Bài giảng toán học sơ cấp - Phần 1: Mệnh đề - TS.Nguyễn Viết Đông

1Phần I.Mệnh đề Biên soạn : TS.Nguyễn Viết Đông 1 Tài liệu tham khảo • Toán rời rạc, GS.TS. Nguyễn Hữu Anh • Michael P.Frank „s slides • Nguyễn Viết Hưng „s slides • Toán rời rạc, TS. Trần Ngọc Hội 2 Mệnh đề và chân trị • Khái niệm về mệnh đề: Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toán học không được định nghĩa mà chỉ được mô tả. Mệnh đề toán học(gọi tắt là mệnh đề) là một khẳng định có giá trị chân lý xác định(đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai). 3 Mệnh đề và chân trị • Ví dụ: – “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng – “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam” là một mệnh đề sai. – “Bạn có khỏe không ? ” không phải là một mệnh đề toán học vì đây là một câu hỏi không thể phản ánh một điều đúng hay một điều sai 4 2Mệnh đề và chân trị • Kiểm tra xem các khẳng định sau có là mệnh đề không? Nếu có, đó là mệnh đề đúng hay sai? – Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc chung cho ngành Tin học. – 97 là số nguyên tố. – N là số nguyên tố. 5 Mệnh đề và chân trị • Ký hiệu mệnh đề : Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, • Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại bằng các liên từ(và, hay, nếuthì) hoặc trạng từ “không” – Ví dụ : Nếu trời tốt thì tôi đi dạo. 6 Mệnh đề và chân trị • Chân trị của mệnh đề: Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai. Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1hay Đ(đúng),T(true) và 0 hay S(sai),F(false) 7 Phép tính mệnh đề • Mục đích của phép tính mệnh đề: Nghiên cứu chân trị của một mệnh đề phức hợp từ chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn và các phép nối những mệnh đề này biểu hiện qua liên từ hoặc trạng từ “không” 8 3Some Popular Boolean Operators Formal Name Nickname Arity Symbol Negation operator NOT Unary ¬ Conjunction operator AND Binary  Disjunction operator OR Binary  Exclusive-OR operator XOR Binary  Implication operator IMPLIES Binary  Biconditional operator IFF Binary ↔ Phép tính mệnh đề Phủ định của mệnh đề The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a prop. into its logical negation. E.g. If p = “I have brown hair.” then ¬p = “I do not have brown hair.” Phép tính mệnh đề 11 Phép tính mệnh đề p p T F F T 4Phép tính mệnh đề • Phép nối liền(phép hội; phép giao): Mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định bởi : P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng 13 Phép tính mệnh đề • Ví dụ: Mệnh đề “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông minh ” chỉ được xem là mệnh đề đúng khi cả hai điều kiện “cô ấy đẹp” và “cô ấy thông minh” đều xảy ra. Ngược lại, chỉ 1 trong 2 điều kiện trên sai thì mệnh đề trên sẽ sai. 14 • Meänh ñeà “Hoâm nay, An giuùp meï lau nhaø vaø röûa cheùn” chæ ñuùng khi hoâm nay An giuùp meï caû hai coâng vieäc lau nhaø vaø röûa cheùn. Ngöôïc laïi, neáu hoâm nay An chæ giuùp meï moät trong hai coâng vieäc treân, hoaëc khoâng giuùp meï caû hai thì meänh ñeà treân sai. Phép tính mệnh đề 15 The Conjunction Operator The binary conjunction operator “” (AND) combines two propositions to form their logical conjunction. E.g. If p=“I will have salad for lunch.” and q=“I will have steak for dinner.”, then pq=“I will have salad for lunch and I will have steak for dinner.” Remember: “” points up like an “A”, and it means “ND” ND 16 5• Note that a conjunction p1  p2   pn of n propositions will have 2n rows in its truth table. • Also: ¬ and  operations together are suffi- cient to express any Boolean truth table! Conjunction Truth Table p q pq F F F F T F T F F T T T Operand columns 17 Phép tính mệnh đề 18 Phép tính mệnh đề • Phép nối rời(phép tuyển; phép hợp) Mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được định bởi : P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai 19 Phép tính mệnh đề • Ví dụ: Mệnh đề “Tôi đang chơi bóng đá hay bóng rổ”. Mệnh đề này chỉ sai khi tôi vừa không đang chơi bóng đá cũng như vừa không đang chơi bóng rổ. Ngược lại, tôi chơi bóng đá hay đang chơi bóng rổ hay đang chơi cả hai thì mệnh đề trên đúng. 20 6The Disjunction Operator The binary disjunction operator “” (OR) combines two propositions to form their logical disjunction. p=“My car has a bad engine.” q=“My car has a bad carburetor.” pq=“Either my car has a bad engine, or my car has a bad carburetor.” After the downward- pointing “axe” of “” splits the wood, you can take 1 piece OR the other, or both.  Meaning is like “and/or” in English. 21 • Note that pq means that p is true, or q is true, or both are true! • So, this operation is also called inclusive or, because it includes the possibility that both p and q are true. • “¬” and “” together are also universal. Disjunction Truth Table p q pq F F F F T T T F T T T T Note difference from AND 22 Phép tính mệnh đề 23 Phép tính mệnh đề • Chú ý : Cần phân biệt “hay” và “hoặc”. Đưa ra phép toán để thể hiện trường hợp loại trừ Ký hiệu : ,  P Q sai  P và Q đồng thời cùng đúng hoặc cùng sai.   7The Exclusive Or Operator The binary exclusive-or operator “” (XOR) combines two propositions to form their logical “exclusive or” (exjunction?). p = “I will earn an A in this course,” q = “I will drop this course,” p  q = “I will either earn an A for this course, or I will drop it (but not both!)” 25 • Note that pq means that p is true, or q is true, but not both! • This operation is called exclusive or, because it excludes the possibility that both p and q are true. • “¬” and “” together are not universal. Exclusive-Or Truth Table p q pq F F F F T T T F T T T F Note difference from OR. 26 Phép tính mệnh đề • Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí hiệu bởi P  Q(đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi: P  Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai . 27 Phép tính mệnh đề • Ví dụ: Xét mệnh đề sau : “Nếu tôi đẹp trai thì tôi có nhiều bạn gái” Ta có các trường hợp sau: • Tôi đẹp trai và có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng đúng • Tôi đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng sai • Tôi không đẹp trai mà vẫn có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng • Tôi không đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng 28 8Phép tính mệnh đề • Meänh ñeà “Chieàu nay, neáu raûnh toâi seõ gheù thaêm baïn” chæ sai khi chieàu nay toâi raûnh nhöng toâi khoâng gheù thaêm baïn. • Ngöôïc laïi, neáu chieàu nay toâi baän thì duø toâi coù gheù thaêm baïn hay khoâng, meänh ñeà treân vaãn ñuùng. Ngoaøi ra, taát nhieân neáu chieàu nay toâi coù gheù thaêm baïn thì meänh ñeà treân ñuùng (duø toâi coù raûnh hay khoâng!). 29 The Implication Operator The implication p  q states that p implies q. I.e., If p is true, then q is true; but if p is not true, then q could be either true or false. E.g., let p = “You study hard.” q = “You will get a good grade.” p  q = “If you study hard, then you will get a good grade.” (else, it could go either way) antecedent consequent 30 Implication Truth Table • p  q is false only when p is true but q is not true. • p  q does not say that p causes q! • p  q does not require that p or q are ever true! • E.g. “(1=0)  pigs can fly” is TRUE! p q pq F F T F T T T F F T T T The only False case! 31 Examples of Implications • “If this lecture ends, then the sun will rise tomorrow.” True or False? • “If Tuesday is a day of the week, then I am a penguin.” True or False? • “If 1+1=6, then Bush is president.” True or False? • “If the moon is made of green cheese, then I am richer than Bill Gates.” True or False? 32 9Phép tính mệnh đề 33 Phép tính mệnh đề • Pheùp keùo theo hai chieàu: Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnhđề P và Q, ký hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi: P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị 34 Phép tính mệnh đề 35 Phép tính mệnh đề 36 10 The biconditional operator The biconditional p  q states that p is true if and only if (IFF) q is true. p = “Bush wins the 2004 election.” q = “Bush will be president for all of 2005.” p  q = “If, and only if, Bush wins the 2004 election, Bush will be president for all of 2005.” 