Bài tập Đại số tuyến tính

ính. b) Thay λ = 1, hãy tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1, a2, a3}. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 5 Bài 3. 12. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4). a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3} có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao? Bài 3. 13. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2,−1, 1), a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3,−2, 2). a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3, a4} là hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} có là một cơ sở của R4 hay không? Tại sao? Bài 3. 14. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1,−1, 2), a2 = (2, 3,−1, 1), a3 = (−1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6). a) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính? b) Cho b ∈ R4 là một phần tử nào đấy. Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4, b} là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính? Bài 3.15. Xác định giá trị của λ để hệ {a1, a2, a3} được cho dưới đây là hệ phụ thuộc tuyến tính: a1 = (2, 3,−2, 3), a2 = (2,−1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ). Bài 3. 16. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với a1 = (2, 1, 2, 3), a2 = (1, 4, 1, 5), a3 = (3,−2, 3, λ). a) Tìm λ để hệ {a1, a2, a3} là hệ phụ thuộc tuyến tính. b) Với λ tìm được hãy xác định biểu diễn tuyến tính của a2 theo hệ {a1, a3}. Bài 3.17. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (10, 9, 9) trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R3: a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1,−1). Bài 3.18. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (8, 8, 19, 19) trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R4: a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4); a3 = (2, 3,−2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1). Bài 3.19. Trong không gian tuyến tính R3 cho M là không gian con hai chiều có cơ sở là {u1, u2} với u1 = (1, 2,−2), u2 = (2, 2,−1). Cho các phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5). Hãy xác định số thực λ sao cho u− λv ∈M . Bài 3.20. Trong không gian tuyến tính R4 cho M là không gian con hai chiều có cơ sở là {u1, u2} với u1 = (2, 1,−1, 1), u2 = (1, 2, 3,−1). Cho các phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1,−1). Hãy xác định số thực λ sao cho u− λv ∈M . Bài 3.21. Trong không gian tuyến tính R4 cho M là không gian con ba chiều có cơ sở là {u1, u2, u3} với u1 = (1, 2,−1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2). Hãy xác định số thực λ biết rằng phần tử x = (2, 5, 3, λ) nằm trong M . Bài 3.22. Trong không gian R3 cho các tập con M và N như sau M = {(x1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 = 0}, N = {(x1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 ≥ 0}. Hãy cho biết trong các tập con trên, tập con nào là một không gian con của R3. Ứng với mỗi tập con là không gian con của R3, hãy xác định một cơ sở và số chiều của nó. Bài 3.23. Trong không gian tuyến tính R4, không gian con M được xác định bởi M = {(x1, x2, x3, x4) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0}. Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M . Bài 3.24. Trong không gian tuyến tính R4 cho không gian con M = {(x1, x2, x3, x4)|2x1 − x2 − x3 + 4x4 = 0} và phần tử w ∈ M với w = (1, 5, 1, 1). Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của w trên cơ sở được đưa ra. Bài 3.25. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và véc tơ x có tọa độ trong cơ sở (a) là [x]a = (1, 2,−3). Hãy tìm tọa độ của véc tơ x trong cơ sở mới (b) = {b1, b2, b3}, biết ma trận chuyển từ cơ sở (a) sang cơ sở (b) là T = 1 −1 22 3 1 3 4 −1  . Bài 3.26. Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b) là Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 6 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ T = 3 −2 −12 2 3 1 2 1  . Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất (a) là [x]a = (2, 4, 5). Hãy tính tọa độ [x]b của phần tử x trong cơ sở thứ hai (b). Bài 3.27. Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với b1 = a1+a2−3a3, b2 = 2a1−3a2+2a3, b3 = 4a1+5a2+a3. Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất (a) là [x]a = (1,−3, 5). Hãy tính tọa độ [x]b của phần tử x trong cơ sở thứ hai (b). Bài 3.28. Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b) là T = 1 2 −42 5 3 3 2 1  . Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất (a) là xa = (1, 4,−2). Hãy tính tọa độ xb của phần tử x trong cơ sở thứ hai (b). Bài 3.29. Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b) là T = 4 2 11 −2 3 3 3 4  . Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). Bài 3.30. Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với b1 = 2a1+3a2−a3, b2 = a1+4a2+2a3, b3 = 3a1−a2+a3. Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). Bài 3.31. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với a1 = (2,−1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1,−2), b3 = (−1, 1, 2). Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). Bài 3.32. Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho ba hệ cơ sở (e), (a) và (b). Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (a) là Tea = 2 −1 12 1 2 3 1 4  và ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (b) là Teb =  1 1 1−2 3 1 2 1 −2  . Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). Bài 3.33. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với a1 = (3, 1, 4), a2 = (5,−4, 2), a3 = (2, 1, 1), b1 = (3,−2, 3), b2 = (4, 1,−2), b3 = (3, 4, 2). Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). 4. Ánh xạ tuyến tính Bài 4.1. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (x1 + 2x2 − x3, x1 − x2 + 2x3, 2x1 − x2 − x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. Bài 4.2. Cho ánh xạ f : R4 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (2x1−x2−x3+x4, x1+x2−2x3+x4, x1−x3+x4), với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4. a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên các cơ sở chính tắc của R3 và R4. Bài 4.3. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (3x1 − 2x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 − x3 + α), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (α là tham số). a) Hãy xác định α để ánh xạ f là một ánh xạ tuyến tính. b) Với α tìm được hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 7 Bài 4.4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (2x1−x2+2x3, x1+2x2−x3, 3x1+4x2−x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. b) Hãy tìm ma trận của f trên cơ sở mới {a1, a2, a3} của R3 với a1 = (2, 1,−1), a2 = (1,−2, 3), a3 = (3, 2, 1). Bài 4.5. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (2x1+3x2+4x3, x1+2x2−5x3, 2x1+x2+3x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở {a1, a2, a3} của R3, biết rằng a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = (0, 0,−1). Bài 4.6. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (2x1+x2−3x3, 3x1−2x2−x3, x1+3x2−2x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 b) Xác định x ∈ R3 để f(x) = (6, 2, 6). Bài 4.7. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (x1 + x2 − x4, 3x1 − 2x2 + x3, x1 + x3 − 2x4), với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cặp cơ sở chính tắc của R3 và R4. b) Tìm tất cả x ∈ R4 để f(x) = f(1, 2, 1, 2). Bài 4.8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (x1+x2− 2x3, 2x1− 2x2+5x3, x1+3x2+x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 . a) Cho u = (1,−1, 2). Hãy tìm x ∈ R3 để f(x+ 2u) + f(2x− u) = (11,−7, 18). b) Cho u = (2,−1, 2). Hãy tìm x ∈ R3 để f(x+u)+f(x+2u)+ . . .+f(x+5u) = f(36x+108u). Bài 4.9. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (3x1+x2+2x3, x1+3x2+2x3, 3x1+3x2+5x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới {a1, a2, a3} của R3 với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2,−3), a3 = (1,−1, 0) là một ma trận đường chéo. Bài 4.10. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (x1−2x2+x3,−2x1−2x2+2x3,−5x1−10x2+7x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f . Bài 4.11. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định bởi công thức f(x) = (3x1−x2+2x3+x4, 3x2−x3+6x4, 3x3+5x4, 3x4), với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc của R4. b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f . Bài 4.12. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định bởi công thức f(x) = (2x1,−3x1+2x2, 5x1−x2+2x3, 2x1−x2+4x3+2x4), với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc của R4. b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f . Bài 4.13. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (3x1 + x2 + x3, x1 + 3x2 + x3,−x1 + x2 + x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f . Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 8 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ Bài 4.14. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (3x1−x2+2x3,−x1+3x2−2x3, x1+x2+x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f . c) Hãy xây dựng một cơ sở của R3 bao gồm ba véc tơ riêng của f . Bài 4.15. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 2 1 21 2 2 3 3 7  . Bài 4.16. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 2 −1 11 0 1 3 −1 2  . Bài 4.17. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 3 1 21 3 2 1 1 1  . Bài 4.18. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 1 2 22 1 2 2 2 1  . Bài 4.19. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 3 1 21 3 2 1 2 3  . Bài 4.20. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A =  2 1 2 4 0 −2 2 3 0 0 3 1 0 0 0 −3  . Bài 4.21. Cho ma trận A =  2 2 31 3 3 −1 1 1  . Chứng minh rằng ma trận A không chéo hóa được Bài 4.22. Cho ma trận A =  3 −1 2−2 2 −2 2 −1 3  . Chứng minh rằng ma trận A chéo hóa được. Bài 4.23. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận đó đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận đó về ma trận chéo. A = 4 1 24 4 4 1 2 9  . Bài 4.24. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận đó đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận đó về ma trận chéo. A = −2 2 11 −3 −1 −1 2 0  . Bài 4.25. Cho ma trận A = 3 1 22 4 4 2 −1 1  . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT . Bài 4.26. Cho ma trận A = 3 2 22 3 2 2 2 3  . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT . Bài 4.27. Cho ma trận A = 3 1 21 3 2 3 3 5  . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT . Bài 4.28. Cho ma trận A = 2 1 21 2 2 2 3 6  . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT . Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 9 Bài 4.29. Cho ma trận A = 3 2 31 4 3 4 −1 5  . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT . 5. Không gian Euclid (Dành riêng cho hệ 3 tín chỉ) Bài 5.1. Trong không gian R4 hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau: v1 = (1, 0, 10, 12), v2 = (2, 2,−4,−5), v3 = (3, 11,−4,−1). Bài 5.2. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = 15(4,−2,−2, 1), u2 = 1 5(−1,−2, 2, 4), u3 = 1 5(2, 4, 1, 2). Hãy xác định tất cả các giá trị có thể có của u4. Bài 5.3. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = 16(5, 1, 3, 1), u2 = 1 6(−1, 3,−1, 5), u3 = 1 6(−3,−1, 5, 1). Hãy xác định tất cả các giá trị có thể có của u4. Bài 5. 4. Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1, u2, u3, u4} với u1 = (2, 1,−1,−2), u2 = (1,−2, 3,−2), u3 = (2, 1,−4, 1), u4 = (−2, 1,−3, 4). Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4. Bài 5. 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1, u2, u3, u4} với u1 = (2,−1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3,−2), u3 = (2, 2, 3,−3), u4 = (2, 1, 2,−2). Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4. Bài 5.6. Trong không gian Euclid R4 cho các véc tơ u1 = (1,−1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ,−1, µ). Hãy xác định giá trị của λ và µ để v⊥u1, v⊥u2. Bài 5.7. Trong không gian Euclid R4 cho các véc tơ u = (1, 3,−2, 2), v1 = (1, 3, 2,−1), v2 = (0,−1, 1, 1). Hãy xác định λ, µ sao cho w = u + λv1 + µv2 thỏa mãn điều kiện w⊥v1, w⊥v2. Bài 5. 