Bài giảng Vật lí đại cương 3 - Chương 6: Cơ học lượng tử - Đỗ Ngọc Uấn

Bμi giảng Vật lý đại c−ơng Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn Viện Vật lý kỹ thuật Tr−ờng ĐH Bách khoa Hμ nội Ch−ơng 6 Cơ học l−ợng tử 1. Tính sóng hạt của vật chất trong thế giới vi mô 1.1. Tính sóng hạt của ánh sáng Tính sóng: Giao thoa, nhiễu xạ, phân cực; λ, ν. Tính hạt: Quang điện, Compton; ε, p. Liên hệ giữa hai tính sóng hạt: Năng l−ợng: ν=ε h Động l−ợng: λ= hp Hμm sóng Chiếu chùm ánh sáng song song, các mặt sóng cũng lμ mặt phẳng song song O d M rr nr Tại O dao động sáng: x0 =Acos2πνt Tại điểm cắt mặt chứa M ánh sáng đi đ−ợc d, vμ: xM =Acos2πν(t-d/c)= Acos2π(νt-d/λ) n.rcosrd rr=α= )n.rt(2cosAx λ−νπ= rr Đây lμ sóng phẳng chạy, dạng phức: )nrt(i2 0e λ −νπ−ψ=ψ rr )rpt(i 0e rr h −ε−ψ=ψhay λ π= 2k kp rhr = Js10.05,12 h 34−=π=h )rkt(i 0e rr−ω−ψ=ψ 1.2. Giả thiết Đơbrơi (de Broglie) Một vi hạt tự do tuỳ ý có năng l−ợng xác định, động l−ợng xác định t−ơng ứng với một sóng phẳng đơn sắc; a. Năng l−ợng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng t−ơng ứng ε=hν hay ω=ε h b. Động l−ợng của vi hạt liên hệ với b−ớc sóng λ theo: pr kp r hr =λ= hp hay Tính sóng hạt lμ hai mặt đối lập biểu hiện sự mâu thuẫn bên trong của đối t−ợng vật chất 1.3. Thực nghiệm chứng minh l−ỡng tính sóng hạt của vi hạt a. Nhiễu xạ điện tử: Chiếu chùm tia điện tử qua khe hẹp, ảnh nhiễu xạ giống nh− đối với sóng ánh sáng Nhiễu xạ điện tử, nơtron trên tinh thể tia e,n Phim Nhiễu xạ điện tử truyền qua trên tinh thể Si Nhiễu xạ truyền qua trên Bromid Thalium 2. Hệ thức bất định Haidenbéc (Heisenberg) 2.1. Hệ thức bất định pr b ϕ1 x Toạ độ của điện tử trong khe: 0≤x≤b =>Δx=b Hình chiếu của động l−ợng lên trục x: 0 ≤px ≤p sin ϕ ứng với hạt rơi vμo cực đại giữa Δpx ≈p sin ϕ1 sin ϕ1=λ/bΔx.Δpx ≈pλ Δx.Δpx ≈hΔy.Δpy ≈hΔz.Δpz ≈h ý nghĩa: Vị trí vμ động l−ợng của vi hạt không xác định đồng thời Ví dụ: Trong phạm vi nguyên tử Δx~10-10m Vận tốc điện tử có: s/m10.7 1010.1,9 10.62,6 xm h m pv 61031 34 ee x x ≈=Δ≈ Δ=Δ −− − me ~10 -31 vi hạt -> Vận tốc không xác định -> không có quỹ đạo xác định m ~10-15kg, Δx~10-8m hạt lớn (Vĩ hạt): Vận tốc xác định -> Quỹ đạo xác định: s/m10.6,6 1010 10.62,6 x.m hv 11815 34 x − −− − ≈=Δ≈Δ ΔW.Δt ≈ hHệ thức bất định đối với năng l−ợng ΔW≈ h/Δt Trạng thái có năng l−ợng bất định lμ trạng thái không bền, Trạng thái có năng l−ợng xác định lμ trạng thái bền 2.2 ý nghĩa triết học của hệ thức bất định Heisenberg: Duy tâm: Hệ thức bất định phụ thuộc vμo chủ quan của ng−ời quan sát: Xác định đ−ợc quỹ đạo thì không xác định đ−ợc năng l−ợng. Nhận thức của con ng−ời lμ giới hạn Duy vật: Không thể áp đặt quy luật vận động vật chất trong cơ học cổ điển cho vi hạt. Cơ học cổ điển có giới hạn, nhận thức của con ng−ời không giới hạn, không thể nhận thức thế giơí vi mô