoài. (d) Tính thông lượng của trường F(x, y, z) = (y, z, x) qua mặt x2+ y4+ z6 = 2, định hướng ra ngoài. 2.6.7. Cho trường ®F(x, y, z) = ( x (x2+ y2+ z2)3/2 , y (x2+ y2+ z2)3/2 , z (x2+ y2+ z2)3/2 ) . Chú ý đây là một trường xuyên tâm, tỉ lệ với trọng trường và điện trường. 2.6. CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 95 (a) Tính div( ®F). (b) Gọi S2 là mặt cầu x2+ y2+(z−3)2 = 1 được định hướng ra ngoài. Dùng công thức Gauss–Ostrogradsky, hãy tính ∬ S2 ®F · d ®S. (c) Gọi S1 là mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1 được định hướng ra ngoài. Tính tích phân mặt ∬ S1 ®F · d ®S bằng cách dùng tọa độ Euclid (x, y, z) hoặc dùng tọa độ cầu. (d) Gọi S3 là mặt x2+4y2+9z2 = 36 được định hướng ra ngoài. Hãy tính ∬ S3 ®F · d ®S. 2.6.8. Cho S là mặt z = 9− x2− y2 với z ≥ 0, định hướng lên trên. (a) Cho G(x, y, z) = (ey cos z, x2z, y2 + z). Cho S1 là đĩa x2 + y2 ≤ 9, z = 0, định hướng xuống dưới. Tính thông lượng của G qua S1, tức ∬ S1 G · d ®S. (b) Dùng định lý Gauss–Ostrogradsky tính ∬ S∪S1 G · d ®S. (c) Tính ∬ S G · d ®S. 2.6.9. Cho T là nhiệt độ trên một miền D ⊂ R3, giả sử là một hàm trơn cấp hai. Vì nhiệt được chuyển từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp, và vectơ gradient chỉ hướng mà hàm có tốc độ thay đổi lớn nhất, nên sự thay đổi nhiệt trên miền này được mô hình hóa một cách đơn giản bằng trường dòng nhiệt F = −k∇T , với k là một hằng số dương. (a) Chứng tỏ curlF = 0. (b) Chứng tỏ divF = −k∆T , trong đó ∆ là toán tử Laplace: ∆T = ∂2T ∂x2 + ∂ 2T ∂y2 + ∂ 2T ∂z2 . (c) Chứng tỏ nếu T là hàm điều hòa, tức là ∆T = 0, thì tổng dòng nhiệt qua một mặt cầu bất kì trong miền D luôn bằng không. (Xem 2.3.17.) 2.6.10 (diện tích mặt cầu). Áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky cho hàm F(x, y, z) = (x, y, z), hãy tính diện tích của mặt cầu tâm tại 0 với bán kính R. 2.6.11. X Hãy chứng minh các công thức sau, cũng được gọi là các công thức Green, với giả thiết công thức Gauss–Ostrogradsky có thể áp dụng được. (Xem 2.3.15.) (a) ∬ ∂E ∇ f · n dS =∭ E ∆ f dV . (b) ∬ ∂E ( f∇g) · n dS =∭ E ( f∆g+∇ f · ∇g) dV . (c) ∬ ∂E ( f∇g−g∇ f ) · n dS =∭ E ( f∆g−g∆ f ) dV . (d) ∬ ∂E f ni dS = ∭ E ∂ f ∂xi dV . Ở đây ni là tọa độ thứ i của vectơ pháp tuyến n. (e) ∬ ∂E f gni dS = ∭ E ∂ f ∂xi g dV + ∭ E f ∂g∂xi dV . 2.6.12. Dùng công thức Gauss–Ostrogradsky hãy đưa ra một cách khác để tìm ra thể tích của một khối nón (xem 1.5.24). Cụ thể, đặt đỉnh khối nón ở O và đáy khối nón trên một mặt phẳng nằm ngang z = a, và áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky cho trường (x, y, z). 2.6.13. Giả sử có một điện tích q tại một điểm O. Theo định luật Coulomb (2.2.7), điện trường gây bởi điện tích q này tại một điểm bất kì trong không gian có vị trí cho bởi vectơ ®r đi từ điểm mang điện tích q tới điểm đang xét là: E(®r) = q 4pi0 |®r |3 ®r . Đáng chú ý là điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |®r |2, do đó định luật Coulomb thường được gọi là một luật nghịch đảo bình phương (inverse-square law). Như ta đã thấy (2.2), trọng trường cũng được cho bởi một luật nghịch đảo bình phương. (a) Tính toán trực tiếp, chứng tỏ divE = 0. (b) * Chứng tỏ rằng một trường có dạng E = k ®r| ®r |m (được gọi là một trường xuyên tâm, radial) thì có divE = 0 khi và chỉ khi m = 3. (Các thí nghiệm sau này kiểm chứng hằng số m trong định luật Coulomb bằng 3 sai khác không quá 3×10−16.) 