Bài tập hình học không gian 11

T ra àn Só Tuøn g www.mathvn.com www.MATHVN.com 9 CHÖÔ NG II: ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚN G TRONG KHOÂ NG GI AN QUAN H EÄ SO NG SONG I. ÑÖÔØ NG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRON G KHOÂ NG G IAN 1. Xa ùc ñònh mo ät ma ët ph aúng  Ba ñieåm khoâng thaúng haøng thuoäc maët phaúng. (mp(AB C), (ABC))  Moät ñieåm vaø moät ñöôøng thaúng khoâng ñi qua ñieåm ñoù thuoäc maët phaúng. (mp( A,d))  Hai ñöôøng thaúng caét nhau thuoäc maët phaúng. (mp (a, b )) 2. M oät soá qui taéc veõ hì nh bieåu dieãn cu ûa h ình kho âng g ian  Hình bieåu dieãn cuûa ñöôøng thaúng laø ñöôøng thaúng, cuûa ñoaïn thaúng laø ñoaïn thaúng.  Hình bieåu dieãn cuûa hai ñöôøng thaúng song song laø hai ñöôøng thaúng song song, cuûa hai ñöôøng thaúng caét nhau laø hai ñöôøng thaúng caét nhau.  Hình bieåu dieãn phaûi giöõ nguyeân quan heä thuoäc giöõa ñieåm vaø ñöôøng thaúng.  Ñöôøng nhìn thaáy veõ neùt lieàn, ñöôøng bò che khuaát veõ neùt ñöùt. VAÁN ÑEÀ 1: Tì m g iao tuyeán cu ûa hai ma ët pha úng Muo án tì m g iao tu yeán cuûa hai maët pha úng ta coù theå tì m ha i ñi eåm chung pha ân b ieät cuûa hai ma ët phaúng . Khi ño ù gi ao tuyeá n l aø ñöô øng thaún g ñ i qua hai ñi eåm chung ñoù. 1. Cho hình choùp S.ABCD. Ñaùy ABCD coù AB caét CD taïi E, AC caét BD taïi F. a) Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (SAB) vaø (SCD), (SAC) vaø (SBD). b) Tìm giao tuyeán cuûa (SEF) vôùi caùc maët phaúng (SAD), (SBC). 2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh taâm O. M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CD, SO. Tìm giao tuyeán cuûa mp(MNP) vôùi caùc maët phaúng (SAB), (SAD), (SBC) vaø (SCD). 3. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC. K laø moät ñieåm treân caïnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyeán cuûa mp(IJK) vôùi (ACD) vaø (ABD). 4. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC. a) Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng (IBC) vaø (JAD). b) M laø moät ñieåm treân caïnh AB, N laø moät ñieåm treân caïnh AC. Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng (IBC) vaø (DMN). 5. Cho töù dieän (ABCD). M laø moät ñieåm beân trong ABD, N laø moät ñieåm beân trong ACD. Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (AMN) vaø (BCD), (DMN) vaø (ABC). VAÁN ÑE À 2: Tìm gi ao ñie åm cuûa ñöôø ng th aúng va ø maët p haúng Muo án tì m giao ñi eåm cuûa moät ñöô øng tha úng vaø mo ät maët pha úng ta coù theå tì m giao ñi eåm cu ûa ñöô øng tha úng ñoù vô ùi moät ñöô øng t haúng na èm t rong ma ët phaúng ña õ cho . 1. Cho töù dieän ABCD. Treân AC vaø AD laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho MN khoâng song song voùi CD. Goïi O laø moät ñieåm beân trong BCD. a) Tìm giao tuyeán cuûa (OMN) vaø (BCD). b) Tìm giao ñieåm cuûa BC vaø BD vôùi maët phaúng (OMN). 2. Cho hình choùp S.ABCD. M laø moät ñieåm treân caïnh SC. a) Tìm giao ñieåm cuûa AM vaø (SBD). www.mathvn.com T raàn Só Tuøn g 10 b) Goïi N laø moät ñieåm treân caïnh BC. Tìm giao ñieåm cuûa SD vaø (AMN). 3. Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC. K laø moät ñieåm treân caïnh BD vaø khoâng truøng vôùi trung ñieåm cuûa BD. Tìm giao ñieåm cuûa CD vaø AD vôùi maët phaúng (MNK). 4. Cho töù dieän ABCD. M, N laø hai ñieåm laàn löôït treân AC vaø AD. O laø moät ñieåm beân trong BCD. Tìm giao ñieåm cuûa: a) MN vaø (ABO). b) AO vaø (BMN). HD: a) Tìm giao tu yeán cu ûa (A BO) vaø (ACD). b) Tìm giao tu yeán cu ûa (B MN) vaø (ABO) . 5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang, caïnh ñaùy lôùn AB. Goïi I, J, K laø ba ñieåm laàn löôït treân SA, AB, BC. a) Tìm giao ñieåm cuûa IK vôùi (SBD). b) Tìm caùc giao ñieåm cuûa maët phaúng (IJK) vôùi SD vaø SC. HD: a) Tìm giao tu yeán cu ûa (S BD) vôùi (IJK). b) Tìm giao tu yeán cu ûa (IJK ) vôùi (SB D va ø (SC D). VAÁN Ñ EÀ 3: Chöù ng minh ba ñi eåm thaún g h aøng, b a ñöô øng thaúng ñ oàng q ui  Mu oán chö ùng minh ba ñ ieåm tha úng ha øng ta coù theå chö ùng minh chu ùng cuøng th uoä c hai ma ët pha úng phaân bi eät.  