Bài tập Xác suất thống kê
Để thực hiện một công trình nghiên cứu về mối quan hệ giữa chiều cao Y(m) và đường kính X(cm) của một loại cây, người ta quan sát trên một mẫu ngẫu nhiên và có kết quả sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10 (a). Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét. (b) Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X. Hãy dự báo chiều cao của cây có đường kính 45 cm. Giải: (a) r = 0,939. Vì r rất gần 1 nên giữa X và Y có hồi qui tuyến tính. (b) y = 0,166x + 1,041. Dự báo chiều cao của cây có đường kính 45 cm là: y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2 a) Hãy tính các giá trị trung bình mẫu của X, Y; phương sai mẫu của X, Y và hệ số tương quan mẫu giữa X và Y. b) Viết phương trình hồi quy mẫu của Y theo X. Từ đó dự đoán xem nếu chỉ tiêu X là 9 thì chỉ tiêu Y là bao nhiêu? Giải: a) Ta có trung bình mẫu:MATHEDUCARE.COM Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 121 x y = = 5,93; 15,17; Phương sai mẫu: σ σ X Y 2 2 = = 3,44; 28,42 Hệ số tương quan mẫu: r = 0,66 b) Phương trình hồi quy Y theo X: y x = + 3,86 1.91 Nếu X có giá trị là 9 thì Y sẽ nhận giá trị là 21.
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài tập Xác suất thống kê, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
u c th ta tính ñư c:
172− 156
t=5 = 2 > t 24 . V y H b bác b ngh ĩa là l ư ng Cholesterol c a b nh
40 0,95 0
nhân m c b nh B cao h ơn bình th ư ng.
6. 3. M t công ty bào ch m t lo i thu c ch a d ng tuyên b r ng thu c
c a h có hi u qu không d ư i 90% trong vi c làm gi m c ơn d ng trong vòng 8
gi . M t m u g m 200 ng ư i b d ng s d ng lo i thu c trên, có 160 ng ư i
gi m c ơn d ng. Hãy xác ñ nh xem l i tuyên b c a công ty có giá tr không? (
m c ý ngh ĩa α = 0,07).
Gi i:
94
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
G i p là t l ng ư i gi m d ng khi dùng thu c c a công ty trong vòng 8 gi . Ta
c n xác ñ nh xem p có b ng 90% tr lên hay không. Mu n v y ta ki m ñ nh gi
thi t:
Hpp00:== 90%; Hpp 1 : <= 0 90% m c ý ngh ĩa α = 0,07.
P− p 0
N u H0 ñúng thì bi n ng u nhiên U= n~ N () 0, 1
p0()1− p 0
V i m c α = 0,07 ta có gtth=− u1−α =− u 0,93 =− 1,4758 .
160/200− 0,9
V i m u c th ta có: u=200 =−<=− 4,714 gtth 1,4758 .
0,9.0,1
V y ta bác b gi thi t H0 ngh ĩa là tuyên b c a công ty không có giá tr . K t lu n
m c ý ngh ĩa 0,07.
6. 4. (3 ñi m) Tr ư c ñây, Nhà máy Alpha s n xu t ra m t lo i s n ph m v i
t l ph ph m 5%. N ăm nay, sau ñ t c i ti n k thu t, ñ ki m tra hi u qu , ng ư i
ta l y ra ra m t m u g m 800 s n ph m ñ ki m tra thì th y có 24 ph ph m.
a) V i m c ý ngh ĩa α = 5%, hãy ki m ñ nh xem ñ t c i ti n k thu t có
th c s làm gi m t l ph ph m không?.
b) Sau ñ t c i ti n k thu t, n u nhà máy báo cáo t l ph ph m là 2% thì
có ch p nh n ñư c không? ( m c ý ngh ĩa α = 3%).
Gi i:
a) G i p là t l ph ph m sau ñ t c i ti n k ĩ thu t, t l m u . Ta c n ki m
ñ nh gi thi t sau:
H0: p= p 0 = 5%; ñ i thi t H1: p< p 0 m c ý ngh ĩa α = 5%.
P− p 0
N u H0 ñúng thì U= n~ N () 0,1
p0()1− p 0
V i m c α = 5% ta có gtth=− u1−α =− u 0,95 =− 1,65 .
V i m u c th ta tính ñư c
p− p 0,03− 0,05
u=0 n =800 =−< 2,6 gtth
p0()1− p 0 0,05.0,95
V y, ta bác b H0 ngh ĩa là ñ t c i ti n k ĩ thu t th t s làm gi m t l ph
ph m.
b) Ta ki m ñ nh gi thi t H0: p= p 0 = 2%; ñ i thi t H1: p≠ p 0 m c
α = 3% .
P− p 0
N u H0 ñúng thì U= n~ N () 0,1 .
p0()1− p 0
95
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Vơi s m c α = 3% ta có gtth= uα = u 0,985 = 2,17 .
1−
2
T m u c th ta tính ñư c.
p− p 0,03− 0,02
u=0 n =800 =< 2,02 gtth
p0()1− p 0 0,02.0,98
V y ta ch p nh n H0 ngh ĩa là ch p nh n l i tuyên b c a công ty.
6. 5. Ti n l ươ ng hàng tu n trung bình trên m t m u g m 30 công nhân trong
m t xí nghi p l n là 180 (ngàn ñ ng) v i v i ñ l ch chu n 14 (ngàn ñ ng).
Trong m t xí nghi p l n khác, m t m u g m 40 công nhân ñư c ch n ng u nhiên
có ti n l ươ ng hàng tu n trung bình là 170 (ngàn ñ ng) v i ñ l ch chu n 10 (ngàn
ñ ng). Ti n l ươ ng hàng tu n trung bình hai xí nghi p trên có khác nhau không?
( m c ý ngh ĩa α = 5%). Gi s ti n l ươ ng hàng tu n c a hai xí nghi p là bi n
ng u nhiên có phân ph i chu n có cùng ph ươ ng sai.
Gi i: G i X, Y là ti n l ươ ng hàng tu n c a m i công nhân c a hai xí nghi p
trên t ươ ng ng. Ki m ñ nh gi thi t H:0µµXY= ;H: 1 µµ XY ≠ m c α = 5% .
X− Y
N u H0 ñúng thì T=~ tnm() + − 2
S 2 1 1
()n+ m
(n− 1) S2 + ( m − 1) S 2
v i S 2 = X Y
n+ m − 2
()()n+ m − 2 68
v i m c α = 5% ta có gtth= tα = t 0,975 = 1,9955
1−
2
2914.2+ 3910 . 2
V i m u c th ta tính ñư c s2 = = 140 , 94
78
x− y 180 − 170
Do ñó ttn = = =>3, 4876 gtth
s2 ()1+ 1 1 1
n m 140, 94 +
30 40
V y ta bác b H0 ngh ĩa là ti n l ươ ng hàng tu n trung bình hai xí nghi p
trên là khác nhau.
6. 6. G i X và Y l n l ư t là bi n ng u nhiên ch kh i l ư ng c a tr s ơ sinh
trai và tr s ơ sinh gái. Cho bi t X và Y tuân theo lu t phân ph i chu n có cùng
ph ươ ng sai. Kh o sát ng u nhiên 20 tr s ơ sinh trai, ng ư i ta tính ñư c x = 3200
g, sX = 400 g và 17 tr s ơ sinh gái, ng ư i ta tính ñư c y = 3000 g, sY = 380 g.
Ph i ch ăng kh i l ư ng c a tr s ơ sinh trai l n h ơn kh i l ư ng c a tr s ơ sinh gái?
(k t lu n v i m c ý ngh ĩa α = 5%)
Gi i:
96
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Ki m ñ nh gi thi t H:0µµXY= ;H: 1 µµ XY > m c α = 5%.
X− Y
N u H0 ñúng thì T=~ tnm() + − 2
S 2 1 1
()n+ m
(n− 1) S2 + ( m − 1) S 2
v i S 2 = X Y ; n=20 ; m = 17 .
n+ m − 2
()n+ m − 2 35
Giá tr t i h n gttht=1−α = t 095, = 1 , 6896
19400.2+ 16380 . 2
V i m u c th ta có s2 = = 152868 , 57
35
x− y 3200 − 3000
ttn = = =<1, 55 gtth
s2 ()1+ 1 1 1
n m 152868, 57 +
20 17
Ta ch p nh n H0 ngh ĩa là tr ng l ư ng c a tr s ơ sinh trai không l n h ơn
tr ng l ư ng c a tr s ơ sinh gái ( α = 5%).
