Bài giảng Vật lí đại cương 3 - Chương 2: Thuyết tương đối hẹp Einstein - Đỗ Ngọc Uấn

Bμi giảng Vật lý đại c−ơng Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn Viện Vật lý kỹ thuật Tr−ờng ĐH Bách khoa Hμ nội Ch−ơng 2 Thuyết t−ơng đối hẹp Einstein (Anhxtanh) Albert Einstein 1. Tổng hợp vận tốc vμ gia tốc z O y xO’ x’ y’ z’ M 'rrr r'oo'rr += rr dt 'ood dt 'rd dt rd += rr V'vv rrr +=⇒ 'dt d dt d = Vtơ vtốc trong hqc Ov r Véc tơ vận tốc của chất điểm đối với hệ qchiếu O bằng tổng hợp véc tơ vtốc của chất điểm đó đối với hệ qc O’chđộng tịnh tiến đvới hệ qc O vμ vtơ vtốc tịnh tiến của hệ qc O’ đối với hệ qc O V r Vtơ vtốc O’ đối với O 'vr Vtơ vtốc trong hqc O’ dt Vd dt 'vd dt vd += rr A'aa rrr +=⇒ a Vtơ gia tốc M trong hqc O A Vtơ gia tốc O’ đối với hqc O a’ Vtơ gia tốc M trong hqc O’ Véc tơ gia tốc của chất điểm đối với một hệ qchiếu O bằng tổng hợp véc tơ gia tốc của chất điểm đó đối với hệ qc O’chuyển động tịnh tiến đối với hệ qc O vμ vtơ gia tốc tịnh tiến của hệ qc O’ đối với hệ qc O 2. Nguyên lý t−ơng đối Galilê Galilê Hệ qui chiếu quán tính: Fam rr = Nếu O’ chuyển động thẳng đều đối với O thì A=0 'amam rr = Fam'am rrr == O’cũng lμ hqc quán tính Mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều với hqc quán tính cũng lμ hqc quán tính. Các định luật Niu tơn nghiệm đúng trong mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với hqc quán tính Các ph−ơng trình động lực học trong các hệ qui chiếu quán tính có dạng nh− nhau. Các ph−ơng trình cơ học bất biến đối với phép biến đổi Galilê 3. Thuyết t−ơng đối hẹp của Anhxtanh 3.1. Khái niệm mở đầu: Cơ học Niutơn hình thμnh quan niệm về không gian, thời gian vμ vật chất không phụ thuộc vμo chuyển động (v<<c) Cuối thế kỷ 19 phát hiện ra các hạt có vận tốc cỡ c = 3.108m/s => Mâu thuẫn cơ học Niutơn => Xây dựng môn cơ học tổng quát hơn: Cơ học t−ơng đối tính 3.2. Các tiền đề Anhxtanh:
Nguyên lý t−ơng đối: Mọi định luật vật lý đều nh− nhau trong các hệ quy chiếu quán tính  Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng:Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có giá trị bằng c=3.108m/s vμ lμ giá trị cực đại trong tự nhiên.(khác CH Niutơn) CH Niutơn: Các định luật cơ học T−ơng tác tức thời (vận tốc truyền t−ơng tác lμ ∞ 3.3. Động học t−ơng đối tính - Phép biến đổi Lorentz 3.3.1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilê với thuyết t−ơng đối Anhxtanh Phép biến đổi Galilê t=t’; v=v’+V l=x2-x1=x2’- x1’=l’ áp dụng cho hai hệ K vμ K’: O’ chuyển động với V Trên O’ Có A, B, C ánh sáng phát ra từ B: Tới A với v=c+V Tới C với v=c-V => Trái với tiền đề thứ 2 của Anhxtanh Phép biến đổi Galilê không phù hợp cho chuyển động có vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng z O y x K O’ x’ y’ z’ A B C K’ 3.3. 