96 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ 2.6.14. Mặt cyclide nhận được từ một mặt xuyến qua phép nghịch đảo qua một mặt cầu. Mặt xuyến được cho bởi tham số hóa r(u,v) = ((5+ cosu)cosv, (5+ cosu)sinv, sinu), 0 ≤ u,v ≤ 2pi. Đưa mặt xuyến này ra ngoài mặt cầu đơn vị tâmO bán kính 1 bằng một phép tịnh tiến, chẳng hạn theo vectơ (9,0,0), được một mặt xuyến mới với tham số hóa rtorus(u,v) = (9+ (5+ cosu)cosv, (5+ cosu)sinv, sinu), 0 ≤ u,v ≤ 2pi. Thực hiện phép lấy nghịch đảo qua mặt cầu tâm O bán kính 1, tức là phép biến đổi mang mỗi điểm p , 0 thành điểm p| |p | |2 . Khi đó mặt xuyến trở thành mặt cyclide S với tham số hóa rcyclide(u,v) = rtorus(u,v)‖rtorus(u,v)‖ 2 . (a) Vẽ mặt cyclide S. (b) Tính diện tích mặt cyclide S ra số thập phân. (c) Cho trường F(x, y, z) = (y, x,3z). Tính thông lượng của F qua mặt cyclide S ra số thập phân. (d) Tính thể tích của khối bao bởi mặt cyclide S ra số thập phân. 2.7. VÀI ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH VECTƠ 97 2.7 Vài ứng dụng của Giải tích vectơ Định luật Gauss cho điện trường Gọi E là điện trường gây bởi điện tích q tại điểm O. Giả sử S là một mặt kín, biên của khối D. Giả sử công thức Gauss–Ostrogradsky có thể áp dụng được cho D. Nhắc lại từ 2.6.13 là divE = 0. Nếu D không chứa điểm O thì ∬ S E · d ®S = ∭ D divE dV = 0. Nếu D chứa điểm O ở phần trong, nói cách khác nếu S bao điểm O, thì lấy một quả cầu B(O,R) đủ nhỏ sao cho nó không cắt S, và cho biên ∂B(O,R) định hướng ra ngoài B(O,R). Khi đó S cùng ∂B(O,R) tạo thành biên của một khối D′ không chứa O. Giả sử công thức Gauss–Ostrogradsky có thể áp dụng được cho D′, ta được∬ S E · d ®S− ∬ ∂B(O,R) E · d ®S = ∭ D′ divE dV = 0. Suy ra ∬ S E · d ®S = ∬ ∂B(O,R) E · d ®S. Ở bài tập 2.4.12, dùng định luật Coulomb (2.2.7), ta đã tính được ∬ ∂B(O,R) E · d ®S = q 0 . q S ∂B(O,R) D′ Vậy ∬ S E · d ®S = q0 , thông lượng của điện trường qua một mặt kín bao điện tích không phụ thuộc vào mặt và tỉ lệ với điện tích. Đây là nội dung của định luật được phát biểu bởi Johann Carl Friedrich Gauss. 6 Ở trên ta vừa trình bày định luật Coulomb và định luật Gauss cho một điện tích. Trong trường hợp môi trường chứa điện tích tại mọi điểm (môi trường liên tục) thì ta có: Định luật Coulomb Định luật Gauss divE = ρ0 , với ρ là hàm mật độ điện tích ∬ S E ·d ®S = 10 ∭ D ρ dV = Q0 , với D là khối được bao bởi mặt S và Q là tổng điện tích trên D Định luật Gauss có thể được kiểm chứng bằng thí nghiệm dễ hơn định luật Coulomb, vì định luật Gauss có tính vĩ mô trong khi định luật Coulomb có tính vi mô. Ta chứng tỏ định luật Gauss dẫn tới định luật Coulomb bằng cách thuần túy toán học như sau. Xét một điểm p bất kì và xét quả cầu đóng B′(p,r) tâm tại điểm đó với bán kính r . Theo định luật Gauss và công thức Gauss–Ostrogradsky: 1 0 ∭ B′(p,r) ρ dV = ∬ ∂B′(p,r) E · d ®S = ∭ B′(p,r) divE dV . 6Trong các tài liệu vật lý định luật Gauss thường được phát biểu mà không kèm theo điều kiện gì về tính trơn của mặt và của các hàm trong công thức. 98 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ Chia hai vế cho thể tích của quả cầu B′(p,r) và lấy giới hạn khi r→ 0, dùng tính chất về giới hạn của giá trị trung bình của hàm liên tục 2.6.1 ta được định luật Coulomb. ρ(p) 0 = divE(p). Ngược lại dễ thấy định luật Gauss có thể nhận được từ định luật Coulomb bằng cách áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky. Định luật Coulomb cho môi trường mang điện liên tục có thể nhận được một cách thuần túy toán học từ định luật Coulomb cho một điện tích bằng cách lấy tích phân và dùng hàm Dirac, một hàm suy rộng. Các phương trình Maxwell về điện từ Không lâu sau hai định luật Coulomb và Gauss, trong thập kỉ 1820, André Marie Ampère phát hiện ra rằng một dòng điện tạo ra quanh nó một từ trường theo định luật:∫ C B · d®s = µ0I, trong đó C là một đường cong kín bao quanh một dòng điện có cường độ không đổi I, B là từ trường, và µ0 là một hằng số. Năm 1831 Michael Faraday phát hiện rằng một từ trường thay đổi theo thời gian tới lượt nó lại tạo ra một điện trường. Định luật Faraday cho công thức:∫ ∂S E · d®s = − d dt ∬ S B · d ®S. Năm 1864, James Clerk Maxwell phát triển định luật Ampère và thống nhất điện trường với từ trường: Các phương trình Maxwell Dạng vi phân Dạng tích phân (1) (Coulomb) divE = ρ0 (Gauss) ∬ S E · d ®S = Q0 , với S là một mặt kín (2) curlE = −∂B∂t (Faraday) ∫ ∂S E · d®s = − ddt ∬ S B · d ®S (3) divB = 0 ∬ S B · d ®S = 0, với S là một mặt kín (4) (Ampère) 10µ0 curlB = J 0 + ∂E∂t , với J là mật độ dòng điện 1 0µ0 ∫ ∂S B · d ®S = I0 + ddt ∬ S E · d ®S, với I là cường độ dòng điện qua mặt S Chẳng bao lâu sau lý thuyết của Maxwell đã được ứng dụng trong thực tế với việc phát minh ra sóng điện từ của Heinrich Hertz năm 1887. Các phương trình Maxwell cùng với các định luật của Newton tổng kết vật lý cổ điển. Có thể đọc thêm ở [Fey64, Chương 18]. Cơ học chất lỏng Gọi ®F là trường vận tốc chuyển động của một dòng chất lỏng. Nếu div ®F = 0 (tại mọi điểm) thì người ta nói dòng chất lỏng là không nén được (incompressible) (vì nó không có chỗ bơm vào lẫn chỗ thoát ra). Các toán tử vi phân của Giải tích vectơ xuất hiện phổ biến trong mô hình hóa các hiện tượng cơ học. Chẳng hạn, một trong những phương trình quan trọng nhất mô tả dòng chảy chất lỏng cho tới nay vẫn đang được tập trung nghiên cứu là phương trình Navier-Stokes:{ ∂ ®F ∂t + ( ®F · ∇) ®F − ν∆ ®F = −∇w+ ®g, div ®F = 0. 2.7. VÀI ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH VECTƠ 99 Bài tập 2.7.1. * Chứng tỏ các dạng vi phân và dạng tích phân của các phương trình Maxwell là tương đương với nhau về mặt toán học. 100 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ 2.8 * Công thức Stokes tổng quát Mục này giới thiệu sơ lược một số vấn đề liên quan tới tổng quát hóa của công thức Stokes và giải tích vectơ. Để chi tiết hơn có thể đọc chẳng hạn ở [VuSto]. Công thức Stokes cho mặt (n−1)-chiều trong không gian Rn. Sau đây là một trường hợp của công thức Stokes được dùng phổ biến trong nghiên cứu các phương trình vật lý toán và phương trình đạo hàm riêng ([Eva97, tr. 627], [GT01, tr. 13]). Với F = (F1,F2, . . .,Fn) : Rn→ Rn đặt divF = n∑ i=1 DiFi = n∑ i=1 ∂Fi ∂xi . 2.8.1 Định lý. Cho Ω là một tập con mở bị chặn của không gian Euclid Rn. Giả sử biên ∂Ω thuộc lớp C1. Giả sử v là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂Ω. Giả sử trường vectơ F có các thành phần thuộc lớp C1(Ω). Khi đó: ∫ Ω divF dx = ∫ ∂Ω F · v dS. Trong công thức trên, ta nói biên ∂Ω thuộc lớp C1 có nghĩa là mỗi điểm trên ∂Ω có một lân cận vi đồng phôi với một tập mở của Rn−1. Điều này cũng có nghĩa là mỗi điểm trên ∂Ω có một lân cận mà trên đó ∂Ω là đồ thị của một hàm trơn theo (n−1) biến. Như ta đã thấy ở phần chứng minh của 2.1.3 và 2.4.4, khái niệm này là tổng quát hóa của khái niệm đường chính qui và mặt chính qui. Một hàm thực f là thuộc lớp C1(Ω) nếu nó có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên Ω và các đạo hàm đó có mở rộng liên tục lên Ω. Tích phân theo phần tử diện tích mặt dS có thể được định nghĩa một cách tương tự tích phân đường loại một và tích phân mặt loại một. Tuy nhiên có một khó