6. 7. Kh i l ư ng c a m t lo i s n ph m do m t nhà máy s n xu t là m t
bi n ng u nhiên tuân lu t phân ph i chu n N(500; (8,5) 2). Sau m t th i gian s n
xu t, ban lãnh ñ o nhà máy nghi ng r ng kh i l ư ng c a lo i s n ph m này có xu
hư ng gi m, nên ti n hành cân th 25 s n ph m và thu ñư c k t qu sau:
Kh i l ư ng (g) 480 485 490 495 500 510
S s n ph m 2 3 8 5 3 4
V i m c ý ngh ĩa α = 5% , hãy cho k t lu n v ñi u nghi ng trên.
Gi i:
T s li u ta tính ñư c x = 494 ; s= 8 , 9 n = 25 .
Ta ki m ñ nh gi thi t H:0µµ= 0 =500 ;H: 1 µµ < 0 m c α = 5% .
X − µ
N u H ñúng thì BNN U= 0 n~N,()0 1 v i n=25 ;σ = 85 ,; µ = 500
0 σ 0
V i m c α = 5% ta có gtth=− u1−α =− u 095, =− 1 , 65
494− 500
V i m u c th giá tr c a U là u= .5 =−< 353 , gtth nên H b bác
8, 5 0
b ngh ĩa là ñi u nghi ng trên là ñúng.
6. 8. M t công ty mu n ñánh giá v hi u qu c a m t ñ t qu ng cáo ñ i v i
s s n ph m bán ra c a công ty. 10 c a hàng bán s n ph m c a công ty ñư c ch n
ng u nhiên ñ theo dõi s l ư ng s n ph m bán ra trong m t tu n tr ư c ñ t qu ng
cáo (T ĐQC) và m t tu n sau ñ t qu ng cáo (S ĐQC).
C a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
97
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
hàng
TĐQC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111
SĐQC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144
Hãy cho k t lu n v hi u qu c a ñ t qu ng cáo ( m c α = 5%).
Gi i:
G i D là hi u s gi a s s n ph m bán ra sau qu ng cáo và tr ư c qu ng cáo
c a m i c a hàng. B ng hi u s :
D 84 21 2 39 13 -20 25 44 -31 33
T ñó ta tính ñư c d=21 ;sD = 3298 , .
Ta c n ki m ñ nh gi thi t sau m c α = 5% .
H:0µD=0 ;H: 1 µ D > 0
D n
N u H0 ñúng thì T= ~tn() − 1
SD
()9
V i α = 5% gtth= t 1−α = 1,8331
21 10
V i m u c th ta có t= =2 , 01 > gtth
32, 98
Nên H0 b bác b .
V y, ñ t qu ng cáo th t s làm t ăng s l ư ng s n ph m bán ra.
6. 9. M t máy s n xu t t ñ ng có t l s n xu t ra s n ph m lo i A lúc ñ u là
48%. Máy ñư c c i ti n và sau m t th i gian áp d ng, ng ư i ta ki m tra 40 h p,
m i h p g m 10 s n ph m và ghi l i s s n ph m lo i A trong m i h p (SSPLA/h)
nh ư sau :
SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S h p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy cho k t lu n v hi u qu c a vi c c i ti n máy m c ý ngh ĩa α = 0,05.
Gi i:
G i p là t l s n ph m l o A sau ñ t c i ti n k thu t.
T l s n ph m lo i A trên m u kh o sát:
215 43
p = =
400 80
Ki m ñ nh gi thi t:
Hpp0:= 0 = 48%; Hpp 1 : > 0 m c α = 5% .
98
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
N u H0 ñúng thì BNN
P− p
U= 0 n~ N () 0,1
p0()1− p 0
V i m c ý ngh ĩa α = 0,05 giá tr t i h n b ng: u1−α = u 0,95 = 1,6449
V i m u c th , ta tính ñư c:
43
− 0,48
p− p
u=0 n =80 400 = 2,3018
p0()1− p 0 0,4810,48() −
Vì u> gtth nên H0 b bác b ngh ĩa là vi c c i ti n k thu t th t s mang l i hi u
qu .
6. 10. Kh i l ư ng trung bình khi xu t chu ng m t tr i ch ăn nuôi gà công nghi p
năm tr ư c là 3,3 kg/con. N ăm nay ng ư i ta s d ng lo i th c ăn m i. Sau m t th i
gian, cân th 15 con khi xu t chu ng, có các s li u sau: ( ñơn v kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi thi t kh i l ư ng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu n v i
ph ươ ng sai 0,04.
V i m c ý ngh ĩa α = 0,05, hãy cho k t lu n v tác d ng c a lo i th c ăn m i.
Gi i:
G i X là BNN ch kh i l ư ng gà khi xu t chu ng. Theo gi thi t
X~ N (µ ;0, 2 2 ) . T s li u ñã cho ta tính ñư c: x = 3,62 ; s = 0,405 .
N u th c ăn m i có tác d ng t t thì kh i l ư ng trung bình c a gà xu t
chu ng n ăm nay s cao h ơn. Mu n k t lu n v ñi u ñó ta ki m ñ nh gi thi t sau:
H00:µµ= = 3,3(kg ) ; H 10 : µµ > m c ý ngh ĩa α = 5% .
X − µ
N u H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1
0 σ
V i m c ý ngh ĩa α = 0,05 gtth= u1−α = u 10,05 = = u 0,95 = 1,6449
V i m u c th ta tính ñư c:
x −µ 3,62 − 3,3
u=0 n =15 = 6,2
σ 0,2
Vì u> gtth nên H0 b bác b .
V y, kh i l ư ng trung bình c a gà xu t chu ng n ăm nay cao h ơn n ăm tr ư c, ngh ĩa
là th c ăn m i có tác d ng t ăng tr ng l ư ng gà.
6. 11. Đ ñi u tra kh i l ư ng gà xu t chu ng m t tr i ch ăn nuôi gà công nghi p
năm nay. Ng ư i ta cân th 15 con khi xu t chu ng, có các s li u sau: ( ñơn v kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
99
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi thi t kh i l ư ng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu n v i
ph ươ ng sai 0,04.
Có nên báo cáo kh i l ư ng trung bình c a gà xu t chu ng n ăm nay là 3,7 kg/con
hay không? ( m c ý ngh ĩa α = 0,05).
Gi i:
G i X là BNN ch kh i l ư ng gà xu t chu ng n ăm nay.
Ki m ñ nh gi thi t
H00:µµ= = 3,7( kg) ; H 10 : µµ ≠ m c α = 5% .
X − µ
N u H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1
0 σ
V i m c ý ngh ĩa α = 0,05 gtthu=1−α /2 = u 10,025 = = u 0,975 = 1,96
V i m u c th ta tính ñư c:
x −µ 3,62 − 3,7
u=0 n =15 =− 1,55
σ 0,2
Vì |u | < gtth nên H0 không b bác b .
V y, m c ý ngh ĩa 5% ta công nh n báo cáo c a tr i ch ăn nuôi.
6. 12. M t cu c ñi u tra c a H i ph n ñ ñánh giá v m t d ư lu n xã h i cho
r ng l ươ ng c a ph n th p h ơn l ươ ng c a nam gi i. M t m u nhiên g m 4 ñàn
ông có l ươ ng trung bình là 78,0 (ngàn ñ ng), v i ñ l ch chu n m u là 24,4; m t
m u ng u nhiên khác ñ c l p v i m u trên g m 4 ph n có l ươ ng trung bình là
63,5 (ngàn ñ ng), v i ñ l ch chu n là 20,2. Gi s r ng l ươ ng c a c nam và n
gi i ñ u là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n có cùng ph ươ ng
sai. Hãy cho k t lu n v cu c ñi u tra trên m c ý ngh ĩa 10%.