2004 I’m still here! 2005 Biconditional Truth Table • p  q means that p and q have the same truth value. • Note this truth table is the exact opposite of ‟s! – p  q means ¬(p  q) • p  q does not imply p and q are true, or cause each other. p q p  q F F T F T F T F F T T T 38 Boolean Operations Summary • We have seen 1 unary operator and 5 binary operators . Their truth tables are below. p q p pq pq pq pq pq F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T 39 Some Alternative Notations Name: not and or xor implies iff Propositional logic:       Boolean algebra: p pq +  C/C++/Java (wordwise): ! && || != == C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^ Logic gates: 11 Dạng mệnh đề • Daïng meänh ñeà laø moät bieåu thöùc ñöôïc caáu taïo töø: - Caùc haèng meänh ñeà, töùc laø caùc meänh ñeà ñaõ xeùt ôû trên. - Caùc bieán meänh ñeà, töùc laø caùc bieán laáy giaù trò laø caùc meänh ñeà, thoâng qua caùc pheùp toaùn meänh ñeà ñaõ xeùt ôû muïc trên theo moät trình töï nhaát ñònh naøo ñoù, thöôøng ñöôïc chæ roõ bôûi caùc daáu ngoặc. 41 Dạng mệnh đề • Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r ứng với mỗi giá trị cụ thể P, Q, R (là các mệnh đề) của p, q, r thì ta có duy nhất một mệnh đề E(P, Q, R). Ta viết E = E(p, q, r). • Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề. 42 Dạng mệnh đề 43 Tautologies and Contradictions A tautology is a compound proposition that is true no matter what the truth values of its atomic propositions are! Ex. p  p [What is its truth table?] A contradiction is a compound proposition that is false no matter what! Ex. p  p [Truth table?] Other compound props. are contingencies. 44 12 Logical Equivalence Compound proposition p is logically equivalent to compound proposition q, written pq, IFF the compound proposition pq is a tautology. Compound propositions p and q are logically equivalent to each other IFF p and q contain the same truth values as each other in all rows of their truth tables. 45 Ex. Prove that pq (p  q). p q pq p q p  q (p  q) F F F T T F T T Proving Equivalence via Truth Tables F T T T T T T T T T F F F F F F F F T T 46 Dạng mệnh đề 1. Quy tắc thay thế thứ 1 Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E. 2. Quy tắc thay thế thứ 2 Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r) là một hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p‟,q‟,r‟) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r,p‟,q‟,r‟, vẫn còn là 1 hằng đúng. 47 Dạng mệnh đề Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là một hằng đúng và 0 là một hằng sai, ta có các tương đương logic sau đây: 1) Luật luỹ đẳng p  p  p p  p  p 48 13 Dạng mệnh đề 49 50 51 52 14 53 Dạng mệnh đề 16) Luật rút gọn: p q  p  1 p  (p q)  p q (p  q) q  p q p  (p  q)  1 54 Equivalence Laws - Examples • Identity: pT  p pF  p • Domination: pT  T pF  F • Idempotent: pp  p pp  p • Double negation: p  p • Commutative: pq  qp pq  qp • Associative: (pq)r  p(qr) (pq)r  p(qr) 55 More Equivalence Laws • Distributive: p(qr)  (pq)(pr) p(qr)  (pq)(pr) • De Morgan’s: (pq) p  q (pq) p  q • Trivial tautology/contradiction: p  p  T p  p  F Augustus De Morgan (1806-1871) 15 Defining Operators via Equivalences Using equivalences, we can define operators in terms of other operators. • Exclusive or: pq  (pq)(pq) pq  (pq)(qp) • Implies: pq p  q • Biconditional: pq  (pq)  (qp) pq (pq) 57 An Example Problem • Check using a symbolic derivation whether (p  q)  (p  r) p  q  r. (p  q)  (p  r)  [Expand definition of ] (p  q)  (p  r) [Defn. of ] (p  q)  ((p  r)  (p  r)) [DeMorgan’s Law]  (p  q)  ((p  r)  (p  r))  [associative law] cont. 58 Example Continued... (p  q)  ((p  r)  (p  r))  [ commutes]  (q  p)  ((p  r)  (p  r)) [ associative]  q  (p  ((p  r)  (p  r))) [distrib.  over ]  q  (((p  (p  r))  (p  (p  r))) [assoc.]  q  (((p  p)  r)  (p  (p  r))) [trivail taut.]  q  ((T  r)  (p  (p  r))) [domination] q  (T  (p  (p  r))) [identity]  q  (p  (p  r))  cont. 59 End of Long Example q  (p  (p  r)) [DeMorgan’s]  q  (p  (p  r)) [Assoc.]  q  ((p  p)  r) [Idempotent]  q  (p  r) [Assoc.]  (q  p)  r [Commut.] p  q  r Q.E.D. (quod erat demonstrandum) (Which was to be shown.) 60 16 Dạng mệnh đề • Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh đề kia, ta có các cách sau: - Lập bảng chân trị. - Sử dụng phép thay thế. 61 Ví dụ Cho p, q, r laø caùc bieán meänh ñeà. Chöùng minh raèng: (p r)  (q  r)  (p  q)  r (1) Chuùng ta có thể chöùng minh (1) baèng hai caùch. Caùch 1: Laäp baûng chaân trò . 62 63 Qui tắc suy diễn • Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r(tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận. • Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh: ( p  q  r  ) có hệ quả logic là h . 