Bài giảng Toán rời rạc - Bài 6: Tô màu đỉnh của đồ thị - Trần Vĩnh Đức

Tô màu đỉnh của đồ thị Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 24 tháng 7 năm 2018 1 / 44 Tài liệu tham khảo ▶ Norman L. Biggs, Discrete Mathematics, Oxford University Press, 2002. 2 / 44 Nội dung Định nghĩa và ví dụ Thuật toán tham lam tô màu đỉnh Đồ thị hai phần Bài tập Ví dụ Trường BK muốn xếp giờ học cho sáu môn học v1, v2, v3, v4, v5, v6 biết rằng có một vài sinh viên học các môn : v1 và v2, v1 và v4, v3 và v5, v2 và v6, v4 và v5, v5 và v6, v1 và v6. v1 v2 v3 v4 v5 v6 4 / 44 Xếp lịch học v1 v2 v3 v4 v5 v6 Tiết 1 Tiết 2 Tiết 3 Tiết 4 v1 và v3 v2 và v4 v5 v6 5 / 44 Xếp lịch học ▶ Ta tìm cách phân hoạch tập đỉnh thành 4 phần sao cho không phần nào chứa cặp đỉnh kề nhau. ▶ Một cách hình thức, đây là một hàm c : {v1, v2, v3, v4, v5, v6} −→ {1, 2, 3, 4} gán mỗi đỉnh với một giờ học. ▶ Không mất tổng quát ta dùng các số nguyên dương cho các màu. 6 / 44 Định nghĩa Một cách tô màu đỉnh của đồ thị G = (V,E) là một hàm c : V −→ N thỏa mãn tính chất : Nếu {x, y} ∈ E thì c(x) ̸= c(y). v1 v2 v3 v4 v5 v6 7 / 44 Định nghĩa Sắc số của đồ thị G, ký hiệu là χ(G), là số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn có một cách tô màu G dùng k màu. Nói cách khác, χ(G) = k nếu và chỉ nếu có một cách tô màu c từ V tới tập {1, 2, . . . , k}, và k là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này. Ví dụ Tìm sắc số của đồ thị v1 v2 v3 v4 v5 v6 8 / 44 Tìm số màu Để chứng minh rằng sắc số của một đồ thị là k thì ta phải: 1. tìm một cách tô màu dùng k màu; 2. chứng minh rằng không có cách tô màu nào dùng ít hơn k màu. 9 / 44 Bài tập Tìm sắc số của các đồ thị sau: (i) đồ thị đầy đủ Kn; (ii) đồ thị vòng C2r; (iii) đồ thị vòng C2r+1; 10 / 44 Bài tập Tìm sắc số của các đồ thị sau: 11 / 44 Bài tập Hãy mô tả tất cả các đồ thị G có χ(G) = 1. 12 / 44 Nội dung Định nghĩa và ví dụ Thuật toán tham lam tô màu đỉnh Đồ thị hai phần Bài tập Bài toán Cho đồ thị G. Hãy tìm χ(G). là bài toán khó. Người ta chưa biết thuật toán “nhanh” nào để giải nó, và hầu hết mọi người đều tin rằng không có thuật toán như vậy. 14 / 44 Thuật toán tham lam 1. Sắp thứ tự các đỉnh theo thứ tự nào đó: v1, v2, · · · , vn. 2. for i = 1, 2, . . . ,n : 3. Gán màu hợp lệ nhỏ nhất cho vi. 15 / 44 Bài tập Dùng thuật toán tham lam để tô màu đồ thị sau: v1 v2 v3 v4 v5 v6 16 / 44 Bài tập Tìm một cách sắp thứ tự các đỉnh để thuật toán tham lam tô màu đồ thị sau dùng ít màu nhất có thể. 17 / 44 Bài tập Tìm một cách sắp thứ tự các đỉnh để thuật toán tham lam tô màu đồ thị sau dùng ít màu nhất có thể. 18 / 44 Mệnh đề Nếu mọi đỉnh trong G đều có bậc ≤ k, thì thuật toán tham lam dùng nhiều nhất k+ 1 màu. Thử chứng minh bằng quy nạp theo k Đặt P(k) = “nếu mọi đỉnh trong G đều có bậc ≤ k thì thuật toán tham lam dùng nhiều nhất k+ 1 màu” Bước cơ sở : P(0) đúng. Tại sao? Bước quy nạp : Giả sử P(k) đúng để chứng minh P(k+ 1) !!! 