khăn là có thể cần tới nhiều hơn một phép tham số hóa để phủ được hoàn toàn mặt. Để vượt qua khó khăn này người ta dùng một công cụ gọi là "phân hoạch đơn vị". Sự thống nhất giữa các công thứcNewton–Leibniz, Green, Stokes vàGauss–Ostrogradsky Ta có thể nhận thấy một sự thống nhất của các công thức này: tích phân của một đối tượng hàm w trên biên ∂M của một đối tượng hình học M thì bằng với tích phân của một đối tượng hàm mới dw liên quan tới đạo hàm của đối tượng hàm w ban đầu trên đối tượng hình học M ban đầu:∫ ∂M w = ∫ M dw. Đây chính là dạng của một công thức tổng quát, được gọi chung là công thức Stokes. Công thức Stokes cho mặt k-chiều trong không gian Rn. Công thức Stokes tổng quát sẽ đúng trong trường hợp sau đây. Về mặt hình học, M là một mặt k-chiều, theo nghĩa mỗi điểm trên M có một lân cận vi đồng phôi với một tập mở của Rk hoặc một tập mở của một nửa của Rk , những điểm không thuộc loại đầu tạo thành biên ∂M . Đây là khái niệm đa tạp trơn (smooth manifold) k-chiều. Đối tượng hàm w thì phức tạp hơn. Đó là một dạng vi phân (differential form) bậc (k − 1). Khi đó dw là đạo hàm của dạng w và là một dạng bậc k. 2.8. * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 101 Thế nào là tích phân của một dạng vi phân trên một mặt? Vì mỗi điểm trên mặt có một lân cận vi đồng phôi với với một tập con của Rk nên thông qua phép vi đồng phôi ta mang tích phân trên mặt về tích phân trên Rk bằng một công thức liên quan tới công thức đổi biến của tích phân. Tất nhiên những miêu tả trên chưa đủ để người đọc có thể hiểu được cụ thể. Ở đây người viết không có tham vọng đó mà chỉ muốn giới thiệu vài ý niệm, hy vọng người đọc sẽ tìm hiểu thêm sau này. Vài nét về dạng vi phân Những kí hiệu dx, dy, dA, dV , dxdy, ds, dS, d®s, d ®S, . . . mà ta thấy xuất hiện trong môn học cho tới nay chưa được giải thích ý nghĩa rõ ràng. Chúng là phần tử của tập hợp nào? Quan hệ giữa chúng ra sao? Dạng vi phân bậc 1 Xét không gian Rn. Giả sử x = (x1, x2, . . ., xn) ∈ Rn. Lạm dụng kí hiệu ta chỉ xi là hàm cho ra tọa độ thứ i của x, tức là hàm (x1, x2, . . ., xn) 7→ xi. Khi đó ta định nghĩa dạng vi phân dxi chính là đạo hàm của hàm xi. Tức là dxi = dxi! Vậy dxi là một hàm trên Rn. Tại mỗi điểm x ∈ Rn, giá trị dxi(x) là một ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, được đại diện bởi vectơ (0,0, . . .,0,1,0, . . .,0) trong đó số 1 nằm ở tọa độ thứ i. Tổng quát hơn, nếu f : Rn → R là một hàm trơn thì đạo hàm df của f là một dạng vi phân trên Rn. Tại mỗi điểm x thì df (x) là một ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, được đại diện bởi vectơ( ∂ f ∂x1 (x), ∂ f∂x2 (x), . . ., ∂ f ∂xn (x) ) . Từ đó ta có đẳng thức: df (x) = ∂ f ∂x1 (x)dx1(x)+ ∂ f ∂x2 (x)dx2(x)+ · · ·+ ∂ f ∂xn (x)dxn(x) hay ngắn gọn hơn: df = ∂ f ∂x1 dx1+ ∂ f ∂x2 dx2+ · · ·+ ∂ f ∂xn dxn. Trong trường hợp một chiều công thức trên là: df = f ′dx. Khác với sự mơ hồ khi ta thấy công thức này lần đầu khi học về vi phân trong các giáo trình toán giải tích trung học hay năm đầu đại học, bây giờ mọi thứ trong công thức đều có nghĩa chính xác. Ta định nghĩa một dạng vi phân bậc 1 trên Rn là một hàm cho tương ứng mỗi điểm với một ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, cho bởi công thức f1dx1+ f2dx2+ · · ·+ fndxn trong đó f1, . . ., fn là các hàm trơn. Ví dụ. Trên R2, dạng bậc 1 được cho bởi công thức Pdx+Qdy trong đó P, Q là hàm trơn trên R2. Tích của dạng vi phân Người ta định nghĩa được một phép nhân trên các dạng vi phân, thường được kí hiệu bởi ∧ (wedge - tích chèn), nhưng ở đây ta bỏ qua kí hiệu đó cho đơn giản. Phép nhân của dạng vi phân có tính phân phối với phép cộng. Nó còn có một tính chất đặc biệt, là tính phản đối xứng: dxdy = −dydx. Một hệ quả là dxdx = 0. 