Gi i:
G i X, Y theo th t là l ươ ng c a ñàn ông và ph n . Ta ki m ñ nh gi thi t:
H0:µXY= µ ; H 1 : µ XY > µ m c α =10% .
X− Y
N u H0 ñúng thì BNN U=~ tnm() + − 2
1 1
S 2 +
n m
(n−1) S2 +( m − 1 ) S 2
Vơi S 2 = X Y
n+ m − 2
(n+ m − 2) ( 6 )
V i m c ý ngh ĩa α =10% , gtth= t1−α = t 0,9 = 1,4398
V i m u c th : s2= 22,4 2
x− y 78 − 63,5
Và t = = = 0,915
11 11
s2+22,4 2 +
n m 4 4
100
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Vì t< gtth nên H0 không b bác b .
V y, k t lu n c a cu c ñi u tra ch ưa ñúng.
6. 13. Ng ư i ta mu n nghiên c u tác d ng c a vi c cho sinh viên ñi th c t xem
s ti p thu ki n th c có t t h ơn không b ng cách so sánh ñi m thi c a nhóm sinh
viên không ñi th c t (SVK ĐTT) v i nhóm sinh viên có ñi th c t (SVC ĐTT).
K t qu nh ư sau:
Đi m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SVC ĐTT 0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1
SVK ĐTT 3 3 6 1 7 13 10 12 4 1 3
1
G i X và Y l n l ư t là bi n ng u nhiên bi u th ñi m s c a sinh viên có ñi
th c t và sinh viên không ñi th c t .
Đi m thi c a nhóm sinh viên có ñi th c t có th c s t t h ơn không? (k t
lu n m c ý ngh ĩa α = 0,01 )
Gi i:
Ki m ñ nh gi thi t H:0µµXY= ;H: 1 µµ XY > m c ý ngh ĩa α = 0,01
X− Y
N u H0 ñúng thì BNN U= ~N,()0 1
s2 s 2
X+ Y
n m
V i α = 0, 01 ta có gtthu=1−α = u 1001 − , = u 099 , = 2,3263
V i m u c th ta tính ñư c
T b ng s li u ta có: n = 67 x= 5 , 85 ; sX = 2 ; m = 73 ; y=488 ,;sY = 239 , .
585,− 488 ,
utn = =2 , 6116 > gtth
22 239, 2
+
67 73
Nên H0 b bác b ngh ĩa là SVC ĐTT có ñi m cao h ơn SVK ĐTT.
6. 14. M t công ty v n t i, mu n ñánh giá tác d ng c a m t lo i ch t ph gia pha
vào x ăng, ñã ch n 10 chi c xe. Cho m i chi c ch y hai l n v i cùng ñi u ki n
nh ư nhau; nh ưng l n ñ u v i x ăng không có ch t ph gia (KPG), l n sau, v i cùng
m t l ư ng x ăng nh ư l n ñ u, có ch t ph gia (CPG). Ng ư i ta ghi l i s d m ñã
ñi ñư c c a 10 chi c xe trên trong hai l n nh ư sau:
Xe KPG CPG Xe KPG CPG
101
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
1 26,2 26,7 6 15,8 15,7
2 25,7 25,8 7 13,9 14,2
2 22,3 21,9 8 12,0 12,6
4 19,6 19,3 9 11,5 11,9
5 18,1 18,4 10 10,0 10,3
Có s khác nhau gi a s d m trung bình ñi ñư c v i x ăng không có ch t ph
gia và có ch t ph gia không? (k t lu n m c ý ngh ĩa 5%)
Gi i:
G i X, Y l n l ư t là các BNN ch s d ăm ñi ñư c c a xe KPG và xe CPG.
Đ t D= X − Y . B ng s li u cho D :
Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
di -0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3
T ñó ta tính ñư c: d= −0,17, s D = 0,3368
Đ xét xem khác nhau v s d m trung bình gi a xe KPG và xe CPG ta ki m
ñ nh gi thi t sau:
H0 :µD= 0; µ D ≠ 0 m c α = 5% .
D
N u H0 ñúng thì BNN T= 10~ t () 9
SD
(9) ( 9 )
V i α =5% = 0,05 : gtth= t0,05 = t 0,975 = 2,2622
1−
2
−0,17
V i m u c th ta có: t =10 = 1,596
0,3368
Vì |t | < gtth nên H0 ñư c ch p nh n.
V y, m c ý ngh ĩa α = 5% không có s khác nhau gi a s d m trung bình
ñi ñư c v i x ăng không có ch t ph gia và có ch t ph gia.
6. 15. Kh i l ư ng bao g o (KLBG) là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n
N (50;0,01 ) . Có nhi u ý ki n c a khách hàng ph n ánh là kh i l ư ng b thi u. M t
nhóm thanh tra ñã cân ng u nhiên 25 bao g o trong kho và ñư c k t qu nh ư sau:
KLBG (kg) (48; 48,5] (48,5; 49] (49; 49,5] (49,5; 50] (50; 50,5]
S bao g o 2 5 10 6 2
Hãy ki m ñ nh xem ý ki n c a khách hàng ph n ánh có ñúng không? (k t
lu n m c ý ngh ĩa α = 5%).
Gi i:
102
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
G i X là BNN ch kh i l ư ng bao g o. T s li u ñã cho ta tính ñư c
x=49,27; s = 0,53 .
Ta ki m ñ nh gi thi t sau:
H00:µµ= = 50(kg ) ; H 10 : µµ < m c ý ngh ĩa α = 5%
X − µ
N u H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1
0 σ
V i m c ý ngh ĩa α = 5% gtth=− u 1− 0,05 =− 1,6449
49,27− 50
V i m u c th : u =25 = − 36,5
0,1
Vì u< gtth nên H0 b bác b . Ngh ĩa là ý ki n c a khách hàng ph n ánh là ñúng ( α
= 5%).
6. 16. M t m u g m 300 c tri khu v c A và m t m u g m 200 c tri khu v c
B cho th y có 56% và 48%, theo th t , ng h ng c viên X. m c ý ngh ĩa
5%, hãy ki m ñ nh gi thi t:
a) Có s khác bi t gi a hai khu v c v s ng h ng c viên X.
b) ng c viên X ñư c ng h h ơn khu v c A.
Gi i:
G i pA và pB theo th t là t l ng h ng c viên X khu v c A và B.
a) Ta ki m ñ nh gi thi t H:p0AB= p;H:p 1 AB ≠ p m c ý ngh ĩa α = 5% .
PA− P B
N u H0 ñúng thì U= ~N,()0 1 v i
1 1
p()1− p +
0 0 n m
np+ mp
p=A B = 0 , 528
0 n+ m
V i α = 5% ta có gtthu=α = u0, 975 = 1 , 96
1−
2
056,− 0 , 48
Giá tr th c nghi m u= =1 ,gtth 755 <
1 1
0, 528 . 0 , 472 +
300 200
Do ñó H0 không b bác b ngh ĩa là s khác nhau gi a t l ng h gi a hai
khu v c A, B ñ i v i ng c viên X không có ý ngh ĩa v m t th ng kê.
b) Ta ki m ñ nh gi thi t H:p0AB= p;H:p 1 AB > p m c ý ngh ĩa α = 5% .
PA− P B
N u H0 ñúng thì U= ~N,()0 1
1 1
p()1− p +
0 0 n m
103
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
np+ mp
p=A B = 0 , 528
0 n+ m
V i α = 5% ta có gtthu=1−α = u 095, = 1 , 65
056,− 0 , 48
u= =1 ,gtth 755 >
1 1
0, 528 . 0 , 472 +
300 200
Nên H0 b bác b ngh ĩa là ng c viên X ñư c ng h nhi u h ơn khu v c
A.
6. 17. Đi u tra ng u nhiên 200 ng ư i có hút thu c lá, th y có 28 ng ư i b lao
ph i; 170 ng ư i không hút thu c lá, th y có 12 ng ư i b lao ph i. T l lao ph i
gi a nh ng ng ư i có và không hút thu c lá có khác khau không? (k t lu n m c
ý ngh ĩa α = 1%).
Gi i:
G i p1 , p2 l n l ư t là t l lao ph i nh ng ng ư i có hút thu c lá và không
hút thu c lá. Ta ki m ñ nh gi thi t sau:
Hp01:= pHp 211 ; : ≠ p 2 m c α =1% .