19 / 44 Chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh Đặt P(n) = “Đồ thị G với n đỉnh và bậc mọi đỉnh trong G đều ≤ k thì thuật toán tham lam dùng nhiều nhất k+ 1 màu.” Bước cơ sở : P(1) đúng vì G không có cạnh nào. Bước quy nạp : Giả sử P(n) đúng để chứng minh P(n+ 1). ▶ Xét G là đồ thị bất kỳ với n+ 1 đỉnh và có bậc lớn nhất ≤ k. ▶ Sắp xếp các đỉnh theo thứ tự nào đó: v1, v2, . . . , vn, vn+1. ▶ Xóa đỉnh vn+1 khỏi G ta thu được đồ thị G′. ▶ Đồ thị G′ cũng có bậc lớn nhất ≤ k. Tại sao? ▶ Theo quy nạp, thuật toán tham lam tô màu G′ dùng nhiều nhất k+ 1 màu. 20 / 44 Chứng minh (tiếp) vn+1 u1 u2 ... uℓ vn+1 có ℓ ≤ k hàng xóm ▶ Thêm đỉnh vn+1 và các cạnh liên quan vào lại G′ để được G. ▶ Đỉnh vn+1 có ≤ k hàng xóm. Tại sao? ▶ Vậy tồn tại một màu hợp lệ trong {1, 2, . . . , k+ 1} để tô cho vn+1. ▶ Vậy thuật toán tham lam tô màu G dùng không quá k+ 1 màu. 3 21 / 44 Bài tập Một đồ thị có độ rộng k− 1 nếu các đỉnh có nó có thể được sắp xếp thành dãy v1, v2, · · · , vn sao cho mỗi đỉnh vi có cạnh nối với nhiều nhất k− 1 đỉnh đứng trước nó. Hãy dùng quy nạp để chứng minh rằng mọi đồ thị với độ rộng nhỏ hơn hoặc bằng k− 1 đều có thể tô bằng k màu. 22 / 44 Mệnh đề Cho G là đồ thị với mọi đỉnh đều có bậc ≤ k. Nếu G liên thông và không chính quy, vậy thì χ(G) ≤ k. Hình: Đồ thị này có độ rộng 2. Tại sao? 23 / 44 Mệnh đề Cho G là đồ thị với mọi đỉnh đều có bậc ≤ k. Nếu G liên thông và không chính quy, vậy thì χ(G) ≤ k. Ý tưởng chứng minh Ta tìm một cách sắp thứ tự v1, v2, · · · , vn cho các đỉnh để thuật toán tham lam tô màu cho G dùng không quá k màu. 24 / 44 Sắp thứ tự các đỉnh ▶ Chọn một đỉnh trong G có bậc ≤ k− 1. Gán nó là vn. ▶ Liệt kê cho các hàng xóm của vn theo thứ tự là: vn−1, vn−2, · · · , vn−r. ▶ Liệt kê các hàng xóm của vn−1 (trừ vn). Có ≤ k− 1 đỉnh. ▶ Liệt kê các hàng xóm của vn−2 chưa được liệt kê. Có ≤ k− 1 đỉnh. ▶ Và cứ thế đến khi mọi đỉnh của G được liệt kê. (do G liên thông) 25 / 44 Ví dụ v6 v5 v4 v3 v2 v1 26 / 44 Khẳng định Với cách sắp xếp thứ tự đỉnh v1, v2, . . . , vn như trên, mỗi đỉnh vi chỉ nối với nhiều nhất k− 1 đỉnh đứng trước nó. Có nghĩa rằng đồ thị này có độ rộng k− 1. 27 / 44 Định lý Nếu G là đồ thị với mọi đỉnh đều có bậc ≤ k, thì (i) χ(G) ≤ k+ 1; (ii) nếu G liên thông và không chính quy, thì χ(G) ≤ k. 28 / 44 Nội dung Định nghĩa và ví dụ Thuật toán tham lam tô màu đỉnh Đồ thị hai phần Bài tập Định nghĩa Đồ thị G là đồ thị hai phần nếu χ(G) ≤ 2. Khi đó tập đỉnh V của G được phân hoạch thành hai phần V = Vđỏ ∪Vxanh 30 / 44 Ví dụ Đồ thị sau có phải đồ thị hai phần không? 31 / 44 Định lý G là đồ thị hai phần nếu và chỉ nếu nó không chứa chu trình độ dài lẻ. 32 / 44 Chứng minh Nếu G có chu trình độ dài lẻ 7 Mâu thuẫn với tính chất χ(G) ≤ 2. 