8. Cho M là không gian con hai chiều của không gian Euclid R4 có cơ sở gồm hai véc tơ u = (1,−1, 1, 1), v = (2,−1, 2, 1). Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với véc tơ w = (1,−2,−2, 1). Bài 5. 9. Cho M là không gian con hai chiều của không gian Euclid R4 có một cơ sở gồm hai véc tơ u = (2, 1, 0, 2), v = (1,−1, 1, 1). Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với véc tơ w = (1, 2, 3,−2). Bài 5.10. Cho M là không gian con của không gian Euclid R5 có cơ sở gồm hai véc tơ u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0,−1, 3,−1). Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1,−1, 3). Bài 5.11. Trong không gian R5, choM là không gian con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ u1 = (1,−3,−1, 1, 1), u2 = (1,−1, 2,−1, 1), u3 = (−1, 3,−1,−1,−3). Hãy xác định trongM véc tơ có độ dài đơn vị trực giao với cả hai véc tơ v1 = (2, 1, 1, 2, 1), v2 = (1, 1, 2, 3, 5). Bài 5.12. Trong không gian R6 cho M là không gian con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ u1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (2,−3, 4, 1, 5, 2), u3 = (3,−4, 10, 2, 1, 3). Hãy xác định trong M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao với cả hai véc tơ v1 = (2,−1, 1, 3, 1,−4), v2 = (3,−2, 1, 2, 1,−1). Bài 5. 13. Trong không gian Euclid R4 cho M là không gian con hai chiều có một cơ sở gồm hai véc tơ u1 = (1, 2,−3, 3); u2 = (2, 1,−1, 5). Hãy phân tích phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v trong đó u ∈M và v =M⊥. Bài 5.14. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (1, 0,−7, 2) và choM là không gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2,−3, 2), u2 = (2,−1,−2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈M, v ∈ M⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u+ v. Bài 5.15. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (6, 6,−6, 0) và choM là không gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2,−1, 2), u2 = (2,−1,−2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈M, v ∈ M⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u+ v. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 10 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ Bài 5.16. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (4,−1,−5, 4) và cho M là không gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (2,−2,−3, 2), u2 = (1,−1,−2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈M, v ∈ M⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u+ v. Bài 5. 17. Trong không gian Euclid R5 cho M là không gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 1,−1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1,−3,−14). Hãy phân tích véc tơ x = (5,−5, 1,−2,−9) thành tổng x = u+ v với u ∈M và v ∈M⊥. Bài 5.18. Trong không gian Euclid R4 choM là một không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với u1 = (3, 1, 1, 1), u2 = (−1,−3, 1,−1). Hãy tìm x ∈M sao cho ||x− u1|| = 6, ||x− u2|| = 6. Bài 5.19. Trong không gian Euclid R4 choM là một không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với u1 = (1, 2,−4, 6), u2 = (1,−6, 2,−4). Hãy tìm x ∈M sao cho ||x−u1|| = 15, ||x−u2|| = 15. Bài 5.20. Trong không gian Euclid R4 choM là một không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với u1 = (7,−4, 2,−2), u2 = (−7, 2,−4, 2). Hãy tìm x ∈M sao cho ||x−u1|| = 13, ||x−u2|| = 13. Bài 5.21. Trong không gian Euclid R5 choM là một không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với u1 = (−1, 2, 3, 7, 1), u2 = (2,−1,−1,−7, 3). Hãy tìm x ∈M sao cho ||x−u1|| = 14, ||x−u2|| = 14. Bài 5.22. Trong không gian Euclid R4 cho các phần tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0,−1, 1) và không gian con L = {x ∈ R4|〈x, a1〉 = 0, 〈x, a2〉 = 0}. a) Tìm một cơ sở của L. b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a). Bài 5.23. Trong không gian Euclid R4 cho các phần tử a1 = (1, 2, 3,−1); a2 = (2, 3,−1, 4) và không gian con L = {x ∈ R4|〈x, a1〉 = 0, 〈x, a2〉 = 0}. a) Tìm một cơ sở của L. b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a). Bài 5.24. Trong không gian Euclid R4 cho các phần tử a1 = (1, 1, 2,−1); a2 = (2, 1,−1, 3) và không gian con L = {x ∈ R4|〈x, a1〉 = 0, 〈x, a2〉 = 0}. a) Tìm một cơ sở của L. b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a). Bài 5.25. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4, cho các véc tơ a1 = (2, 1,−3,−1), a2 = (3, 1,−1, 2) và b = (1, µ, 0, 2λ). a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và a2. b) Với λ, µ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1, a2, b}. Bài 5.26. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4 cho các véc tơ a1 = (1, 1,−3,−1), a2 = (2, 1,−1, 2) và b = (2, γ, 1, α). a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và a2. b) Với α, γ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1, a2, b}. Bài 5.27. Trong không gian Euclid R4, cho các véc tơ u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3). a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1+µv2 trực giao với các véc tơ v1, v2. b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo thủ tục Gram–Schmidt. Bài 5. 28. Trong không gian Euclid R4, cho các véc tơ u = (6,−10,−4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 = (2, 14, 11, 13). a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1+µv2 trực giao với các véc tơ v1, v2. b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo thủ tục Gram–Schmidt. Bài 5. 29. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không gian R3 từ cơ sở đã cho sau đây: a1 = (2,−1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6,−3). Tính tọa độ của phần tử x = (3, 1, 5) trên cơ sở nhận được. Bài 5. 30. Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không gian R4 từ cơ sở được cho sau đây: a1 = (1, 0, 1,−1); a2 = (0, 2, 2, 2); a3 = (5,−2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1). Tính tọa độ của phần tử x = (1, 2, 5, 6) trên cơ sở nhận được. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 11 Bài 5.31. Trong không gian Euclid R3 cho hệ véc tơ {u1, u2, u3} với u1 = ( 2 7 , 3 7 , 6 7), u2 = ( 6 7 , 2 7 ,− 3 7), u3 = ( 3 7 ,− 6 7 , 2 7). a) Hãy chỉ ra rằng hệ {u1, u2, u3} là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid R3. b) Hãy tìm tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trên cơ sở {u1, u2, u3}. Bài 5.32. Giả sử rằng {u1, u2, u3, u4} là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid R4 và ta được biết rằng u1 = 1 6(3, 5, 1, 1), u2 = 1 6(−5, 3, 1,−1), u3 = 1 6(−1,−1, 3, 5). Giả sử phần tử x = (4, 2, 1,−5) có tọa độ trên {u1, u2, u3, u4} là (x1, x2, x3, x4). Hãy tính x24. Bài 5.33. Giả sử rằng {u1, u2, u3, u4} là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid R4 và ta được biết rằng u1 = 1 7(2, 4, 2, 5), u2 = 1 7(−5, 2,−4, 2), u3 = 1 7(2, 5,−2,−4). Giả sử phần tử x = (2,−3, 1, 5) có tọa độ trên {u1, u2, u3, u4} là (x1, x2, x3, x4). Hãy tính x24. Bài 5. 34. Trong không gian Euclid R5 cho M là không gian con ba chiều có một cơ sở là {u1, u2, u3} với u1 = (1, 1, 1, 1,−1), u2 = (2, 0, 3,−2, 1), u3 = (−1, 2, 1,−1, 2). Hãy xác định một cơ sở trực chuẩn và số chiều của không gian con M⊥. Bài 5.35. Trong không gian R4 cho hai véc tơ u1 = (2, 1,−2, 2); u2 = (1,−1,−1,−1). Gọi M là tập hợp tất cả các véc tơ của R4 trực giao với u1, u2. a) Chứng minh rằng M là một không gian con của R4. b) Xác định một cơ sở trực chuẩn của M . Bài 5.36. Cho ma trận Q =  1 3 − 2 3 − 2 3 −23 − 2 3 1 3 x y z  . Hãy tìm x, y, z để Q là ma trận trực giao. Bài 5.37. Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q được cho sau đây là ma trận trực giao: Q = 12  −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 x y z t  . Bài 5.38. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid R4 sao cho cơ sở này có chứa hai phần tử như sau u1 = 1 2(1, 1,−1,−1); u2 = 1 2(1,−1, 1,−1). Bài 5.39. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid R4 sao cho cơ sở này có chứa hai phần tử như sau u1 = 1 6(5, 3,−1,−1); u2 = 1 2(1,−1, 5,−3). Bài 5.40. Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây bằng ma trận trực giao A = 3 2 42 3 4 4 4 9  . 6. Một số bài tập nâng cao Bài 6. 1. Cho A2 = A. Hãy chỉ ra rằng (A + I)k = I + (2k − 1)A. Bài 6.2. Chứng minh đẳng thức∣∣∣∣∣∣∣ (a+ b)2 c2 c2 a2 (b+ c)2 a2 b2 b2 (a+ c)2 ∣∣∣∣∣∣∣ = 2abc(a+ b+ c)3. Bài 6.3. Chứng minh đẳng thức∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a b c d −b a d −c −c −d a b −d c −b a ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a 2 + b2 + c2 + d2)2. Bài 6.4. Tính giá trị định thức D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 x x . . . x x a2 x . . . x x x a3 . . . x ... ... ... . . . ... x x x . . . an ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Bài 6.5. Chứng minh rằng ma trận vuông cấp hai A = ( a b c d ) thỏa mãn phương trình X2 − (a+ d)X + (ad− bc)I = 0. Bài 6.6. Chứng minh rằng nếu A là ma trận thực và AAT = θ thì A = θ. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 12 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ Bài 6.7. Cho hai ma trận vuông cấp hai A = ( 4 −1 2 1 ) và B = ( 2 0 0 3 ) . a) Hãy tìm một ma trận khả nghịch T sao cho TA = BT . b) Tính A2011. Bài 6.8. ChoA là một ma trận vuông cấp n khả nghịch có ma trận phụ hợp là A∗. Hãy chứng minh rằng det(A∗) = (detA)n−1. Bài 6.9. Cho A là một ma trận vuông sao cho A4 = 0. Hãy chứng minh rằng I +A là một ma trận khả nghịch. Bài 6.10. Cho A là một ma trận vuông sao cho A10 = 0. Hãy chứng minh rằng I + A2 + A5 là một ma trận khả nghịch. Bài 6.11. Cho A,B là hai ma trận vuông cùng cấp sao cho (AB)10 = I. Chứng minh rằng (BA)10 = I. Bài 6.12. Cho A là một ma trận vuông thực cấp ba có ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh rằng ma trận A3 cũng có ba giá trị riêng thực phân biệt. Bài 6.13. Cho A là một ma trận vuông thực cấp ba có ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh rằng ma trận A5−A4+A cũng có ba giá trị riêng thực phân biệt. Bài 6.14. Cho A là một ma trận vuông thực cấp n khả nghịch và có n giá trị riêng thực dương phân biệt. Chứng minh rằng ma trận A3+2A−3A−1 cũng có n giá trị riêng thực phân biệt. Bài 6.15. Cho A là một ma trận vuông cấp hai đồng dạng với ma trận B = ( 3 2 0 4 ) . Hãy tính giá trị của định thức det(A3 + 3A). Bài 6.16. Cho ma trận A = 2 −1 30 1 2 0 4 −1 . Tính detB với B = A2004 −A1002. Bài 6.17. Tính định thức D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 . . . n −1 0 3 . . . n −1 −2 0 . . . n ... ... ... . . . ... −1 −2 −3 . . . 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Bài 6.18. Tính định thức D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 . . . 1 1 C12 C13 . . . C1n 1 C23 C24 . . . C2n+1 ... ... ... . . . ... 1 Cn−1n Cn−1n+1 . . . Cn−12n−2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Bài 6.19. Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A và B sao cho AB −BA = I. Bài 6.20. Cho A,B là hai ma trận vuông cấp n sao cho r(AB −BA) = 1. Chứng minh rằng (AB −BA)2 = θ. Bài 6.21. Cho A,B là các ma trận kích thước 3 × 2 và 2× 3. Giả sử rằng tích A.B là AB =  8 2 −22 5 4 −2 4 5  . Hãy chỉ ra rằng BA = ( 9 0 0 9 ) . Bài 6.22. Cho A,B là các ma trận vuông cấp 3 với các phần tử thực sao cho detA = detB = det(A+B) = det(A−B) = 0. Chứng minh rằng det(xA+ yB) = 0 với mỗi cặp số thực x, y. Bài 6.23. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng nếu A là một ma trận luỹ linh và B là ma trận giao hoán với A thì I−AB và I+AB là các ma trận khả nghịch. Bài 6. 24. Cho ma trận vuông A = ( 2015 −2014 2014 −2013 ) . Hãy xác định số nguyên dương n sao cho tồn tại ma trận vuông cấp hai X với các phần tử nguyên để X2015 +Xn = 2A. PHẦN II: ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN 1. Ma trận và định thức 1.1. a) A567 = −A = (−2 1 −5 2 ) . b) A576+2A567+3A675 = I−5A, det(A576+2A567+3A675) = 26. 