Muo án chöùng min h ba ñöô øng thaúng ño àng qui ta coù theå chöùn g min h giao ñi eåm cuûa hai ñöô øng tha úng naø y laø ñieå m chung cu ûa ha i maët phaúng ma ø gi ao tuyeán la ø ñ öôøng th aúng thö ù ba . 1. Cho hình choùp S.ABCD. Goïi I, J laø hai ñieåm coá ñònh treân SA vaø SC vôùi SI > IA vaø SJ < JC. Moät maët phaúng (P) quay quanh IJ caét SB taïi M, SD taïi N. a) CMR: IJ, MN vaø SO ñoàng qui (O =ACBD). Suy ra caùch döïng ñieåm N khi bieát M. b) AD caét BC taïi E, IN caét MJ taïi F. CMR: S, E, F thaúng haøng. c) IN caét AD taïi P, MJ caét BC taïi Q. CMR PQ luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh khi (P) di ñoäng. 2. Cho maët phaúng (P) vaø ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng ôû ngoaøi (P). Giaû söû caùc ñöôøng thaúng BC, CA, AB laàn löôït caét (P) taïi D, E, F. Chöùng minh D, E, F thaúng haøng. 3. Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F, G laàn löôït laø ba ñieåm treân ba caïnh AB, AC, BD sao cho EF caét BC taïi I, EG caét AD taïi H. Chöùng minh CD, IG, HF ñoàng qui. 4. Cho hai ñieåm coá ñònh A, B ôû ngoaøi maët phaúng (P) sao cho AB khoâng song song vôùi (P). M laø moät ñieåm di ñoäng trong khoâng gian sao cho MA, MB caét (P) taïi A, B. Chöùng minh AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 5. Cho töù dieän SABC. Qua C döïng maët phaúng (P) caét AB, SB taïi B1, B. Qua B döïng maët phaúng (Q) caét AC, SC taïi C1, C. BB, CC caét nhau taïi O; BB1, CC1 caét nhau taïi O1. Giaû söû OO1 keùo daøi caét SA taïi I. a) Chöùng minh: AO1, SO, BC ñoàng qui. b) Chöùng minh: I, B1, B vaø I, C1, C thaúng haøng. VAÁN ÑEÀ 4: Xa ùc ñ ònh thieát dieän cuûa moät hì nh ch oùp v ôùi mo ät ma ët ph aúng Mu oán xaùc ñ ònh thi eát dieän cu ûa mo ät h ình cho ùp vô ùi maët phaúng (P) ta co ù theå la øm nhö sau:  Töø ñi eåm chung coù sa ün, xaù c ñ ònh g iao tuyeán ñaàu ti eân cuûa (P) vôùi mo ät maët cuûa hình choùp (coù th eå laø maë t pha úng trung gian ).  Ch o giao tu yeán na øy caét caù c ca ïnh cuûa maë t ñoù cuûa hình cho ùp, ta seõ ñöô ïc caùc ñi eåm chun g môùi cu ûa (P) vô ùi caù c ma ët kha ùc. Töø ño ù xaù c ñònh ñöô ïc caù c g iao tu yeán mô ùi vôùi caù c maët naø y.  T ieáp tuï c nhö t reân cho tôùi khi caù c g iao tu yeán kh eùp kín ta ñöôï c th ieát dieän. T ra àn Só Tuøn g www.mathvn.com www.MATHVN.com 11 1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, I laø ba ñieåm treân AD, CD, SO. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNI). 2. Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh baèng a. Keùo daøi BC moät ñoaïn CE=a. Keùo daøi BD moät ñoaïn DF=a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB. a) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (MEF). b) Tính dieän tích cuûa thieát dieän. HD: b ) 2 6 a 3. Cho hình choùp S.ABC. M laø moät ñieåm treân caïnh SC, N vaø P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNP). HD: T hi eát di eän la ø 1 ngu õ g iaù c. 4. Cho hình choùp S.ABCD. Trong SBC, laáy moät ñieåm M. Trong SCD, laáy moät ñieåm N. a) Tìm giao ñieåm cuûa MN vaø (SAC). b) Tìm giao ñieåm cuûa SC vôùi (AMN). c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (AMN). HD: a ) Tìm (SMN)(S AC) b ) Thi eát di eän laø töù gia ùc. 5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SB, SD vaø OC. a) Tìm giao tuyeán cuûa (MNP) vôùi (SAC), vaø giao ñieåm cuûa (MNP) vôùi SA. b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (MNP) vaø tính tæ soá maø (MNP) chia caùc caïnh SA, BC, CD. HD: b ) Thi eát di eän laø ngu õ g iaù c. Caù c tæ so á la ø: 1/3 ; 1 ; 1 . 6. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SB, G laø troïng taâm SAD. a) Tìm giao ñieåm I cuûa GM vôùi (ABCD). Chöùng minh (CGM) chöùa CD. b) Chöùng minh (CGM) ñi qua trung ñieåm cuûa SA. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (CGM). c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (AGM). HD: b ) Thi eát di eän laø töù gia ùc c) T ìm (AGM)(S A C). Th ieát dieän la ø töù giaù c. 7. Cho hình choùp S.ABCD, M laø moät ñieåm treân caïnh BC, N laø moät ñieåm treân caïnh SD. a) Tìm giao ñieåm I cuûa BN vaø (SAC) vaø giao ñieåm J cuûa MN vaø (SAC). b) DM caét AC taïi K. Chöùng minh S, K, J thaúng haøng. c) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (BCN). HD: a ) Goïi O=ACBD thì I=SOBN, J=AIMN b ) J la ø ñi eåm chung cuûa (SA C) va ø (S DM) c) No ái CI ca ét SA taïi P. Th ieát d ieän la ø töù gia ùc BCNP. 8. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang ABCD vôùi AB//CD vaø AB > CD. Goïi I laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) quay quanh AI caét caùc caïnh SB, SD laàn löôït taïi M, N. a) Chöùng minh MN luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. b) IM keùo daøi caét BC taïi P, IN keùo daøi caét CD taïi Q. Chöùng minh PQ luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh. c) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa IM vaø AN. HD: a ) Qua g iao ñi eåm cuûa AI va ø SO=(S AC)(SBD). b ) Ñi eåm A. c) Moä t ñ oaïn tha úng . www.mathvn.com T raàn Só Tuøn g 12 II. H A I ÑÖÔØ NG THAÚNG SON G SONG 1. Ñònh ngh óa , ( ) / / a b P a b a b       2. Tính chaát  Neáu ba maët phaúng ph aân bi eät caét nhau töøng ño âi mo ät theo ba giao tu yeán pha ân bieät thì ba gia o tuyeán aá y hoaëc ñ oàng qui hoa ëc ño âi mo ät son g song .  Neá u hai maët p haúng caé t nhau laàn löôï t ñi qua hai ñ öôøng tha úng song song th ì giao tuyeán cuûa chu ùng song s ong vôù i h ai ñ öôøng th aúng ño ù hoaë c t ruøng vôù i moät trong hai ñöôøn g t haúng ño ù.  Hai ñöô øng tha úng ph aân bieä t cuøn g song song vô ùi ñöô øng tha úng thö ù ba thì son g song vô ùi nhau . VAÁN ÑEÀ 1: Chö ùng min h h ai ñöô øng thaúng song song Phöông phaùp : Coù t heå söû du ïng 1 t rong ca ùc caù ch sau: 1. Chö ùng minh 2 ñ öôøng th aúng ño ù ñoàn g pha úng , roài aùp du ïng phöông pha ùp chöùng mi nh so ng song trong hì nh ho ïc pha úng (n hö tính cha át ñöô øng t rung bình , ñònh lí T aleùt ñaûo, … ) 2. Chö ùng minh 2 ñöô øng thaúng ño ù cu øng son g song vô ùi ñöôøng tha úng thö ù ba . 3. AÙp d uïng ñòn h lí veà giao tuyeán song song . 1. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC, ABD. Chöùng minh IJ//CD. 2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA vaø SB. a) Chöùng minh: MN // CD. b) Tìm giao ñieåm P cuûa SC vôùi (AND). Keùo daøi AN vaø DP caét nhau taïi I. Chöùng minh SI // AB // CD. Töù giaùc SABI laø hình gì? 3. Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N, P, Q, R, S laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD, BC, AD, AC, BD. a) Chöùng minh MNPQ laø hình bình haønh. b) Töø ñoù suy ra ba ñoaïn MN, PQ, RS caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn. 4. Cho tam giaùc ABC naèm trong maët phaúng (P). Goïi Bx, Cy laø hai nöûa ñöôøng thaúng song song vaø naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi (P). M, N laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân Bx, Cy sao cho CN = 2BM. a) Chöùng minh ñöôøng thaúng MN luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh I khi M, N di ñoäng. b) E thuoäc ñoaïn AM vaø EM = 1 3 EA. IE caét AN taïi F. Goïi Q laø giao ñieåm cuûa BE vaø CF. CMR AQ song song vôùi Bx, Cy vaø (QMN) chöùa 1 ñöôøng thaúng coá ñònh khi M, N di ñoäng. 5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M, N, P, Q laø caùc ñieåm laàn löôït naèm treân BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. a) Chöùng minh: PQ // SA. b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa MN vaø PQ. Chöùng minh: SK // AD // BC. c) Qua Q döïng caùc ñöôøng thaúng Qx // SC vaø Qy // SB. Tìm giao ñieåm cuûa Qx vôùi (SAB) vaø cuûa Qy vôùi (SCD). a b P T ra àn Só Tuøn g www.mathvn.com www.MATHVN.com 13 VAÁN ÑEÀ 2: Tì m g iao tuyeán cu ûa h ai ma ët pha úng Ph öông pha ùp:  Tì m moät ñieå m chung cu ûa ha i maët phaúng .  