Không thể xác định chính xác vị trí của vi hạt mμ chỉ đoán nhận đ−ợc khả năng tồn tại vi hạt ở một trạng thái nμo đó. Quy luật vận động của vi hạt tuân theo nguyên lý thống kê 3. Hμm sóng vμ ý nghĩa thống kê của nó 3.1. Hμm sóng: Chuyển động của vi hạt tự do (không chịu tác dụng lực bên ngoμi) đ−ợc mô tả bởi hμm sóng Đơ Brơi )rkt(i 0e rr−ω−ψ=ψ ψ0 2=|ψ|2=ψψ* ψ*Liên hợp phức của ψ bằng các khái niệm cổ điển. 3.2. ý nghĩa thống kê của hμm sóng M ΔV sóng ánh sáng chiếu lên M c−ờng độ sáng I ~ ψ02 |ψ|2 cμng lớn M cμng sáng -> số photon cμng nhiều |ψ|2 tỷ lệ với khả năng có mặt của vi hạt trong ΔV |ψ|2 đặc tr−ng cho khả năng tìm thấy vi hạt trong đơn vị thể tích quanh M gọi lμ mật độ xác suất Xác suất tìm thấy hạt trong dV lμ |ψ|2dV Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V lμ ∫∫∫ ψ V 2 dV|| Trong toμn không gian 1dV|| Tkg 2 =ψ∫∫∫ Đây lμ điều kiện chuẩn hoá của hμm sóng Hμm sóng không mô tả một sóng cụ thể nμo đó nh− sóng cơ hay sóng điện từ mμ nó chỉ cho phép tính mật độ xác suất tìm thấy vi hạt ở một trạng thaí nμo đó -> Hμm sóng ψ mang tính thống kê Trong vật lý phân tử: Hệ nhiều hạt mới có tính thống kê (theo qui luật thống kê) Trong cơ học l−ợng tử qui luật thống kê có quan hệ với ngay cả một vi hạt riêng biệt 3.3. Điều kiện của hμm sóng a. Hμm sóng giới nội = Điều kiện chuẩn hoá b. Hμm sóng phải đơn trị: mỗi trạng thái chỉ có 1 xác suất tìm hạt (theo lí thuyết xác suất) c. Hμm sóng phải liên tục vì mật độ xác suất không thể nhảy vọt. d. Đạo hμm bậc nhất của hμm sóng phải liên tục: rút ra điều kiện của ph−ơng trình hμm sóng 4. Ph−ơng trình cơ bản của cơ học l−ợng tử Trong cơ học cổ điển có f/t cơ bản: ma=F Trong cơ học LT phải tìm đ−ợc hμm sóng của vi hạt )rpt(i 0e)t,r( rr hr −ε−ψ=ψ )r(.e)t,r( ti rr h ψ=ψ ε− ε lμ năng l−ợng của vi hạt. )r(rψ lμ phần phụ thuộc vμo không gian đáp ứng ph−ơng trình : 0)r()]r(U[m2)r( 2 =ψ−ε+ψΔ rrh r dingeroSchr && )x()x()]x(U xm2 [ 2 22 εψ=ψ+∂ ∂− h Vai trò ph−ơng trình Schrodinger trong CHLT giống nh− f/t cơ bản trong cơ học cổ điển Trong không gian một chiều: Δ Toán tử Laplatz, trong toạ độ Đêcác: )r() zyx ()r( 2 2 2 2 2 2 rr ψ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=ψΔ thế năng)r(U r 2 22 xm2 ∂ ∂− h Toán tử động năng x ipˆx ∂ ∂−= h Toán tử động l−ợng Δ−= m2m2 pˆ 22 h Toán tử Haminton Uˆ m2 pˆHˆ 2 += Ph−ơng trình Schrodinger: Tác động toán tử Haminton lên hμm sóng cho giá trị riêng của năng l−ợng vi hạt εψ=ψHˆ