1.2. a) A2018 = A2 = ( 1 3 −1 −2 ) . b) 2A2017 − 3A2018 + 4A2019 = (−3 −3 1 0 ) , det(2A2017 − 3A2018 + 4A2019) = 3. 1.3. A200 +A = θ. 1.4. a) A2 = A2018 = I, A2019 = A. b) n = 2k thì detB = 64, n = 2k + 1 thì detB = −32. 1.5. a) A2 = A2018 = I, A2019 = A. b) Nếu m,n chẵn thì detB = 1728. Nếu m chẵn, n lẻ thì detB = −288. Nếu m lẻ, n chẵn thì detB = 288. Nếu m,n lẻ thì detB = −1728. 1.6. x = ±3. 1.7. x ∈ {−1, 1, 2}. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 13 1.8. D = 0. 1.9. a) det(A4 + 3A3) = −61952. b) r(A+ 5I) = 3. 1.10. a) det(AB) = −36, det(BA) = 0. b) r(BA+ 4I) = 3. 1.11. a) det(A3B2 + 4A2B3) = 911.400. b) (A+ 2B)2 − 19(A+ 2B) = −70I. 1.12. det(AB) = −47, (detA = −47,detB = 1). 1.13. det(A2B − 3AB2) = 15.080.310. HD: det(A2B − 3AB2) = detA.det(A− 3B).detB. 1.14. a) det(A3B2 − 3A2B3) = 122.132.500. b) r(A+ 3B) = 3. 1.15. a) det(A3B2+3A2B3) = (detA)2 det(A+3B)(detB)2 6= 0 vì detA = 39,detB = −51,det(A+3B) = −1878. Do đó ma trận A3B2 + 3A2B3 khả nghịch. b) det(A2B−2AB2) = detA.det(A+3B).detB 6= 0 vì detA = 39,detB = −51,det(A+3B) = 207. Do đó r(A2B − 2AB2) = 3. 1.16. A−1 = −14 −1 5 71 −1 1 1 3 5 . 1.17. a) A3 − 8A2 + 17A = 10I. b) A−1 = 110  8 0 −6−2 5 −1 −2 0 4 . 1.18. Nếu d = 0 thì không tồn tại x để A khả nghịch. Nếu d 6= 0 thì A khả nghịch với x 6∈ {a, b, c}. HD: Hãy chỉ ra rằng detA = d(a− x)(b− x)(c− x). 1.19. x 6∈ {0, 3}. HD: Sử dụng đẳng thức det(A4− 3A3) = (detA)3 det(A− 3I). 1.20. x 6∈ {−2,−1, 2}. 1.21. x 6∈ {−2, 1, 2}. 1.22. X = − 118 −31 −9 815 −27 6 −11 −9 −14 . 1.23. X = 129  17 10 8−29 29 0 −29 0 29 . 1.24. X = (−2 3 4 −7 ) . 1.25. r(A) = 2. 1.26. r(A) = 3. 1.27. Nếu x = 1 thì r(A) = 1. Nếu x = −32 thì r(A) = 3. Nếu { x 6= 1 x 6= − 32 thì r(A) = 4. 1.28. Nếu x = 1 thì r(A) = 1. Nếu x = −1 thì r(A) = 3. Nếu { x 6= 1 x 6= −1 thì r(A) = 4. 1.29. Nếu x = 2 thì r(A) = 1. Nếu x 6= 2 thì r(A) = 3. 1.30. x = 2. 2. Hệ phương trình 2.1. x = (4 3 , 20 9 , 25 9 ) . 2.2. x = (3− 3x4 + 2x5, 1,−2, x4, x5) với x4, x5 tùy ý. 2.3. x = (1, 3 + x4, 2 + 2x5, x4, x5) với x4, x5 tùy ý. 2.4. x = (−9− 17x4, 7 + 11x4, 1 + 3x4, x4) với x4 tùy ý. 2.5. x = (−64, 43, 4,−2). 2.6. a) λ 6= 5. b) x = (52 39 , 28 39 ,− 46 39 ) . 2.7. x = (4− 3x4, 1− x4, 0, x4) với mọi λ. 2.8. Nếu α = −2 hệ phương trình có nghiệm là x = (21− 10x3 − x4,−12 + 7x3, x3, x4) với x3, x4 tùy ý. Nếu α 6= −2 hệ phương trình có nghiệm là x = (21− 10x3,−12 + 7x3, x3, 0) với x3 tùy ý. 2.9. Hệ có nghiệm với mọi λ, x = (10− λ 2 , 10− λ 2 , λ− 6 2 ) với mọi λ. 2.10. Với λ = 14 thì hệ có nghiệm và nghiệm là x = (−28 + 17x4 + 14x5, 25− 14x4 − 11x5, 6− 2x4 − 2x5, x4, x5) với x4, x5 tùy ý. 2.11. a) λ = 5. b) x = (−5x3 − 8x4,−7x3 − 13x4, x3, x4) với x3, x4 tùy ý. 2.12. a) λ = 7. b) x = ( − x3 + 17x4,−x3 + 12 7 x4, x3, x4 ) với x3, x4 tùy ý. 2.13. x = (λ+ 26 λ+ 2 + 3 2x3, 2λ− 36 λ+ 2 − 7 2x3, x3, −8 λ+ 2 ) với x3 tùy ý. 2.14. x = (26λ− 221 11(λ− 8) − 10 11x3, −3λ+ 20 11(λ− 8) + 13 11x3, x3, 1 λ− 8 ) với x3 tùy ý. 2.15. x ( − λ4 , λ 4 , λ 4 , λ 4 ) . 2.16. Nếu λ 6= 19 thì hệ vô nghiệm. Nếu λ = 19 thì hệ có nghiệm x = (4− 70x4,−1 + 55x4,−6x4, x4) với x4 tùy ý. 3. Không gian tuyến tính 3.1. Hãy chỉ ra rằng x = 2a1 + 2a2 + a3. 3.2. Hãy chỉ ra rằng x = 6α3 + 27 a1 + 5α3 + 11 7 a2 + α3a3 với α3 ∈ R tùy ý. Nói riêng, nếu chọn α3 = 2 thì x = 2a1 + 3a2 + 2a3. 3.3. x = −4α3 + 75 a1 + −7α3 + 1 5 a2 + α3a3 với α3 ∈ R tùy ý. 3.4. a4 = (1 − α4)a1 + (2 − 2α4)a2 + (α4 − 1)a3 + α4a4 với α4 ∈ R tùy ý. 3.5. a4 = (1 − α4)a1 + (α4 − 1)a2 + (2 − 2α4)a3 + α4a4 với α4 ∈ R tùy ý. 3.6. λ = −5. 3.7. λ = 7. 3.8. λ ∈ R tùy ý. 3.9. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ {a1, a2, a3} có hạng bằng 3 (có định thức khác 0). b) x = −76a1 − 11 6 a2 + 1 2a3. 3.10. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ {a1, a2, a3} có hạng bằng 3. b) Phần tử x không có biểu diễn tuyến tính trên hệ {a1, a2, a3}. 3.11. a) λ 6= 2. b) x = a1 + a2 + a3. 3.12. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ {a1, a2, a3} có hạng bằng 3. b) Hệ {a1, a2, a3} là một cơ sở của R3. 3.13. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 14 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ {a1, a2, a3, a4} có hạng bằng 4. b) Hệ {a1, a2, a3, a4} là một cơ sở của R4. 3.14. a) Hệ {a1, a2, a3, a4} độc lập tuyến tính. b) Hệ {a1, a2, a3, a4, b} phụ thuộc tuyến tính. 3.15. Không tồn tại λ để hệ {a1, a2, a3} phụ thuộc tuyến tính. 3.16. a) λ = 1. b) a2 = 2a1 − a3. 3.17. [x]a = (1, 3, 2). 3.18. [x]a = (92 35 , 89 35 ,− 23 35 , 8 5 ) . 3.19. λ = 1. 3.20. λ = −4. 3.21. λ = 5. 3.22.M là một không gian con của R3 và dimM = 2. N không phải là không gian con của R3. 3.23. Phân tích để đi đến việc lựa chọn ba phần tử thích hợp của M và chỉ ra chúng tạo thành một hệ vừa là hệ sinh của M vừa là hệ độc lập tuyến tính. dimM = 3. 3.24. Tương tự bài 3.24. 3.25. [x]b = ( − 2, 97 , 15 7 ) . 3.26. [x]b = (7 4 , 37 16 ,− 11 8 ) . 3.27. [x]b = ( − 7973 , 60 73 , 8 73 ) . 3.28. [x]b = ( − 3119 , 27 19 , 1 19 ) . 3.29. Tba = − 149 −17 −5 85 13 −11 9 −6 −10 . 3.30. Tba = 140  6 5 −13−2 5 11 10 −5 5 . 3.31. Tab = −1 8 −4−1 31 −13 2 −22 10 . 3.32. Tab = 15 −14 14 13−16 11 7 17 −12 −14 . 3.33. Tba = 197  68 132 19−27 56 11 65 −45 31 . 4. Ánh xạ tuyến tính 4.1. a) Sinh viên tự giải. b) A = 1 2 −11 −1 2 2 −1 −1 . 4.2. a) Sinh viên tự giải. b) A = 2 −1 −1 11 1 −2 1 1 0 −1 1 . 4.3. a) α = 0. b) A = 3 −2 11 1 1 1 0 −1 . 4.4. a) A = 2 −1 21 2 −1 3 4 −1 . b) B = − 116 120 −192 12011 −52 −4 −89 92 −116 . 4.5. a) Sinh viên tự giải. b) B =  2 12 546 2 −2 −4 −4 3 . 4.6. a) A = 2 1 −33 −2 −1 1 3 −2 . b) x = (1, 1,−1). 4.7. a) A = 1 1 0 −13 −2 1 0 1 0 1 −2 . b) x = (1, x4, 2x4 − 3, x4) với x4 tùy ý. 4.8. a) x = (1, 2,−1). b) x = −3u = (−6, 3,−6). 4.9. a) A = 3 1 21 3 2 3 3 5 . b) Hãy chỉ ra rằng f(a1) = 8a1, f(a2) = a2, f(a3) = 2a3 và sử dụng chúng. 4.10. a) A =  1 −2 1−2 −2 2 −5 −10 7 . b) λ = 2, x = x1(1, 0, 1) + x2(0, 1, 2) với x21 + x22 6= 0. 4.11. a) A =  3 −1 2 1 0 3 −1 6 0 0 3 5 0 0 0 3 . b) λ = 3, x = x1(1, 0, 0, 0) với mọi x1 6= 0. 