Bài giảng Toán rời rạc - Chương 5: Bài toán đường đi ngắn nhất - Nguyễn Đức Nghĩa

Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 1 Chương 5 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 2 Nội dung 5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 5.3. Thuật toán Bellman-Ford 5.4. Thuật toán Dijkstra 5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 5.6. Thuật toán Floyd-Warshal Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 3 5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất Cho đơn đồ thị có hướng G = ( V , E ) với hàm trọng số w : E ® R ( w ( e ) được gọi là độ dài hay trọng số của cạnh e ) Độ dài của đường đi P = v 1 ® v 2 ® ® v k là số Đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v là đường đi có độ dài ngắn nhất trong số các đường đi nối u với v . Độ dài của đường đi ngắn nhất từ u đến v còn được gọi là khoảng cách từ u tới v và ký hiệu là ( u,v ) . Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 4 Ví dụ path s s,a s,a,b s,a,b,c s,a,d s,a,b,e s,a,b,e,f weight 0 3 4 6 6 6 9 s a b c d e f Cho đồ thị có trọng số G = ( V , E ), và đỉnh nguồn s  V , hãy tìm đường đi ngắn nhất từ s đến mỗi đỉnh còn lại. a s b e f d c 3 3 5 1 2 2 2 4 1 6 3 5 đỉnh nguồn Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 5 Các ứng dụng thực tế Giao thông (Transportation) Truyền tin trên mạng (Network routing) (cần hướng các gói tin đến đích trên mạng theo đường nào?) Truyền thông (Telecommunications) Speech interpretation (best interpretation of a spoken sentence) Điều khiển robot (Robot path planning) Medical imaging Giải các bài toán phức tạp hơn trên mạng ... Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 6 Các dạng bài toán ĐĐNN Bài toán một nguồn một đích: Cho hai đỉnh s và t , cần tìm đường đi ngắn nhất từ s đến t . Bài toán một nguồn nhiều đích: Cho s là đỉnh nguồn, cần tìm đường đi ngắn nhất từ s đến tất cả các đỉnh còn lại. Bài toán mọi cặp: Tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị. Đường đi ngắn nhất theo số cạnh - BFS. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 7 Nhận xét Các bài toán được xếp theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp Hễ có thuật toán hiệu quả để giải một trong ba bài toán thì thuật toán đó cũng có thể sử dụng để giải hai bài toán còn lại Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 8 Giả thiết cơ bản Nếu đồ thị có chu trình âm thì độ dài đường đi giữa hai đỉnh nào đó có thể làm nhỏ tuỳ ý: -18 a b e c d 2 3 5 5 Giả thiết: Đồ thị không chứa chu trình độ dài âm (gọi tắt là chu trình âm) Xét đường đi từ a đến e : P : a   ( d  b  c  d )  e w ( P ) = 7-10   - ∞, khi  + ∞ Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 9 Trọng số âm -6 0 3 5 11 -1 -  -  -  3 5 2 3 7 8 4 -4 6 -3 s a c e b d f g    2 -8 3 h j i không đạt tới được từ s chu trình âm đỉnh nguồn Độ dài của đường đi ngắn nhất có thể là  hoặc – . Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 10 5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 5.3. Thuật toán Bellman-Ford 5.4. Thuật toán Dijkstra 5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 5.6. Thuật toán Floyd-Warshal Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 11 Các tính chất của ĐĐNN Tính chất 1 . Đường đi ngắn nhất luôn có thể tìm trong số các đường đi đơn. CM: Bởi vì việc loại bỏ chu trình độ dài không âm khỏi đường đi không làm tăng độ dài của nó. Tính chất 2 . Mọi đường đi ngắn nhất trong đồ thị G đều đi qua không quá n- 1 cạnh, trong đó n là số đỉnh. Như là hệ quả của tính chất 1 u v C w(C)  0 Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 12 Các tính chất của ĐĐNN Tính chất 3: Giả sử P = ‹ v 1 , v 2 , , v k › là đđnn từ v 1 đến v k . Khi đó, P ij = ‹ v i , v i +1 , , v j › là đđnn từ v i đến v j , với 1  i  j  k . (Bằng lời: Mọi đoạn đường con của đường đi ngắn nhất đều là đường đi ngắn nhất ) CM. Phản chứng. Nếu P ij không là đđnn từ v i đến v j , thì tìm được P’ ij là đường đi từ v i đến v j thoả mãn w ( P’ ij ) < w ( P ij ). Khi đó gọi P ’ là đường đi thu được từ P bởi việc thay đoạn P ij bởi P ’ ij , ta có w ( P ’) < w ( P ) ?! v 1 v k P’ ij P ij v j v i Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 13 Hệ quả: Giả sử P là đđnn từ s tới v , trong đó P = s u  v . Khi đó δ( s, v ) = δ( s, u ) + w ( u, v ). Các tính chất của ĐĐNN Tính chất 4: Giả sử s  V . Đối với mỗi cạnh ( u,v )  E , ta có δ( s, v )  δ( s, u ) + w ( u,v ). Ký hiệu: δ( u, v ) = độ dài đđnn từ u đến v (gọi là khoảng cách từ u đến v ) Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 14 Đường đi ngắn nhất xuất phát từ một đỉnh Single-Source Shortest Paths Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 15 Biểu diễn đường đi ngắn nhất d ( v ) = độ dài đường đi từ s đến v ngắn nhất hiện biết (cận trên cho độ dài đường đi ngắn nhất thực sự). p ( v ) = đỉnh đi trước v trong đường đi nói trên (sẽ sử dụng để truy ngược đường đi từ s đến v ) . Các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất làm việc với hai mảng: Khởi tạo (Initialization) for v  V( G) do d [ v ]   p [ v ]  NIL d [s]  0 Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 16 Giảm cận trên (Relaxation) Sử dụng cạnh ( u, v ) để kiểm tra xem đường đi đến v đã tìm được có thể làm ngắn hơn nhờ đi qua u hay không. s z v u p ( v ) s z v u p ( v ) d [ v ] > d[ u ] + w ( u , v ) Relax( u , v ) if d [ v ] > d [ u ] + w ( u , v ) then d [ v ]  d [ u ] + w ( u , v ) p [ v ]  u Các thuật toán tìm đđnn khác nhau ở số lần dùng các cạnh và trình tự duyệt chúng để thực hiện giảm cận . Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 17 Nhận xét chung ViÖc cµi ®Æt c¸c thuËt to¸n ®­îc thÓ hiÖn nhê thñ tôc g¸n nh·n : Mçi ®Ønh v sÏ cã nh·n gåm 2 thµnh phÇn ( d [ v ], p [ v ]). Nh·n sÏ biÕn ®æi trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn thuËt to¸n NhËn thÊy r»ng ®Ó tÝnh kho¶ng c¸ch tõ s ®Õn t , ë ®©y, ta ph¶i tÝnh kho¶ng c¸ch tõ s ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i cña ®å thÞ. HiÖn nay vÉn ch­a biÕt thuËt to¸n nµo cho phÐp t×m ®®nn nhÊt gi÷a hai ®Ønh lµm viÖc thùc sù hiÖu qu¶ h¬n nh÷ng thuËt to¸n t×m ®®nn tõ mét ®Ønh ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 18 Nội dung 5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 5.3. Thuật toán Bellman-Ford 5.4. Thuật toán Dijkstra 5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 5.6. Thuật toán Floyd-Warshal Thuật toán Ford-Bellman Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 19 Richard Bellman 1920-1984 Lester R. Ford, Jr. 1927~ Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 20 Thuật toán Ford-Bellman ThuËt to¸n Ford - Bellman t×m ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ ®Ønh s ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i cña ®å thÞ. ThuËt to¸n lµm viÖc trong tr­êng hîp träng sè cña c¸c cung lµ tuú ý. Gi¶ thiÕt r»ng trong ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh ©m. §Çu vµo: §å thÞ G= ( V,E ) víi n ®Ønh x¸c ®Þnh bëi ma trËn träng sè w [ u,v ] , u,v  V, ®Ønh nguån s  V; §Çu ra: Víi mçi v  V d [ v ] = ( s, v ); p [ v ] - ®Ønh ®i tr­íc v trong ®®nn tõ s ®Õn v. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 21 Mô tả thuật toán procedure Ford_Bellman; begin for v  V do begin (* Khëi t¹o *) d[v] := w[s,v] ; p[v]:=s; end; d[s]:=0; p[s]:=s; for k := 1 to n-2 do (* n = |V| *) for v  V \ {s} do for u  V do if d[v] > d[u] + w[u,v] then begin d[v] := d[u] + w[u,v] ; p[v] := u ; end; end; Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 22 Nhận xét TÝnh ®óng ®¾n cña thuËt to¸n cã thÓ chøng minh trªn c¬ së nguyªn lý tèi ­u cña quy ho¹ch ®éng. §é phøc t¹p tÝnh to¸n cña thuËt to¸n lµ O ( n 3 ). Cã thÓ chÊm døt vßng lÆp theo k khi ph¸t hiÖn trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn hai vßng lÆp trong kh«ng cã biÕn d [ v ] nµo bÞ ®æi gi¸ trÞ. ViÖc nµy cã thÓ x¶y ra ®èi víi k < n- 2, vµ ®iÒu ®ã lµm t¨ng hiÖu qu¶ cña thuËt to¸n trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 23 Ví dụ 0     6 8 2 7 -3 -4 7 9 5 -2 s t y z x Source: s Trình tự duyệt cạnh để giảm cận: ( t, x ), ( t, y ), ( t, z ), ( x, t ), ( y, x ), ( y, z ), ( z, x ), ( z, s ), ( s, t ), ( s, y ) Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 24 Lần 1 0  7  6 6 8 2 7 -3 -4 7 9 5 -2 s t y z x d [ y ] = 7 p [ y ] = s d [ t ] = 6 p [ t ] = s Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 25 Lần 2 0 2 7 11 6 6 8 2 7 -3 -4 7 9 5 -2 s t y z x Relax ( t, x ), ( t, y ), ( t, z ), ( x, t ). d [ x ] = 11 p [ x ] = t d [z] = 2 p [ z ] = t Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 26 Lần 2 (tiếp) 0 2 7 4 6 6 8 2 7 -3 -4 7 9 5 -2 s t y z x Relax ( y, x ), ( y, z ), ( z, x ), ( z, s ), ( z, s ), ( s, t ), ( s, y ). d [ x ] = 4 p [ x ] = y Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 27 Lần 3 0 2 7 4 2 6 8 2 7 -3 -4 7 9 5 -2 s t y z x d [ t ] = 2 p [ t ] = x Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 28 Lần 4 0 -2 7 4 2 6 8 2 7 -3 -4 7 9 5 -2 s t y z x d [z] = -2 p [ z ] = t (không đổi) Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 29 Nhận xét §èi víi ®å thÞ th­a tèt h¬n lµ sö dông danh s¸ch kÒ Ke-( v ), v  V , ®Ó biÓu diÔn ®å thÞ, khi ®ã vßng lÆp theo u cÇn viÕt l¹i d­íi d¹ng for u  Ke  (v) do if d[v] > d[u] + w[u,v] then begin d[v] := d[u] + w[u,v] ; p[v] := u ; end; ThuËt to¸n cã ®é phøc t¹p O ( n.m ). Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 30 Nội dung 5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 5.3. Thuật toán Bellman-Ford 5.4. Thuật toán Dijkstra 5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 5.6. Thuật toán Floyd-Warshal Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 31 Thuật toán Dijkstra Trong tr­êng hîp träng sè trªn c¸c cung lµ kh«ng ©m, thuËt to¸n do Dijkstra ®Ò nghÞ h÷u hiÖu h¬n rÊt nhiÒu so víi thuËt to¸n Ford-Bellman. ThuËt to¸n ®­îc x©y dùng dùa trªn thủ tục gán nhãn. Thoạt tiên nh·n của các đỉnh là t¹m thêi. ë mçi mét b­íc lÆp cã mét nh·n t¹m thêi trë thµnh nh·n cè ®Þnh. NÕu nh·n cña mét ®Ønh u trë thµnh cè ®Þnh th× d [ u ] sÏ cho ta ®é dµi cña ®®nn tõ ®Ønh s ®Õn u . Thuật toán kết thúc khi nhãn của tất cả các đỉnh trở thành cố định. Edsger W.Dijkstra (1930-2002) Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 32 Thuật toán Dijkstra §Çu vµo: §å thÞ cã h­íng G= ( V,E ) víi n ®Ønh, s  V lµ ®Ønh xuÊt ph¸t, w [ u,v ] , u,v  V - ma trËn träng sè; Gi¶ thiÕt: w [ u,v ]  0, u, v  V. §Çu ra: Víi mçi v  V d [ v ] = ( s, v ); p [ v ] - ®Ønh ®i tr­íc v trong ®®nn tõ s ®Õn v. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 33 Thuật toán Dijkstra procedure Dijkstra; begin for v  V do begin (* Khëi t¹o *) d[v] := w[s,v] ; p[v]:=s; end; d[s] := 0; S := {s}; (* S – tËp ®Ønh cã nh·n cè ®Þnh *) T := V \ {s}; (* T lµ tËp c¸c ®Ønh cã nh·n t¹m thêi *) while T   do (* B­íc lÆp *) begin T×m ®Ønh u  T tho¶ m·n d[u] = min{ d[z] : z  T}; T := T \ {u}; S:= S  {u}; (* Cè ®Þnh nh·n cña ®Ønh u *) for v  T do (* G¸n nh·n l¹i cho c¸c ®Ønh trong T *) if d[v] > d[u] + w[u,v] then begin d[v] := d[u] + w[u,v] ; p[v] := u ; end; end; end; Tập S: Chỉ cần cho chứng minh định lý Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 34 Thuật toán Dijkstra Chó ý: NÕu chØ cÇn t×m ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ s ®ªn t th× cã thÓ chÊm døt thuËt to¸n khi ®Ønh t trë thµnh cã nh·n cè ®Þnh. §Þnh lý 1. ThuËt to¸n Dijkstra t×m ®­îc ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ ®Ønh s ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i trªn ®å thÞ sau thêi gian O ( n 2 ) . CM: Rõ ràng thời gian tính là O ( n 2 ) Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 35 Chứng minh tính đúng đắn của Thuật toán Dijkstra Ta sẽ CM với mỗi v  S, d(v) = ( s, v ) . Qui nạp theo |S|. Cơ sở qui nạp : Với |S| = 1, rõ ràng là đúng. Chuyển qui nạp: giả sử thuật toán Dijkstra bổ sung v vào S d (v) là độ dài của một đường đi từ s đến v nếu d(v) không là độ dài đđnn từ s đến v, thì gọi P* là đđnn từ s đến v P* phải sử dụng cạnh ra khỏi S, chẳng hạn (x, y) khi đó d(v) >  (s, v) giả thiết =  (s, x) + w(x, y) +  (y, v) tính chất 3   (s, x) + w(x, y)  (y, v) là không âm = d (x) + w(x, y) giả thiết quy nạp   d (y) theo thuật toán vì thế thuật toán Dijkstra phải chọn y thay vì chọn v ?! S s y v x P* Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 36 Ví dụ Đỉnh 1 Đỉnh 2 Đỉnh 3 Đỉnh 4 Đỉnh 5 Đỉnh 6 Khởi tạo [0, 1] [1, 1]* [  , 1] [  , 1] [  , 1] [  , 1] 1 - - [6, 2] [3, 2]* [  , 1] [8, 2] 2 - - [4, 4]* - [7, 4] [8, 2] 3 - - - - [6, 3] [5, 3]* 4 - - - - [6, 3]* - 5 - - - - - - Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến tất cả các đỉnh còn lại 1 1 2 2 1 10 7 5 4 3 1 2 3 4 6 5 2 Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 37 Cây đường đi ngắn nhất Tập cạnh {( p ( v ), v ): v  V \ {s} } tạo thành cây có gốc tại đỉnh nguồn s được gọi là cây đđnn xuất phát từ đỉnh s . 1 1 2 2 1 10 7 5 4 3 1 2 3 4 6 5 2 1 4 3 5 6 Các cạnh màu đỏ tạo thành cây đđnn xuất phát từ đỉnh 1 Số màu đỏ viết bên cạnh mỗi đỉnh là độ dài đường đi ngắn nhất từ 1 đến nó. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 38 Nội dung 5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 5.3. Thuật toán Bellman-Ford 5.4. Thuật toán Dijkstra 5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 5.6. Thuật toán Floyd-Warshal Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 39 Đường đi trong đồ thị kh ô ng c ó chu tr ì nh Shortest Paths In Directed Acyclic Graphs Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 40 Đường đi trong đồ thị không có chu trình Mét tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n ®­êng ®i ng¾n