64 17 Qui Tắc Suy Diễn Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng: p q r . : ___ h 65 Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC MODUS PONENS(Phƣơng pháp khẳng định) Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: Hoặc dưới dạng sơ đồ  p q p q     p q p q   •Nếu An học chăm thì An học tốt. •Mà An học chăm Suy ra An học tốt •Hình vuông là hình bình hành •Mà hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 67 Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN(Syllogism) Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: Hoặc dưới dạng sơ đồ      p q q r p r       p q q r p r     18 •Hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau thì chúng ta có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau. •Nếu hai tam giác có cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau thì chúng bằng nhau Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau. •Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm •Cái gì hiếm thì đắt Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt () 69 Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC MODUS TOLLENS PHƢƠNG PHÁP PHỦ ĐỊNH Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: Hoặc dưới dạng sơ đồ  p q q p     p q q p    • Xét chứng minh • Ta suy luận p r r s t s t u u p        p r r s s t t u u p       Aristotle (ca. 384-322 B.C.) 71 Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN RỜI Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng  p q q p      p q p q     19 Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC MÂU THUẪN CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Ta có tương đương logic • Để chứng minh vế trái là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn.    1 2 1 2... ... 0n np p p q p p p q                VÍ DỤ • Hãy chứng minh: • Cm bằng phản chứng. p r p q q s r s       0 p r p q q s r s        74 Qui Tắc Suy Diễn • CHỨNG MINH THEO TRƢỜNG HỢP Dựa trên hằng đúng: • Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có thể suy ra r.      p r q r p q r            VÍ DỤ • Chứng minh rằng:  3 4 3n n  20 Một số luật thêm p Rule of Addition(Phép thêm)  pq pq Phép đơn giản nối liền  p p q  pq Luật về phép nối lền 77 VÍ DỤ TỔNG HỢP 1. Nếu nghệ sĩ Trương Ba không trình diễn hay số vé bán ra ít hơn 100 thì đêm diễn sẽ bi hủy bỏ và ông bầu sẽ rất buồn. 2. Nếu đêm diễn bị hủy bỏ thì tiềnvé phải trả lại cho người xem. 3. Nhưng tiềnvé đã không trả lại cho người xem. Vậy nghệ sỹ TB đã trình diễn • p:Nghệ sĩ Trương Ba đã trình diễn. • q:số vé bán ra ít hơn 100. • r:đêm diễn bị hủy bỏ. • s: ông bầu buồn. • t:trả lại tiền vé cho người xem p q r s r t t p        78 Qui Tắc Suy Diễn • PHẢN VÍ DỤ Để chứng minh một phép suy luận là sai hay không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ. 1 2 ... np p p q    VÍ DỤ • Ông Minh nói rằng nếu không được tăng lương thì ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt khác, nếu ông ấy nghỉ việc và vợ ông ấy bị mất việc thì phải bán xe. Biết rằng nếu vợ ông Minh hay đi làm trễ thì trước sau gì cũng sẽ bị mất việc và cuối cùng ông Minh đã được tăng lương. • Suy ra nếu ông Minh không bán xe thì vợ ông ta đã không đi làm trễ • p:ông Minh được tăng lương. • q: ông Minh nghỉ việc. • r: vợ ông Minh mất việc. • s: gia đình phải bán xe. • t: vợ ông hay đi làm trễ. p q q r s t r p s t        s=0 t=1 p=1 q=0 r=1 80 21 Formal Proof Example • Suppose we have the following premises: “It is not sunny and it is cold.” “Only if We will swim is it sunny.” “If we do not swim, then we will canoe.” “If we canoe, then we will be home early.” • Given these premises, prove the theorem “We will be home early” using inference rules. 81 Proof Example cont. • Let us adopt the following abbreviations: – sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold”; swim = “We will swim”; canoe = “We will canoe”; early = “We will be home early”. • Then, the premises can be written as: (1) sunny  cold (2) swim  sunny (3) swim  canoe (4) canoe  early 82 Proof Example cont. Step Proved by 1. sunny  cold Premise #1. 2. sunny Simplification of 1. 3. swimsunny Premise #2. 4. swim Modus tollens on 2,3. 5. swimcanoe Premise #3. 6. canoe Modus ponens on 4,5. 7. canoeearly Premise #4. 8. early Modus ponens on 6,7. 83 Qui Tắc Suy Diễn • VD1 84 22 85 Qui Tắc Suy Diễn • VD2 86 • Giải Qui Tắc Suy Diễn 87 Qui Tắc Suy Diễn 88 23 Qui Tắc Suy Diễn 89 à 90