Bài giảng Toán rời rạc - Bài 13: Đếm - Trần Vĩnh Đức

Đếm Trần Vĩnh Đức HUST 1 / 48 Tài liệu tham khảo ▶ E.Lehman, T. Leighton, A. Meyer, Mathematics for Computer Science, 2015. 2 / 48 Nội dung Tập, dãy, và ánh xạ Luật ánh xạ Luật tích và luật tổng Nguyên lý bù trừ Luật BOOKEEPER Chứng minh tổ hợp Dãy và tập ▶ Dãy: có thứ tự, các phần tử có thể trùng nhau (a, b, a) ̸= (b, a, a) ▶ Tập: không thứ tự, các phần tử không trùng nhau {a, b, c} = {b, a, c} 4 / 48 Định nghĩa Một hoán vị của một tập S là một dãy chứa mỗi phần tử của S đúng một lần. 5 / 48 Số hoán vị của một tập ▶ Tập {a, b, c} có 6 hoán vị: { (a, b, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a), (b, a, c), (a, c, b) } ▶ Số hoán vị của tập n phần tử là n! = n(n− 1) · · · 1 6 / 48 Định nghĩa Một ánh xạ f : X→ Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của X với đúng một phần tử của Y. 7 / 48 Ví dụ Quy tắc tương ứng f : {a, b, c} → {1, 2, 3} định nghĩa dưới đây có phải ánh xạ không? a b c 1 2 3 8 / 48 Ví dụ Quy tắc sau đây có phải ánh xạ không? a b c d 1 2 3 9 / 48 Định nghĩa Ánh xạ f : X→ Y là ▶ toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều có ít nhất một phần tử tương ứng từ X. ▶ đơn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều có nhiều nhất một phần tử tương ứng từ X. ▶ song ánh nếu mỗi phần tử của Y đều có chính xác một phần tử tương ứng từ X. 10 / 48 Ví dụ Ánh xạ dưới đây là đơn ánh hay toàn ánh hay song ánh? a b c d 1 2 3 11 / 48 Ví dụ Xét hoán vị (a1, a2, · · · , an) của tập S = {a1, a2, · · · , an}. Ánh xạ pi : {a1, a2, . . . , an} → {1, 2, . . . ,n} định nghĩa bởi pi(ai) = i là song ánh. Tại sao? 12 / 48 Nội dung Tập, dãy, và ánh xạ Luật ánh xạ Luật tích và luật tổng Nguyên lý bù trừ Luật BOOKEEPER Chứng minh tổ hợp Định lý Nếu ánh xạ f : X→ Y là ▶ toàn ánh thì |X| ≥ |Y|. ▶ đơn ánh thì |X| ≤ |Y|. ▶ song ánh thì |X| = |Y|. 14 / 48 Định lý Số cây gán nhãn với n đỉnh là nn−2. Prüfer(T) ←→ 0 5 3 2 1 4 12 8 9 7 10 6 15 16 13 14 11 15 / 48 Ví dụ Có bao nhiêu cách chọn 12 chiếc bánh từ 5 loại bánh sô cô la, chanh, có đường, kem, nguyên chất? ▶ X = tập mọi cách chọn 12 chiếc bánh từ 5 loại bánh. ▶ Y = tập mọi xâu 16 bit có đúng 4 số 1. ▶ Song ánh từ X đến Y 0 0︸︷︷︸ sô cô la 1 ︸︷︷︸ chanh 1 0 0 0 0 0 0︸ ︷︷ ︸ có đường 1 0 0︸︷︷︸ kem 1 0 0︸︷︷︸ nguyên chất ▶ |X| = |Y| 16 / 48 Ví dụ ▶ Xét song ánh từ các tập con của X = {1, 2, . . . ,n} tới dãy n-bit S→ (b1, . . . , bn) với bi = { 1 nếu i ∈ S 0 nếu i /∈ S ▶ Số dãy n-bit là 2n. ▶ Vậy X có 2n tập con. 17 / 48 Ánh Xạ “k đến 1” Định nghĩa Ánh xạ f : X→ Y gọi là ánh xạ “k đến 1” nếu nó ánh xạ đúng k phần tử của X tới mỗi phần tử của Y. Song ánh là ánh xạ “1 đến 1” 18 / 48 Luật chia (tổng quát hóa của luật song ánh) ▶ Nếu f : X→ Y là ánh xạ “k đến 1”, thì |X| = k · |Y|. ▶ Nếu f là song ánh vậy |X| = |Y|. 