AÙp d uïng ñò nh lí veà giao tu yeán ñeå tì m p höông cu ûa g iao tu yeán . Gia o tuyeán seõ laø ñöôøng thaúng qua ñ ieå m chung vaø song song vôùi ñöô øng thaún g a áy. 1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BC vaø G laø troïng taâm cuûa SAB. a) Tìm giao tuyeán cuûa (SAB) vaø (IJG). b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (IJG). Thieát dieän laø hình gì? Tìm ñieàu kieän ñoái vôùi AB vaø CD ñeå thieát dieän laø hình bình haønh. 2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc SAB, SAD. M laø trung ñieåm cuûa CD. Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (IJM). 3. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi caùc ñaùy AD = a, BC = b. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc SAD, SBC. a) Tìm ñoaïn giao tuyeán cuûa (ADJ) vôùi maët (SBC) vaø ñoaïn giao tuyeán cuûa (BCI) vôùi maët (SAD). b) Tìm ñoä daøi ñoaïn giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (ADJ) vaø (BCI) giôùi haïn bôûi hai maët phaúng (SAB) vaø (SCD). HD: b ) 2 5 (a +b ). 4. Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh a. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC, BC. Goïi K laø moät ñieåm treân caïnh BD vôùi KB = 2KD. a) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (IJK). Chöùng minh thieát dieän laø hình thang caân. b) Tính dieän tích thieát dieän ñoù. HD: b ) 25 51 288 a 5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, taâm O. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu. Ngoaøi ra SAD = 900. Goïi Dx laø ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi SC. a) Tìm giao ñieåm I cuûa Dx vôùi mp(SAB). Chöùng minh: AI // SB. b) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi mp(AIC). Tính dieän tích thieát dieän. HD: b ) Ta m gia ùc AMC vôùi M laø trung ñieå m cuûa SD. Dieän tích 2 14 8 a www.mathvn.com T raàn Só Tuøn g 14 III. ÑÖÔ ØNG THAÚNG v aø M AËT PHAÚNG SON G SONG 1. Ñònh ngh óa d // (P)  d  (P) =  2. Tính chaát  Neá u ñöôøng tha úng d khoâng na èm tr eân maët pha úng (P ) va ø d song so ng vôù i ñöô øng tha úng d na èm trong (P ) th ì d song song vôù i (P ).  Neáu ñöô øng thaún g d song son g vôùi maë t pha úng (P) thì mo ïi maët pha úng (Q) chöùa d ma ø ca ét (P) th ì ca ét theo gia o tuyeán song s ong vôùi d.  Neá u ha i maë t phaún g caét nhau cuøng song song vôù i moä t ñö ôøng th aúng th ì giao tu yeán cuûa chuùng cuõng song song vô ùi ñöôøn g th aúng ño ù.  Neáu ha i ñö ôøng th aúng a va ø b cheùo nhau thì coù du y nh aát moä t maët pha úng chö ùa a va ø so ng song vôùi b. VAÁN ÑEÀ 1: Chö ùng minh ñöô øng tha úng so ng song v ôùi maët p haúng Phöông ph aùp : Ta chö ùng minh d kho âng na èm trong (P ) va ø song so ng vôùi moät ñöôøng tha úng d naøo ño ù na èm tron g (P). 1. Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng. a) Goïi O, O laàn löôït laø taâm cuûa ABCD vaø ABEF. Chöùng minh OO song song vôùi caùc maët phaúng (ADF) vaø (BCE). b) M, N laø 2 ñieåm laàn löôït treân hai caïnh AE, BD sao cho AM = 1 3 AE, BN = 1 3 BD. Chöùng minh MN // (CDFE). 2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD. a) Chöùng minh MN song song vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SAD). b) Goïi P laø trung ñieåm cuûa SA. Chöùng minh SB, SC ñeàu song song vôùi (MNP). c) Goïi G1, G2 laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc ABC, SBC. Chöùng minh G1G2 // (SBC). 3. Cho töù dieän ABCD. G laø troïng taâm cuûa ABD. M laø 1 ñieåm treân caïnh BC sao cho MB = 2MC. Chöùng minh MG // (ACD). HD: Chö ùng minh MG so ng song vô ùi gi ao tu yeán cu ûa (BMG) vaø (ACD). 