4.12. a) A =  2 0 0 0 −3 2 0 0 5 −1 2 0 2 −1 4 2 . b) λ = 2, x = x4(0, 0, 0, 1) với mọi x4 6= 0. 4.13. a) A =  3 1 11 3 1 −1 1 1 . b) λ = 1, x = x2(1, 1,−3) với mọi x2 6= 0; λ = 2, x = x1(1, 0,−1) với mọi x1 6= 0; λ = 4, x = x2(1, 1, 0) với mọi x2 6= 0. 4.14. a) A =  3 −1 2−1 3 −2 1 1 1 . b) λ = 1, x = x1(1, 1,− 32 ) với mọi x1 6= 0; λ = 2, x = x3(− 12 , 32 , 1) với mọi x3 6= 0; λ = 4, x = x2(−1, 1, 0) với mọi x2 6= 0. c) Ứng với λ = 1 chọn véc tơ riêng a1 = (2, 2,−3) (gán x1 = 2); ứng với λ = 2 chọn véc tơ riêng a2 = (−1, 2, 3) (gán x3 = 2); ứng với λ = 4 chọn véc tơ riêng a3 = (−1, 1, 0) (gán x2 = 1). 4.15. λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−2, 0, 1) với mọi x22+x23 6= 0; λ = 9, x = x1(1, 1, 3) với mọi x1 6= 0. 4.16. λ = 0, x = x3(−1,−1, 1) với mọi x3 6= 0; λ = 1, x = x3(0, 1, 1) với mọi x3 6= 0; λ = 3, x = x2(1, 1, 2) với mọi x2 6= 0. 4.17. λ = 0, x = x1(1, 1,−2) với mọi x1 6= 0; λ = 2, x = x1(1,−1, 0) với mọi x1 6= 0; λ = 5, x = x3(2, 2, 1) với mọi x3 6= 0. 4.18. λ = −1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−1, 0, 1) với mọi x22+x23 6= 0; λ = 5, x = x1(1, 1, 1) với mọi x1 6= 0. 4.19. λ = 1, x = x1(1, 1,− 32 ) với mọi x1 6= 0; λ = 2, x = x3(−3, 1, 1) với mọi x3 6= 0; λ = 5, x = x3(1, 1, 1) với Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 15 mọi x3 6= 0. 4.20. λ = 2, x = x1(1, 0, 0, 0) với mọi x1 6= 0; λ = −2, x = x1(1,−4, 0, 0) với mọi x1 6= 0; λ = 3, x = x2(6, 1, 52 , 0) với mọi x2 6= 0; λ = −3, x = x3( 65 , 16, 1,−6) với mọi x3 6= 0. 4.21. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = 1 (bội n1 = 2), λ2 = 4 (bội n2 = 1). Ứng với λ1 = 1 ta có r(A− λ1I) = 2 6= n− n1 = 3− 2 = 1. 4.22. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = 1 (bội n1 = 2), λ2 = 6 (bội n2 = 1). Hãy chỉ ra rằng r(A − λ1I) = n− n1 và r(A− λ2I) = n− n2 (ở đây n = 3). 4.23. Ma trận A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = 2, λ2 = 4, λ3 = 11 nên A chéo hóa được. Biến đổi đồng dạng đưa A về ma trận chéo có thể lựa chọn là T−1AT = 2 0 00 4 0 0 0 11  với T =  1 −1 2−4 −2 4 1 1 5  . 4.24. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = −1 (bội n1 = 2), λ2 = −3 (bội n2 = 1). Chỉ ra ma trận A chéo hóa được bằng cách xây dựng một cơ sở gồm 3 véc tơ riêng của A. Biến đổi đồng dạng đưa A về ma trận chéo có thể lựa chọn là T−1AT = −3 0 00 −1 0 0 0 −1  với T =  1 2 1−1 1 0 1 0 1  . 4.25. a) λ = 1, x = x1(1, 2,−2) với mọi x1 6= 0; λ = 2, x = x1(1, 5,−3) với mọi x1 6= 0; λ = 5, x = x1(1, 2, 0) với mọi x1 6= 0. b) Lựa chọn một cơ sở của R3 gồm 3 véc tơ riêng ứng với A, chẳng hạn là a1 = (1, 2,−2), a2 = (1, 5,−3), a3 = (1, 2, 0). Từ đó khẳng định được A là ma trận chéo hóa được. Biến đổi đồng dạng đưa A về ma trận chéo tương ứng với việc lựa chọn {a1, a2, a3} là T−1AT = 1 0 00 2 0 0 0 5  với T =  1 1 12 5 2 −2 −3 0  . 4.26. a) λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−1, 0, 1) với mọi x22+x23 6= 0; λ = 7, x = x3(1, 1, 1) với mọi x3 6= 0. b) Tương tự bài 4.24. 4.27. a) λ = 1, x = x1(1, 1,− 32 ) với mọi x1 6= 0; λ = 2, x = x1(1,−1, 0) với mọi x1 6= 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 2) với mọi x1 6= 0. b) Tương tự bài 4.25. 4.28. a) λ = 1, x = x1(1, 1,−1) với mọi x1 6= 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 52 ) với mọi x1 6= 0. b) Ma trận A không chéo hóa được (tương tự bài 4.21). 4.29. a) λ = 2, x = x1(1, 1,−1) với mọi x1 6= 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 1) với mọi x1 6= 0. b) Ma trận A không chéo hóa được (tương tự bài 4.21). 5. Không gian Euclid 5.1. x = ±17(2,−2,−5, 4). 5.2. u4 = ±15(−2, 1,−4, 2). 5.3. u4 = ±16(1,−5,−1, 3). 5.4. Cách 1: Chứng minh rằng nếu x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì x = x4(1, 1, 1, 1) và ta tính được trực tiếp 〈x, u4〉 = 0. Cách 2: Chỉ ra u4 có dạng u4 = λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 nên khi x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta có 〈x, u4〉 = λ1〈x, u1〉 + λ2〈x, u2〉 + λ3〈x, u3〉 = 0. 5.5. Tương tự bài 5.4. 5.6. λ = 3, µ = 1. 5.7. λ = − 641 , µ = 37 41 . 5.8. x = ± 1√ 20 (3,−1, 3, 1). 5.9. x = ±12(1,−1, 1, 1). 5.10. x = ±18(5, 2, 3, 5, 1). 5.11. x = ±18(3,−7, 2, 1, 1). 5.12. x = ±18(1, 3,−4, 1, 6, 1). 5.13. u = (4,−1, 3, 9), v = (2, 2, 1,−1). 5.14. u = (3, 1,−5, 3), v = (−2,−1,−2,−1). 5.15. u = (4, 3,−4, 5), v = (2, 3,−2,−5). 5.16. u = (3,−3,−5, 3), v = (1, 2, 0, 1). 5.17. u = (3, 4, 0, 0,−10), v = (2, 1, 1,−2, 1). 5.18. x = 2u1 + 2u2 = (4,−4, 4, 0) hoặc x = −(u1 + u2) = (−2, 2,−2, 0). HD: Từ giả thiết chúng ta có 〈u1, u1〉 = 18, 〈u1, u2〉 = −9, 〈u2, u2〉 = 18. Nếu x là phần tử cần tìm thì x = λ1u1 + λ2u2. Chỉ ra rằng ‖x − u1‖2 = 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22 và đối chiếu với giả thiết ‖x − u1‖ = 6 ta có phương trình 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 +18λ22 = 36. Tiếp theo từ giả thiết ‖x−u2‖ = 6 ta có phương trình 18λ21−18λ1(λ2−1)+18(λ2− 1)2 = 36. Giải hệ hai phương trình được đưa ra ta thu được hai nghiệm λ1 = λ2 = 2 và λ1 = λ2 = −1. 5.19. x = 3u1 + 3u2 = (6,−12,−6, 6) hoặc x = −2u1 − 2u2 = (−4, 8, 4,−4). 5.20. x = 4u1 + 4u2 = (0,−6,−6, 0) hoặc x = −2u1 − 2u2 = (0, 4, 4, 0). 5.21. x = 3u1 + 3u2 = (3, 3, 6, 0, 12) hoặc x = −2u1 − 2u2 = (−2,−2,−4, 0,−8). 5.22. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 = (1,−1, 1, 0) và a4 = (−1, 0, 0, 1). b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − 23u1, u3 = a3, u4 = a4 + 1 3u3. Sau đó chuẩn hóa các phần tử u1, u2, u3, u4. 5.23. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 = (11,−7, 1, 0) và a4 = (−11, 6, 0, 1). b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − 115u1, u3 = a3, u4 = a4 + 163 171u3. Sau đó chuẩn hóa các phần tử u1, u2, u3, u4. 5.24. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 = (3,−5, 1, 0) và a4 = (−4, 5, 0, 1). b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2+ 2 7u1, u3 = a3, u4 = a4+ 37 35u3. Sau đó chuẩn hóa các phần tử u1, u2, u3, u4. 