102 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ Ví dụ. Khi n = 2: Ta sẽ có dxdy là một dạng vi phân bậc 2. Tại mỗi điểm p ∈ R2, giá trị dxdy(p) là một ánh xạ mà tác động vào cặp vectơ u,v ∈ R2 cho ra det(u,v), chính là diện tích có hướng của hình bình hành sinh bởi u và v. Vì vậy có lẽ không quá ngạc nhiên khi ta biết kí hiệu dA chính là dxdy: dA = dxdy. Ví dụ. Khi n = 3: Ta sẽ có dxdydz là một dạng vi phân bậc 3. Tại mỗi điểm p ∈ R3, giá trị dxdydz(p) là một ánh xạ mà tác động vào bộ 3 vectơ u,v,w ∈ R3 cho ra det(u,v,w), chính là diện tích có hướng của hình bình hành sinh bởi u, v và w. Kí hiệu dV chính là dxdydz: dV = dxdydz. Tổng quát hơn, tại mỗi p ∈ Rn thì dx1dx2 · · ·dxn(p) = det, và đó chính là dạng thể tích dV trên Rn. dV = dx1dx2 · · ·dxn. Với 1 ≤ i1, i2, . . ., ik ≤ n thì dxi1dxi2 · · ·dxik là một dạng bậc k. Tổng của hai dạng bậc k là một dạng bậc k. Tích của một hàm trơn với một dạng bậc k cũng là một dạng bậc k. Ta định nghĩamột dạng vi phân bậc k bất kì trên Rn là một tổng hữu hạn của những dạng f dxi1dxi2 · · ·dxik . Ví dụ. Một dạng bậc 2 trên R3 có công thức Pdydz+Qdzdx + Rdxdy, trong đó P, Q, R là các hàm trơn trên R3. Ở đây chúng ta chưa bàn tới dạng vi phân nội tại trên các đường, mặt, hay tổng quát hơn những tập con "k-chiều" trong Rn. Vì vậy ta chưa có cơ hội giải thích các dạng ds, dS, ... Tích phân của dạng vi phân Theo định nghĩa ở trên một dạng vi phân bậc n trên Rn là một tổng của hữu hạn những dạng f dx1dx2 · · ·dxn. Rất đơn giản, ta định nghĩa tích phân của dạng f dx1dx2 · · ·dxn trên tập con D của Rn chính là tích phân bội của hàm f trên D. Định nghĩa trên được dùng cho những tập con D "n-chiều" trong Rn. Nếu tập con D này có số chiều k < n (ví dụ như đường, mặt trong Rn) thì cần có một định nghĩa khác dành riêng cho số chiều k. Như ta đã thấy qua tích phân đường và tích phân mặt, một định nghĩa như vậy sẽ dùng tới việc "kéo lui" một dạng trên D về một dạng k-chiều trên Rk , rồi lấy tích phân. Chi tiết khá phức tạp, nên ta dừng lại ở đây. Đạo hàm của dạng vi phân Người ta định nghĩa được một phép đạo hàm trên các dạng. Phép tính này có tính tuyến tính, nên nó được xác định bởi công thức: d( f dxi1dxi2 · · ·dxik ) = (df )dxi1dxi2 · · ·dxik = ( ∂ f ∂x1 dx1+ ∂ f ∂x2 dx2+ · · ·+ ∂ f ∂xn dxn ) dxi1dxi2 · · ·dxik . Như vậy đạo hàm của một dạng bậc k là một dạng bậc (k +1). Ví dụ. Trên R2 xét dạng w = Pdx+Qdy. Ta có dw = ( ∂P ∂x dx+ ∂P ∂y dy ) dx+ ( ∂Q ∂x dx+ ∂Q ∂y dy ) dy = ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy. 2.8. * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 103 Ví dụ. Trên R3 xét dạng w = Pdx+Qdy+Rdz. Ta có dw = ( ∂P ∂x dx+ ∂P ∂y dy+ ∂P ∂z dz ) dx+ ( ∂Q ∂x dx+ ∂Q ∂y dy+ ∂Q ∂z dz ) dy+ + ( ∂R ∂x dx+ ∂R ∂y dy+ ∂R ∂z dz ) dz = ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z ) dydz+ ( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) dzdx+ ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy. Chú ý các thành phần của dw chính là các thành phần của curl(P,Q,R). Ví dụ. Trên R3 xét dạng w = Pdydz+Qdzdx+Rdxdy. Ta có dw = ( ∂P ∂x dx+ ∂P ∂y dy+ ∂P ∂z dz ) dydz+ ( ∂Q ∂x dx+ ∂Q ∂y dy+ ∂Q ∂z dz ) dzdx+ + ( ∂R ∂x dx+ ∂R ∂y dy+ ∂R ∂z dz ) dxdy = ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z ) dxdydz. Thành phần của dạng dw chính