P1− P 2
N u H0 ñúng thì BNN U= ~ N () 0,1
1 1
p()1− p +
0 0 n m
np+ mp 28 + 12 40 4
V i p =1 2 = ==
0 n+ m 370 370 37
V i m c α =1% , gtth= uα = u 0,995 = 2,5758
1−
2
V i m u c th ta có:
28 12
−
p− p
u =1 2 =200 170 = 2,1428
11 4 411
p()1−+ p 1 −+
0 0 nm 37 37 nm
Ta có |u | < gtth nên H0 không b bác b ngh ĩa là t l lao ph i gi a nh ng
ng ư i có và không hút thu c lá không khác khau ( α = 1%).
6. 18. M t nhà máy có hai phân x ư ng A và B cùng s n xu t m t lo i tr c máy.
Sau m t th i gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr c máy do phân x ư ng A s n
xu t, ng ư i ta ño ñư c ñư ng kính c a chúng nh ư sau ( ñơ n v mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
104
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Gi s ñư ng kính c a các tr c máy hai phân x ư ng A và B tuân theo lu t
phân ph i chu n có cùng ph ươ ng sai.
Đo ng u nhiên ñư ng kính 20 tr c máy do phân x ư ng B s n xu t, ng ư i ta
tính ñư c ñư ng kính trung bình là 249,8 v i ph ươ ng sai 56,2. Hãy ki m ñ nh,
m c ý ngh ĩa α = 5%, gi thi t H0 cho r ng ñư ng kính trung bình các tr c máy
ñư c s n xu t hai phân x ư ng là nh ư nhau ñ i v i gi thi t H1 cho r ng chúng
khác nhau.
Gi i:
G i X, Y l n l ư t là ñư ng kính tr c máy do phân x ư ng A, B t ươ ng ng s n
xu t.
Ki m ñ nh gi thi t
H0:µµXY= ; H 1 : µµ XY ≠ m c ý ngh ĩa α = 5%.
X− Y
N u H0 ñúng thì BNN T=~ tnm() + − 2
1 1
S 2 +
n m
(n−1) S2 +( m − 1 ) S 2
V i n=20; m = 20 và S 2 = X Y
n+ m − 2
(n+ m − 2) ( 38 )
V i m c ý ngh ĩa α = 5%, gtth= tα = t 0,975 = 2,0244
1−
2
V i m u c th : x = 251,25 và sX = 7,7111
19.s2+ 19 s 2 19.7,7111 2 + 19.56,2
s2 =X Y = = 57,83
38 38
x− y 251,25 − 249,8
t = = = 0,6029
11 11
s2 +57,83 +
n m 20 20
Vì |t | < gtth nên H0 ñư c ch p nh n. Đư ng kính trung bình các tr c máy ñư c
s n xu t hai phân x ư ng là nh ư nhau ( m c ý ngh ĩa α = 5%).
6. 19. Phân x ư ng A c a m t nhà máy s n xu t m t lo i tr c máy. Sau m t th i
gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr c máy do phân x ư ng A s n xu t, ng ư i ta
ño ñư c ñư ng kính c a chúng nh ư sau ( ñơ n v mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
Gi s ñư ng kính c a các tr c máy c a phân x ư ng A tuân theo lu t phân
ph i chu n. Bi t ñư ng kính c a m t tr c máy do phân x ư ng A s n xu t, theo qui
ñ nh là 250 mm. Hãy cho k t lu n v ch t l ư ng s n xu t c a phân x ư ng A
m c ý ngh ĩa α = 5%.
105
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Gi i:
G i X l n l ư t là ñư ng kính tr c máy do phân x ư ng A s n xu t. T s li u ta
có:
x = 251,25 và s = 7,7111
Ta ki m ñ nh gi thi t sau:
H0:µµX= 0 = 250; H 1 : µµ X ≠ 0 m c α = 5%.
X − µ
N u H ñúng thì BNN T=0 ntn~() − 1
0 S
(19) ( 19 )
V i m c α = 5% gtth= tα = t 0,975 = 2,0930
1−
2
251,25− 250
V i m u c th ta có: t =20 = 0,786
7,111
Vì |t | < gtth nên H0 ñư c ch p nh n. Do ñó Tình hình s n xu t c a phân
xư ng A bình th ư ng (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5%).
6. 20. S n ph m c a m t xí nghi p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho
m t s n ph m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k thu t, ng ư i ta l y ng u nhiên 36 s n
ph m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph m (SKTTMSP). K t qu thu
ñư c nh ư sau:
SKTTMSP 0 1 2 3 4 5
6
S s n ph m 7 4 4 6 8 6
1
Hãy cho k t lu n v hi u qu c a ñ t c i ti n k thu t ñ i v i s khuy t t t
trung bình c a m t s n ph m m c ý ngh ĩa α = 10%.
Gi i:
T s li u ta tính ñư c x=2,7222; s = 1,86
Đ k t lu n v hi u qu ñ t c i ti n k thu t ta ki m ñ nh gi thi t:
H0:µµ= 0 = 3; H 1 : µµ < 0 m c ý ngh ĩa α = 10%
X − µ
N u H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1
0 s
V i m c ý ngh ĩa α = 10% gtth=− u1−α =− u 0,9 =− 1,2816
2,722− 3
V i m u c th u =36 = − 0,896
1,86
Vì u> gtth nên H0 không b bác b ngh ĩa là ñ t c i ti n k thu t không mang l i
hi u qu (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 10%).
106
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
6. 21. S n ph m c a m t xí nghi p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho m t
s n ph m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k thu t, ng ư i ta l y ng u nhiên 36 s n
ph m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph m (SKTTMSP). K t qu thu
ñư c nh ư sau:
SKTTMSP 0 1 2 3 4 5
6
S s n ph m 7 4 4 6 8 6
1
S n ph m có không quá 2 khuy t t t ñư c g i là s n ph m lo i A. T l s n
ph m lo i A tr ư c ñ t c i ti n k thu t là 40%. Đ t c i ti n k thu t có th c s
làm t ăng t l s n ph m lo i A không? (k t lu n m c ý ngh ĩa 5%).
Gi i:
15 5
G i p là t l s n ph m lo i A. T l m u: p = = .
36 12
Ki m ñ nh gi thi t
Hpp0:= 0 = 40%; Hpp 1 : > 0 m c ý ngh ĩa α = 5%
P− p 0
N N u H0 ñúng thì BNN U= n~ N () 0,1
p0()1− p 0
V i m c ý ngh ĩa α = 5%, gtth= u1−α = u 0,95 = 1,6449
5/12− 0,4
V i m u c th ta có: u =36 = 0,204
0, 4() 1− 0, 4
Vì u< gtth nên H0 không b bác b .
V y, ñ t c i ti n k thu t không làm t ăng t l s n ph m lo i A. (k t lu n m c ý
ngh ĩa α = 5%).
6. 22. Nh ng th ng kê trong n ăm tr ư c cho th y m t ng ư i M ñi du l ch châu
Âu trong vòng 3 tu n s chi h t 1010 USD cho vi c mua s m. N ăm nay, ng ư i ta
th ng kê trên 50 khách du l ch thì th y s ti n trung bình mà h chi tiêu là 1090
USD và ñ l ch chu n là 300 USD. V i m c ý ngh ĩa α = 1% hãy cho bi t m c chi
tiêu c a nh ng khách du l ch n ăm nay có t ăng so v i n ăm tr ư c không?
Gi i:
G i X là BNN ch m c chi tiêu c a m i khách du l ch trong n ăm nay, µ = EX . Ta
ki m ñ nh gi thi t
H0:µ=µ= 0 1010; H 10 : µ>µ ý ngh ĩa α = 1%
X − µ
N u H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1
0 s
V i ý ngh ĩa α = 1% , gtth= u1−α = u 0,99 = 2,3263
107
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
1090− 1010
V i m u c th ta có: u =50 = 1,8856
300
Vì u< gtth nên H0 không b bác b .
V y, ch ưa ñ c ơ s ñ k t lu n m c chi tiêu c a nh ng khách du l ch n ăm nay
tăng.