Trong cơ học l−ợng tử các đại l−ợng vật lý đều lμ các toán tử, khi toán tử tác động lên hμm sóng cho giá trị riêng của đại l−ợng vật lý đó: ψ=ψ=ψ −ω− .kepˆpˆ )rkt(i0 r h rr kp r hr = giá trị riêng của động l−ợng Toán tử động năng: 5. ứng dụng 5.1. Vi hạt trong giếng thế U x0 a U= U=0 U=∞ 0 khi 0<x<a ∞ khi x≤0 vμ x≥a Trong giếng thế U(x)=0 Ph−ơng trình Schrodinger: )x()x( xm2 2 22 εψ=ψ∂ ∂− h Toán tử động năng tác động lên hμm sóng của vi hạt cho giá trị riêng của động năng vi hạt Dạng hμm sóng: ψ(x)=Asinkx+Bcoskx Điều kiện biên cố định ψ(0)= ψ(a)=0 ψ(x)=Asinkx 0 a 2 na λ=λ π= 2k a nk π= n = 0, 1, 2...)x a nsin(A)x(n π=ψ Thay ψn(x) vμo ph−ơng trình Schrodinger )x()x() a n( m2 nn 2 2 εψ=ψπh 1dx)x a n(sinA 2 a 0 2 =π∫ a2A = Mỗi trạng thái vi hạt ứng với một hμm sóng ψn(x) )x a nsin( a 2)x(n π=ψ λ lμ b−ớc sóng Đơ brơi của vi hạt 2 2 ) a n( m2 π=ε h ε ~ n 2 Năng l−ợng vi hạt biến thiên gián đoạn: Năng l−ợng bị l−ợng tử hoá Mật độ xác suất tồn tại vi hạt )x a n(sin a 2 2* π=ψψ=ρ 39 24 11 3 2 1 a/2a/4 3a/4 0 2 2 ) a ( m2 πh n 0 ε đv( ) 0 ρ n 5.2. Hiệu ứng đ−ờng hầm U Umax W x Đối với cơ cổ điển nếu năng l−ợng hạt W<U thì hạt không v−ợt qua đ−ợc hμng rμo thế Đối với cơ học LT vi hạt có khả năng xuyên qua hμng rμo thế cao hơn năng l−ợng của nó: Hiệu ứng xuyên hầm U x a0 U0I II IIIψ1(x) ψ2(x) ψ3(x) U= 0 x≤0 miền I U0 0<x<a miền II 0 x≥a miền III Ph−ơng trình Schrodinger cho ba vùng 21 2 12 1 2 mW20k dx d h==ψ+ ψ 2 1 kvới )WU(m20k dx d 022 2 22 2 2 −==ψ+ψ h 2 2 kvới 23 2 12 3 2 mW20k dx d h==ψ+ ψ 2 1 kvới miền I miền II miền III Nghiệm của các ph−ơng trình: xik 1 xik 11 11 eBeA)x( −+=ψ xk 2 xk 22 22 eBeA)x( −+=ψ )ax(ik 3 )ax(ik 33 11 eBeA)x( −−− +=ψ Hệ số truyền qua /xuyên hầm 2 1 2 3 * 11 * 33 |A| |A|D =ψψ ψψ= Theo tính chất liên tục của hμm sóng vμ đạo hμm bậc nhất của hμm sóng. Tại các bờ: ψ1(0)= ψ2(0)ψ’1(0)= ψ’2(0)ψ2(a)= ψ3(a)ψ’2(a)= ψ’3(a) Các hệ thức: A1+B1= A2+B2 ik1(A1-B1)= -k2(A2+B2) A2e -k2a +B2e k2a = A3 -k2(A2e -k2a +B2e k2a)=ik1A3 B3=0, không có sóng phản xạ từ vô cùng Từ 2 ph−ơng trình cuối xác định A2, B2 qua A3 ak 32 2eA 2 in1A −= ak 32 2eA 2 in1B −+= WU W k kn 02 1 −== Coi W<<U0 hoặc bề rộng của hμng rμo lớn k2a>>1 ak 31 2eA 4 ) n i1)(in1( A +− = ak2 2 2 2e )n1( n16D −+= 1~ )n1( n16 2 2 + (U0 ~10W) )WU(m2a2ak2 02 eeD −−− == h Mặc dù W<U0 vẫn có hạt xuyên qua hμng rμo thế Với điện tử m=9,1.10-31kg, U0-W=1,28.10 -31J a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10 D 0,1 0,03 0,008 5.10-7 D đáng kể khi a nhỏ: Hiệu ứng xuyên hầm chỉ xảy ra ở kích th−ớc vi mô => Tính sóng của vi hạt Phát xạ điện tử lạnh Phân rã hạt α 5.3.Dao tử điều hoμ Vi hạt chuyển động theo ph−ơng x trong tr−ờng thế 2kx 2 1U = Thế năng 2 xmU 22ω= ph−ơng trình Schrodinger 0)2 xm(m2 dx d 22 22 2 =ψω−ε+ψ h Giải ra có năng l−ợng )2 1n(n +ω=ε h n=0 có 20 ω=ε h Năng l−ợng “Không”: ngay cả khi T=0 vẫn có dao động => Phù hợp với hệ thức bất định: Δx=0 thì Δpx vẫn khác 0 dao động ion,ngtử 5.4. Quay tử Vi hạt chuyển động tự do trên một mặt cầu xác định =>ứng dụng N/C phân tử 2 nguyên tử, H V(r)=V(a)=const -> Chọn V(a)=0 0m2 2 =ψε+ψΔ h 2 2 ma2 )1( +=ε llhlGiải ra tìm đ−ợc năng l−ợng năng l−ợng quay tử cũng gián đoạn: l−ợng tử hoá ,...3,2,1,0 =l