19 / 48 Ví dụ Có bao nhiêu cách đặt hai quân cờ giống nhau lên bàn cờ 8× 8 sao cho chúng không chung hàng và không chung cột ? ▶ Y = tập mọi cấu hình hợp lệ cho hai quân cờ. ▶ X = mọi dãy (h1, c1︸ ︷︷ ︸ quân1 , h2, c2︸ ︷︷ ︸ quân2 ) thỏa mãn h1 ̸= h2 và c1 ̸= c2. ▶ Có một ánh xạ “2 đến 1” từ X lên Y. Tại sao? ▶ Vậy |Y| = |X| 2 = 8× 8× 7× 7 2 . 20 / 48 Nội dung Tập, dãy, và ánh xạ Luật ánh xạ Luật tích và luật tổng Nguyên lý bù trừ Luật BOOKEEPER Chứng minh tổ hợp Luật tích Định nghĩa A1 ×A2 × · · · × An = {(a1, · · · , an) | ai ∈ Ai} Định lý Nếu A1, . . . ,An là các tập hữu hạn, vậy thì |A1 ×A2 × · · · × An| = |A1| × |A2| × · · · × |An|. 22 / 48 Luật tổng Định lý Nếu A1,A2, . . . ,An là các tập rời nhau, vậy |A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An| = |A1|+ |A2|+ · · ·+ |An|. 23 / 48 Bài toán Có bao nhiêu cách chọn trong nhóm n người một ủy ban ba người trong đó một người làm chủ tịch, một người làm thư ký, và một người làm tư vấn? 24 / 48 Lời giải ▶ Mỗi cách chọn một ủy ban ( x︸︷︷︸ chủ tịch , y︸︷︷︸ thư ký , x︸︷︷︸ tư vấn ) ▶ với n người có thể làm chủ tịch, ▶ còn lại n− 1 người có thể làm thư ký (trừ x), ▶ còn lại n− 2 người có thể làm tư vấn (trừ x và y). ▶ Vậy có n(n− 1)(n− 2) cách chọn. 25 / 48 Bài toán ▶ Số seri của các tờ tiền có dạng MQ 09 19 99 99 ▶ Tờ tiền khuyết số nếu có một chữ số xuất hiện hơn một lần trong số seri gồm 8 chữ số. ▶ Tờ tiền khuyết số có phổ biến không? 26 / 48 Bài toán Đếm xem có bao nhiêu mật khẩu thỏa mãn 4 yêu cầu sau đây: 1. Dài từ 6 đến 8 ký hiệu; 2. Phải bắt đầu bằng một chữ cái; 3. Chỉ gồm 26 chữ cái thường hoặc 26 chữ cái hoa hoặc các số 0 đến 9; 4. Có phân biệt chữ hoa chữ thường. 27 / 48 Nội dung Tập, dãy, và ánh xạ Luật ánh xạ Luật tích và luật tổng Nguyên lý bù trừ Luật BOOKEEPER Chứng minh tổ hợp A B A ∩ B Theo luật tổng ta có: |A| = |A \ B|+ |A ∩ B| |B| = |B \A|+ |A ∩ B| |A ∪ B| = |A \ B|+ |A ∩ B|+ |B \A| 29 / 48 Nguyên lý bù trừ cho hai tập |A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|. 30 / 48 Nguyên lý bù trừ cho ba tập |A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. A B C 31 / 48 Nguyên lý bù trừ |S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn| = n∑ i=1 |Si| − ∑ 1≤i<j≤n |Si ∩ Sj| + ∑ 1≤i<j<k≤n |Si ∩ Sj ∩ Sk|+ · · · (−1)n−1| ∩ni=1 Si|. 