5.25. a) λ = −16 , µ = − 7 3 . b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − 815u1, u3 = b. 5.26. a) α = −43 , γ = − 1 3 . b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − 13u1, u3 = b. 5.27. a) λ1 = −2, λ2 = −1. b) Hệ trực chuẩn: u1 = 1 6(1, 3, 1, 5), u2 = 1 6(3,−1, 5,−1), u3 = 16 (5, 1,−3,−1). Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 16 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ 5.28. a) λ1 = −7, λ2 = 2. b) Hệ trực chuẩn: u1 = 1 7(2, 4, 2, 5), u2 = 1 7(4,−2, 5,−2), u3 = 17 (−2,−5, 2, 4). 5.29. Cơ sở trực chuẩn: u1 = 1 3(2, 1,−2), u2 = 1 3(2, 2,−1), u3 = 13 (−1, 2, 2). Tọa độ của x trên cơ sở {u1, u2, u3} là [x]u = (5, 1, 3). 5.30. Cơ sở trực chuẩn: u1 = 1√3 (1, 0, 1,−1), u2 = 1√ 3 (0, 1, 1, 1), u3 = 1√ 3 (1,−1, 0, 1), u4 = 1√3 (1, 1,−1, 0), Tọa độ của x trên cơ sở {u1, u2, u3, u4} là [x]u = ( 0, 13√ 3 , 5√ 3 ,− 2√ 3 ) . 5.31. a) Sinh viên tự giải. b) Tọa độ của x trên cơ sở {u1, u2, u3} là [x]u = (48 7 , 11 7 ,− 5 7 ) . 5.32. x24 = 121 9 . 5.33. x24 = 361 49 . 5.34. Có thể lựa chọn một cơ sở thông thường {e1, e2} của M với e1 = (2, 1,−2, 0, 1), e2 = (−9,−8, 12, 5, 0). Trực chuẩn hóa hệ {e1, e2} ta thu được một cơ sở trực chuẩn {w1, w2} của M với w1 = 1√ 10 (2, 1,−2, 0, 1), w2 = 18(1,−3, 2, 5, 5). 5.35. a) Sinh viên tự giải. b) Thực hiện tương tự bài 5.34. 5.36. (x, y, z) = ±13(2,−1, 2). 5.37. (x, y, z, t) = ±(1, 1, 1, 1). 5.38. Bước 1: Chỉ ra hệ {u1, u2} là hệ trực chuẩn nên tồn tại cơ sở trực chuẩn của R4 chứa hệ {u1, u2}. Bước 2: Xét tất cả các véc tơ x ∈ R4 sao cho x ⊥ u1, x ⊥ u2 và chỉ ra x = (x4, x3, x3, x4). Chọn a1 = (1, 1, 1, 1) ứng với việc gán x3 = x4 = 1 thì a1 ⊥ u1, a1 ⊥ u2. Tiếp theo chọn x = (x4, x3, x3, x4) sao cho x ⊥ a1 và ta thu được x = a2 = (1,−1,−1, 1). Chuẩn hóa hệ {a1, a2}: u3 = a1‖a1‖ , u4 = a2 ‖a2‖ thì hệ {u1, u2, u3, u4} chính là cơ sở trực chuẩn cần xây dựng. 5.39. Tương tự bài 5.38. 5.40. Biến đổi đồng dạng đưa ma trận A về ma trận đường chéo và ma trận trực giao được lựa chọn để sử dụng tương ứng là T−1AT = 1 0 00 1 0 0 0 13  và T = 1√ 6  √3 √2 1−√3 √2 1 0 −√2 2  . 6. Một số bài tập nâng cao 6.1. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 6.2. Sử dụng các biến đổi sơ cấp để rút nhân tử chung (a+b+c) ra ngoài định thức ba lần để thu được (a + b + c)3 bên ngoài định thức. Sau đó khai triển định thức sẽ thu được nhân tử còn lại của vế phải là 2abc. 6.3. detA = (a2 + b2 + c2 + d2)2. HD: Thực hiện phép nhân ma trận ATA. Sử dụng kết quả phép nhân để thu được (detA)2 = (a2+b2+c2+d2)4 và suy ra rằng detA = k(a2 + b2 + c2 + d2)2 với k2 = 1. Thay b = c = d = 0 vào hai vế đẳng thức này để khẳng định k = 1. 6.4. D = ( 1 + x a1 − x + x a2 − x + . . .+ x an − x ) ∏ 1≤i≤n (ai − x) nếu x 6= ai với mọi i = 1, 2, . . . , n. Nếu x = ai, i = 1, 2, . . . , n thì D = x(a1 − x) . . . (ai−1 − x)(ai+1 − x) . . . (an − x). 6.5. Tính toán trực tiếp. 6.6. Đặt A = (aij)m×n. Khi đó kết quả phép nhân hàng i của A và cột i của AT chính là a2i1 + a2i2 + . . .+ a2in. Nếu tổng này bằng 0 thì tất cả phần tử trên hàng thứ i của A là 0. 6.7. a) Sinh viên tự giải. b) A2011 = ( 2.32011 − 22011 22011 − 32011 2.32011 − 22012 22012 − 32011 ) 6.8. Sử dụng AA∗ = (detA)I để đưa ra đẳng thức detA detA∗ = (detA)n. 6.9. Sử dụng đẳng thức I − A4 = (I − A)(I + A)(I + A2) để chứng minh det(I +A) 6= 0. 6.10. Đặt B = I + A3 thì A2 + A5 = A2B và A2B = BA2. Do đó (A2B)5 = A10B5 = θ và ta phân tích được tương tự bài 6.9. 6.11. Chỉ ra detA 6= 0 và sử dụng đẳng thức (BA)10 = A−1(AB)10A. 6.12. Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt là λ1, λ2, λ3 thì các giá trị riêng của A3 là λ31, λ32, λ33 và là ba số thực phân biệt. 6.13. Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt là λ1, λ2, λ3 thì các giá trị riêng của A5 − A4 + 4A là f(λ1), f(λ2), f(λ3) với f(x) = x5− x4+ x. Do f(x) đồng biến nên f(λ1), f(λ2), f(λ3) là ba số thực phân biệt. 6.14. Nếu A có các giá trị riêng thực là λ1, λ2, . . . , λn > 0 thì ma trận A3 + 3A − 5A−1 có các giá trị riêng là f(λ1), f(λ2), . . . , f(λn) với f(x) = x3 + 2x − 3x−1. Do f(x) đồng biến trên (0,+∞) nên f(λ1), f(λ2), . . . , f(λn) là n giá trị riêng phân biệt. 6.15. det(A3 + 3A) = 2280. 6.16. detB = 181002(21002 − 1)(31002 − 1)2. 6.17. D = n!. HD: Cộng hàng 1 vào các hàng 2, 3, . . . , n, ta thu được định thức tam giác. 6.18. D = 1. HD: Ký hiệu định thức là Dn. Bước 1, biến đổi định thức theo thứ tự sau: lấy hàng n trừ hàng (n− 1), hàng (n− 1) trừ hàng (n− 2), . . ., lấy hàng 2 trừ hàng 1. Lấy kết quả thu được khai triển theo cột 1. Bước 2, biến đổi định thức theo thứ tự sau: lấy cột (n− 1) trừ đi cột (n− 2), lấy lấy cột (n− 2) trừ đi cột (n − 3), . . ., lấy cột 2 trừ cột 1. Đến đây ta thu được Dn−1, nghĩa là Dn = Dn−1. 6.19. Hãy chỉ ra trace(AB) = trace(BA) với mọi A,B vuông cùng cỡ. Từ đó chỉ ra được trace(AB−BA) = 0 6= trace(I) = n nên AB −BA 6= I. 6.20. Hãy chỉ ra rằng nếu M là ma trận vuông và r(M) = 1 thì M2 = (trace(M))M , sau đó sử dụng trace(AB −BA) = 0. 6.21. Hãy chỉ ra rằng r(AB) = 2 và (AB)2 = 9AB. Sử dụng r(AB) = 2 để chỉ ra r(BA) ≥ r((AB)2) = 2 và khẳng định được BA là ma trận khả nghịch. Sử dụng (AB)2 = 9AB để chỉ ra (BA)3 = 9(BA)2. Nhân (BA)−2 vào hai vế đẳng thức (BA)3 = 9(BA)2 thì thu được kết quả. 6.22. Nếu x = 0 thì det(xA+ yB) = det(yB) = y3 detB = 0. Nếu x 6= 0 thì det(xA + yB) = x3P (t) trong đó t = yx và P (t) = det(A + tB) là đa thức bậc 3. Theo giả thiết P (0) = P (1) = P (−1) = 0 nên P (t) phải có dạng P (t) = αt(t2−1) với α là hằng số. Tiếp theo α = lim t→∞ 1 t3 P (t) = lim t→∞det( 1 t A+B) = detB = 0. Từ đó ta có P (t) = 0 với mọi t. 6.23. Tương tự bài 6.10. 