6. 23. M t hãng bào ch thu c ñang th nghi m hai lo i thu c gây mê A và B
m i. Vi c th nghi m ñư c ti n hành trên hai nhóm thú v t khác nhau. Nhóm th
nh t g m 100 con dùng thu c A thì có 71 con b mê; nhóm th hai g m 90 con
dùng thu c B thì có 58 con b mê. Hãng bào ch mu n ki m ñ nh xem tác d ng
c a hai lo i thu c trên có khác nhau không m c ý ngh ĩa 5%. Hãy cho bi t k t
lu n.
Gi i:
G i p1 và p2 l n l ư t là t l con v t b mê khi dùng thu c A, B t ươ ng ng. Giá tr
71 58
t l m u ñ i v i 2 lo i thu c ñó là p=; p = .
1100 2 90
71+ 58 129
T l chung là p = = = 0,6789 . Ta ki m ñ nh gi thi t
190 190
Hp01:= pHp 2 ; 11 : ≠ p 2 m c ý ngh ĩa α = 5% .
P1− P 2
N u H0 ñúng thì BNN U= ~ N () 0,1
1 1
p()1− p +
n m
V i m c ý ngh ĩa α = 5% , gtth= uα = u 0,975 = 1,96
1−
2
V i m u c th ta tính ñư c:
71 58
−
p− p
u =1 2 =100 90 = 0,017
1 1 129 129 1 1
p()1−+ p 1 − +
n m 190 190 100 90
Vì |u | < gtth nên H0 không b bác b .
V y, tác d ng c a hai lo i thu c trên không khác nhau m c ý ngh ĩa 5%.
6. 24. V i ý mu n làm t ăng ch s m s a c a lo i gi ng bò A, m t tr i ch ăn nuôi
cho lai bò gi ng A v i m t lo i bò gi ng B. Đo ch s m s a c a 130 con bò lai
gi ng ñư c ch n ng u nhiên trong ñàn bò c a tr i, ng ư i ta có k t
Ch s m s a S bò lai
108
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
[3,0; 3,6) 2
[3,6; 4,2) 8
[4,2; 4,8) 35
[4,8; 5,4) 43
[5,4; 6,0) 22
[6,0; 6,6) 15
[6,6; 7,2) 5
Bi t r ng ch s m s a trung bình c a gi ng bò A thu n ch ng là 4,95. Hãy cho
k t lu n v hi u qu c a vi c lai gi ng m c ý ngh ĩa 1%.
Gi i:
G i X là BNN ch ch s m s a c a gi ng bò lai. T s li u ta tính ñư c: x = 5,15
và s = 0,77 . Ta ki m ñ nh gi thi t:
H0:µ=µ= 0 4,95; H 10 : µ>µ m c ý ngh ĩa α = 1%.
X − µ
N u H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1
0 s
V i m c ý ngh ĩa α = 1%, gtth= u1−α = u 0,99 = 2,3263
V i m u c th ta tính ñư c:
5,15− 4,95
u =130 = 2,96
0,77
Vì u> gtth nên H0 b bác b .
V y, ch s m s a c a gi ng bò lai cao h ơn bò thu n ch ng.
6. 25. Đi u tra v m t nguyên nhân gây ung th ư ph i: Th ăm dò trong 200 ng ư i
có hút thu c lá, th y có 28 ng ư i b K ph i; trong 170 ng ư i không không hút
thu c lá, có 12 ng ư i b K ph i. H i t l ng ư i b K ph i trên nh ng ng ư i hút
thu c lá có cao h ơn t l ñó trên nh ng ng ư i không hút thu c lá không? (K t lu n
m c α = 5% ).
Gi i:
G i p1, p 2 l n l ư t là t l ng ư i b K ph i trong s nh ng ng ư i hút thu c và
không hút thu c. Ta ki m ñ nh gi thi t:
Hp01:= pHp 2 ; 11 : > p 2 m c α = 5%
P1− P 2
N u H0 ñúng thì BNN U= ~ N () 0,1
1 1
p()1− p +
n m
V i α = 5% , gtth= u1−α = u 0,95 = 1,6449
V i m u c th ta tính ñư c:
28 7 6 2812+ 4
p==; p == ; p =
1200 50 2 85 200+ 170 37
109
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
p− p
u =1 2 = 2,14
1 1
p()1− p +
200 170
Ta có u> gtth nên H0 b bác b . V y t l b K ph i trong s nh ng ng ư i hút
thu c là cao h ơn t l ñó trên nh ng nguoif không hút thu c lá.
6. 26. N u máy móc ho t ñ ng bình th ư ng thì kh i l ư ng m t s n ph m tuân
theo lu t phân ph i chu n v i ñ l ch chu n không quá 1kg. Có th coi máy móc
còn ho t ñ ng bình th ư ng hay không n u cân th 30 s n ph m do máy ñó s n
xu t ra, thì tính ñư c ñ l ch chu n là 1,1 kg. Yêu c u k t lu n m c ý ngh ĩa
α =1% .
Gi i: Ki m ñ nh gi thi t v ph ươ ng sai:
22 22
H:0σσ= 01 =1 ;H: σσ ≠ 0 m c ý ngh ĩa α =1%
(n− 1) S 2
N u H ñúng thì Y=~ χ2 n − 1
0 2 ()
σo
29. 1 , 1 2
V i m u c th ta có y= = 35 , 09
1
2 2
V i α = 0, 01 ta có χα (n −=χ 1)0,01 (29) = 13,121
2 2
2 2
χα (n −=χ 1)0,01 (29) = 52,336
1− 1−
2 2
Do χ2(n−<<1 )y χ 2 (n − 1 ) nên H không b bác b ngh ĩa là:
α1− α 0
2 2
Ch ưa ñ c ơ s ñ nói r ng máy móc ho t ñ ng không bình th ư ng.
6. 27. M t nhà s n xu t bóng ñèn cho r ng ch t l ư ng bóng ñèn ñư c coi là ñ ng
ñ u n u tu i th c a bóng ñèn có ñ l ch chu n b ng 1000 ho c ít h ơn. L y ng u
nhiên 10 bóng ñ ki m tra, thì ñư c ñ l ch chu n m u là 1150, V y, v i m c ý
ngh ĩa 5%, có th coi ch t l ư ng bóng ñèn do công ty ñó s n xu t là ñ ng ñ u
không? Bi t r ng tu i th c a bóng ñèn là m t BNN có phân ph i chu n.
Gi i:
22 2 22
Ki m ñ nh gi thi t v ph ươ ng sai d ng H:0σσ= 0 =1000 ;H: 1 σσ > 0
m c α = 5% .
(n− 1) S 2
N u H ñúng thì Y=~ χ2 n − 1
0 2 ()
σo
2 2
Giá tr t ơi h n: gtth=χ1−α ( n −=χ 1) 0,95 (9) = 16,919
9. 1150 2
V i m u c th ta có y= =11 , 9025 < gtth
1000 2
110
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
H0 ñư c ch p nh n ngh ĩa là có th coi ch t l ư ng bóng ñèn do công ty ñó
s n xu t là ñ ng ñ u.
6. 28. T i m t nông tr ư ng, ñ ñi u tra kh i l ư ng c a m t lo i trái cây, sau m t
ñ t bón m t lo i phân m i, ng ư i ta cân th m t s trái cây ñư c ch n ng u nhiên
và ñư c k t qu sau:
Kh i l ư ng (gam) S trái cây
[45, 50) 2
[50, 55) 11
[55, 60) 25
[60, 65) 74
[65, 70) 187
[70, 75) 43
[75, 80) 16
≥ 80 3
Tr ư c kia, kh i l ư ng trung bình c a m i trái là 65 gam. Hãy ñánh giá xem lo i
phân bón m i có mang l i hi u qu không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 1%).
Gi i:
T s li u ñã cho ta tính ñư c n=361; x = 66,38; s = 5, 41
Ki m ñ nh gi thi t H00:µ=µ= 65(); g H 10 : µ>µ m c α =1%
X − µ
N u H ñúng thì U= 0 n~ N () 0,1
0 s
V i α = 0,01 ta suy ra: gtth= u1−α = u 0,99 = 2,33
66,38− 65
V i m u c th ta tính ñư c: u=361 = 4,85 > gtth
5,41
V y H0 b bác b ngh ĩa là: lo i phân bón m i có mang l i hi u qu . (k t lu n
m c ý ngh ĩa α = 1%).