33 / 44 Chứng minh (tiếp) Ngược lại, giả sử G không có chu trình độ dài lẻ. Ta xây dựng một thứ tự cho các đỉnh của G để thuật toán tham lam tô G bằng hai màu. Sắp thứ tự các đỉnh ▶ Chọn một đỉnh bất kỳ gọi là v1; ta nói rằng v1 có mức 0. ▶ Liệt kê các hàng xóm của v1, gọi chúng là v2, v3, . . . , vr; ta nói rằng các đỉnh này có mức 1. ▶ Liệt kê các hàng xóm của các đỉnh ở mức 1 (trừ v1); ta nói rằng các đỉnh này có mức 2. ▶ Cứ thế tiếp tục, ta liệt kê ở mức ℓ các đỉnh là hàng xóm của mức ℓ− 1, ngoại trừ những đỉnh đã liệt kê ở mức ℓ− 2. ▶ Khi không còn đỉnh nào được thêm vào, ta đã sắp thứ tự cho cho các đỉnh trong một thành phần liên thông G0 của G. Ta tiếp tục như vậy với thành phần liên thông tiếp theo. 34 / 44 Ví dụ Đồ thị dưới đây có thể tô bằng hai màu: các đỉnh có mức chẵn được tô màu đỏ, các đỉnh có mức lẻ được tô màu xanh. 01 1 1 2 2 23 35 / 44 Chứng minh (tiếp) ▶ Các đỉnh mức ℓ chỉ nối với đỉnh mức ℓ− 1 hoặc ℓ+ 1. ▶ Các đỉnh mức ℓ không nối với nhau; ngược lại đồ thị sẽ có chu trình độ dài lẻ. z u v7 ▶ Với cách sắp thứ tự các đỉnh như vậy, thuật toán tô màu sẽ chỉ dùng hai màu: các đỉnh có mức chẵn được tô màu đỏ, các đỉnh có mức lẻ được tô màu xanh. 36 / 44 Nội dung Định nghĩa và ví dụ Thuật toán tham lam tô màu đỉnh Đồ thị hai phần Bài tập Bài tập Tìm 3 cách đánh số thứ tự các đỉnh của đồ thị lập phương dưới đây để thuật toán tham lam dùng 2, 3, và 4 màu. 38 / 44 Bài tập Chứng minh rằng với mọi đồ thị G ta luôn có cách sắp thứ tự các đỉnh để thuật toán tham lam tô màu G dùng đúng χ(G) màu. [Gợi ý: dùng một cách tô màu dùng χ(G) màu để xác định thứ tự đỉnh cho thuật toán tham lam.] 39 / 44 Bài tập Có sáu trạm phát sóng radio A,B,C,D,E,F với khoảng cách giữa các trạm (tính theo dặm) được cho bởi bảng sau A B C D E F A - 85 175 100 50 100 B 85 - 125 175 100 130 C 175 125 - 100 200 250 D 100 175 100 - 210 220 E 50 100 200 210 - 100 F 100 130 250 220 100 - Giả sử những trạm phát ở cách nhau ít hơn 150 dặm phải phát ở tần số khác nhau. Hãy tìm cách gán tần số cho mỗi trạm để số tần số là ít nhất. 40 / 44 Bài tập Viện CNTT&TT lên lịch bảo vệ khóa luận cho sinh viên K56. Các giáo sư A,B, . . . , J sẽ là thành viên của 8 hội đồng bảo vệ dưới đây: Hội đồng 1 : A B C D 2 : A C D E 3 : B D F G 4 : C D F G 5 : A H J 6 : H I J 7 : G H J 8 : E I Thời gian bảo vệ của mỗi hội đồng là một ngày. Hai hội đồng có thể bảo vệ cùng ngày nếu không có chung thành viên. Hãy tìm số ngày ít nhất để tất cả các hội đồng có thể bảo vệ xong. Giải thích câu trả lời của bạn. 41 / 44 Số hội đồng bảo vệ ▶ Xét đồ thị với tập đỉnh là các hội đồng, giữa hai dỉnh có cạnh nối nếu hai hội đồng có chung thành viên. ▶ Bài toán tương đương với bài toán tìm số màu ít nhất để tô đồ thị này. ▶ Đồ thị này có chứa clique {1, 2, 3, 4} có kích thước 4 nên số ngày bằng 4 là ít nhất có thể. 1 3 2 5 4 7 6 8 42 / 44 Bài tập Ký hiệu ei(G) là số đỉnh của đồ thị G có bậc lớn hơn i. Dùng thuật toán tham lam để chỉ ra rằng nếu tồn tại i để ei(G) ≤ i+ 1 thì χ(G) ≤ i+ 1. 43 / 44 Bài tập Đồ thị Mr (r ≥ 2) đạt được từ đồ thị chu trình C2r bằng cách thêm các cạnh nối giữa mỗi cặp đỉnh đối nhau. Chứng minh rằng (i) Mr là đồ thị hai phần khi r là số lẻ. (ii) χ(Mr) = 3 khi r chẵn và r ̸= 2. (iii) χ(M2) = 4. 44 / 44