6.24. n = 2013. HD: ĐặtM = ( 1 −1 1 −1 ) thì phương được cho là X2015+Xn = 2I +4028M . Chỉ ra X thỏa mãn phương trình MX = XM và giải phương trình này để thu được X = αI +βM với α, β ∈ Z. Sử dụng M2 = θ để chỉ ra X2015 + Xn = (α2015 + αn)I + Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 17 (2015α2014 + nαn−1)βM . Từ đó quy về hệ phương trình{ α2015 + αn = 2 (2015α2014 + nαn−1)β = 2048 Chỉ ra α là ước của 2 để giải phương trình thứ nhất và tính ra nghiệm α = 1. Thay α = 1 vào phương trình thứ hai thì thu được (2015 + n)β = 4048. Dựa vào n+ 2015 là ước số của 4048 ta khẳng định được n+2015 = 4048 và suy ra β = 1. Từ đó ta tính được n = 2013 và hơn nữa tính được X = ( 2 −1 1 0 ) . MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu một số mẫu đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính. Để có sự chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý các điểm sau: 1. Sinh viên học ĐSTT 2 tín chỉ chỉ làm bốn câu đầu tiên. Thời gian làm bài đối với mỗi đề thi là 70 phút. 2. Sinh viên học ĐSTT 3 tín chỉ chỉ làm cả 5 câu. Thời gian làm bài đối với mỗi đề thi là 90 phút. 3. Không được mang tài liệu trong phòng thi. Không mang điện thoại vào phòng thi. 4. Mang thẻ sinh viên khi đi thi, mang máy tính (nếu cần) để sử dụng trong giờ thi. 5. Sinh viên không được nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi cùng bài làm khi hết giờ làm bài. ĐỀ SỐ 1 Bài 1. Cho ma trận A = (−3 5 −2 3 ) . a) Tính A215. b) Tính det(A512 + 4A215 + 2A251). Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình x1 − x2 + 2x3 − x4 = 4 2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = 2 4x1 − x2 + 7x3 + λx4 = 8 Bài 3. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với a1 = (1, 1, 3,−2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2). a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến tính. b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 0, 4,−2) qua hệ {a1, a2, a3}. Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (3x1+x2+2x3, 2x1+2x2−3x3, 3x1+x2−x3) với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. Hãy tìm ma trận của f trên cơ sở {a1, a2, a3} của R3 với a1 = (2, 1, 4), a2 = (1,−1, 1), a3 = (2, 2, 1). Bài 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1, u2, u3, u4} với u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1,−1), u3 = (3, 2,−1, 3), u4 = (5, 2, 5,−4). Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4. ĐỀ SỐ 2 Bài 1. Tính hạng ma trận sau theo x A = x 3 3 x3 x x x x x x x  . Bài 2. Giải hệ phương trình 3x1 − x2 + 5x3 − x4 = 3 2x1 + x2 + x3 + 4x4 = 6 2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = 2 Bài 3. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1,−1), a2 = (2, 1, 3) a3 = (1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2). Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính có thể có của a4 trên hệ {a1, a2, a3, a4}. Bài 4. Cho ma trận A = 3 1 −11 3 −1 5 4 −5  . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT . Bài 5. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (2, 4,−5, 6) và cho M là không gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (2, 1, 3,−1), u2 = (1,−1, 1, 2). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ M⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u+ v. ĐỀ SỐ 3 Bài 1. Cho hai ma trận A = 1 2 22 3 −2 1 1 1  , B =  1 5 3−1 3 1 2 −1 2  . a) Tính nghịch đảo của ma trận A. b) Giải phương trình AX = B. Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 5 3x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4 = 8 6x1 + 10x2 + λx3 + 5x4 = 15 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018 18 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ Bài 3. Trong không gian tuyến tính R4 cho không gian con M = {(x1, x2, x3, x4)|x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 0} và phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1). Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của w trên cơ sở được đưa ra. Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (4x1+3x2−3x3, x1−2x2−3x3, x1+3x2+2x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 b) Xác định x ∈ R3 để f(x) = f(2,−1, 3). Bài 5. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không gian R3 từ cơ sở đã cho sau đây: a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10,−1); a3 = (2, 7, 3). Tính tọa độ của phần tử x = (1, 8, 9) trên cơ sở nhận được. ĐỀ SỐ 4 Bài 1. Cho hai ma trận A =  2 1 13 −2 1 −2 1 2  , B = 1 2 33 −2 1 1 4 −2  . a) Tính det(2A3B2 + 3A2B3). b) Tính hạng của ma trận A+ 2B. Bài 2. Cho hệ phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 4 3x1 + x2 − x3 − 2x4 = 6 2x1 − 4x2 + x3 − 2x4 = 5 2x1 + 6x2 − x3 + x4 = λ Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm được. Bài 3. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với a1 = (2, 1,−1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2). Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). Bài 4. Cho ma trận A = 3 −1 21 1 2 3 −1 5  . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT . Bài 5. Trong không gian Euclid R4, cho các véc tơ u = (3,−2,−2, 11), v1 = (2,−1, 3, 3), v2 = (1, 1,−1, 2). a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1+µv2 trực giao với các véc tơ v1, v2. b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo thủ tục Gram–Schmidt. ĐỀ SỐ 5 Bài 1. Giải phương trình∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x 1 1 x x x x x x 2 x 2 2 2 x x ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. Bài 2. Giải hệ phương trình x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 11 3x1 + x2 + 3x3 − 9x4 − 2x5 = 14 2x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5 = 13 Bài 3. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (3, 10,−2, 3) trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R4: a1 = (1, 1,−1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1); a3 = (−1, 2,−2, 1); a4 = (1, 1, 1,−1). Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f(x) = (4x1+x2−x3, 2x1+3x2−x3,−x1−3x2+2x3), với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới {a1, a2, a3} của R3 với a1 = (1, 1, 4), a2 = (3,−1, 5), a3 = (−1,−1, 1) là một ma trận đường chéo. Bài 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = 15(4, 2, 1, 2), u2 = 1 5(−1, 2, 4,−2), u3 = 1 5(2,−4, 2,−1). Hãy xác định tất cả các giá trị có thể có của u4. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 9 năm 2018