là div(P,Q,R). Tương ứng giữa hàm và dạng hàm thực f dạng bậc không f trường (P,Q,R) dạng bậc một Pdx+Qdy+Rdz trường bảo toàn dạng bậc một mà là đạo hàm của một dạng bậc không trường curl(P,Q,R) dạng bậc hai( ∂R ∂y − ∂Q∂z ) dydz+ ( ∂P ∂z − ∂R∂x ) dzdx+ ( ∂Q ∂x − ∂P∂y ) dxdy hàm div(P,Q,R) dạng bậc ba ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z ) dxdydz Ví dụ. Tính d(df ) ta được: d(df ) = d ( ∂ f ∂x dx+ ∂ f ∂y dy+ ∂ f ∂z dz ) = ( ∂2 f ∂y∂z − ∂ 2 f ∂z∂y ) dydz+ ( ∂2 f ∂z∂x − ∂ 2 f ∂x∂z ) dzdx+ ( ∂2 f ∂x∂y − ∂ 2 f ∂y∂x ) dxdy. Vậy nếu f trơn cấp hai thì d(df ) = 0. Đây không gì khác hơn chính là hệ thức curl(∇( f )) = 0. Ví dụ. Nếu ta lấy w = Pdx+Qdy+Rdz thì như ở trên đã tính dw = ( ∂R ∂y − ∂Q∂z ) dydz+ ( ∂P ∂z − ∂R∂x ) dzdx+( ∂Q ∂x − ∂P∂y ) dxdy, tương ứng với trường curl(P,Q,R), và d(dw) = ( ∂2R ∂x∂y − ∂ 2Q ∂x∂z + ∂2P ∂y∂z − ∂ 2R ∂y∂x + ∂2Q ∂z∂x − ∂ 2P ∂z∂y ) dxdydz. Nếu trường (P,Q,R) là trơn cấp hai thì d(dw) = 0. Đây chính là hệ thức div(curl(F)) = 0. Tổng quát, tích của hai ánh xạ đạo hàm d nối tiếp bằng không: d2 = 0. 104 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ Bổ đề Poincaré tổng quát Ta đã thấy nếu w = du thì dw = 0. Điều ngược lại là nội dung của bổ đề Poincaré tổng quát: Trên một miền mở hình sao của Rn, nếu w là một dạng bậc k và dw = 0 thì tồn tại một dạng u bậc k −1 sao cho du = w. Công thức Stokes tổng quát Công thức Stokes tổng quát trên Rn: ∫ ∂M w = ∫ M dw. • Công thức Newton–Leibniz ứng với trường hợp w là dạng bậc không f và M là một tập con 1-chiều của R (đoạn thẳng). • Công thức Green ứng với trường hợp w là dạng bậc một Pdx +Qdy và M là một tập con 2-chiều của R2. • Công thức Stokes ứng với trường hợp w là dạng bậc một Pdx+Qdy+ Rdz và M là một tập con 2-chiều của R3 (mặt). • Công thức Gauss–Ostrogradsky ứng với trường hợp w là dạng bậc hai Pdydz +Qdzdx + Rdxdy và M là một tập con 3-chiều của R3 (khối). Bài tập 2.8.2 (công thức Green). Đây là những hệ quả của công thức Stokes 2.8.1. Với cùng các giả thiết về Ω, ta viết pháp tuyến đơn vị v = (v1,v2, . . .,vn). Chứng minh các công thức sau (xem 2.3.15 và 2.6.11): (a) ∫ Ω ∂ f ∂xi dx = ∫ ∂Ω f vi dS. Giả sử hàm thực f thuộc lớp C1(Ω). (b) ∫ Ω ∂ f ∂xi g dx = ∫ ∂Ω f gvi dS− ∫ Ω f ∂g∂xi dx. Giả sử f và g thuộc lớp C 1(Ω). (c) ∫ Ω ∆ f dx = ∫ ∂Ω ∂ f ∂v dS. Giả sử f thuộc lớp C 2(Ω). Ta viết ∂ f ∂v = ∇ f · v, đạo hàm của f theo hướng v. Nhắc lại toán tử Laplace ∆ được cho bởi ∆ f = ∑n i=1 ∂2 f ∂x2i . (d) ∫ Ω ∇ f · ∇g dx = ∫ ∂Ω f ∂g∂v dS− ∫ Ω f∆g dx. Giả sử f và g thuộc lớp C2(Ω). (e) ∫ Ω ( f∆g−g∆ f ) dx = ∫ ∂Ω ( f ∂g∂v −g ∂ f∂v ) dS. 2.8.3 (diện tích mặt cầu). * Gọi Sn(R) là mặt cầu n-chiều tâm tại 0 với bán kính R, biên của quả cầu B′(n+1)(R) tâm 0 bán kính R. Hãy dùng 2.8.1 để tính diện tích (nói cách khác, thể tích n-chiều) của Sn(R). 2.8. * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 105 Hướng dẫn học thêm Để trình bày chặt chẽ nội dung của tích phân đường và mặt và tổng quát hóa cho nhiều chiều cần nghiên cứu hai lãnh vực: đa tạp vi phân (differential manifolds) (tổng quát hóa của đường và mặt), và dạng vi phân (differential forms) (tổng quát hóa của trường vectơ). Quyển sách nhỏ của Spivak [Spi65] là giáo trình kinh điển. Quyển sách của Munkres [Mun91] xuất hiện sau, có nội dung tương tự nhưng có nhiều chi tiết hơn. Một tài liệu hay gần đây hơn là tập bài giảng [Sja06]. Một tiếp cận khác của vấn đề tích phân trên các tập con của không gian Euclid được trình bày trong lý thuyết độ đo hình học (Geometric Measure Theory), có thể đọc ở [Mor00]. Như đã gợi ý, Giải tích vectơ được ứng dụng trực tiếp vào vật lý và các ngành toán học liên quan [Arn89], như khảo sát các phương trình vật lý toán, thường là các phương trình đạo hàm riêng [Eva97]. 