4. Cho töù dieän ABCD. Goïi O, O laàn löôït laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp caùc tam giaùc ABC, ABD. Chöùng minh raèng: a) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå OO // (BCD) laø BC AB AC BD AB AD    b) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå OO song song vôùi 2 maët phaúng (BCD), (ACD) laø BC = BD vaø AC = AD. HD: Sö û ñu ïng tín h chaát ñö ôøng pha ân g ia ùc t rong ta m gia ùc. 5. Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD vaø G laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MN. a) Tìm giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng AG vôùi mp(BCD). b) Qua M keû ñöôøng thaúng Mx song song vôùi AA vaø Mx caét (BCD) taïi M. Chöùng minh B, M, A thaúng haøng vaø BM = MA = AN. c) Chöùng minh GA = 3GA. T ra àn Só Tuøn g www.mathvn.com www.MATHVN.com 15 VAÁN ÑEÀ 2: Tì m g iao tuyeán cu ûa h ai ma ët pha úng Ph öông p ha ùp: T ìm phö ông cu ûa giao t uyeán . Töø ño ù xaù c ñònh th ieát dieän cuûa h ình cho ùp ta ïo bôû i maët pha úng song so ng vôùi moä t hoa ëc ha i ñöô øng tha úng cho tröô ùc. 1. Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm treân AB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø song song vôùi SA. a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi (SAB) vaø (SAC). b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P). c) Tìm ñieàu kieän cuûa MN ñeå thieát dieän laø hình thang. HD: c) MN / / B C 2. Trong maët phaúng (P), cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, B = 600, AB = a. Goïi O laø trung ñieåm cuûa BC. Laáy ñieåm S ôû ngoaøi (P) sao cho SB = a vaø SB  OA. Goïi M laø 1 ñieåm treân caïnh AB. Maët phaúng (Q) qua M vaø song song vôùi SB vaø OA, caét BC, SC, SA laàn löôït taïi N, P, Q. Ñaët x = BM (0 < x < a). a) Chöùng minh MNPQ laø hình thang vuoâng. b) Tính dieän tích hình thang ñoù. Tìm x ñeå dieän tích lôùn nhaát. HD: b ) S M NPQ = (4 3 ) 4 x a x . S M NPQ ñ aït lôùn nhaát khi x = 2 3 a 3. Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm baát kì treân SB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø song song vôùi SC. a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SCD), (SAC). b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P). 4. Cho töù dieän ABCD coù AB = a, CD = b. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Maët phaúng (P) ñi qua moät ñieåm M treân ñoaïn IJ vaø song song vôùi AB vaø CD. a) Tìm giao tuyeán cuûa (P) vôùi (ICD). b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän ABCD vôùi (P). 5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi C laø trung ñieåm cuûa SC, M laø 1 ñieåm di ñoäng treân caïnh SA. Maët phaúng (P) di ñoäng luoân ñi qua CM vaø song song vôùi BC. a) Chöùng minh (P) luoân chöùa moät ñöôøng thaúng coá ñònh. b) Xaùc ñònh thieát dieän maø (P) caét hình choùp SABCD. Xaùc ñònh vò trí ñieåm M ñeå thieát dieän laø hình bình haønh. c) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa 2 caïnh ñoái cuûa thieát dieän khi M di ñoäng treân caïnh SA. HD: a ) Ñöô øng thaún g qua C va ø son g song vôùi BC. b ) Hình tha ng. Hình b ình haønh khi M l aø t rung ñieåm cuûa SA. c) Ha i nö ûa ñöôøn g th aúng . www.mathvn.com T raàn Só Tuøn g 16 IV. HAI MAËT P HAÚNG S ONG SONG 1. Ñònh ngh óa (P) // (Q)  (P )  (Q) =  2. Tính chaát  Neáu maët pha úng (P) chöùa ha i ñöô øng tha úng a , b caét nhau vaø cuøn g so ng song vô ùi maët p haúng (Q) thì (P) song song vôùi (Q).  Neáu ñöôøn g tha úng d song song vôùi mp(P) th ì coù du y nhaá t moät mp( Q) chöù a d vaø son g song vôù i (P ).  Hai ma ët pha úng ph aân bi eät cuøng song song vôùi ma ët pha úng thö ù ba th ì son g song vô ùi nhau .  Cho mo ät ñi eåm A  (P). khi ñoù mo ïi ñöôøn g th aúng ñi qu a A vaø so ng son g vôùi (P) ñ eàu na èm trong moä t mp( Q) ñ i qua A vaø song song vô ùi (P ).  Neáu moät maët pha úng caét moä t trong hai ma ët phaúng song song thì cuõng caét maët phaú ng kia vaø caù c giao tu yeán cu ûa chu ùng so ng song vô ùi nhau .  