nhÊt gi¶i ®­îc nhê thuËt to¸n víi ®é phøc t¹p tÝnh to¸n O ( n 2 ), ®ã lµ bµi to¸n trªn ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh (cßn träng sè trªn c¸c cung cã thÓ lµ c¸c sè thùc tuú ý). KÕt qu¶ sau ®©y lµ c¬ së ®Ó x©y dùng thuËt to¸n nãi trªn: §Þnh lý 2. Gi¶ sö G lµ ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh. Khi ®ã c¸c ®Ønh cña nã cã thÓ ®¸nh sè sao cho mçi cung cña ®å thÞ chØ h­íng tõ ®Ønh cã chØ sè nhá h¬n ®Õn ®Ønh cã chØ sè lín h¬n, nghÜa lµ mçi cung cña nã cã thÓ biÓu diÔn d­íi d¹ng ( v [ i ] , v [ j ]) , trong ®ã i < j . Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 41 Thuật toán đánh số đỉnh Tr­íc hÕt nhËn thÊy r»ng: Trong ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh bao giê còng t×m ®­îc ®Ønh cã b¸n bËc vµo b»ng 0 . Thùc vËy, b¾t ®Çu tõ ®Ønh v 1 nÕu cã cung ®i vµo nã tõ v 2 th× ta l¹i chuyÓn sang xÐt ®Ønh v 2 . NÕu cã cung tõ v 3 ®i vµo v 2 , th× ta l¹i chuyÓn sang xÐt v 3 , ... Do ®å thÞ lµ kh«ng cã chu tr×nh nªn sau mét sè h÷u h¹n lÇn chuyÓn nh­ vËy ta ph¶i ®i ®Õn ®Ønh kh«ng cã cung ®i vµo. ThuËt to¸n ®­îc x©y dùng dùa trªn ý t­ëng rÊt ®¬n gi¶n sau: Tho¹t tiªn, t×m c¸c ®Ønh cã b¸n bËc vµo b»ng 0. Râ rµng ta cã thÓ ®¸nh sè chóng theo mét thø tù tuú ý b¾t ®Çu tõ 1. TiÕp theo, lo¹i bá khái ®å thÞ nh÷ng ®Ønh ®· ®­îc ®¸nh sè cïng c¸c cung ®i ra khái chóng, ta thu ®­îc ®å thÞ míi còng kh«ng cã chu tr×nh, vµ thñ tôc ®­îc lÆp l¹i víi ®å thÞ míi nµy. Qu¸ tr×nh ®ã sÏ ®­îc tiÕp tôc cho ®Õn khi tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña ®å thÞ ®­îc ®¸nh sè. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 42 Thuật toán đánh số đỉnh §Çu vµo: §å thÞ cã h­íng G= ( V,E ) víi n ®Ønh kh«ng chøa chu tr×nh ®­îc cho bëi danh s¸ch kÒ Ke ( v ) , v  V. §Çu ra: Víi mçi ®Ønh v  V chØ sè NR [ v ] tho¶ m·n : Víi mäi cung ( u, v ) cña ®å thÞ ta ®Òu cã NR [ u ] < NR [ v ] . Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 43 Thuật toán đánh số đỉnh procedure Numbering; begin for v  V do Vao[v] := 0; for u  V do (* TÝnh Vao[v] = b¸n bËc vµo cña v *) for v  Ke(u) do Vao[v] := Vao[v] + 1 ; QUEUE :=  ; for v  V do if Vao[v] = 0 then QUEUE  v ; num := 0; while QUEUE   do begin u  QUEUE ; num := num + 1 ; NR[u] := num ; for v  Ke(u) do begin Vao[v] := Vao[v] - 1 ; if Vao[v] = 0 then QUEUE  v ; end; end; end; Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 44 Thuật toán đánh số đỉnh Râ rµng trong b­íc khëi t¹o ta ph¶i duyÖt qua tÊt c¶ c¸c cung cña ®å thÞ khi tÝnh b¸n bËc vµo cña c¸c ®Ønh, v× vËy ë ®ã ta tèn cì O ( m ) phÐp to¸n, trong ®ã m lµ sè cung cña ®å thÞ. TiÕp theo, mçi lÇn ®¸nh sè mét ®Ønh, ®Ó thùc hiÖn viÖc lo¹i bá ®Ønh ®· ®¸nh sè cïng víi c¸c cung ®i ra khái nã, chóng ta l¹i duyÖt qua tÊt c¶ c¸c cung nµy. Suy ra ®Ó ®¸nh sè tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña ®å thÞ chóng ta sÏ ph¶i duyÖt qua tÊt c¶ c¸c cung cña ®å thÞ mét lÇn n÷a. VËy ®é phøc t¹p cña thuËt to¸n lµ O ( m ). Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 45 Thuật toán tìm đđnn trên đồ thị không có chu trình Do cã thuËt to¸n ®¸nh sè trªn, nªn khi xÐt ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh ta cã thÓ gi¶ thiÕt lµ c¸c ®Ønh cña nã ®­îc ®¸nh sè sao cho mçi cung chØ ®i tõ ®Ønh cã chØ sè nhá ®Õn ®Ønh cã chØ sè lín h¬n. ThuËt to¸n t×m ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ ®Ønh nguån v [1] ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i trªn®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh §Çu vµo: §å thÞ G= ( V, E ) , trong ®ã V= { v [1] , v [2] , ... , v [ n ] } . §èi víi mçi cung ( v [ i ], v [ j ])  E, ta cã i < j. §å thÞ ®­îc cho bëi danh s¸ch kÒ Ke ( v ) , v  V. §Çu ra: Kho¶ng c¸ch tõ v [1] ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i ®­îc ghi trong m¶ng d [ v [ i ]], i = 2, 3, ..., n Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 46 Thuật toán tìm đđnn trên đồ thị không có chu trình procedure Critical_Path; begin d[v[1]] := 0; for j:=1 to n do d[v[j]] := ∞; for v[j]  Ke[v[1]] do d[v[j]] := w(v[1], v[j]) ; for j:= 2 to n do for v  Ke[v[j]] do d[v] := min ( d[v], d[v[j]] + w(v[j], v) ) ; end; §é phøc t¹p tÝnh to¸n cña thuËt to¸n lµ O( m ), do mçi cung cña ®å thÞ ph¶i xÐt qua ®óng mét lÇn. Comp 122, Fall 2003 Single-source SPs - 47 Ví dụ  0     r s t u v w 5 2 7 –1 –2 6 1 3 2 4 Cần tìm đường đi ngắn nhất từ s đến tất cả các đỉnh đạt đến được từ nó Comp 122, Fall 2003 Single-source SPs - 48 Ví dụ  0     r s t u v w 5 2 7 –1 –2 6 1 3 2 4 Comp 122, Fall 2003 Single-source SPs - 49 Ví dụ  0 2 6   r s t u v w 5 2 7 –1 –2 6 1 3 2 4 Comp 122, Fall 2003 Single-source SPs - 50 Ví dụ  0 2 6 6 4 r s t u v w 5 2 7 –1 –2 6 1 3 2 4 Comp 122, Fall 2003 Single-source SPs - 51 Ví dụ  0 2 6 5 4 r s t u v w 5 2 7 –1 –2 6 1 3 2 4 Comp 122, Fall 2003 Single-source SPs - 52 Ví dụ  0 2 6 5 3 r s t u v w 5 2 7 –1 –2 6 1 3 2 4 Comp 122, Fall 2003 Single-source SPs - 53 Ví dụ  0 2 6 5 3 r s t u v w 5 2 7 –1 –2 6 1 3 2 4 Kết quả: Cây đường đi ngắn nhất từ s thể hiện bởi các cung màu đỏ Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 54 Ứng dụng: PERT X©y dùng ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n ®iÒu khiÓn viÖc thùc hiÖn nh÷ng dù ¸n lín, gäi t¾t lµ PERT ( Project Evaluation and Review Technique ) hay CDM ( Critical path Method ). ViÖc thi c«ng mét c«ng tr×nh lín ®­îc chia ra lµm n c«ng ®o¹n, ®¸nh sè tõ 1 ®Õn n . Cã mét sè c«ng ®o¹n mµ viÖc thùc hiÖn nã chØ ®­îc tiÕn hµnh sau khi mét sè c«ng ®o¹n nµo ®ã ®· hoµn thµnh. §èi víi mçi c«ng ®o¹n i biÕt t [ i ] lµ thêi gian cÇn thiÕt ®Ó hoµn thµnh nã ( i = 1, 2,..., n ). Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 55 Ứng dụng: PERT C¸c d÷ liÖu víi n = 8 ®­îc cho trong b¶ng sau ®©y Công đoạn t[i] Các công đoạn phải hoàn thành trước nó 1 15 Không có 2 30 1 3 80 Không có 4 45 2, 3 5 124 4 6 15 2, 3 7 15 5, 6 8 19 5 Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 56 Ứng dụng: PERT Bµi to¸n PERT: Gi¶ sö thêi ®iÓm b¾t ®Çu tiÕn hµnh thi c«ng c«ng tr×nh lµ 0. H·y t×m tiÕn ®é thi c«ng c«ng tr×nh (chØ râ mçi c«ng ®o¹n ph¶i ®­îc b¾t ®Çu th­c hiÖn vµo thêi ®iÓm nµo) ®Ó cho c«ng tr×nh ®­îc hoµn thµnh xong trong thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ ®­îc. Ta cã thÓ x©y dùng ®å thÞ cã h­íng n ®Ønh biÓu diÔn rµng buéc vÒ tr×nh tù thùc hiÖc c¸c c«ng viÖc nh­ sau: Mçi ®Ønh cña ®å thÞ t­¬ng øng víi mét c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc i ph¶i ®­îc thùc hiÖn tr­íc c«ng ®o¹n j th× trªn ®å thÞ cã cung ( i,j ), träng sè trªn cung nµy ®­îc g¸n b»ng t [ i ] Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 57 Thuật toán PERT Thªm vµo ®å thÞ 2 ®Ønh 0 vµ n +1 t­¬ng øng víi hai sù kiÖn ®Æc biÖt: ®Ønh sè 0 t­¬ng øng víi c«ng ®o¹n LÔ khëi c«ng , nã ph¶i ®­îc thùc hiÖn tr­íc tÊt c¶ c¸c c«ng ®o¹n kh¸c, vµ ®Ønh n +1 t­¬ng øng víi c«ng ®o¹n C¾t b¨ng kh¸nh thµnh c«ng tr×nh, nã ph¶i thùc hiÖn sau tÊt c¶ c¸c c«ng ®o¹n, víi t [0] = t [ n +1] = 0 (trªn thùc tÕ chØ cÇn nèi ®Ønh 0 víi tÊt c¶ c¸c ®Ønh cã b¸n bËc vµo b»ng 0 vµ nèi tÊt c¶ c¸c ®Ønh cã b¸n bËc ra b»ng 0 víi ®Ønh n +1). Gäi ®å thÞ thu ®­îc lµ G . Râ rµng bµi to¸n ®Æt ra dÉn vÒ bµi to¸n t×m ®­êng ®i dµi nhÊt tõ ®Ønh 0 ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i trªn ®å thÞ G . Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 58 Thuật toán PERT Do ®å thÞ G kh«ng chøa chu tr×nh, nªn ®Ó gi¶i bµi to¸n ®Æt ra cã thÓ ¸p dông thuËt to¸n Critical_Path trong ®ã chØ cÇn ®æi to¸n tö min thµnh to¸n tö max . KÕt thóc thuËt to¸n, ta thu ®­îc d [ v ] lµ ®é dµi ®­êng ®i dµi nhÊt tõ ®Ønh 0 ®Õn ®Ønh v . Khi ®ã d [ v ] cho ta thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ b¾t ®Çu thùc hiÖn c«ng ®o¹n v , nãi riªng d [ n+ 1] lµ thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ c¾t b¨ng kh¸nh thµnh, tøc lµ thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ hoµn thµnh toµn bé c«ng tr×nh. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 59 PERT: Ví dụ minh hoạ Qui bài toán PERT về tìm đường đi dài nhất trên đồ thị không có chu trình 30 30 80 80 15 0 15 4 45 3 1 2 4 6 5 0 0 9 7 8 4 15 19 0 129 125 80 80 15 0 129 148 0 Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 60 Nội dung 5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 5.3. Thuật toán Bellman-Ford 5.4. Thuật toán Dijkstra 5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 5.6. Thuật toán Floyd-Warshal Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 61 ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA MỌI CẶP ĐỈNH All-Pairs Shortest Paths Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 62 Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh Bài toán Cho đồ thị G = ( V , E ), với trọng số trên cạnh e là w ( e ), đối với mỗi cặp đỉnh u , v trong V , tìm đường đi ngắn nhất từ u đến v . Đầu ra ma trận : phần tử ở dòng u cột v là độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v . Cho phép có trọng số âm Giả thiết: Đồ thị không có chu trình âm. Đầu vào: ma trận trọng số . Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 63 Ví dụ 2 1 5 3 4 3 4 8 2 -5 1 6 7 -4 Đầu vào 0 3 8  -4  0  1 7  4 0   2  -5 0     6 0 n  n ma trận W = ( w ) với ij w = 0 nếu i = j w ( i , j ) nếu i  j & ( i , j )  E  còn lại ij Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 64 Tiếp 2 1 5 3 4 3 4 8 2 -5 1 6 7 -4 0 1 -3 2 -4 3 0 -4 1 -1 7 4 0 5 3 2 -1 -5 0 -2 8 5 1 6 0 5 - 4 - 1 Đường đi: 1- 5 - 4 - 3 - 2 4 - 1- 5 Đầu ra = – 4 + 6 – 5 + 4 Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 65 Thuật toán Floyd-Warshall d = độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j sử dụng các đỉnh trung gian trong tập đỉnh { 1, 2, , m }. ij ( m ) ... i j  m  m  m Khi đó độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j là d ij ( n ) Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 66 Công thức đệ qui tính d ( h ) i j d = w ij ij (0) d = min ( d , d + d ) nếu h  1 ( h ) ( h -1) ( h -1) ( h -1) ij ij ih hj i j h d ( h- 1) ij d ( h- 1) ih d ( h- 1) hj Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 67 Thuật toán Floyd-Warshall Floyd-Warshall( n , W ) D (0)  W for k  1 to n do for i  1 to n do for j  1 to n do d  min ( d , d + d ) return D ( n ) ( k ) ( k -1) ( k -1) ( k -1) Thời gian tính  ( n 3 ) ! ij