106 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ Gợi ý cho một số bài tập 1.2.16 Giả sử x ∈ [0,1] là một số vô tỉ và {pn/qn}n∈Z+ là một dãy các số hữu tỉ hội tụ về x. Nếu dãy {qn}n∈Z+ không tiến ra vô cùng thì sẽ có một số thực M và một dãy con {qnk }k∈Z+ sao cho qnk < M với mọi k ∈ Z+. Dãy {pnk /qnk }k∈Z+ chỉ gồm hữu hạn giá trị. 1.2.17 Tập hợp các số hữu tỉ là đếm được. 1.4.14 Dùng công thức Fubini hai lần, chú ý điều kiện áp dụng. 1.4.15 Đặt khối vào một hình hộp và dùng công thức Fubini, tương tự chứng minh của 1.4.5. 1.4.18 Khối tròn xoay được xác định bởi bất đẳng thức y2 + z2 ≤ f (x)2, là một khối đơn giản theo chiều trục y và chiều trục z. 1.4.19 Giả sử phương của mặt cắt là phương của một trục tọa độ. Trường hợp tổng quát có thể dùng một phép xoay và dùng 1.5.29. 1.4.22 (b) Dùng ý ở bài 1.1.11. 1.5.14 Nửa trên của mặt e-líp là đồ thị của hàm z = f (x, y) = √ (4− x2−2y2)/3 với (x, y) thuộc về hình e-líp x2 +2y2 ≤ 4. Vì e-líp có diện tích và hàm f liên tục, nên hàm f khả tích, và đồ thị của f có thể tích không trong R3. Tương tự nửa dưới của mặt cũng có thể tích không, do đó e-líp có thể tích không, nên khối e-líp có thể tích. 1.5.16 Chú ý rằng miền D đối xứng qua trục Oy. Có thể có kết quả mà không cần tính trực tiếp tích phân. Để giải thích chính xác có thể dùng phép đổi biến x 7→ −x. 1.5.24 Dùng bài 1.4.15. Dùng công thức đổi biến để tính diện tích mặt cắt theo diện tích mặt đáy. 1.5.33 Đặt A vào trong tập mở U. Mở rộng f thành F trên tập ϕ(U) và áp dụng công thức đổi biến cho F. 1.6.6 Đổi đơn vị giá sang triệu đồng/km2. 2.1.9 Dùng công thức Frénét. Giả sử với mọi s thì Dγ(s) ⊂ B(γ(s), 1k(s) ), với k(s) = |T ′(s)| > 0 là độ cong của đường γ tại γ(s). Dùng bài 1.6.5. Có thể đọc thêm ở bài báo R. Osserman, Mathematics of the Gateway Arc, Notices of the AMS, vol. 57, no. 2, 2010, p. 225. 2.2.14 Tính liên thông được thảo luận sâu hơn trong các tài liệu Tôpô, chẳng hạn [Vutop]. 2.2.15 Xem kĩ thuật ở phần chứng minh của 2.1.3. 2.3.10 Dùng công thức Green cho miền không đơn giản. 2.3.16 Dùng bài tập 2.3.5. 2.3.18 Dùng tính liên thông của D và kĩ thuật ở bài tập 1.1.11. 2.3.20 Tham khảo bài tập 2.2.14. Trên tập con mở của Rn thì tính liên thông và tính liên thông đường là trùng nhau, xem chẳng hạn [Vutop]. 2.3.23 Dùng kĩ thuật ở bài tập 1.1.11. 2.4.16 Mặt nón cân là một mặt tròn xoay. Diện tích bằng piR √ R2+ h2. 107 108 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ 2.4.17 Dùng tính đối xứng. Tương tự bài 1.5.16. 2.7.1 Tương tự bài tập 2.3.23. Tài liệu tham khảo [Ang97] Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 1997. 42, 51 [Apo69] Tom M. Apostol, Calculus, vol. 2, John Wiley and Sons, 1969. [Arn89] Vladimir I. Arnold,Mathematical methods of classical mechanics, 2nd ed., Springer, 1989. 105 [Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978. [Eva97] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 1997. 100, 105 [Fey64] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Mathew Sands, The Feynman’s lectures in Physics, vol. 2, Addison-Wesley, 1964. 98 [GT01] David Gilbarg and Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Sec- ond Order, Springer, 2001. 100 [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002. [Kel29] Oliver Dimon Kellogg, Foundations of potential theory, Springer, 1929. 