Ha i ma ët ph aúng son g song chaén t reân ha i caùt tu yeán song song nh öõng ñoaïn tha úng ba èng nhau .  Ñònh lí Thales: Ba maë t pha úng ñoâi moä t son g song cha én tr eân hai caùt tu yeán ba át kì nhö õng ñoa ïn tha úng töông öùn g t æ l eä.  Ñònh lí Thales ñaûo: Gia û söû t reân hai ñ öô øng thaúng d va ø d la àn löô ït laáy caù c ñ ieåm A , B, C vaø A, B, C sao cho : ' ' ' ' ' ' AB BC CA A B B C C A   Khi ño ù, ba ñö ôøng tha úng AA, BB, CC laàn löô ït naè m tr eân b a ma ët pha úng son g song , tö ùc la ø chuùng cuøng song vô ùi moät maët p haúng . VAÁN ÑEÀ 1: Chö ùng minh hai maët p haúng so ng song Phöông phaùp: Ch öùng min h ma ët phaún g na øy chöùa ha i ñöô øng thaúng ca ét nhau laà n löô ït so ng song vôù i ha i ñöôøng tha úng trong ma ët pha úng kia . 1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA, SD. a) Chöùng minh (OMN) // (SBC). b) Goïi P, Q laø trung ñieåm cuûa AB, ON. Chöùng minh PQ // (SBC). 2. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân caùc caïnh AD, BC sao cho luoân coù: IA JB ID JC  . a) CMR: IJ luoân song song vôùi 1 maët phaúng coá ñònh. b) Tìm taäp hôïp ñieåm M chia ñoaïn IJ theo tæ soá k cho tröôùc. HD: a) IJ so ng song vô ùi mp qua A B vaø so ng song CD. b) Taäp hô ïp ñi eåm M laø ñoa ïn EF vô ùi E, F laø caù c ñi eåm chia AB, C D th eo tæ soá k. 3. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA vaø CD. a) CMR: (OMN) // (SBC). b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa SD, J laø moät ñieåm treân (ABCD) vaø caùch ñeàu AB, CD. Chöùng minh IJ song song (SAB). T ra àn Só Tuøn g www.mathvn.com www.MATHVN.com 17 c) Giaû söû hai tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE, AF laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa caùc tam giaùc ACD vaø SAB. Chöùng minh EF // (SAD). HD: c) Ch uù yù: ED FS EC FB  4. Cho hai hình vuoâng ABCD vaø ABEF ôû trong hai maët phaúng khaùc nhau. Treân caùc ñöôøng cheùo AC vaø BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho: AM = BN. Caùc ñöôøng thaúng song song vôùi AB veõ töø M, N laàn löôït caét AD, AF taïi M, N. a) Chöùng minh: (CBE) // (ADF). b) Chöùng minh: (DEF) // (MNNM). c) Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN, tìm taäp hôïp ñieåm I khi M, N di ñoäng. HD: c) T rung tu yeán tam gia ùc ODE veõ töø O. 5. Cho hai nöûa ñöôøng thaúng cheùo nhau Ax, By. M vaø N laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân Ax, By sao cho AM = BN. Veõ NP BA   . a) Chöùng minh MP coù phöông khoâng ñoåi vaø MN luoân song song vôùi 1 maët phaúng coá ñònh. b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN. CMR I naèm treân 1 ñöôøng thaúng coá ñònh khi M, N di ñoäng. 6. Cho töù dieän ABCD coù AB = AC = AD. CMR caùc ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa caùc goùc , ,BAC CAD DAB ñoàng phaúng. HD: Cu øng na èm trong maët pha úng q ua A va ø song song vô ùi (BCD). VAÁN ÑEÀ 2: Tì m g iao tuyeán cu ûa h ai ma ët pha úng Ph öông pha ùp:  Tì m phöô ng cuûa gi ao tuyeá n ba èng caùch sö û du ïng ñòn h lí: Neáu 2 maët ph aúng song song bò caét bô ûi 1 maët pha úng thö ù ba th ì 2 giao tuyeán song song.  Söû du ïng ñ ònh lí tr eân ñeå xaù c ñònh thi eát di eän cuûa hì nh choù p b ò caét b ôûi 1 maë t p haúng song song vôù i 1 ma ët phaún g cho t röô ùc. 1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O vôùi AC = a, BD = b. Tam giaùc SBD ñeàu. Moät maët phaúng (P) di ñoäng luoân song song vôùi mp(SBD) vaø ñi qua ñieåm I treân ñoaïn AC. a) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P). b) Tính dieän tích thieát dieän theo a, b vaø x = AI. HD: a ) Xeù t 2 tröô øng hôïp : I  O A, I  OC . Thi eát dieän laø t am g iaù c ñ eàu . b ) 2 2 2 2 2 2 3 0 2 ( ) 3 2 thieá t dieä n b x a ne á u x aS b a x a neá u x a a           2. Cho hai maët phaúng song song (P) vaø (Q). Tam giaùc ABC naèm trong (P) vaø ñoaïn thaúng MN naèm trong (Q). a) Tìm giao tuyeán cuûa (MAB) vaø (Q); cuûa (NAC) vaø (Q). b) Tìm giao tuyeán cuûa (MAB) vaø (NAC). 