2. Phép biến đổi Lorentz: • Thời gian lμ t−ơng đối t ≠ t’ • Không gian trong hai hệ: x’=f(x,t) Gốc O’chuyển động với vận tốc V đối với K Có x-Vt=0 Trong K’ toạ độ của O’ luôn có x’=0 Đối với O’ viết: x’=α(x-Vt) O x = β(x’+Vt’) Thay x’ ⇔ x, V ⇔ -V vμ t’ ⇔t có α = β Theo tiền đề 2: x=ct vμ x’=ct’ có: ct’= αt(c-V) vμ ct= βt’(c+V) Nhân 2 vế có: 2 2 c V1 1 − =α 22 c V1 Vtx'x − −= Thay vμo có 2 2 c V1 'Vt'xx − += Từ đây, rút t’ : V 'xx. c V1 't 2 2 −− = 2 2 2 c V1 x c Vt 't − − = 2 2 2 c V1 'x c V't t − + = Thay x’ 22 c V1 Vtx'x − −= 2 2 2 c V1 x c Vt 't − − = 2 2 c V1 'Vt'xx − += 2 2 2 c V1 'x c V't t − + =y=y’, z=z’ y’=y, z’=z Phép biến đổi Lorentz: Nếu V BĐ Galilê x’=x-Vt, y’=y, z’=z, t’=t x=x’+Vt’, y=y’, z=z’, t=t’ 22 12212 12 c V1 )xx( c Vtt 't't − −−− =− 3.4.1. Khái niệm về tính đồng thời vμ quan hệ nhân quả Δt’=Δt=0 chỉ khi x1=x2 3.4. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz: Hai sự kiện rời rạc 1 vμ 2 xảy ra đồng thời ở hệ qui chiếu nμy, nh−ng ch−a chắc đã đồng thời xảy ra đối với hệ qui chiếu khác. Quan hệ nhân quả:Hai sự kiện 1-nguyên nhân, 2-hệ quả x1=vt1, x2=vt2 với x2>x1 2 2 212 12 c V1 ] c Vv1)[tt( 't't − −− =− vì vt1 thì t2’>t1’ => Nguyên nhân luôn xảy ra tr−ớc hệ quả trong mọi hệ qui chiếu. 3.4.2. Sự co ngắn Lorentz 2 2 11 1 c V1 Vtx'x − −= 2 2 22 2 c V1 Vtx'x − −= Độ dμi đo trên tμu:l0=x2’-x1’ Độ dμi đo từ trái đất: l=x2-x1 2 2 12 12 c V1 xx'x'x − −=− 2 2 0 c V1ll −= Độ dμi dọc theo ph−ơng chuyển động của thanh trong hệ quy chiếu mμ thanh chuyển động ngắn hơn độ dμi độ dμi của thanh trong hệ mμ thanh đứng yên. V l=l0 V=2,6.108m/s thì l=0,5l0 Không gian Thời gian lμ t−ơng đối 2 2 22 2 c V1 'x c V't t − + = 2 2 21 1 c V1 'x c V't t − + = 2 2 12 12 c V1 't'ttt − −=− 2 2 c V1t't −Δ=Δ Trong hệ chuyển động K’:Δt’ Trong hệ đứng yên K: Δt Khoảng thời gian diễn ra cùng một quá trình trong hệ chuyển động ngắn hơn trong hệ đứng yên; V Δt’ = Δt V=2,9996.108m/s thì Δt’ =10-2 Δt Từ thức gặp tiên Nhμ du nhμnh vũ trụ bay với V=2,9996.108m/s đi về mất 20 năm (Trên tμu anh ta giμ đi 20 tuổi) thì trên trái đất đã trải qua 2000 năm Từ thức đi 3 ngμy với tiên trở về, trên trái đất đã trôi đi 300 năm V=? 22 c V1 Vtx'x − −= 2 2 2 c V1 x c Vt 't − − = 2 2 c V1 Vdtdx'dx − −= 2 2 2 c V1 dx c Vdt 'dt − − = dx c Vdt Vdtdx 'dt 'dx 2− −= x2 x x u c V1 Vu'u − −= 3.4.3. Định lý về tổng hợp vận tốc Nếu ux=c thì c c c V1 Vc'u 2 x = − −= 22 0 c v1 mm − = 3.5. Động lực học t−ơng đối tính dt )vm(dF rr = dt )vm(dF rr = 3.5.1. Ph−ơng trình cơ bản của chuyển động chất điểm m0 - khối l−ợng nghỉ (v=0) 3.5.2. Động l−ợng vμ năng l−ợng 2 2 0 c v1 vmvm − = rr ds.FsdFdAdW === rr ds] c v1 vm[ dt ddW 2 2 0 − = ds] dt dv ) c v1(c vm dt dv c v1 m[dW 2/3 2 2 2 2 0 2 2 0 − + − = vdvds dt dv = 2/3 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 ) c v1( vdvm] ) c v1(c v1[ c v1 vdvmdW − = − + − = ]) c v1.(v[ dt dm] c v1 vm[ dt d 2 1 2 2 0 2 2 0 −−= − 22 0 c v1 mm − = 2/3 2 2 2 0 ) c v1(c vdvmdm − = dmcdW 2= CmcW 2 += 0C;0m;0W === 2mcW =  Hệ thức Anhxtanh  Hệ quả