6. 29. M t công ty th ươ ng m i, d a vào kinh nghi m quá kh , ñã xác ñ nh r ng
vào cu i n ăm thì 80% s hoá ñơn ñã ñư c thanh toán ñ y ñ , 10% kh t l i 1
tháng, 6% kh t l i 2 tháng, và 4% kh t l i h ơn 2 tháng. Vào cu i n ăm nay, công ty
ki m tra m t m u ng u nhiên g m 400 hoá ñơn và th y r ng: 287 hoá ñơn ñã ñư c
thanh toán ñ y ñ , 49 kh t l i 1 tháng, 30 kh t l i 2 tháng và 34 kh t l i h ơn 2
tháng. Nh ư v y, vi c thanh toán hoá ñơn n ăm nay có còn theo qui lu t nh ư nh ng
năm tr ư c không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5% ).
Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i.
H0 : Vi c thanh toán hoá ñơn n ăm nay theo qui lu t n ăm tr ư c
111
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
H1 : Vi c thanh toán hoá ñơn n ăm nay không theo qui lu t n ăm tr ư c.
m c ý ngh ĩa α = 5%.
B ng t n s lý thuy t và th c nghi m:
Thanh toán Khu t l i 1 Khu t l i 2 Khu t l i
ñ y ñ ( x1 ) tháng ( x2 ) tháng ( x3 ) hơn 2 tháng
( x4 )
T n s quan 287 49 30 34
sát
T n s lý 320 40 24 16
thuy t
Ta có:
2 2 2 2 2
4 ()o− e ()287− 320() 49 − 40() 30 − 24() 34 − 16
Q2 =∑ i i = +++= 27,178
i=1 ei 320 40 24 16
2 2
V i α = 5% , gtth = χ1−α (3) =χ 0,95 ( 3) = 7,815
2 2
Ta th y Q > χ 1−α (3) nên:
Vi c thanh toán hoá ñơn n ăm nay không còn theo qui lu t nh ư nh ng n ăm
tr ư c. (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5%).
6. 30. Đ l p k ho ch s n xu t m t hàng m i, m t công ty ñã ti n hành ñi u tra
v s thích c a khách hàng v 3 lo i m u khác nhau c a cùng m t lo i hàng. K t
qu ñư c trình bày b ng sau:
M u A B C
hàng
Ý ki n
Thích 43 30 42
Không thích 35 53 39
Không có ý ki n 22 17 19
Có hay không s phân bi t v s thích c a khách hàng ñ i v i 3 lo i m u nói
trên? K t lu n m c ý ngh ĩa 5%.
Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i.
H0 : Không có s phân bi t v s thích
H1 : Có s phân bi t v s thích ñ i v i 3 m t hàng (m c ý ngh ĩa 5%).
B ng ñ i chi u t n s : Trong ngo c là t n s lý thuy t:
M u A B C
112
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
hàng
Ý ki n
Thích 43 30 42
(38,33) (38,33) (38,33)
Không thích 35 53 39
(42,33) (42,33) (42,33)
Không có ý ki n 22 17 19
(19,33) (19,33) (19,33)
2
9 ()o− e
Q2 =∑ i i = 7,606
i=1 ei
2 2
χ1−α (4) =χ 0,95 ( 4) = 9,488
2 2
Ta th y Q < χ 1−α (8) nên H0 ñư c ch p nh n ngh ĩa là:
Không có s phân bi t v s thích ñ i v i 3 m t hàng.
6. 31. Đi u tra m t s s n ph m c a m t xí nghi p v chi u dài (X (cm)) và hàm
lư ng ch t A (Y (%)), ng ư i ta có k t qu sau:
Y 8 10 12 14 16
X
100 5 5
110 4 6 7
120 5 9 8
130 4 6 9
140 5 7
Các s n ph m có chi u dài không quá 110cm và hàm l ư ng ch t A không
hơn 12% ñư c g i là s n ph m lo i II. N u xí nghi p báo cáo r ng s n ph m lo i
II có ch tiêu Y trung bình là 10% thì có th ch p nh n ñư c không? K t lu n
m c ý ngh ĩa 5% (gi thi t hàm l ư ng này có phân ph i chu n)
Gi i:
B ng s li u cho ch tiêu Y c a nh ng s n ph m lo i A.
y j 8 10 12
n j 9 11 7
Giá tr trung bình m u: y = 9,85 và
giá tr ñ l ch chu n m u: sY =1,56 , c m u n = 27 .
113
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Ta ki m ñ nh gi thi t sau:
H0:µµY= 0 = 10( %) ; H 1 : µµ Y ≠ 0 m c ý ngh ĩa 5%
Y − µ0
N u H0 ñúng thì BNN T= ntn~() − 1
SY
(26 )
V i m c ý ngh ĩa α = 5% ta tính ñư c gtth= t 0,05 = 2,0555
1−
2
9,85− 10
V i m u c th ta tính ñư c: t =27 = − 0,5
1,56
Ta có t< gtth nên H0 không b bác b .
V y, ch p nh n báo cáo c a xí nghi p ( m c ý ngh ĩa 5%).
6. 32. G o ñ tiêu chu n xu t kh u là g o có t l h t nguyên, h t v và t m, theo
th t , là: 90%, 6% và 4%.
Ki m tra 1000 h t g o c a m t lô g o, ng ư i ta th y trong ñó có:
H t nguyên: 880; h t v : 60 và t m: 60
H i lô g o có ñ tiêu chu n xu t kh u không? Cho k t lu n m c ý ngh ĩa
5%.
Gi i:
Đ k t lu n v tiêu chu n c a lô g o ta ki m ñ nh gi thi t sau:
H0 : Lô g o ñ tiêu chu n xu t kh u.
H1 : Lô g o không ñ tiêu chu n xu t kh u ( m c ý ngh ĩa 5%).
N u H0 ñúng thì trong 1000 h t g o có 900 h t nguyên, 60 h t v và 40 h t
t m.
()880− 9002() 60 − 60 2() 60 − 40 2
Ta có Q2 = + + = 10,44
900 60 40
(3)
V i α = 5%, gtth =χ1− 0,05 = 7,815
2
Vì Q> gtth nên H0 b bác b .
V y, lô g o không ñ tiêu chu n xu t kh u (k t lu n m c ý ngh ĩa 5%).
6. 33. Giám ñ c tr i gà Alpha xem l i h s ơ c a m t ñ t kh o sát v kh i l ư ng
c a gà xu t chu ng tr i gà thì th y s li u ñư c ghi nh ư sau:
Kh i l ư ng (kg) S con gà
114
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
[2,3; 2,7) 5
[2,7; 2,9) 30
[2,9; 3,1) 41
[3,1; 3,3) 25
[3,3; 3,5) 10
[3,5; 3,7) 5
[3,7; 3,9) 5
Ban giám ñ c tr i gà Alpha báo cáo r ng kh i l ư ng trung bình c a gà trên 3 kg.
Hãy cho nh n xét v báo cáo trên m c ý ngh ĩa 2%.
Gi i:
T s li u ta tính ñư c:
n=121; x = 3,06; s = 0,2826 .
Ta ki m ñ nh gi thi t sau:
H0:µµX= 01 = 3; H : µµ X > 0 m c α = 2% .
X − µ0
N u H0 ñúng thì BNN U= n~ N () 0,1
sX
V i α = 2% , gtth= u1−α = u 0,95 = 1,6449
x − µ 3,06− 3
V i m u c th : u=0 n =121 = 2,3354
sX 0, 2826
Vì u> gtth nên H0 b bác b ngh ĩa là báo cáo c a Ban giám ñ c là ñúng ( m c ý
ngh ĩa 5%).
6. 34. Đ so sánh th i gian c t trung bình c a m t máy ti n lo i c ũ v i m t máy
ti n lo i m i, ng ư i ta cho m i máy c t th 10 l n và ño th i gian c t (tính b ng
giây) . K t qu thu ñư c nh ư sau:
Máy lo i c ũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67.
Máy lo i m i: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54..