3. Töø boán ñænh cuûa hình bình haønh ABCD veõ boán nöûa ñöôøng thaúng song song cuøng chieàu Ax, By, Cz, Dt khoâng naèm trong (ABCD). Moät maët phaúng (P) caét boán nöûa ñöôøng thaúng taïi A, B, C, D. www.mathvn.com T raàn Só Tuøn g 18 a) Chöùng minh (Ax,By) // (Cz,Dt). b) Chöùng minh ABCD laø hình bình haønh. c) Chöùng minh: AA + CC = BB + DD. 4. Cho töù dieän ABCD. Goïi G1, G2, G3 laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC, ACD, ADB. a) Chöùng minh (G1G2G3) // (BCD). b) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän ABCD vôùi mp(G1G2G3). Tính dieän tích thieát dieän khi bieát dieän tích tam giaùc BCD laø S. c) M laø ñieåm di ñoäng beân trong töù dieän sao cho G1M luoân song song vôùi mp(ACD). Tìm taäp hôïp nhöõng ñieåm M. HD: b) 4 9 S 5. Cho laêng truï ABC.ABC. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB. a) Chöùng minh CB // (AHC). b) Tìm giao ñieåm cuûa AC vôùi (BCH). c) Maët phaúng (P) qua trung ñieåm cuûa CC vaø song song vôùi AH vaø CB. Xaùc ñònh thieát dieän vaø tæ soá maø caùc ñænh cuûa thieát dieän chia caïnh töông öùng cuûa laêng truï. HD: c) M, N, P, Q, R th eo t höù t öï chia caùc ñoaïn CC, BC, AB, AB, AC th eo caùc tæ soá 1, 1, 3, 1 3 , 1 . 6. Cho hình hoäp ABCD.ABCD. a) Chöùng minh hai maët phaúng (BDA) vaø (BDC) song song. b) Chöùng minh ñöôøng cheùo AC ñi qua caùc troïng taâm G1, G2 cuûa 2 tam giaùc BDA, BDC. Chöùng minh G1, G2 chia ñoaïn AC laøm ba phaàn baèng nhau. c) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình hoäp caét bôûi mp(ABG2). Thieát dieän laø hình gì? HD: c) Hì nh bì nh haønh . 7. Cho hình laäp phöông ABCD.ABCD caïnh a. Treân AB, CC, CD, AA laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ = x (0  x  a). a) Chöùng minh boán ñieåm M, N, P, Q ñoàng phaúng vaø MP, NQ caét nhau taïi 1 ñieåm coá ñònh. b) Chöùng minh mp(MNPQ) luoân chöùa 1 ñöôøng thaúng coá ñònh. Tìm x ñeå (MNPQ) // (ABC). c) Döïng thieát dieän cuûa hình laäp phöông caét bôûi (MNPQ). Thieát dieän coù ñaëc ñieåm gì? Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa chu vi thieát dieän. HD: a) MP va ø NQ caét nhau taïi taâ m O cuûa hình la äp phöông . b) (MNPQ) ñi q ua trung ñi eåm R, S cuûa BC vaø AD. x = 2 a . c) Thi eát dieän laø l uïc giaùc MRNPS Q co ù t aâm ñoái xö ùng la ø O . Chu vi nho û nha át: 3a 2 ; chu vi lôùn nh aá t: 2a ( 2 + 1 ). 8. Cho laêng truï ABC.ABC. a) Tìm giao tuyeán cuûa (ABC) vaø (BAC). b) Goïi M, N laàn löôït laø 2 ñieåm baát kì treân AA vaø BC. Tìm giao ñieåm cuûa BC vôùi maët phaúng (AAN) vaø giao ñieåm cuûa MN vôùi mp(ABC). 9. Cho laêng truï ABC.ABC. Chöùng minh raèng caùc maët phaúng (ABC), (BCA) vaø (CAB) coù moät ñieåm chung O ôû treân ñoaïn GG noái troïng taâm ABC vaø troïng taâm ABC. Tính OG OG . HD: 1 2 T ra àn Só Tuøn g www.mathvn.com www.MATHVN.com 19 BAØI TAÄP OÂN 1. Cho töù dieän ABCD coù AB = 2a, tam giaùc BCD vuoâng taïi C coù BD = 2a, BC = a. Goïi E laø trung ñieåm cuûa BD. Cho bieát  0( , ) 60AB CE  . a) Tính 2AC2 – AD2 theo a. b) (P) laø 1 maët phaúng song song vôùi AB vaø CE, caét caùc caïnh BC, BD, AE, AC theo thöù töï taïi M, N, P, Q. Tính dieän tích töù giaùc MNPQ theo a vaø x = BM (0 < x < a). Xaùc ñònh x ñeå dieän tích aáy lôùn nhaát. c) Tìm x ñeå toång bình phöông caùc ñöôøng cheùo cuûa MNPQ laø nhoû nhaát. d) Goïi O laø giao ñieåm cuûa MP vaø NQ. Tìm (P) ñeå OA2 + OB2 + OC2 + OD2 nhoû nhaát. HD: a ) Goïi F la ø t rung ñi eåm cuûa AD. Xeù t  0 060 , 120CEF CEF   2 AC 2 – AD2 = 6a 2 hoaë c –2a 2. b ) S = x(a – x) 3 ; 2 2 a x  c) x = 2 a d ) O A2 + OB2 + OC 2 + O D2 = 4 OG 2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2 . O di ño äng t reân ñoaïn IJ no ái trun g ñieå m cuûa AB va ø CE . T oång nh oû nha át khi O la ø hình chieá u cuûa G l eân IJ ( G la ø t roïng ta âm töù d ieän AB CD). 