Động năng: )1 c v1 1(cmcmmcW 2 2 2 0 2 0 2 − − =−=d 22 2 2 c v 2 11 c v1 −≈−Nếu v<<c thì 2 vm)1 c v 2 11(cmW 2 0 2 2 2 0d ≈−+≈  Quan hệ giữa năng l−ợng vμ động l−ợng 2 2 2 0 c v1 cmW − = 2 22 2 2 2 24 0 2 c vWW) c v1(Wcm −=−= vmp vμ rr == 2mcW 2242 0 2 cpc.mW +=  Độ hụt khối trong phân rã hạt nhân: 2 2 2 2 2 2 2 12 c v1 cm c v1 cmmc − + − = 21 WWW += 2 1 2 2 2 1 cm c v1 cm > − 2 2 2 2 2 2 cm c v1 cm > − m > m1 + m2 Khối l−ợng hạt nhân tr−ớc khi phân rã lớn hơn khối l−ợng của các hạt thμnh phần phân rã. Năng l−ợng toả ra: ΔW=[m-(m1+m2)]c2=Δmc2 ý nghĩa triết học của hệ thức Anhxtanh: • Duy tâm: Vật chất biến thμnh năng l−ợng -> thiêu huỷ • Duy vật: Vật chất tồn tại khách quan, hệ thức Anhxtanh nối liền 2 tính chất của vật chất: Quán tính (m) vμ Mức độ vận động (W). 4. Thuyết t−ơng đối rộng (tổng quát): Thuyết t−ơng đối hẹp chỉ nghiên cứu trong hệ qui chiếu quán tính. Khi hệ qui chiếu chuyển động có gia tốc a so với hệ qui chiếu quán tính, hệ qui chiếu đó lμ hệ qui chiếu không quán tính. Chất điểm chuyển động trong hệ qui chiếu không quán tính chịu tác dụng của lực quán tính -> t−ơng đ−ơng gia tốc hấp dẫn đều g=-a Không phân biệt đ−ợc chất điểm chuyển động trong hệ qui chiếu không quán tính hay trong hệ qui chiếu quán tính có gia tốc hấp dẫn đều. Nguyên lý t−ơng đ−ơng: Không thể có một thí nghiệm nμo thực hiện đ−ợc trong một không gian địa ph−ơng có thể phân biệt đ−ợc một hệ qui chiếu chuyển động có gia tốc vμ một hệ qui chiếu quán tính trong đó tồn tại một tr−ờng hấp dẫn đều. Thuyết t−ơng đối rộng nghiên cứu liên hệ giữa không gian, thời gian vμ vật chất trong hệ qui chiếu không quán tính bằng cách hình học hoá: Thuyết t−ơng đối hẹp: Không gian bốn chiều x, y, z vμ t của hệ qui chiếu quán tính trong tr−ờng hấp dẫn lμ các trục thẳng + hấp dẫn. Đ−ờng ngắn nhất giữa 2 điểm lμ đ−ờng thẳng trên mặt phẳng -> Không - thời gian phẳng + g. Thuyết t−ơng đối rộng: Không gian bốn chiều x, y, z vμ t của hệ qui chiếu không quán tính lμ các trục cong -> Đ−ờng ngắn nhất giữa 2 điểm lμ đ−ờng cong trên mặt cầu -> không - thời gian cong vμ g=0 z O y x y z O x Không gian ba chiều x, y, z trong hệ có tr−ờng hấp dẫn đều g r t−ơng đối hẹp t−ơng đối rộng g=0 Hiệu ứng cong không - thời gian thấy rất rõ tại những vật có khối l−ợng lớn: gần các lỗ đen trong vũ trụ, tại đây mật độ vật chất rất lớn lên đến cỡ 1015 lần mật độ vật chất của mặt trời. -> không - thời gian bị uốn cong mạnh. -> ánh sáng bị uốn cong vμ không thoát khỏi các lỗ đen.