Bi t r ng th i gian c t c a máy lo i c ũ và c a máy lo i m i là các bi n
ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n có ñ l ch chu n, theo th t , là 13,5
giây và 14,5 giây.
V i m c ý ngh ĩa 5%, có th cho r ng máy lo i m i t t h ơn (có th i gian c t
trung bình ít h ơn) máy lo i c ũ hay không?
Gi i:
G i X, Y theo th t là BNN ch th i gian c t c a máy ti n c ũ và máy ti n
m i.
115
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H0:µµXY= ; H 1 ; µ XY > µ m c ý ngh ĩa 5%.
X− Y
N u H0 ñúng thù BNN U= ~ N () 0,1
σ2 σ 2
X+ Y
n m
V i α = 5% , gtth= u1−0 ,05 = u 0,95 = 1,6449
V i m u c th ta tính ñư c:
xs=57;X = 13,6; y = 52; s Y = 14,46
57− 52
Do ñó u = = 2,988
13,5 14,5
+
10 10
Vì u> gtth nên H0 b bác b .
V y, có th cho r ng máy lo i m i t t h ơn (có th i gian c t trung bình ít h ơn)
máy lo i c ũ.
116
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
CH ƯƠ NG 7: TƯƠ NG QUAN VÀ H I QUY
7.1.
Xem vect ơ ng u nhiên (X,Y) tuân theo lu t phân ph i chu n hai chi u mà
m t m u ng u nhiên g m 8 c p ñư c ch n ra nh ư sau:
xi 1 2 3 4 5 6 7 8
yi 5 7 11 17 21 25 29 32
a) Hãy tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y và cho nh n xét.
b) Hãy ki m ñ nh gi thi t v s t ươ ng quan gi a X à Y m c α = 5% .
c) Hãy l p hàm h i quy tuy n tính m u và d ñoán n u X l y giá tr b ng
20 thì Y nh n giá tr bao nhiêu?
Gi i:
∑ xy− nxy.
a) r=i i = 0,996 . X và Y có quan h g n nh ư tuy n tính.
(n− 1)sX .s Y
b) Ki m ñ nh gi thi t
H0:ρ= 0; H 1 : ρ ≠ 0 m c α = 5%
n−2
N u H 0 ñúng thì T=R ~ t() n − 2
1 − R2
n
∑(Xi− X ).( Y i − Y )
(n = 8 và R = i =1 là h s t ươ ng quan m u)
(n− 1) SX S Y
(6)
V i α = 5% , gtth =t1−α / 2 = 2,4469 .
n − 2 6
V i m u c th , ta có r = 0,996 và t= r =0,996 = 27,3
1−r 2 10,996 − 2
Vì t> gtth nên H 0 b bác b ngh ĩa là X, Y th t s t ươ ng quan.
c) Ph ươ ng trình h i quy tuy n tính m u:
y= −0.107 + 4,107 x . T ñó, n u X = 20 thì Y = 82,036 .
7.2.
M t c ơ s s n xu t ñã ghi l i s ti n ñã chi cho vi c nghiên c u phát tri n
và l i nhu n hàng n ăm c a c ơ s trong 6 n ăm v a qua nh ư sau: ( ñơ n v 10 6 VN Đ)
Chi nghiên c u 5 11 4 5 3 2
L i nhu n 31 40 30 34 25 20
117
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
a) Hãy tính giá tr h s t ươ ng quan m u gi a chi nghiên c u và l i
nhu n.
b) Chi nghiên c u và l i nhu n có th c s t ươ ng quan không? (k t lu n
m c ý ngh ĩa α = 2%).
c) Vi t ph ươ ng trình ñư ng h i qui tuy n tính m u c a l i nhu n theo
chi phí nghiên c u.
Gi i:
a) r = 0,909
b) Ki m ñ nh gi thi t
H0:ρ= 0; H 1 : ρ≠ 0 m c ý ngh ĩa α = 1%
n −2
N u H0 ñúng thì BNN T=R ~ t() n − 2
1 − R2
gtth= t1/2−α ( t −=2) t 0,99 ( 4) = 3,7469
4
V i m u c th ta có t =0,909 = 4,361
1− 0,909 2
Vì t> gthh nên H0 b bác b . Ngh ĩa là X và Y th c s t ươ ng quan.
(k t lu n m c ý ngh ĩa α = 2%).
c) Ph ươ ng trình ñư ng h i quy tuy n tính m u:
y = 2 x + 20
7.3.
Đo chi u cao Y (cm) và chi u dài chi d ư i X (cm) c a m t nhóm thanh
niên, ng ư i ta thu ñư c s li u sau:
yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172
xi 78 79 80 81 82 83 84 85
(a). Tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y.
(b). m c ý ngh ĩa α = 5%, hãy cho nh n xét v tài li u cho r ng h s
tươ ng quan c a X và Y là 0,9.
(c). Vi t ph ươ ng trình ñư ng h i quy m u c a Y theo X.
Đáp s :
(a) r = 0,996
(b) Ki m ñ nh gi thi t H 0: ρ = 0,9 ñ i v i H 1: ρ ≠ 0,9.
Tr c nghi m U 2 ñuôi ñư c s d ng, v i
118
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Z − µ
U= Z ~ N (0,1) .
σZ
V i m c α = 5% , gtth=u0,975 = 1,96 ;
v i m u c th , chúng ta có :
1+ 0,996
z =1 ln = 3,106 ,
2( 1− 0,996 )
1 1+ 0,9 0,9 1
µ=Z ln + = 1,5365; σ=Z ,
2( 1− 0,9) 2(81) − 5
z − µ
và u =Z = 3,509
σZ
Vì u > gtth nên m c ý ngh ĩa α = 5%, gi thi t H 0 b bác b , ngh ĩa là
tài li u không ñư c ch p nh n ( m c ý ngh ĩa α = 5%).
(c) y = 1,768x + 21,857.
7.4. M t gi ng viên d y môn th ng kê yêu c u m i sinh viên ph i làm m t
ñ án phân tích d li u và d k ỳ thi h t môn. Sau ñó, m t m u g m 10 sinh viên
ñư c ch n ng u nhiên, ñi m s ñư c ghi l i nh ư sau:
Đi m thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84
Đi m ñ 92 79
76 71 69 76 87 62 80 75
án
(a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ñi m thi trung bình c a m t sinh viên (gi
thi t ñi m thi c a sinh viên tuân theo lu t phân ph i chu n).
(b) m c ý ngh ĩa 5%, hãy ñánh giá v s t ươ ng quan tuy n tính gi a hai
lo i ñi m trên.
Gi i:
(a) G i X là ñi m thi c a sinh viên. Ta có: x = 78,6 s = 9,57 .
Kho ng tin c y 95% cho ñi m thi trung bình c a m t sinh viên: (x− ex; + e )
()9 s 5,97
e= t 1+γ . = 2,2622. = 4,27
2 10 10
Kho ng tin c y c n tìm (74,33; 82,87 ).
(b) G i Y là ñi m ñ án c a sinh viên. Đ t ρ= ρ X, Y .
Chúng ta ph i có quy t ñ nh gi a hai gi thi t:
H0: ρ = 0 và H 1: ρ ≠ 0,
N u H 0 ñúng thì BNN
119
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
10− 2
T = R ~ t(8)
1 − R2
(8)
V i m c α = 5% , giá tr t i h n là: t0,975 = 2,3060 ;
v i m u c th , chúng ta có h s t ươ ng quan m u: r = 0,776 . Do ñó:
0,776. 8
t = = 3, 48
1− (0,776) 2
Vì |t| >2,306 nên gi thi t H 0 b bác b m c ý ngh ĩa α = 5%. Nói cách
khác, chúng ta ch p nh n r ng X và Y t ươ ng quan m c ý ngh ĩa 5%.
7.5. Đ th c hi n m t công trình nghiên c u v m i quan h gi a chi u
cao Y(m) và ñư ng kính X(cm) c a m t lo i cây, ng ư i ta quan sát trên m t m u
ng u nhiên và có k t qu sau:
xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49
yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10
(a). Hãy tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y và cho nh n xét.
(b) Vi t ph ươ ng trình ñư ng th ng h i quy m u c a Y theo X. Hãy d báo
chi u cao c a cây có ñư ng kính 45 cm.