ik kj ij Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 68 Xây dựng đường đi ngắn nhất Predecessor matrix P = ( p ) : ij ( k ) đường đi ngắn nhất từ i đến j chỉ qua các đỉnh trung gian trong {1 , 2 , , k } . i , nếu ( i , j )  E NIL , nếu ( i , j )  E p = ( k ) ij p nếu d  d + d ij ij ( k- 1) ik kj ( k- 1) ( k- 1) ( k- 1) p trái lại ( k- 1) kj ( k ) i j k p = ij (0) i j p ( k ) ij Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 69 Ví dụ 1 3 4 2 4 5 1 3 6 2 D (0) 0 3 5   0 1 6   0 2 4   0 P (0) NIL 1 1 NIL NIL NIL 2 2 NIL NIL NIL 3 4 NIL NIL NIL D (1) 0 3 5   0 1 6   0 2 4 7 9 0 P (1) NIL 1 1 NIL NIL NIL 2 2 NIL NIL NIL 3 4 1 1 NIL Có thể sử dụng 1 là đỉnh trung gian: Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 70 Ví dụ (tiếp) D (2) 0 3 4 9  0 1 6   0 2 4 7 8 0 P (2) NIL 1 2 2 NIL NIL 2 2 NIL NIL NIL 3 4 1 2 NIL D 0 3 4 6  0 1 3   0 2 4 7 8 0 (3) P (3) NIL 1 2 3 NIL NIL 2 3 NIL NIL NIL 3 4 1 2 NIL (4) D 0 3 4 6 7 0 1 3 6 9 0 2 4 7 8 0 P (4) NIL 1 2 3 4 NIL 2 3 4 1 NIL 3 4 1 2 NIL Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 71 Ví dụ (tiếp) 3 1 2 1 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 1 4 1 2 2 2 2 4 4 3 Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 72 Thuật toán Floyd-Warshall Floyd-Warshall( n , W ) D  W for k  1 to n do for i  1 to n do for j  1 to n do d ij  min ( d ij , d ik + d kj ) return D Thời gian tính  ( n 3 ) ! 2007/4/2 All-pairs distance 73 Robert W. Floyd, 1936-2001 Born in New York, Floyd finished school at age 14. At the University of Chicago, he received a Bachelor's degree in liberal arts in 1953 (when still only 17) and a second Bachelor's degree in physics in 1958. Becoming a computer operator in the early 1960s, he began publishing many noteworthy papers and was appointed an associate professor at Carnegie Mellon University by the time he was 27 and became a full professor at Stanford University six years later. He obtained this position without a Ph.D. Turing Award, 1978. 2007/4/2 All-pairs distance 74 Stephen Warshall 1935 – 2006 Proving the correctness of the transitive closure algorithm for boolean circuit. (Wikipedia) There is an interesting anecdote about his proof that the transitive closure algorithm, now known as Warshall's algorithm, is correct. He and a colleague at Technical Operations bet a bottle of rum on who first could determine whether this algorithm always works. Warshall came up with his proof overnight, winning the bet and the rum, which he shared with the loser of the bet. Because Warshall did not like sitting at a desk, he did much of his creative work in unconventional places such as on a sailboat in the Indian Ocean or in a Greek lemon orchard. Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 75 Questions? Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 76 Bao đóng truyền ứng  (Transitive Closure) Bao đóng truyền ứng của đồ thị G = ( V , E ) là G* = ( V , E *) sao cho ( i , j )  E * iff có đường đi từ i đến j trên G . 5 3 4 2 1 1 3 4 2 5 G : G *: Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 77 Thuật toán Floyd-Warshall Ma trận xuất phát là ma trận kề Thuật toán Floyd-Warshall thay min boolean OR + boolean AND Thời gian tính  ( n ) 3 1 nếu i = j hoặc có cạnh nối 2 đỉnh i và j a ( i , j ) = 0 trái lại AND AND OR OR i y x j j i Nếu Toán rời rạc, Fall 2005 Bài toán đường đi ngắn nhất 78 Questions?