71 [Khu10] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giải tích toán học, tập 2, Nhà Xuất Bản Đại học Sư phạm Hà Nội, 2010. [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I, Addison-Wesley, 1968. 2, 10, 11, 15, 31, 37, 42, 43 [LDP02] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích các hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002. [Mor00] Frank Morgan, Geometric measure theory: A beginner’s guide, Academic Press, 2000. 105 [MT03] Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003. [Mun91] James Munkres, Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991. 37, 43, 105 [Mun00] James Munkres, Topology a first course, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000. 83 [PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002. [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976. 2, 37, 51 [Rud86] Walter Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1986. 51 [Sja06] Reyer Sjamaar, Manifolds and differential forms, 2006, Cornell University. 72, 105 109 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO [Spi65] Michael Spivak, Calculus on manifolds, Addison-Wesley, 1965. 32, 37, 105 [Spi94] Michael Spivak, Calculus, 3rd ed., Publish or Perish, 1994. 43 [Ste12] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 7th ed., Brooks/Cole, 2012. 2, 37, 57 [VuSto] Huỳnh Quang Vũ, Công thức Stokes, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ∼hqvu/Stokes.pdf. 43, 100 [Vutop] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Sci- ence, ∼hqvu/teaching/n.pdf. 107 [Zor04] Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis II, Springer, 2004. Chỉ mục Định lý cơ bản của tích phân đường, 62 độ đo Lebesgue, 50 độ đo không, 14 độ cong, 60 động năng, 63 đạo hàm theo hướng, 75 định lý hàm ngược, 32 định luật Faraday, 90 đường đi, 53 đóng, 53 đơn, 53 cùng định hướng, 57 chính qui, 57 liên tục, 53 trái định hướng, 57 vết, 53 đường chính qui từng khúc, 91 đường cong, 57 hướng tiếp tuyến, 58 đa tạp trơn, 100 bổ đề Poincaré, 71, 89, 104 công thức đổi biến, 32 công thức Divergence, 91 công thức Fubini, 24 công thức Gauss–Ostrogradsky, 91 công thức Green, 69, 73, 75, 95, 104 công thức Newton–Leibniz, 62 công thức Pappus, 49 công thức Stokes, 87, 100, 104 công thức tích phân từng phần, 74 curl, 86 dạng vi phân, 100 div, 73, 91 giá trị chính qui, 67 hầu như khắp nơi, 14 hình hộp, 6 con, 6 thể tích, 6 hình sao, 71 hàm đặc trưng, 19 hàm điều hòa, 75, 95 hàm đo được Lebesgue, 50 hàm Gamma, 49 hàm mật độ, 44 hàm thế, 62 hệ con săn mồi-con mồi, 76 khối ống, 60 khối đơn giản với biên trơn từng mảnh, 91 khối nón, 42 khả tích, 8 khả vi liên tục, 31 khả vi từng khúc, 54 mặt, 77 định hướng, 80 đơn, 80 biên, 80 chính qui, 80 hướng lên, 80 vết, 77 ma trận Jacobi, 31 miền, 18 miền đơn giản, 25, 27 phép đổi biến, 32 phép chia, 6 khoảng con, 6 mịn hơn, 7 phân hoạch, 6 tích phân, 8 tích phân đường độc lập với đường đi, 62 loại hai, 55 loại một, 54 tích phân lặp, 23 tích phân Lebesgue, 51 tích phân mặt loại hai, 79 loại một, 78 tích phân từng phần, 104 tập mức, 67 tọa độ cầu, 36 111 112 CHỈ MỤC tọa độ trụ, 35 tổng dưới, 7 tổng Riemann, 6 tổng trên, 7 thế năng, 63 thông lượng, 73 thể tích, 18 thể tích không, 11 toán tử Laplace, 75 trơn, 31 đường đi, 53 trường bảo toàn, 62 gradient, 62 vectơ gradient, 31 vectơ pháp tuyến ngoài, 72 vi đồng phôi, 32 đảo ngược định hướng, 33, 79 bảo toàn định hướng, 33, 56, 79 xấp xỉ dưới, 7 xấp xỉ trên, 7 CHỈ MỤC 113