2. Cho töù dieän ñeàu ABCD caïnh a. Goïi I, J laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC vaø DBC. Maët phaúng (P) qua IJ caét caùc caïnh AB, AC, DC, DB taïi M, N, P, Q. a) Chöùng minh MN, PQ, BC ñoàng qui hoaëc song song vaø MNPQ thöôøng laø hình thang caân. b) Ñaët AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra: 4 3 3 2 a a x y   . c) Tính dieän tích töù giaùc MNPQ theo a vaø s = x + y. HD: b ) SAMN = S AMI + S ANI c) 22 8. 4 3 a s as s   . 3. Cho hình choùp S.ABCD. Töù giaùc ñaùy coù AB vaø CD caét nhau taïi E, AD vaø BC caét nhau taïi F, AC vaø BD caét nhau taïi G. Maët phaúng (P) caét SA, SB, SC laàn löôït taïi A, B, C. a) Tìm giao ñieåm D cuûa SD vôùi (P). b) Tìm ñieàu kieän cuûa (P) ñeå AB // CD. c) Vôùi ñieàu kieän naøo cuûa (P) thì ABCD laø hình bình haønh? CMR khi ñoù: SA SC SB SD SA SC SB SD        d) Tính dieän tích töù giaùc ABCD. HD: b ) (P ) / / SE. c) (P) / / (S EF). Go ïi G = ACBD. Chö ùng minh : 2SA SC SG SA SC SG      d ) S ABCD = 2 3 32 a . www.mathvn.com T raàn Só Tuøn g 20 4. Cho maët phaúng (P) vaø hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2 caét (P) taïi A vaø B. Ñöôøng thaúng () thay ñoåi luoân song song vôùi (P), caét d1 taïi M, d2 taïi N. Ñöôøng thaúng qua N vaø song song d1 caét (P) taïi N. a) Töù giaùc AMNN laø hình gì? Tìm taäp hôïp ñieåm N. b) Xaùc ñònh vò trí cuûa () ñeå MN coù ñoä daøi nhoû nhaát. c) Goïi O laø trung ñieåm cuûa AB, I laø trung ñieåm cuûa MN. Chöùng minh OI laø ñöôøng thaúng coá ñònh khi M di ñoäng. d) Tam giaùc BMN vuoâng caân ñænh B vaø BM = a. Tính dieän tích thieát dieän cuûa hình choùp B.AMNN vôùi maët phaúng qua O vaø song song vôùi maët phaúng (BMN). HD: a) Hình bìn h ha ønh . Taäp hô ïp ca ùc ñi eåm N laø d3 , g iao tuyeán cu ûa (P) vô ùi ma ët pha úng qua d 2 vaø so ng song vô ùi d 1. b) MN n ho û nha át kh i A N vuo âng goù c d3 ta ïi N. d) 23 8 a 5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. M vaø P laø hai ñieåm laàn löôït di ñoäng treân AD vaø SC sao cho: MA PS x M D PC   (x > 0). a) CMR: MP luoân song song vôùi moät maët phaúng coá ñònh (P). b) Tìm giao ñieåm I cuûa (SBD) vôùi MP. c) Maët phaúng qua M vaø song song vôùi (P) caét hình choùp SABCD theo moät thieát dieän vaø caét BD taïi J. Chöùng minh IJ coù phöông khoâng ñoåi. Tìm x ñeå PJ song song vôùi (SAD). d) Tìm x ñeå dieän tích thieát dieän baèng k laàn dieän tích SAB (k > 0 cho tröôùc). HD: a) Ma ët pha úng (SAB). c) Phöông cu ûa S B; x = 1 . d) x = 1 1k k k    (0 < k < 1 ). 6. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O. SA = SB = SC = SD = a. Goïi M laø moät ñieåm treân ñoaïn AO. (P) laø maët phaúng qua M vaø song song vôùi AD vaø SO. Ñaët AM k AO  (0 < k < 1). a) Chöùng minh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P) laø hình thang caân. b) Tính caùc caïnh cuûa thieát dieän theo a vaø k. c) Tìm k ñeå thieát dieän treân ngoaïi tieáp ñöôïc 1 ñöôøng troøn. Khi ñoù haõy tính dieän tích thieát dieän theo a. HD: b) a; (1 – k)a ; 3 2 ka c) k= 2 6 3 1; 9 a  7. Cho laêng truï ABC.ABC. Goïi M, N, P laø 3 ñieåm laàn löôït naèm treân 3 ñoaïn AB, AC, BC sao cho AM C N CP x AB AC CB        . a) Tìm x ñeå (MNP) // (ABC). Khi ñoù haõy tính dieän tích cuûa thieát dieän caét bôûi mp(MNP), bieát tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. b) Tìm taäp hôïp trung ñieåm cuûa NP khi x thay ñoåi. HD: a) x = 21 2 3 ; 3 9 a b) Ñoa ïn thaún g no ái trung ñi eåm cuûa CC va ø A B. 8. Cho laêng truï ABCD.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi AD = CD = BC = a, AB = 2a Maët phaúng (P) qua A caét caùc caïnh BB, CC, DD laàn löôït taïi M, N, P. a) Töù giaùc AMNP laø hình gì? So saùnh AM vaø NP. T ra àn Só Tuøn g www.mathvn.com www.MATHVN.com 21 b) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa AN vaø MP khi (P) di ñoäng. c) CMR: BM + 2DP = 2CN. HD: a ) Hình tha ng. AM = 2N P. b ) Ñoa ïn thaúng song song vôùi ca ïnh beân. c) DP = 5 4 a .