32 / 48 Nguyên lý bù trừ (cách viết khác) |S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn| = ∑ ∅≠I⊆{1,2,...,n} (−1)|I|−1 ∣∣∣∣∣⋂i∈I Si ∣∣∣∣∣ 33 / 48 Bài toán ▶ Có bao nhiêu hoán vị của tập {0, 1, . . . , 9} có chứa (liền nhau) 42, 04 hoặc 60? ▶ Ví dụ, hoán vị sau đây chứa 60 và 04. (7, 2, 5, 6, 0, 4, 3, 5, 1, 9) 34 / 48 Bài toán (François Édouard Anatole Lucas, 1894) Cho một cái bàn tròn và m cặp vợ chồng, có bao nhiêu cách để xếp họ ngồi nam nữ xem kẽ sao cho không cặp vợ chồng nào ngồi kề nhau? 35 / 48 Nội dung Tập, dãy, và ánh xạ Luật ánh xạ Luật tích và luật tổng Nguyên lý bù trừ Luật BOOKEEPER Chứng minh tổ hợp Định lý (Luật BOOKEEPER) ▶ Xét k chữ phân biệt c1, c2, . . . , ck. ▶ Số dãy gồm n1 chữ c1, n2 chữ c2, . . . , và nk chữ ck là(n1 + n2 + · · ·+ nk n1,n2, · · · ,nk ) = (n1 + n2 + · · ·+ nk)! n1!n2! · · ·nk! 37 / 48 Định lý (Công thức nhị thức) ( n k,n− k ) = (n k ) = n! k!(n− k)! 38 / 48 Ví dụ Số dãy 16-bit chứa đúng 4 bit 1 là( 16 4 ) = 16! 4!12! . Đây chính là số cách chọn tập con 4 phần tử từ tập 16 phần tử. 39 / 48 Ví dụ (Luật tập con) Số tập con k phần tử của tập n phần tử là(n k ) . 40 / 48 Định lý (Hệ số nhị thức) Với mọi n ≥ 0 ta có (a+ b)n = n∑ k=0 (n k ) an−kbk. ▶ (a+ b)2 = aa+ ab+ ba+ bb = a2 + 2ab+ b2 ▶ (a+ b)3 = aaa+ aab+ aba+ baa+ abb+ bab+ bba+ bbb = a3 + 3a2b+ 3b2a+ b3 ▶ Số dãy độ dài n chứa k chữ a và (n− k) chữ b là (nk). 41 / 48 Nội dung Tập, dãy, và ánh xạ Luật ánh xạ Luật tích và luật tổng Nguyên lý bù trừ Luật BOOKEEPER Chứng minh tổ hợp Ví dụ ▶ Có n chiếc áo phân biệt, ▶ Số cách giữ lại k chiếc áo là (n k ) . ▶ Số cách bỏ đi n− k chiếc áo là ( nn−k). ▶ Vậy ta có (n k ) = ( n n− k ) = n! k!(n− k)! 43 / 48 Ví dụ ▶ Chọn một đội gồm k sinh viên trong số n sinh viên. ▶ Số đội có Bob là (n−1 k−1 ) . ▶ Số đội không có Bob là (n−1 k ) . ▶ Vậy ta có (đẳng thức Pascal)(n− 1 k− 1 ) + (n− 1 k ) = (n k ) . 44 / 48 Đếm bằng hai cách 1. Định nghĩa S. 2. Chứng minh |S| = n (một cách đếm). 3. Chứng minh |S| = m (một cách đếm khác). 4. Kết luận m = n. 45 / 48 Định lý n∑ r=0 (n r ) · ( 2n n− r ) = ( 3n n ) . 46 / 48 Chứng minh ▶ S = các bộ bài gồm n quân chọn từ n quân đỏ và 2n quân đen trên bàn. ▶ Vậy |S| = ( 3n n ) . 47 / 48 Chứng minh 2 ▶ Số bộ bài với đúng r quân đỏ là(n r )( 2n n− r ) ▶ Số quân đỏ có thể từ 0 đến n nên ta có |S| = n∑ r=0 (n r )( 2n n− r ) . 48 / 48