Gi i:
(a) r = 0,939.
Vì r r t g n 1 nên gi a X và Y có h i qui tuy n tính.
(b) y = 0,166 x + 1,041.
D báo chi u cao c a cây có ñư ng kính 45 cm là:
y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m
7.6. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ư ng c a m t lo i s n
ph m. Đi u tra m t s s n ph m, b ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T n s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Hãy tính các giá tr trung bình m u c a X, Y; ph ươ ng sai m u c a X, Y
và h s t ươ ng quan m u gi a X và Y.
b) Vi t ph ươ ng trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch
tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu?
Gi i:
a) Ta có trung bình m u:
120
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
x=5,93; y = 15,17;
Ph ươ ng sai m u:
2 2
σX=3,44; σ Y = 28,42
H s t ươ ng quan m u: r = 0,66
b) Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x
N u X có giá tr là 9 thì Y s nh n giá tr là 21.
7.7. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ư ng c a m t lo i s n
ph m. Đi u tra m t s s n ph m, b ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T n s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tính giá tr h s t ươ ng quan m u gi X và Y. Vi t Vi t ph ươ ng trình h i
quy m u c a Y theo X.
b) Ki m ñ nh gi thi t xem X và Y có t ươ ng quan không m c ý ngh ĩa 5%?
Gi i:
a) Giá tr h s t ươ ng quan m u: r = 0,66 .
Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x .
b) Ki m ñ nh gi thi t H0:ρ= 0; H 1 : ρ ≠ 0 m c ý ngh ĩa 5%
N u H0 ñúng thì BNN
n − 2
T=R ~(2) t n −
1 − R2
(28 )
V i m c ý ngh ĩa 5%, gtth= t 0,975 = 2,0484
V i m u c th ta có
n − 2
t= r = 4,69
1− r 2
Vì t> gtth nên H0 b bác b , ngh ĩa là X và Y t ươ ng quan m c ý ngh ĩa 5%.
7.8. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ư ng c a m t lo i s n
ph m. Đi u tra m t s s n ph m, b ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T n s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ch tiêu Y (gi thi t ch tiêu Y tuân theo lu t
phân ph i chu n).
121
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
b) Vi t ph ươ ng trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch
tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu?
Gi i:
a) Trung bình m u ch tiêu Y là: y=15,17; s Y = 5,33
Kho ng tin c y 95% cho trung bình ch tiêu Y là: ( y− ey; + e )
s 5,33
V i e= t ()29 .Y = 2,0452. =≈ 1,99 2
0,975 30 30
V y kho ng tin c y c n tìm là:
(13,18;17,16 )
b) Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x
N u X có giá tr là 9 thì Y s nh n giá tr là 21.
7.9. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ư ng c a m t lo i s n
ph m. Đi u tra m t s s n ph m, b ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T n s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Có tài li u cho r ng trung bình ch tiêu X là 6,5%. Hãy cho nh n xét v tài
li u trên m c ý ngh ĩa 5%. Gi thi t các ch tiêu X, Y tuân theo lu t phân
ph i chu n.
b) Tính giá tr h s t ương quan m u c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình ñư ng
th ng h i quy m u c a Y theo X.
Gi i:
a) Ki m ñ nh gi thi t H0:µµX= 0 = 6,5; H 1 : µµ X ≠ 0 m c ý ngh ĩa 5%.
X − µ
N u H ñúng thì BNN T=0 ntn~() − 1
0 S
(29 )
V i m c ý ngh ĩa 5%, gtth= t 0,975 = 2,0452
5,93− 6,5
Vói m u c th ta tính ñư c: t =30 = 0,908
3,44
Vì t< gtth nên H0 không b bác b ngh ĩa là ta ch p nh n tài liêu trên
m c ý ngh ĩa 5%.
b) Giá tr h s t ươ ng quan m u: r = 0,66 .
Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x .
122
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
7.10. Nghiên c u l ư ng phân bón (X kg) ñư c dùng ñ bón cho ru ng trong
m t v ; Y(kg/1000m2) là n ăng su t lúa. Th ng kê 30 h gia ñình, k t qu nh ư
sau:
S h 3 5 2 6 4 3 5 2
xi 40 40 50 50 50 60 60 60
yi 270 280 280 290 300 300 310 320
a) Tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình h i quy
m u Y theo X.
b) Ki m ñ nh gi thi t cho r ng h s t ươ ng quan c a X và Y b ng 0,9
m c ý ngh ĩa α = 5%.
Gi i:
a) Giá tr h s t ươ ng quan m u: r = 0,891 .
Ph ươ ng trình ñư ng h i quy m u: Y=210,15 + 1,64 X .
b) Ki m ñ nh gi thi t H0:ρρ= 0 = 0,9; H 1 : ρρ ≠ 0 m c ý ngh ĩa α = 5%.
Tr c nghi m U 2 ñuôi ñư c s d ng, v i
Z − µ
U= Z ~ N (0,1) .
σZ
V i m c α = 5% , gtth=u0,975 = 1,96 ;
V i m u c th , ta có
1 1+ 0,891
z= z =2 ln = 1,427
1− 0,891
1 1+ 0,9 0,9 1
µ=Z ln + = 1,488; σ=Z
2( 1− 0,9) 2(30 − 1) 27
z − µ
u =Z = 0,317
σZ
Vì |u | < gtth nên H0 ñư c ch p nh n ngh ĩa là gi thi t h s t ương quan c a X và
Y b ng 0,9 là ñúng m c ý ngh ĩa α = 5%.
7.11. Đ nghiên c u s t ươ ng quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY
(kg) con ng ư i, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ng ư i ta có k t qu sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60,
xi 65)
123
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
[140, 145) 1 4
[145, 150) 2 6 1
[150, 155) 10 8 2
[155, 160) 8 6 3
[160, 165) 1 1
(a) Hãy l p b ng phân b t n s , t n su t cho các giá tr c a X, Y.
(b) Tính các giá tr trung bình m u, ñ l ch chu n m u và h s t ươ ng quan
m u c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình ñư ng th ng h i quy tuy n tính m u c a Y
theo X.
Gi i:
a) B ng t n s , t n su t c a X và Y:
Bi n X Bi n Y
L p T n s T n su t L p T n s T n su t
[140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019
[145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113
[150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453
[155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302
[160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113
b) x=152,69; y = 54,23; sX = 5,14; s Y = 4,41
r = 0,6544
Ph ươ ng trình h i quy:
y= −31,59 + 0,56 x
7.12. Đ nghiên c u s t ươ ng quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY
(kg) con ng ư i, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ng ư i ta có k t qu sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60,
xi 65)
124
MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
[140, 145) 1 4
[145, 150) 2 6 1
[150, 155) 10 8 2
[155, 160) 8 6 3
[160, 165) 1 1
a) Tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình ñư ng th ng
h i quy tuy n tính m u c a Y theo X.
b) Có tài li u cho bi t h s t ươ ng quan gi a X và Y là 0,65. Hãy cho nh n xét v
tài li u ñó, m c α = 5%.
Gi i:
a) r = 0,6544
Ph ươ ng trình h i quy:
y= −31,59 + 0,56 x
b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = 0,65 ñ i v i H 1: ρ ≠ 0,65 m c α =
5%.
Tr c nghi m U 2 ñuôi ñư c s d ng, v i
Z − µ
U= Z ~ N (0,1) .
σZ
V i m c α = 5% , gtth=u0,975 = 1,96 ;
v i m u c th , chúng ta có :
1+ 0,6544
z =1 ln = 0,783 ,
2( 1− 0,6544 )
1 1+ 0,65 0,65 1
µ=Z ln + = 0,7816; σ=Z ,
2( 1− 0,65) 2(53 − 1) 50
z − µ
và u =Z = 0,01
σZ
Vì u < gtth nên m c ý ngh ĩa α = 5%, gi thi t H 0 ñư c ch p nh n, ngh ĩa là
tài li u ñư c ch p nh n ( m c ý ngh ĩa α = 5%).
125
MATHEDUCARE.COM
Các file đính kèm theo tài liệu này:
bai_tap_xac_suat_thong_ke.pdf
